fsica iii

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Física III: Eletromagnetismo
Elvis Soares
2014
2
Sumário
1 Carga Elétrica e Campo Elétrico 1
1.1 Propriedades da Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Eletrização por Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Eletrização por Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Eletrização por Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Linhas de Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Movimento num Campo Elétrico Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Lei de Gauss 19
2.1 Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Aplicações da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Cargas em Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Potencial Eletrostático 37
3.1 Força Elétrica como Força Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Diferença de Potencial e Potencial Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Potencial de Cargas Puntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Gradiente do Potencial e Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Potencial Devido a Distribuições Contínuas de Carga . . . . . . . . . . . 42
3.6 Potencial Devido a um Condutor Carregado . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
4 SUMÁRIO
4 Capacitância e Dielétrico 51
4.1 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Cálculo de Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Associação de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.1 Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2 Capacitores em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Energia Armazenada num Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Materiais Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6 Capacitores com Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Corrente, Resistência e Força Eletromotriz 69
5.1 Corrente Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Modelo Microscópico para Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Lei de Ohm e Condutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.1 Modelo Microscópico para Condutividade . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Potência Elétrica e Efeito Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Campo Magnético 79
6.1 Fatos Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Força e Campo Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Força Magnética numa Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4 Movimento de Cargas num Campo Magnético Uniforme . . . . . . . . . 88
6.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7 Fontes de Campo Magnético 93
7.1 Lei de Gauss no Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.3 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.4 Corrente de Deslocamento e a Lei de Ampère-Maxwell . . . . . . . . . . 104
7.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8 Indução Eletromagnética 109
8.1 Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Indução de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.4 Indutância Mútua e Auto-Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.5 Energia Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
SUMÁRIO 5
8.6 Equações de Maxwell e Além! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Referências Bibliográficas 124
A Gabaritos das Listas de Exercícios 127
6 SUMÁRIO
Capítulo 1
Carga Elétrica e Campo Elétrico
A interação eletromagnética entre partículas carregadas eletricamente é uma das
interações fundamentais da natureza. Nesse capítulo iremos estudar algumas proprie-
dades básicas da força eletromagnética, discutiremos a Lei de Coulomb, o conceito de
campo elétrico, e finalizaremos com o estudo do movimento de partículas carregadas
num campo elétrico uniforme.
1.1 Propriedades da Carga Elétrica
Quando atritamos uma caneta contra o nosso cabelo num dia seco, vemos que a ca-
neta passa a atrair pequenos pedaços de papel sobre a mesa. O mesmo ocorre quando
certos materiais são atritados entre si, como um bastão de vidro contra um pano de
seda ou plástico contra pele.
Isto se deve ao fato de que toda a matéria que conhecemos é formada por átomos,
que são formados por um núcleo, onde ficam os prótons e nêutrons e uma eletrosfera,
onde os elétrons permanecem, em órbita. Os prótons e nêutrons têm massa pratica-
mente igual, mas os elétrons têm massa cerca de 2 mil vezes menor.
Se pudéssemos separar os prótons, nêutrons e elétrons de um átomo, veríamos que
os prótons seriam atraídos pelos elétrons enquanto os nêutrons não seriam afetados.
1
2 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Esta propriedade de cada uma das partículas é chamada carga elétrica. Os prótons são
partículas com carga positiva, os elétrons tem carga negativa e os nêutrons tem carga
neutra.
A unidade de medida adotada internacionalmente para a medida de cargas elétri-
cas é o coulomb (C).
Um próton e um elétron têm valores absolutos de carga iguais embora tenham si-
nais opostos. O valor da carga de um próton ou um elétron é chamado carga elétrica
elementar e simbolizado por e, sendo a menor unidade de carga elétrica conhecida na
natureza, com valor igual a
e = 1.602 19× 10−19 C (1.1)
Portanto, 1 C de carga é aproximadamente a carga de 6.24× 1018 elétrons ou pró-
tons. Esse número é bem pequeno se comparado com número de elétrons livres em
1 cm3 de cobre, que tem da ordem de 1023.
1.2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão
Dizemos que um corpo está eletrizado negativamente quando tem maior número de
elétrons do que de prótons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja negativa;
E que um corpo está eletrizado positivamente quando tem maior número de prótons
do que de elétrons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja positiva. Por
isso, um corpo é chamado eletricamente neutro se ele tiver número igual de prótons e de
elétrons, fazendo com que a carga elétrica sobre o corpo seja nula. A carga de um corpo
eletrizado deve então ser um múltiplo da carga elementar, de tal forma que Q = ±N.e,sendo N um número inteiro qualquer.
O processo de retirar ou acrescentar elétrons a um corpo neutro para que este passe
a estar carregado eletricamente denomina-se eletrização. Alguns dos processos de ele-
trização mais comuns são:
1.2.1 Eletrização por Atrito
Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volta
do século VI a.C. pelo matemático grego Tales de Mileto, que concluiu que o atrito
entre certos materiais era capaz de atrair pequenos pedaços de palha e penas.
Posteriormente o estudo de Tales foi expandido, sendo possível comprovar que
dois corpos neutros feitos de materiais distintos, quando são atritados entre si, um
1.2. CORPOS ELETRIZADOS E PROCESSOS DE ELETRIZACÃO 3
deles fica eletrizado negativamente (ganha elétrons) e outro positivamente (perde elé-
trons). Quando há eletrização por atrito, os dois corpos ficam com cargas de módulo
igual, porém com sinais opostos.
Por exemplo, ao se atritar uma barra de vidro num pano de lã, elétrons passam
do vidro para a lã. Em consequência, a barra de vidro adquire carga elétrica positiva
(perde elétrons) e o pano de lã adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons). Se, em
vez da barra de vidro, atritarmos com a lã uma barra de resina, haverá a transferência
de elétrons da lã para a resina. Então, a barra de resina adquire carga elétrica negativa
(recebe elétrons) e o pano de lã adquire carga elétrica positiva (perde elétrons).
1.2.2 Eletrização por Contato
Se dois corpos condutores, sendo pelo menos um deles eletrizado, são postos em
contato, a carga elétrica tende a se estabilizar, sendo redistribuída entre os dois, fa-
zendo com que ambos tenham a carga com mesmo sinal.
1.2.3 Eletrização por Indução
Este processo de eletrização é totalmente baseado no princípio da atração e repul-
são, já que a eletrização ocorre apenas com a aproximação de um corpo eletrizado
(indutor) a um corpo neutro (induzido).
O processo é dividido em três etapas:
1. Primeiramente um bastão eletrizado é aproximado de um condutor inicialmente
neutro, pelo princípio de atração e repulsão, os elétrons livres do induzido são
atraídos/repelidos dependendo do sinal da carga do indutor.
4 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
2. O próximo passo é ligar o induzido à Terra por um fio condutor, ainda na pre-
sença do indutor.
3. Desliga-se o induzido da Terra, fazendo com que sua carga seja de sinal oposto
àquela do indutor.
Terra
Por fim, retira-se o indutor das proximidades do induzido que fica eletrizado com
sinal oposto à carga do indutor, e com a carga distribuída por todo o corpo.
1.3. LEI DE COULOMB 5
1.3 Lei de Coulomb
A partir de alguns experimentos, Coulomb pode generalizar as seguintes proprie-
dades da força elétrica entre duas cargas puntiformes em repouso. A força elétrica
• é inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre as cargas e dirigida
ao longo da linha que liga uma a outra.
• é proporcional ao produto das cargas das duas partículas;
• é atrativa se as cargas são de sinais opostos e repulsiva se as cargas tem o mesmo
sinal.
A lei expressa na forma vetorial para a força elétrica exercida por uma carga q1
numa outra carga q2, dita ~F2(1), é
~F2(1) = k
q1q2
r2
rˆ = −~F1(2) (1.2)
onde k é a constante chamada constante de Coulomb e rˆ é o vetor unitário dirigido da
carga q1 para a carga q2, conforme figura.
–+
r
F1(2)
F2(1)
q1
q2
F1(2)
F2(1)
q1
q2
rˆ
+
+
A constante de Coulomb é também escrita como k = 1/4pie0, e seu valor no SI é
k = 8.987 5× 109 N.m2/C2 ≈ 9.0× 109 N.m2/C2 (1.3)
Como a força elétrica obedece à Terceira Lei de Newton, a força elétrica exercida
pela carga q2 em q1 é igual em intensidade a força exercida por q1 em q2, na mesma
direção mas em sentido oposto, de modo que ~F1(2) = −~F2(1)
Quando mais que duas cargas estão presentes, a força entre qualquer par delas é
dada pela Lei de Coulomb. Portanto, a resultante das forças sobre qualquer uma delas
é igual a soma vetorial das forças exercidas pelas outras cargas.
~F i =∑
i 6=j
~F i(j) =∑
i 6=j
k
qiqj
r2j
rˆj (1.4)
6 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Exemplo: Átomo de Hidrogênio
Um átomo de hidrogênio é composto por um elétron, de massa me = 9.11× 10−31 kg,
e um próton, de massa mp = 1.67 × 10−27 kg, separados por uma distância de
aproximadamente d = 5.3× 10−11 m.
A intensidade da força elétrica é dada pela Lei de Coulomb
Fe = k
e2
d2
= (9.0× 109) (1.60× 10
−19)2
(5.3× 10−11)2 = 8.2× 10
−8 N
Já a intensidade da força gravitacional é dada pela Lei da Gravitação Universal de
Newton
Fg = G
memp
d2
= (6.67× 10−11) (9.11× 10
−31)(1.67× 10−27)
(5.3× 10−11)2 = 3.6× 10
−47 N
A razão Fe/Fg ≈ 2× 1039. Então, a força gravitacional entre essas partículas subatômi-
cas é desprezível se comparada com a força elétrica.
1.3. LEI DE COULOMB 7
Exemplo: Força Resultante
Consideremos três cargas −q, q e √2q dispostas nos vértices de um triângulo retân-
gulo, como mostra a figura.
F3(1)
q
q
-q
a
a
y
x
–
+
+
F3(2)
2a√
√2
A força ~F3(1) exercida pela carga
√
2q sobre a
carga q é
~F3(1) = k
√
2q2
(
√
2a)2
rˆ1,
onde rˆ1 é o vetor posição relativa que sai da
carga
√
2q e aponta na direção de q, sendo es-
crito facilmente como rˆ1 = cos 45o xˆ+ sen 45oyˆ,
de modo que
~F3(1) =
1
2
k
q2
a2
(xˆ+ yˆ),
A força ~F3(2) exercida pela carga −q sobre a carga q é
~F3(2) = −k
q2
a2
rˆ2,
onde rˆ2 é o vetor posição relativa que sai da carga −q e aponta na direção de q, sendo
escrito na forma rˆ2 = xˆ, de modo que
~F3(2) = −k
q2
a2
xˆ
A força resultante ~F3 sobre a carga q é então calculada como a soma das forças ~F3(1) e
~F3(2) sendo
~F3 = ~F3(1) +~F3(2) =
1
2
k
q2
a2
(−xˆ+ yˆ)
8 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
1.4 Campo Elétrico
O conceito de campo foi desenvolvido por Michael Faraday no contexto de forças
elétricas. Nesse contexto, um campo elétrico existe na região do espaço ao redor de um
objeto carregado, a carga fonte. Quando outro objeto carregado, a carga teste, entra nesse
campo elétrico, uma força elétrica age sobre ele.
