Apostila de Matemática Aplicada - rev 1

Prévia do material em texto

Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 1 
 
 
Centro Universitário Ítalo Brasileiro 
 
 
Cursos Tecnológicos: Negócios e ADS 
Administração de Empresas 
Ciências Contábeis 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA 
 
 Autores: 
 Prof
a
 Drª. Liana Maria Ferezim Guimarães 
 Prof. Dr. Marcos Antônio Gagliardi Cascino 
 
 Revisão: 
 Prof. Dr. Carlos Augusto Xavier Santos 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 2 
 
 
Apresentação 
 
 
Tendo em vista a grande variedade de assuntos a serem examinados em Matemática 
Aplicada para alunos dos cursos de Administração de Empresas, Ciências Contábeis e Tecnológicos 
nas áreas de Negócios e de Análise e Desenvolvimento de Sistemas, este caderno de estudo 
representa uma tentativa de abordar os conteúdos necessários à restauração das bases 
matemáticas, ordenando-os da forma mais conveniente. 
 
O nível de aprofundamento apresentado, tanto na teoria como nos exercícios, assegura a 
necessária preparação do aluno para o desenvolvimento de disciplinas afins em sua formação 
acadêmica e possibilita, além da familiarização do estudante com a linguagem matemática, a 
otimização de sua capacidade de raciocínio. 
 
Este caderno é parte integrante do curso de Matemática Aplicada, ministrado no Centro 
Universitário Ítalo Brasileiro, e contém explicações e exercícios relacionados aos temas abordados 
em aula. 
 
 
 
 Profa Dra Liana Maria Ferezim Guimarães 
 
 Prof. Dr. Marcos Antônio Gagliardi Cascino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 3 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 Página 
 
 
Conjuntos 04 
Operações com conjuntos 06 
Conjuntos Numéricos Importantes 14 
Razões e Proporções 16 
Grandezas Proporcionais 18 
Regra de Três Simples 20 
Regra de Três Composta 23 
Porcentagem 25 
Variação Percentual 27 
Acréscimos e Descontos Sucessivos 29 
Representação e Leitura Gráficas 35 
Funções 39 
Função de 1o Grau 41 
Algumas Aplicações da Função de 1o Grau 43 
Máximos e Mínimos Condicionados 50 
Bibliografia 55 
Apêndice: Alguns Erros Comuns a Serem Evitados 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 4 
 
CONJUNTOS 
 
Na utilização usual da linguagem, a maioria das palavras pode ter mais de um significado; ao 
escrever, um mesmo símbolo pode ser interpretado, às vezes, de diferentes maneiras. 
A matemática, no entanto, tem finalidades diferentes das da língua e ela exige a utilização de 
uma linguagem mais específica. 
A teoria dos conjuntos fornece os elementos para essa linguagem matemática, que se tem 
revelado também conveniente para o tratamento matemático de fenômenos relativos às mais 
variadas ciências, da Economia à Psicologia, por exemplo. 
Frequentemente a noção de conjunto é utilizada. Apesar de ser uma definição bem primitiva, 
conjunto nada mais é do que uma reunião de elementos, mas a partir dessa ideia, podemos 
relacionar outras situações. No estudo de conjuntos, trabalha-se com alguns conceitos primitivos, 
que devem ser entendidos e aceitos sem definição. 
 
 
ALGUNS CONCEITOS PRIMITIVOS 
 
Conjunto: representa uma coleção de elementos. 
Exemplos: a) O conjunto de todos os brasileiros. 
b) O conjunto de todos os números naturais. 
c) O conjunto de todos os números reais tal que x² - 4 = 0. 
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C,..., Z. 
 
 
Elemento: é um dos componentes de um conjunto. 
Exemplos: a) José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. 
b) 8 é um elemento do conjunto dos números naturais. 
c) -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0. 
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c,..., z. 
 
 
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. 
Exemplos: a) José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. 
b) 8 pertence ao conjunto dos números naturais. 
c) -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0. 
 
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: 
"pertence". 
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, 
escrevemos: 1 

 N. 
Para afirmar que -5 não é um número natural ou que -5 não pertence ao conjunto dos números 
naturais, escrevemos: -5 

 N. 
Atenção: Os símbolos  e  são utilizados para relacionar elemento com conjunto. 
 
 
Conjunto Vazio: é o conjunto que não possui elementos. Representa-se o conjunto vazio por { } ou 
por Ø. 
 
 
Conjunto Universo: é o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que fazem 
parte de nosso estudo. 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 5 
 
REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
 
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves 
através de duas formas básicas e/ou de uma forma geométrica: 
 
 
Extensão: Os elementos do conjunto estão nomeados um a um, entre duas chaves e separados por 
vírgula. 
 
Exemplos: a) A = {a, e, i, o, u} 
b) N = {1, 2, 3, 4,...} 
c) M = {João, Maria, José}. 
d) S = {-2, 2} 
 
 
Compreensão: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades características dos elementos 
do conjunto. 
 
Exemplos: a) A = {x | x é uma vogal} 
b) N = {x | x é um número natural} ou {x | x 

 N} 
c) M = {x | x é uma pessoa da família de Maria} 
d) S = {x 

 R | x² - 4 = 0} 
 
 
Diagrama de Venn: Os conjuntos são mostrados graficamente. 
 
 
 A N M S 
 
 
 
IGUALDADE DE CONJUNTOS 
 
 Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Se dois conjuntos são 
iguais indicamos A = B. 
 
 
SUBCONJUNTOS 
 
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A é subconjunto de B. Se cada elemento do conjunto A é, 
também, um elemento do conjunto B. Indicamos esta relação por: 
A  B (lê-se: A está contido em B) 
B  A (lê-se: B contém A) 
 
Exemplo:A = {1, 2, 7, 8} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 
 1 2 3 
 4 5 
 6 7 
 8 9 10 … 
a e 
 i 
 
 o u 
João 
 Maria 
 José 
-2 
 2 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 6 
 
B 
 12 
 11 
 
 
Nesse caso, A  B ou B  A. E também, podemos observar que, 8  A, 8  B, 5  B 7  A, 
11  A e 12  B, por exemplo. 
 
Atenção: Os símbolos  e  ou  (não está contido) são utilizados para relacionar conjunto com 
conjunto. 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
União de Conjuntos 
 
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B, o conjunto representado por 
A B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: 
 
A B = {x | x A ou x B}. 
 
 
 
A B 
 
 
Exemplo: A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então, A B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}. 
 
 
 
 
 
3 5 
 
 A 
 
 
4 
 6 9 
 
1 2 
 7 
 
 8 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 7 
 
Intersecção de Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B o conjunto representado 
por A B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 
 
A B = {x | x A e x B}. 
 
 
A B 
 
Exemplo: A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então, A B = {0, 2, 4}. 
 
 
Diferença de Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto 
representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a 
B, ou seja: 
 
A - B = {x / x A e x B}. 
 
 
 
 
Exemplo: A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então, A - B = {6} e B – A = {1, 3}. 
 
Aplicação: 
Numa pesquisa feita sobre os produtos “Gold” e “Silver” com 1.500 consumidores, obteve-se o 
seguinte resultado: 300 pessoas consomem ambos os produtos; 450 pessoas consomem o produto 
Gold; e 550 pessoas consomem o produto Silver. Responda: 
a) Quantas pessoas consomem somente o produto Gold? 
b) Quantas pessoas consomem somente o produto Silver? 
c) Quantas pessoas consomem o produto Gold ou o Silver? 
d) Quantas pessoas não consomem nem Gold nem Silver? 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 8 
 
Para resolução do exercício vamos relacionar alguns passos: 
 
1o passo: Leitura / interpretação da questão. 
 
2o passo: De acordo com a interpretação do texto, deve-se identificar quantos e quais são os 
conjuntos. Nesta questão há dois conjuntos, o primeiro trata dos produtos “Gold” e o segundo trata 
dos produtos “Silver”. 
 
 
 
 
 
3o passo: Inserir as informações dadas na questão: 
 n = número de consumidores = 1500  conjunto inteiro das pessoas consultadas. 
 Conjunto Gold = 450 pessoas consomem o produto Gold; 
 Conjunto Silver = 550 pessoas consomem produto Silver; 
 Intersecção de Conjuntos = 300 pessoas consomem ambos os produtos, ou seja, pessoas 
que consomem o produto Gold e o produto Silver. 
 
 n= 1500 consumidores 
 
 Gold 
 450 
 
 
 
 Silver 
 550 
 
 
4o passo: Com a inserção das informações no diagrama, verifica-se que não se sabe o número de 
consumidores que utilizam somente o produto Gold e somente o produto Silver. Para resolução deste 
problema, utiliza-se uma conta simples: sabe-se que 450 pessoas consomem o produto Gold. No 
entanto, nota-se que o conjunto que representa os consumidores Gold já tem os 300 que foram 
colocados na intersecção. Eles também consomem o produto Gold. Para que em todo o conjunto 
Gold não haja mais do que 450 elementos, coloca-se somente o que falta: 
 A = 450 – 300 = 150 
A mesma coisa deve ser feita com o conjunto Silver: 
 B = 550 – 300 = 250. 
 
Então, tem-se: 
 
 
 Gold Silver 
 
 
 
 
 
GOLD 
 
SILVER 
 
a 
 
 Y b 300 
 
 150 250 
 
300 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 9 
 
Respondendo às questões: 
 
a) Quantas pessoas consomem somente o produto Gold? Resposta: 150 pessoas 
b) Quantas pessoas consomem somente o produto Silver? Resposta: 250 pessoas 
c) Quantas pessoas consomem o produto Gold ou o Silver? Resposta: 700 pessoas 
d) Quantas pessoas não consomem nem Gold nem Silver? 
Se foram entrevistadas 1500 pessoas e somente 700 estão no diagrama, então a diferença, 
800 pessoas, não consome os produtos Gold nem Silver. Resposta: 800 pessoas. 
 
 
Problemas envolvendo dois conjuntos 
 
1. Numa pesquisa feita sobre os produtos “Green” e “Red” com 4.500 consumidores, obteve-se o 
seguinte resultado: 485 pessoas consomem ambos os produtos; 1.500 pessoas consomem o 
produto Green; e 2.000 pessoas consomem o produto Red. Responda: 
a) Quantas pessoas consomem somente o produto Green? R.: [1.015] 
b) Quantas pessoas consomem somente o produto Red? R.: [1.515] 
c) Quantas pessoas consomem o produto Green ou o Red? R.: [3.015] 
d) Quantas pessoas não consomem nem Green nem Red? R.: [1.485] 
 
2. Numa pesquisa feita sobre os produtos A e B com 600 consumidores, obteve-se o seguinte 
resultado: 
 120 pessoas consomem ambos os produtos. 
 250 pessoas consomem o produto A. 
 135 pessoas consomem o produto B. 
 Responda: 
a) Quantas pessoas consomem somente o produto A? R: [130] 
b) Quantas pessoas consomem o produto A ou o B? R: [265] 
c) Quantas pessoas não consomem nem A nem B? R: [335] 
 
3. Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de dois refrigerantes Coca-Cola e Pepsi-Cola. Para 
se saber qual o preferido de certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens dessa 
localidade, que revelou: 135 bebem Coca-Cola; 
75 bebem os dois refrigerantes; 
40 não bebem nenhum dos dois refrigerantes. 
Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua qual o refrigerante preferido e quantos 
jovens bebem este refrigerante? R: [Pepsi, 145] 
 
4. Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 40 alunos. Dez alunos acertaram as 
duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos 
alunos erraram as duas questões? R:[5] 
 
5. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam produtos A ou B. O produto B 
é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas 
pessoas usam o produto A? R: [1.520] 
 
6. Numa sala de aula com 50 alunos, todos falam pelo menos uma língua estrangeira; sabe-se que 
35 falam inglês e 27 espanhol. Responda: 
a) Quantos alunos falam inglês e espanhol? R: [12] 
b) Quantos alunos falam somente inglês? R: [23] 
c) Quantos alunos falam somente espanhol? R: [15] 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 10 
 
7. Um professor de português passou uma pesquisa numa sala de aula com 30 alunos 
perguntando quem havia lido as obras Dom Casmurro ou Memórias Póstumas de Brás Cubas, 
ambas de Machado de Assis. O resultado da pesquisa foi precisamente: 
19 alunos leram D. Casmurro. 
20 alunos leram Memórias Póstumas de Brás Cubas. 
3 alunos não leram nenhum dos dois itens. 
Com base neste resultado, quantos alunos leram as duas obras? R: [12] 
 
8. Em uma empresa, 60% dos funcionários leem a revista A, 80% leem a revista B, e todo 
funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. Qual é o percentual de funcionários que 
leem as duas revistas? R: [40%] 
 
 
9. Após um jantar foram servidas as sobremesas Bolo e Sorvete. Sabe-se que das 40 pessoas 
presentes, 20 comeram Bolo, 22 comeram Sorvete e 6 pessoas não comeram nenhuma das 
duas opções de sobremesa. Responder: 
a) Quantas pessoas comeram apenas Bolo? R.: [12] 
b) Quantas pessoas comeram somente Sorvete? R.: [14] 
c) Quantas pessoas comeram as duas opções? R.: [8] 
 
 
10. Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou que muitos deles mantinham 
convênio com duas empresas particulares de assistência médica, “A” e “B”, conforme quadro 
abaixo: 
 
Convênio A Convênio B Somente INSS 
430 160 60 
 
Pergunta-se: 
a) Quantos eram filiados às duas empresas, A e B? R.: [50] 
b) Quantos eram filiados apenas à empresa A? R.: [380] 
c) Quantos eram filiados somente à empresa B? R.: [110] 
 
 
11. Numa certa cidade são consumidos dois produtos, S e P, sendo S um tipo de sabonete e P um 
tipo de perfume. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram 
levantados os seguintes dados: 
 
Produto S P S e P Nenhum dos dois 
No de 
consumidores 
210 180 50 40 
 
Quantas pessoas foram consultadas? R: [380] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 11 
 
Problemas envolvendo três conjuntos 
 
12. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores com três produtos P1, P2 e 
P3, mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos, 30 consumiam os produtos 
P1 e P2, 50 consumiam os produtos P2 e P3, 60 consumiam os produtos P1 e P3, 120 
consumiam o produto P1 e 75 consumiam o produto P2. Se todas as 200 pessoas entrevistadas 
deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se: 
 a) Quantas consumiam somente o produto P3? R: [35] 
 b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? R: [100] 
 c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2 e não P3? R: [10] 
 Obs:  = união => ou  = intersecção => e 
 
13. Numa comunidade constituída por 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte (E), 
novela (N) e humorismo (H). Na tabela abaixo está indicado o número de pessoas que assistem 
a esses programas: 
Programas E N H E e N N e H E e H E, N e H 
No pessoas 400 1220 1080 220 800 180 100 
 
Com base nesses dados, calcule o número de pessoas da comunidade que não assistem a 
qualquer dos três programas. R.: [200] 
 
