Livro de Física Geral e Experimental II

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FÍSICA GERAL E 
EXPERIMENTAL II
PROF.ª DRA. AUSRA MARÃO
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
SUMÁRIO
AULA 01 
AULA 02 
AULA 03 
AULA 04 
AULA 05 
AULA 06
AULA 07 
AULA 08 
AULA 09 
AULA 10 
AULA 11 
AULA 12
AULA 13 
AULA 14 
AULA 15 
AULA 16
TEMPERATURA E CALOR 4
A TEORIA CINÉTICA DOS GASES 16
AS LEIS DA TERMODINÂMICA 24
CARGAS ELÉTRICAS E A LEI DE COULOMB 32
CAMPOS ELÉTRICOS 40
LEI DE GAUSS 51
POTENCIAL ELÉTRICO 57
CAPACITÂNCIA 65
CORRENTE E RESISTÊNCIA 73
CIRCUITOS ELÉTRICOS 82
CAMPOS MAGNÉTICOS 93
INDUÇÃO E INDUTÂNCIA 102
OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA 109
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL 119
ESPELHOS E LENTES 125
INTERFERÊNCIA E DIFRAÇÃO 136
INTRODUÇÃO
Olá, Aluno(a)!
Seja muito bem-vindo(a)!
A Física se encontra em nosso cotidiano de todas as maneiras - difração dos 
raios de luz, efeitos da umidade de ar, energia, movimento, força aplicada nas 
vigas, potência de um motor, rendimento de uma geladeira, fenômenos térmicos 
(mudanças de temperatura), precipitação de chuvas etc.
Em Física, como em toda ciência, qualquer acontecimento ou ocorrência é cha-
mado fenômeno. A Física também está na base de toda engenharia e tecnologia. 
Sem entender as leis básicas da Natureza, interpretados pela Física, ninguém pode 
construir dispositivos práticos eficientes. Enfim, a Física está em tudo!
O presente livro pretende ser um auxiliar de estudo aos que queiram exercitar 
os seus conhecimentos dos temas da física aqui focados, designadamente calo-
rimetria e transferências de calor, eletromagnetismo e a ótica.
Um ótimo trabalho a todos!
TEMPERATURA E CALOR
AULA 01
5
Temperatura
Um dos principais ramos da física e da engenharia é a termodinâmica. A termo-
dinâmica é uma área que estuda as transferências de energia. Busca compreen-
der as relações entre calor, energia e trabalho, analisando quantidades de calor 
trocadas e os trabalhos realizados em um processo físico.
A temperatura é uma das grandezas fundamentais do SI e está relacionada às nos-
sas sensações de quente e frio. As moléculas constituintes da matéria estão sempre 
em movimento, denominado agitação térmica. A energia cinética associada a esse 
movimento é denominada energia térmica. Também podemos considerar a tempera-
tura de um corpo como a medida do grau de agitação de suas moléculas (Figura 1.1).
Figura 1.1. As moléculas da água quente se agitam mais intensamente
A situação final de equilíbrio, caracterizada pela igualdade das temperaturas 
dos corpos, constitui o equilíbrio térmico. Assim, dois corpos em equilíbrio térmico 
possuem obrigatoriamente temperaturas iguais. Uma vez alcançada essa situação, 
não há mais transferência de calor entre eles.
Se dois corpos A e B estão separadamente em equilíbrio térmico com um ter-
ceiro corpo T, A e B estão em equilíbrio térmico entre si (Figura 1.2). Em uma lin-
guagem menos formal, podemos falar que todo corpo possui uma propriedade 
chamada de temperatura. Quando dois corpos estão em equilíbrio térmico, suas 
temperaturas são iguais e vice-versa.
Figura 1.2. (a) O corpo T (um termômetro) e o corpo A estão em equilíbrio térmico. (b) O corpo 
T (um termômetro) e o corpo B estão em equilíbrio térmico. (c) O corpo A e o corpo B também 
estão em equilíbrio térmico. O corpo S é um isolante térmico.
6
Na Figura 1.2. (a) o corpo T (um termômetro) e o corpo A estão em equilíbrio. 
(O corpo S é um isolante térmico.) Em (b) o corpo T e o corpo B também estão em 
equilíbrio térmico e produzem a mesma leitura do termômetro. Em (c), se (a) e (b) 
são verdadeiros, a lei zero da termodinâmica estabelece que o corpo A e o corpo 
B também estão em equilíbrio térmico.
No SI, a temperatura é medida na escala Kelvin, que se baseia no ponto triplo 
da água (valor de temperatura e pressão onde as fases sólida, líquida e gasosa coe-
xistem). Esta temperatura padrão é 273,16 K (Figura 1.3). Não há limite superior na 
escala de temperatura, mas há um limite inferior. O limite inferior dá-se em T=0 K.
Figura 1.3. A Escala Kelvin de temperatura.
A escala Kelvin é usada principalmente pelos cientistas, mas em quase todos 
os países do mundo, a escala Celsius é a escala mais usado no dia a dia. As tem-
peraturas na escala Celsius são medidas em graus e o grau Celsius tem o mesmo 
valor numérico que o zero absoluto. Entretanto, o zero da escala Celsius está em 
um valor mais conveniente que o zero absoluto. Se 𝑇𝑇𝐶𝐶 representa uma tempera-
tura na escala Celsius e 𝑇𝑇𝐾𝐾 a mesma temperatura na escala Kelvin, temos que a 
escala Celsius de temperatura é definida através da equação:
(1.1)
A escala Fahrenheit, a mais comum nos Estados Unidos, utiliza um grau menor 
que o grau Celsius e um zero de temperatura diferente. A relação entre as escalas 
Celsius e Fahrenheit é a seguinte:
(1.2)
𝑇𝑇𝐶𝐶 = 𝑇𝑇𝐾𝐾 − 273,15°
𝑇𝑇𝐹𝐹 =
9
5 𝑇𝑇𝐶𝐶 + 32°
7
Em que 𝑇𝑇𝐹𝐹 é a temperatura em grau Fahrenheit.
Figura 1.4. Comparação entre as escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit de temperatura.
Dilatação térmica
A dilatação térmica dos materiais com o aumento de temperatura deve ser 
levada em conta em muitas situações da vida prática. As consequências das varia-
ções de temperatura são sentidas principalmente por grandes obras da constru-
ção civil. Por isso, sempre que uma ponte, viaduto ou prédio forem construídos, 
a dilatação dos corpos deverá ser considerada. Para que a dilatação não cause 
destruição, os engenheiros utilizam as juntas de dilatação, que constituem um 
pequeno espaço entre blocos de concreto ou ferro que é preenchido no caso de 
aumento de temperatura, o que impede danos às construções.
Figura 1.5. A dilatação térmica.
O aumento da temperatura faz que os átomos se afastem mais um dos outros, 
atingindo um novo ponto de equilíbrio com as forças elásticas interatômicas que 
mantêm os átomos unidos em um sólido (Figura 1.5). Todos os objetos variam de 
tamanho quando a temperatura varia.
8
Figura 1.6. A dilatação linear.
Se a temperatura de uma barra metálica de comprimento aumenta de um valor 
∆𝑇𝑇, o comprimento aumenta de valor:
(1.3)
Onde ∆𝐿𝐿 – variação do comprimento; 
 L – comprimento inicial;
 ∆𝑇𝑇 – variação de temperatura;
 a – coeficiente de dilatação linear.
A unidade do coeficiente a é 𝐶𝐶°−1 ou 𝐾𝐾−1. Embora o coeficiente varie ligeira-
mente para um dado material (Tabela 1.1).
Tabela 1.1. Alguns coeficientes de dilatação linear.
Substância a(10-6/Co) Substância a(10-6/Co)
Gelo (a 0oC) 51 Aço 11
Chumbo 29 Vidro (comum) 9
Alumínio 23 Vidro (Pyrex) 3,2
Latão 19 Diamante 1,2
Cobre 17 Invarb 0,7
Concreto 12 Quartzo fundido 0,5
Se todas as dimensões de um sólido aumentam com a temperatura, é evidente 
que o volume do sólido ou líquido também aumenta; temos, então, uma dilatação 
volumétrica (Figura 1.7).
∆𝐿𝐿 = 𝐿𝐿0𝛼𝛼∆𝑇𝑇
9
Figura 1.7. A dilatação volumétrica.
O aumento do volume correspondente é:
(1.4)
onde ∆𝑉𝑉 – variação do volume;
 𝑉𝑉 – volume inicial;
 ∆𝑇𝑇 – variação de temperatura;
 𝛾𝛾 – coeficiente de dilatação volumétrica.
Os coeficientes de dilatação volumétrica e dilatação linear de um sólido estão 
relacionados através da equação:
(1.5)Calor
O Calor é a energia transferida de um sistema para o ambiente ou vice-versa 
devido a uma diferença de temperatura (Figura 1.8). O calor é energia térmica em 
trânsito entre corpos a diferentes temperaturas. O calor pode ser medido em 
joule (J), calorias (cal), quilocalorias (Cal ou kcal) ou British termal units (Btu), onde:
(a)
Quando a temperatura do 
sistema é maior, o sistema doa 
calor ao ambiente.
(b)
Quando a temperatura 
do sistema é igual, não há 
transferência de energia (calor) 
entre o sistema e ambiente.
(c)
Quando a temperatura do sistema 
é menor, o sistema recebe calor do 
ambiente.
Figura 1.8. A transferência de energia entre o sistema e o ambiente.
∆𝑉𝑉 = 𝑉𝑉0𝛾𝛾∆𝑇𝑇
𝛾𝛾 = 3𝛼𝛼
1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 3,968 × 10−3𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4,1868 𝐽𝐽
10
O calor se propaga espontaneamente de um corpo de maior temperatura para 
outro, de menor temperatura (Figura 1.8).
A quantidade de calor recebida (ou cedida) por um corpo é diretamente pro-
porcional à sua massa m e a variação de temperatura sofrida pelo corpo.
Se o objeto tem massa:
(1.6)
onde Q – quantidade de calor;
 ∆𝑇𝑇 – variação de temperatura;
 c – calor específico do material;
 m – massa.
Tabela 1.2. Calor específico de algumas substâncias.
O calor absorvido por um material pode mudar o estado físico do material, fa-
zendo-o passar, por exemplo, do estado sólido para o estado líquido ou do estado 
líquido para o estado gasoso (Figura 1.9). A quantidade de energia por unidade de 
massa necessária para mudar o estado (mas não a temperatura) de um material 
particular é chamada de calor de transformação. 
𝑄𝑄 = 𝑐𝑐𝑐𝑐∆𝑇𝑇
11
Figura 1.9. Mudança do estado físico.
A propagação do calor pode ocorrer por três processos diferentes: condução, 
convecção e irradiação (Figura 1.10).
Figura 3.10. Transferência de calor.
Para os três modos de propagação, definimos a grandeza fluxo de calor. Em regime 
estacionário, o fluxo de calor por condução num material homogêneo é diretamente 
proporcional à área da seção transversal atravessada e a diferença de temperatura entre 
os eixos extremos, e inversamente proporcional à espessura da camada considerada.
(1.7)
onde Φ – fluxo de calor;
 Q – calor;
 Δ𝑡𝑡 – intervalo de tempo;
 k – condutividade térmica;
 A – seção transversal;
 L – espessura;
 ΔT – diferença de temperatura.
Φ = 𝑄𝑄Δ𝑡𝑡 = 𝑘𝑘𝑘𝑘
ΔT
𝐿𝐿
12
Tabela 1.3. Algumas condutividades térmicas.
A convecção consiste no transporte de energia térmica de uma região para 
outra por meio do transporte de matéria, o que só pode ocorrer em fluidos líqui-
dos e gases). A convecção acontece quando diferenças de temperatura provocam 
uma transferência de energia associada ao movimento em um fluido.
A transmissão de energia por meio de ondas eletromagnéticas (ondas de rádio, 
luz visível e raios ultravioletas, entre outros) é denominada irradiação ou radiação. 
Todos os objetos estão irradiando energia continuamente. No equilíbrio térmico, 
a potência irradiada ou emitida por um objeto é igual à potência que ele absorve, 
fora de radiação, dos objetos vizinhos.
Isto está 
na rede
Termografia em Edifícios
https://youtu.be/h4dLPDiD_fI
 
Substância k(W/m . K)
Metais
Aço inoxidável 14
Chumbo 35
Ferro 67
Latão 109
Alumínio 235
Cobre 401
Prata 428
Gases
Ar (seco) 0,026
Hélio 0,15
Hidrogênio 0,18
Materiais de Construção
Espuma de poliuretano 0,024
Lã de pedra 0,043
Fibra de vidro 0048
Pinho 0,11
Vidro de janela 1,0
13
Exemplos
Exemplo 1.1. Nos adultos saudáveis, o valor da temperatura oral (debaixo da 
língua) está entre 36,7 e 37,0 °C. Calcule as temperaturas e o intervalo em K e em °F.
Solução:
A indicação absoluta é 273,16 unidades maior que a indicação Celsius: 
𝑇𝑇𝐾𝐾 = 𝑇𝑇𝐶𝐶 + 273,16°, assim:
Agora podemos calcular o intervalo entre as temperaturas que é 
Δ𝑇𝑇𝐾𝐾 = 𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) − 𝑇𝑇𝐾𝐾 36,7 = 310,16 − 309,86 = 0,3 𝐾𝐾
Aplicando equação 𝑇𝑇𝐹𝐹 =
9
5 𝑇𝑇𝐶𝐶 + 32° , podemos calcular as temperaturas em 
Fahrenheit.