Sendo assim, o campo elétrico produzido pela carga fonte é definido como a força
elétrica por unidade de carga situado num dado ponto do espaço
~E =
~Fe
q2
= k
q1
r2
rˆ (1.5)
O vetor ~E tem no SI unidade de N/C. A direção de ~E, como mostra a figura, é a
direção da força que uma carga teste positiva sentiria quando colocada nesse campo.
Dizemos que um campo elétrico existe num ponto se uma carga teste nesse ponto ex-
perimenta uma força elétrica, dada por
~Fe = q~E (1.6)
E
q r
P
rˆ
+ –
E
q
rˆ
r
P
O campo elétrico num ponto P devido a um conjunto de cargas puntiformes pode
ser obtido, através do princípio da superposição, como a soma vetorial dos campos elétri-
cos devido, individualmente, a cada carga do conjunto no mesmo ponto P.
~E =∑
i
~Ei =∑
i
k
qi
r2i
rˆi (1.7)
1.4. CAMPO ELÉTRICO 9
Exemplo: Campo Elétrico de um Dipolo
Um dipolo elétrico é definido como uma carga positiva q e uma negativa −q separadas
por uma distância 2a. Vamos obter o campo elétrico ~E devido ao dipolo num ponto P
situado a uma distância y do centro do dipolo.
P E
θ
θ
y
E1
E2
y
r
θ
a
q
θ
a
–q
– x+
No ponto P, os campos ~E1 e ~E2 devido às duas
cargas são iguais em intensidades, pois o ponto
P é equidistante das cargas, sendo assim
E1 = E2 = k
q
(y2 + a2)
.
As componentes y de ~E1 e ~E2 se cancelam, e as
componentes x são ambas positivas e de mesma
intensidade, de modo que
E = 2E1 cos θ = 2k
q
(y2 + a2)
a
(y2 + a2)1/2
Portanto,~E é um vetor paralelo ao eixo x escrito
na forma
~E = k
2qa
(y2 + a2)3/2
xˆ
Nolimite em que o ponto P está muito distante do dipolo, dito y � a, podemos
desprezar a2 comparado com y2 no denominador e escrever
~E ≈ k2qa
y3
xˆ
Obs: Em alguns livros é comum aparecer o vetor momento de dipolo elétrico definido
como ~d = −2qaxˆ, que é um vetor de intensidade igual a carga positiva q vezes a
distância entre as cargas 2a e aponta na direção da carga negativa para a positiva, de
modo que
~E ≈ −k
~d
y3
Então, muito distante do dipolo elétrico, o campo elétrico varia com ∼ 1/r3 que cai
mais rapidamente que o campo de uma carga que varia com ∼ 1/r2. Isso se deve
ao fato que os campos das cargas positiva e negativa vão se anulando ao longo da
distância, diminuindo a intensidade do campo elétrico total.
10 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
1.5 Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas
Todo corpo é composto de cargas elétricas (vindas da natureza atómica da matéria),
cujas distâncias relativas são muito curtas se comparadas com os tamanhos típicos dos
objetos.
Sendo assim, para calcular o campo elétrico criado por uma distribuição de cargas,
usaremos o seguinte procedimento: primeiro, dividimos a distribuição de cargas em
pequenos elementos de carga, cada um de carga infinitesimal dq (infinitesimal, porém
maior que a carga elementar). Depois, usamos o campo elétrico devido a uma carga
puntiforme para calcular o campo elétrico devido a esse elemento dq no ponto P. E por
último, somamos as contribuições de todos elementos de cargas e obtemos o campo
elétrico total no ponto P devido à distribuição de cargas (de acordo com o princípio de
superposição dos campos).
O campo elétrico no ponto P devido a um elemento
de carga dq é
d~E = k
dq
r2
rˆ
onde r é a distância do elemento de carga até o
ponto P e rˆ o vetor unitário que sai da carga e aponta
na direção de P.
O campo elétrico total em P devido a todos os elementos na distribuição de carga é
~E =
∫
V
d~E =
∫
V
k
dq
r2
rˆ (1.8)
e a integral aparece porque o corpo é modelado como uma distribuição contínua de
carga.
De fato, podemos associar sempre a uma distribuição de cargas o conceito de den-
sidade de carga.
• No caso de uma carga distribuída ao longo de um volume tem-se dq = ρdV, onde
ρ é a densidade volumétrica de cargas.
• No caso de uma carga distribuída ao longo de uma área tem-se dq = σdA, onde
σ é a densidade superficial de cargas.
• No caso de uma carga distribuída ao longo de uma linha tem-se dq = λdl, onde
λ é a densidade linear de cargas.
1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 11
Exemplo: Fio Carregado Uniformemente
Vamos estudar o caso de um fio de comprimento L e carga Q distribuída uniforme-
mente ao longo dele, como mostra a figura.
O campo elétrico no ponto P devido a um ele-
mento de carga dq do fio é dado por
d~E = k
dq
r2
rˆ,
onde ~r é o vetor posição relativa que sai da
carga e aponta na direção de P dado por~r =
−xxˆ+ ayˆ, onde seu módulo e o correspondente
vetor unitário são
r =
√
x2 + a2 e rˆ =
~r
r
=
(−xxˆ+ ayˆ)
(x2 + a2)1/2
.
O campo elétrico total produzido pelo fio no ponto P é então calculado como a soma
sobre todos os elementos de carga que compõem o fio, indo de x = −L/2 até x = L/2,
e assim tem-se
~E(0, a, 0) =
∫ L/2
−L/2
kλdx
(x2 + a2)3/2
(−xxˆ+ ayˆ).
*Mostre que: As integrais necessárias resultam em
∫ L/2
−L/2
xdx
(x2 + a2)3/2
= 0,
∫ L/2
−L/2
dx
(x2 + a2)3/2
=
L
[(L/2)2 + a2]1/2
,
e com esses resultados encontramos que
~E(0, a, 0) =
kQ
a [(L/2)2 + a2]1/2
yˆ
usando que a densidade linear de carga do fio é λ = Q/L.
Obs1: No caso em que o fio é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante do fio
tem-se
lim
a�L
~E(0, a, 0) =
kQ
a2
yˆ
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P.
Obs2: No caso em que o fio é muito grande, ou o ponto P está muito próximo do fio
tem-se
lim
L�a
~E(0, a, 0) =
2kλ
a
yˆ
que cai lentamente com a distância a do ponto P.
12 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Exemplo: Aro Carregado Uniformemente
Consideremos um aro de raio R carregado uniformemente com uma carga positiva Q.
Vamos determinar o campo elétrico num ponto P situado a uma distância a do centro
do aro e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a figura.
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
θ P dEx
dEdE⊥
a
r
dq
R
O campo elétrico no ponto P devido a um ele-
mento de carga dq do fio é dado por
d~E = k
dq
r2
rˆ,
onde ~r é o vetor posição relativa que sai da
carga e aponta na direção de P. Esse campo tem
uma componente dEx = dE cos θ ao longo do
eixo x e uma componente dE⊥ perpendicular ao
eixo x.
Sabemos que o campo resultante no ponto P deve estar ao longo do eixo x pois a
componente perpendicular de todos os elementos de carga somados é zero. Isto é,
a componente perpendicular do campo criado por qualquer elemento de carga é
cancelada pela componente perpendicular criada por um elemento de carga no lado
oposto do anel (diga-se diametralmente oposto).
Como r = (a2 + R2)1/2 e cos θ = a/r, temos que
dEx = dE cos θ =
(
k
dq
r2
)
a
r
= k
a
(a2 + R2)3/2
dq
Todos os elementos do aro fazem a mesma contribuição para o campo elétrico no ponto
P porque todos são equidistantes desse ponto. Então, integrando esse resultado obte-
mos
Ex =
∫
k
a
(a2 + R2)3/2
dq = k
a
(a2 + R2)3/2
∫
dq
Sendo Q a carga total do aro, o campo elétrico total produzido por este aro no ponto P
é então escrito na forma vetorial como
~E(P) = k
Qa
(a2 + R2)3/2
xˆ
Obs1: No caso em que o aro é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante desse
aro tem-se
lim
a�R
~E(P) = k
Q
a2
xˆ
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P.
Obs2: No caso em que o aro é muito grande, ou o ponto P está muito próximo dele
tem-se
lim
R�a
~E(P) = k
Qa
R3
xˆ
que passa a ser um campo linear com a distância a do ponto P.
1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 13
Exemplo: Disco Carregado Uniformemente
Consideremos um disco de raio R carregado uniformemente com uma densidade su-
perficial de carga σ. Vamos determinar o campo elétrico num ponto P situado a uma
distância a do centro desse disco e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo,
conforme a figura.
P
a
r
R
dq
dr
Se considerarmos o disco como um conjunto
de aros concêntricos, podemos usar o resul-
tado do exemplo anterior (o campo de um
aro carregado uniformemente) e somamos as
contribuições de todos aros formando o disco.
O aro de raio r e espessura dr, conforme a figura, tem área igual a 2pir dr. A carga dq
desse aro é igual a dq = 2piσr dr. Usando o resultado do aro carregado, temos que o
campo elétrico no ponto P devido a um elemento de carga dq desse aro é dado por
dEx = k
a
(a2 + r2)3/2
(2piσr dr).
Então, integrando esse resultado sobre os limites r = 0 até r = R, notando que a é
constante, obtemos
Ex = kapiσ
∫ R
0
2r dr
(a2 + r2)3/2
= kapiσ
∫ R
0
(a2 + r2)−3/2d(r2),
de modo que
Ex = kapiσ
[
(a2 + r2)−1/2
−1/2
]R
0
= 2pikσ
(
1− a
(a2 + R2)1/2
)
.
Sendo assim o campo elétrico total produzido por este disco no ponto P é então escrito
na forma vetorial como
~E(P) = 2pikσ
(
1− a
(a2 + R2)1/2
)
xˆ
Obs1: No caso em que o disco é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante
tem-se
lim
a�R
~E(P) = k
Q
a2
xˆ,
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P.
14 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Obs2: No caso em que o disco é muito grande, ou o ponto P está muito próximo dele
tem-se
lim
R�a
~E(P) = 2pikσxˆ =
σ
2e0
xˆ,
que é um campo constante nas proximidades do disco, sendo e0 a permissividade elétrica
do vácuo.
Destaforma, um plano infinito tem módulo do campo elétrico igual a E = σ/2e0 nas
suas proximidades.
1.6 Linhas de Campo Elétrico
Vamos agora explorar uma maneira de representar o campo elétrico pictoricamente.
Uma maneira conveniente de visualizar padrões de campo elétrico é desenhar linhas
curvas paralelas ao vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço.
O vetor campo elétrico ~E é tangente a linha de campo elétrico em cada ponto. A
linha tem uma direção, indicada por uma seta, que é a mesma do vetor campo elétrico.
O número de linhas por unidade de área que atravessa uma superfície perpendi-
cular as linhas é proporcional a intensidade do campo elétrico nesse região. Então, as
linhas de campo estão mais próximas onde o campo elétrico é forte e mais distantes
onde o campo é fraco.
q –q
+ –
As regras para desenhar as linhas de campo elétrico são as seguintes:
• As linhas de campo começam em cargas positivas e terminam em cargas negati-
vas.