14. Numa pesquisa de mercado foram entrevistadas 61 pessoas sobre suas preferências em relação 
a três jornais A, B e C. O resultado da pesquisa foi: 
 44 pessoas leem o jornal A. 
 37 pessoas leem o jornal B. 
 32 pessoas leem os jornais A e C. 
 28 pessoas leem os jornais A e B. 
 26 pessoas leem os jornais B e C. 
 20 pessoas leem os jornais A, B e C. 
 7 pessoas não leem jornais. 
 Pergunta-se, com base neste resultado, quantas pessoas leem o jornal C? R: [39] 
 
15. Nas favelas, devido às péssimas condições sanitárias, as doenças proliferam com muita rapidez. 
Em exames feitos em 41 crianças foi constatada a presença de três tipos de bactérias A, B e C. 
 23 crianças apresentaram bactéria A; 
 25 crianças apresentaram bactéria B; 
 22 crianças apresentaram bactéria C; 
 11 crianças apresentaram bactéria A e B; 
 12 crianças apresentaram bactéria B e C; 
 9 crianças apresentaram bactéria A e C. 
Sabendo que cada uma das 41 crianças apresentou pelo menos uma das bactérias, quantas 
crianças apresentaram as três bactérias? R: [3] 
 
16. Um professor de história fez três perguntas aos 32 alunos da sala e pediu para que os alunos 
levantassem o braço se a resposta fosse sim. 
a) Quem já estudou a história do Egito? 
b) Quem já estudou o mundo grego? 
c) Quem já estudou o mundo romano? 
O professor observou que 17 alunos responderam sim à 1a pergunta, 19 alunos responderam sim 
à 2a pergunta, 21 alunos responderam sim à 3a pergunta, 11 alunos responderam sim às 1a e 2a 
perguntas, 13 alunos responderam sim às 2a e 3a perguntas, 12 alunos responderam sim às 1a e 
3a perguntas e 10 alunos responderam sim às três perguntas. Pergunta-se: Quantos alunos da 
sala não estudaram nem Egito, nem o mundo grego, nem o mundo romano? R: [1] 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 12 
 
17. Numa prova sobre o corpo humano havia três questões: a 1a sobre o sistema circulatório, a 2a 
sobre o sistema respiratório e a 3a sobre o sistema nervoso. Sabe-se que dos 29 alunos que 
fizeram a prova, precisamente: 
 15 alunos acertaram a 1a questão. 
 7 alunos acertaram somente a 2a questão. 
 1 aluno acertou somente a 3a questão. 
 11 alunos acertaram a 2a e 3a questões. 
 5 alunos acertaram as 3 questões. 
 Pergunta-se: Quantos alunos erraram as três questões? R: [0] 
 
18. Uma empresa pública realizou um concurso escrito constituído de três problemas A, B e C para 
um total de 870 candidatos inscritos. Após correção constatou-se que 600 candidatos acertaram 
o problema A, 400 acertaram o B, 300 acertaram o C. Além disso, 200 candidatos acertaram os 
problemas A e B, 150 acertaram A e C e 100 acertaram B e C. Sabe-se, também, que somente 
20 candidatos acertaram os três problemas e que nenhum candidato errou todos os problemas. 
Quantos candidatos acertaram somente o problema C?R: [70] 
 
 
19. Num departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística aplicou-se um teste 
em 44 candidatos. Uma das perguntas foi: “Você já trabalhou no a) setor de montagem; b) setor 
de pintura; c) setor de eletricidade? ” 
Concluiu-se que todos candidatos têm experiência em pelo menos um dos setores e que 
exatamente: 
 28 pessoas trabalharam em montagem. 
 4 pessoas trabalharam só em montagem. 
 1 pessoa trabalhou só em eletricidade. 
 21 pessoas já trabalharam em montagem e pintura. 
 16 pessoas trabalharam em pintura e eletricidade. 
 13 pessoas trabalharam em montagem e eletricidade. 
 10 pessoas têm experiência nas três áreas. 
 
Responda: 
a) Quantas pessoas têm experiência em pintura? R: [36] 
b) Quantas pessoas têm experiência em eletricidade? R: [20] 
 
 
20. Uma pesquisa sobre determinado governo procurou levantar a opinião de vários cidadãos do 
país sobre três pontos: A, B e C. Os três pontos pesquisados foram: 
A – a política do governo está correta. 
B – o governo tem maioria absoluta no congresso. 
C – o governo tem apoio da maior parte da população. 
 
A pesquisa apresentou os seguintes resultados: 
 
Pontos pesquisados A B C A e B B e C A e C A, B e C Nenhum dos três 
Número de cidadãos 60 80 40 20 10 10 5 225 
 
A metodologia da pesquisa foi a seguinte: perguntava-se a um cidadão se ele concordava 
simultaneamente com os três pontos, em seguida, se ele concordava com os pontos combinados 
dois a dois e, finalmente, se ele concordava com cada um dos três pontos individualmente. Qual 
é o número total de cidadãos pesquisados? R: [370] 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 13 
 
21. Numa comunidade são consumidos os tipos de leite “D”, Desnatado, “I”, Integral e “S”, 
Semidesnatado. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram 
colhidos os resultados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Determinar quantas pessoas: 
a) Foram consultadas? R.: [530] 
b) Consomem apenas dois tipos de leite? R.: [60] 
c) Não consomem o leite tipo Integral? R.: [380] 
d) Não consomem o leite tipo Semidesnatado? R.: [330] 
 
 
22. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de determinado produto, 
apresentou os seguintes resultados: A, 48%; B, 45%; C, 50%; A e B, 18%; B e C, 25%; A e C, 
15%; nenhuma das três, 5% e 10% consomem as três marcas. Qual a porcentagem dos que 
consomem somente uma das três marcas? R: [57%] 
 
 
23. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 
18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez 
é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se: 
a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? R: [36] 
b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? R: [59] 
c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? R: [20] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo de Leite No de Consumidores 
D 100 
I 150 
S 200 
D e I 20 
I e S 40 
D e S 30 
D, I e S 10 
Nenhum dos três tipos 160 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 14 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS IMPORTANTES 
 
 
1. NÚMEROS NATURAIS 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
 
2. NÚMEROS INTEIROS 
Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
 
3. NÚMEROS RACIONAIS 
Q = 






 0b,Zb,Za
b
a
, conjunto de todos os números da forma 
b
a
, onde a e b são 
números inteiros relativos, com 
0b
. 
 
Exemplos: 
1
5
5 
; 
4
1
25,0 
; 
100
13
%13 
; 
9
4
...444,0 
; 
2
9
2
9
2
9




; 
5
12
4,2 
 
 
O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. Na reta 
numérica, temos, por exemplo: 
 
 
 
 
4. NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
I = Conjunto de números cuja representação decimal é infinita não periódica, que não podem 
ser escritos sob a forma 
b
a
. 
Exemplos: 
2
= 1,414213562..., 
3
= 1,732050808..., 

= 3,141592654, e = 2,718281828... 
 
 
5. NÚMEROS REAIS 
 
Conjunto dos números reais, constituído pela união do conjunto dos números racionais Q e 
números irracionais I: R = Q U I 
 
Intervalos ou subconjuntos de R: 
 
Os intervalos são particulares e importantes subconjuntos de R. Sejam os números a e b , tais 
que 
.ba 
 
 
 intervalo aberto: 
   bxaRxb,a 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 15 
 
 intervalo fechado: 
   bxaRxb,a 
 
 intervalo semi-aberto à esquerda: 
   bxaRxb,a 
 
 intervalo semi-aberto à direita: 
   bxaRxb,a 
 
 intervalo aberto de a até infinito: 
   axRx,a 
 
 intervalo fechado de a até infinito: 
   axRx,a 
 
 intervalo aberto de 

 até b: 
   bxRxb, 
 
 intervalo fechado de 

 até b: 
   bxRxb, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 16 
 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
RAZÕES 
 
 A razão é a divisão entre duas grandezas. Dados dois números a e b, com b ≠ 0, a razão de a 
para b é o quociente da divisão 
b
a
. A razão 
b
a
 pode ser lida como “razão de a para b” ou como “a 
está para b”. 
 
 Calcular a razão de a para b é uma maneira de comparar as quantidades a e b. 
 
Exemplo 1 
Em uma prova de vestibular, 800 candidatos disputam 50 vagas. Comparando o número de 
candidatos e o número de vagas, qual é a relação candidato/vaga? 
16
5
80
50
800
b
a

candidatos para cada vaga. 
 
Exemplo 2 
Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. A razão entre o número de mulheres e o número de 
convidados: 
4
3
100
75

. 
Portanto, de cada 4 convidados, 3 eram mulheres. 
 
Exemplo 3 
Se uma embalagem de 200 g de chocolate em pó custa R$ 2,05 e a embalagem de 500 g desse 
mesmo chocolate custa R$ 3,69, qual delas é, relativamente, a mais barata? 
 
Uma maneira de responder a essa questão é comparar os preços e as massas por meio de razões. 
 
Razão entre os preços da embalagem maior e da menor: 
8,1
05,2
69,3

 
Razão entre as massas contidas na embalagem maior e na menor: 
5,2
200
500

 
 
Observa-se que a embalagem maior custa 1,8 vezes o preço da menor, mas contém 2,5 vezes mais 
chocolate que a menor. Portanto, a embalagem maior é relativamente a mais barata.PROPORÇÕES 
 Proporção é uma igualdade entre duas razões, ou seja, 
d
c
b
a

. 
Lê-se essa proporção: “a está para b assim como c está para d”, significando que a e b são 
proporcionais a c e d. 
 
 
 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES 
 
 Numa proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios (ou seja, numa 
proporção podemos utilizar a multiplicação em cruz): 
c.bd.a
d
c
b
a

 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 17 
 
Exemplo 1 
a) 6 e 10 são proporcionais a 15 e 25, isto é, 
25
15
10
6

, porque 
15.1025.6 
 (150 = 150). 
b) 6 e 8 não são proporcionais a 3 e 6, isto é, 
6
3
8
6

, porque 
3.86.6 
 (36 ≠ 24). 
 
Exemplo 2 
Uma indústria prepara combustível, utilizando álcool e gasolina em quantidades proporcionais a 3 e 
7, respectivamente. Com 3.600 litros de álcool, quantos litros de gasolina devem ser misturados? 
 
Indicando por x a quantidade de gasolina a ser calculada, temos: 
 
8400x
3
25200
x25200x33600.7x3
x
3600
7
3

 
Para se manter a proporção, devem ser misturados 8.400 litros de gasolina com 3.600 litros de 
álcool. 
 
 
Problemas envolvendo razões e proporções 
 
1. Na época em que o Brasil tinha 150 milhões de habitantes, a razão entre sua população e a 
população chinesa era de 
20
3
. Qual era a população da China nessa época? [R: 1 bilhão] 
 
2. Dizem que o sabão em pó Claro e o sabão em pó Branco são iguais em qualidade. Entretanto, 
eles diferem no preço e na quantidade: o sabão Claro é vendido em embalagens de 500 g, sendo 
seu preço R$ 3,00 enquanto que o sabão Branco é vendido somente em embalagens de 250 g, e 
seu preço é R$ 2,00. 
a) Qual é a razão entre os preços do sabão Claro e do Branco? [R: 1,5] 
b) Qual é a razão entre as massas do sabão Claro e do Branco? [R: 2] 
c) Relativamente, qual deles é o mais barato? [R: Sabão Claro] 
 
3. Em nosso país, muita gente ganha pouco: 2 em cada 5 pessoas que trabalham ganham salário 
mínimo. No Brasil, há cerca de 40.000.000 de trabalhadores com carteira assinada. Quantos ganham 
salário mínimo? [R: 16.000.000] 
 
4. Numa folha de pagamentos de $ 77.500,00, a fração 21/50 representa os encargos sociais (INSS, 
FGTS, etc.). Determine o valor desses encargos. [R: $ 32.550,00]
 
5. Uma rede de TV deseja saber quantas pessoas assistem a seus programas numa cidade de 
85.000 habitantes. Foram entrevistados 170 habitantes e descobriu-se que 55 deles assistem a seus 
programas. Supondo que os resultados da pesquisa sejam proporcionais aos que seriam obtidos na 
cidade toda, calcule quantas pessoas assistem aos programas dessa rede de TV nessa cidade. 
 [R: 27.500] 
6. Uma loja anuncia: 2/5 de entrada e o restante após 60 dias. Determine o preço à vista de um 
produto, se a entrada a ser paga é de $ 3.200,00. [R: $ 8.000,00] 
 
7. Um mês antes das eleições, o prefeito de certa cidade mandou asfaltar 2/5 de uma estrada de 60 
quilômetros. Depois, nos seis meses seguintes, foram asfaltados mais 2/15 do comprimento total da 
estrada. Que fração da estrada ainda precisa ser asfaltada? Quantos quilômetros ainda precisam de 
asfalto? [R: 7/15 da estrada e 28 quilômetros]
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 18 
 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
 
1. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas variam na mesma razão, ou 
seja, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... e 
assim por diante. 
 
Exemplo 
 
Suponha que o litro de gasolina custe R$ 2,00. De acordo com essa informação, podemos elaborar a 
tabela: 
 
Quantidade de gasolina 
(em litros) 
Quantia a pagar 
(em reais) 
1 2,00 
2 4,00 
3 6,00 
4 8,00 
5 10,00 
 
Observe que se a quantidade inicial de gasolina dobra, a quantia a pagar dobra; se a quantidade 
inicial de gasolina triplica, a quantia a pagar triplica... e assim por diante. Portanto, as grandezas 
quantidade de gasolina e quantia a pagar são diretamente proporcionais. 
 
Veja o que ocorre com os números da coluna “quantidade de gasolina” e seus correspondentes na 
coluna “quantia a pagar”, que são grandezas diretamente proporcionais: 
 
 
 
10
5
8
4
6
3
4
2
2
1

 
 
 
2. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma varia na razão inversa da 
outra, ou seja, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra 
se reduz para a terça parte... e assim por diante. 
 
Exemplo 
 
O prêmio da Mega-Sena nesta semana será de R$ 30.000.000,00. Ele será dividido pelo número de 
acertadores. De acordo com essas informações, podemos elaborar a tabela: 
 
 
Número de acertadores Quantia a receber 
(em milhões de reais) 
1 30 
2 15 
3 10 
4 7,5 
5 6 
Todas as razões são iguais a 
2
1
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 19 
 
Observe que se o número inicial de acertadores dobra, a quantia a receber cai para a metade; se o 
número inicial de acertadores triplica, a quantia a receber cai para a terça parte... e assim por diante. 
Portanto, as grandezas número de acertadores e quantia a receber são inversamente 
proporcionais. 
 
Veja o que ocorre com os números da coluna “número de acertadores” e seus correspondentes na 
coluna “quantia a receber”, que são grandezas inversamente proporcionais: 
 
 
 
655,74103152301 
 
 
 
Problemas envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais 
 
1. A tabela abaixo relaciona as grandezas quantidade produzida de papel (em toneladas) e número 
de árvores de grande porte derrubadas para produzir a quantidade de papel correspondente. Essas 
duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais? Por quê? 
 
