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1 Caro aluno O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às melhores universidades do Brasil. Ao elaborar o seu Sistema de Ensino, o Hexag Medicina considerou como principal diferen- cial em relação aos concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios: • Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixa- ção da matéria dada em aula • Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, buscando a consolidação do aprendizado • Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade • Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais ves- tibulares do Brasil • Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparando o aluno para esse tipo de exame • Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das faculda- des públicas de São Paulo • Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase das faculdades públicas de São Paulo • Uerj (exame de qualificação): exercícios de múltipla escolha, buscando a consolidação do aprendizado para o vestibular da Uerj Visando um melhor planejamento dos seus estudos, ao final de cada aula, o gabarito vem acompanhado por códigos hierárquicos que mostrarão a que tema do livro teórico corres- ponde cada questão. Esse formato irá auxiliá-lo a diagnosticar quais assuntos você encontra mais dificuldade. Essa é uma inovação do material didático 2020. Sempre moderno e com- pleto é um grande aliado para o seu sucesso nos vestibulares. Bons estudos! Herlan Fellini 2 SUMÁRIO MATEMÁTICA ÁLGEBRA ARITMÉTICA GEOMETRIA PLANA Aulas 9 e 10: Operações com intervalos 4 Aulas 11 e 12: Inequações do 1º e 2º graus 10 Aulas 13 e 14: Relações, funções e definições 17 Aulas 15 e 16: Funções do 1º grau 24 Aulas 9 e 10: Razão, proporção e grandezas proporcionais 38 Aulas 11 e 12: Teorema fundamental da aritmética, M.M.C e M.D.C 50 Aulas 13 e 14: Porcentagem 59 Aulas 15 e 16: Acréscimos e descontos 70 Aulas 9 e 10: Semelhança de triângulos 82 Aulas 11 e 12: Relações métricas no triângulo retângulo 94 Aulas 13 e 14: Trigonometria num triângulo qualquer 103 Aulas 15 e 16: Áreas dos triângulos 114 3 4 E.O. AprEndizAgEm 1. Quatro intervalos reais A, B, C e D são tais que: • x [ A à – 10 ≤ x ≤ 10 • x [ B à 0 < x ≤ 5 • x [ C à –3 ≤ x < 2 • D = B – C Sendo D o complementar de D em relação ao conjunto A, então: a) x [ D à –10 ≤ x < 2 ou 2 < x ≤ 10. b) x [ D à –10 ≤ x < –3 ou 5 < x ≤ 10. c) x [ D à –10 ≤ x ≤ 0 ou 2 < x ≤ 10. d) x [ D à –10 ≤ x ≤ 2 ou 2 ≤ x ≤ 10. e) x [ D à –10 ≤ x < 2 ou 5 < x ≤ 10. 2. Sendo A = {x [ R | –2 ≤ x < 3} e B = {x [ Z | –2 < x ≤ 3}, é correto afirmar que: a) A < B = A. b) A < B , Z. c) A > B = A. d) A > B , Z. e) A > B = B. 3. Considere o intervalo J = ] 3 __ 7 , 8 __ 7 [. Assinale a única afirmativa verdadeira sobre J: a) Não existem valores inteiros J. b) Existem infinitos números reais no intervalo J. c) Não existem números irracionais no intervalo J. d) Existem exatamente quatro números racionais no intervalo J. e) Existem exatamente seis números racionais no intervalo J. 4. Considere os seguintes conjuntos de números naturais: A = {x [ N | 0 ≤ x ≤ 25} e B = {x [ N | 16 ≤ x < 25}. O número de elementos do conjunto A > B é: a) 9. c) 11. b) 10. d) 12. 5. O número x não pertence ao intervalo aberto de ex- tremos –1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se, então, concluir que: a) x ≤ –1 ou x > 3. c) x ≥ 2 ou x ≤ –1. b) x ≥ 2 ou x < 0. d) x > 3. 6. Considere os intervalos reais a seguir: A = ] –Ü, 2] B = ]1, Ü[ O resultado da operação A > B é: a) [ 1, 2 ] b) ] 1, 2 ] c) ] 1, 2 [ d) [ 1, 2 [ 7. (PUC-RS) A determinação por compreensão do con- junto A = [a; b] é: a) {x [ N | a ≤ x ≤ b}. b) {x [ Z | a ≤ x ≤ b}. c) {x [ Q | a ≤ x ≤ b}. d) {x [ R | a ≤ x ≤ b}. e) {x [ C | a ≤ x ≤ b}. 8. (UFF) O número p – √ __ 2 pertence ao intervalo: a) [ 1, 3 __ 2 ] . b) [ 1 __ 2 , 1 ] . c) ] 3 __ 2 , 2 [ . d) (–1, 1). e) [ – 3 __ 2 , 0 ] . 9. (UFSM) Dados os conjuntos A = {x [ N | x é impar}, B = {x [ Z |–2 < x ≤ 9} e C = {x [ R | x ≥ 5}, o produto dos elementos que formam o conjunto (A > B) – C é igual a: a) 1. d) 35. b) 3. e) 105. c) 15. 10. Assinale a alternativa verdadeira. a) {1, 2, 4, 6, 7} = [1, 7]. b) Se C = ] – 1, 3], então –1 Ó C, mas 3 [ C. c) Se D = [2, 6], então 2 [ D, mas 3 Ó D. d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um intervalo numérico. e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um conjunto vazio. Operações cOm intervalOs CompetênCia: 5 Habilidades: 19, 20, 21 e 22 AULAS 9 e 10 5 E.O. FixAçãO 1. (CFTMG) Sejam A = {x [ R | 2 ≤ x ≤ 5} e B = {x [ R | x > 4} subconjuntos de R. Podemos afirmar que: a) A – B , B. b) A – B , A. c) B – A , A. d) A – B = ]2, 4[. 2. (CFTMG) Subtraindo-se 66 anos do triplo da idade de uma pessoa obter-se-á o que lhe falta para completar metade de um século. Portanto, a idade dessa pessoa, em anos, pertence ao intervalo: a) [21, 30]. c) [41, 50]. b) [31, 40]. d) [51, 60]. 3. (CFTCE) Define-se a amplitude d do intervalo [a, b] como sendo o número d = b – a, então a amplitude de [–1, 7] > [1, 9] > [0, 8] é: a) 4. d) 7. b) 5. e) 8. c) 6. 4. (UFJF) Define-se o comprimento de cada um dos intervalos [a, b], ]a, b[, ]a,b] e [a, b[ como sen- do a diferença (b – a). Dados os intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14[, P = [5, 12[, o comprimento do intervalo resultante de(M > P) < (P – N) é igual a: a) 1. d) 7. b) 3. e) 9. c) 5. 5. (PUC-RJ) Os números m e n são tais que 4 ≤ m ≤ 8 e 24 ≤ n ≤ 32. O maior valor possível de m __ n é: a) 1 __ 2 . d) 1 __ 5 . b) 1 __ 3 . e) 1 __ 8 . c) 1 __ 6 . 6. (PUC-MG) Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: N = { 0,1,2,3,4,...} P = { x [ N | 6 ≤ x ≤ 20 } A = { x [ P | x é par } B = { x [ P | x é divisor de 48 } C = { x [ P | x é múltiplo de 5 } O número de elementos do conjunto (A – B) > C é: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. 7. (CFTCE) É unitário o conjunto: a) {x [ Z | x < 1}. b) {x [ Z | x2 > 0}. c) {x [ R | x2 = 1}. d) {x [ Q | x2 < 2}. e) {x [ N | 1 < 2x < 4}. 8. (Mackenzie) Se A = {x [ Z | x é ímpar e 1 ≤ x ≤ 7} e B = {x [ R | x² – 6x + 5 = 0}, então a única sentença falsa é: a) O conjunto das partes da intersecção dos conjun- tos A e B é P(A > B) = {{1}, {5}, {1,5}}. b) O conjunto complementar de B em relação a A é C B A = {3,7}. c) O conjunto das partes do complementar de B em relação a A é P(C B A ) = {Ö, {3}, {7}, {3,7}}. d) O conjunto A intersecção com o conjunto B é A > B = {1,5}. e) O número de elementos do conjunto das partes da união dos conjuntos A e B é n[P(A < B)] = 16. 9. (CFTMG) A operação (D) entre os conjuntos A e B, nes- sa ordem, é definida por: A D B = {x [ R | x [ B e x Ó A}. Sendo: A = {x [ R | 1 ≤ x ≤ 3} e B = {x [ R | 2 < x ≤ 7} então o conjunto (A D B) é igual a: a) ]3, 7]. b) [0, 4[. c) ]–2, 7[. d) [5, 7]. 10. Dados os conjuntos A = ]0, 10] e B = [4, 6[, a alterna- tiva que contém, respectivamente, os conjuntos A – B e A > B é: a) ]0, 4] < [6, 10] e ]4, 6[. b) ]0, 4[ < [6, 10] e [4, 6[. c) ]0, 4] < ]6, 10] e [4, 6[. d) ]0, 4[ < [6, 10] e ]4, 6[. E.O. COmplEmEntAr 1. (CFTMG) A operação (D) entre os conjuntos A e B é definida por: A D B = (A – B) < (B – A). Se: A = {x [ R | 2 ≤ x ≤ 8} e B = {x [ R | 6 < x ≤ 10} então (A D B) é igual a: a) Ö. b) [0, 6[ < [8, 10]. c) [0, 2[ < [6, 8]. d) [2, 6] < ]8, 10]. 6 2. (UFC) Sejam x e y números reais tais que: 1 __ 4 < x < 1 __ 3 ;2 __ 3 < y < 3 __ 4 e A = 3x – 2y Então é correto afirmar que: a) 4 __ 3 < A < 5 __ 2 . b) 3 __ 4 < A < 1. c) – 4 __ 3 < A < – 3 __ 4 . d) – 3 __ 4 < A < – 1 __ 3 . e) – 1 __ 3 < A < 0. 3. (UECE) Se x e y são números reais que satisfazem, re- spectivamente, às desigualdades 2 ≤ x ≤ 15 e 3 ≤ y ≤18, então todos os números da forma x __ y possíveis, perten- cem ao intervalo: a) [5, 9]. b) [ 2 __ 3 , 5 __ 6 ] . c) [ 3 __ 2 , 6 ] . d) [ 1 __ 9 , 5 ] . 4. (CFTMG) Sejam a e b números inteiros. A quantidade de números inteiros existentes no intervalo ]a,b[ é: a) b – a – 1. b) b – a. c) b – a + 1. d) b – a + 2. 