O intervalo é Δ𝑇𝑇𝐹𝐹 = 𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) − 𝑇𝑇𝐹𝐹 36,7 = 98,6 − 98,06 = 0,54 °𝐹𝐹
Resposta: 𝑇𝑇𝐾𝐾(36,7) = 309,86 𝐾𝐾, 𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) = 310,16 𝐾𝐾, Δ𝑇𝑇𝐾𝐾 = 0,3 𝐾𝐾, 𝑇𝑇𝐹𝐹(36,7) = 98,06 °𝐹𝐹,
Exemplo 1.2. Uma barra apresenta a 10 °C comprimento de 15 m, sendo feita 
de latão cujo coeficiente de dilatação linear médio vale 19 � 10−6 °𝐶𝐶−1. A barra é 
aquecida até 20 °C. Determine a dilatação ocorrida e o comprimento final da barra.
Solução:
Pela lei da dilatação linear ∆𝐿𝐿 = 𝐿𝐿0𝛼𝛼∆𝑇𝑇 , sendo dados 𝛼𝛼 = 19 � 10−6 °𝐶𝐶−1 , 
𝐿𝐿0 = 15 𝑚𝑚 e a variação de temperatura ∆𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 = 20 − 10 = 10 °C, resulta:
𝑇𝑇𝐾𝐾(36,7) = 36,7 + 273,16 = 309,86 𝐾𝐾
𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) = 37,0 + 273,16 = 310,16 𝐾𝐾
𝑇𝑇𝐹𝐹(36,7) =
9
5 · 36,7 + 32° = 98,06 °𝐹𝐹
𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) =
9
5 · 37,0 + 32° = 98,6 °𝐹𝐹
∆𝐿𝐿 = 15 · 19 � 10−6 � 10 = 2,85 � 10−3 𝑚𝑚 = 2,85 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) = 98,6 °𝐹𝐹, Δ𝑇𝑇𝐹𝐹 = 0,54 °𝐹𝐹
14
O comprimento final da barra L é a soma entre o comprimento inicial e a dila-
tação ocorrida:
Resposta: ∆𝐿𝐿 = 2,85 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝐿𝐿 = 10,00285 𝑚𝑚
Exemplo 1.3. O coeficiente de dilatação linear médio de um sólido homogê-
neo é 12,2 � 10−6 °𝐶𝐶−1. Um cubo desse material tem volume de 20 𝑐𝑐𝑚𝑚3 a 10 °𝐶𝐶. 
Determine o aumento de volume sofrido pelo cubo quando sua temperatura se 
eleva para 40 °𝐶𝐶 .
Solução:
O coeficiente de dilatação volumétrica é o triplo do coeficiente de dilatação 
linear: 𝛾𝛾 = 3𝛼𝛼 . Como 𝛼𝛼 = 12,2 � 10−6 °𝐶𝐶−1, temos:
O volume inicial é 𝑉𝑉0 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚3 ; a variação de temperatura vale:
Aplicando a fórmula da dilatação volumétrica, obtemos:
Resposta: 𝛾𝛾 = 36,6 � 10−6 °𝐶𝐶−1, ∆𝑉𝑉 = 0,022 𝑐𝑐𝑚𝑚3
𝐿𝐿 = 𝐿𝐿0 + ∆𝐿𝐿
𝐿𝐿 = 10 + 2,85 � 10−3 = 10,00285 𝑚𝑚
𝛾𝛾 = 3 · 12,2 � 10−6 = 36,6 � 10−6 °𝐶𝐶−1
∆𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 = 40 − 10 = 30 °C
∆𝑉𝑉 = 𝑉𝑉0𝛾𝛾∆𝑇𝑇
∆𝑉𝑉 = 36,6 � 10−6 · 20 · 30 = 0,022 𝑐𝑐𝑚𝑚3
13
Exemplos
Exemplo 1.1. Nos adultos saudáveis, o valor da temperatura oral (debaixo da 
língua) está entre 36,7 e 37,0 °C. Calcule as temperaturas e o intervalo em K e em °F.
Solução:
A indicação absoluta é 273,16 unidades maior que a indicação Celsius: 
𝑇𝑇𝐾𝐾 = 𝑇𝑇𝐶𝐶 + 273,16°, assim:
Agora podemos calcular o intervalo entre as temperaturas que é 
Δ𝑇𝑇𝐾𝐾 = 𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) − 𝑇𝑇𝐾𝐾 36,7 = 310,16 − 309,86 = 0,3 𝐾𝐾
Aplicando equação 𝑇𝑇𝐹𝐹 =
9
5 𝑇𝑇𝐶𝐶 + 32° , podemos calcular as temperaturas em 
Fahrenheit.
O intervalo é Δ𝑇𝑇𝐹𝐹 = 𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) − 𝑇𝑇𝐹𝐹 36,7 = 98,6 − 98,06 = 0,54 °𝐹𝐹
Resposta: 𝑇𝑇𝐾𝐾(36,7) = 309,86 𝐾𝐾, 𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) = 310,16 𝐾𝐾, Δ𝑇𝑇𝐾𝐾 = 0,3 𝐾𝐾, 𝑇𝑇𝐹𝐹(36,7) = 98,06 °𝐹𝐹,
Exemplo 1.2. Uma barra apresenta a 10 °C comprimento de 15 m, sendo feita 
de latão cujo coeficiente de dilatação linear médio vale 19 � 10−6 °𝐶𝐶−1. A barra é 
aquecida até 20 °C. Determine a dilatação ocorrida e o comprimento final da barra.
Solução:
Pela lei da dilatação linear ∆𝐿𝐿 = 𝐿𝐿0𝛼𝛼∆𝑇𝑇 , sendo dados 𝛼𝛼 = 19 � 10−6 °𝐶𝐶−1 , 
𝐿𝐿0 = 15 𝑚𝑚 e a variação de temperatura ∆𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 = 20 − 10 = 10 °C, resulta:
𝑇𝑇𝐾𝐾(36,7) = 36,7 + 273,16 = 309,86 𝐾𝐾
𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) = 37,0 + 273,16 = 310,16 𝐾𝐾
𝑇𝑇𝐹𝐹(36,7) =
9
5 · 36,7 + 32° = 98,06 °𝐹𝐹
𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) =
9
5 · 37,0 + 32° = 98,6 °𝐹𝐹
∆𝐿𝐿 = 15 · 19 � 10−6 � 10 = 2,85 � 10−3 𝑚𝑚 = 2,85 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) = 98,6 °𝐹𝐹, Δ𝑇𝑇𝐹𝐹 = 0,54 °𝐹𝐹
13
Exemplos
Exemplo 1.1. Nos adultos saudáveis, o valor da temperatura oral (debaixo da 
língua) está entre 36,7 e 37,0 °C. Calcule as temperaturas e o intervalo em K e em °F.
Solução:
A indicação absoluta é 273,16 unidades maior que a indicação Celsius: 
𝑇𝑇𝐾𝐾 = 𝑇𝑇𝐶𝐶 + 273,16°, assim:
Agora podemos calcular o intervalo entre as temperaturas que é 
Δ𝑇𝑇𝐾𝐾 = 𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) − 𝑇𝑇𝐾𝐾 36,7 = 310,16 − 309,86 = 0,3 𝐾𝐾
Aplicando equação 𝑇𝑇𝐹𝐹 =
9
5 𝑇𝑇𝐶𝐶 + 32° , podemos calcular as temperaturas em 
Fahrenheit.
O intervalo é Δ𝑇𝑇𝐹𝐹= 𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) − 𝑇𝑇𝐹𝐹 36,7 = 98,6 − 98,06 = 0,54 °𝐹𝐹
Resposta: 𝑇𝑇𝐾𝐾(36,7) = 309,86 𝐾𝐾, 𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) = 310,16 𝐾𝐾, Δ𝑇𝑇𝐾𝐾 = 0,3 𝐾𝐾, 𝑇𝑇𝐹𝐹(36,7) = 98,06 °𝐹𝐹,
Exemplo 1.2. Uma barra apresenta a 10 °C comprimento de 15 m, sendo feita 
de latão cujo coeficiente de dilatação linear médio vale 19 � 10−6 °𝐶𝐶−1. A barra é 
aquecida até 20 °C. Determine a dilatação ocorrida e o comprimento final da barra.
Solução:
Pela lei da dilatação linear ∆𝐿𝐿 = 𝐿𝐿0𝛼𝛼∆𝑇𝑇 , sendo dados 𝛼𝛼 = 19 � 10−6 °𝐶𝐶−1 , 
𝐿𝐿0 = 15 𝑚𝑚 e a variação de temperatura ∆𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 = 20 − 10 = 10 °C, resulta:
𝑇𝑇𝐾𝐾(36,7) = 36,7 + 273,16 = 309,86 𝐾𝐾
𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) = 37,0 + 273,16 = 310,16 𝐾𝐾
𝑇𝑇𝐹𝐹(36,7) =
9
5 · 36,7 + 32° = 98,06 °𝐹𝐹
𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) =
9
5 · 37,0 + 32° = 98,6 °𝐹𝐹
∆𝐿𝐿 = 15 · 19 � 10−6 � 10 = 2,85 � 10−3 𝑚𝑚 = 2,85 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) = 98,6 °𝐹𝐹, Δ𝑇𝑇𝐹𝐹 = 0,54 °𝐹𝐹
13
Exemplos
Exemplo 1.1. Nos adultos saudáveis, o valor da temperatura oral (debaixo da 
língua) está entre 36,7 e 37,0 °C. Calcule as temperaturas e o intervalo em K e em °F.
Solução:
A indicação absoluta é 273,16 unidades maior que a indicação Celsius: 
𝑇𝑇𝐾𝐾 = 𝑇𝑇𝐶𝐶 + 273,16°, assim:
Agora podemos calcular o intervalo entre as temperaturas que é 
Δ𝑇𝑇𝐾𝐾 = 𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) − 𝑇𝑇𝐾𝐾 36,7 = 310,16 − 309,86 = 0,3 𝐾𝐾
Aplicando equação 𝑇𝑇𝐹𝐹 =
9
5 𝑇𝑇𝐶𝐶 + 32° , podemos calcular as temperaturas em 
Fahrenheit.
O intervalo é Δ𝑇𝑇𝐹𝐹 = 𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) − 𝑇𝑇𝐹𝐹 36,7 = 98,6 − 98,06 = 0,54 °𝐹𝐹
Resposta: 𝑇𝑇𝐾𝐾(36,7) = 309,86 𝐾𝐾, 𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) = 310,16 𝐾𝐾, Δ𝑇𝑇𝐾𝐾 = 0,3 𝐾𝐾, 𝑇𝑇𝐹𝐹(36,7) = 98,06 °𝐹𝐹,
Exemplo 1.2. Uma barra apresenta a 10 °C comprimento de 15 m, sendo feita 
de latão cujo coeficiente de dilatação linear médio vale 19 � 10−6 °𝐶𝐶−1. A barra é 
aquecida até 20 °C. Determine a dilatação ocorrida e o comprimento final da barra.
Solução:
Pela lei da dilatação linear ∆𝐿𝐿 = 𝐿𝐿0𝛼𝛼∆𝑇𝑇 , sendo dados 𝛼𝛼 = 19 � 10−6 °𝐶𝐶−1 , 
𝐿𝐿0 = 15 𝑚𝑚 e a variação de temperatura ∆𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 = 20 − 10 = 10 °C, resulta:
𝑇𝑇𝐾𝐾(36,7) = 36,7 + 273,16 = 309,86 𝐾𝐾
𝑇𝑇𝐾𝐾(37,0) = 37,0 + 273,16 = 310,16 𝐾𝐾
𝑇𝑇𝐹𝐹(36,7) =
9
5 · 36,7 + 32° = 98,06 °𝐹𝐹
𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) =
9
5 · 37,0 + 32° = 98,6 °𝐹𝐹
∆𝐿𝐿 = 15 · 19 � 10−6 � 10 = 2,85 � 10−3 𝑚𝑚 = 2,85 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑇𝑇𝐹𝐹(37,0) = 98,6 °𝐹𝐹, Δ𝑇𝑇𝐹𝐹 = 0,54 °𝐹𝐹
15
Exemplo 1.4. Um corpo de massa 200 g é constituído por uma substância de 
calor específico 0,4 cal/g°C. Determine a quantidade de calor que o corpo deve 
receber para que sua temperatura varie de 5 °C para 35 °C e que quantidade de 
calor deve ceder para que sua temperatura diminua de 15 °C.
Solução:
Para a temperatura aumentar de 𝑇𝑇𝑖𝑖 = 5 °𝐶𝐶 para 𝑇𝑇𝑓𝑓 = 35 °𝐶𝐶 (𝑇𝑇𝑓𝑓 > 𝑇𝑇𝑖𝑖) , o corpo 
deve receber calor (𝑄𝑄 > 0):
Substituindo esse valor (∆𝑇𝑇 = 30°𝐶𝐶) e os demais dados (𝑚𝑚 = 200 𝑔𝑔, 𝑐𝑐 = 0,4 cal/g°C ) 
na equação fundamental da Calometria 𝑄𝑄 = 𝑚𝑚 � 𝑐𝑐 � ∆𝑇𝑇, obtemos:
Para a temperatura diminuir (𝑇𝑇𝑓𝑓 < 𝑇𝑇𝑖𝑖 ), o corpo deve ceder calor (𝑄𝑄 < 0).
Sendo ∆𝑇𝑇 = −15°𝐶𝐶, 𝑚𝑚 = 200 𝑔𝑔 e 𝑐𝑐 = 0,4 cal/g°C , temos:
O sinal negativo indica calor cedido.