Quantidade de papel 
(em t) 
Número de árvores 
derrubadas 
1 20 
3 60 
5,5 110 
8 160 
 
2. Ao participar de um treino de Fórmula Indy, um competidor, na primeira volta, fez o percurso em 
20 segundos, imprimindo velocidade média de 180 km/h. Na segunda volta, ele fez o percurso em 18 
segundos e sua velocidade média foi de 200 km/h. Já na terceira volta, fez o percurso em 15 
segundos com velocidade média de 240 km/h. As duas grandezas envolvidas são direta ou 
inversamente proporcionais? Por quê? 
 
3. A tabela abaixo relaciona as grandezas “quantidade de operários” e “tempo” para a construção de 
duas obras iguais: 
 
Obra Quantidade de operários Tempo (meses) 
A 10 3 
B 30 1 
 
Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todas as multiplicações são iguais a 30 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________20 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
 Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a Regra de Três. No século XIII, o italiano 
Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Liber Abaci, com o nome de “Regra 
dos três números conhecidos”. 
 Problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos com o auxílio dessa regra prática: a regra de três simples. Vamos conhecê-la nos 
exemplos a seguir: 
 
 
Exemplo 1 
 
Carla pagou $ 4,50 por dois cadernos. Quanto pagaria por 5 cadernos? 
 
Passo 1: Organizam-se os dados do problema numa tabela ou esquema: 
 
 cadernos preço ($) 
 2 4,50 
 5 x 
 
Passo 2: Coloca-se a primeira seta ao lado de uma das grandezas e para se colocar a segunda seta, 
verifica-se se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. 
 
 cadernos preço ($) 
 2 4,50 
 5 x 
 
Passo 3: Como as setas estão na mesma direção, conclui-se que as grandezas são diretamente 
proporcionais e escreve-se na forma direta: 
 
x
50,4
5
2

 
 
Passo 4: Calcula-se o valor da incógnita, multiplicando-se em cruz: 
x
50,4
5
2

 
 2.x = 5.4,50 
 2x = 22,50 
25,11
2
50,22
x 
 
 
Resposta: Carla pagaria $ 11,25 pelos 5 cadernos. 
 
 
 
 
 
Se o número de cadernos aumenta, o 
preço a pagar também deve aumentar, 
então coloca-se uma seta para cima. 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 21 
 
Exemplo 2 
Se 230 páginas foram impressas em 46 minutos, qual será o tempo necessário para a impressão de 
120 páginas? 
 
 Organizam-se os dados do problema no esquema: 
 
No de páginas tempo (min) 
 230 46 
 120 x 
 
 Verifica-se se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. No primeiro caso, colocam-
se setas num mesmo sentido, indicando esse fato; se inversamente proporcionais, colocam-se 
setas em sentidos opostos. 
 
No de páginas tempo (min) 
 230 46 
 120 x 
 
 Como as grandezas são diretamente proporcionais, escreve-se na forma direta: 
x
46
120
230

 
 
 Enfim, calcula-se o valor da incógnita: 
24x
230
520.5
x46120x230 
 
Logo, o tempo necessário para a impressão de 120 páginas será igual a 24 minutos. 
 
 
Exemplo 3 
Em 3 horas, numa velocidade média de 600 km por hora, um avião percorre a distância entre duas 
cidades. Voando a 900 km por hora, quanto tempo gastaria para percorrer a mesma distância? 
 
 Organizam-se os dados: 
 
velocidade (km/h) tempo (h) 
 600 3 
 900 x 
 
 As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Por isso, as setas estão 
colocadas em sentidos opostos. 
 
velocidade (km/h) tempo (h) 
 600 3 
 900 x 
 
 Escreve-se a proporção, invertendo os termos de uma das razões: 
 
3
x
900
600

 
Calcula-se x: 
2x
900
1800
x3600x900 
 
Logo, o avião levaria 2 horas para percorrer a mesma distância. 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 22 
Problemas envolvendo regra de três simples 
 
1. Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual 
é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes? [R: 60 min ou 1 h] 
 
2. Um digitador consegue dar 15.000 toques de entrada de dados em 5 horas. Quantos toques o 
digitador dará em 3 horas e meia? [R: 10.500 toques] 
 
3. Carlos está lendo um livro com 352 páginas. Em 3 horas, ele já leu 48 páginas. Quanto tempo 
Carlos vai levar para ler o livro todo? [R: 22 h] 
 
4. Uma rua tem 600 metros de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 
180 metros da rua. Supondo que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho 
estará terminado? [R: 20 dias] 
 
5. Uma torneira, completamente aberta, leva 33 segundos para encher um balde de 20 litros. Quanto 
tempo seria necessário para essa torneira encher um recipiente com capacidade de 1.240 litros? 
 [R: 2.046 s ou 34 min 6 s] 
 
6. Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz um percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno 
congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual foi a velocidade média 
deste ônibus no percurso de volta? [R: 60 km/h] 
 
7. Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse 
construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma 
capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta? [R: 40 dias] 
 
8. Um navio foi abastecido com comida suficiente para alimentar 14 pessoas durante 45 dias. Se 18 
pessoas embarcarem nesse navio, para quantos dias, no máximo, as reservas de alimento serão 
suficientes? [R: 35 dias] 
 
9. Uma montadora de automóveis produz mensalmente 1.200 veículos de certo modelo quando a 
linha de montagem opera 9 horas por dia. Quantos veículos serão produzidos se operar diariamente 
durante 6 horas? [R: 800 veículos] 
 
10. Abrindo completamente 4 torneiras idênticas, é possível encher um tanque com água em 72 
minutos. Se abrirmos 6 torneiras iguais a essas, em quanto tempo vamos encher o tanque? 
 [R: 48 min] 
 
11. Uma pessoa recebe R$ 10.000,00 por 25 dias de trabalho. Quanto receberia se tivesse 
trabalhando 8 dias a mais? [R: R$ 13.200,00] 
 
12. Para forrar as paredes de uma sala são necessárias 20 peças de papel com 80 centímetros de 
largura cada. Quantas peças seriam necessárias se as peças tivessem 1 metro de largura? 
 [R: 16 peças] 
 
13. Um granjeiro tem ração para alimentar 42 galinhas durante 25 dias. Porém, resolveu comprar 
mais 8 galinhas. Quanto tempo durarão as provisões, se a ração de cada galinha não for diminuída? 
 [R: 21 dias] 
 
14. Uma roda de 30 dentes engrena com outra de 25 dentes. Quantas voltas dará esta última quando 
a primeira der 175 voltas? [R: 210 voltas] 
 
15. Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros 
correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque? [R: 7.840 litros] 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 23 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
 
Algumas situações envolvem mais de duas grandezas. A análise e resolução de problemas 
desta natureza podem envolver a regra de três composta. Vamos conhecê-la nos exemplos a 
seguir. 
 
Exemplo: Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários, que produzem, em 8 horas diárias, 240 
pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, 
se a jornada de trabalho diária for de 10 horas? 
 
 Organizam-se os dados: 
 
No de operários No de horas de trabalho por dia No de pares de calçados 
 16 8 240 
 x 10 600 
 
 Marcam-se com setas no mesmosentido as grandezas diretamente proporcionais e a incógnita 
e, com setas em sentido oposto, as inversamente proporcionais: 
 
No de operários No de horas de trabalho por dia No de pares de calçados 
 16 8 240 
 x 10 600 
 
 Escrevem-se os elementos do problema, de modo que a variação de cada um deles seja 
diretamente proporcional à variação da incógnita: 
 
No de operários No de horas de trabalho por dia No de pares de calçados 
 16 10 240 
 x 8 600 
 
 Calcula-se x: 
 
 
32x76800x2400
4800
2400
x
16
600.8
240.10
x
16

 
 
Logo, serão necessários 32 operários. 
 
 
 
Problemas envolvendo regra de três composta 
 
1. O revestimento de um muro de 16 metros de comprimento e 2,5 metros de altura consome 84 
quilogramas de reboco. Quantos quilogramas serão necessários para revestir um muro de 30 m de 
comprimento e 1,8 m de altura? R: [113,4 kg] 
 
2. Se 1.000 quilogramas de ração alimentam 20 vacas durante 30 dias, quantos quilogramas 
alimentariam 30 vacas durante 60 dias? R: [3.000 kg] 
 
3. Um livro tem 150 páginas; cada página, 36 linhas e cada linha, 50 letras. Para transcrever o 
mesmo texto em 250 páginas, cada linha deverá ter quantas letras para que cada página tenha 30 
linhas? R: [36 letras] 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 24 
4. Se 35 operários fazem uma casa em 24 dias trabalhando 8 horas por dia, quantos fariam a mesma 
obra em 14 dias trabalhando 10 horas por dia? R: [48 operários] 
 
5. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Em quantas horas 10 torneiras encheriam 2 
piscinas? R: [6 horas] 
 
6. Duas máquinas empacotam 1.000 litros de leite por dia. Em meio dia, quantas máquinas 
empacotariam 2.000 litros? R: [8 máquinas] 
 
7. Trabalhando 6 horas por dia, 10 operários fazem um serviço de 20 dias. Em quantos dias 15 
operários trabalhando 8 horas por dia, fariam o mesmo serviço? R: [10 dias] 
 
8. Em 10 dias, 5 teares fazem 250 m de tecido. Em quantos dias, 12 teares fariam 1.800 m? R: [30] 
 
9. Se 20 pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintam um edifício em 4 dias, quantos dias serão 
necessários para que 6 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintem o mesmo edifício? R: [10 dias] 
 
10. Vinte e cinco teares trabalhando oito horas por dia, durante 10 dias, fizeram 1.200 metros de 
certo tecido. Vinte teares trabalhando nove horas por dia durante dezoito dias, produzirão quantos 
metros do mesmo tecido? R.: [1.944 m] 
 
11. Com certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5.400m de tecido com 90 cm de largura em 50 
minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 
25 minutos? R: [2.025 m] 
 
12. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade 
média de 50 quilômetros por hora. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga 
em 20 dias a uma velocidade média de 60 quilômetros por hora? R: [10 horas/dia] 
 
13. Uma montadora de automóveis demora 8 dias para produzir 200 veículos, trabalhando 9 horas 
por dia. Quantos veículos montará em 15 dias, funcionando 12 horas por dia? R: [500 veículos] 
 
14. Uma loja dispõe de 20 balconistas que trabalham 8 horas por dia. Os salários mensais desses 
balconistas perfazem o total de $ 28.000,00. Quanto a loja gastará por mês, se passar a ter 30 
balconistas trabalhando 5 horas por dia? R: [$ 26.250,00] 
 
15. Em uma residência, no mês de fevereiro de um ano não bissexto, ficaram acesas, em média, 16 
lâmpadas elétricas durante 5 horas por dia e houve uma despesa de $ 140,00. Qual foi a despesa 
em março, quando 20 lâmpadas iguais às anteriores ficaram acesas durante 4 horas por dia, 
supondo-se que a tarifa de energia não teve aumento? R.: [$ 155,00] 
 
16. Numa campanha de divulgação do vestibular de uma universidade, o diretor mandou 
confeccionar 50.000 folhetos. A gráfica realizou o serviço em 5 dias, utilizando 2 máquinas de 
mesmo rendimento durante 8 horas por dia. Entretanto, o diretor precisou fazer nova encomenda. 
Desta vez, um total de 60.000 folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para 
atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia. Em quantos dias a gráfica 
executou o serviço? R.: [8 dias] 
 
17. Um fazendeiro contratou 30 homens, que trabalhando 6 horas por dia em 12 dias, prepararam 
um terreno de 2.500 m2 para plantio. Se o fazendeiro tivesse contratado 20 homens para trabalhar 9 
horas por dia, qual área do terreno ficaria preparada em 15 dias? R.: [3.125 m2] 
 
18. Se 36 operários trabalhando 10 dias durante 8 horas por dia fazem 60.000 metros de tecido, 
quantos dias de trabalho durante 6 horas por dia serão necessários para que 40 operários façam 
70.000 metros do mesmo tecido? R.: [14 dias] 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 25 
 
PORCENTAGEM 
 
 
HISTÓRICO 
 
A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. O símbolo % é 
uma deturpação da abreviatura Cto (Ciento) – usada pelos mercadores italianos do século XV nas 
suas transações comerciais – e aparece, pela primeira vez, em 1685, num livro francês, Le Guide de 
Negotien (O Guia do Comerciante). 
 
 
CONCEITO 
 
 A porcentagem é a parte da aritmética que trabalha com o grupo das frações de denominador 
100, ou seja, uma medida com base 100. 
 
 a% = 
100
a
 
 
 
 
 
 
 
 50% = 50 = 1 
 100 2 
 
 25% = 25 = 1 
 100 4 
 
 
 
 
 
 
 
47% = 
100
47
 = 47 ÷ 100 = 0,47 
 
 
 TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA 
 (o denominador desta fração é igual a 100) (o denominador desta fração é igual a 1) 
 
 
Toda razão centesimal 
100
a
 chama-se taxa percentual 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 26 
 
São exemplos de razões centesimais: 
 
100
37
 
100
4
 
100
34,52
 
100
215
 
 
 As razões centesimais podem ser representadas na forma decimal (taxa unitária) e, também, 
em taxas percentuais utilizando o símbolo %, como é mostrado a seguir: 
 
%3737,0
100
37

 
%404,0
100
4

 
%34,525234,0
100
34,52

 
%21515,2
100
215

 
 
 
Observa-se, portanto, que a expressão por cento, indicada pelo símbolo %, significa 
centésimos. Assim, 20% é simplesmente uma outra maneira de expressar 20 centésimos ou 
100
20
 ou 
0,20 ou 
5
1
, etc. 
 
Exemplo 1 
Calcule 27,5% de R$ 5.800,00. 
 
Como 
275,0
100
5,27
%5,27 
 
 
Então, o cálculo a ser feito é: 
595.1800.5275,0 
reais. 
 
Exemplo 2 
Calcule R$ 700,00 + 32% de R$ 700,00. 
 
Como 
32,0
100
32
%32 
 
 
Então, o cálculo a ser feitoé: 
92422470070032,0700 
reais. 
 
Exemplo 3 
Calcule R$ 900,00 – 5,2% de R$ 900,00. 
 
Como 
052,0
100
2,5
%2,5 
 
 
Então, o cálculo a ser feito é: 
20,85380,46900900052,0900 
reais. 
 