5. (Fuvest) Se –4 < x < –1 e 1 < y < 2 então xy e 2 __ x estão no intervalo: a) ] –8, –1 [. b) ] –2, – 1 __ 2 . [ c) ]–2, –1[. d) ] –8, – 1 __ 2 [. e) ]–1, – 1 __ 2 [. E.O. dissErtAtivO 1. Dados os conjuntos A = ]-3, 3] e B = [3, 5], determine: a) A < B b) A > B 2. Determine A < B, quando: a) A = {x [ R | 0 < x < 3} e B = {x [ R | 1 < x < 5} b) A = {x [ R | –4 < x ≤ 1} e B = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3} c) A = {x [ R | 2 < x < 5} e B = {x [ R | 1 < x < 4} d) A = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 2} e B = {x [ R | x ≥ 0} 3. Escreva os intervalos que estão representados abaixo, utilizando duas notações diferentes: a) -3 5 b) 7 3 c) 0 d) 4- � e) 82 3 f) - 4 2 4. Dados: M = {x | x [ R e 0 < x < 5} e S = { x | x [ R e 1 < x ≤ 7}, escreva, usando colchetes, os intervalos correspondentes a: a) M – S. b) S – M 5. Represente os intervalos graficamente na reta real. a) {x [ R | x < 3} b) {a [ R | a ≥ –2} c) {p [ R | p > p} d) {x [ R | –1 ≤ x < 5} e) { t [ R | – 2 __ 5 < t ≤ 7 } f) {x [ R | 0 < x < 1} g) { x [ R | 4 ___ 11 ≤ x ≤ 1 __ 2 } h) (–Ü, –1] i) [0,1] j) ( √ __ 2 , 7] k) [–7, Ü) l) [–p, 3) m) (4, Ü) n) (–Ü, Ü) 6. Dados os subconjuntos de R calcule: (faça o gráfico) A = {x [ R | –2 ≤ x < 3}; B = {x [ R | 1 ≤ x < 4}; C = {x [ R | x < 0} a) A < B c) (A > C) > B b) A > B 7. Represente em linguagem simbólica os seguintes subconjuntos de R. a) -3 0 R 7 b) 7 10 R 8. Determine A > B, quando: a) A = {x [ R | –1 ≤ x ≤ 2} e B = {x [ R | 0 ≤ x ≤ 5} b) A = {x [ R | x < 3} e B = {x [ R | 1 ≤ x ≤4} c) A = {x [ R | –3 ≤ x < 1} e B = {x [ R | 0 ≤ x ≤ 3} d) A = {x [ R | x < 5} e {x [ R | x > 5} 9. Dados: A = ]–4, 3], B = [–5, 5] e E = ]–Ü, 1[, determine: a) A > B > E b) A < B < E c) (A < B) > E 10. Dados A = [2,7], B = [–1, 5] e E = [3,9], calcule: a) A – B b) B – A c) A – E d) E – B gAbAritO E.O. Aprendizagem 1. E 2. D 3. B 4. A 5. A 6. B 7. D 8. C 9. B 10. B E.O. Fixação 1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. A 7. E 8. A 9. A 10. B E.O. Complementar 1. D 2. D 3. D 4. A 5. D E.O. Dissertativo 1. a) ]-3, 5] b) {3} 2. a) {x [ R | 0 < x < 5} ou ]0 ,5[ ou (0, 5) b) {x [ R | –4 < x ≤ 3} ou ]–4 ,3] ou (–4, 3] c) {x [ R | 1 < x < 5} ou ]1, 5[ d) {x [ R | x ≥ –2} ou [–2 , Ü[ ou [–2, Ü) 3. a) {x [ R | –3 ≤ x ≤ 5} ou [–3 ,5] b) {x [ R | x ≤ 7 __ 3 } ou ]–Ü, 7 __ 3 ] ou (–Ü, 7 __ 3 ] c) { x [ R | x > 0} ou ]0, Ü [ ou (0, Ü) d) {x [ R | –p ≤ x < 4} ou [–p, 4[ ou [–p, 4) e) {x [ R | 2 __ 3 < x < 8} ou ] 2 ___ 3 , 8[ ou ( 2 ___ 3 , 8) f) {x [ R | –4 < x ≤ 2} ou ]–4,2] ou (–4, 2) 4. a) ]0, 1] b) [5, 7] 5. a) x < 3 3 b) a ≥ –2 - 2 c) p > π p > p � � 3,14 d) –1 ≤ x < 5 -1 5 e) – 2 __ 5 ≤ t ≤ 7 = - 0,4 -25 7 f) 0 < x < 1 0 1 g) 4 ___ 11 ≤ x ≤ 1 __ 2 4/11 � 0,36 1/5 = 0,5 h) (–Ü, –1] - 1 i) [0,1] 10 j) ( √ __ 2 , 7] 72 � 1,4 k) [–7, Ü) -7 l) [–p, 3) -� 3��- 3,14 m) (4, Ü) 4 8 n) (–Ü, Ü) 6. Observe a figura a seguir: a) {x [ R | –2 ≤ x < 4} b) {x [ R | 1 ≤ x < 3} c) Ö 7. a) ]–3, 0] b) [7, 10] 8. a) {x [ R | 0 ≤ x ≤ 2} ou [0, 2] b) {x [ R | 1 ≤ x ≤ 3} ou [1 ,3[ ou [1, 3) c) {x [ R | 0 ≤ x < 1} ou [0 ,1[ ou [0, 1) d) Ö 9. a) ]–4, 1] b) ]–Ü, 5] c) [–5, 1] 10. a) {x [ R | 5 < x ≤ 7} ou ]5, 7] ou (5, 7] b) {x [ R | –1 ≤ x < 2} ou [–1, 2[ ou [–1, 2] c) {x [ R | 2 ≤ x < 3} ou [2, 3[ ou [2, 3) d) {x [ R | 5 < x < 9} ou ]5, 9[ ou (5, 9) 9 CÓDIGOS HIERÁRQUICOS Os códigos a seguir foram elaborados para ajudar o aluno a identificar os temas dos exercícios realizados, ajudando-o a mapear seus pontos fortes e seus pontos fracos. As numerações aqui dispostas, portanto, possuem correspondências didáticas no seu material teórico. E.O. APRENDIZAGEM exercíciOs códigOs 1 1.1 2 1.1 3 1 e 1.1 4 1 e 1.1 5 1 e 1.1 6 1.1 7 1.1 8 1 e 1.1 9 1.1 10 1 e 1.1 E.O. FIXAÇÃO exercíciOs códigOs 1 1 e 1.1 2 1.1 3 1.1 4 1.1 5 1 e 1.1 6 1.1 7 1 e 1.1 8 1.1 9 1 e 1.1 10 1 e 1.1 E.O. COMPLEMENTAR exercíciOs códigOs 1 1 2 1 e 1.1 3 1 e 1.1 4 1 e 1.1 5 1 e 1.1 E.O. DISSERTATIVO exercíciOs códigOs 1 1 2 1 e 1.1 3 1 e 1.1 4 1 5 1 e 1.1 6 1 e 1.1 7 1 e 1.1 8 1 9 1 10 1 e 1.1 10 E.O. AprEndizAgEm 1. (PUC-RJ) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades 2x + 3 ≤ x + 7 e x + 5 ≤ 3x + 1? a) 0 d) 3 b) 1 e) infinitos c) 2 2. (UFJF) Dadas as desigualdades, em : I. 3x + 1 < –x + 3 ≤ –2x + 5 II. 4x – 1 ________ x – 2 ≤ 1 O menor intervalo que contém todos os valores de x que satisfazem, simultaneamente, às desigualdades I e II é: a) ] 1 __ 3 , 3 __ 5 ]. b) ]–2, – 3 __ 2 ]. c) ]–∞, 3 __ 5 ]. d) [– 1 __ 3 , 1 __ 2 [. e) [ 4 __ 3 , 3 __ 5 [. 3. (FGV) O número de soluções inteiras da in- equação 2x + 6 _______ 14 – 2x ≥ 0 é: a) 8. d) 11. b) 9. e) infinito. c) 10. 4. (CFT-MG) O conjunto solução S, em da inequação –4 · (2x – 1) · ( x __ 3 – 1 ) > 0 é: a) S = {x [ R | 1 < x < 2}. b) S = { x [ R | 1 __ 2 < x < 3 } . c) S = {x [ R |x < 1 ou x > 2}. d) S = { x [ R | x < 1 __ 2 ou x > 3 } . 5. (PUC-RJ) Considere a inequação x + 1 ______ –x –5 ≤ 0 com x ∈ . Qual é o conjunto solução da inequação? a) (–∞, 1] ∪ [5, ∞) b) (–∞, –5) ∪ [–1, ∞) c) [0, ∞) d) [–5, ∞) e) (–1, ∞) 6. (CFT-MG) O número de soluções inteiras da inequação –x2 + 13x – 40 ≥ 0 no intervalo I = {x [ Z |2 ≤ x ≤ 10} é: a) 1. c) 3. b) 2. d) 4. 7. (IFCE) O conjunto solução S ; da inequação (5x2 – 6x – 8)(2 – 2x) < 0 é: a) S = ] 4 ___ 5 , 2[ ø ]–`, 1[. b) S = ]2, + `[ ø ]– 4 __ 5 , 1[. c) S = ]– 4 __ 5 , 2[ ø ]1, +`[. d) S = ]–`, – 4 __ 5 [ ø ]1, 2[. e) S = ]– 4 __ 5 , 1[ ø ]2, +`[. 8. (PUC-SP) Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença 1 ______ x – 20 ≤ 1 ______ 12 – x ? a) Dezesseis d) Treze b) Quinze e) Menos que treze c) Quatorze 9. (UECE) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x2 – 32x + 252 < 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto: a) {12, 13, 14}. b) {15, 16, 17}. c) {18, 19, 20}. d) {21, 22, 23}. 10. (Ibmecrj) A soma dos quadrados dos núme- ros naturais que pertencem ao conjunto solução de (3 – x) · (x2 – 1) ________________ x + 2 ≥ 0 é igual a: a) 13. d) 19. b) 14. e) 20. c) 15. E. O. FixAçãO 1. (CFT-MG) O número de soluções inteiras da inequação x – 1 < 3x – 5 < 2x + 1 é: a) 4. c) 2. b) 3. d) 1. inequações dO 1º e 2º graus CompetênCia: 5 Habilidade: 21 AULAS 11 e 12 11 2. (PUC-RJ) A soma dos números inteiros x que satis- fazem 2x +1 ≤ x + 3 ≤ 4x é: a) 0. d) 3. b) 1. e) –2. c) 2. 3. (IFCE) Tomando-se R, o conjunto dos números reais, como universo, a inequação 3x 2 ___ 7 – ( 2x + 3x 2 ___ 7 ) ≤ 4 __ 5 tem como solução: a) { x [ R; x ≤ – 7 __ 5 } . b) { x [ R; x ≥ 7 __ 5 } . c) { x [ R; x ≥ – 5 __ 2 } . d) { x [ R; x ≤ – 2 __ 5 } . e) { x [ R; x ≥ – 2 __ 5 } . 4. (IFBA) Considere estas desigualdades: 5x ___ 2 ≤ 7x + 5 _______ 3 –x + 6 ________ 4 ≤ 1 A quantidade de números inteiros x que satisfaz simul- taneamente às duas desigualdades é: a) 11. d) 8. b) 10. e) 7. c) 9. 5. (Insper) Osorganizadores de uma festa previram que o público do evento seria de, pelo menos, 1.000 pessoas e que o número de homens presentes estaria entre 60% e 80% do número de mulheres presentes. Para que tal previsão esteja errada, basta que o número de: a) homens presentes na festa seja igual a 360. b) homens presentes na festa seja igual a 500. c) homens presentes na festa seja igual a 1.000. d) mulheres presentes na festa seja igual a 650. e) mulheres presentes na festa seja igual a 1.000. 6. (Udesc) Se n é um número inteiro, então a quantidade de números racionais da forma 2n _______ 3n + 15 que são estrita- mente menores que 7 ___ 13 é: a) 21. d) infinita. b) 25. e) 27. c) 20. 7. (UERN) A soma de todos os números inteiros que satisfazem simultaneamente a inequação-produto (3x – 7) · (x + 4) < 0 e a inequação-quociente 2x + 1 _______ 5 – x > 0 é: a) 3. c) 6. b) 5. d) 7. 8. (CFT-MG) A solução da inequação (x – 3)2 > x – 3 é: a) x > 4. c) 3 < x < 4. b) x < 3. d) x < 3 ou x > 4. 9. (ESPM)O número de soluções inteiras do sistema de inequações 2x – 3 ______ –2 < 3 x2 + 2x ≤ 8 é igual a: a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. 10. (Mackenzie) A função f(x) = √ ________ 9 – x 2 _____________ x2 + x – 2 tem como domínio o conjunto solução: a) S = {x [ R | −3 < x ≤ –2 ou 1 ≤ x < 3}. b) S = {x [ R | −3 ≤ x < –2 ou 1 < x ≤ 3}. c) S = {x [ R | −3 ≤ x < –2 ou 1 ≤ x ≤ 3}. d) S = {x [ R | −2 < x ≤ –1 ou 1 ≤ x ≤ 3}. e) S = {x [ R | −2 ≤ x < –1 ou 1 < x ≤ 3}. E.O. COmplEmEntAr 1. (Ime) O sistema de inequações abaixo admite k soluções inteiras. x 2 – 2x – 14 _____________ x > 3 x ≤ 12 Pode-se afirmar que: a) 0 ≤ k < 2. d) 6 ≤ k < 8. b) 2 ≤ k < 4. e) k ≥ 8. c) 4 ≤ k < 6. 2. (Col. Naval) No conjunto dos números reais, qual será o conjunto solução da inequação 88 _____ √ ____ 121 – 1 __ x ≤ 0,25 ? a) { x [ R | 2 ___ 15 < x < 15 ___ 2 } b) { x [ R | 0 < x ≤ 2 ___ 15 } c) { x [ R | – 2 ___ 15 < x < 0 } d) { x [ R | – 15 ___ 2 ≤ x < – 2 ___ 15 } e) { x [ R | x < – 15 ___ 2 } 3. (IFSP) Quatro unidades do produto A, com “peso” de 1 kg, custam 480 reais. Sete unidades do produto B, “pesando” 1 kg, custam 300 reais. Sabendo-se que 10 unidades do produto A e x unidades do produto B, jun- tas, “pesam” no mínimo 5 kg e não ultrapassam 2.000 reais, então o número x é: a) primo. b) divisível por 7. c) divisível por 5. d) múltiplo de 6. e) múltiplo de 4. 