• O número de linhas desenhadas é proporcional a intensidade da carga.
• Duas linhas de campo nunca se cruzam.
1.7. MOVIMENTO NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 15
+ – + +
1.7 Movimento num Campo Elétrico Uniforme
Quando uma carga q e massa m está localizada num campo elétrico ~E, a força elé-
trica exercida nessa carga é
~F = q~E = m~a (1.9)
Se o campo elétrico ~E é uniforme (isso é, constante na intensidade e direção), então
a aceleração também é constante.
Exemplo: Elétron num Campo Elétrico Uniforme
Consideremos duas placas metálicas carregadas de maneira oposta e um elétron de
carga −e lançado horizontalmente dentro da região de campo elétrico uniforme, con-
forme a figura.
( 0 , 0 )
E
–
(x ,y)
–
v
x
y– – – – – – – – – – – –
+ + + + + + + + + + + +
v0xˆ
Sabendo que a velocidade inicial do elétron era
v0xˆ no instante de tempo t = 0, e que o campo
elétrico ~E = Eyˆ é uniforme, as aceleração, ve-
locidade e posição do elétron em função do
tempo são
~a = − eE
m
yˆ
~v = v0xˆ− eEm tyˆ
~r =~r0 + v0txˆ− 12
eE
m
t2yˆ
16 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
1.8 Lista de Exercícios
1. Suponha que seja possível retirar 1 elétron de cada átomo de um metal. Consi-
dere um bloco de massa m. Sendo µ a massa molecular do metal, qual seria a
carga Q deste bloco se retirássemos todos os elétrons mecionados? Dê a resposta
em função do número de Avogadro NA.
2. Em cada vértice de um quadrado de lado L existe uma carga q. Determine o
módulo da força elétrica sobre qualquer uma das quatro cargas.
3. Cargas q, 2q, e 3q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado
a. Uma carga Q, de mesmo sinal que as outras três, é colocada no centro do
triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q (em módulo, direção e sentido).
4. Desejamos repartir uma carga Q entre dois corpos. Um dos corpos recebe uma
carga q1 e o outro recebe uma carga q2. A repartição das cargas é feita de tal modo
que se tenha sempre q1 + q2 = Q. Determine os valores dessas cargas para que a
repulsão coulombiana entre q1 e q2 seja máxima para qualquer distância entre as
cargas.
5. Considere o dipolo elétrico conforme a figura abaixo. Mostre que o campo elé-
trico num ponto distante (x � a) situado ao longo do eixo x é Ex ≈ 4kqa/x3, e
que o campo elétrico num outro ponto distante (y � a) situado ao longo do eixo
y é Ey ≈ 2kqa/y3
x
y
6. Considere n cargas pontuais positivas iguais, de magnitudes Q/n cada, localiza-
das simetricamente ao longo de um círculo de raio R. Calcule a intensidade do
campo elétrico num ponto a uma distância x na linha passando através do centro
do círculo e perpendicular ao plano do círculo.
7. Determine o campo elétrico produzido por um aro de raio R carregado uniforme-
mente, de carga total Q, nos pontos situados sobre o eixo x de simetria ortogonal
ao plano passando pelo centro do aro. Compare esse resultado com o do pro-
blema anterior.
1.8. LISTA DE EXERCÍCIOS 17
8. Um cabo de carga positiva está na forma de um semi-círculo de raio R, conforme
figura. A carga por unidade de comprimento ao longo do cabo é descrita pela
expressão λ = λ0 cos θ. A carga total no cabo é Q. Calcule o campo elétrico e a
força resultante sobre uma carga q situada no centro de curvatura.
y
R
x
θ
9. Considere uma distribuição uniforme de cargas ao longo de um fio retilíneo finito
de comprimento L, cuja a carga total é igual a Q. Determine o módulo do campo
elétrico nos pontos situados sobre a reta perpendicular ao fio e passando pelo
seu centro. E se o fio fosse infinito, qual seria o módulo desse campo elétrico?
(Sugestão: use o fato que a densidade linear do fio é uniforme)
10. Um fio quadrado de lado L está uniformemente carregado com densidade linear
de carga λ. Calcule o campo elétrico num ponto P a uma altura d do centro do
quadrado, conforme figura. (Sugestão: use componentes cartesianas e argumen-
tos de simetria)
L
L
z
P
d
11. Uma casca hemisférica de raio R possui densidade superficial de cargas cons-
tante, sendo sua carga total igual a Q. Determine o módulo do campo elétrico no
centro da esfera.
12. Trace de forma esquemática as linhas de força associadas a um par de cargas
puntiformes +2q e −q, separadas por uma distância d. Explique o traçado e
discuta qualitativamente o comportamento das linhas próximos e distantes das
cargas, em diferentes regiões.
18 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
13. Um pósitron (anti-partícula do elétron) de carga q e massa m entra numa região
de campo elétrico uniforme E com uma velocidade v0 formando um ângulo θ
com o sentido do campo elétrico. Descreva o movimento da partícula, e esboce
sua trajetória.
14. Um dipolo elétrico num campo elétrico uniforme é levemente deslocado da sua
posição de equilíbrio, conforme figura, onde θ é pequeno. A separação entre as
cargas é 2a, e o momento de inércia do dipolo é I. Assumindo que o dipolo é
liberado dessa posição, mostre que sua orientação angular exibe um movimento
harmônico simples com uma frequência
f =
1
2pi
(
2qaE
I
)1/2
Eθ
q+
––q
Young & Freedman: 21.73, 21.79, 21.84, 21.89, 21.90, 21.97, 21.104, 21.107
Capítulo 2
Lei de Gauss
Nesse capítulo, descreveremos a Lei de Gauss e um procedimento alternativo para
cálculo de campos elétricos a partir dessa lei.
2.1 Fluxo Elétrico
O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo que pas-
sam por uma dada superfície.
Consideremos uma superfície qualquer divida em um número muito grande de ele-
mentos de área que são suficientemente pequenos, de área dA, onde o campo elétrico
é uniforme uma vez que o elemento de superfície é suficientemente pequeno. Desta
forma, o fluxo elétrico dΦE através desse elemento de área é
dΦE = EdA
Se a superfície em consideração não é perpendicular ao campo, o fluxo através dela
pode mudar. É fácil entender pela figura a seguir, onde a normal à superfície dA2 faz
19
20 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
um ângulo θ com o campo elétrico, enquanto a normal à superfície dA1 é paralela a ele.
Porém, o número de linhas de campo que atravessam a superfície dA1 é o mesmo
que atravessam a superfície dA2, uma vez que dA1 = dA2 cos θ é a projeção da superfí-
cie dA2, nesse caso. Então, o fluxo elétrico sobre as duas superfícies é igual nesse caso
a
dΦE = ~E · nˆ1dA1 = ~E · nˆ2dA2 ≡ ~E · d~A
Se quisermos calcular o fluxo elétrico sobre uma superfície, devemos calcular a
soma do fluxo de cada elemento de superfície infinitesimal, conforme a figura. Sendo
assim, o fluxo elétrico se reduz a integral
ΦE =
∫
~E · d~A (2.1)
que é uma integral feita sobre a superfície desejada, ou seja, ela depende do campo
elétrico e da forma da superfície em questão.
2.1. FLUXO ELÉTRICO 21
Exemplo: Fluxo através do Cubo
Consideremos um campo elétrico uniforme~E orientado ao longo da direção x positivo.Vamos calcular o fluxo elétrico total através da superfície de um cubo de arestas l, como
mostra a figura.
O fluxo total é a soma dos fluxos através de
todas superfícies do cubo. Primeiramente,
notamos que o fluxo através das faces 3©,
4© e daquelas não numeradas é zero pois ~E
é perpendicular a d~A nessas faces.
O fluxo através das faces 1© e 2© é
ΦE =
∫
1
~E · d~A+
∫
2
~E · d~A
Na face 1©, ~E é constante e tem a direção oposta ao vetor d~A1, de modo que o fluxo
sobre essa face é
∫
1
~E · d~A =
∫
1
(Exˆ) · (−xˆdA1) = −E
∫
1
dA1 = −El2
Na face 2©, ~E é constante e tem a mesma direção do vetor d~A2, de modo que o fluxo
sobre essa face é
∫
2
~E · d~A =
∫
2
(Exˆ) · (xˆdA2) = E
∫
2
dA2 = El2
Portanto, o fluxo total sobre a superfície do cubo é
ΦE = −El2 + El2 + 0+ 0+ 0+ 0
ΦE = 0
22 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Exemplo: Fluxo através da Esfera devido a uma Carga
Consideremos uma carga puntiforme positiva q localizada no centro de uma esfera de
raio R, como mostra a figura.
+
O fluxo total através da superfície da esfera
deve ser calculado como
ΦE =
∮
~E · d~A
onde o elemento de área da esfera é d~A =
rˆdA, de modo que o fluxo através da esfera
é
ΦE =
∮ (
k
q
R2
rˆ
)
· (rˆdA) = k q
R2
(4piR2)
Lembrando que k = 1/4pie0, podemos escrever o fluxo através da esfera como
ΦE =
q
e0
Notamos que o fluxo total através da superfície da esfera é proporcional a carga in-
terna. O fluxo é independente do raio R porque a área da superfície da esfera é propor-
cional a R2 e, o campo elétrico é proporcional a 1/R2. Então, o produto da área pelo
campo elétrico independe do raio R.
2.2. LEI DE GAUSS 23
2.2 Lei de Gauss
Vamos considerar algumas superfícies fechadas em volta de uma carga q, conforme
a figura. A superfície A1 é esférica, mas as superfícies A2 e A3 não são.
Pelo exemplo anterior, o fluxo que passa através da superfície A1 é q/e0. Como
discutido anteriormente, o fluxo é proporcional ao número de linhas de campo elétrico
que passam através da superfície. E da figura vemos que o número de linhas que
passam através de A1 é igual ao número de linhas que passam pelas superfícies não-
esféricas A2 e A3. Portanto, concluímos que o fluxo total através de qualquer superfície
fechada envolta de uma carga q é dado por q/e0 e é independente da forma dessa superfície.
Agora, vamos considerar uma carga localizada fora de uma superfície de forma
arbitrária, conforme a figura.
Como podemos ver, qualquer linha de campo que entra na superfície sai da mesma
por outro ponto. O número de linhas de campo entrando na superfície é igual ao
24 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
número deixando a superfície. Portanto, concluímos que o fluxo total através de uma
superfície fechada que não engloba nenhuma carga é zero.
Consideremos agora o sistema de cargas e superfícies conforme a figura a seguir.
A superfície S engloba somente uma carga, q1; assim, o fluxo total através de S é
q1/e0. O fluxo através de S devido às cargas q2, q3, e q4 fora dela é zero pois cadas linha
de campo que entra em S num ponto sai da superfície por outro ponto. A superfície S′
engloba as cargas q2 e q3; assim, o fluxo total através dela é (q2 + q3)/e0. E finalmente,
o fluxo total através de S′′ é zero pois não há nenhuma carga no interior da superfície.
Isso é, todas as linhas de campo que entram em S′′ por um ponto saem dela em outros
pontos. Notemos que a carga q4 não contribui para o fluxo em nenhuma superfície
porque ela está fora de todas as superfícies.