Exemplo 4 
Em uma blitz ocorrida em uma avenida da cidade de São Paulo, dos 25 automóveis fiscalizados 4 
apresentaram documentação irregular. A razão entre o número de automóveis com documentação 
irregular e o número total de automóveis é: 
 
%1616,0
100
16
25
4

 
%16
100
16
16,0 
 é a taxa percentual de automóveis com problemas na documentação. 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 27 
 
Exemplo 5 
Os 360 funcionários de uma empresa submeteram-se a exames clínicos para verificação dos níveis 
de colesterol no sangue. Desse total, 35% apresentaram níveis acima do limite sugerido pelo teste. 
Para calcular o número de funcionários com nível de colesterol superior ao recomendado, pode-se 
estabelecer a proporção: 
 
%35x
%100360
________________
_____________ 
126x
35
100
x
360

 funcionários 
 
O cálculo poderia ser feito diretamente 35% de 360
.12636035,0 
 
 
Exemplo 6 
Uma calça é vendida por R$ 56,00. Se seu preço for aumentado em 9%, quanto passará a custar? 
Têm-se: 
 novo preço = preço antigo + aumento 
 novo preço = 56 + 0,09 x 56 = 56 x (1 + 0,09) = 56 x 1,09 = 61,04 reais 
 
Observe que o preço inicial fica multiplicado por 1,09 ou (1 + 0,09). 
 
Exemplo 7 
Uma agência de turismo anunciou redução de 28% no preço de seus pacotes. Se 3 dias em Buenos 
Aires custavam US$ 340,00, quanto passará a custar essa viagem? 
Tem-se: novo valor = valor antigo – desconto 
 novo valor = 340 – 0,28 x 340 = 340 x (1 – 0,28) = 340 x 0,72 = 244,80 dólares 
 
Observe que o valor original fica multiplicado por 0,72 ou (1 – 0,28). 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DE ACRÉSCIMOS E DECRÉSCIMOS PERCENTUAIS: TAXA DE VARIAÇÃO 
PERCENTUAL (%) 
 
Quando comparamos a diferença entre o valor novo e o valor antigo de uma variável com seu 
valor antigo, obtemos a taxa de variação. Se a taxa de variação for expressa em porcentagem, ela é 
chamada de taxa de variação percentual. Portanto: 
 
 
 
 
 
onde Vant = valor antigo da variável; Vnovo = valor novo da variável. 
 
Essa fórmula expressa, apenas, quanto vale percentualmente a variação absoluta entre os valores 
novo e antigo em relação ao valor antigo. Assim, ela é uma generalização da proporção que pode ser 
observada na regra de três: 
 
%)VV(
%100V
_________
antnov o
_________________
ant

 
 100)VV(%V antnovoant
 
100
V
VV
%
ant
antnov o 






 

 
 
 
 
 
100
V
VV
%
ant
antnov o 






 

 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 28 
 
Exemplo 8 
O Produto Interno Bruto (PIB) de certo país variou de 10.000 a 12.100 bilhões de dólares entre os 
anos de 1990 e 2000. Qual foi o aumento percentual do PIB? 
 
Primeiramente, identificamos os valores novo e antigo do PIB: 
 
Vant = US$ 10.000 bilhões e Vnovo = US$ 12.100 bilhões 
 
Aplicamos, então, a fórmula: 
 
%21100
000.10
000.10100.12
100
V
VV
%
ant
antnov o 




 







 

 
 
A variação percentual (no caso, o aumento percentual) é dado pela variação dos valores em relação 
ao valor mais antigo, ou seja, houve um aumento de 21% no PIB do país em uma década. 
 
Para esse caso, poderia ser feito, também: 
 
%2121,0121,1
000.10
100.12

de aumento no PIB. 
 
Exemplo 9 
Uma mercadoria que custava R$ 12,50 sofreu um aumento, passando a custar 
R$ 13,50. Qual a porcentagem de aumento no preço? 
 
Identificando os valores novo e antigo da mercadoria: 
 
Vant = R$ 12,50 e Vnovo = R$ 13,50 
 
Aplicando, então, a fórmula: 
 
%8100
50,12
50,1250,13
100
V
VV
%
ant
antnov o 




 







 

 
 
A mercadoria sofreu um aumento de 8% em seu preço. 
 
Exemplo 10 
O número de sequestros relâmpagos na cidade de São Paulo, causada pelo fechamento dos caixas 
eletrônicos 24 horas durante a crise energética de 2001, caiu de 197 em maio para 106 em junho. 
Qual foi a redução percentual registrada? 
 
Vant = 197 e Vnovo = 106 
 
Aplicando, então, a fórmula: 
 
%19,46100
197
197106
100
V
VV
%
ant
antnov o 




 







 

 
 
A variação percentual (no caso, a redução percentual) é dada pela variação dos valores em relação 
ao valor mais antigo, ou seja, houve uma redução 46,19% no número de sequestros relâmpagos. 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 29 
 
Para esse caso, poderia ser feito, também: 
 
%19,4615381,05381,0
197
106

 (46,19% de redução) 
 
Exemplo 11 
Um investimento de R$ 20.000,00 em ações propiciou um resgate líquido de 
R$ 14.300,00. Qual a porcentagem de desvalorização desse investimento? 
 
Vant = R$ 20.000,00 e Vnovo = R$ 14.300,00 
 
%5,28100
20000
2000014300
100
V
VV
%
ant
antnov o 




 







 

 
 
Esse investimento sofreu uma desvalorização de 28,5%. 
 
 
 
ACRÉSCIMOS E DESCONTOS SUCESSIVOS 
 
Uma propriedade importante das taxas percentuais é aquela em que se deseja calcular a 
porcentagem de uma porcentagem. Neste caso, as taxas percentuais não podem ser adicionadas, 
mas sim devem ser multiplicadas. 
 
No caso de serem dadas duas ou mais porcentagens que representam acréscimos 
sucessivos a um mesmo número: 
 efetuamos um primeiro acréscimo ao número; 
 efetuamos um segundo acréscimo ao resultado obtido e assim sucessivamente. 
 
Em geral, se um valor V sofre n acréscimos sucessivos de taxas unitárias i1, i2,..., in, então o 
novo valor R é dado por: 
     n21 i1.....i1.i1VR 
 
 
No caso de serem dadas duas ou mais porcentagens que representam descontos sucessivos 
a um mesmo número: 
 efetuamos um primeiro desconto ao número; 
 efetuamos um segundo desconto ao resultado obtido e assim sucessivamente. 
 
 Em geral, se um valor V sofre n descontos sucessivos de taxas unitárias i1, i2,..., in, 
então o novo valor R é dado por: 
     n21 i1.....i1.i1VR 
 
 
Portanto, para encontrarmos o valor de taxas acumuladas por acréscimos ou descontos 
sucessivos, calculamos: 
     100.1i1.....i1.i1i n21ac 
 
onde utilizamos (+) para acréscimos e (–) para descontos. 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 30 
 
Exemplo 12 
Uma aplicação de R$ 1.200,00 rendeu por 3 meses consecutivos as taxas líquidas de 5%, 3% e 2%, 
qual o valor resgatado? 
 
R = V.[(1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3)] = 1200.[(1 + 0,05).(1 + 0,03).(1 + 0,02)] 
R = 1200 . 1,05 . 1,03 . 1,02 = R$ 1.323,76 
 
O valor resgatado foi de R$ 1.323,76. 
 
Exemplo 13Sobre uma fatura de R$ 50.000,00 foram feitos dois descontos sucessivos de 7% e 4%. Qual o valor 
líquido dessa fatura? 
 
R = V.[(1 - i1) . (1 - i2)] = 50000.[(1 - 0,07).(1 - 0,04)] 
R = 50000 . 0,93 . 0,96 
R = R$ 44.640,00 
 
O valor líquido da fatura foi de R$ 44.640,00. 
 
Exemplo 14 
Durante 5 meses consecutivos, a variação do valor das cotas de um fundo de ações foi de 12%, 7%, 
-6%, 1% e -2%. Qual foi a variação nesse período? 
 
iac = [(1 ± i1) . (1 ± i2) . … . (1 ± in) - 1] x 100 
 
iac = [(1 + 0,12).(1 + 0,07).(1 – 0,06).(1 + 0,01).(1 – 0,02) - 1] x 100 
 
iac = (1,12 . 1,07 . 0,94 . 1,01 . 0,98 - 1) x 100 

 iac = 11,5006% nos cinco meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
Note que, nas fórmulas, as taxas são utilizadas sempre na forma unitária. 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 31 
 
Problemas envolvendo porcentagem 
 
1. Transformar os números abaixo em taxa unitária: 
a) 37% b) 5,3% c) 
%53
 d) 8% e) 200% f) 0,25% g) 3% 
2. Transformar os números abaixo em taxa percentual: 
a) 0,45 b) 0,032 c) 12,35 d) 
43
 e) 0,03 f) 0,004 g) 7 
 
3. O salário de um trabalhador em abril era $ 1.570,00. Determine o novo salário após um reajuste de 
6,5% em maio. [R: $ 1.672,05] 
 
4. O preço de um produto no mês passado era de $ 178,00. Se o seu preço atual é de $ 208,00, qual 
foi a porcentagem de aumento sofrido nesse período? [R: 16,85%] 
 
5. Um vendedor ganha 3,5% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido $ 483,00 de 
comissões, quanto vendeu? [R: $ 13.800,00] 
 
6. Um eletrodoméstico passou a ser vendido por $ 200,00, após um aumento de 25%. Determine o 
preço antes da alteração. [R: $ 160,00] 
 
7. Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de $ 800,00 e comissão de 2,5% sobre as 
vendas que realiza. Tendo recebido um salário de R$ 1.680,00 em determinado mês, determine o 
valor total vendido. [R: $ 35.200,00] 
 
8. Uma pessoa gasta seu salário da seguinte maneira: 30% vão para a poupança, 20% para o 
aluguel, 35% para a alimentação e o restante é utilizado em atividades de lazer. Qual é o salário 
dessa pessoa, se são gastos $ 450,00 em lazer? [R: $ 3.000,00] 
 
9. Determinada empresa vendeu em março um total de $ 175.300,00. Já em abril vendeu apenas 
$ 145.500,00. Qual foi a queda percentual nas vendas da empresa? [R: -17,00%] 
 
10. Um investidor comprou uma casa por $ 50.000,00 e gastou 80% do custo em uma reforma. Mais 
tarde, vendeu a casa por $ 120.000,00. Qual foi seu lucro? De quanto foi seu lucro percentual? 
 [R: $ 30.000,00; 33,33%] 
Obs.: MARKUP é a diferença entre o custo de um bem ou serviço e seu preço de venda. Pode ser expresso 
em percentual assim: 
100
Custo
CustoVenda
(%)MARKUP 




 

, que é o mesmo que 
VendaCusto% 
. 
 
11. Em 2011, as vendas de determinada empresa foram $ 120.000,00. Em 2012, as vendas 
apresentaram um acréscimo de 35% e no ano seguinte, uma redução de 17%. Determine o valor das 
vendas dessa empresa em 2013. [R: $ 134.460,00] 
 
12. Um automóvel está sendo vendido por $ 48.100,00. Se o comprador efetuar o pagamento à vista 
ele será vendido por $ 42.087,00. Qual é o desconto percentual oferecido para pagamento à vista? 
 [R: -12,50%] 
 
13. O preço de determinado produto sofreu dois aumentos sucessivos: 10% e 20%. Qual foi o 
aumento percentual total? [R: 32,00%] 
 
14. O preço de determinado produto sofreu duas reduções sucessivas: 10% e 20%. Qual foi a 
redução percentual total? [R: - 28,00%] 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 32 
 
15. Um objeto é oferecido por $ 600,00; este preço sofre um desconto de 20% e depois de 15%. 
Determine o novo preço. [R: $ 408,00] 
 
16. Promoções do tipo “leve 3 e pague 2” têm sido cada vez mais utilizadas no comércio. Calcule o 
desconto percentual oferecido sobre cada unidade vendida. [R: 33,33%] 
 
17. “O salário mínimo foi criado no século XIX na Austrália e na Nova Zelândia. No Brasil o salário 
mínimo surgiu no século XX na década de 30, com a promulgação da Lei de nº185 em janeiro de 
1936 e decreto de lei em abril de 1938. No dia 1º de Maio o então presidente Getúlio Vargas, fixou os 
valores do salário mínimo que começou a vigorar no mesmo ano. Nesta época existiam 14 salários 
mínimos diferentes, sendo que na capital do país, o Rio de Janeiro, o salário mínimo correspondia a 
quase três vezes o valor do salário mínino no Nordeste. A primeira tabela do salário mínimo tinha um 
prazo de vigência de três anos, mas em 1943 foi dado o primeiro reajuste seguido de um outro em 
dezembro do mesmo ano. Os aumentos eram calculados para recompor o poder de compra do 
salário mínimo. A unificação total do salário mínimo aconteceu em 1984.” (Fonte: www.brasilescola.com). 
Considere os valores de salário mínimo, instituídos no Brasil nos últimos anos, apresentados na 
tabela abaixo: 
Data Salário Mínimo (R$) Data Salário Mínimo (R$) 
 01/04/2007 380,00 01/03/2011 545,00 
01/03/2008 415,00 01/01/2012 622,00 
01/02/2009 465,00 01/01/2013 678,00 
01/01/2010 510,00 01/01/2014 724,00 
 
Com base nesses dados, pede-se determinar a variação percentual do salário mínimo para: 
a) abril/2007 a janeiro/2014; 
b) janeiro/2013 a janeiro/2014. [R: a) 90,53%; b) 6,78%] 
 
18. "O Imposto sobre a propriedade predial e territorial urbana (IPTU) é um imposto brasileiro 
instituído pela Constituição Federal cuja incidência se dá sobre a propriedade urbana. Ou seja, o 
IPTU tem como fato gerador a propriedade, o domínio útil ou a posse de propriedade imóvel 
localizada em zona urbana ou extensão urbana...Os contribuintes do imposto são as pessoas físicas 
ou jurídicas que mantém a posse do imóvel, por justo título. ...Atualmente ele é definido pelo artigo 
156 da Constituição de 1988, que caracteriza-o como imposto municipal, ou seja, somente os 
municípios têm competência para aplicá-lo. A única exceção ocorre no Distrito Federal, unidade da 
federação que tem as mesmas atribuições dos Estados e dos municípios. ....A base de cálculo do 
IPTU é o valor venal do imóvel sobre o qual o imposto incide. Este valor deve ser entendido como 
seu valor de venda em dinheiro à vista, ou como valor de liquidação forçada.... A alíquota utilizada é 
estabelecida pelo legislador municipal, variando conforme o município." 
 (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Imposto_sobre_a_propriedade_predial_e_territorial_urbana) 
 
Considere uma situação na qual um contribuinte pagou o IPTU devido com atraso, arcando com 
multa de 20% sobre o valor devido. Tendo efetuado um pagamento de $ 828,00 (multa inclusa), 
determinar o valor do imposto sem a multa. [R: O valor do imposto sem multa é de $ 690,00] 
 
19. “Promoção de férias de julho: desconto de 33% em todos os pacotes na América do Sul.” – este 
foio anúncio publicado no jornal “Gazeta da Manhã” na última semana. Dentre as diversas ofertas 
apresentadas, destacamos o pacote de viagem para Buenos Aires, com passagem aérea ida e volta, 
traslado aeroporto-hotel-aeroporto e 3 dias de hospedagem com café da manhã. Determine o preço 
de tabela, se o valor pago pelo cliente por esse pacote com a promoção foi de $ 2.340,00. 
 [R: O preço de tabela é $ 3.492,54] 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 33 
 
20. "A produção de automóveis, comerciais leves, caminhões e ônibus no Brasil cresceu 9,9% em 
2013, atingindo a marca de 3,741 milhões de veículos, novo recorde anual. Os dados foram 
anunciados pela Associação Nacional dos Fabricantes de Veículos Automotores (Anfavea)." 
(Fonte: http://g1.globo.com/carros/noticia/2014/01/producao-de-veiculos-cresce-99-em-2013-diz-anfavea.html, 12/02/2014) 
 
Com base na informação apresentada acima, determinar a produção de veículos em 2012. 
 [R: A produção de veículos em 2012 foi de 3,404 milhões de veículos] 
 
21. "Por que o dólar está sempre mudando de valor? Por Danilo Cezar Cabral 
No Brasil, a cotação do dólar varia como o preço de qualquer produto comercializado: seguindo a lei 
da oferta e da procura. Resumindo, quando há dólar demais em circulação - ou seja, sobrando -, o 
valor dele diminui; quando há poucas verdinhas no mercado, elas ficam mais concorridas por quem 
compra e vende, e a cotação sobe. O modelo vale para qualquer moeda no mercado internacional e 
influencia a vida de muita gente - especialmente de quem investe ou comercializa em moeda 
estrangeira - como mostra a gangorra que a ME montou com personagens que se divertem quando o 
dólar está nas alturas ou quando está desvalorizado frente ao real. 
 