4. (IME) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que r _ s < t __ v . Considere as seguintes relações: I. (r + s) _______ s < (t + v) _______ v 12 II. r _______ (r + s) < t ________ (t + v) III. r _ s < (r + t) _________ (s + v) IV. (r + t) _______ s < (r + t) ________ v O número total de relações que estão corretas é: a) 0. d) 3. b) 1. e) 4. c) 2. 5. (PUC-MG) A função f é tal que f(x) = √ _____ g(x) . Se o gráfico da função g é a parábola a seguir, o domínio de f é o conjunto: a) {x [ R | x ≥ 0}. b) {x [ R | x ≤ –2 ou x ≥ 2}. c) {x [ R | 0 ≤ x ≤ 2}. d) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 2}. E.O. dissErtAtivO 1. (Ufrrj) Considere a função f(x) = 4x 2 – 6x ____________ –x2 – 3x – 28 . Determine os intervalos nos quais f(x) é estritamente negativa. 2. (PUC-RJ) Determine para quais valores reais de x vale cada uma das desigualdades abaixo. a) 1 ____________ x2 –8x + 15 < 0 b) 1 _____________ x2 – 8x + 15 < 1 __ 3 3. (UFJF) Sejam f : R → R e g: R → R funções definidas por f(x) = x – 14 e g(x) = – x2 + 6x – 8, respectivamente. a) Determine o conjunto dos valores de x tais que f(x) > g(x). b) Determine o menor número real k tal que f(x) + k ≥ g(x) para todo x , R. 4. (Ufrrj) A interseção dos seguintes conjuntos, A = { x [ R | x2 – 6x + 5 < 0 }, B = { x [ R | –x2 + 2x + 3 > 0 } e C = { x [ R | x2 – 8x + 12 ≥ 0 } é um intervalo. Determine o conjunto solução que representa esse intervalo. 5. (UFJF) Uma empresa trabalha com placas de publici- dade retangulares, de lados iguais a x + 3 e 2x – 4 metros. a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12 m2 a 28 m2. b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2. 6. (UFF) Resolva, em R –{–4, –2}, a inequação x – 4 _____ x + 2 < x – 2 ______ x + 4 . 7. (Unioeste) O maior número natural que pode ser acrescentado ao numerador e ao denominador de 3 __ 7 de forma a obter um número pertencente ao intervalo ] 1 __ 2 , 4 __ 5 [ é: 8. (PUC-RJ) Considere a função real g(x) = x4 – 40x2 + 144 e a função real f(x) = x(x – 4) · (x + 4). a) Para quais valores de x temos f(x) < 0? b) Para quais valores de x temos g(x) < 0? c) Para quais valores de x temos f(x) · g(x) > 0? 9. (ITA) Determine todos os valores de m [ R tais que a equação (2 – m) x2 + 2mx + m + 2 = 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero. 10. (Ime) Resolva a inequação, onde x ∈ . 9x 2 ____________ (1 – √ _____ 3x + 1 )2 > 4 E.O. EnEm 1. (Enem) O setor de recursos humanos de uma empresa pretende fazer contratações para adequar-se ao artigo 93 da Lei nº 8.213/91, que dispõe: Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários re- abilitados ou pessoas com deficiência, habilitadas, na seguinte proporção: I. até 200 empregados ........................2%; II. de 201 a 500 empregados ................3%; III. de 501 a 1.000 empregados .............4%; IV. de 1.001 em diante .........................5%. Disponível em: www.planalto.gov.br. acesso em: 3 fev. 2015. Constatou-se que a empresa possui 1.200 funcionários, dos quais 10 são reabilitados ou com deficiência, habilitados. Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará apenas empregados que atendem ao perfil indicado no artigo 93. O número mínimo de empregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que deverá ser contratado pela empresa é: a) 74. d) 60. b) 70. e) 53. c) 64. 13 E.O. UErJ ExAmE dE QUAliFiCAçãO 1. (UERJ) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a: A = 3 B = 0 C = 0 D = 7 Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição: A + B + C + D = 20 O mês de nascimento dessa pessoa é: a) agosto b) setembro c) outubro d) novembro 2. (UERJ) Sabe-se que o polinômio P(x) = –2x3 – x2 + 4x + 2 pode ser decomposto na forma P(x) = (2x + 1) · (–x2 + 2). Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = –x2 + 2, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se o gráfico a seguir: Y f g 1 2 2 X2 Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a inequação –2x3 – x2 + 4x + 2 < 0. Todos os valores de x que satisfazem a essa inequação estão indicados na seguinte alternativa: a)x < – √ __ 2 ou x > – 1 __ 2 b) x < – √ __ 2 ou x > √ __ 2 c) x < – √ __ 2 ou – 1 __ 2 < x < √ __ 2 d) – √ __ 2 < x < – 1 __ 2 ou x > √ __ 2 E.O. UErJ ExAmE disCUrsivO 1. (UERJ) A tabela a seguir indica a quantidade dos pro- dutos A, B e C, comprados nas lojas X, Y e Z, e as despe- sas, em reais, relativas às compras efetuadas. Produtos Lojas A B C Despesas (R$) X 3 2 1 80 Y 1 2 3 100 Z 1 2 0 40 De acordo com os dados, determine: a) o intervalo de variação do preço do produto B, comprado na loja Z; b) o preço unitário do produto A, admitindo que o preço de venda de cada produto é igual nas três lojas. 2. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, estão representadas as funções f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x + 10. unidades em cm g(x) f(x)P x y Com base nos dadosa seguir, determine: a) as coordenadas do ponto P. b) o conjunto-solução da inequação g(x) ____ f(x) < 0, f(x) ≠ 0. E.O. ObJEtivAs (UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp) 1. (Fuvest) Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de vi- tamina A e 60 microgramas de vitamina D, alimentan- do-se exclusivamente de um iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 mi- crogramas de vitamina D. Cada pacote de cereais for- nece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. Consumindo x litros de iogurte e y pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se: a) x + 3y ≥ 7 e 20x + 15y ≥ 60. b) x + 3y ≤ 7 e 20x + 15y ≤ 60. c) x + 20y ≥ 7 e 3x + 15y ≥ 60. d) x + 20y ≤ 7 e 3x + 15y ≤ 60. e) x + 15y ≥ 7 e 3x + 20y ≥ 60. 14 2. (Unesp 2017) No universo dos números reais, a equa- ção (x2 – 13x + 40)(x2 – 13x + 42) ____________________________ √ ____________ x2 – 12x + 35 = 0 é satisfeita por apenas: a) três números. b) dois números. c) um número. d) quatro números. e) cinco números. 3. (Fuvest) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas apli- cações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00 a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo: a) R$ 200.000,00. b) R$ 175.000,00. c) R$ 150.000,00. d) R$ 125.000,00. e) R$ 100.000,00. E.O. dissErtAtivAs (UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp) 1. (Unesp) Três empresas A, B e C comercializam o mes- mo produto e seus lucros diários (L(x)), em reais, variam de acordo com o número de unidades diárias vendidas (x) segundo as relações: Empresa A: LA (x) = 10 ___ 9 x 2 – 130 ____ 9 x + 580 ____ 9 Empresa B: LB (x) = 10x + 20 Empresa C: LC (x) = 120, se x < 15 10x – 30, se x ≥ 15 Unidades diárias vendidas x Lucro diário Unidades diárias vendidas (x) Lu cr o di ár io ( R$ ) Determine em que intervalo deve variar o número de unidades diárias vendidas para que o lucro da empresa B supere os lucros da empresa A e da empresa C. 2. (Unesp) A demanda de um produto químico no mer- cado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor químico indicam que D e F variam em função de p, de acordo com as seguintes funções: D(p) = 3p2 – 21p __________ 4 – 2p e F(p) = 5p – 10 _________ 3 . Admitindo-se p > 1 e sabendo que √ ______ 7569 = 87, deter- mine o valor de p para o qual a oferta é igual à deman- da desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se p > 1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produto é positiva. 3. (Unicamp) Uma lâmpada incandescente de 100 W custa R$ 2,00. Já uma lâmpada fluorescente de 24 W, que é capaz de iluminar tão bem quanto a lâm- pada incandescente de 100 W, custa R$ 13,40. Re- sponda às questões a seguir, lembrando que, em uma hora, uma lâmpada de 100 W consome uma quantidade de energia equivalente a 100 Wh, ou 0,1 kWh. Em seus cálculos, considere que 1 kWh de en- ergia custa R$ 0,50. a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja, desprezando o custo de aquisição da lâm- pada, determine quanto custa manter uma lâmpada incandescente de 100 W acesa por 750 horas. Faça o mesmo cálculo para uma lâmpada fluorescente de 24 W. b) Para iluminar toda a sua casa, João comprou e instalou apenas lâmpadas fluorescentes de 24 W. Fernando, por sua vez, comprou e instalou somente lâmpadas incandescentes de 100 W para iluminar sua casa. Considerando o custo de compra de cada lâm- pada e seu consumo de energia, determine em quan- tos dias Fernando terá gasto mais com iluminação que João. Suponha que cada lâmpada fica acesa 3 horas por dia. Suponha, também, que as casas pos- suem o mesmo número de lâmpadas. 