Resposta: 𝑄𝑄>0 = 2400 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑄𝑄<0 = −1200 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
∆𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑓𝑓 − 𝑇𝑇𝑖𝑖 = 35 − 5 = 30°𝐶𝐶
𝑄𝑄>0 = 200 � 0,4 � 30 = 2400 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑄𝑄<0 = 200 � 0,4 � −15 = −1200 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
16
A TEORIA CINÉTICA DOS 
GASES
AULA 02
17
As transformações gasosas
A teoria cinética dos gases relaciona volume, pressão e temperatura de um gás 
ao movimento dos átomos. A teoria cinética dos gases tem muitas aplicações 
práticas como por exemplo o motor a vapor, a geração da energia elétrica numa 
usina termoelétrica, o balão de ar quente e outros.
Figura 2.1. Gás ideal e gás real.
Gás ideal ou perfeito é um gás hipotético, isto é, um modelo, definido para 
que as grandezas que o caracterizam possam ser relacionadas por expressões 
matemáticas simples.
O estado de um gás é caracterizado pelos valores assumidos por três grande-
zas, o volume, a pressão e a temperatura, que constituem as variáveis de estado. 
Certa quantidade de gás sofre uma transformação de estado quando se modi-
ficam ao menos duas das variáveis de estado. As transformações básicas são: 
isocórica, isobárica e transformação isotérmica.
Uma transformação gasosa na qual a pressão e a temperatura variam e o vo-
lume é mantido constante é chamada transformação isocórica.
Figura 2.2. Transformação isocórica.
18
Na Figura 2.2. o êmbolo é travado para que o volume V se mantenha constante.
Considere certa massa de um gás ideal que ocupa inicialmente um volume V, e 
apresenta pressão 𝑝𝑝1 e temperatura 𝑇𝑇1 . Se ele for aquecido até uma temperatura 
𝑇𝑇2 e seu volume for mantido constante, sua pressão se eleva para um vapor 𝑝𝑝2.
(2.1)
onde 𝑝𝑝1 – pressão inicial;
 𝑇𝑇1 – temperatura inicial;
 𝑝𝑝2 – pressão final;
 𝑇𝑇2 – temperatura final.
O volume constante, a pressão e a temperatura absoluta de um gás ideal são 
diretamente proporcionais.
Uma transformação gasosa na qual o volume e a temperatura variam e a pres-
são é mantida constante é chamada transformação isobárica.
Figura 2.3. Transformação isobárica.
Submetendo certa massa de gás ideal ao processo experimental da Figura 2.3., 
no qual a pressão 𝑝𝑝 se mantém constante, verifica-se que, quando a temperatura 
absoluta aumenta de 𝑇𝑇1 para 𝑇𝑇2, o volume aumenta 𝑉𝑉1 para 𝑉𝑉2 (Figura 2.3).
(2.2)
onde 𝑉𝑉1 – volume inicial;
 𝑇𝑇1 – temperatura inicial;
 𝑉𝑉2 – volume final;
 𝑇𝑇2 – temperatura final.
𝑝𝑝1
𝑇𝑇1
=
𝑝𝑝2
𝑇𝑇2
𝑉𝑉1
𝑇𝑇1
=
𝑉𝑉2
𝑇𝑇2
19
Sob pressão constante, o volume e a temperatura absoluta de um gás são 
diretamente proporcionais.
Uma transformação gasosa na qual a pressão e o volume variam e a tempe-
ratura é mantida constante é chamada transformação isotérmica.
Figura 2.4. Transformação isotérmica.
Se mantivemos certa massa de gás ideal em temperatura constante T, verifi-
camos experimentalmente que, se o volume for reduzido de um valor inicial 𝑉𝑉1 
para um valor final 𝑉𝑉2, a pressão aumenta do valor inicial 𝑝𝑝1 para o valor final 𝑝𝑝2 
(Figura 2.4), de acordo com a fórmula:
(2.3)
onde 𝑉𝑉1 – volume inicial;
 𝑝𝑝1 – pressão inicial;
 𝑉𝑉2 – volume final;
 𝑝𝑝2 – pressão final.
A pressão e o volume de um gás ideal, mantido em temperatura constante, 
são inversamente proporcionais.
Lei dos gases ideais
As variáveis de estado de um gás ideal (p, V e T) estão relacionadas com a 
quantidade de gás. Um gás ideal é um gás para o qual a pressão, o volume e a 
temperatura estão relacionados através da equação:
(2.4)
𝑝𝑝1𝑉𝑉1 = 𝑝𝑝2 𝑉𝑉2
𝑝𝑝𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
20
onde n – o número de mols do gás;
 p – pressão;
 V – volume;
 T – temperatura;
 R – constante dos gases ideais 𝑅𝑅 = 0,082 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎�𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚𝑙𝑙�𝐾𝐾 ou 𝑅𝑅 = 8,314
𝐽𝐽
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑙𝑙�𝐾𝐾
Considerando dois estados distintos de uma mesma massa gasosa temos uma 
representação algébrica da lei geral dos gases perfeitos:
(2.5)
Observe que, da lei geral dos gases perfeitos, podemos chegar às fórmulas das 
transformações isobárica, isocórica e isotérmica que originalmente foram obtidas 
por meio de experiências.
Se 𝑉𝑉1 = 𝑉𝑉2 (transformação isocórica): 
𝑝𝑝1
𝑇𝑇1
=
𝑝𝑝2
𝑇𝑇2
Se 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝2 (transformação isobárica): 𝑉𝑉1𝑇𝑇1 =
𝑉𝑉2
𝑇𝑇2
Se 𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇2 (transformação isotérmica): 𝑝𝑝1𝑉𝑉1 = 𝑝𝑝2𝑉𝑉2
Exemplos
Exemplo 2.1. O volume ocupado por certa massa de um gás ideal varia com a 
temperatura absoluta de acordo com a tabela. Que tipo de transformação o gás 
está sofrendo? Construa um gráfico com os valores da tabela, colocando o volu-
me em ordenadas e a temperatura absoluta em abscissas. Determine o volume 
correspondente à temperatura de 800 K.
V (𝑚𝑚3) 1,0 1,5 2,5 3,5 6,5
T (K) 160 240 400 560 1040
Solução:
Perceba que a relação entrevolume (V) e temperatura (T) é a mesma para 
todos os valores da tabela:
𝑝𝑝1𝑉𝑉1
𝑇𝑇1
=
𝑝𝑝2𝑉𝑉2
𝑇𝑇2
𝑉𝑉
𝑇𝑇 =
1
160 =
1,5
240 =
2,5
400 = 6,25 � 10
−3 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
21
Portanto, o gás está sofrendo uma transformação isobárica, isto é, a pressão 
se mantém constante.
Lançando os valores no diagrama 𝑉𝑉 × 𝑇𝑇, obtemos o gráfico:
Figura 2.5. Solução do exemplo 2.1.
Tratando-se de uma transformação isobárica e aplicando a equação 𝑉𝑉1
𝑇𝑇1
=
𝑉𝑉2
𝑇𝑇2
 po-
demos determinar o volume correspondente a temperatura de 𝑇𝑇2 = 800 𝐾𝐾 . 
Substituindo os valores 𝑉𝑉1 e 𝑇𝑇1 com qualquer ponto do gráfico ou tabela, por 
exemplo, quando 𝑉𝑉1 = 1 𝑚𝑚3, 𝑇𝑇1 = 160 𝐾𝐾, temos:
Resposta: Transformação isobárica, 𝑉𝑉2 = 5 𝑚𝑚3
Exemplo 2.2. O gráfico representa uma transformação isotérmica de certa 
quantidade de gás ideal e três estados intermediários A, B e C dessa massa gaso-
sa. Usando os dados apresentados, determine a pressão correspondente ao es-
tado B e o volume correspondente ao estado C.
Figura 2.6. Exemplo 2.2.
1
160 =
𝑉𝑉2
800
𝑉𝑉2 =
1 � 800
160 = 5 𝑚𝑚
3
22
Solução:
Tratando-se de uma transformação isotérmica, vale a equação 𝑝𝑝𝐴𝐴𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑝𝑝𝐵𝐵𝑉𝑉𝐵𝐵, isto 
é, o produto da pressão 𝑝𝑝 pelo volume V permanece constante durante o processo. 
Então substituindo os valores dados no gráfico (𝑝𝑝𝐴𝐴 = 4,0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑉𝑉𝐴𝐴 = 0,10 𝑎𝑎3 e 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 0,20 𝑎𝑎3), 
temos:
Observe que a pressão se reduz à metade do valor inicial e o volume correspon-
dente dobra, o que se justifica pelo fato de que pressão e volume são grandezas 
inversamente proporcionais.
Aplicando-se novamente a equação da transformação isotérmica entre os es-
tados A e C, teremos: 𝑝𝑝𝐴𝐴𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑝𝑝𝐶𝐶𝑉𝑉𝐶𝐶
A pressão em C vale:𝑝𝑝𝐶𝐶 = 1,0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 . Substituindo:
Observe novamente a proporcionalidade inversa entre a pressão e o volume.
Resposta: 𝑝𝑝𝐵𝐵 = 2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑉𝑉𝐶𝐶 = 0,40 𝑎𝑎3
Exemplo 2.3. Um mol de certo gás ideal exerce a pressão de 1 atm a 0 °C. Sen-
do a constante universal dos gases ideais 𝑅𝑅 = 0,082
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑙𝑙
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑙𝑙 � 𝐾𝐾
, determine o volume 
ocupado por esse gás. 
Solução:
São dados 𝑝𝑝 = 1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑛𝑛 = 1 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑙𝑙, 𝑅𝑅 = 0,082 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎�𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚𝑙𝑙�𝐾𝐾 e temperatura em kelvins 
𝑇𝑇 = 0°C = 0+273,16 =273,16 K
Substituindo esses valores na equação 𝑝𝑝𝑉𝑉 = 𝑛𝑛𝑅𝑅𝑇𝑇:
Resposta: 𝑉𝑉 = 22,4 𝑙𝑙
4,0 � 0,1 = 𝑝𝑝𝐵𝐵 � 0,20
𝑝𝑝𝐵𝐵 =
4,0 � 0,1
0,2 = 2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
4,0 � 0,1 = 1,0 � 𝑉𝑉𝐶𝐶
𝑉𝑉𝐶𝐶 =
4,0 � 0,1
1,0 = 0,40 𝑎𝑎
3
1 � 𝑉𝑉 = 1 � 0,082 � 273,16
𝑉𝑉 = 22,4 𝑙𝑙
23
Exemplo 2.4. Certa massa de gás ideal, sob pressão de 3 atm, ocupa o volume 
de 20 l à temperatura de 27 °C. 
Determine: 
a) o volume ocupado pelo gás a 127 °C, sob pressão de 6 atm;
b) a pressão que o gás exerce a 27 °C, quando ocupa o volume de 40 l; 
c) em que temperatura o volume de 40 l do gás exerce a pressão de 5 atm.
Solução:
De acordo com a lei geral dos gases perfeitos: 𝑝𝑝1𝑉𝑉1𝑇𝑇1 =
𝑝𝑝2𝑉𝑉2
𝑇𝑇2
Temos: 𝑉𝑉1 = 20 𝑙𝑙, 𝑝𝑝1 = 3 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑇𝑇1 = 27 °C = 27 + 273,16 = 300,16 𝐾𝐾, 𝑝𝑝2 = 6 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 
e 𝑇𝑇2 = 127 °C = 127 + 273,16 = 400,16 𝐾𝐾
Com esses valores, obtemos: 
A temperatura é a mesma, relativamente às condições iniciais: 
𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇1 = 27 °C = 27 + 273,16 = 300,16 𝐾𝐾
De 𝑝𝑝1𝑉𝑉1𝑇𝑇1
= 𝑝𝑝2𝑉𝑉2𝑇𝑇2 , vem; 𝑝𝑝1𝑉𝑉1 = 𝑝𝑝2𝑉𝑉2
Sendo 𝑉𝑉1 = 20 𝑙𝑙, 𝑝𝑝1 = 3 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, e 𝑉𝑉2 = 40 𝑙𝑙 , obtemos:
Temos: 𝑝𝑝1𝑉𝑉1
𝑇𝑇1
=
𝑝𝑝2𝑉𝑉2
𝑇𝑇2
Dados: 𝑉𝑉1 = 20 𝑙𝑙, 𝑝𝑝1 = 3 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑇𝑇1 = 300,16 𝑙𝑙, 𝑉𝑉2 = 40 𝑙𝑙 e 𝑝𝑝2 = 5 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:
Resposta: 𝑉𝑉2 = 13,33 𝑙𝑙, 𝑝𝑝2 = 1,5 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑇𝑇2 = 1000,53 𝐾𝐾
3 � 20
300,16 =
6 � 𝑉𝑉2
400,16
𝑉𝑉2 = 13,33 𝑙𝑙
3 � 20 = 𝑝𝑝2 � 40
𝑝𝑝2 = 1,5 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
3 � 20
300,16 =
5 � 40
𝑇𝑇2
𝑇𝑇2 = 1000,53 𝐾𝐾
24
AS LEIS DA 
TERMODINÂMICA
AULA 03
25
A Primeira Lei da Termodinâmica
A ciência termodinâmica foi inicialmente desenvolvida por pesquisadores que 
buscavam uma forma de aprimorar as máquinas, no período da Revolução Industrial, 
melhorando sua eficiência. Esses conhecimentos se aplicam atualmente em várias 
situações do nosso cotidiano. Por exemplo: máquinas térmicas e refrigeradores, mo-
tores de carros e processos de transformação de minérios e derivados do petróleo.
As leis fundamentais da termodinâmica regem o modo como o calor se trans-
forma em trabalho e vice-versa. O trabalho, do mesmo modo que o calor, também 
se relaciona com transferência de energia. Quando o sistema como um trabalho 
produz um deslocamento ao agir com uma força sobre o meio exterior, o trabalho 
realizado é denominado trabalho externo.