GANGORRA DA FORTUNA 
Veja quem se dá bem com os altos e baixos do valor do dólar em relação ao real 
IMPORTADOR 
Quem compra mercadoria estrangeira, como produtos têxteis, calçados e eletrônicos, se dá bem 
quando o dólar está "barato", custando perto de 1 real. É que os produtos desembarcam com preços 
bem menores que os nacionais, aumentando o lucro de quem os traz de fora para vender. 
TURISTA GRINGO 
Com dólar valorizado, nossos bosques têm mais vida para os estrangeiros. No mesmo lado da 
moeda dá para dizer que, com o aumento do movimento turístico, o parque hoteleiro e as cidades 
preparadas para receber viajantes também saem ganhando com uma bela injeção de grana 
TURISTA BRASILEIRO 
Com o real valorizado diante do dólar, destinos internacionais ficam mais perto do bolso. E dá para 
sacar isso até antes de embarcar: pacotes de viagem cotados em dólar costumam ter as parcelas 
fixadas em real na hora da compra, evitando aumento do valor mesmo se o dólar subir 
EXPORTADOR 
Quem vende para fora do Brasil, recebendo em dólar, se dá bem com a alta em relação ao real. É o 
caso dos produtores de carne brasileiros. Para ter mais segurança diante do sobe e desce da 
cotação, algumas empresas fixam o valor do dólar entre um piso e um teto para operar no exterior 
INVESTIDOR NACIONAL 
Grandes empresas brasileiras nascidas de fusão ou que são parte de pools - como a AmBev 
(Brahma + Antarctica etc.) - aproveitam o dólar baixo para investir no exterior. A maior empresa de 
carnes do mundo, a brasileira JBS Friboi, comprou a americana Swift por 1,4 bilhão de dólares 
BANCO CENTRAL 
Os economistas do governo tentam mudar a cotação - nem sempre dá certo - por meio do Banco 
Central. O método é simples: com dólar baixo, o BC compra verdinhas, tirando-as de circulação para 
valorizar. Caso contrário, vendem-se dólares para saturar o mercado e desvalorizar a moeda 
americana 
INVESTIDOR ESTRANGEIRO 
Quando a confiança do investidor gringo no Brasil - o famoso "risco-país" - está abaixo da média, as 
verdinhas param de chegar até rarear no mercado e valorizar-se diante do real. Isso anima 
investidores mais ousados a aproveitar sua moeda forte para reinjetar dólares no Brasil." 
 (Fonte: http://mundoestranho.abril.com.br/materia/por-que-o-dolar-esta-sempre-mudando-de-valor, 12/02/2014) 
 
Na tabela abaixo podem ser encontrados alguns valores da cotação do dólar americano em 2013/14. 
Com base nos dados apresentados, pede-se determinar a variação percentual da cotação do dólar 
nos períodos de 10/07/13 a 10/12/13 e 10/12/13 a 10/02/14. 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 34 
 
Data Cotação (R$) Data Cotação (R$) 
10/07/2013 2,2691 11/11/2013 2,3136 
12/08/2013 2,2716 10/12/2013 2,3096 
10/09/2013 2,2773 10/01/2014 2,3813 
10/10/2013 2,1844 10/02/2014 2,3930 
[R: A cotação do dólar variou 1,7848% entre 10/07/13 e 10/12/13 e 3,6110% entre 10/12/13 e 
10/02/14] 
 
22. Numa determinada turma de um curso universitário, 78% dos alunos foram aprovados, 15% 
reprovados e os 14 alunos restantes desistiram do curso. Qual é o número de alunos dessa turma? 
 [R: 200 alunos] 
23. Um carro foi adquirido por R$ 14.600,00. Por quanto deve ser vendido, se a margem de lucro 
pretendida é de 5% sobre o preço de custo? [R: $ 15.330,00] 
24. Uma mercadoria custou $ 8.000,00. Se o lojista quiser obter um lucro de 20% sobre o preço de 
custo, por quanto deve vender esta mercadoria? [R: $ 9.600,00] 
 
25. Uma mercadoria custou $ 8.000,00. Se o lucro que o lojista quer obter representa 20% do preço 
de venda, por quanto deve vender esta mercadoria? [R: $ 10.000,00] 
 
26. Certo comerciante vendeu uma determinada mercadoria com o lucro de 10% sobre a venda. 
Sabendo-se que o preço de custo do produto em questão foi de $ 1.800,00, determine o valor do 
lucro dessa operação. [R:$ 200,00] 
27. Uma rede de papelarias anuncia: “compre 12 e pague 10”. Sabendo-se que Mariana levou 12 
cadernos e pagou $ 64,00, pergunta-se: Quanto ela pagaria se levasse apenas 3 cadernos? Qual é a 
porcentagem de desconto oferecida na promoção? [R: $ 19,20; 16,6667%] 
 
28. Analise o anúncio a seguir: 
 
 
Uma pessoa que passeava no shopping viu a promoção do anúncio, comprou dois jogos de lençol e 
pagou o valor total de $ 324,00. Qual era o valor original de cada jogo de lençol? [R: $ 216,00] 
 
29. O Estado de São Paulo atravessou uma forte crise de abastecimento de água durante o verão de 
2014. Em função da baixa quantidade de chuva nos meses de janeiro e fevereiro, o volume de água 
nos principais reservatórios chegou a níveis alarmantes. Em função disso, a SABESP passou a 
conceder um desconto de 30% na conta de água para quem economizasse 20% de água. O cálculo 
da quantidade economizada se baseou no consumo médio anual. Ao saber desta informação, a 
família de Antônio fez vários ajustes, pois tinha um gasto médio de $ 150,00. Se a família de Antônio 
conseguir atingir a meta proposta pela SABESP, qual será o valor de sua conta de água? [R:$ 84,00] 
 
30. Há muito tempo não se via um verão tão intenso em São Paulo. A temperatura chegou a bater a 
casa dos 37oC. O que se viu nas lojas de varejofoi uma procura enorme por ventiladores, a ponto de 
não se encontrar o produto para venda. As lojas que ainda tinham o produto aumentaram os preços 
sensivelmente. A loja Achetudo foi uma das que elevou seu preço. Um ventilador que antes saía por 
$ 138,00 teve um aumento de 20% em fevereiro e mais outro de 50% em março. Após os aumentos, 
quanto passou a custar o ventilador nessa loja? [R: $ 248,40] 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 35 
 
REPRESENTAÇÃO E LEITURA GRÁFICAS 
 
É muito comum encontrarmos, nas mais diversas publicações, gráficos que procuram retratar 
uma determinada situação. Nesses gráficos, dos mais diversos tipos, é utilizado um sistema de 
coordenadas para sua representação, permitindo melhor visualização das informações neles 
representadas. 
 
A representação de informações pela maioria dos gráficos só é possível devido ao plano 
cartesiano criado por René Descartes no tratado chamado "Discurso do Método" publicado em 1637. 
 
 
PLANO CARTESIANO 
 
O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares, uma horizontal, que recebe o 
nome de eixo das abscissas (eixo x) e uma reta vertical, que recebe o nome de eixo das ordenadas 
(eixo y). O ponto onde essas retas se cruzam é chamado origem. Ambas as retas (abscissas e 
ordenadas) são numeradas utilizando-se uma unidade de medida e a origem é representada pelo 
número 0 tanto para x quanto para y. 
 
Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em 4 regiões chamadas quadrantes. 
 
 
 1º Q x > 0 
y > 0 
 
 
2º Q x < 0 
 y > 0 
 
 
3º Q x < 0 
y < 0 
 
 
4º Q x > 0 
 y < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS CARTESIANAS 
 
Para indicar um ponto no plano cartesiano, utilizamos as coordenadas cartesianas, que são 
apresentadas na forma de um par ordenado de números. Considere o ponto P que possui 
coordenadas (3, -4): 
 
 
 
 
-1 
-2 
-3 
-4 
-5 
 
5 
4 
3 
2 
1 
 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 
y 
x 
1° Q 2° Q 
3° Q 4° Q 
sentido 
positivo 
sentido 
positivo 
sentido 
negativo 
sentido 
negativo 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 36 
 
 y 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 x 
 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 
 -1 
 
 -2 
 
 -3 
 
 -4 P(3, -4) 
 
 
 
No caso do ponto P, suas coordenadas são indicadas pelo seguinte par ordenado (3, -4). Assim, a 
localização do ponto P é representada por P(3, -4). O primeiro número representa sempre a 
coordenada em relação ao eixo x (abscissa). O outro número representa a coordenada em relação 
ao eixo y (ordenada). 
 
EXERCÍCIOS SOBRE REPRESENTAÇÃO E LEITURA GRÁFICAS 
 
1. Escreva as coordenadas cartesianas dos pontos representados no plano cartesiano abaixo: 
 y 
 H 5 B 
 
 G 4 
 
 3 
 
 2 A 
 
 1 
 x 
 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 
 -1 C 
 
 -2 
 
 F -3 
 
 E -4 
 
-5 D 
 
 
2. Construa o plano cartesiano, represente os pontos abaixo indicados e escreva em que quadrante 
ele se encontra: 
 A (1, 1) D (3,-2) G (-4,-4) 
 B (5,-4) E (-3,0) H (2,4) 
C (5,-2) F (0,-3) I (5,0) 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 37 
 
3. Na tabela abaixo são apresentadas as importâncias gastas (em bilhões de dólares) em certo país, 
de 2004 a 2013, com a aquisição de revistas, jornais e similares. Represente graficamente (gráfico 
de linhas) os dados, indicando quaisquer tendências que se apresentem (segmentos crescentes, 
decrescentes ou constantes). 
 
Ano 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Quantia 
(bilhões de dólares) 
 
11,0 
 
11,4 
 
12,0 
 
12,7 
 
13,2 
 
13,9 
 
15,4 
 
17,0 
 
18,5 
 
19,2 
 
4. Na tabela abaixo é apresentada a receita (em milhões de dólares) obtida pela GIT Company em 
todo o mundo de 2005 a 2013. Represente graficamente (gráfico de linhas) esses dados. 
 
Ano 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Receita 
 (milhões de dólares) 
3580 4110 4540 4720 5160 5350 5490 5300 5030 
 
5. No gráfico abaixo é apresentado o volume de vendas de determinada empresa em 2013. 
Determine: 
a) a quantidade vendida nos meses de março, julho e novembro; 
b) o mês correspondente à venda de exatamente 5.500 unidades; 
c) a variação percentual do volume de vendas entre os meses de março e junho e, também, entre 
outubro e dezembro. 
 
 
 
6. Observando o gráfico abaixo, no qual é apresentada a Média Industrial Dow Jones (em pontos) da 
Bolsa de Valores de Nova York para ações comuns, responda: 
a) Estime a Média Industrial Dow Jones para Ago/10, Nov/10, Dez/11 e Mar/12; 
b) Em que data(s) a Média Industrial Dow Jones foi, respectivamente, 2.900; 3.020 e 3.340? 
c) Calcule a variação percentual da Média Industrial Dow Jones entre os períodos de Nov/10 e 
Mar/11 e, também, entre Out/11 e Dez/11. 
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
 
Ve
nd
as
 m
en
sa
is 
(u
nid
ad
es
)
Mês
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 38 
 
 
 
7. No gráfico abaixo são apresentadas as vendas anuais (em milhões de dólares) da Wal-Mart Stores 
e da K Mart Corporation, para os anos de 2005 a 2013. 
 
 
 
a) Estime o nível de vendas da Wal-Mart e da K Mart em 2005, 2007, 2009, 2011 e 2013. 
b) Em que ano o nível de vendas das duas corporações foi igual? Estime o nível de vendas das duas 
corporações nesse ano. 
c) Observa-se que ambas as corporações cresceram ao longo dos anos mostrados no gráfico. Qual 
das duas cresceu mais entre 2010 e 2013? Calcule a variação percentual das vendas para as duas 
empresas nesse período. 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 39 
 
FUNÇÕES 
 
 
A IDÉIA DE FUNÇÃO 
 
A palavra função evoca uma ideia de dependência: a variação de uma grandeza depende da 
variação da outra grandeza. 
 
Sabe-se que a área de um quadrado (A) é igual ao quadrado da medida de seu lado (L), ou 
seja, 2LA  . Quando se diz que a área de um quadrado é função do seu lado 
)L(fA 
, o que se 
pretende dizer que é que a área do quadrado depende de seu lado. 
 
Genericamente, tem-se que: 
)x(fy
, ou seja, y é função de x. 
 
Outros exemplos 
a) a tarifa postal T é função do “peso” p da carta: 
)p(fT 
 
b) o desconto D do Imposto de Renda é função do salário recebido s: 
)s(fD 
 
c) o salário S de um vendedor é função do volume V de vendas: 
)V(fS 
 
d) a quantidade demandada Q de uma mercadoria é função de seu preço p: 
)p(fQ 
 
 
Mais exemplos 
O salário mensal de um vendedor é composto de duas partes: uma é fixa, no valor de R$ 800,00, e a 
outra é variável, sendo igual a 5% do total que ele vende no mês. Chamando o total de vendas de V 
e o salário de S, tem-se que o salário é função do total de suas vendas, ou seja, S = f(V). 
 
a) Determinando a lei que associa o salário ao volume de vendas: 
 
V.05,0800S 
 
 
b) Podemos construir uma tabela para essa função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 
 
A função pode ser definida como um tipo especial de relação: 
 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma 
função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um 
elemento y do conjunto B. Neste contexto, a variável x é chamada de variável independente e a 
variável y é chamada de dependente. 
 