Assim, a Lei de Gauss, que é a generalização do que descrevemos aqui, estabelece
que o fluxo total sobre qualquer superfície fechada é
ΦE =
∮
~E · d~A = Qint
e0
(2.2)
onde Qint representa a carga total no interior da superfície e ~E representa o campo
elétrico em qualquer ponto na superfície.
2.3 Aplicações da Lei de Gauss
A lei de Gauss é útil para determinar campos elétricos de distribuições de cargas
com alto grau de simetria.
A idéia é escolher uma superfície gaussiana que satisfaz uma ou mais condições a
seguir:
1. O valor do campo elétrico pode ser constante sobre a superfície devido à simetria.
2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 25
2. O produto escalar~E · d~A é zero porque~E e d~A são perpencilares, enquanto~E · d~A
é ±EdA pois ~E e d~A são paralelos.
3. O campo pode ser zero sobre a superfície.
Essas condições serão usadas nos exemplos a seguir.
Exemplo: Campo Elétrico de uma Carga Puntiforme
Vamos determinar o campo elétrico de uma carga puntiforme q a partir da Lei de
Gauss.
+
Como o espaço em volta da carga tem si-
metria esférica, essa simetria nos diz que o
campo elétrico deve ser radial apenas, de
forma que escrevemos
~E = E(r)rˆ
Escolheremos uma superfície gaussiana que satisfaça algumas das propriedades lis-
tadas acima, e a melhor opção parece ser uma superfície gaussiana esférica de raio r
centrada na carga puntiforme, conforme figura. Com isso, podemos escrever o fluxo
do campo elétrico como
ΦE =
∮
~E · d~A =
∮
E(r)dA =
q
e0
onde usamos o fato que o campo elétrico é normal à superfície gaussiana. Além disso,
o campo elétrico possui a mesma intensidade em todos os pontos da superfície esférica,
devido à distância ser a mesma em todos os pontos, de modo que
∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
q
e0
e assim
E(r) =
q
4pie0r2
= k
q
r2
Obs: Se a carga não estivesse no centro da esfera, a lei de Gauss permaneceria válida,
mas não haveria simetria suficiente para determinar o campo elétrico, pois a intensi-
dade do campo elétrico iria variar ao longo da superfície gaussiana.
26 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Exemplo: Campo Elétrico de uma Esfera Carregada Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de uma esfera isolante de raio a e carregada uni-
formemnte com uma carga Q.
Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, sabemos que o campo deve
ser radial para fora
~E = E(r)rˆ
e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície esférica, conforme as figuras
abaixo.
No caso em que r > a, conforme figura (a) e do exemplo anterior, sabemos que
ΦE =
∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
Q
e0
cujo resultado é
E(r > a) = k
Q
r2
No caso em que r < a, conforme figura (b), o fluxo do campo elétrico deve ser
ΦE =
∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
Qint
e0
porém, nesse caso, a carga interna à superfície gaussiana é dada a partir da densidade
de carga da esfera ρ = Q/ 43pia
3 na forma
Qint = ρ
(
4
3
pir3
)
= Q
r3
a3
2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 27
que juntos resultam em
E(r < a) = k
Q
a3
r
Sendo assim, o campo elétrico dentro e fora
da esfera tem formas diferentes e podemos
analisá-los na forma de um gráfico.
E(r) =
k
Q
a3 r se r < a
k Qr2 se r > a
28 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Exemplo: Campo Elétrico de um Fio Infinito Carregado Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de um fio delgado infinito e isolante carregado
uniformemente com uma densidade de carga linear λ.
+
+
+
+
+
+
Como a distribuição de cargas é cilindricamente
simétrica, sabemos que o campo deve ser radial
cilíndrico para fora, conforme a figura (b)
~E = E(s)sˆ
e que a superfície gaussiana deve ser uma
superfície cilíndrica, conforme a figura (a).
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do
campo elétrico através da superfície gaussiana
é proporcional à carga interna à gaussiana
ΦE =
∮
~E · d~A = E(s)
∫
dA = E(s)(2pisl) =
λl
e0
onde usamos o fato que o campo elétrico ~E é
perpendicular aos vetores d~A nas superfícies da
tampa e do fundo do cilindro, de modo que o
resultado é
E(s) =
λ
2pie0s
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de
cargas com simetria cilíndrica cai com 1/r en-
quanto que o de uma distribuição com simetria
esféricacai com 1/r2. Tal campo foi encontrado
no exemplo do fio carregado, no capítulo ante-
rior, no limite em que o fio é infinito.
Obs: Se o fio fosse finito, não poderíamos afirmar que na borda desse fio o campo teria
a forma~E = E(s)sˆ. Na verdade, apareceriam componentes do campo que são parelelas
ao fio.
2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 29
Exemplo: Campo Elétrico de um Plano Infinito Carregado Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado
uniformemente com uma densidade de carga superficial σ.
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
Como a distribuição de cargas tem simetria pla-
nar, ou seja, simetria na forma de um plano, sa-
bemos que o campo deve ser perpendicular à
superfície
~E = E(n)nˆ
e que a superfície gaussiana pode ser uma
superfície cilíndrica, conforme a figura.
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do campo elétrico através da superfície
gaussiana é proporcional à carga interna à gaussiana
ΦE =
∮
~E · d~A = E(n)
∫
dA = 2E(n)A =
σA
e0
onde usamos o fato que o campo elétrico ~E é perpendicular aos vetores d~A na lateral
do cilindro e somente há fluxo nas tampas do cilindro, de modo que o resultado é
E(n) =
σ
2e0
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas plana infinita independe da dis-
tância ao plano. Tal campo foi encontrado no exemplo do disco carregado, no capítulo
anterior, no limite em que o disco é infinito.
30 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
2.4 Cargas em Condutores
Como vimos no capítulo anterior, um bom condutor elétrico contem cargas (elé-
trons) que não estão ligados aos átomos e portanto estão livres para se moverem dentro
do material.
Quando não há nenhum movimento
Um condutor em equilíbrio eletrostático tem as seguintes propriedades:
1. O campo elétrico é zero em qualquer lugar no interior do condutor.
2. Se um condutor isolado está carregado, sua carga reside na superfície.
3. O campo elétrico no exterior muito próximo do condutor é perpendicular à su-
perfície e de módulo σ/e0.
4. Num condutor de forma irregular, a densidade de carga σ é maior onde menor
for o raio de curvatura da superfície.
Vamos verificar as primeiras três propriedades a seguir, e a quarta propriedade é
apresentada aqui apenas para completar a lista de propriedades de um condutor em
equilíbrio eletrostático, mas será verificada apenas no capítulo seguinte.
Primeira propriedade: Vamos considerar uma chapa condutora imersa num campo
elétrico externo ~E.
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
O campo elétrico dentro do condutor deve
ser zero sobre a hipótese que estamos em
equilíbrio eletrostático. Se o campo não fosse
zero, os elétrons livres experimentariam uma
força elétrica e iriam acelerar devido a essa
força. Esse movimento dos elétrons, contudo,
significaria que o condutor não está em equilí-
brio eletrostática.
Assim, a existência do equilíbrio eletrostático é con-
sistente apenas com o campo zero no condutor.
Segunda propriedade: Vamos considerar um condutor de forma arbitrária. Uma
superfície gaussiana é desenhada dentro do condutor e pode estar próxima da super-
fície do condutor o quanto quisermos.
2.4. CARGAS EM CONDUTORES 31
Como já mostramos, o campo elétrico no
interior do condutor deve ser nulo quando está
em equilíbrio eletrostático. Portanto, o campo
elétrico deve ser nulo em todos os pontos da
gaussiana, de modo que o fluxo total sobre essa
superfície deve ser nulo. E pela Lei de Gauss,
concluímos que a carga total no interior da
gaussiana é zero.
Assim, como a carga total dentro do condutor
deve ser nula, a carga total no condutor reside na
sua superfície.
Terceira propriedade: Vamos usar a lei de Gauss para mostrar essa propriedade.
Notamos que se o campo elétrico~E tiver componente paralela à superfície do condutor,
elétrons livres sofrerão força e estarão postos a se mover ao longo da superfície, o
que no caso de equilíbrio eletrostático é proibido. Então, o vetor ~E deve ter apenas
componente normal à superfície.
+ +
+ +
+
+
+
+
++
+
+
+
+++
+
+
+
+
Vamos usar uma gaussiana na forma de um ci-
lindro tão pequeno quanto quisermos, cujas fa-
ces planas são paralelas à superfície do condu-
tor, enstando parte do cilindro fora do condutor
e parte dentro. O fluxo sobre a superfície late-
ral do cilindro é zero, pois o campo é paralelo à
superfície, e na superfície dentro do condutor é
zero pois o campo é zero naquela região.
Então, o fluxo na gaussiana é apenas
ΦE =
∮
EdA = EA =
Qint
e0
=
σA
e0
de modo que o campo na superfície do condutor deve ter módulo igual a
E =
σ
e0
tendo a direção perpendicular à superfície do condutor.
32 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Exemplo: Esfera dentro de uma Casca Esférica Condutores
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado
uniformemente com uma densidade de carga superficial σ.
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + ++
+
+
+
+
+
+
Como a distribuição de cargas tem simetria es-
férica, a direção do campo elétrico deve ser ra-
dial de tal forma que
~E = E(r)rˆ
Região 1: Para encontrar o campo dentro da esfera sólida, consideremos uma superfí-
cie gaussiana de raio r < a. Como a carga total dentro de um condutor em equilíbrio
eletrostático é zero, Qint = 0 , então, usando a Lei de Gauss e simetria, E(r < a) = 0.
Região 2: Nessa região, consideremos uma gaussiana esférica de raio r onde a < r < b
e notemos que a carga no interior dessa superfície é +2Q (a carga da esfera sólida).
Devido à simetria esférica, o campo elétrico deve ser radial, de modo que pela Lei de
Gauss
E(4pir2) =
2Q
e0
e assim
E(a < r < b) = k
2Q
r2
Região 3: Nessa região, o campo elétrico deve ser zero pois a casca esférica é também
um condutor em equilíbrio, então E(b < r < c) = 0.
2.4. CARGAS EM CONDUTORES 33
Região 4: Usando uma gaussiana esférica de raio r onde r > c e notando que a carga
interna a essa superfície é Qint = +2Q + (−Q) = Q, temos
E(r > c) = k
Q
r2
Desta forma, o campo elétrico dessa distribuição de cargas pode ser escrito e represen-
tado num gráfico como a seguir.
E(r) =

0 se r < a
k 2Qr2 se a < r < b
0 se b < r < c
k Qr2 se r > c
34 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
2.5 Lista de Exercícios
1. Uma esfera de raio R está imersa em um campo elétrico uniforme ~E. Determine:
(a) o fluxo elétrico através da esfera; (b) o fluxo elétrico que sai da esfera.
2. No centro de um cubo de aresta igual a l existe uma carga Q. Determine: (a) o
fluxo elétrico através de uma das faces do cubo. (b) o fluxo elétrico total através
da superfície do cubo.
3. Um campo elétrico não-uniforme é dado pela expressão ~E = ayxˆ + bzyˆ + cxzˆ,
onde a, b, e c são constantes. Determine o fluxo elétrico através de uma superfície
retangular no plano xy, que se estende de x = 0 a x = w e de y = 0 até y = h.