4. (Unifesp) Os candidatos que prestaram o ENEM po- dem utilizar a nota obtida na parte objetiva desse ex- ame como parte da nota da prova de Conhecimentos Gerais da UNIFESP. A fórmula que regula esta possibili- dade é dada por 95% CG + 5% ENEM, se ENEM > CG, CG, se ENEM ≤ CG, NF = onde NF representa a nota final do candidato, ENEM a nota obtida na parte objetiva do ENEM e CG a nota obtida na prova de Conhecimentos Gerais da UNIFESP. a) Qual será a nota final, NF, de um candidato que optar pela utilização da nota no ENEM e obtiver as notas CG = 2,0 e ENEM = 8,0? b) Mostre que qualquer que seja a nota obtida no ENEM, se ENEM > CG então NF > CG. gAbAritO E.O. Aprendizagem 1. D 2. D 3. C 4. B 5. B 6. D 7. E 8. B 9. B 10. B 15 E.O. Fixação 1. B 2. D 3. E 4. C 5. A 6. B 7. A 8. D 9. D 10. B E.O. Complementar 1. D 2. B 3. D 4. D 5. D E.O. dissertativo 1. ] –∞, 0 [ e ] 3 __ 2 , ∞[ 2. a) 3 < x < 5 b) ]–`, 2[ ø ]3,5[ ø ]6, +`[ 3. a) S = {x [ R | x < –1 ou x > 6} b) k = – D ___ 4a = – 49 _______ _ 4 · (–1) = 49 ____ 4 4. S = {x [ R | 1 < x ≤ 2 } 5. a) {x [ R | 3 ≤ x ≤ 4} b) 7 m e 4 m. 6. x < – 4 ou x > –2. 7. 12 8. a) {x [ R | x < –4 ou 0 < x < 4}. b) {x [ R | –6 < x < –2 ou 2 < x < 6}. c) {x [ R | –6 < x < –4 ou –2 < x < 0 ou 2 < x < 4 ou x > 6}. 9. –2 < m < – √ __ 2 10. x > 0 ⇒ S = R* + E.O. Enem 1. E E.O. UErJ Exame de Qualificação 1. B 2. D E.O. UErJ ExAmE discursivo 1. a) 0 < B < 20 b) 10 reais 2. a) P (7, 24) b) x < 5; x≠ 1 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. C 3. A E.O. dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. ]10, 20[ 2. p = 5; 2 < p < 7 3. a) 100W : R$37,50 ; 24W : R$9,00 b) Após 100 dias. 4. a) 2,3 b) Se ENEM > CG, então: NF = 0,95 · CG + 0,05 · ENEM > 0,95 · CG + 0,05 · CG > CG ⇔ NF > CG. 16 CÓDIGOS HIERÁRQUICOS Os códigos a seguir foram elaborados para ajudar o aluno a identificar os temas dos exercícios realizados, ajudando-o a mapear seus pontos fortes e seus pontos fracos. As numerações aqui dispostas, portanto, possuem correspondências didáticas no seu material teórico. E.O. APRENDIZAGEM exercíciOs códigOs 1 2, 2.1, 2.2 2 2, 2.1, 2.2 3 4, 4.2 4 4, 4.1 5 4, 4.2 6 3, 3.1, 3.2 7 4, 4.2 8 4, 4.1, 4.2 9 3, 3.1, 3.2 10 4, 4.1, 4.2 E.O. FIXAÇÃO exercíciOs códigOs 1 2, 2.1, 2.2 2 2, 2.1, 2.2 3 2, 3 4 2, 2.1, 2.2 5 2, 2.1, 2.2 6 4, 4.2 7 4, 4.1 8 3, 3.1, 3.2 9 2 e 3 10 4, 4.2 E.O. COMPLEMENTAR exercíciOs códigOs 1 2, 3, 4 e 4.2 2 4, 4.2 3 2, 2.1, 2.2 4 2, 2.1, 2.2, 4.2 5 3, 3.1, 3.2 E.O. DISSERTATIVO exercíciOs códigOs 1 2, 3 e 4 2 3, 3.1, 3.2, 4 e 4.2 3 3, 3.1, 3.2 4 3, 3.1, 3.2 5 4, 4.1 6 4, 4.1, 4.2 7 4, 4.2 8 4, 4.1, 4.2 9 2, 3, 4, 4.1 e 4.2 10 4, 4.1 e 4.2 E.O. ENEM exercíciOs códigOs 1 2, 2.1, 2.2 E.O. UERJ EXAME DE QUALIFICAÇÃO exercíciOs códigOs 1 2, 2.1, 2.2 2 3, 4, 4.1 E.O. UERJ EXAME DISCURSIVO exercíciOs códigOs 1 2, 2.1, 2.2 2 4, 4.2 E.O. OBJETIVAS (UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNESP) exercíciOs códigOs 1 2, 2.1, 2.2 2 3, 4, 4.1 3 2, 2.1, 2.2 E.O. DISSERTATIVAS (UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNESP) exercíciOs códigOs 1 3, 3.1, 3.2 2 3, 4, 4.1 3 2, 2.1, 2.2 4 2, 2.1, 2.2 17 E.O. AprEndizAgEm 1. (Unaerp) Qual dos seguintes gráficos não representa uma função f: R é R? a) d) y xo y 0 b) e) x y 0 y 0 x c) y x0 2. Há funções y = f(x) que possuem a seguinte proprie- dade: “a valores distintos de x correspondem valores distintos de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funçõescujos gráficos aparecem abaixo, é injetora? a) c) y x 1 y 1 x b) d) y x 1 y x 1 e) y x 1 3. (UFF) Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] representadas através dos gráficos a seguir: y y y f q q q g h p p p n n nm m m x x x Pode-se afirmar que: a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva. b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva. c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva. e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva. 4. (UEPG) Considerando os conjuntos: R = {0, 1, 3, 5, 7}, S = {2, 4, 6} e P = {1, 2}, assinale o que for correto. a) 1 [ (S – P). b) Existe uma função f: S é P que é bijetora. c) (S > P) < R = R. d) R > S > P = Ö. 5. (PUC-Camp) Seja f a função de R em R, dada pelo gráfico a seguir: 0 1-1 X Y 2 2 -2 -2 É correto afirmar que: a) f é sobrejetora e não injetora. b) f é bijetora. c) f(x) = f(–x) para todo x real. d) f(x) > 0 para todo x real. e) o conjunto imagem de f é ] –Ü; 2 ]. relações, funções e definições CompetênCias: 3, 4, 5 e 6 Habilidades: 13, 15, 20 e 25 AULAS 13 e 14 18 6. (FGV) Seja a função f(x) = x2. O valor de f (m + n) – f(m – n) é: a) 2m2 + 2n2. d) 2m2. b) 2n2. e) 0. c) 4mn. 7. (FEI) Se f(x) = 2 ______ x – 1 , ?x ≠ 1, então √ ________ 8f(f(2)) vale: a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do filme, sendo que: • nos 10 primeiros dias desse período, as vendas fo- ram feitas exclusivamente nas bilheterias; • nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simulta- neamente nas bilheterias e pela internet. Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o tempo t. 8. (Insper) Durante as vendas exclusivas nas bilheterias, a capacidade de atendimento dos guichês dos cinemas do mundo todo, ao longo do tempo, era sempre a mes- ma, totalizando a venda de 2 milhões de ingressos por dia. Assim, o gráfico que melhor descreve v(t) para esse período, em função de t, é: a) d) b) e) c) 9. (CFT-MG) O crescimento de uma cultura de bactérias ao longo de seis dias é mostrado no gráfico abaixo. O conjunto imagem dessa função é: a) {y [ R | 5000 < y < 18500}. b) { x [ R | 0 < x < 6}. c) {5000, 18500}. d) [0,6[. 10. Na função real definida por f(x) = 5x, f(a) · f(b) é sempre igual a: a) f (a · b). b) f (a + b). c) f ( a __ 5 + b __ 5 ) . d) f (5 · a · b). e) f (a5 · b5). E.O. FixAçãO 1. (CFT-MG) Sendo g(x) = f(x2 + 6) e a função f : R – {2} é R, definida por f(x) = 2 ______ x – 2 , o domínio da função g, é o conjunto: a) R – {1}. b) R – {– √ __ 5 , √ __ 5 }. c) R – {0}. d) R. 2. (UFSM) Escolhendo aleatoriamente alguns números das páginas de um livro adquirido numa livraria, foram formados os conjuntos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo a relação definida por R = {(x,y) [ A × B | x ≥ y}. Dessa forma: a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}. b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}. c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}. d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}. e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8}. 3. (UECE) Se f(x) = √ __ 3 · x2 + 1, x [ R, então ( √ __ 3 – 1) [f( √ __ 3 ) – f( √ __ 2 )+1] é igual a: a) 2. b) 3. c) 2 √ __ 3 . d) 3 √ __ 3 . 4. (UEL) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, definida por R = {(x,y) [ A x B | x é divisor de y}. Nestas condições, R é o conjunto: a) {(0, 2), (0, 8), (0, 9), (1, 2), (1, 8), (1, 9), (2,2), (2, 8), (3, 9), (4, 8)}. b) {(1, 2), (1, 8), (1, 9), (2, 2), (2, 8), (3, 9), (4, 8)}. c) {(2, 1), (2, 2), (8, 1), (8, 2), (8, 4), (9, 1), (9, 3)}. d) {(0, 2), (0, 8), (0, 9), (2, 2)}. e) {(2, 0), (2, 2), (2, 4)}. 19 5. (UFPE) Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o gráf- ico de uma função injetora y = f(x)? a) d) y 0 x y x 0 b) e) 0 x y y x 0 c) x y 0 6. (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as es- colas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de pro- fessores de cada escola do conjunto E. Se f: E é P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: a) f não pode ser uma função bijetora. b) f não pode ser uma função injetora. c) f é uma função sobrejetora. d) f é necessariamente uma função injetora. 7. (CFT-MG) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e R = {(x, y) [ P × P | x + y < 3}, o número de elementos do conjunto R é igual a: a) 3. c) 5. b) 4. d) 6. 8. (UFRN) Considerando K = {1, 2, 3, 4}, marque a opção, cuja figura representa o produto cartesiano K × K. a) c) 4 y x 3 2 1 1 2 3 4 4 y x 3 2 1 1 2 3 4 b) d) 4 y x 3 2 1 1 2 3 4 4 y x 3 2 1 1 2 3 4 9. Considere a função f(x) = 1 – 4x ________ (x + 1)² , a qual está definida para x ≠ –1. Então, para todo x ≠ 1 e x ≠ –1, o produto f(x) ∙ f(–x) é igual a: a) –1. d) x² + 1. b) 1. e) (x – 1)². c) x + 1. 10. (Espcex) O domínio da função real f(x) = dXXXXX 2 – x ____________ x2 – 8x + 12 é: a) ]2, Ü[. d) ]–2, 2]. b) ]2, 6[. e) ]–Ü, 2[. c) ]–Ü, 6]. E.O. COmplEmEntAr 1. (IFAL) O domínio da função dada por f(x) = dXXXXX x – 2 _______ dXXXXX 3 – x é: a) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3}. b) {x [ R | –2 ≤ x < 3}. c) {x [ R | 2 ≤ x < 3}. d) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3}. e) {x [ R | x ≠ 3}. 2. Através dos gráficos das funções f(x) e g(x), os valores de f(g(0)) e g(f(1)) são, respectivamente: a) –5 e 0. d) 2 e –5. b) –5 e 2. e) 2 e 0. c) 0 e 0. 3. Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a: a) 1 __ 2 . d) 5. b) 1. e) 10. c) 5 __ 2 . 4. (FEI) Sabendo-se que f(x + y) = f(x) · f(y) para qualquer valor real x e qualquer valor real y, é válido afirmar-se que: a) f (0) = 1. d) f (1) = 0. b) f (1) = 1. e) f (–1) = f(1). c) f (0) = 0. 