DOMÍNIO 
 
É o conjunto dos valores possíveis para x, que indicaremos por D. O domínio da função pode 
ser explicitado na apresentação da função. Em caso contrário, é convencionado que o domínio da 
função é o conjunto dos números reais x, para os quais tem sentido calcular y=f(x). 
Volume de vendas (V) (R$) Salário (S) (R$) 
0,00 800,00 
1.000,00 850,00 
3.000,00 950,00 
6.000,00 1.100,00 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 40 
 
CONTRADOMÍNIO 
 
É no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do 
domínio. 
 
IMAGEM 
 
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y 
damos o nome de imagem de x pela função f. Portanto, o conjunto imagem da função, que 
indicaremos por Im, é um subconjunto do contradomínio da mesma. 
 
Exemplos 
a) Dada a função 
10x2y 
, com D = {1, 2, 3} obtém-se o conjunto Im = {12, 14, 16}. 
b) Dada a função 
3x
10
y


, o domínio é o conjunto dos números reais, com exceção de 
3x 
, para 
o qual o divisor é igual a zero. Então: D = 
}3{
 ou D = 
}3xx{ 
. 
c) Dada a função 
x
1x
y


, o domínio é o conjunto dos números reais, com exceção de 
0x
, para 
o qual o divisor é igual a zero. Então: D = 
 0
 ou D = 
 0xx 
. 
d) Dada a função 
5xy 
, o domínio é o conjunto dos números reais. Então: D = 

 ou 
D = 
 x
. 
e) Se temos a função 
x7R 
, onde R é receita e x é a quantidade vendida de um produto, o domínio 
é D = 
 0xx 
, pois a quantidade x deve ser sempre maior ou igual a zero. 
 
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
 
 Uma função cuja lei é do tipo y = k, onde 
k
, é chamada de função constante, pois para 
qualquer valor real atribuído à variável x, sua imagem será sempre a mesma, ou seja, Im = {k}. 
 
 
Exemplo 
 
2y 
 D = 
 x
 e Im = {-2} 
 
Tabela: Gráfico: 
 
 
x y 
-3 -2 
-1 -2 
0 -2 
3/2 -2 
5 -2 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 41 
 
FUNÇÃO DO 1o GRAU 
 
De uma maneira geral podemos representar a função de 1o grau na forma y = ax + b, com a e 
b sendo números reais e a ≠ 0 (caso a = 0 tem-se y = b, que representa uma função constante). Em 
geral, o domínio de uma função de 1o grau é 

, mas quando a função está vinculada a uma situação 
real, é preciso verificar o que representa a variável independente x para determinar o seu domínio. 
 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1o GRAU (função linear afim ou função linear) 
 
O gráfico de uma função do 1o grau y = ax + b é uma reta. Apesar de podermos obter infinitos 
pontos (x, y) a partir da equação de uma função linear, bastam dois pontos para construir a reta. 
 
Exemplos 
1. 
4x2y 
 
 
Tabela: Gráfico: 
 
x y 
-3 -10 
-2 -8 
-1 -6 
0 -4 
1 -2 
2 0 
3 2 
4 4 
 
2. 
2x3y 
 
 
Tabela: Gráfico: 
 
x y 
-3 11 
-2 8 
-1 5 
0 2 
2/3 0 
1 -1 
2 -4 
3 7 
 
3. 
x5y 
 
 
Tabela: Gráfico: 
 
x y 
-2 -10 
-1 -5 
0 0 
1 5 
2 10 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 42 
 
SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES a e b 
 
Na equação y = ax + b, os números representados por a e b são chamados coeficientes. 
 
a = coeficiente angular → mede a variação proporcional de y em relação à variação ocorrida em x, 
ou seja, 
12
12
xx
yy
x
y
a






 
 
O coeficiente angular a mede a inclinação da reta: quanto maior a, maior a inclinação da reta. 
 
 Tem-se ainda que: a > 0: a função é crescente 
 a < 0: a função é decrescente 
 
b = coeficiente linear → mostra o ponto em que a reta corta o eixo dos y. 
 
Exemplos 
1. 
4x2y 
 → a = 2 e b = -4 → função crescente; a reta corta o eixo y no ponto (0, -4). 
2. 
2x3y 
 → a = -3 e b = 2 → função decrescente; a reta corta o eixo y no ponto (0, 2). 
3. 
5
3
x
y 
 → a = 1/3 e b = 5 → função crescente; a reta corta o eixo y no ponto (0, 5). 
4. 
x
2
5
y 
 → a = -1 e b = 5/2 → função decrescente; a reta corta o eixo y no ponto (0, 5/2). 
5. 
x8y 
 → a = 8 e b = 0 → função crescente; a reta passa na origem (0, 0). 
 
 Sabemos que dada a equação da reta encontramos os pontos pelos quais ela passa, 
simplesmente, substituindo valores de x na função y = ax + b e encontrando o respectivo valor de y 
(como pode ser observado nas tabelas dos exemplos 1, 2 e 3, acima). 
 
 Entretanto, podemos ter o problema oposto: conhecer pontos pelos quais uma reta passa e 
precisar escrever a equação da reta. 
 
 Nesse caso, basta calcular os coeficientes a e b. 
 
Exemplos 
 
1. Para escrever a equação da reta que contém os pontos P1 = (-1, 2) e P2 = (2, 8), devemos calcular 
os coeficientes a e b: 
 
2a
3
6
)1(2
28
xx
yy
x
y
a
12
12 









 
 
Substituindo qualquer um dos dois pontos dados na equação da reta, encontramos b. Ou seja, 
substituindo P1 = (-1, 2) 
4bb22b22b)1.(22baxy 
. 
 
(Ou também: substituindo P2 = (2, 8) 
4bb48b48b228baxy 
). 
 
Então, a equação da reta que contém os pontos P1 = (-1, 2) e P2 = (2, 8) é: y = 2x + 4. 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 43 
 
2. Escrever a equação da reta que contém os pontos P1 = (3, 8) e P2 = (5, 4). 
 
2a
2
4
35
84
xx
yy
x
y
a
12
12 











 
 
Substituindo qualquer um dos dois pontos dados na equação da reta, encontramos b. Ouseja, 
substituindo, por exemplo, P2 = (5, 4): 
 
14bb104b104b5.24baxy 
. 
Então, a equação da reta que contém os pontos P1 = (3, 8) e P2 = (5, 4) é: y = -2x + 14. 
 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DO 1o GRAU 
 
Função Demanda 
A demanda (qD) de uma determinada utilidade (bem ou serviço) é a procura de mercado desta 
utilidade a um preço p, isto é, a soma das quantidade que todos os compradores do mercado estão 
dispostos e aptos a adquirir a utilidade ao preço p, em determinado período de tempo. 
A função que associa a demanda qD a todo preço p é denominada Função Demanda. A 
representação gráfica desta função constitui a Curva de Demanda. 
 
Função Oferta 
A oferta de mercado (qO) de uma determinada utilidade (bem ou serviço) é a soma das quantidades 
que todos os produtores estão dispostos e aptos a vender ao preço p, durante certo período de 
tempo. 
A função que associa a oferta qO a todo preço p é denominada Função Oferta. A representação 
gráfica desta função constitui a Curva de Oferta. 
 
Ponto de Equilíbrio de Mercado: é o ponto (quantidade e preço) em que a demanda e a oferta de 
uma determinada utilidade são iguais. qD = qO. 
 
Função Custo 
A função Custo descreve o custo de produção de determinado bem e varia em função da quantidade 
produzida desse bem. 
No custo de produção existe uma parcela fixa (CF = custo fixo) e outra variável (CV = custo variável). 
O custo fixo corresponde aos gastos fixos de produção, tais como, instalação ou manutenção do 
prédio. O custo variável corresponde aos gastos com a produção propriamente dita, isto é, envolve 
compra de matéria prima, pagamento de mão de obra, etc. 
O Custo Fixo pode ser considerado uma função constante, cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo 
horizontal (eixo x). 
O Custo Variável é função da quantidade produzida: CV = C.Q, onde C = custo unitário de produção. 
 
A função Custo Total é a soma das funções Custo Fixo e Custo Variável, ou seja: 
 
CT = CF + CV ou CT = CF + C.Q 
Onde: 
CT = Custo Total 
C = Custo unitário = custos diretos (matéria-prima e mão de obra) 
Q = quantidade produzida 
CF = Custo Fixo 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 44 
 
Função Receita 
A função Receita descreve o total bruto recebido pela venda de uma quantidade variável de um 
produto. Se o preço unitário P for fixo, qualquer que seja a quantidade vendida Q, a receita pode ser 
determinada por: 
RT = P.Q 
 
Função Lucro 
O Lucro é obtido pela diferença entre Receita e Custo. A função Lucro é expressa pela diferença 
entre as funções Receita e Custo, ou seja: 
L = RT – CT 
 
“Break-even Point” ou Ponto de Nivelamento ou Ponto de Equilíbrio: representa um ponto em 
que a receita total se iguala ao custo total, ou seja, o lucro é igual a zero. Indica a quantidade mínima 
de produtos que devem ser produzidos e vendidos para que não haja prejuízo. 
RT = CT 
 
Depreciação 
Depreciação é a diminuição do valor de um bem, ao longo de sua vida útil, resultante do desgaste 
físico, do uso ou da obsolescência. A depreciação pode ser utilizada com finalidade fiscal, uma vez 
que é considerada como custo de produção (custo contábil), não desembolsável, permitindo que seja 
deduzida dos lucros tributáveis. 
A depreciação linear considera a taxa de depreciação constante em todo o período, ou seja: 
 
 custo da aquisição – valor residual 
 Taxa anual de depreciação = 
 vida útil (em anos) 
 
Obs.: É fácil notar que a taxa anual de depreciação linear, definida acima, é exatamente igual ao 
coeficiente a da equação da reta. 
 
Exemplos 
 
1. Quando o preço de uma calculadora eletrônica é de R$ 120,00, são vendidas mensalmente 200 
unidades. Entretanto, aumentando-se R$ 20,00 no preço, verifica-se uma queda de 50 unidades no 
total de vendas. Determinar a função demanda, admitindo-se que seja uma função linear. 
 
Solução: 
Como a função demanda é linear (y = ax + b), pode-se escrever: qD = a.p + b 
Os dados das vendas mostram que: P1 = (120, 200) e P2 = (140, 150). Assim: 
5,2a
20
50
120140
200150
xx
yy
x
y
a
12
12 











 
Substituindo qualquer um dos dois pontos dados na equação qD = a.p + b, encontramos b. Ou seja, 
substituindo P1 = (120, 200): 
 
500bb300200b300200b1205,2200b a.p qD 
. 
Então, a equação de demanda é dada por: qD = -2,5.p + 500. 
 
2. Uma cozinheira deseja vender doces a domicílio. Gastou $ 300,00 na compra de utensílios gerais 
de cozinha, calculou o preço de custo de cada doce em $ 2,00 e deseja vender o produto ao preço 
unitário de $ 3,50. 
a) Determinar as funções Custo, Receita e Lucro Totais; 
b) determinar o número de doces que a cozinheira precisa vender para alcançar o nivelamento entre 
a receita e o custo totais (“break-even point”); 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 45 
c) determinar o número de doces que a cozinheira precisa vender para obter um lucro de $ 450,00; 
d) calcule o lucro ou prejuízo da cozinheira ao vender 100 doces; 
e) No mesmo par de eixos construa o gráfico das funções Receita Total e Custo Total, assinalando o 
“break-even point”. 
 
Solução: 
a) Função Custo: CT = CF + C.Q → CT = 300 + 2.Q onde Q = quantidade produzida. 
 Função Receita: RT = P.Q → RT = 3,50.Q onde Q = quantidade vendida. 
 Função Lucro: L = RT - CT → L = 3,50.Q – (300 + 2.Q) → L = 3,50.Q – 300 – 2.Q → 
 L = 1,50.Q – 300 
b) Break-even point (BEP): RT = CT → 3,50.Q = 300 + 2.Q → Q = 
200
5,1
300

doces, ou seja, 
vendendo-se 200 doces a receita é igual ao custo, isto é, o lucro é zero. 
c) L = 1,50.Q – 300 → 450 = 1,50.Q – 300 → 450 + 300 = 1,50.Q → 1,50.Q = 750 → 
500
50,1
750
Q 
doces, ou seja, para que a cozinheira obtenha um lucro de $ 450,00 precisa vender 500 doces. 
 
d) L = 1,50.Q – 300 → L = 1,50. 100 – 300 → L = 150 – 300 = - $150, ou seja, se a cozinheira vender 
somente 100 doces terá um prejuízo de $ 150,00. 
 
e) 
 
 
3. Se um equipamento foi comprado por $ 20.000,00 e se espera que o seu valor final (residual) após 
10 anos seja de $ 1.500,00, qual o valor líquido do equipamento após 5 anos? 
 
Solução: 
Considerando depreciação linear, ou seja, y = a.x + b, onde pode-se escrever V = a.t + b, sendo V o 
valor do equipamento e t o tempo (em anos), temos que: P1 = (0, 20.000) e P2 = (10, 1.500). Assim: 
1850a
10
18500
010
200001500
xx
yy
x
y
a
12
12 











(taxa anual de depreciação) 
Substituindo qualquer um dos dois pontos dados na equação V = a.t + b, encontramos b. Ou seja, 
substituindo P1 = (0, 20.000): 
 
20000bb0185020000b a.t V 
. 
Então, a equação do valor V do bem a ser depreciado no tempo t é dada por: V = -1.850.t + 20.000. 
 
Assim, o valor líquido do equipamento após 5 anos, será: 
V = -1850.5 + 20000 → V = -9250 + 20000 → V = $ 10.750,00. 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 46 
 
EXERCÍCIOS PARA APLICAÇÃO DE FUNÇÕES DO 1o GRAU 
 
1. Represente a função que descreve cada fato abaixo: 
a) Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condições: uma taxa fixa de $ 50,00 e mais$ 0,30 por quilômetro rodado; 
b) A receita R resultante da venda de uma quantidade x a preço unitário de $ 20,00; 
c) O custo C, em função de uma quantidade x, que um comerciante compra a preço unitário de 
$ 15,00, tendo um custo fixo de $ 50,00; 
d) O salário mensal S, em função da quantidade t de horas trabalhadas, de um trabalhador que 
ganha $ 500,00 fixos, mais $ 3,00 por hora extra; 
e) O salário S de um vendedor, em função do valor total x que vendeu em um mês, sabendo que tem 
salário fixo de $ 1.000,00 e comissões de 3,5% sobre o total de vendas. 
 
2. Representar graficamente as funções dadas por: 
a) y = 29 c) y = 3 - 2x e) y = - 7 
b) y = 4x + 5 d) y = - 5x + 2 f) y = - 3 + x 
 
3. A receita total das vendas de rádios é dada por RT = 200.q (onde q é a quantidade de rádios) e o 
custo total é dado por CT = 160.q + 2.000. Determinar: 
a) o ponto de nivelamento (“break-even point”) de mercado; 
b) esboçar o gráfico da função lucro total e fazer a análise econômica. 
 