4. Use a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico de uma carga q puntiforme.
5. Uma esfera de raio R possui carga total Q uniformemente distribuida. Determine
o campo elétrico na região (a) r > R. (b) r < R.
6. Um fio infinito possui uma densidade linear de cargas λ constante. Determine o
módulo do campo elétrico em função da distância ao eixo do fio.
7. Determine o campo elétrico produzido por um plano infinito possuindo uma
distribuição superficial de cargas σ uniforme.
8. Dois planos infinitos não-condutores estão paralelos entre si, conforme a figura
abaixo. O plano da esquerda tem densidade de carga uniforme igual a σ, e o
da direita tem densidade de carga uniforme igual a −σ. Determine o campo
elétrico para pontos situados entre os dois planos e na região fora dos planos
considerados.
9.Um cilindro condutor de raio R e comprimento infinito possui distribuição su-
perficial de carga uniforme σ. Determine o campo elétrico para pontos interiores
e exteriores ao cilindro.
2.5. LISTA DE EXERCÍCIOS 35
10. Uma esfera de raio R possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica
dada por ρ = Br, onde B é uma constante e r é a distância ao centro da esfera.
Determine: (a) a carga total da esfera. (b) os campos elétricos dentro e fora da
esfera.
11. Uma esfera isolante homogênea de raio a e de carga Q é colocada no centro de
uma casca esférica condutora neutra de raio interno b e raio externo c, conforme
figura abaixo. (a) Determine o campo elétrico nas regiões 0 < r < a, a < r < b,
b < r < c, e r > c. (b) Determine a carga induzida por unidade de área nas su-
perfícies interna e externa da casca esférica. (c) Esboce um gráfico da intensidade
desse campo.
12. Uma esfera de raio 2a é feita de um material não-condutor que tem densidade
de carga uniforme ρ. Uma cavidade de raio a é então removida da esfera, como
mostra a figura. Mostre que o campo elétrico dentro da cavidade é uniforme e é
dado por Ex = 0 e Ey = ρa/3e0. (Sugestão: Use o princípio da superposição.)
Young & Freedman: 22.37, 22.40, 22.44, 22.52, 22.55, 22.65, 22.66
36 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Capítulo 3
Potencial Eletrostático
Nesse capítulo, estudaremos o potencial eletrostático criado por cargas puntiformes
e distribuições de cargas, bem como diferenças de potenciais entre pontos.
3.1 Força Elétrica como Força Conservativa
Uma das propriedades mais interessantes da Lei de Coulomb é o fato da força ele-
trostática entre cargas elétricas ser uma força conservativa, que obedece a condição
∮
~Fel · d~l = 0,
sendo d~l um elemento diferencial de deslocamento, denotado por d~l = dxxˆ+ dyyˆ+
dzzˆ no sistema de coordenadas cartesiano. Lembremos que essa integral representa o
trabalho feito pela força elétrica sobre uma carga ao longo de qualquer caminho fe-
chado, de modo que
W(el)A→B =
∫ B
A
~Fel · d~l (3.1)
é o trabalho da força elétrica entre quaisquer dois pontos A e B deve ser o mesmo
para qualquer caminho que escolhamos entre esses dois pontos.
Assim como no caso das forças gravitacional e elétrica, que são forças conservati-
vas, podemos associar à força elétrica uma diferença de energia potencial eletrostática,
W(el)A→B = −(U(el)B −U(el)A ), sendo escrita na forma integral
U(el)B −U(el)A = −
∫ B
A
~Fel · d~l. (3.2)
37
38 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
3.2 Diferença de Potencial e Potencial Eletrostático
Para um deslocamento infinitesimal d~l de uma carga, o trabalho realizado pela força
elétrica numa carga é~Fel · d~l = q0~E · d~l, sendo q0 a carga teste que experimenta o campo
elétrico ~E criado por alguma distribuição fonte de carga. Como essa quantidade de
trabalho é feita pelo campo, a energia potencial do sistema carga-campo é mudada por
uma quantidade dU = −q0~E · d~l. E para um deslocamento finito entre os pontos A e
B, a mudança na energia potencial ∆U = UB −UA do sistema é
∆U = −q0
∫ B
A
~E · d~l (3.3)
e a integração é feita ao longo do caminho que a carga q0 segue de A para B. Como
a força q0~E é conservativa, essa integral de linha não depende do caminho que ligue A
a B.
Dividindo a energia potencial pela carga teste obtemos uma quantidade física que
depende somente da distribuição fonte de cargas, essa quantidade é denominada po-
tencial eletrostático V. Assim, a diferença de potencial ∆V = VB−VA entre dois pontos
A e B num campo elétrico é definida como a mudança de energia potencial do sistema
quando uma carga teste é deslocada entre os pontos dividida pela carga teste q0
∆V = −
∫ B
A
~E · d~l (3.4)
A unidade de potencial eletrostático no S.I é o Volt, V ≡ C/m. Como o campo
elétrico se relaciona com o potencial, é comum utilizarmos como unidade de campo
V/m, além de N/C.
3.3. POTENCIAL DE CARGAS PUNTIFORMES 39
Exemplo: Diferença de Potencial num Campo Elétrico Uniforme
Vamos determinar a diferença de potencial (d.d.p.) entre os pontos A e B sujeitos a um
campo elétrico uniforme ~E e a variação da energia potencial necessária para levar uma
carga q de um ponto a outro, conforme figura.
O campo elétrico nessa região é ~E = −Eyˆ, de modo
que o produto escalar ~E · d~l = Edy, e nesse caso te-
mos
VB −VA = −
∫ B
A
~E · d~l = −
∫ B
A
Edy = −Ed.
Assim, o potencial em B deve ser menor do que o
potencial em A pois a diferença de potencial é ne-
gativa entre os pontos. Isso significa que o campo
elétrico aponta no sentido em que há decréscimo do
potencial.
∆V = −Ed
A variação da energia potencial eletrostática é dada por ∆U = q∆V, então
∆U = −qEd.
O que nos informa que a energia potencial do sistema diminui fazendo com que a
energia cinética da partícula aumentasse ∆K = −∆U, uma vez que não há forças dis-
sipativas durante a trajetória.
3.3 Potencial de Cargas Puntiformes
Agora que sabemos determinar a diferença de potencial entre dois pontos do es-
paço, podemos o potencial eletrostático num ponto espacífico do espaço localizado a
uma distância r de uma carga puntiforme. Para isso, começaremos com a expressão
geral
VB −VA = −
∫ B
A
~E · d~l
onde A e B são os dois pontos arbitrários conforme a figura. Em qualquer ponto
40 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
do espaço, o campo elétrico de uma carga puntiforme é ~E = kqrˆ/r2, onde rˆ é um vetor
unitário dirigido da carga para o ponto. A quantidade ~E · d~l pode ser expressa como
~E · d~l = k q
r2
rˆ · d~l
O produto escalar rˆ · d~l = dl cos θ, onde θ é o ângulo en-
tre rˆ e d~l. Além disso, dl cos θ é a projeção de d~l em rˆ,
então, dl cos θ = dr. Isto é, qualquer deslocamento d~l ao
longo do caminho de A para B produz uma mudança dr
na magnitude de rˆ, o vetor posição do ponto com relação
a carga fonte do campo. Fazendo essa substituição, en-
contramos que ~E · d~l = (kq/r2)dr, e assim, a expressão
para a diferença de potencial se torna
VB −VA = −kq
∫ rB
rA
dr
r2
= kq
[
1
r
]rB
rA
= k
q
rB
− k q
rA
Essa equação nos mostra que a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos
A e B num campo criado por uma carga puntiforme depende somente das coordenadas
radiais rA e rB, ou seja, indepente do caminho escolhido de A para B, como discutido
anteriormente.
Uma vez estabelecido uma referência para o potencial no ponto A, qualquer ponto
B terá seu potencial definido univocamente, isto é, o valor de VB depende do valor de
VA. É comum escolhermos a referência do potencial elétrico, no caso de uma carga
puntiforme, sendo V = 0 em rA = ∞. Com essa escolha de referência, o potencial
elétrico criado por uma carga puntiforme em qualquer ponto a uma distância r da
carga é
V(r) = k
q
r
, (3.5)
de modo que, o potencial eletrostático depende apenas da posição V = V(x, y, z),
ou seja, o potencial é um campo escalar.
Para um conjunto de duas ou mais cargas puntiformes, o potencial eletrostático to-
tal pode ser obtido pelo princípio da superposição, isto é, o potencial total num deter-
minado ponto do espaço devido ao conjunto de cargas é a soma dos potenciais devido
a cada carga independentemente naquele ponto. Assim, para um conjunto de cargas,
o potencial eletrostático total é
3.4. GRADIENTE DO POTENCIAL E EQUIPOTENCIAIS 41
V(r) =∑
i
Vi =∑
i
k
qi
ri
. (3.6)
3.4 Gradiente do Potencial e Equipotenciais
Uma vez que conhecemos o potencial de uma dada configuração de cargas, será que
conseguiremos inferir algo sobre o campo elétrico? De fato, sabemos que a diferença de
potencial entre dois pontos infinitesimalmente próximos é dada pela própria definição
do potencial
dV = −~E · d~l,
sendo assim, o campo elétrico é proporcional ao gradiente do potencial ~∇V e de
fato
~E = −~∇V = −∂V
∂x
xˆ− ∂V
∂y
yˆ− ∂V
∂z
zˆ (3.7)
Istoé, a componente x do campo elétrico é igual ao negativo da derivada do poten-
cial com respeito a x. Processo similar pode ser feito para as componentes y e z. Esse
fato é a afirmação matemática que o campo elétrico é uma medida da taxa de variação
do potencial com a posição.
Vamos agora imaginar um caminho d~l que seja perpendicular ao campo elétrico
~E. A diferença de potencial nesse caminho é dV = −~E · d~l = 0, ou seja, a diferença
de potencial é nula quando caminhamos sobre uma superfície que é perpendicular ao
campo elétrico. Essas superfícies recebem o nome de equipotenciais, pelo fato de terem
o mesmo potencial em todos seus pontos.
+
42 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Na figura acima vemos equipotenciais (linhas tracejadas) e linhas de campo (linhas
cheias) para (a) um campo elétrico uniforme produzido por um plano infinito de carga,
(b) uma carga puntiforme, e (c) um dipolo elétrico. E em todos os casos, o campo elétrico
é sempre perpendicular às superfícies equipotenciais e tem sentido que aponta na direção do
potencial decrescente.
3.5 Potencial Devido a Distribuições Contínuas de Carga
Para distribuições contínuas de carga, podemos calcular o potencial eletrostático de
duas maneiras apresentadas a seguir.
Se a distribuição de carga é conhecida, podemos con-
siderar o potencial devido a um pequeno elemento de
carga dq, tratando esse elemento como uma carga pun-
tiforme. O potencial eletrostático dV em algum ponto P
devido ao elemento de carga dq é
dV = k
dq
r
onde r é a distância do elemento de carga ao ponto P.
Para obter o potencial total no ponto P, integramos a equação acima para incluir
contribuições de todos elementos de carga da distribuição. Como cada elemento está,
em geral, a distâncias diferente do ponto P, podemos expressar
V = k
∫ dq
r
(3.8)
onde r depende do elemento de carga dq, e assumimos que o potencial é zero
quando o ponto P é infinitamente distante da distribuição de carga.