5. (ITA) Considere funções f, g, f + g : R é R. Das afirmações: I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora; II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora; III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora; IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora, é(são) verdadeira(s): a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas III e IV. e) todas. 20 E.O. dissErtAtivO 1. (UFF) Esboce, no sistema de eixos coordenados abaixo, o gráfico de uma função real, cujo domínio é o intervalo [1,2] e cuja imagem é o conjunto [–2, –1] < [2,3]. 2. (Ufrrj) Considere a função real f, para a qual f(x + 1) – f(x) = 2x, ? x [ R. Determine o valor de f(7) – f(3). 3. (UFPE) Seja A um conjunto com 3 elementos e B um conjunto com 5 elementos. Quantas funções injetoras de A em B existem? 4. (UFPE) A função f : R é R é tal que f(x + y) = f(x) + f(y), para todo x e y. Calcule f(0) + 1. 5. Em cada uma das funções abaixo, indique os conjun- tos domínio e imagem e classifique, se possível, se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora. a) y 1 f: [-2, 2] � R x -2 2 -1 b) 9 -3 30 y x f:]-3,3[�[0,9[ c) 3 y f: [-3, 4[ � R+ -3 -2 4 x R 6. (UFPE) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parên- teses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. Sejam A e B conjuntos com m e n elementos respectiva- mente. Analise as seguintes afirmativas: ( ) Se f: A é B é uma função injetora então m ≤ n. ( ) Se f: A é B é uma função sobrejetora então m ≥ n. ( ) Se f: A é B é uma função bijetora então m = n. ( ) Se f: A é B é uma função bijetora então o gráfico de f é um subconjunto de A × B com m × n elementos. ( ) Se m = n o número de funções bijetoras f: A é B ém! 7. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo, determine o domínio, a imagem e o contradomínio. a) -2. 0. 0. 4. .16 .12 . 82. A R1 B 4. b) 4. . 0 . 10 . 100 . 1000 . 1 A B 1. 2. 3. 0. 8. (CFT-CE) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte relação: R = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 1}. 9. Uma função de variável real satisfaz a condição f(x + 2) = 2f(x) + f(1), qualquer que seja a variável x. Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de: a) f(1). b) f(5). 10. Uma função tem domínio D = {3, 7, 10} e associa cada elemento do domínio ao dobro do valor dele. Qual é a imagem dessa função? E.O. EnEm 1. (Enem) Em um exame, foi feito o monitoramento dos níveis de duas substâncias presentes (A e B) na corrente sanguínea de uma pessoa, durante um período de 24 h, 21 conforme o resultado apresentado na figura. Um nutri- cionista, no intuito de prescrever uma dieta para essa pessoa, analisou os níveis dessas substâncias, determi- nando que, para uma dieta semanal eficaz, deverá ser estabelecido um parâmetro cujo valor será dado pelo número de vezes em que os níveis de A e de B forem ig- uais, porém, maiores que o nível mínimo da substância A durante o período de duração da dieta. Considere que o padrão apresentado no resultado do exame, no período analisado, se repita para os dias sub- sequentes. O valor do parâmetro estabelecido pelo nutricionista, para uma dieta semanal, será igual a: a) 28. d) 7. b) 21. e) 14. c) 2. 2. (Enem) Atualmente existem diversas locadoras de veículos, permitindo uma concorrência saudável para o mercado, fazendo com que os preços se tor- nem acessíveis. Nas locadoras P e Q o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, con- forme o gráfico. O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)? a) De 20 a 100. b) De 80 a 130. c) De 100 a 160. d) De 0 a 20 e de 100 a 160. e) De 40 a 80 e de 130 a 160. 3. (Enem) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g. O gráfi- co mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios: O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de: a) 8,35. d) 15,35. b) 12,50. e) 18,05. c) 14,40. E.O. UErJ ExAmE dE QUAliFiCAçãO 1. (UERJ) O gráfico abaixo representa o consumo de oxigênio de uma pessoa que se exercita, em condições aeróbicas, numa bicicleta ergométrica. Considere que o organismo libera, em média, 4,8 kcal para cada litro de oxigênio absorvido. 0 5 15 20 (min) 1,4 1,0 Co ns um o de O 2 (L /m in ) A energia liberada no período entre 5 e 15 minutos, em kcal, é: a) 48,0. c) 67,2. b) 52,4. d) 93,6. E.O. ObJEtivAs (UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp) 1. (Unesp) Considere os conjuntos A e B: A = {–30, –20, –10, 0, 10, 20, 30} e B = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}, e a função f: A é B, f(x) = x2 + 100. 22 O conjunto imagem de f é: a) {–30, –20, –10, 0, 10, 20, 30}. b) {100, 200, 500, 1000}. c) {300, 400, 600, 700, 800, 900}. d) {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}. e) conjunto vazio. 2. (Fuvest) A figura a seguir representa o gráfico de uma função da forma f(x) = (x + a) _________ (bx + c) , para –1 ≤ x ≤ 3. -1 y x 1 3 -1 -3 1/5 1 2 3 Pode-se concluir que o valor de b é: a) –2. d) 1. b) –1. e) 2. c) 0. 3. (Unesp) Considere duas funções, f e g, definidas no inter- valo I = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 5}, tais que f(1) = g(1) = 0, f(3) · g(3) = 0 e f(5) > g(5). Representando o gráfico de f em linha cheia e o de g em linha tracejada, a figura que melhor se ajus- ta a esses dados é: a) d) b) e) c) gAbAritO E.O. Aprendizagem 1. E 2. E 3. A 4. D 5. A 6. C 7. D 8. C 9. A 10. B E.O. Fixação 1. D 2. B 3. A 4. B 5. E 6. C 7. D 8. A 9. B 10. E E.O. Complementar 1. C 2. B 3. C 4. A 5. A E.O. Dissertativo 1. Exemplo de resposta: 2. f(7) – f(3) = 36 3. 60 4. 1 5. a) D(f) = [–2, 2] Im(f) = [–1, 1] A função é injetora. b) D(f) = ] –3, 3[ Im(f) = [0, 9[ A função é sobrejetora. c) D(f) = [–3, 4[ Im(f) = ] –2, 3] A função é injetora. 6. V V V F V 7. a) É função; D = {–2, 0, 2, 4}; Im = {0, 4, 16}; CD = {0, 4, 8, 12, 16} b) Não é função. 8. R = {(0, 1), (2, 3), (4, 5), (8, 9)} 9. a) f(1) = 2 b) f(5) = 14 10. {6, 14, 20} E.O. Enem 1. E 2. D 3. D E.O. UErJ ExAmE dE QUAliFiCAçãO 1. C E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. B 2. D 3. C 23 CÓDIGOS HIERÁRQUICOS Os códigos a seguir foram elaborados para ajudar o aluno a identificar os temas dos exercícios realizados, ajudando-o a mapear seus pontos fortes e seus pontos fracos. As numerações aqui dispostas, portanto, possuem correspondências didáticas no seu material teórico. E.O. APRENDIZAGEM exercíciOs códigOs 1 1 2 1, 3 3 3, 4 e 5 4 2 5 1.1, 4 6 1 7 1 8 1 9 1.1 10 1 E.O. FIXAÇÃO exercíciOs códigOs 1 1.1, 2 2 1, 1.1 3 1 4 1 5 3 6 3, 4 e 5 7 1 8 1 9 1 10 1.1, 2 E.O. COMPLEMENTAR exercíciOs códigOs 1 1.1, 2 2 1 3 1 4 1 5 3, 4 e 5 E.O. ENEM exercíciOs códigOs 1 1 2 1 3 1 E.O. UERJ EXAME DE QUALIFICAÇÃO exercíciOs códigOs 1 1 E.O. OBJETIVAS (UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNESP) exercíciOs códigOs 1 1, 1.1 2 1, 1.1 3 1, 1.1 E.O. DISSERTATIVO exercíciOs códigOs 1 1, 1.1 e 2 2 1 3 3 4 1 5 3, 4 e 5 6 2, 3, 4 e 5 7 3, 4 e 5 8 1 9 1 10 1.1 24 E.O. AprEndizAgEm 1. O gráfico representa a função real definida por f(x) = a x + b. O valor de a + b é igual a: a) 0,5. c) 1,5. b) 1,0. d) 2,0. 2. Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 2 e 3 seguem uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa: a) 140. c) 220. b) 180. d) 260. 3. Na função f(x) = mx – 2(m – n), m e n ∈ . Sabendo que f(3) = 4 e f(2) = –2, os valores de m e n são, respectivamente a) 1 e –1. c) 6 e –1. b) –2 e 3. d) 6 e 3. GRÁFICO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES 4. (UFSM) O gráfico acima mostra a evolução das notas em Matemática de dois grupos de estudantes, denomi- nados grupo I e grupo II. Analisando o gráfico e consid- erando o período de 2007 a 2010, é possível afirmar: a) Os dois grupos melhoraram as notas. b) A nota do grupo I, em 2008, foi 80. c) A nota do grupo I aumentou de 2008 a 2009 e diminuiu de 2009 a 2010. d) A nota do grupo II não sofreu alteração. e) A nota do grupo I aumentou, enquanto a nota do grupo II diminuiu. 5. (UFSM) Em relação ao gráfico, considerando 2007 como x = 1, 2008 como x = 2 e assim, sucessivamente, a função afim y = ax + b que melhor expressa a evolução das notas em Matemática do grupo II é: a) y = 5 __ 2 x + 145 _____ 2 . b) y = – 5 __ 2 x + 145 ____ 2 . c) y = – 2 __ 5 x – 145 _____ 2 . d) y = 2 __ 5 x + 145 ____ 2 . e) y = – 5x – 145. 6. (Unioeste) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente: a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. 