Calor é a energia transferida de um corpo para outro devido a uma diferença 
entre as temperaturas dos corpos e o trabalho é a energia transferida de um 
corpo para outro devido a uma força que age entre eles (Figura 3.1).
Figura 3.1. O gás, inicialmente no estado p, 𝑉𝑉1, 𝑇𝑇1 recebe uma quantidade de calor Q, passa 
para o estado p, 𝑉𝑉2, 𝑇𝑇2 realizando o trabalho W.
O trabalho é uma grandeza algébrica e assume, no caso, o sinal da variação de 
volume ∆𝑉𝑉, uma vez que a pressão é sempre positiva.
(3.1)
onde W - trabalho;
 p - pressão;
 ∆𝑉𝑉 - variação do volume;
 𝑉𝑉1 volume inicial com temperatura inicial ;
 𝑉𝑉2 volume final com temperatura final .
𝑊𝑊 = 𝑝𝑝 � ∆𝑉𝑉 = 𝑝𝑝 � (𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1) �
 𝑉𝑉2 > 𝑉𝑉1 → ∆𝑉𝑉 > 0 → 𝑊𝑊 > 0
 𝑉𝑉2 < 𝑉𝑉1 → ∆𝑉𝑉 < 0 → 𝑊𝑊 < 0
26
A energia total de um sistema é composta de duas parcelas: a energia externa 
e a energia interna. A energia externa do sistema é devida às relações que ele 
guarda com seu meio exterior – energia cinética e energia potencial. A energia 
interna do sistema relaciona-se com as suas condições intrínsecas.
(3.2)
onde ∆𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. - energia interna;
 n - o número de mols do gás;
 R - constante dos gases ideais;
 𝑇𝑇1 - temperatura inicial;
 𝑇𝑇2 - temperatura final.
Note que, se a temperatura final 𝑇𝑇2 é maior que a temperatura inicial 𝑇𝑇1, a 
energia interna do gás aumenta. Se 𝑇𝑇2 for menor que 𝑇𝑇1, a energia interna do gás 
diminui. No caso de a temperatura final 𝑇𝑇2 ser igual à inicial 𝑇𝑇1, a energia do gás 
não varia.
Não se mede diretamente a energia interna U de um sistema. No entanto, é 
importante conhecer a variação da energia interna ∆𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. do sistema durante um 
processo termodinâmico.
A energia interna ∆𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. de um sistema tende a aumentar se acrescentamos 
energia na forma de calor Q e a diminuir se removemos energia na forma de tra-
balho W realizado pelo sistema.
(3.3)
onde ∆𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. - energia interna;
 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖.𝑖𝑖 - energia interna inicial;
 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖.𝑓𝑓 - energia interna final;
 Q - calor;
 W - trabalho.
Essa fórmula traduz analiticamente a primeira lei da Termodinâmica: a variação 
da energia interna de um sistema é dada pela diferença entre o calor trocado com 
o meio exterior e o trabalho realizado no processo termodinâmico.
∆𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. =
3
2𝑛𝑛𝑛𝑛 � (𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1)
∆𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. = 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖.𝑓𝑓. − 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖.𝑖𝑖 = 𝑄𝑄 −𝑊𝑊
27
A Segunda lei da Termodinâmica
De acordo com a segunda lei da Termodinâmica, a energia se “degrada” de 
uma forma organizada para uma forma desordenada chamada energia térmica, 
nas transformações naturais. Ainda conforme essa lei, a energia térmica passa de 
regiões mais quentes para regiões mais frias.
Figura 3.2. O calor passa espontaneamente do corpo mais quente para o corpo mais frio.
O calor não passa espontaneamente de um corpo para outro de temperatura mais 
alta. Na Figura 3.2. o calor passa do corpo A para o B, mas não passa de B para A.
E impossível construir uma máquina, operando em ciclos, cujo único efeito seja 
retirar calor deuma fonte e convertê-lo integramente em trabalho.
Para que uma máquina térmica converta calor em trabalho de modo contínuo, 
deve operar em ciclo entre duas fontes térmicas, uma quente e outra fria: a má-
quina retira calor da fonte quente, converte-o parcialmente em trabalho e rejeita 
o restante para a fonte fria (Figura 3.3).
Figura 3.3. Uma máquina térmica.
Por exemplo, uma usina nuclear, considerada como um todo, é uma máquina 
térmica. Ela extrai energia em forma de calor do núcleo de um reator, realiza tra-
balho por meio de uma turbina e descarrega energia em forma de calor em um 
rio ou no mar.
28
O rendimento dessa máquina térmica pode ser expresso pela razão entre a 
energia útil (trabalho) e a energia total representada pelo calor retirado da fonte 
quente:
ou
(3.4)
(3.5)
(3.6)
onde 𝜂𝜂 - rendimento;
 W trabalho;
 𝑄𝑄1 - calor retirado da fonte quente;
 𝑄𝑄2 - calor restante para a fonte fria.
Figura 3.4. Uma máquina frigorífica.
Um refrigerador é um dispositivo que, operando ciclicamente, usa trabalho 
para transferir uma energia de uma fonte fria para uma fonte quente. Máquinas 
frigoríficas são dispositivos que, durante seu funcionamento, efetuam a transfor-
mação de trabalho para calor (Figura 3.4).
A eficiência de uma máquina frigorífica é expressa pela relação entre a quan-
tidade de calor retirada da fonte fria e o trabalho externo envolvido nessa trans-
ferência:
(3.7)
𝜂𝜂 =
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 ú𝑡𝑡𝐸𝐸𝑡𝑡
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝐸𝐸𝑡𝑡
𝜂𝜂 =
𝑊𝑊
𝑄𝑄1
𝑊𝑊 = 𝑄𝑄1 − 𝑄𝑄2
𝜂𝜂 = 1 −
𝑄𝑄2
𝑄𝑄1
𝐸𝐸 =
𝑄𝑄2
𝑊𝑊
29
onde 𝑒𝑒 - eficiência;
 W - trabalho;
 𝑄𝑄2 - calor retirada da fonte fria.
A incapacidade de realizar trabalho é tanto maior quanto menor a tempera-
tura do sistema. Seja a quantidade de calor que o sistema troca e a temperatura 
dele durante uma transformação isotérmica reversível. Define-se a variação de 
entropia do sistema, nesse processo, pela relação:
(3.7)
onde ∆𝑆𝑆 - variação de entropia do sistema;
 T - temperatura;
 Q - calor.
A unidade de variação de entropia no SI é joule por kelvin (símbolo: 𝐽𝐽
𝐾𝐾
). 
A variação de entropia, do mesmo modo que a variação de energia interna, é 
uma função de estado, dependendo apenas dos estados inicial e final do Sistema, 
e não das particulares transformações que levam o sistema de um estado ao outro.
Exemplos
Exemplo 3.1. Seis mols de um gás ideal monoatômico sofrem o processo ter-
modinâmico AB indicado no gráfico. Determine:
a) as temperaturas inicial e final do gás;
b) o trabalho realizado pelo gás ao processo AB.
Figura 3.5. Exemplo 3.1.
∆𝑆𝑆 =
𝑄𝑄
𝑇𝑇
30
Solução:
a) As temperaturas 𝑇𝑇𝐴𝐴 e 𝑇𝑇𝐵𝐵 podem ser calculadas pela aplicação de equação 
𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇.
Para o estado A, obtemos do gráfico: 𝑝𝑝𝐴𝐴 = 3 � 104 𝑁𝑁/𝑚𝑚2 e 𝑝𝑝𝐴𝐴 = 0,1 𝑚𝑚3
Para o estado B, 𝑝𝑝𝐵𝐵 = 5 � 104 𝑁𝑁/𝑚𝑚2 e 𝑝𝑝𝐵𝐵 = 0,3 𝑚𝑚3. Sendo 
𝑛𝑛 = 6 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 e 𝑛𝑛 = 8,31 𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐾𝐾 , temos:
b) Como se trata de um gás ideal monoatômico, a variação de energia in-
terna é dada por:
Resposta: 𝑇𝑇𝐴𝐴 = 60 𝐾𝐾, 𝑇𝑇𝐵𝐵 = 301 𝐾𝐾, ∆𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. = 1,8 � 104 𝐽𝐽
Exemplo 3.2. Uma caldeira, à temperatura de 600 K (fonte quente), fornece va-
por, correspondente a 1000 kcal em cada segundo, a uma turbina. O vapor, depois 
de passar pela turbina, cede ao condensador (fonte fria) 800 kcal por segundo, a 
uma temperatura de 293 K. Considerando 1 cal = 4 J, determine o trabalho útil da 
máquina e calcule seu rendimento. 
Solução:
Em um segundo, a máquina retira 1000 kcal da fonte quente (caldeira) e de-
volve 800 kcal à fria (condensador).
Assim:
∆𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. =
3
2𝑛𝑛𝑛𝑛 � (𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1)
∆𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. =
3
2 � 6 � 8,31 � 301 − 60 = 1,8 � 10
4 𝐽𝐽
𝑄𝑄1 = 1000 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚 = 1000 � 103 � 4 = 4000 𝑘𝑘𝐽𝐽
𝑄𝑄2 = 800 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚 = 800 � 103 � 4 = 3200 𝑘𝑘𝐽𝐽
𝑝𝑝𝐴𝐴𝑝𝑝𝐴𝐴 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇𝐴𝐴
3 � 104 � 0,1 = 6 � 8,31 � 𝑇𝑇𝐴𝐴
𝑇𝑇𝐴𝐴 = 60 𝐾𝐾
𝑝𝑝𝐵𝐵𝑝𝑝𝐵𝐵 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇𝐵𝐵
5 � 104 � 0,3 = 6 � 8,31 � 𝑇𝑇𝐵𝐵
𝑇𝑇𝐵𝐵 = 301 𝐾𝐾
31
A parcela que se transforma em trabalho útil é dada por:
O rendimento é dado por:
Resposta: 𝑊𝑊 = 800 𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝜂𝜂 = 0,2 𝑜𝑜𝑜𝑜 20%
Exemplo 3.3. Numa máquina frigorifica, em cada ciclo do gás utilizado, são retirados 
120 J do congelador. No processo, a atmosfera (fonte quente) recebe 150 J. Determine:
a) o trabalho do compressor em cada ciclo;
b) a eficiência dessa máquina térmica.
Solução:
a) A atmosfera recebe 𝑄𝑄1 = 150 𝑘𝑘 por ciclo, enquanto do congelador é re-
tirada a quantidade de calor 𝑄𝑄2 = 120 𝑘𝑘. Então o trabalho externo do 
compressor é dado pela diferença:
b) A eficiência da máquina frigorífica é dada por:
Resposta: 𝑊𝑊 = 30 𝑘𝑘, 𝑒𝑒 = 4,0
𝑊𝑊 = 𝑄𝑄1 − 𝑄𝑄2
𝑊𝑊 = 4000 − 3200 = 800 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝜂𝜂 =
𝑊𝑊
𝑄𝑄1
𝜂𝜂 =
800
4000 = 0,2 𝑜𝑜𝑜𝑜 20%
𝑊𝑊 = 𝑄𝑄1 − 𝑄𝑄2
𝑊𝑊 = 150 − 120 = 30 𝑘𝑘
𝑒𝑒 =
𝑄𝑄2
𝑊𝑊
𝑒𝑒 =
120
30 = 4,0
32
CARGAS ELÉTRICAS E A LEI 
DE COULOMB 
AULA 04
33
Cargas elétricas
Quando você arrasta os sapatos ao caminhar sobre um carpete e depois segura 
uma maçaneta metálica, pode sentir uma desagradável descarga provocada pela 
eletricidade estática. Esse exemplo revela que existem cargas elétricas em nosso 
corpo, nos suéteres, nos tapetes, nas maçanetas e nas torneiras.
A carga elétrica é uma propriedade intrínseca das partículas fundamentais de 
que é feita a matéria; em outras palavras, é uma propriedade associada à própria 
existência dessas partículas.
Figura 4.1. Eletricidade.
Carga elétrica é um conceito fundamental, como o de massa, que algumas par-
tículas elementares, como os prótons e elétrons, possuem. A grande quantidade 
de cargas que existem em qualquer objeto geralmente não pode ser observada 
porque o objeto contém quantidade iguais de dois tipos de cargas: cargas posi-
tivas e cargas negativas. Quando existe essa igualdade (ou equilíbrio) de cargas, 
dizemos que o objeto é eletricamente neutro, ou seja, sua carga total é zero.
No início do século XX, Robert Millikan descobriu que a carga elétrica era cons-
tituída por um múltiplo inteiro de uma carga elementar (e), ou seja, a carga de um 
certo objeto pode ser escrita como:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑞𝑞𝑝𝑝𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡 + 𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡
𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = (𝑛𝑛𝑝𝑝 − 𝑛𝑛𝑛𝑛)𝑒𝑒
𝑞𝑞 = 𝑛𝑛𝑒𝑒
34
onde 𝑞𝑞𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 – carga dos prótons;
 𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 – carga dos elétrons;
 𝑛𝑛𝑝𝑝 – número total de prótons do corpo;
 𝑛𝑛𝑛𝑛 – número total de elétrons do corpo;
 e – carga elementar;
 n – número excedente de prótons ou elétrons.
Tabela 4.1. Massas e cargas elétricas do próton, elétron e nêutron
Partícula Massa Carga elétrica
Próton 𝑚𝑚𝑝𝑝 = 1,673 � 10−27 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑞𝑞𝑝𝑝 = +𝑒𝑒 = +1,602 � 10−19 𝐶𝐶
Elétron 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 9,109 � 10−31 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑞𝑞𝑛𝑛 = −𝑒𝑒 = −1,602 � 10−19 𝐶𝐶
Nêutron 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 1,675 � 10−27 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑞𝑞𝑛𝑛 = 0
A unidade de carga do SI é coulomb (C), que é definido em termos da unidade 
de corrente elétrica, o ampère (A), como carga que passa por um certo ponto em 
1 segundo quando existe uma corrente elétrica de 1 ampère neste ponto:
(4.4)
Onde i – corrente elétrica;
 q – carga elétrica;
 t – tempo.