Se o campo elétrico já é conhecido por outras considerações, tais como Lei de Gauss,
podemos calcular o potencial elétrico devido à distribuição contínua de carga usando
a definição do potencial. Se a distribuição de carga tem simetria suficiente, primeiro
calculamos~E em qualquer ponto usando a Lei de Gauss e então substituímos em ∆V =
− ∫ ~E · d~l para determinar a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos. E por
fim, escolhemos o potencial V sendo zero em algum ponto conveniente do espaço.
3.5. POTENCIAL DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 43
Exemplo: Potencial devido a um Aro Uniformemente Carregado
Vamos determinar o potencial eletrostático em qualquer localizado num eixo central
perpendicular a um aro uniformemente carregado de raio R e carga total Q.
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
θ P dEx
dEdE⊥
a
r
dq
R
Consideremos, como na figura, que o aro está ori-
entado tal que seu plano é perpendicular ao eixo x e
seu centro está na origem. Para analisar o problema,
consideraremos o ponto P estando a uma distância
x do centro do aro, conforme figura. O elemento de
carga dq está a uma distância
√
x2 + R2 do ponto P.
Assim, podemos expressar V como
V = k
∫
aro
dq
r
= k
∫
aro
dq√
x2 + R2
.
Como cada elemento dq está a mesma distância do ponto P, podemos tirar
√
x2 + R2
da integral, e V se reduz a
V = k
1√
x2 + R2
∫
aro
dq,
e usando o fato que
∫
aro dq é a carga total do aro Q, temos
V(P) = k
Q√
x2 + R2
A única variável nessa expressão para V é x, uma vez que nosso cálculo é válido so-
mente para pontos ao longo do eixo x. A partir desse resultado, o campo elétrico pode
ser determinado a partir do gradiente do potencial como
~E = −∇V = −dV
dx
xˆ = −kQ d
dx
(x2 + R2)−1/2
= −kQ(−1
2
)(x2 + R2)−3/2(2x)
então
~E(P) = k
Qx
(x2 + R2)3/2
xˆ
44 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Exemplo: Potencial devido a um Disco Uniformemente Carregado
Vamos determinar o potencial eletrostático em qualquer ponto localizado no eixo cen-
tral perpendicular a um disco uniformemente carregado de raio R e densidade super-
ficial de carga σ.
P
a
r
R
dq
dr
Novamente, escolhemos o ponto P no eixo x a
uma distância x do centro do disco. Simplifi-
camos o problema dividindo o disco num con-
junto de aros carregados de espessura infinite-
simal dr. O potencial devido a cada aro é dado
pelo exemplo anterior. Consideremos um des-
ses aros de raio r e espessura dr, conforme fi-
gura. A área desse aro é dA = 2pirdr, de modo
que a carga desse aro é dq = σdA = σ2pirdr.
Assim, o potencial no ponto P devido a esse aro
é
dV = k
dq√
x2 + r2
= k
σ2pirdr√
x2 + r2
onde x é uma constante e r uma variável. Para encontrar o potencial total em P, soma-
mos sobre todos os aros formando o disco. Isto é, integramos dV de r = 0 a r = R
V = pikσ
∫ R
0
2rdr√
x2 + r2
= pikσ
∫ R
0
(x2 + r2)−1/2d(r2)
e assim
V(P) = 2pikσ
[
(x2 + R2)1/2 − x
]
Como no exemplo anterior, podemos determinar o campo elétrico em qualquer ponto
axial do disco usando o gradiente do potencial
~E = −dV
dx
xˆ = −2pikσ d
dx
[
(x2 + R2)1/2 − x
]
= −2pikσ
[
1
2
(x2 + R2)−1/2(2x)− 1
]
então
~E(P) = 2pikσ
(
1− x√
x2 + R2
)
xˆ
O cálculo de V e ~E para um ponto qualquer fora do eixo do disco é muito difícil de
realizar, e não trataremos esses exemplos nesse curso.
3.5. POTENCIAL DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 45
Exemplo: Potencial devido a uma Esfera Uniformemente Carregada
Vamos determinar o potencial eletrostático em qualquer região do espaço criado por
uma esfera uniformemente carregada de raio R e carga total Q.
Comecemos pelos pontos no exterior da esfera,
isto é, r > R, tomando o potencial como zero
em r = ∞. Nos capítulos anteriores, encontra-
mos que a intensidade do campo elétrico no ex-
terior de uma esfera uniformemente carregada
de raio R é
E(r > R) = k
Q
r2
onde o campo é radial para fora quando Q é positivo. Nesse caso, para obter o poten-
cial num ponto exterior, tal como B na figura, usamos ∆V = − ∫ BA ~E · d~l, escolhendo o
ponto A como r = ∞
VB −VA = −
∫ rB
rA
E(r)dr = −kQ
∫ rB
rA
dr
r2
= kQ
[
1
rB
− 1
rA
]
VB − 0 = kQ
[
1
rB
− 0
]
e assim sabemos que o potencial na região exterior à esfera é dado por
V(r > R) = k
Q
r
Por continuidade em r = R, o potencial num ponto C na superfície da esfera deve ser
VC = kQ/R. Para um ponto no interior da esfera, vamos lembrar que o campo elétrico
no interior de uma esfera isolante uniformemente carregada é
E(r < R) = k
Q
R3
r
Podemos usar esse resultado para calcular a diferença de potencial VD −VC em algum
ponto interior D
VD −VC = −
∫ rD
rC
E(r)dr = −k Q
R3
∫ r
R
rdr
VD − k QR = k
Q
2R3
(R2 − r2)
46 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
de modo que o potencial na região interior à esfera é dado por
V(r < R) = k
Q
2R
(
3− r
2
R2
)
V(r) =
k
Q
2R
(
3− r2R2
)
se r < R
k Qr se r > R
Podemos esboçar um gráfico do potencial V(r)
como função da distância r ao centro da esfera,
definindo V0 = 3kQ/(2R).
3.6 Potencial Devido a um Condutor Carregado
Vimos no capítulo anterior que quando um condutor sólido em equilíbrio está car-
regado, sua carga reside na sua superfície, fato que os difere dos isolantes. Assim,
o campo elétrico próximo a superfície externa é perpendicular a mesma e dentro do
condutor o campo é nulo.
Consideremos dois pontos A e B na superfície de um condutor carregado, conforme
figura.
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + ++
+
+
+
+
+
+
Usando um caminho ao longo da superfície que ligue os dois pontos, vemos que o
campo~E é sempre perpendicular ao deslocamento d~l, de modo que~E · d~l = 0. Usandoesse resultado, vemos que
3.6. POTENCIAL DEVIDO A UM CONDUTOR CARREGADO 47
VB −VA = −
∫ B
A
~E · d~l = 0
que vale para quaisquer dois pontos na superfície, portanto V é constante na su-
perfície.
Assim, a superfície de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático é uma superfície
equipotencial.
Exemplo: Potencial de uma Esfera Condutora
Consideremos uma esfera condutora de carga Q e de raio R, como mostra a figura (a).
+ +
+ +
+ +
+ ++
+ +
+ +
+ ++
O campo elétrico obtido via Lei de Gauss é
E(r) =
0 se r < Rk Qr2 se r > R
O potencial pode então ser obtido via
campo elétrico por integração, como no
exemplo anterior, de modo que
V(r) =
k
Q
R se r < R
k Qr se r > R
Portanto, o potencial elétrico no interior da
esfera condutora é uniforme e de mesmo
valor que o potencial na superfície (figura
(b)), uma vez que a diferença de potencial
entre a superfície e qualquer ponto no inte-
rior da esfera deve ser nula, pois o campo
no interior do condutor é também nulo (fi-
gura (c)).
Concluímos então que o potencial eletrostático de um condutor carregado é constante em
qualquer ponto no interior do condutor e de mesmo valor que na superfície.
48 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Exemplo: Poder das Pontas
Consideremos um condutor representado por duas esferas condutoras de raios R1 e R2
conectadas por um fio condutor, como mostra a figura.
Como as esferas estão conectadas por
fio condutor, elas devem ambas terem o
mesmo potencial
V = k
Q1
R1
= k
Q2
R2
Assim, a razão entre suas cargas é
Q1
Q2
=
R1
R2
Porém, a razão entre suas densidades superficiais de cargas deve então ser
σ1
σ2
=
R2
R1
que mostra que a densidade de carga é maior na esfera de menor raio, ou seja, quanto
menor for a curvatura da superfície maior será a densidade de carga num condutor.
3.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 49
3.7 Lista de Exercícios
1. Uma carga positiva q e massa m sai da placa positiva de um capacitor plano de
placas paralelas e atinge a placa negativa. A velocidade inicial da carga é igual a
zero. A densidade superficial de cargas numa das placas é igual a σ; a distância
entre as placas do capacitor é igual a d. Determine a variação da energia potencial
e a velocidade da carga q quando ela atinge a placa
2. Determine o potencial produzido por uma carga puntiforme q.
3. Considere três cargas q1, q2 e q3, colocadas no vértice de um triângulo equilátero
de lado igual a L. (a) Determine o potencial elétrico no ponto onde se situa a
carga q1. (b) Qual seria o trabalho necessário para deslocar a carga q1 do vértice
deste triângulo até o inifinito?
4. Considere um fio retilíneo infinito com uma distribuição de cargas linear uni-
forme igual a λ. Um ponto P1 está a uma distância b do fio e um ponto P2 está
a uma distância c do fio, sendo c > b. Determine o módulo da diferença de
potencial entre os pontos P1 e P2.
5. Um fio tendo densidade de carga linear uniforme λ está dobrado na forma da
figura. Determine o campo elétrico no ponto O.
6. Considere um anel que tem densidade superficial de carga uniforme σ e de forma
dada na figura. (a) Calcule o potencial num ponto P ao longo do eixo do anel. (b)
Determine o campo elétrico no mesmo ponto P.
7. Considere uma esfera condutora de raio R e carga Q. Determine o potencial a
uma distância r do seu centro quando: (a) r > R; (b) r < R; (c) r = R; (d) r = 0.
50 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
8. Considere uma esfera de raio R com uma carga Q distribuída uniformemente no
volume dessa esfera. Determine: (a) o potencial para pontos no interior da esfera.
(b) o potencial para pontos no exterior da esfera. (c) em que ponto no exterior o
potencial tem valor igual à metade do valor do potencial na superfície da esfera.
(d) em que ponto no interior o potencial tem valor igual à metade do valor do
potencial na superfície da esfera.
9. Um dipolo elétrico está localizado ao longo do eixo y, conforme figura. A inten-
sidade do seu momento de dipolo elétrico é definida como p = 2qa. (a) Num
ponto P, bem distante do dipolo (r � a), mostre que o potencial eletrostático é
V = k
p cos θ
r2
(b) Calcule as componentes Ex e Ey do campo elétrico nesse ponto.
10. Suponha que o potencial eletrostático numa região grande do espaço é dado por
V(r) = V0e0 exp (−r2/a2), onde V0 e a são constantes, e r é a distância à origem.