4. Uma editora vende certo livro por $ 60 a unidade. Seu custo fixo é $ 10.000 e o custo por unidade 
é de $ 40. Escreva as funções receita, custo e lucro total e determine o ponto de nivelamento. 
Quantas unidades a editora deverá vender para obter um lucro de $ 8.000? 
 
5. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por $ 80. O custo total consiste em um 
custo fixo de $ 4.500 somado ao custo da produção de $ 50 por unidade. 
a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? 
b) Qual será o lucro ou prejuízo do fabricante, se forem vendidas 200 unidades? 
c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de $ 900? 
d) Esboçar o gráfico da função lucro total e fazer a análise econômica. 
 
6. Uma impressora é vendida por $ 200,00 a unidade. O custo fixo é de $ 16.000,00 e o custo de 
produção de cada impressora é de $ 120,00. 
a) Expresse a função custo total de fabricação em função do número de impressoras fabricadas. 
b) Expresse a função receita total; 
c) A partir de quantas unidades vendidas se terá lucro? 
d) Se forem vendidas 150 impressoras, o fabricante terá lucro ou prejuízo? De quanto? 
e) Quantas impressoras deverão ser vendidas para se ter um lucro de $ 2.000,00? 
 
7. Uma microempresa vende camisetas polo a $ 35 cada. O custo de produção de cada camiseta é 
$ 15 e seus custos fixos totalizam $ 8.000. Nesse caso: 
a) Escreva as funções receita, custo e lucro totais; 
b) Determine o ponto de nivelamento (BEP) entre a receita total e o custo total; 
c) Esboce o gráfico da função lucro total e faça a análise econômica da situação; 
d) Qual será o lucro da microempresa se forem vendidas 880 camisetas? 
e) Para a microempresa ter um lucro de $ 18.000, quantas camisetas polo deverá vender? 
 
8. Durante o verão, um grupo de estudantes constrói e vende pranchas de surf em uma garagem 
adaptada em uma cidade de praia. O valor do aluguel da garagem (custo fixo) é $ 2.400,00 para o 
verão inteiro e o material necessário para construir cada prancha custa $ 125,00. As pranchas são 
vendidas por $ 275,00 cada uma. Nesse caso: 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 47 
 
a) Determine as funções receita, custo e lucro totais em relação ao número de pranchas 
fabricadas/vendidas. 
b) Determine o número de pranchas que os estudantes precisam vender para não ter lucro nem 
prejuízo (BEP). 
c) Quantas pranchas os estudantes precisam vender para ter um lucro de $ 3.600,00? 
d) Qual será o lucro ou prejuízo dos estudantes se forem vendidas 20 pranchas? 
 
9. Calcular a equação da reta que contém os pontos P1 e P2: 
a) P1 = (1, 1) e P2 = (0, 5) c) P1 = (0, -2) e P2 = (5, 3) e) P1 = (1, 3) e P2 = (0, 0) 
b) P1 = (4, -3) e P2 = (-4, -5) d) P1 = (-5, 16) e P2 = (-1, 8) f) P1 = (4, -3) e P2 = (8, -9) 
 
10. A curva de demanda ou procura associa, por uma lei matemática, a relação entre as grandezas 
preço e quantidade. Na prática, a relação entre essas grandezas é dada por uma equação linear, 
cujo gráfico tem declividade negativa, isto é, à medida que o preço aumenta, a quantidade 
demandada diminui e, se o preço diminui, a quantidade demandada aumenta. Considere que a 
quantidade demandada q de um determinado eletrodoméstico em uma loja é dada pela equação 
q = – 0,2.p +100, onde p representa o preço em reais. Represente graficamente a função q = f(p). 
(Observe que quando o preço do eletrodoméstico é mais acessível, maior é o consumo). 
 
11. Por sua vez, a curva de oferta, também associa, por uma lei matemática, a relação entre as 
grandezas preço e quantidade. Essa relação é dada, na prática econômica, por uma equação linear, 
cujo gráfico tem declividade positiva, isto é, a medida que o preço aumenta, a quantidade ofertada 
também aumenta. Considere que a quantidade ofertada q de um determinado eletrodoméstico em 
uma loja é dada pela equação q = 0,2.p – 20, onde p representa o preço em reais. Represente 
graficamente a função q = f(p). 
 
12. Outro conceito econômico importante é o de ponto de equilíbrio de mercado. Como na função 
demanda, uma elevação no preço corresponde a uma redução na quantidade demandada e na 
função oferta, uma elevação no preço corresponde a uma elevação na quantidade ofertada, até que 
nível variará o preço se, de um lado, o consumidor deseja preços sempre menores e, de outro, o 
produtor interessa-se por preços sempre maiores? Nesse caso, haverá um preço que satisfará, 
levando em conta a quantidade, aos consumidores e produtores: é o chamado preço de equilíbrio. 
Em um mercado de concorrência perfeita, o ponto de equilíbrio é a intersecção das curvas de 
demanda e oferta de mercado, sendo este o único ponto em que a um mesmo preço, as quantidades 
demandadas e ofertadas são iguais (quantidade de equilíbrio). Considere as funções demanda e 
oferta dadas, respectivamente, nos exercícios 8 e 9. Qual é o ponto de equilíbrio de mercado (preço 
e quantidade de equilíbrio)? Faça os respectivos gráficos no mesmo sistema de coordenadas, 
assinalando o ponto de equilíbrio. 
 
13. Quando o preço de cada bicicleta é $ 160,00; então 20 bicicletas são vendidas, mas se o preço é 
$ 150,00, então 25 bicicletas são vendidas. Encontre a equação de demanda. 
 
14. Em relação à oferta, quando o preço de cada bicicleta é $ 200,00, então 20 bicicletas estão 
disponíveis no mercado; mas quando o preço for $ 220,00, então 30 bicicletas estão disponíveis no 
mercado. Qual a equação de oferta? 
 
15. Ache o ponto de equilíbrio de mercado para as equações de demanda e oferta determinadas nos 
exercícios 13 e 14 e faça os respectivos gráficos no mesmo sistema de coordenadas, assinalando o 
ponto de equilíbrio. 
 
16. Quando o preço unitário for $ 30,00, então, 58 máquinas fotográficas são vendidas 
semanalmente; quando o preço for $ 75,00, então, 40 máquinas são negociadas por semana. 
Encontre a equação de demanda. Em relação à oferta, quando o preço for $ 40,00, então 30 
máquinas fotográficas estão disponíveis no mercado; quando o preço for $ 75,00, então 100 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 48 
máquinas fotográficas estão disponíveis. Qual a equação de oferta? Ache o ponto de equilíbrio para 
as equações de oferta e demanda determinadas acima e faça os respectivos gráficos no mesmo 
sistema de coordenadas. 
 
17. Quando o preço de uma calculadora é $ 150,00, então 50 unidades estão à venda. Quando o 
preço passa a $ 200,00, estão disponíveis no mercado 100 calculadoras. Qual é a leida oferta para 
esse produto, sabendo-se que sua representação gráfica é uma reta? Calcular a oferta para o preço 
de $ 190,00. 
 
18. Quando o preço de venda de um livro é de $ 120,00, são vendidos 200 exemplares. Entretanto, 
aumentando-se o preço para $ 132,00, o número de exemplares vendidos passa a 160. Sabendo-se 
que a representação gráfica dessa situação é uma reta, ou seja, que a função é linear: 
a) Determinar a função demanda. 
b) Esboçar o gráfico dessa função. 
c) Calcular a demanda para o preço de $ 90,00. 
d) Calcular o preço do livro se a demanda é de 75 exemplares. 
 
19. O valor de um equipamento hoje é $ 2.000 e daqui a 9 anos será $ 200. Admitindo-se 
depreciação linear: 
a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos ? 
b) De quanto será sua depreciação nesses 3 anos? 
c) Daqui a quanto tempo o valor do equipamento será nulo? 
 
20. Daqui a 2 anos o valor de uma máquina industrial será $ 5.000 e daqui a 4 anos será $ 4.000. 
Admitindo-se depreciação linear: 
a) Qual seu valor hoje? 
b) Qual seu valor daqui a 5 anos? 
 
21. Um produtor compra uma máquina por $ 21.000,00 que se deprecia linearmente, de tal forma, 
que seu valor de troca após 10 anos é de $ 5.000,00. 
a) Calcule o valor da máquina após 7 anos. 
b) Daqui a quanto tempo o valor da máquina será $ 1.800,00? 
 
22. O valor de um equipamento hoje é $ 20.000,00 e daqui a 8 anos será $ 2.000,00. Admitindo-se 
depreciação linear, qual será o valor do equipamento daqui a 5 anos? 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PARA APLICAÇÃO DE FUNÇÕES DO 1o GRAU 
 
1. a) A = 50,00 + 0,30.x b) R = 20,00.x c) C = 50,00 + 15,00.x 
 d) S = 500,00 + 3,00.t e) S = 1000,00 + 0,035.x 
 
3. a) O “break-even point” ou ponto de nivelamento é atingido com a venda de 50 rádios. 
 b) Análise econômica: A receita total é igualada ao custo total quando são produzidos e vendidos 
50 rádios. O lucro será negativo (prejuízo) para quantidades inferiores a 50 rádios e será positivo 
para quantidades superiores a 50 rádios. 
 
4. Função Receita Total: RT = 60.q ; Função Custo Total : CT = 10.000 + 40.q 
 Função Lucro Total : LT = 20q – 10.000 
 Ponto de nivelamento (BEP): q = 500 livros com RT = CT = $ 30.000 
 A editora deverá vender 900 livros para obter um lucro de $ 8.000. 
 
5. a) O fabricante precisa vender 150 unidades para existir o nivelamento. 
 b) O fabricante obterá um lucro de $ 1.500 ao vender 200 unidades. 
 c) O fabricante necessita vender 180 unidades para ter um lucro de $ 900. 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 49 
 
6. a) CT = 16.000 + 120.q b) RT = 200.q 
 c) Ter-se-á lucro para quantidades maiores que 200 impressoras. 
 d) Na venda de 150 impressoras, o fabricante terá prejuízo de $ 4.000,00. 
 e) Deverão ser vendidas 225 impressoras para a obtenção de um lucro de $ 2.000,00. 
 
7. b) Ponto de nivelamento (BEP): q = 400 camisetas com RT = CT = $ 14.000. 
 d) Na venda de 880 camisetas, o lucro será $ 9.600. 
 e) A microempresa deverá vender 1.300 camisetas polo para obter um lucro de $ 18.000. 
 
8. b) Ponto de nivelamento (BEP): q = 16 pranchas com RT = CT = $ 4.400. 
 c) Os estudantes devem vender 40 pranchas para obter um lucro de $ 3.600. 
 d) Na venda de 20 pranchas, o lucro será $ 600. 
 
9. a) y = - 4x + 5 c) y = x – 2 e) y = 3x 
 b) y = 0,25x - 4 d) y = -2x + 6 f) y = -1,5x + 3 
 
12. Ponto de equilíbrio entre oferta e demanda: p = $300, q = 40 unidades. 
 
13. Equação de demanda: q = - 0,5.p + 100 
 
14. Equação de oferta: q = 0,5.p – 80 
 
15. Ponto de equilíbrio entre oferta e demanda: p = $180, q = 10 bicicletas. 
 
16. Equação de demanda: q = - 0,4.p + 70; Equação de oferta: q = 2.p – 50 
 Ponto de equilíbrio entre oferta e demanda: p = $50, q = 50 máquinas fotográficas. 
 
17. Lei da oferta para o produto: q = p – 100 
 Para o preço de $190,00, a oferta será de 90 calculadoras. 
 
18. a) Função demanda: q = - 
600p
12
40

 ou q = -3,33.p + 600 
 c) A demanda para o preço de $90,00 é de 300 exemplares. 
 d) O preço do livro é de $157,50 para uma demanda de 75 exemplares. 
 
19. a) O valor do equipamento daqui a 3 anos será $1.400,00. 
 b) O valor total de sua depreciação em 3 anos será $600,00. 
 c) O valor do equipamento será nulo daqui a 10 anos. 
 
20. a) O valor da máquina hoje é $ 6.000,00. 
 b) O seu valor daqui a 5 anos será $ 3.500,00. 
 
21. a) O valor da máquina daqui a 7 anos será $ 9.800,00. 
 b) O valor da máquina será $ 1.800,00 daqui a 12 anos. 
 
22. O valor do equipamento será $ 8.750,00 daqui a 5 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 50 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICONADOS 
 
Muitos problemas de Administração tratam essencialmente da alocação de recursos limitados 
- dinheiro, pessoal, materiais, máquinas, tempo…- tendo em vista maximizar algum índice de 
performance ou minimizar alguma medida de custo. As técnicas matemáticas para planejar tais 
alocações constituem a programação matemática. O caso particular no qual o índice de performance 
ou de custo é uma função linear e as restrições sobre a disponibilidade ou utilização de recursos são 
expressos como equações ou desigualdades lineares, é denominado programação linear. Mais 
especificamente, o problema da programação linear envolve a maximização ou a minimização de 
uma função linear denominada de função objetivo. Para solucionar esses problemas será utilizado 
um processo gráfico (ou geométrico), que é resolvido escrevendo-se as restrições de desigualdade 
como igualdades e determinando, então, um polígono de soluções viáveis. 
 
Teorema: Se existir uma única solução que maximiza ou minimiza uma função objetivo, então essa 
solução deve corresponder a um vértice (ou ponto extremo) do polígono de soluções viáveis. 
Portanto, o valor da função objetivo precisa ser calculado apenas para soluções que correspondam a 
vértices do polígono de soluções. Os passos para a solução são: 
 
1 – Localização da equação principal => máximos e mínimos => objetivos do problema; 
2 – Localização das demais inequações; 
3 – Representação das inequações secundárias no plano cartesiano; 
4 – Localização dos vértices, do polígono solução; 
5 – Substituição dos vértices na equação principal. 
 
Exemplo: Uma empresa fábrica dois tipos de produtos “Fibra” e “Tela”. Cada produto do tipo 
“Fibra” necessita de 5 minutos para o corte e 10 minutos para a montagem; cada produto do tipo 
“Tela” precisa de 8 minutos para o corte e 8 minutos para a montagem. Dispõe-se de 3 horas e 20 
minutos para o corte e 4 horas para a montagem. O lucro é de R$ 10,00 por cada produto do tipo 
“Fibra” e R$ 12,00 por cada produto do tipo “Tela”. Quantos produtos de cada tipo deve a empresa 
fabricar para maximizar o lucro? 
Solução: 
Se a empresa fabricar x quantidades do produto do tipo “Fibra”, seu lucro será de 10x reais. E se a 
empresa fabricar y quantidades do produto tipo “Tela”, seu lucro será de 12y reais. 
 
Por outro lado, se a empresa fabricar x quantidades do produto tipo “Fibra”, ela necessitará de 5x 
minutos para o corte, e 10x minutos para a montagem. 
 