Eletrização
Denomina-se eletrização o fenômeno pelo qual um corpo neutro passa a eletri-
zado devido à alteração no número de seus elétrons. Processo pelo qual altera-se 
a condição de equilíbrio estático (em estado natural, qualquer porção de matéria 
é eletricamente neutra).
1𝐶𝐶 = 1𝐴𝐴⋅1𝑠𝑠
𝑞𝑞 = 𝑖𝑖⋅𝑡𝑡
35
Figura 4.2. Eletrização
Quando as quantidades dos dois tipos de cargas contidas em um corpo são 
diferentes, a carga total é diferente de zero e dizemos que o objeto está eletrica-
mente carregado. 
Eletrização por atrito temos quando dois corpos feitos de matériasdiferentes 
são atritados entre si, e o contato entre eles acontece com tal proximidade que 
os átomos de um material interagem fortemente com os átomos do outro. Nessa 
interação, ocorre a transferência de elétrons de um corpo para o outro. O que 
cede elétrons fica eletrizado positivamente, e aquele que recebe elétrons fica 
eletrizado negativamente.
Figura 4.3. Eletrização por atrito
36
Os materiais, como vidro, que conservam as cargas nas regiões onde elas 
surgem, são chamados isolantes ou dielétricos. Os metais nos quais as cargas se 
espalham imediatamente são chamados condutores.
Os condutores são materiais nos quais as cargas elétricas se movem com fa-
cilidade, como os metais (como o cobre dos fios elétricos), o corpo humano e a 
água da torneira. 
Condutores de primeira espécie são aqueles nos quais os portadores móveis 
são os elétrons livres. São classificados como condutores de primeira espécie os 
metais e a grafita. Nos condutores de segunda espécie, os portadores móveis são 
íons positivos e íons negativos. Íons são encontradas em soluções elétricas, por 
exemplo, soluções aquosas de ácido, bases ou sais. Nos condutores de terceira 
espécie, os portadores de carga podem ser íons positivos, íons negativos e elé-
trons livres. Isso ocorre nos gases ionizados.
Os isolantes, são materiais nos quais as cargas não podem se mover, como os 
plásticos (usados para isolar fios elétricos), a borracha, o vidro e água destilada.
Na eletrização por contato, quando dois ou mais corpos condutores são colo-
cados em contato, estando pelo menos um deles eletrizado, observa-se uma re-
distribuição de carga elétrica pelas suas superfícies externas. Na Figura 4.4. po-
demos observar esse fenômeno, colocando-se em contato dois condutores, A e 
B, um eletrizado e outro neutro, B se eletriza com carga de mesmo sinal que A.
Figura 4.4. Eletrização por contato
Eletrização por indução é quando aproximamos (sem tocar) um condutor ele-
trizado de um neutro, provocando no condutor neutro uma redistribuição de seus 
elétrons livres. Esse fenômeno ocorre porque as cargas existentes no condutor 
eletrizado podem atrair ou repelir os elétrons livres do condutor neutro. O con-
dutor eletrizado é chamado de indutor e o condutor neutro, de induzido.
37
Lei de Coulomb
A intensidade das interações elétricas de uma partícula depende da sua carga 
elétrica, que pode ser positiva ou negativa. Cargas de mesmo sinal se repelem e 
cargas de sinais opostos se atraem (Figura 4.5). A atração ocorre quando as cargas 
são de sinais opostos, e a repulsão com as cargas de sinais iguais.
A força elétrica exercida por um corpo carregado sobre outro depende direta-
mente do produto do módulo das cargas e inversamente do quadrado da distân-
cia que os separa.
Figura 4.5. Princípio de atração e repulsão
O módulo da força na lei de Coulomb:
(4.5)
ou
(4.6)
onde F – força;
 𝑞𝑞1 – carga elétrica da partícula 1;
 𝑞𝑞2 – carga elétrica da partícula 2;
 d – distância entre as partículas;
 k – constante eletrostática 𝑘𝑘 = 14𝜋𝜋𝜀𝜀0
= 8,99 � 109𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2 𝐶𝐶2⁄ ;
 𝜀𝜀0 – constante (permissividade do vácuo) 8,85 � 10−12𝐶𝐶2/𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2. 
 
A intensidade da força de ação mútua entre as cargas supostas no vácuo de-
pende da distância entre as cargas e dos valores das cargas 𝑞𝑞1 e 𝑞𝑞2 .
Quando mais de duas partículas carregadas estão presentes, a lei de Coulomb é 
aplicada a cada par de partículas isoladamente e a força resultante sobre uma delas é 
obtida pela soma vetorial das forças exercidas sobre ela por todas as outras partículas.
𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 
𝑞𝑞1 𝑞𝑞2
𝑑𝑑2
𝐹𝐹 =
1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑞𝑞1 𝑞𝑞2
𝑑𝑑2
38
Exemplos
Exemplo 4.1. Determine o número de elétrons que deverá ser fornecido a 
um condutor metálico, inicialmente neutro, para que fique eletrizado com carga 
elétrica igual a -1,0 C.
Solução:
Nesse caso vamos usar equação da carga elétrica𝑞𝑞 = 𝑛𝑛𝑛𝑛
Sendo a carga elétrica elementar de um elétron 𝑛𝑛 = −1,6 � 10−19 𝐶𝐶. Um condu-
tor metálico fica eletrizado com carga elétrica total igual 𝑞𝑞 = −1,0 𝐶𝐶 . Podemos 
aplicar a equação e determinar o número de elétrons n:
Resposta: 𝑛𝑛 = 6,25 � 1018 𝑛𝑛𝑒𝑒é𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡
Exemplo 4.2. Na descarga de retorno de um relâmpago típico, uma corrente 
de 25 MA é mantida por 20 µs. Qual é o valor da carga transferida?
Solução:
A carga vamos calcular aplicando a equação com a corrente elétrica 𝑞𝑞 = 𝑖𝑖 � 𝑡𝑡 .
Temos a corrente elétrica 𝑖𝑖 = 25 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 25 � 106 𝑀𝑀 e o intervalo do tempo 
𝑡𝑡 = 20 s = 20 � 10−6 𝑡𝑡.
A carga transferida, temos:
Resposta: 𝑞𝑞 = 0,5 𝐶𝐶
Exemplo 4.3. Qual deve ser a distância entre a carga pontual 𝑞𝑞1 = 26,0µ𝐶𝐶 e a 
carga pontual 𝑞𝑞2 = −47,0µ𝐶𝐶 para que a força eletrostática entre as duas cargas 
tenha um módulo de 5,70 N?
Solução:
Pela lei de Coulomb: 𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 𝑞𝑞1 𝑞𝑞2𝑑𝑑2
−1,0 = 𝑛𝑛 � (−1,610−19)
 𝑛𝑛 =
−1,0
−1,610−19 = 6,2510
18 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡
𝑞𝑞 = 25 � 106 � 20 � 10−6 = 0,5 𝐶𝐶
39
Sendo 𝐹𝐹 = 5,7 𝑁𝑁, 𝑘𝑘 = 8,99 � 109𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2/𝐶𝐶2, 𝑞𝑞1 = 26,0 µ𝐶𝐶 = 26,0 � 10−6 𝐶𝐶 e 
𝑞𝑞2 = −47,0 𝐶𝐶 = −47,0 � 10−6 𝐶𝐶 , temos:
Resposta: 𝑑𝑑 = 1,39 𝑚𝑚
Exemplo 4.4. O módulo da força eletrostática entre dois íons iguais e separa-
dos por uma distância de 5,0 � 10−10 𝑚𝑚 é 3,7 � 10−9 𝑁𝑁. 
a) Qual é a carga de cada íon? 
b) Quantos elétrons estão “faltando” em cada íon (fazendo, assim, com que 
o íon possua uma carga elétrica diferente de zero)?
Solução:
a) De acordo com a equação 𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 𝑞𝑞1 𝑞𝑞2𝑑𝑑2 , o módulo da força eletrostática 
entre os íons é
Na equação 𝑞𝑞 é carga de um dos íons, 𝑑𝑑 = 5,0 � 10−10 𝑚𝑚, a distância entre os 
íons e 𝐹𝐹 = 3,7 � 10−9 𝑁𝑁 e 𝑘𝑘 = 8,99 � 109𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2 𝐶𝐶2⁄ , temos:
b) Seja n o número de elétrons que estão faltando em cada íon. Nesse caso, 
𝑒𝑒 = 1,6 � 10−19 𝐶𝐶 e
Resposta: 𝑞𝑞 = 3,2 � 10−19 𝐶𝐶, 𝑛𝑛 = 2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒
𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 
𝑞𝑞 𝑞𝑞
𝑑𝑑2 = 𝑘𝑘
𝑞𝑞2
𝑑𝑑2
𝑞𝑞 = 𝑛𝑛 � 𝑒𝑒
3,2 � 10−19 = 𝑛𝑛 � 1,6 � 10−19
𝑛𝑛 =
3,2 � 10−19
1,6 � 10−19 = 2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒
40
CAMPOS ELÉTRICOS
AULA 05
41
Campo elétrico
Um corpo eletrizado, devido à sua carga elétrica, cria ao seu redor um campo 
elétrico. Em cada ponto surge um vetor campo elétrico. O campo elétrico é uma 
propriedade influenciada pela presença da carga Q, que não depende da carga de 
prova para sua existência. O campo elétrico é a região influenciada pela carga Q, 
em que qualquer carga de prova q nela colocada estará sob a ação de uma força 
de origem elétrica.
Figura 5.1. Campo elétrico
Campo elétrico é uma propriedade física estabelecida em todos os pontos do 
espaço que estão sob a influência de uma carga elétrica (carga fonte), tal que uma 
outra carga (carga prova), ao ser colocada em um desses pontos, fica sujeita a 
uma força de atração ou de repulsão exercida pela carga fonte. 
Carga de prova é uma carga elétrica de valor conhecido utilizada para detectar 
a existência de um campo elétrico. Ela é posicionada em um determinado local e, 
pelo efeito observado, pode-se saber se nele existe ou não um campo elétrico, a 
carga de prova também auxilia a determinar sua intensidade.
Se uma carga de prova q for colocada em um ponto P desse campo, uma força 
elétrica 𝐹𝐹𝑒𝑒 atuará sobre ela. O vetor campo elétrico estabelecido no ponto P pela 
carga Q é então definido pelo quociente da força 𝐹𝐹𝑒𝑒 pela carga de prova q:
(5.1)
onde E – campo elétrico;
 q – carga elétrica;
 𝐹𝐹𝑒𝑒 – força elétrica.
𝐸𝐸 =
𝐹𝐹𝑒𝑒
𝑞𝑞
42
Figura 5.2. Vetor campo elétrico.
Observe, a partir da definição, que a unidade de campo elétrico é o quociente 
da unidade de força pela unidade de carga elétrica. No SI, a intensidade de força 
é expressa em newton (N) e a carga elétrica, em coulombs (C). Por isso, tem-se 
como unidade de campo elétrico 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑁𝑁
𝐶𝐶
Orientação do Campo Elétrico
Quando a carga de prova q é positiva, os vetores força elétrica (𝐹𝐹𝑒𝑒 ) e campo 
elétrico (𝐸𝐸 ) têm a mesma direção e o mesmo sentido. Quando a carga de prova 
q é negativa, os vetores força elétrica (𝐹𝐹𝑒𝑒 ) e campo elétrico ( 𝐸𝐸 ) têm a mesma di-
reção, mas sentidos opostos.
O vetor campo elétrico em um ponto P, devido a uma carga Q positiva, sempre 
tem sentido de afastamento em relação a ela, enquanto o vetor campo elétrico, 
devido a uma carga Q negativa, sempre tem sentido de aproximação em relação 
a ele, independente do sinal da carga de prova q.
Figura 5.3. As orientações do vetor campo elétrico devido a uma carga fonte Q.
Uma linha de campo elétrico é uma linha reta ou curva imaginária desenhada 
passando por uma região do espaço de modo que sua tangente forneça a direção 
e o sentido do campo elétrico no ponto considerado.
43
Linha de campo elétrico é uma linha que tangencia, em cada ponto, o vetor 
campo elétrico resultante associado a esse ponto. As linhas campo elétrico saem 
das cargas positivas e chegam às cargas negativas (Figura 5.4). Na Figura 5.4(a) 
temos as linhas de campo elétrico de afastamento representativas do campo 
elétrico criado por uma partícula eletrizada com carga positiva, e na Figura 5.4(b), 
as linhas de campo elétrico de aproximação representativas do campo elétrico 
criado por uma partícula eletrizada com carga negativa.
Figura 5.4. Linhas de campo elétrico.
Para duas partículas eletrizadas com cargas de módulos iguais, mas de sinais 
opostos, as linhas de campo elétrico têm o seguinte aspecto apresentado na Fi-
gura 5.5. Observe a simetria das linhas de campo elétrico representativas do 
campo elétrico resultante de dois campos criados por duas partículas eletrizadas 
com cargas de mesmo módulo mas de sinais opostos.
Figura 5.5. Linhas de campo elétrico com duas partículas com cargas de sinais opostos.
Para duas partículas eletrizadas com cargas e sinais iguais, as linhas de campo 
elétrico tomam o aspecto apresentado na Figura 5.6. Nesse caso observe a sime-
44
tria das linhas de campo elétrico representativas do campo elétrico resultante de 
dois campos criados por duas partículas eletrizadas com cargas iguais. No exem-
plo, ambas são positivas. Caso fossem negativas, mudaria apenas o sentido da 
orientação das linhas de campo elétrico, sendo conservados os demais aspectos.