Determine: (a) o campo elétrico E(r) nessa região. (b) a carga total Q(r) no in-
terior de uma região de raio r. (c) a densidade de carga ρ(r), usando o fato que
dQ/dr = ρ(r)4pir2. (d) Esboce um gráfico de ρ(r) em função de r.
Young & Freedman: 23.61, 23.66, 23.70, 23.71, 23.81, 23.85, 23.90.
Capítulo 4
Capacitância e Dielétrico
Nesse capítulo, estudaremos o conceito de capacitância, aplicações de capacitores e
dielétricos.
4.1 Capacitância
Considere dois condutores carregando cargas de mesmo sinal e sinais opostos, con-
forme figura. Essa combinação de dois condutores chamaremos de capacitores, sendo
ambos condutores algumas vezes chamados de placas. E devido à presença das cargas,
existe uma diferença de potencial ∆V entre os condutores.
O que determina quanta carga está nas placas de um capacitor para uma dada vol-
tagem? Experimentos mostram que a quantidade de carga Q num capacitor é linear-
mente proporcional a diferença de potencial ∆V entre os condutores. Sendo assim, a
capacitância C de um condutor é definida como a razão entre a intensidade da carga
num dos condutores pela intensidade da diferença de potencial entre eles
C ≡ Q
∆V
(4.1)
51
52 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
Note que por definição capacitância é sempre uma quantidade positiva. Além
disso, capacitância é uma medida da capacidade de um capacitor em armazenar ener-
gia, pois cargas positivas e negativas estão separadas no sistema dos dois condutores
de um capacitore, existindo uma energia potencial elétrica armazenada no sistema.
A capacitância no sistema SI tem unidade de Coulomb por Volt, sendo definida
como Farad F = C/V, em homenagem a Michael Faraday.
Consideremos um capacitor formado por um par de placas paralelas, conforme
figura.
+
–
Com o capacitor inicialmente descarregado, conec-
tamos cada placa a um terminal de uma bateria, que
age como uma fonte de diferença de potencial, es-
tabelecendo um campo elétrico nos fios condutores
quando essa conexão é feita. Na placa conectada ao
terminal negativo da bateria, o campo elétrico força
os elétrons a irem em direção à placa, o processo
continua até a placa, o fio, e o terminal da bateria
terem o mesmo potencial, de modo que não há mais
diferença de potencial entre o terminal e a placa, não
há mais movimento de elétrons, e a placa agora está
carregada negativamente.
Um processo similar ocorre na outra placa do capacitor, com elétrons saindo da
placa para o fio, deixando a placa carregada positivamente. Nessa configuração fi-
nal, a diferença de potencial entre as placas do capacitor é a mesma daquela entre os
terminais da bateria.
4.2 Cálculo de Capacitância
Para determinar a capacitância de um certo tipo de capacitor vamos usar o seguinte
procedimento: assumimos uma carga de magnitude Q numa das placas, em seguida
calculamos a diferença de potencial ∆V entre as placas usando as técnicas do capítulo
anterior, e por último usamos a expressão C = Q/∆V para determinar a capacitância.
4.2. CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 53
Exemplo: Capacitância de uma Esfera Condutora
Imaginemos um condutor esférico carregado. As linhas de campo ao redor desse
condutor são exatamente as mesmas que no caso se existisse uma casca esfé-
rica condutora de raio infinito, concêntrica com a esfera e carregando uma carga
de mesma intensidade e sinal oposto, de modo que essa casca esférica imaginária
pode ser identificada como um segundo condutor de um capacitor de doiscondutores.
Assim, podemos calcular a capacitância para essa situação usando o fato que o poten-
cial de uma esfera de raio R e carga Q é simplesmente kQ/R na sua superfície, e V = 0
na casca infinitamente grande, então
C =
Q
∆V
=
Q
kQ/R
=
R
k
= 4pie0R,
mostrando que a capacitância de uma esfera carregada é proporcional ao seu raio e
independe da carga na esfera e da diferença de potencial.
A capacitância de uma par de condutores depende somente da geometria dos con-
dutores. Vamos ilustrar isso com duas geometrias familiares: placas paralelas e cilin-
dros concêntricos.
54 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
Exemplo: Capacitor de Placas Paralelas
Consideremos duas placas metálicas de áreas iguais A separadas por uma distância
d, conforme figura. Uma placa está carregada com carga Q, a a outra carregada com
carga −Q.
Se as placas estão muito próximas, de tal forma
que a distância d é muito menor que as dimen-
sões típicas das placas, podemos considerar o
campo elétrico uniforme na região entre as pla-
cas com valor igual a
E =
σ
e0
=
Q
e0A
,
e nulo na região fora das placas. Então, como o campo entre as placas é uniforme, a
diferença de potencial entre as placas é
∆V = V+ −V− = Ed = Qd
e0A
.
Substituindo esse resultado na definição de capacitância, temos para o capacitor de
placas paralelas
C =
Q
∆V
=
Q
Qd/e0A
,
portanto
C =
e0A
d
Isto é, a capacitância de um capacitor de placas paralelas é proporcional à área das suas
placas e inversamente proporcional à separação entre as placas.
4.2. CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 55
Exemplo: Capacitor Cilíndrico
Consideremos um condutor cilíndrico sólido de raio a e carga Q é coaxial a uma casca
cilíndrica de raio b > a e espessura desprezível, com carga −Q.
Se os condutores tiverem um comprimento L
muito maior que os raio a e b, podemos des-
prezar os efeitos de borda sobre as linhas de
campo, de tal forma que nesse caso o campo
elétrico é perpendicular ao eixo dos cilindros e
é confinado na região entre eles.
A partir da Lei de Gauss, a intensidade do
campo elétrico de um cilindro com distribuição
de carga uniforme λ é .
E(r) =
2kλ
r
=
2Q/L
r
,
e como o campo elétrico da casca cilíndrica não influencia na região entre os cilindros,
esse deve ser o campo na região entre a e b. Então, como conhecemos o campo entre os
cilindros, a diferença de potencial entre eles é
∆V = V+ −V− = −
∫ a
b
E(r)dr = −2k(Q/L)
∫ a
b
dr
r
= 2k(Q/L) ln
(
b
a
)
.
Substituindo esse resultado na definição de capacitância, temos para o capacitor cilín-
drico
C =
Q
∆V
=
Q
2k(Q/L) ln (b/a)
,
portanto
C =
L
2k ln (b/a)
Isto é, a capacitância de um capacitor cilíndrico é proporcional ao comprimento dos
cilindros.
56 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
4.3 Associação de Capacitores
Agora que sabemos determina a capacitância de capacitares devido a sua geome-
tria, podemos associar diferentes capacitares para obter qualquer valor de capacitância
que necessitarmos. Existem dois de associações: paralela e série.
4.3.1 Capacitores em Paralelo
Numa associação em paralelo, conforme figura (b), as diferenças de potenciais em
cada capacitor individualmente são as mesmas e iguais à diferença de potencial apli-
cada sobre a associação inteira.
+
–
+ –
+ –
+ – + –
Quando os capacitores são conectados ao circuito conforme a figura (a), elétrons
são transferidos entre os fios e as placas, permitindo as placas da direita se carregarem
negativamente e as placas da esquerda se carregarem positivamente. O fluxo de carga
cessa quando a voltarem sobre os capacitares é igual àquela dos terminais da bateria, e
os capacitares ficam carregados com cargas Q1 e Q2. A carga total Q armazenada nos
capacitores é
Q = Q1 + Q2
Isso é, a carga total nos capacitares conectados em paralelo é a soma das cargas
de cada capacitor individual. E como a voltarem sobre cada capacitor é a mesma, as
cargas que eles carregam são
4.3. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 57
Q1 = C1∆V e Q2 = C2∆V
Suponha que nós desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente
tendo uma capacitância Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito
deve ser o mesmo do conjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equi-
valente deve armazenar carga Q quando conectado a d.d.p de ∆V. Assim, para o
capacitor equivalente,
Q = Ceq∆V
Substituindo essas três relações para as carga na equação da carga total do circuito,
temos
Ceq∆V = C1∆V + C2∆V
Ceq = C1 + C2
Assim, a capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo é
a soma algébrica das capacitâncias individuais e é maior que qualquer uma das capa-
citância individuais.
Ceq = C1 + C2 + C3 + . . . (em paralelo) (4.2)
4.3.2 Capacitores em Série
Numa associação em série, conforme figura (b), as cargas em cada capacitor indivi-
dualmente são as mesmas e iguais à carga total armazenada na associação inteira.
–+ + –
+
–
58 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
Quando os capacitores são conectados ao circuito conforme a figura (a), elétrons
são transferidos para fora da placa da esquerda de C1 e vão para a placa da direita
de C2. Como essa carga negativa se acumula na placa direita de C2, uma quantidade
equivalente de carga negativa é forçada para fora da placa esquerda de C2, e essa placa
esquerda adquire então um excesso de carga positiva. A carga negativa deixando a
placa esquerda de C2 causa um acumulo de carga negativa na placa direita de C1.
Como resultado, todas as placas da direita ficam com carga negativa−Q, e todas placas
da esquerda com carga +Q. Assim, as cargas nos capacitares conectados em série são
as mesmas.
Da figura (a), vemos que a voltagem ∆V entre os terminais da bateria é dividida
entre os capacitores
∆V = ∆V1 + ∆V2
Em geral, a diferença de potencial entre qualquer número de capacitores conectados
em série é a soma da diferença de potencial sobre cada capacitor individualmente. E
como as cargas nos capacitores são as mesmas, as voltagens sobre eles são
∆V1 =
Q
C1
∆V e ∆V2 =
Q
C2
Suponha que nós desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente
tendo uma capacitância Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito
deve ser o mesmo do conjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equiva-
lente deve armazenar carga −Q na placa da direita e carga +Q na placa da esquerda
quando conectado a d.d.p de ∆V dos terminais da bateria. Assim, para o capacitor
equivalente,
∆V =
Q
Ceq
Substituindo essas três relações para as voltagens na equação da voltarem total do
circuito, temos
Q
Ceq
=
Q
C1
+
Q
C2
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
Assim, o inverso da capacitância equivalente de uma associação de capacitores em
série é a soma algébrica dos inversos das capacitâncias individuais e é menor que qual-
4.4. ENERGIA ARMAZENADA NUM CAPACITOR 59
quer uma das capacitância individuais.
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+ . . . (em série) (4.3)
Exemplo: Capacitância Equivalente
Consideremos um circuito misto de capacitores, conforme figura (a). A capacitância
equivalente entre a e b pode ser encontrada reduzindo as associações de capacitores
como indicadas nas partes (b), (c), e (d), usando as regras de associações em série e
paralelo.
ba
(b)
ba
( c)
ba
(d)
ba
(a)
4.4 Energia Armazenada num Capacitor
Quanta energia deve estar armazenada num capacitor depois que o carregamos?