7. (IFSP) Uma empresa estáorganizando uma ação que objetiva diminuir os acidentes. Para comunicar seus fun- cionários, apresentou o gráfico a seguir. Ele descreve a tendência de redução de acidentes de trabalho. funções dO 1º grau CompetênCias: 3, 4, 5 e 6 Habilidades: 13, 15, 19, 20 e 25 AULAS 15 e 16 25 Assim sendo, mantida constante a redução nos aciden- tes por mês, então o número de acidentes será zero em: a) maio. d) agosto. b) junho. e) setembro. c) julho. 8. Um experimento da área de Agronomia mostra que a temperatura mínima da superfície do solo t(x), em °C, é determinada em função do resíduo x de planta e bio- massa na superfície, em g/m2, conforme registrado na tabela seguinte. x(g/m2) 10 20 30 40 50 60 70 t(x) (°C) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 Analisando os dados acima, é correto concluir que eles satisfazem a função: a) y = 0,006x + 7,18. b) y = 0,06x + 7,18. c) y = 10x + 0,06. d) y = 10x + 7,14. 9. (UECE) Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia proporcional aos quilômetros percorridos. Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida de 5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da bandeirada é: a) R$ 7,50. c) R$ 5,50. b) R$ 6,50. d) R$ 4,50. 10. (Ufpr) O gráfico abaixo representa o consumo de bateria de um celular entre as 10 h e as 16 h de um determinado dia. Supondo que o consumo manteve o mesmo padrão até a bateria se esgotar, a que horas o nível da bateria atin- giu 10%? a) 18 h. d) 21 h. b) 19 h. e) 22 h. c) 20 h. E.O. FixAçãO 1. O custo total C, em reais, de produção de x kg de certo produto é dado pela expressão C(x) = 900x + 50. O gráfico abaixo é o da receita R, em reais, obtida pelo fabricante, com a venda de x kg desse produto. Qual porcentagem da receita obtida com a venda de 1 kg do produto é lucro? a) 5%. d) 25%. b) 10%. e) 50%. c) 12,5%. 2. (Unisinos) Qual dos gráficos abaixo representa a reta de equação y = 2x + 3? a) b) c) d) e) 26 3. (UEPA) O treinamento físico, na dependência da qual- idade e da quantidade de esforço realizado, provoca, ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do volume do coração. De acordo com especialistas, o fíga- do de uma pessoa treinada tem maior capacidade de armazenar glicogênio, substância utilizada no metabo- lismo energético durante esforços de longa duração. De acordo com dados experimentais realizados por Thörner e Dummler (1996), existe uma relação linear entre a massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse sentido, essa relação linear pode ser expressa por y = ax + b onde “y” representa o volume cardíaco em mililitros (ml) e “x” representa a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação lin- ear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é: a) y = 0,91x – 585. b) y = 0,92x + 585. c) y = –0,93x – 585. d) y = –0,94x + 585. e) y = 0,95x – 585. 4. (FGV) Quando o preço por unidade de certo modelo de telefone celular é R$ 250,00, são vendidas 1400 unidades por mês. Quando o preço por unidade é R$ 200,00, são vendidas 1700 unidades mensalmente. Admitindo que o número de celulares vendidos por mês pode ser expresso como função polinomial do primeiro grau do seu preço, podemos afirmar que, quando o preço for R$ 265,00, serão vendidas: a) 1290 unidades. b) 1300 unidades. c) 1310 unidades. d) 1320 unidades. e) 1330 unidades. 5. O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo: Para encher este reservatório de água com 2500 litros, uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio? a) 7h d) 7h30min b) 6h50min e) 7h50min c) 6h30min 6. (Mackenzie) Na figura, considere os gráficos das funções f(x) = ax + b e g(x) = mx + n. Se P = ( 7 __ 4 , 1 __ 2 ) , o valor de a + n _______ b · m é: a) 3. b) 2. c) 6. d) 5. e) 1. 7. (Insper) Num restaurante localizado numa cidade do Nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de so- bremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restau- rante registrou numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno. mês jan fev mar abr mai temperatura média mensal (graus Celsius) 29 30 28 27 25 bolas de sorvete 980 1000 960 940 900 mês jun jul ago set out nov dez temperatura média mensal (graus Celsius) 24 23 24 24 28 30 29 bolas de sorvete 880 860 880 880 960 1000 980 Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Adminis- tração, que fazia estágio de férias no restaurante, per- cebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo y = ax + b sendo x a temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta: 27 “É possível com base nessa equação saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?” Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que fez é: a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são vendidas. b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta. c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação. d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação. e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação. 8. (ESPM) O gráfico abaixo mostra o número de pessoas comprovadamente infectadas pelo vírus H1N1 numa certa cidade do Brasil, entre os meses de maio e se- tembro de 2009. Na hipótese de um crescimento linear desse surto, representado pela reta r, pode-se prever que o número de pessoas infectadas em dezembro de 2009 será igual a: a) 30. b) 36. c) 40. d) 44. e) 48. 9. (FGV) Os gráficos abaixo representam as funções re- ceita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir e vender 1350 unidades por mês? a) 1740 b) 1750 c) 1760 d) 1770 e) 1780 10. (Epcar) Luiza possui uma pequena confecção arte- sanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas. Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender: a) no mínimo 2 bolsas. c) exatamente 3 bolsas. b) pelo menos 1 bolsa. d) no mínimo 4 bolsas. E.O. COmplEmEntAr 1. (Mackenzie) LOCADORA X Taxa fixa: R$ 50,00 Preço por quilômetro percorrido: R$ 1,20 LOCADORA Y Taxa fixa: R$ 56,00 Preço por quilômetro percorrido: R$ 0,90 Observando os dados anteriores, referente aos valores cobrados por duas locadoras X e Y de veículos, é COR- RETO afirmar que: a) para exatamente 20 quilômetros percorridos, esses valores são iguais. b) a partir de 20 quilômetros rodados, o custo total em X é menor do que em Y. c) para X, o custo total é sempre menor. d) a partir de 15 quilômetros rodados, o custo total em Y é menor do que em X. e) até 32 quilômetros rodados, o custo total em X é menor do que em Y. 2. (UEMG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha 14 milhões de usuários residenciais na rede mundial de computadores. Em fevereiro de 2008, esses internautas somavam 22 milhões de pessoas – 8 milhões, ou 57% a mais. Deste total de usuários, 42% ainda não usam banda lar- ga (internet mais rápida e estável). Só são atendidos pela rede discada”. atualiDaDe e vestibular 2009, 1º semestre, eD abril Baseando-se nessa informação, observe o gráfico, a seguir: 28 Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de crescimento linear, mostrada no gráfico acima, o número de usuários residenciais de computadores, em dezembro de 2009, será igual a: a) 178 × 106. c)182 × 107. b) 174 × 105. d) 198 × 106. 3. (Espcex) Considere as funções reais f(x) = 3x, de domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9]. Os valores máximo e mínimo que o quociente f(x) _____ g(y) pode assumir são, respectivamente: a) 2 __ 3 e 1 __ 2 . d) 3 __ 4 e 1 __ 3 . b) 1 __ 3 e 1. e) 1 e 1 __ 3 . c) 4 __ 3 e 3 __ 4 . 4. (ESPM) A função f(x) = ax + b é estritamente decres- cente. Sabe-se que f(a) = 2b e f(b) = 2a. O valor de f(3) é: a) 2. d) 0. b) 4. e) –1. c) –2. 5. (FGV) Como consequência da construção de futura estação de metrô, estima-se que uma casa que hoje vale R$ 280.000,00 tenha um crescimento linear com o tempo (isto é, o gráfico do valor do imóvel em função do tempo é uma reta), de modo que a estimativa de seu valor daqui a 3 anos seja de R$ 325. 000,00. Nes- sas condições, o valor estimado dessa casa daqui a 4 anos e 3 meses será de: a) R$ 346.000,00. d) R$ 343.750,00. b) R$ 345.250,00. e) R$ 343.000,00. c) R$ 344.500,00. E.O. dissErtAtivO 1. (UEMA) A fim de realizar o pagamento de uma festa de formatura, estabeleceu-se um valor de R$ 800,00 para cada aluno formando e mais um valor adicional por cada convidado. Considerando que um formando convidou 8 pessoas, tendo despendido o total deR$ 1.200,00, determine o valor pago por esse formando por cada convidado. 