Figura 5.6. Linhas de campo elétrico com duas partículas com cargas iguais.
Caso as cargas das partículas tenham módulos diferentes, não será mais ob-
servada a simetria das figuras anteriores. Na Figura 5.7. observe que o número 
de linhas de campo elétrico que saem da carga positiva é o dobro do número que 
chega à negativa. Isso ocorre porque o número de linhas de campo elétrico em 
cada partícula deve ser proporcional à sua carga.
Figura 5.7. Linhas de campo elétrico com duas partículas com módulos das cargas diferentes.
Para finalizar, note que duas linhas de campo elétrico nunca se cruzam. Em 
todas as configurações observadas anteriormente, a concentração das linhas de 
campo elétrico (densidade de linhas de força) é maior nas vizinhanças das cargas, 
onde, evidentemente, a intensidade do campo elétrico é maior (Figura 5.8).
Figura 5.8. Densidade de linhas de campo elétrico.
45
Campo elétrico uniforme é aquele em que o vetor campo elétrico é o mesmo 
em todos os pontos. As linhas de campo elétrico de um campo elétrico uniforme 
são retas paralelas igualmente espaçadas e de mesmo sentido (Figura 5.9).
Figura 5.9. Campo elétrico uniforme.
As linhas de campo elétrico mostram a direção do campo elétrico em qualquer pon-
to. Em linhas curvas, a direção do campo é tangente à curva. As linhas de campo elétrico 
se originam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. As linhas de campo 
elétrico são desenhadas de modo que o número de linhas por unidade de área da 
seção reta (perpendicular às linhas) seja proporcional à intensidade do campo elétrico.
Isto está 
na rede
Electric field patterns.
Fonte: Carmel Azzopardi. Publicado em 2011. Disponível em: 
< https://www.youtube.com/watch?v=7vnmL853784>
Cálculo do Campo Elétrico
Para calcularmos a intensidade do vetor campo elétrico em um ponto P si-
tuado a uma distância d da carga fonte Q, imagine uma carga de prova q nesse 
ponto. Nessa carga de prova atua uma força, cuja intensidade é dada pela Lei de 
Coulomb.
(5.2)
onde E – campo elétrico;
 Q – carga elétrica da fonte do campo;
 d – distância entre ponto e carga fonte;
 k – constante eletrostática.
𝐸𝐸 = 𝑘𝑘
𝑄𝑄
𝑑𝑑2
46
O módulo do vetor campo elétrico no ponto P (Figura 5.10) é dado:
(5.3)
onde E – campo elétrico;
 𝐹𝐹𝑒𝑒 – força elétrica;
 q – carga elétrica do ponto P.
Figura 5.10. Campo elétrico no ponto P com carga negativa a) e positiva b).
A representação gráfica da intensidade do vetor campo 𝐸𝐸 , em função da distân-
cia entre o ponto considerado e a carga fonte Q, é a curva observada no diagrama 
a seguir na Figura 5.11. É importante saber que a carga Q gera campo no espaço 
que a envolve, mas não gera campo no ponto onde se encontra.
Figura 7.11. A intensidade do vetor campo , criado por uma partícula eletrizada com carga Q, 
em função da distância d.
O campo resultante deve ser calculado pela soma vetorial dos campos de cada 
carga.
(5.4)
𝐸𝐸 =
𝐹𝐹𝑒𝑒
𝑞𝑞
𝐸𝐸 = 𝐸𝐸1 + 𝐸𝐸2 + 𝐸𝐸3+...+𝐸𝐸𝑛𝑛 = ∑ 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1
47
Exemplos
Exemplo 5.1. Num ponto de um campo elétrico, o vetor campo elétrico tem 
direção horizontal, sentido da direita para a esquerda e intensidade de 105 𝑁𝑁 𝐶𝐶⁄ . 
Coloca-se, nesse ponto, uma carga puntiforme de −2,0µ𝐶𝐶. Determine a intensidade, 
a direção e o sentido da força que atua na carga.
Solução:
A força 𝐹𝐹𝑒𝑒 que atua na carga tem intensidade 𝐹𝐹𝑒𝑒 = 𝐸𝐸 · 𝑞𝑞
Direção horizontal (mesma de 𝐸𝐸 ) e sentido da esquerda a direta (oposto ao 
de 𝐸𝐸 , pois 𝑞𝑞 < 0)
Resposta: 𝐹𝐹𝑒𝑒 = 0,2 𝑁𝑁 , horizontal, da esquerda para a direta.
Exemplo 5.2. Uma carga positiva Q está fixa em um ponto no espaço como 
indica a Figura 5.12. 
a) Represente o vetor campo elétrico em cada um dos pontos que estão 
próximos à carga Q. 
b) Colocando no ponto P1 uma carga de prova positiva desenhe o vetor 
força elétrica neste ponto.
Figura 5.12. Exemplo 5.2
𝐹𝐹𝑒𝑒 = 105 · −2,0 · 10−6 = 0,2 𝑁𝑁
48
Solução:
A carga +Q origina, em todos os pontos 𝑃𝑃1,𝑃𝑃2, 𝑃𝑃3 e 𝑃𝑃4 e , um vetor de afasta-
mento 𝐸𝐸, porque o vetor do campo elétrico em um ponto P, devido a uma carga 
Q positiva, sempre tem sentido de afastamento em relação a ela.
Colocando no ponto P1 uma carga de prova +𝑞𝑞 o vetor da força elétrica neste 
ponto também será de afastamento. Porque quando a carga de prova q é positi-
va, os vetores força elétrica (𝐹𝐹𝑒𝑒 ) e campo elétrico (𝐸𝐸) têm a mesma direção e o 
mesmo sentido.
Resposta: Na figura de solução.
Exemplo 5.3. Determine a intensidade, a direção e o sentido do vetor campo 
elétrico resultante em P nos casos a e b indicados na Figura 5.13. Admita, em cada 
caso, que 𝑄𝑄 = 10−6 𝐶𝐶 e 𝑑𝑑 = 0,3 𝑚𝑚 . O meio é vácuo (𝑘𝑘 = 8,99 � 109𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2 𝐶𝐶2⁄ ).
Figura 5.13. Exemplo 5.3.
Solução:
a) A carga +Q origina, em P, um vetor campo de afastamento 𝐸𝐸1.
A carga -Q origina, em P, um vetor campo de aproximação 𝐸𝐸2 .
49
O vetor campo resultante 𝐸𝐸𝑅𝑅 é obtido pela regra do paralelogramo. Os vetores 
campo 𝐸𝐸1 e 𝐸𝐸2 têm mesma intensidade, pois P dista igualmente de +Q e -Q:
Sendo 𝑘𝑘 = 8,99 � 109𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2/𝐶𝐶2, 𝑄𝑄 = 10−6 𝐶𝐶 e 𝑑𝑑 = 0,3 𝑚𝑚 , temos que:
Observe que o triângulo colorido é equilátero. Isso significa que 𝐸𝐸𝑅𝑅 = 105 𝑁𝑁 𝐶𝐶⁄ , 
com direção horizontal e sentido da esquerda para a direita.
b) A carga +Q origina, em P, um vetor campo de afastamento 𝐸𝐸1 .
A carga -Q origina, em P, um vetor campo de aproximação 𝐸𝐸2 .
O vetor campo resultante 𝐸𝐸𝑅𝑅 , tem direção horizontal como sentido da esquer-
da para a direita. Os vetores campo 𝐸𝐸1 e 𝐸𝐸2 têm mesma intensidade como no 
caso anterior 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 = 105 𝑁𝑁/𝐶𝐶 e 𝐸𝐸𝑅𝑅 = 𝐸𝐸1 + 𝐸𝐸2 e , então temos:
Resposta: a) 𝐸𝐸𝑅𝑅 = 105 𝑁𝑁 𝐶𝐶⁄ , horizontal e da esquerda para a direita, b) 
𝐸𝐸𝑅𝑅 = 2 � 105 𝑁𝑁 𝐶𝐶⁄ , horizontal, da esquerda para a direita.
𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 = 𝑘𝑘 �
𝑄𝑄
𝑑𝑑2
𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 = 8,99 � 109 �
10−6
0,32 = 10
5 𝑁𝑁 𝐶𝐶⁄
𝐸𝐸𝑅𝑅 = 105 + 105 = 2 � 105 𝑁𝑁 𝐶𝐶⁄
50
Exemplo 5.4. Nos vértices de um quadrado fixam-se cargas elétricas puntifor-
mes de valores 1 𝜇𝜇𝜇𝜇, 2 𝜇𝜇𝜇𝜇, 3 𝜇𝜇𝜇𝜇, 4 𝜇𝜇𝜇𝜇, conforme a Figura 5.14. Qual a intensidade 
do vetor campo elétrico resultante no centro O do quadro? O meio é vácuo e o 
quadrado tem lado L=0,6 m.
Figura 5.14. Exemplo 5.4.
Solução:
As cargas elétricas são positivas e originam, no centro O, vetores campo de afas-
tamento. Chamando de E a intensidade do vetor campo elétrico onde a carga de 1 
𝜇𝜇𝜇𝜇 origina no centro O, as cargas elétricas de 2 𝜇𝜇𝜇𝜇, 3 𝜇𝜇𝜇𝜇 e 4 𝜇𝜇𝜇𝜇 originam em O, 
vetores campo elétrico de intensidades 2E, 3E e 4E, respectivamente. Assim, temos:
O vetor campo elétrico resultante em O tem intensidade 𝐸𝐸𝑅𝑅 = 2 2
� � 𝐸𝐸 .
Sendo 𝐸𝐸 = 𝑘𝑘 � 𝑄𝑄𝑑𝑑2 , em que:
𝑘𝑘 = 8,99 � 109𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2/𝜇𝜇2, 𝑄𝑄 = 1 · 10−6 𝜇𝜇 e 𝑑𝑑 = 𝐿𝐿 2
�
2 (𝐿𝐿 = 0,6 𝑚𝑚) 𝑑𝑑 = 0,3 2
� 𝑚𝑚 (me-
tade da medida da diagonal) temos:
Portanto 𝐸𝐸𝑅𝑅 = 2 2
� � 𝐸𝐸 = 2 2� � 5 � 104 = 1,4 � 105 𝑁𝑁 𝜇𝜇⁄
Resposta: 𝐸𝐸𝑅𝑅 = 1,4 � 105 𝑁𝑁 𝜇𝜇⁄
𝐸𝐸 = 8,99 � 109 �
10−6
0,3 2�
2 = 5 � 10
4 𝑁𝑁 𝜇𝜇⁄
51
LEI DE GAUSS
AULA 06
52
Lei de Gauss
A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de descrever a relação en-
tre carga e campo elétrico em situações estáticas. Para entender a lei de Gauss é ne-
cessário introduzir o conceito de superfície Gaussiana. Esta é uma superfície fechada 
hipotética que envolve uma dada região do espaço onde pode 
ou não existir cargas elétricas ou um campo elétrico. A forma da 
superfície é arbitrária, mas sua utilidade consiste em ela possuir 
a mesma simetria do problema. Assim, ela pode ter uma forma 
esférica, cilíndrica etc. O importante é que ela seja uma superfí-
cie fechada. O que a Lei de Gauss nos fornece é uma relação 
entre o valor do campo elétrico sobre a superfície gaussiana e a 
carga total efetiva no interior da superfície (Figura 6.1).
O cálculo do campo elétrico sobre uma superfície está ligado a uma grandeza 
chamada fluxo elétrico. O fluxo elétrico é uma grandeza proporcional ao número 
das linhas do campo elétrico que penetram em alguma superfície (Figura 6.2).
Figura 6.2. O fluxo elétrico através à superfície.
O fluxo elétrico é o produto do módulo do campo E pela área. No SI, o fluxo 
do campo elétrico é medido em 𝑁𝑁𝑚𝑚2 𝐶𝐶⁄ .
(6.1)
onde 𝛷𝛷 – fluxo elétrico;
 E – campo elétrico;
 A – área.
Vemos que o fluxo é proporcional ao número de linhas de força que atraves-
sam a superfície. 
(6.2)
Figura 6.1. Uma superfície Gaussiana.
𝛷𝛷 = 𝐸𝐸 � 𝐴𝐴
𝜀𝜀0 � 𝛷𝛷 = 𝑞𝑞
53
Lei de Gauss
A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de descrever a relação en-
tre carga e campo elétrico em situações estáticas. Para entender a lei de Gauss é ne-
cessário introduzir o conceito de superfície Gaussiana. Esta é uma superfície fechada 
hipotética que envolve uma dada região do espaço onde pode 
ou não existir cargas elétricas ou um campo elétrico. A forma da 
superfície é arbitrária, mas sua utilidade consiste em ela possuir 
a mesma simetria do problema. Assim, ela pode ter uma forma 
esférica, cilíndrica etc. O importante é que ela seja uma superfí-
cie fechada. O que a Lei de Gauss nos fornece é uma relação 
entre o valor do campo elétrico sobre a superfície gaussiana e a 
carga total efetiva no interior da superfície (Figura 6.1).
O cálculo do campo elétrico sobre uma superfície está ligado a uma grandeza 
chamada fluxo elétrico. O fluxo elétrico é uma grandeza proporcional ao número 
das linhas do campo elétrico que penetram em alguma superfície (Figura 6.2).
Figura 6.2. O fluxo elétrico através à superfície.
O fluxo elétrico é o produto do módulo do campo E pela área. No SI, o fluxo 
do campo elétrico é medido em 𝑁𝑁𝑚𝑚2 𝐶𝐶⁄ .