De modo análogo, se a empresa fabricar y quantidades do produto tipo “Tela”, ela necessitará de 8x 
minutos para o corte, e 8y minutos para a montagem. 
 
Então, o tempo gasto para fabricar x produtos do tipo “Fibra” e y produtos do tipo “Tela” será:5x + 8y para o corte 
10x + 8y para a montagem 
 
Essas quantidades devem ser no máximo iguais a 3h20min para o corte e 4h para a montagem. 
Logo, o problema consiste em determinar, a equação principal, o valor máximo da função dada por: 
 
 Lucro máximo = Lmáx = 10x + 12y 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 51 
 
Sabendo-se que: 
 
 Fibra Tela 
 (x) (y) 
1) Corte (min) 5x + 8y ≤ 3h20min = 200min 
2) Montagem (min) 10x + 8y ≤ 4h = 240min 
 
 x  e y  0 
 
 
 
 1) 5x + 8y  200 2) 10x + 8y  240 
 5x + 8y = 200 10x + 8y = 240 
 
 X Y X y 
0 25 0 30 
40 0 24 0 
 
 
 
Para (0,0) em 5x + 8y  200 Para (0,0) em 10x + 8y  240 
0  200 (v) 0  240 (v) 
 
Passo 1. Representando o sistema de desigualdades, obtém-se o conjunto poligonal da figura 
seguinte: 
 
 
 Y 
 30 
 
 25 
 B C 
 20 
 
 15 
 
 10 
 
 5 
 
 0 5 10 15 20 25 30 35 40 X 
 A D 1 
 2 
 
 
 
 
 
 
S 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 52 
 
Passo 2. Determinação dos vértices 
 
A = (0,0) 
B = (0,25) 
C = 1  2 => 5x + 8y = 200 
 10x + 8y = 240 (-1) 
 
 5x + 8y = 200 
 -10x - 8y = -240 
 -5x = -40 
 x = 8 
 
 5x + 8y = 200 
 5.8 + 8y = 200 
 40 + 8y = 200 
 8y = 200 - 40 
 8y = 160 
 
 y = 20 
 
C = (8,20) 
D = (24,0) 
 
Passo 3. Cálculo dos valores nos vértices 
 
 Lucro máximo = Lmáx = 10x + 12y 
 
A = (0,0) => z = 10.0 + 12.0= 0,0 
B = (0,25) => z = 10.0 + 12.25 = 300,00 
C = (8,20) => z = 10.8 + 12.20 = 320,00 
D = (24,0) => z = 10.24+12.0 = 240,00 
Portanto, 
 C = R$ 320,00 
 x = 8 y = 20 
 
Resposta: 
 
A empresa atingirá o Lucro Máximo ao fabricar 8 produtos tipo “Fibra” e 20 produtos tipo “Tela”. 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 53 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
1. Uma empresa pode fabricar dois produtos: Fosco e Transparente. Na fabricação do produto 
“Fosco” a empresa gasta nove horas-homem e três horas-máquina. Na fabricação do produto 
“Transparente” a empresa gasta uma hora-homem e uma hora-máquina. Sabendo-se que a 
empresa dispõe de 18 horas-homem e 12 horas-máquina e ainda que os lucros dos produtos 
são R$ 4,00 e R$ 1,00 respectivamente, quanto deve a empresa fabricar de cada produto 
para obter o maior lucro possível (ou o lucro máximo ou ainda maximizar o lucro)? 
 R.: [ 1 Fosco e 9 Transparentes] 
 
2. Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade 
mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e de proteínas é de 36 unidades por dia. Uma 
pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 
unidades de vitaminas e 6 unidades de proteína. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de 
vitaminas e 6 de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser 
consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo 
possível? Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e cada unidade de ovo custa R$ 2,50. 
 R.: [ 4 unidades de carne e 2 unidades de ovos] 
 
3. Junior deseja fazer um churrasco com carne de boi e carne de frango que custam R$ 15,00 e 
R$ 8,00 o quilo, respectivamente. Junior sabe, por experiência anterior, que não deve 
comprar menos que 120 kg no total, e que a quantidade de carne de boi a ser comprada não 
dever ser inferior a 80 quilos nem superior a 180 quilos. Sabe-se também que a quantidade 
de carne de frango a ser comprada não deve ser inferior a 5 quilos e nem superior a 40 
quilos. Por outro lado, ele pretende que a relação entre as quantidades de carne de boi e de 
frango a 3. Determinar as quantidades de carne de boi e carne de frango a ser comprada de 
modo que o custo seja o menor possível e que as restrições mencionadas sejam satisfeitas. 
 R.: [90kg de carne e 30 kg de frango] 
 
4. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa 
“Esporte” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 
telespectadores, enquanto o programa “Novela” com 10 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o 
patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há 
verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve 
ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? 
 R.: [ 3 vezes esporte e 2 vezes novela, atraindo 110.000 telespectadores] 
 
5. Uma empresa deseja confeccionar camisetas Polo e Regata. A camiseta Polo necessita de 
um minuto para o corte e dois minutos para a embalagem. A camiseta Regata necessita de 
um minuto para o corte e um minuto para a embalagem. Sabendo-se que a empresa dispõe 
de dois minutos para o corte e três minutos para a embalagem. Determine a quantidade 
adequada para a fabricação de cada produto de modo que, o Lucro seja Máximo respeitando 
a função objetiva expressa: Lucro Máximo de 15,00 para a camiseta Polo e R$ 25,00 para a 
camiseta Regata. R.: [1 polo e 1 regata] 
 
6. Uma microempresa tem disponíveis os seguintes tecidos: 16 m² de algodão, 11 m² de seda e 
15 m² de lã. Para confeccionar um terno padrão, são necessários 2 m² de algodão, 1 m² de 
seda e 1 m² de lã. Para um vestido padrão, são necessários 1 m² de algodão, 2 m² de seda e 
3 m² de lã. Se o lucro líquido de um terno é de 300 unidades monetárias e de um vestido de 
500 unidades monetárias, quantas peças de cada tipo a microempresa deve fabricar para ter 
o maior lucro possível? R.: [2 ternos e 7 vestidos] 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 54 
 
7. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: o tipo Baú Large tem 2 m³ de 
espaço refrigerado e 3 m³ de espaço não refrigerado; o tipo Baú Small tem 2 m³ de espaço 
refrigerado e 1 m³ de não refrigerado. O cliente quer transportar produtos que necessitarão 
de 16 m³ de espaço refrigerado e 12 m³ de espaço não refrigerado. A companhia calcula que 
são necessários 1100 litros de combustível para uma viagem com o caminhão Large e 750 
litros para o caminhão Small. Quantas viagens deverão ser feitaspor cada tipo de caminhão 
para que se tenha o menor custo de combustível? 
 R.: [2 com o Baú Large e 6 com o Baú Small] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 55 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BOULOS, P. Pré-Cálculo (Complemento do livro Cálculo Diferencial e Integral). 2.ed. São Paulo: 
Makron Books, 2001. 
 
CASCINO, M. A. G. Apostila de Métodos Quantitativos. São Paulo: Centro Universitário Ítalo 
Brasileiro, 2012 (revisada). 
 
FARIA, J. L. Apostila de Cálculos Aplicados. São Paulo: Centro Universitário Ítalo Brasileiro, 2009. 
 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. Matemática Fundamental: uma 
nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002. 
 
GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 
2005. 
 
GUIDORIZZI, H. L. Matemática para Administração. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 
 
GUIMARÃES, L. M. F. Apostila de Cálculos Aplicados. São Paulo: Centro Universitário Ítalo 
Brasileiro, 2013. 
 
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: Um curso moderno e suas aplicações. 10.ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2010. 
 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D. M.; PÉRIGO, R. Matemática: volume único. 4.ed. São 
Paulo: Atual, 2007. 
 
LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Cálculo com aplicações. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 
 
NOBRE, J. S. M. Apostila de Matemática. São Paulo: Universidade Paulista, 2007. 
 
PITO, R. S. Matemática Aplicada: Administração, Ciências Contábeis e Economia. 1.ed. São 
Paulo: Martinari, 2002. 
 
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. 1.ed. São 
Paulo: Atlas, 2009. 
 
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática para os cursos de Economia, 
Administração e Ciências Contábeis. v.1. 6.ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
 
STERLING, M. J. Álgebra I para leigos. Rio de Janeiro: Alta Books, 2008. 
 
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. 6.ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 56 
 
APÊNDICE: ALGUNS ERROS COMUNS A SEREM EVITADOS 
 
Este texto destina-se a citar alguns erros, que são destacados pelo fato de serem 
comuns. Preste atenção para não cometê-los. 
 
1. Dividir por zero 
Sendo a e b quaisquer números, dizermos que 
c
b
a

 significa dizer que 
cba 
. De modo que 
perguntar "quanto é 2 dividido por zero?" é o mesmo que perguntar "qual é o número que 
multiplicado por zero dá 2?". Obviamente, não existe tal número e então não podemos achar um 
resultado numérico para 
0
2
. 
Dizemos que a divisão 
0
2
 é INDEFINIDA, ou seja, é impossível definir um número que possa ser 
atribuído como o valor de 
0
2
. 
Então: Certo: 
0
a
 Indefinido, operação impossível! 
 Errado: 
a
0
a

 ou 
0
0
a

 
 
2. Confundir a ordem das operações 
 
A ordem das operações nos instrui a elevar a expressão a uma potência antes de realizar a soma ou 
a subtração. Um sinal negativo na frente de um termo se encontra na mesma categoria da subtração 
e, portanto, ele deve ser aplicado por último. Se quisermos que o sinal negativo também seja elevado 
a uma potência, então, devemos colocar o sinal dentro do parênteses junto com o valor. 
 
Então: Certo: -32 = -9 
 Certo: (-3)2 = 9 
 Errado: -32 = 9 
 
 
3. Termo do meio perdido ao escrever (x + a)2 = x2 + a2 
 
Um binômio ao quadrado tem três termos na resposta. O termo deixado de lado, erradamente, é o do 
meio, que vem de (x + a)2 = (x + a).(x + a) = x.x + x.a + a.x + a.a = x2 + 2xa + a2. Ou ainda, usando a 
fórmula correta de um produto notável (x + a)2 = x2 + 2xa + a2. 
 
Então: Certo: (x + a)2 = x2 + 2xa + a2 
 Errado: (x + a)2 = x2 + a2 
 
 
4. Distribuir parte do termo ou sinal multiplicador 
 
Distribuir um número ou sinal negativo por dois ou mais termos nos parênteses pode causar 
problemas se esquecermos de distribuir o valor por cada um dos termos dos parênteses. Os erros 
aparecem quando paramos de multiplicar os termos nos parênteses antes de chegar ao final. 
 
Então: Certo: x - 2(y + z - w) = x - 2y - 2z + 2w 
 Errado: x - 2(y + z - w) = x - 2y + 2z - 2w 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 57 
 
ou então: Certo: -(x + 3) = -x - 3 
 Errado: -(x + 3) = -x + 3 
 
 
5. Dividir frações 
 
Dividir uma fração em vários pedaços menores está certo desde que cada pedaço tenha um termo 
do numerador e todos os termos do denominador. Não podemos dividir o denominador. 
 
Então: Certo: 
ba
y
ba
x
ba
yx






 
 Errado: 
b
y
a
x
ba
yx



 
 
 
6. Separar radicais 
 
Se a expressão dentro do radical tem valores que estão sendo multiplicados ou divididos juntos, 
então o radical pode ser dividido em radicais que multiplicam ou dividem. No entanto, não podemos 
separar adição ou subtração dentro do radical. 
 
Então: Certo: 
ax 
 = 
ax 
 
 Errado: 
ax 
 = 
ax 
 
 
 
7. Inverter expoentes fracionários 
 
Um expoente fracionário tem uma potência no numerador da fração e o radical no denominador. 
Assim, ao escrevermos
x
como um termo com expoente fracionário temos 21xx  . Um expoente 
fracionário indica que há uma raiz envolvida no problema. O radical é sempre o número no 
denominador. 
Então: Certo: 535 3 xx  
 Errado: 355 3 xx  
 
 
8. Multiplicar as bases 
 
Ao multiplicar números com expoentes e mesma base, devemos somar os expoentes e deixar a base 
como está. As bases nunca são multiplicadas. 
 
Então: Certo: 23.24 = 27 
 Errado: 23.24 = 47 
 
 
9. Elevar uma potência a outra potência 
 
Para elevar um valor que tem uma potência a outra potência, multiplique os expoentes para elevar 
todo o termo à outra potência. Não eleve somente o expoente a uma potência - é a base que está 
sendo elevada e não o expoente. 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 58 
 
Então: Certo:   842 xx  
 Errado:   1642 xx  
 
 
10. Transformar frações em números com expoentes negativos 
 
Ao transformar frações em expressões com expoentes negativos, devemos dar um expoente 
negativo para cada um dos fatores do denominador. 
 
Então: Certo: 
211
2
b.a.2
ab2
1 
 
 Errado: 
21
2
b.a.2
ab2
1 
 
 
 
11. Cancelar uma parcela do numerador com uma do denominador em uma fração 
 
Esta é a mais doída de todas as infrações à regra do jogo. Equivale, no futebol, ao carrinho por trás. 
 
Para cancelar algo do numerador com algo do denominador, eles devem aparecer como fatores, e 
não como parcelas. Por exemplo, se você deseja cancelar o x do numerador na primeira fração 
acima, transforme esse x em fator multiplicativo, colocando-o em evidência. 
 
Então: Certo: 
1x3
1
)1x3(1
x
)1x3(x
x
xx3 2




 
 Errado: 
2
2
x3
x
xx3

 
 
 
12. Reduzir ao mesmo denominador e em seguida esquecer o denominador. 
 
Para calcular 
2
1
3
1
x 
, acha-se o mmc entre 3 e 2, que é 6, e daí escreve-se, 
 Certo: 
6
5
6
1.31.2
x 


 
 
Não podemos esquecer o denominador e responder x = 5. 
 
 Errado: x = 5 
 
Bem, na verdade esse erro ocorre mais quando se está resolvendo uma equação, como, por 
exemplo, 
3x21
3
8x
x 


; onde o mmc é 3. Então: 
 
 Certo: 
3
9x6
3
38xx3 


 e, portanto, 
7x14x29x65x4 
 
 
 Matemática Aplicada 
___________________________________________________________________________________________________ 
 59 
 
O erro que estamos querendo evitar é o de esquecer o denominador 3 do lado direito da equação e 
obter: 
 
 Errado: 
4x8x23x25x43x2
3
38xx3


 
 
Conselho: Devemos SEMPRE ESCREVER O DENOMINADOR COMUM dos dois lados da equação, 
e depois, que tirarmos o mmc, efetuamos o cancelamento. A possibilidade de erro é menor! 
 
 
 
 
 
Fontes: 
BOULOS, P. Pré-Cálculo (Complemento do livro Cálculo Diferencial e Integral). 2.ed. São Paulo: 
Makron Books, 2001. 
STERLING, M. J. Álgebra I para leigos. Rio de Janeiro: Alta Books, 2008.