2. (UEL) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela companhia de saneamento, conforme mostra o quadro a seguir. Quantidade de água consumida (em m3) Valor a ser pago pelo consumo de água (em reais) Até 10 R$18,00 Mais do que 10 R$18,00 + (R$2,00 por m3 que excede 10 m3) Na cidade B, outra companhia de saneamento determi- na o valor a ser pago pelo consumo de água por meio da função cuja lei de formação é representada algebri- camente por B(x) = { 17, se x ≤ 10 2,1x – 4, se x > 10 em que x repre- senta a quantidade de água consumida (em m3) e B(x) representa o valor a ser pago (em reais). a) Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago pelo consumo de água na cidade A. b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a ser pago será maior na cidade B do que na cidade A? 3. (UFMG) A fábula da lebre e da tartaruga, do escri- tor grego Esopo, foi recontada utilizando se o gráfico abaixo para descrever os deslocamentos dos animais. Suponha que na fábula a lebre e a tartaruga apostam uma corrida em uma pista de 200 metros de compri- mento. As duas partem do mesmo local no mesmo in- stante. A tartaruga anda sempre com velocidade con- stante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme por certo tempo. Quando desperta, volta a correr com a mesma velocidade constante de antes, mas, quando completa o percurso, percebe que chegou 5 minutos depois da tartaruga. Considerando essas informações: a) determine a velocidade média da tartaruga duran- te esse percurso, em metros por hora. b) determine após quanto tempo da largada a tarta- ruga alcançou a lebre. c) determine por quanto tempo a lebre ficou dormindo. 4. (UFPR) Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um úmero, um dos ossos do braço huma- no. Sabe-se que o comprimento desse osso permite cal- cular a altura aproximada de uma pessoa por meio de uma função do primeiro grau. a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua altura era 1,90 m, e o úmero de seu assistente media 30 cm e sua altura era 1,60 m. b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico me- dia 32 cm, qual era a altura aproximada do indivíduo que possuía esse osso? 5. Considere a função f: R é R, definida por f(x) = 2x – 1. Determine todos os valores de m [ R para os quais é válida a igualdade: f(m2) – 2f(m) + f(2m) = m/2. 29 6. (UFES) O preço de uma certa máquina nova é R$ 10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, 0 ≤ t ≤ 8, e es- boce o gráfico da função P. 7. (UFJF) Uma construtora, para construir o novo pré- dio da biblioteca de uma universidade, cobra um val- or fixo para iniciar as obras e mais um valor, que au- menta de acordo com o passar dos meses da obra. O gráfico abaixo descreve o custo da obra, em milhões de reais, em função do número de meses utilizados para a construção da obra. a) Obtenha a lei y = f(x), para x > 0, que determina o gráfico. b) Determine o valor inicial cobrado pela construtora para a construção do prédio da biblioteca. c) Qual será o custo total da obra, sabendo que a construção demorou 10 meses para ser finalizada? 8. (Uel) ViajeBem é uma empresa de aluguel de veícu- los de passeio que cobra uma tarifa diária de R$ 160,00 mais R$ 1,50 por quilômetro percorrido, em carros de categoria A. AluCar é uma outra empresa que cobra uma tarifa diária de R$ 146,00 mais R$ 2,00 por quilômetro percorrido, para a mesma categoria de carros. a) Represente graficamente, em um mesmo plano car- tesiano, as funções que determinam as tarifas diárias cobradas pelas duas empresas de carros da categoria A que percorrem, no máximo, 70 quilômetros. b) Determine a quantidade de quilômetros percorri- dos para a qual o valor cobrado é o mesmo. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados. E.O. EnEm 1. (Enem) No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico. Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais van- tajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? a) A d) D b) B e) E c) C 2. (Enem) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Pau- lo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada. Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. acesso em: 26 abr. 2010 (aDaptaDo). Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respec- tivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é: a) y = 4.300x. b) y = 884.905x. c) y = 872.005 + 4.300x. d) y = 876.305 + 4.300x. e) y = 880.605 + 4.300x. 3. (Enem) As frutas que antes se compravam por dúzi- as, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, indepen- dente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que repre- senta o preço m pago em reais pela compra de n quilo- gramas desse produto é: a) 30 b) c) d) e) 4. (Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empre- sas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, en- quanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km con- struído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qual- idade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da ro- dovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n + 350 = 120n + 150 b) 100n + 150 = 120n + 350c) 100(n + 350) = 120(n + 150) d) 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000) e) 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000) 5. (Enem) O gráfico mostra o número de favelas no mu- nicípio do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, consideran- do que a variação nesse número entre os anos consider- ados é linear. Se o padrão na variação do período 2004/2010 se man- tiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será: a) menor que 1150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1150 e menor que 1200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1200. 6. (Enem) As curvas de oferta e de demanda de um pro- duto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a co- mercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = –20 + 4P QD = 46 – 2P Em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de merca- do, ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 d) 23 b) 11 e) 33 c) 13 7. (Enem) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007. De acordo com as informações, quantos bilhões de sac- olas plásticas serão consumidos em 2011? a) 4,0 d) 8,0 b) 6,5 e) 10,0 c) 7,0 31 E.O. UErJ ExAmE dE QUAliFiCAçãO 1. (UERJ) SABEDORIA EGÍPCIA Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um com- primento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. (aDaptaDo De revista "galileu", janeiro De 2001.) 0 B A Sol Início do verão (sombra mais curta) Outono ou primavera Início do inverno (sombra mais longa) Comprimento da sombra ao meio-diaV ar et a Um estudante fez uma experiência semelhante à de- scrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o compri- mento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das orde- nadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respec- tivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: a) y = 8 – 4x b) x = 6 – 3y c) x = 8 – 4y d) y = 6 – 3x 2. (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida e a quantidade excreta- da na urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando pode ocorrer a osteoporose, uma doença car- acterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo organismo. A baixa concentração de íon cálcio (Ca++) no sangue estimula as glândulas paratireoides a produzirem hormônio paratireoideo (HP). Nesta situação, o hormô- nio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, au- mentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua ex- creção pelos rins. (aDaptaDo De alberts, b. et al., "urologia molecular Da célula." porto alegre: artes méDicas, 1997.) Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra o gráfico abaixo. (aDaptaDo De "galileu", janeiro De 1999.) Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos. O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos, é igual a: a) 14. c) 22. b) 18. d) 26. 3. (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um super- mercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta. Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na pro- moção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: a) 4,50. c) 5,50. b) 5,00. d) 6,00. E.O. UErJ ExAmE disCUrsivO 1. (UERJ) O reservatório A perde água a uma taxa con- stante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. Determine o tempo x0, em horas, indicado no gráfico. 32 2. (UERJ) Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor, às 16 horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura. Observe o gráfico que representa as alturas de cada uma das velas em função do tempo a partir do qual a vela A foi acesa. Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas. 3. (UERJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a tem- peratura do corpo e que, ao ser exalado, tem tempera- tura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um labo- ratório foi obtida a função: TA = 8,5 + 0,75 · TB , 12° ≤ TB ≤ 30°, em que TA e TB representam, respectivamente, a tem- peratura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a) a temperatura do ambiente quando TA = 25 °C; b) o maior valor que pode ser obtido para TA. E.O. ObJEtivAs (UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp) 1. (Unesp) Em um experimento com sete palitos de fós- foro idênticos, seis foram acesos nas mesmas condições e ao mesmo tempo. A chama de cada palito foi apagada depois de t segundos e, em seguida, anotou-se o com- primento x, em centímetros, de madeira não chamusca- da em cada palito. A figura a seguir indica os resultados do experimento. Um modelo matemático consistente com todos os da- dos obtidos no experimento permite prever que o tem- po, necessário e suficiente, para chamuscar totalmente um palito de fósforo idêntico aos que foram usados no experimento é de a) 1 minuto e 2 segundos. b) 1 minuto. c) 1 minuto e 3 segundos. d) 1 minuto e 1 segundo. e) 1 minuto e 4 segundos. 2. (Unesp) A tabela indica o gasto de água, em m3 por minuto, de uma torneira (aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do registro. Abertura da torneira (volta) Gasto de água por minuto (m3) 1 __ 2 0,02 1 0,03 (www.sabesp.com.br. aDaptaDo.) Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 0,034 m3. Por- tanto, é correto afirmar que essa torneira estará total- mente aberta quando houver um giro no seu registro de abertura de 1 volta completa e mais: a) 1 __ 2 de volta. b) 1 __ 5 de volta. c) 2 __ 5 de volta. d) 3 __ 4 de volta. e) 1 __ 4 de volta. 3. (Unicamp) O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014. Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que a) A teve um crescimento maior do que C. b) C teve um crescimento maior do que B. c) B teve um crescimento igual a A. d) C teve um crescimento menor do que B. 33 4. (Unicamp) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35 ºC em 1995 para 13,8 ºC em 2010. Seguindo a tendência de aumen- to linear observada entre 1995 e 2010, a temperatura média em 2012 deverá ser de: a)13,83 ºC. c) 13,92 ºC. b) 13,86 ºC. d) 13,89 ºC. E.O. dissErtAtivAs (UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp) 1. (Fuvest) A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n, f(x) = { x – (n – 1), se n – 1 ≤ x ≤ n n + 1 – x, se n ≤ x ≤ n + 1 a) Esboce o gráfico de f para 0 ≤ x ≤ 6. b) Encontre os valores de x, 0 ≤ x ≤ 6, tais que f(x) = 1 __ 5 . 2. (Unicamp) A numeração dos calçados obedece a pa- drões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numer- ação varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adul- tos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo. Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x) 35 23,8 cm 42 27,3 cm Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasilei- ra e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. En- contre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasile- iros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o compri- mento em termos da numeração. b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproxima- da pela função real f definida por f(x) = 5(x – 20)/3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sa- bendo que a numeração dos calçados nk forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n1 = 5, em que nk = f (ck), com k natural, calcule o comprimento c5. 3. (Unicamp) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos es- tão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo. Tempo (segundos) 0 1 2 3 4 Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140 b) Com base no gráfico, determine o valor aproxi- mado da velocidade máxima atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h. gAbAritO E.O. Aprendizagem 1. C 2. D 3. C 4. E 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D 10. B E.O. Fixação 1. A 2. A 3. E 4. C 5. D 6. E 7. C 8. B 9. B 10. B E.O. Complementar 1. A 2. D 3. E 4. C 5. D E.O. Dissertativo 1. R$ 50,00 2. a) { 18, para 0 < x ≤ 10 2x - 2 se x > 10 b) x > 20 3. a) 50 m/h b) 1 hora c) 3h45min 4. a) f(x) = 3x + 0,7 b) 1,66 metros 5. m = 0 ou m = 1 __ 4 34 6. P(t) = –1250t + 10000 (0 ≤ t ≤ 8) t (anos) 10 000 0 8 (R$) P(t) Observe o gráfico a seguir: 7. a) f(x) = (1/2)x + 2, com x ≥ 0. b) De (a), temos que o valor inicial, cobrado pela con- strutora para a construção do prédio da biblioteca, é igual a 2 milhões. c) f(10) = 1/2 · 10 + 2 = 7 milhões de reais 8. a) b) 28 km. E.O. Enem 1. C 2. C 3. E 4. A 5. C 6. B 7. E E.O. UErJ Exame de Qualificação 1. C 2. D 3. A E.O. UErJ ExAmE discursivo 1. x0 = 30 horas 2. As velas A e B tinham, respectivamente, 8 cm e 6 cm antes de serem acesas. 3. a) TB = 22 °C b) TA = 31 °C E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. B 3. B 4. B E.O. dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) b) S = { 1 ___ 5 ; 9 ___ 5 ; 11 ____ 5 ; 19 ____ 5 ; 21 ____ 5 ; 29 ____ 5 } . 2. a) { a = 2 b = –12,6 ⇒ t(x) = 2x – 12,6. b) c5 = 24,2 cm 3. a) V(30) = 1050 km/h b) Velocidade máxima ≅ 1320 km/h. Tempo ≅ 37,5 s. 35 CÓDIGOS HIERÁRQUICOS Os códigos a seguir foram elaborados para ajudar o aluno a identificar os temas dos exercícios realizados, ajudando-o a mapear seus pontos fortes e seus pontos fracos. As numerações aqui dispostas, portanto, possuem correspondências didáticas no seu material teórico. E.O. APRENDIZAGEM exercíciOs códigOs 1 1, 3 e 5 2 1, 3 e 5 3 1, 3 e 5 4 4 5 1, 3 e 5 6 1, 3 e 5 7 1, 3 8 1, 3 9 1, 3 e 5 10 1, 3 E.O. FIXAÇÃO exercíciOs códigOs 1 1, 3 e 5 2 1, 3 e 5 3 1, 3 4 1, 3 5 1, 3 e 5 6 1, 3 e 5 7 1, 3 8 1, 3 9 1, 3 10 1, 3 E.O. COMPLEMENTAR exercíciOs códigOs 1 1, 3 2 1, 3 3 1, 3 4 1, 3 e 5 5 1, 3 E.O. DISSERTATIVO exercíciOs códigOs 1 1, 3 2 1, 3 e 5 3 1, 3 e 5 4 1, 3 5 1, 3 6 1, 3 7 1, 3 e 5 8 1, 3 e 5 E.O. ENEM exercíciOs códigOs 1 1, 3 2 1, 3 3 3 4 1, 3 5 3 6 1 7 1, 3 e 5 E.O. UERJ EXAME DE QUALIFICAÇÃO exercíciOs códigOs 1 1, 3 e 5 2 1, 3 3 1, 3 E.O. UERJ EXAME DISCURSIVO exercíciOs códigOs 1 1, 3 2 1, 3 e 5 3 1, 3 E.O. OBJETIVAS (UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNESP) exercíciOs códigOs 1 3 2 1 e 3 3 3 4 3 E.O. DISSERTATIVAS (UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNESP) exercíciOs códigOs 1 1, 3 e 5 2 1, 3 3 1, 3 36 ARITMÉTICA 38 E.O. AprEndizAgEm 1. Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km² de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo. Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 Abr. 2010. Segundo este levantamento, a densidade demográfi- ca da região coberta pela caatinga, em habitantes por km², é de: a) 250. d) 0,25. b) 25. e) 0,025. c) 2,5. 2. (UTFPR) Em um exame de seleção concorreram 4800 candidatos para 240 vagas. A razão entre o número de vagas e o número de candidatos foi de: a) 1 _____ 2000 . d) 1 __ 2 . b) 1 ____ 200 . e) 1. c) 1 ___ 20 . 3. (Upf) Um quadrilátero áureo apresenta um valor es- pecial para a razão entre as suas medidas da base (lado maior) e da altura (lado menor). Os passos para a construção de um quadrilátero áureo são: 1. Construir um quadrado de lado "a" 2. Dividir esse quadrado em dois retângulos iguais. 3. Traçar a diagonal do segundo retângulo e, com o compasso, marcar o ponto sobre a horizontal. 4. Dessa forma, ficam definidas as medidas da base, —— AR = a __ 2 +d, e da altura, —— AB = a, desse retângulo. Sendo assim, a razão entre a medida da base e da altura do quadrilátero áureo é: a) 1 + √ __ 5 b) 1 + √ __ 2 c) 1 + √ __ 2 _______ 2 d) 1 + √ __ 5 ______ 2 e) a(1 + √ __ 5 ) _________ 2 4. A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta entre sua casa e escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que mora- va mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1:25000, por um período de cinco dias. Razão, pRopoRção e gRandezas pRopoRcionais CompetênCias: 3 e 4 Habilidades: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 e 18 AULAS 9 e 10 39 Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 d) 20 b) 8 e) 40 c) 16 5. (Cftrj 2017) Qual o número mínimo de passos idênti- cos, de 3/4 de metro cada, suficientes para caminhar em linha reta por 13,5 m? a) 13 c) 40,5 b) 18 d) 54 6. A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua al- tura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura a seguir. A constante de proporcionalidade k é chamada de re- sistência da viga. A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é: a) S = k · b · d 2 ________ x2 . b) S = k · b · d ________ x2 . c) S = k · b · d 2 _________ x . d) S = k ·b 2 · d ________ x . e) S = k · b · 2d _________ x . 7. Para se construir um contrapiso, é comum, na cons- tituição do concreto, se utilizar cimento, areia e
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