(6.1)
onde 𝛷𝛷 – fluxo elétrico;
 E – campo elétrico;
 A – área.
Vemos que o fluxo é proporcional ao número de linhas de força que atraves-
sam a superfície. 
(6.2)
Figura 6.1. Uma superfície Gaussiana.
𝛷𝛷 = 𝐸𝐸 � 𝐴𝐴
𝜀𝜀0 � 𝛷𝛷 = 𝑞𝑞
onde 𝛷𝛷 – fluxo elétrico;
 q – carga elétrica;
 𝜀𝜀0 – constante (permissividade do vácuo) 𝜀𝜀0 = 8,85 × 10−12 𝐶𝐶2 𝑁𝑁⁄ � 𝑚𝑚2
Figura 6.3. O fluxo elétrico e a reta normal à superfície.
A lei de Gauss relaciona fluxo 𝛷𝛷 total de um campo elétrico através de uma 
superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total q envolvida pela superfície. 
Se inclinamos a superfície de um ângulo θ em relação à vertical, o fluxo através 
da mesma diminuirá porque o que conta é a área efetiva atravessada pelo campo.
Figura 6.4. O fluxo elétrico com os ângulos diferentes.
54
No caso, esta é a área projetada perpendicularmente ao campo, que vale A’ = 
A . cosθ (Figura 6.3). Portanto, o fluxo passa a ser:
(6.3)
onde 𝛷𝛷 – fluxo elétrico;
 E – campo elétrico;
 A – área;
 θ – ângulo.
A partir da equação 6.3, constatamos que o fluxo é máximo quando a superfície 
é perpendicular ao campo. 
Nesse caso (Figura 6.4. a), a normal a superfície é paralela ao campo θ = 0° (cos 
0°=1) e o fluxo através da superfície é igual a 𝛷𝛷 = 𝐸𝐸 � 𝐴𝐴.
Se a superfície é paralela ao campo, a normal é perpendicular ao campo θ = 
90°, cos 90°=0 e o fluxo é nulo 𝛷𝛷 = 0 (Figura 6.4. c).
O fluxo do campo elétrico Φ através de uma superfície fechada (superfície 
gaussiana) multiplicado pela permissividade elétrica 𝜀𝜀0 é igual a carga total Q no 
interior da superfície.
Devemos chamar a atenção para o fato de que a carga Q é a soma algébrica 
de todas as cargas presentes no interior da superfície gaussiana. As cargas exter-
nas não contribuem.
Figura 6.5. A carga Q total é a soma algébrica de todas as cargas.
Exemplos
Exemplo 6.1. A superfície quadrada da Figura 6.6. tem 3,2 mm de lado e está 
imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E = 1800 N/C e com linhas de 
campo fazendo 35 ° com a normal, como mostra a Figura 6.6. Tome essa normal 
como apontando “para fora”, como se a superfície fosse a tampa de uma caixa. 
Calcule o fluxo elétrico através desta superfície.
𝛷𝛷 = 𝐸𝐸 � 𝐴𝐴 � cos𝜃𝜃
55
Figura 6.6. Exemplo 6.1.
Solução: 
O diagrama a seguir mostra o vetor da reta normal à superficie 𝑁𝑁 e o vetor 
campo elétrico 𝐸𝐸 . 
Como o ângulo 𝜃𝜃 entre os vetores é 𝜃𝜃 = 180° − 𝛼𝛼 = 180° − 35° = 145°, o fluxo 
do campo elétrico através da superfície é 
Sabendo que 𝐸𝐸 = 1800 𝑁𝑁 𝐶𝐶⁄ e a área da superfície 
𝐴𝐴 = 3,2 � 10−3 2 = 10,24 � 10−6 𝑚𝑚2, temos
Resposta: 𝛷𝛷 = −0,015 𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2 𝐶𝐶⁄
Exemplo 6.2. Considere uma superfície plana de área 𝐴𝐴 = 4,5 𝑚𝑚2 na presença 
de um campo elétrico uniforme de módulo 𝐸𝐸 = 2,3104 𝑁𝑁 𝐶𝐶⁄ . Qual o fluxo elétrico 
através dessa superfície nas seguintes situações?
a) O campo elétrico é perpendicular à superfície.
b) O campo elétrico é paralelo a superfície.
c) O campo elétrico faz um ângulo θ = 60° com a superfície.
𝛷𝛷 = 𝐸𝐸 � 𝐴𝐴 � cos𝜃𝜃
𝛷𝛷 = 1800 � 10,24 � 10−6 � cos 145° = −0,015 𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2/𝐶𝐶
56
Solução:
a) Quando o campo elétrico é perpendicular à superfície isso significa que o 
ângulo 𝜃𝜃 entre os vetores é igual 0°. Sabendo que 𝐴𝐴 = 4,5 𝑚𝑚2 e 𝐸𝐸 = 2,3104 𝑁𝑁/𝐶𝐶 
e usando equação 𝛷𝛷 = 𝐸𝐸 � 𝐴𝐴 � cos𝜃𝜃 podemos calcular o fluxo elétrico atra-
vés dessa superfície
b) O campo elétrico paralelo à superfície significa que o ângulo 𝜃𝜃 entre os vetores 
é igual 90°. Então temos o fluxo elétrico através dessa superfície igual a
c) Quando o campo elétrico fazum ângulo de θ = 60° com a superfície o 
fluxo elétrico através dessa superfície será
Resposta: a) Φ = 1,04105 N⋅m2/C, b) Φ = 0, c) Φ = 5,2104 N⋅m2/C
Exemplo 6.3. Uma carga pontual de 1,8 𝑚𝑚𝐶𝐶 está no centro de uma superfície 
gaussiana cúbica de 55 𝑐𝑐𝑚𝑚 de aresta. Qual é o fluxo elétrico através da superfície?
 
Solução: 
De acordo com a lei de Gauss 𝜀𝜀0 � 𝛷𝛷 = 𝑞𝑞 , na qual 𝛷𝛷 é o fluxo total através da 
superfície do cubo e q é a carga total no interior do cubo, temos:
sabendo que 𝜀𝜀0 = 8,85 � 10−12 C2/N⋅m2 e 𝑄𝑄 = 1,8 𝑚𝑚𝐶𝐶 = 1,8 � 10−6 𝐶𝐶 ,
Resposta: Φ = 2,0105 N m2 C⁄
𝛷𝛷 = 2,3104 � 4,5 � cos 0° = 1,04105 N m2 C⁄
𝛷𝛷 = 2,3104 � 4,5 � cos 90° = 0
𝛷𝛷 = 2,3104 � 4,5 � cos 60° = 5,2104 N m2 C⁄
𝛷𝛷 =
𝑞𝑞
𝜀𝜀0
57
POTENCIAL ELÉTRICO
AULA 07
58
Energia potencial
Quando elevamos um corpo de massa m à altura h estamos transferindo 
energia potencial para o corpo na forma de trabalho. O corpo acumula energia 
potencial e a transforma em energia cinética quando o soltamos, voltando à sua 
posição inicial.
Da mesma forma que um corpo a uma determinada altura h do solo possui 
energia potencial gravitacional, uma carga elétrica em um campo elétrico possui 
energia elétrica.
Figura 7.1. Energia elétrica.
Quando uma partícula carregada se desloca em um campo elétrico, o campo 
exerce uma força que realiza um trabalho sobre a partícula. Esse trabalho reali-
zado pode ser sempre expresso em termos da energia potencial.
Tal como energia potencial gravitacional depende da altura em que se encon-
tra a massa sobre a superfície terrestre, a energia potencial elétrica depende da 
posição da partícula no campo elétrico.
(7.1)
(7.2)
onde W – trabalho realizado pela força elétrica;
 𝑊𝑊𝑖𝑖 – trabalho realizado pela força elétrica no instante inicial;
 𝑊𝑊𝑓𝑓 – trabalho realizado pela força elétrica no instante final;
 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. – energia potencial elétrica;
 𝐹𝐹𝑒𝑒 – força elétrica;
 𝑑𝑑 – deslocamento.
𝑊𝑊 = −(𝑊𝑊𝑓𝑓− 𝑊𝑊𝑖𝑖)= 𝑊𝑊𝑖𝑖 −𝑊𝑊𝑓𝑓
𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. = 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑑𝑑
59
A energia potencial de uma partícula carregada na presença de um campo 
elétrico depende do valor da carga. A energia potencial por unidade de carga em 
um ponto do espaço é chamada de potencial elétrico.
(7.3)
onde V – potencial elétrico;
 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. – energia potencial elétrica;
 q – carga elétrica.
Unidades do potencial elétrico no SI é 1 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 = 1 𝑗𝑗𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗1 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑗𝑗𝑗𝑗𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 ou 1 𝑉𝑉 =
1 𝐽𝐽
1 𝐶𝐶
Diferença de potencial elétrico
A diferença de potencial elétrico (d.d.p.) entre dois pontos i e f é igual à dife-
rença entre os potenciais elétricos dos dois pontos.
(7.5)
onde ∆𝑉𝑉 – potencial elétrico;
 ∆𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. – variação entre energia potencial elétrica;
 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝑖𝑖 – energia potencial elétrica no instante inicial;
 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝑓𝑓 – energia potencial elétrica no instante final;
 𝑉𝑉𝑖𝑖 – potencial elétrico no instante inicial;
 𝑉𝑉𝑓𝑓 – potencial elétrico no instante final.
Como 𝛥𝛥𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. = −𝑊𝑊, temos 
(7.6)
Onde W – trabalho realizado pela força elétrica;
 q – carga elétrica.
A diferença de potencial entre dois pontos é, portanto, negativo do trabalho 
realizado pela força eletrostática para deslocar uma carga unitária de um ponto 
para o outro. Uma diferença de potencial pode ser positiva, negativa ou nula, 
dependendo dos sinais e dos valores absolutos de q e W. 
𝑉𝑉 =
𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.
𝑞𝑞
∆𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑓𝑓 − 𝑉𝑉𝑖𝑖 =
𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝑓𝑓
𝑞𝑞
− 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.𝑖𝑖
𝑞𝑞
= ∆𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.
𝑞𝑞
∆𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑓𝑓 − 𝑉𝑉𝑖𝑖 = −
𝑊𝑊
𝑞𝑞
60
Figura 7.2. Energia elétrica.
Considere o campo elétrico gerado por uma partícula eletrizada com carga Q. 
Vamos colocar uma carga de prova q em um ponto P desse campo, a uma distância 
d de Q (Figura 7.2). Nesse caso temos energia potencial entre as cargas elétricas 
e potencial elétrico em equações:
(7.7)
(7.8)
O gráfico representativo do potencial em função da distância da carga punti-
forme geradora do campo elétrico é uma curva denominada hipérbole equilateral. 
Figura 7.3. Os gráficos do potencial elétrico.
Suponha um local do espaço onde se encontram n partículas eletrizadas. Con-
sidere, agora, um ponto P, sujeito aos n campos elétricos criados pelas cargas. 
(7.9)
Uma vez que o potencial elétrico é uma grandeza escalar, teremos, no ponto P, 
um potencial resultante de valor igual à soma algébrica dos n potenciais criados 
individualmente pelas cargas. 
Equipotenciais são linhas (no plano) ou superfícies (no espaço) onde o potencial, em 
todos os pontos, assume o mesmo valor algébrico. Na Figura 7.4. vemos equipotenciais 
𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. = 𝑘𝑘
𝑞𝑞𝑞𝑞
𝑑𝑑
𝑉𝑉 = 𝑘𝑘
𝑞𝑞
𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑃𝑃 = 𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 + ⋯+ 𝑉𝑉𝑛𝑛 = � 𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
61
em um campo elétrico criado por uma carga puntiforme positiva. Observe que, se a 
carga fosse negativa, mudaria apenas o sentido das linhas de força, que passariam a 
ser de aproximação. Com relação às equipotenciais, nada se alteraria. No espaço, em 
vez de circunferências concêntricas, teríamos superfícies esféricas excêntricas. As equi-
potenciais (linhas ou superfícies) são perpendiculares às linhas da força.
Figura 7.4. Equipotencial.
Em um campo elétrico uniforme, as equipotenciais são retas (no plano) ou 
superfícies planas (no espaço), também perpendiculares às linhas de força, como 
representa a Figura 7.5.
Figura 7.5. Equipotencial.
É possível calcular a diferença de potencial entre dois pontos i e f em uma 
região do espaço onde existe um campo elétrico se o vetor 𝐸𝐸 campo elétrico 
for conhecido em todos os pontos de uma trajetória que ligue esses pontos. Na 
Figura 7.6 uma carga de prova 𝑞𝑞0 se desloca do ponto i para o ponto f ao longo 
da trajetória indicada, na presença de um campo elétrico não-uniforme. Durante 
um deslocamento 𝑑𝑑𝑠𝑠 uma força eletrostática 𝑞𝑞0𝐸𝐸 age sobre a carga de prova. A 
força aponta na direção da linha de campo que passa pela carga de prova.
62
Figura 7.6. Deslocamento de uma carga de prova .
Nesse caso podemos escrever a expressão do potencial elétrico:
(7.10)
Onde V – diferença do potencial elétrico;
 𝑉𝑉𝑖𝑖 – potencial elétrico no ponto inicial;
 𝑉𝑉𝑓𝑓 – potencial elétrico no ponto final;
 E – campo elétrico;
 d – deslocamento (na figura, símbolo ds).
Exemplos
Exemplo 7.1. Considere o campo elétrico gerado pela carga puntiforme 
𝑄𝑄 = 1,2 � 10−8 𝐶𝐶 , no vácuo. Determine os potenciais elétricos nos pontos A e B 
indicados e o trabalho da força elétrica que age numa carga 𝑞𝑞 = 1,0 𝜇𝜇𝐶𝐶 ao ser 
deslocada de A para B.
Figura 7.7. Exemplo 7.1.
Solução:
A expressão do potencial num ponto à distância d da carga Q é: 𝑉𝑉 = 𝑘𝑘
𝑄𝑄
𝑑𝑑
Em A, temos 𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑘𝑘
𝑄𝑄
𝑑𝑑𝐴𝐴
. Sendo 𝑘𝑘 = 8,99 � 109 N⋅m2/ C2, 𝑄𝑄 = 1,2 � 10−8 𝐶𝐶 e 𝑑𝑑𝐴𝐴 = 0,4 𝑚𝑚:
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑓𝑓 = 𝐸𝐸 𝑑𝑑
𝑉𝑉𝐴𝐴 = 8,99 � 109 �
1,2 � 10−8
0,4 = 270 𝑉𝑉
63
Em B, temos 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 𝑘𝑘
𝑄𝑄
𝑑𝑑𝐵𝐵
. Sendo 𝑑𝑑𝐵𝐵 = 0,6 𝑚𝑚:
O trabalho da força elétrica que age numa carga 𝑞𝑞 = 1,0 𝜇𝜇𝜇𝜇 = 1,0 � 10−6 𝜇𝜇 no 
deslocamento de A para B é:
Resposta: 𝑉𝑉𝐴𝐴 = 270 𝑉𝑉, 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 180 𝑉𝑉, 𝑊𝑊 = 9,0 � 10−5 𝐽𝐽
Exemplo 7.2. Determine o potencial elétrico resultante em P nos casos “a” e “b” 
indicados. Admita, em cada caso, que 𝑄𝑄 = 10−6 𝜇𝜇 e 𝑑𝑑 = 0,3 𝑚𝑚 . O meio é o vácuo. 
Figura 7.7. Exemplo 7.2.
Solução:
a) O potencial elétrico num ponto P do campo é a soma algébrica dos po-
tenciais parciais. Assim, temos:
Sendo 𝑘𝑘 = 8,99 � 109 N⋅m2/ C2, 𝑄𝑄 = 10−6 𝜇𝜇 e 𝑑𝑑 = 0,3 𝑚𝑚 , temos:
b) Nesse caso:
Resposta: a) 𝑉𝑉𝑃𝑃 = 6 � 104 𝑉𝑉, b) 𝑉𝑉𝑃𝑃 = 0
𝑉𝑉𝐵𝐵 = 8,99 � 109 �
1,2 � 10−8
0,6 = 180 𝑉𝑉
∆𝑉𝑉 = −𝑊𝑊𝑞𝑞
𝑉𝑉𝐵𝐵 − 𝑉𝑉𝐴𝐴 = −
𝑊𝑊
𝑞𝑞 ou 𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝐵𝐵 =
𝑊𝑊
𝑞𝑞
𝑊𝑊 = (𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝐵𝐵)𝑞𝑞
𝑊𝑊 = 270 − 180 � 1,0 � 10−6 = 9,0 � 10−5𝐽𝐽
𝑉𝑉𝑃𝑃 = 𝑘𝑘
+𝑄𝑄
𝑑𝑑 + 𝑘𝑘
+𝑄𝑄
𝑑𝑑 = 2𝑘𝑘
+𝑄𝑄
𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑃𝑃 = 2 � 8,99 � 109
10−6
0,3 = 6 � 10
4 𝑉𝑉
𝑉𝑉𝑃𝑃 = 𝑘𝑘
+𝑄𝑄
𝑑𝑑 + 𝑘𝑘
−𝑄𝑄
𝑑𝑑 =
+𝑄𝑄
𝑑𝑑 − 𝑘𝑘
𝑄𝑄
𝑑𝑑 = 0
64
Exemplo 7.3. São dadas as linhas de força e as superfícies equipotenciais de 
um campo uniforme. Determine:
a) a intensidade E do campo elétrico;
b) o potencial elétrico do ponto C;
c) o trabalho da força elétrica que atua em 𝑞𝑞 = 1 𝜇𝜇𝜇𝜇, ao ser deslocada de A para C.
Figura 7.8. Exemplo 7.3.
Solução:
a) A ddp entre dois pontos de um campo uniforme é dada por 𝑉𝑉 = 𝐸𝐸𝐸𝐸. 
Sendo 𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝐵𝐵 com 𝑉𝑉𝐴𝐴 = 100 𝑉𝑉, 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 80 𝑉𝑉 e 𝐸𝐸 = 0,1 𝑚𝑚, temos:
b) Para o cálculo do potencial elétrico no ponto C (𝑉𝑉𝐶𝐶), podemos novamente 
usar a equação do ddp 𝑉𝑉 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 entre os pontos B e C. Sendo 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 80 𝑉𝑉 ,
𝐸𝐸 = 200 𝑉𝑉 𝑚𝑚⁄ e 𝐸𝐸 = 0,2 𝑚𝑚 :
c) O trabalho da força elétrica que atua em q no deslocamento de A até C 
é dado por 𝑊𝑊𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝑞𝑞(𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝐶𝐶). Sendo 𝑞𝑞 = 1 𝜇𝜇𝜇𝜇 = 10−6 𝜇𝜇 , 𝑉𝑉𝐴𝐴 = 100 𝑉𝑉 e 
𝑉𝑉𝐶𝐶 = 40 𝑉𝑉, temos:
Resposta: 𝐸𝐸 = 200 𝑉𝑉/𝑚𝑚, 𝑉𝑉𝐶𝐶 = 40 𝑉𝑉, 𝑊𝑊𝐴𝐴𝐶𝐶 = 6 � 10−5 𝐽𝐽
𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 𝐸𝐸𝐸𝐸
100 − 80 = 𝐸𝐸 � 0,1
𝐸𝐸 = 200 𝑉𝑉/𝑚𝑚
𝑉𝑉𝐶𝐶 = 40 𝑉𝑉
𝑉𝑉𝐵𝐵 − 𝑉𝑉𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐸𝐸
80 − 𝑉𝑉𝐶𝐶 = 200 � 0,2
𝑊𝑊𝐴𝐴𝐶𝐶 = 10−6 100 − 40 = 6 � 10−5 𝐽𝐽
65
CAPACITÂNCIA
AULA 08
66
Capacitor
Um dos objetivos da física é estabelecer os princípios básicos dos dispositivos 
práticos projetados pelos engenheiros. Um exemplo extremamente comum: o 
capacitor, um dispositivo usado para armazenar energia elétrica. Os elementos 
básicos de qualquer capacitor são dois condutores isolados entre si. Seja qual for 
a forma dos condutores, eles recebem o nome de placas. Quando um capacitor 
está carregado, as cargas dos condutores, ou placas, como são chamados, têm o 
mesmo valor absoluto q e sinais opostos.
Figura 8.1. O capacitor
Um capacitor de placas paralelas é feito de duas placas de área A separadas 
por uma distância d (Figura 8.2). As cargas das superfícies internas das placas têm 
o mesmo valor absoluto q e sinais opostos.
Figura 8.2. O capacitor de placas paralelas.
Como mostram as linhas de campo, o campo elétrico produzido pelas placas 
carregadas é uniforme na região central entre as placas. Nas bordas das placas 
o campo não é uniforme. A carga q e a diferença de potencial V de um capacitor 
são proporcionais, ou seja,
(8.1)
onde C – capacitância;
 q – carga elétrica;
 V – diferença de potencial.
𝑞𝑞 = 𝐶𝐶 � 𝑉𝑉
67
As unidades no SI da capacitância é 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣 ou 𝐹𝐹 =
𝐶𝐶
𝑉𝑉
Na Figura 8.3 (a) temos um circuito formado por uma bateria B, uma chave S 
e as placas a e b de um capacitor C, e em (b), um diagrama esquemático no qual 
os elementos do circuito são representados por símbolos.
Figura 8.3. O capacitor de placas paralelas.
Cálculo da capacitância
Podemos calcular a capacitância de um capacitor com placas paralelas supon-
do que uma carga q foi colocada nas placas, calculando o campo elétrico E produ-
zido por essa carga, calculando a diferença de potencial V entre as placas e calcu-
lando o valor de capacitância C.
Figura 8.4. Capacitor de placas paralelas carregado
68
Para relacionar o campo elétrico E entre as placas de um capacitor à carga q 
de uma das placas, usamos a lei de Gauss:
(8.2)
onde q – carga elétrica;
 A – área;
 𝜀𝜀0 – constante (permissividade do vácuo).
A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A separadas por 
uma distância d é dado por 
(8.3)
onde C – capacitância;
 A – área;
 d – distância entre as placas;
 𝜀𝜀0 – constante (permissividade do vácuo).
A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associada ao 
campo elétrico que existe entre as placas. A energia potencial W de um capacitor 
carregado é igual ao trabalho necessário para carregar o capacitor.
(8.4)
onde C – capacitância;
 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. – energia potencial;
 q – carga elétrica.
Os capacitores de um circuito às vezes podem ser substituídos por um capa-
citor equivalente, isto é, um único capacitor com a mesma capacitância que o 
conjunto de capacitores. Combinações básicas de capacitores que permitem fazer 
esse tipo de substituição são ligação em paralelo e ligação em série.
Figura 8.4. Capacitores ligados em paralelo.
𝑞𝑞 = 𝜀𝜀0 � 𝐸𝐸 � 𝐴𝐴
𝐶𝐶 =
𝜀𝜀0 � 𝐴𝐴 
𝑑𝑑 
𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. =
𝑞𝑞2
2𝐶𝐶
69
Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados 
em paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de todos os 
capacitores, e a carga total q armazenada nos capacitores é a soma das cargas 
armazenadas individualmente nos capacitores. Capacitores ligados em paralelo 
podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total 
q e a mesma diferença de potencial V que os capacitores originais (Figura 8.5).
(8.5)
onde 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒 – capacitância equivalente;
 𝐶𝐶𝑖𝑖 – capacitância de um capacitor;
 n – número dos capacitores.
Figura 8.5. Capacitores ligados em série.
Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados 
em série, a carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores e a soma 
das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é igual à diferença de 
potencial aplicada V. Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um 
capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial 
total V que os capacitores originais.
(8.6)
onde 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒 – capacitância equivalente;
 𝐶𝐶𝑖𝑖 – capacitância de um capacitor;
 n – número dos capacitores.
𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒 = � 𝐶𝐶𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
1
𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒
= �
1
𝐶𝐶𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
70
Exemplos
Exemplo 8.1: O capacitor da Figura 8.6. possui uma capacitância de 25 𝜇𝜇𝜇𝜇 e 
está inicialmente descarregado. A bateria produz uma diferença de potencial de 
120 V. Quando a chave S é fechada, qual é a carga total que passa por ela?
Figura 8.6. Exemplo 8.1.
Solução:
A corrente no circuito persiste até que a diferença de potencial entre os termi-
nais do capacitor seja igual à força eletromotriz da bateria. Quando isso acontece, 
a carga do capacitor é 𝑞𝑞 = 𝐶𝐶 � 𝑉𝑉 e é igual à carga total que passou pela bateria. 
Assim,
Resposta: 𝑞𝑞 = 3,0 𝑚𝑚𝐶𝐶
Exemplo 8.2: Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares com 
um raio de 8,2 cm, separadas por uma distância de 1,3 mm. (a) Calcule a capa-
citância. (b) Qual é a carga das placas se uma diferença de potencial de 120 V é 
aplicada ao capacitor?
Solução:
a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por 𝐶𝐶 = 𝜀𝜀0 � 𝐴𝐴𝑑𝑑
, na qual A é a área das placas e 𝑑𝑑 = 1,3 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1,3 � 103 𝑚𝑚 é a distância 
entre as placas e 𝜀𝜀0 = 8,85 � 10−12 𝜇𝜇 𝑚𝑚⁄ .
Como as placas são circulares, a área das placas é 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝑅𝑅2 , em que 
𝑅𝑅 = 8,2 cm = 0,082 m é raio das placas. Assim,
e a capacitância de um capacitor de placas paralelas
𝑞𝑞 = 𝐶𝐶 � 𝑉𝑉
𝑞𝑞 = 25 � 10−6 � 120 = 3,0 � 10−3 𝐶𝐶 = 3,0 𝑚𝑚𝐶𝐶
𝐴𝐴 = 3,14 � 0,0822= 0,0211 𝑚𝑚2
𝐶𝐶 =
𝜀𝜀0 � 𝐴𝐴
𝑑𝑑
𝐶𝐶 =
8,85 � 10−12 � 0,0211
1,3 � 10−3 = 1,44 � 10
−10 𝜇𝜇 = 144 𝑝𝑝𝜇𝜇
71
b) A carga da placa positiva é dada por 𝑞𝑞 = 𝐶𝐶 � 𝑉𝑉, na qual 𝑉𝑉 = 120 𝑉𝑉 é a 
diferença de potencial entre as placas. Assim:
Resposta: 𝐶𝐶 = 144 𝑝𝑝𝑝𝑝; 𝑞𝑞 = 17,3 𝑛𝑛𝐶𝐶
Exemplo 8.3: Um capacitor de placas paralelas, cujo dielétrico é o ar, é carre-
gado com uma diferença de potencial de 600 𝑉𝑉 . A área das placas é 40 𝑐𝑐𝑐𝑐2 e a 
distância entre as placas é 1,0 𝑐𝑐𝑐𝑐. Determine: 
a) a capacitância, 
b) o valor absoluto da carga em uma das placas, 
c) a energia armazenada, 
d) o campo elétrico na região entre as placas.
Solução:
a) Sabendo que 𝐴𝐴 = 40 𝑐𝑐𝑐𝑐2 = 40 � 10−4 𝑐𝑐2 , 𝑑𝑑 =