Para calcular a energia armazenada num capa-
citor durante o processo de carregamento, ima-
ginemos que a carga é transferida mecanica-
mente para o capacitor, de modo que o traba-
lho necessário para adicionar uma carga dq ao
capacitor é
dW = ∆Vdq
e sabendo que a diferença de potencial entreas placas do capacitor depende da
carga q nele, podemos escrever
dW =
q
C
dq,
60 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
ilustrado na figura. O trabalho total para carregar o capacitor desde uma carga
q = 0 até a carga final q = Q é
W =
∫ Q
0
q
C
dq =
1
C
∫ Q
0
q dq =
Q2
2C
O trabalho feito para carregar o capacitor aparece como energia potencial elétrica
U armazenada no capacitor. Usando a capacitância, podemos expressar a energia po-
tencial armazenada num capacitor carregado nas seguintes formas
U =
Q2
2C
=
1
2
Q∆V =
1
2
C(∆V)2 (4.4)
Podemos considerar a energia armazenada num capacitor como sendo armazenada
no campo elétrico criado entre as placas quando o capacitor está carregado, pois o
campo elétrico é proporcional a carga no capacitor. Para um capacitor de placas para-
lelas, a diferença de potencial está relacionada com o campo elétrico através da relação
∆V = Ed, e sua capacitância é C = e0A/d. Substituindo essas expressões na energia,
obtemos
U =
1
2
e0A
d
(Ed)2 =
1
2
(e0Ad)E2.
Como o volume ocupado pelo campo elétrico é Ad, a energia por unidade de vo-
lume uE = U/(Ad), conhecida como densidade de energia, é
uE =
1
2
e0E2 (4.5)
Assim, a densidade de energia em qualquer campo elétrico é proporcional ao qua-
drado da intensidade do campo elétrico num dado ponto.
Para uma dada capacitância, a energia armazenada aumenta com o aumento da
carga e com o aumento da diferença de potencial. Na prática, entretanto, há um limite
de energia máxima (ou carga) que pode ser armazenada pois, em valores muito altos
de voltarem, ocorre descarga elétrica entre as placas.
4.5 Materiais Dielétricos
O que acontece quando colocamos um material isolante na presença de um campo
elétrico externo?
Consideremos um dielétrico feito de moléculas polares localizadas num campo elé-
trico entre as placas de um capacitor. Os dipolos (isso é, as moléculas polares que
formam o dielétrico) estão orientados aleatoriamente na ausência de um campo elé-
4.5. MATERIAIS DIELÉTRICOS 61
trico, conforme figura (a). Quando um campo elétrico externo ~E0 devido ao capacitor
é aplicado, conforme figura (b), um torque é exercido sobre os dipolos, fazendo com
que eles se alinhem parcialmente com o campo. O grau de alinhamento das moléculas
com o campo elétrico depende da temperatura e da intensidade do campo, em geral,
aumentando com o aumento da temperatura e do campo. Se as moléculas do dielé-
trico são apolares, então o campo elétrico externo produz alguma separação de cargas
e num momento de dipolo induzido.
E0
–
+ –
+
–
+
–
+
–+–+–
+
–
+
–+
–+
– + –
+
– + –
+ – +
– +– +
– +
– + –
+ – +
– +
– + – +
– +
E0
Eind
– indσ indσ
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
Em ambos materiais feitos de moléculas polares ou apolares, os campos elétricos
induzidos pelos momentos de dipolos elétricos alinhados tendem a cancelar parcial-
mente o campo externo original, figura (c). Assim, o campo elétrico resultante ~ET
dentro do dielétrico é o campo original ~E0 mais o campo induzido ~Eind
~ET = ~E0 +~Eind,
ou
ET = E0 − Eind.
Notamos que o campo resultante dentro do dielétrico aponta na direção do campo
externo original. O campo induzido depende do campo externo original na forma
Eind = αE0, sendo α a polarizabilidade do meio material. Com isso, podemos escrever
ET = (1− α)E0,
e denominando κ = 1/(1− α) a constante dielétrica do meio material, vemos que o
campo resultante no interior do meio dielétrico é reduzido de um fator κ
~ET =
~E0
κ
(4.6)
Além disso, o campo elétrico externo E0 está relacionado com a densidade de carga
σ nas placas através da relação E0 = σ/e0, e o campo elétrico induzido Eind no die-
létrico está relacionado com a densidade de carga induzida σind, conforme figura (b),
62 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
através da relação Eind = σind/e0. Como ET = E0/κ = σ/(κe0), temos
σ
κe0
=
σ
e0
− σind
e0
e
σind =
(
κ − 1
κ
)
σ (4.7)
Como κ > 1, essas expressões mostram que o campo elétrico no interior do dielé-
trico ET é reduzido, e a densidade de carga induzida σind no dielétrico é menor que a
densidade de cargas nas placas.
Existe, porém, um valor crítico para o campo externo, consequentemente para a
diferença de potencial, acima do qual o material deixa de ser isolante, e ocorre ou uma
descarga elétrica ou uma ruptura do isolamento. Esse campo elétrico crítico fornece
a rigidez dielétrica do material, que é medida pelo módulo do campo elétrico mínimo
acima do qual se produz a ruptura do dielétrico.
4.6 Capacitores com Dielétricos
Quando inserimos um dielétrico no interior de um capacitor o que acontece com
a capacitância? Aumenta, diminui, ou não se modifica? Podemos analisar o seguinte
experimento para ilustrar o efeito de um dielétrico num capacitor.
+
–
+
–
Consideremos um capacitor de placas paralelas isolado que sem o dielétrico, con-
forme figura (a), tem uma carga Q0 e uma capacitância C0, de modo que a diferença
de potencial entre as placas é ∆V0. Se um dielétrico é agora inserido entre as placas,
conforme figura (b), a diferença de potencial ∆V entre as placas deve ser reduzida de
4.6. CAPACITORES COM DIELÉTRICOS 63
um fator κ pois o campo no interior do capacitor foi reduzido do mesmo fator, desta
forma
∆V =
∆V0
κ
.
Como a carga Q0 no capacitor não mudou, concluímos que a capacitância deve
mudar para o valor
C =
Q0
∆V
=
Q0
∆V0κ
= κ
Q0
∆V0
então
C = κC0 (4.8)
Isso é, a capacitância aumenta de um fato κ quando um dielétrico preenche com-
pletamente a região entre as placas.
64 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
Exemplo: Capacitor parcialmente preenchido
Consideremos um capacitor de placas paralelas com separação entre as placas d, que
tem capacitância C0 na ausência de um dielétrico, preenchido com dielétrico de cons-
tante κ e espessura d/3 conforme figura (a).
Podemos imaginar o conjunto da figura (a)
como sendo dois capacitores C1 e C2 associados
em série, conforme figura (b). Usando o resul-
tado da capacitância de um capacitor de placas
paralelas, temos
C1 =
κe0A
d/3
e C2 =
e0A
2d/3
.
Como associamos em série, a capacitância equi-
valente é dada por
1
C
=
1
C1
+
1
C2
=
d/3
κe0A
+
2d/3
e0A
então
C =
(
3κ
2κ + 1
)
e0A
d
e como a capacitância sem o dielétrico é C0 =
e0A/d, podemos escrever
C =
(
3κ
2κ + 1
)
C0
4.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 65
4.7 Lista de Exercícios
1. Um capacitor esférico é constituído por dois condutores esféricos concêntricos.
O condutor esférico interno possui raio externo b. O condutor externo é uma
casca muito fina de raio externo c. A superfície interna (de raio b) possui carga
Q e a superfície externa (de raio c) carga oposta. (a) Determine a diferença de
potencial entre as superfícies. (b) Determine a capacitância desse capacitor. (c)
Esses resultados mudariam se o condutor interno fosse uma casca esférica oca de
raio b? Por que?
2. Considere dois fios longos, paralelos, e opostamente carregados de raio d com
seus centros separados por uma distância D. Assuma que a carga está distribuída
uniformemente na superfície de cada fio, mostre que a capacitância por unidade
de comprimento desse par de fios é
C
l
=
pie0
ln[(D− d)/d]
3. Você possui um conjunto de n capacitores idênticos de capacitância C0. Deter-
mine a capacitância do capacitor equivalente ao circuito quando (a) todos os ca-
pacitores estão em paralelo; (b) todos os capacitores estão em série; (c) quando
metade dos capacitores estão ligados em série ligados a outra metade que está
em paralelo.
4. Um capacitor de placas paralelas e planas está ligado a uma diferençade poten-
cial V de uma bateria. Sem desconectar a bateria, afasta-se uma das placas, de
modo que a nova distância entre as placas seja igual ao triplo da distância origi-
nal. Calcule (a) a nova capacitância em função da capacitância inicial; (b) a carga
acumulada em função da carga inicial; (c) a energia armazenada em função da
energia inicial.
5. Dois capacitores C1 e C2 estão carregados na mesma diferença de potencial inicial
∆Vi. Os capacitores carregados são removidos da bateria, e suas placas são co-
66 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
nectadas com polaridade oposta como na figura (i). As chaves S1 e S2 são então
fechadas, como na figura (ii). (a) Determine a diferença de potencial final ∆Vf
entre a e b após fechar as chaves. (b) Determine a energia total armazenada nos
capacitores antes e depois das chaves serem fechadas e razão entre a energia final
e a inicial.
+ –
+
ba
–
– +
+
ba
–
6. Uma esfera de material dielétrico homogêneo de raio R está uniformemente car-
regada com densidade volumétrica de carga ρ. Determine (a) o campo elétrico
E dentro e fora da esfera. (b) a densidade de energia elétrica em cada ponto do
espaço. (c) a energia elétrica total do campo elétrico produzido por esta esfera
em todo o espaço. (Sugestão: Integre a densidade de energia do item (b) em todo
o espaço.)
7. Suponha que a rigidez dielétrica do ar seja dada por um campo crítico Emax acima
do qual ocorre descarga para o ar, que tem constante dielétrica κ. Determine a
expressão da carga máxima que pode ser acumulada na superfície de uma esfera
condutora de raio R.
8. Um capacitor de placas paralelas vertical está preenchido até a metade por um
dielétrico de constante κ (figura (a)). Quando o capacitor é posicionado horizon-
talmente (figura (b)), que fração dele deve ser preenchida com o mesmo dielétrico
para que os dois capacitores tenham a mesma capacitância.
9. Um capacitor de placas paralelas planas de área A e distância d entre as placas
está totalmente preenchido por três dielétricos de constantes κ1, κ2 e κ3, de mesma
área A e mesma espessura igual a d/3. Mostre que a capacitância desse capacitor
é
C =
3e0Aκ1κ2κ3
d(κ1κ2 + κ1κ3 + κ2κ3)
4.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 67
Young & Freedman: 24.62, 24.66, 24.68, 24.71, 24.72, 24.76.
68 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
Capítulo 5
Corrente, Resistência e Força
Eletromotriz
Nesse capítulo, estudaremos a definição de corrente, com descrição microscópica,
as definições de resistência elétrica e introduzimos o resistor, como uma força eletro-
motriz possibilita o fluxo de corrente em um circuito, e por fim, como obter as energia
e potência em circuitos.
5.1 Corrente Elétrica
O que acontece ao ligarmos por um fio metálico às placas de um capacitor carre-
gado?
Como não pode haver equilíbrio eletrostático, pois as extremidades do fio condutor
estão em potenciais diferentes, há movimento de cargas, ou seja, uma corrente elétrica
passa através do fio quando a conexão é feita.
A intensidade da corrente elétrica i que atravessa
uma dada seção de um fio condutor é definida como
a quantidade de carga dq que atravessa esta seção
num dado intervalo de tempo dt, de modo que po-
demos escrever
i ≡ dq
dt
. (5.1)
A unidade de corrente elétrica no SI é o Ampère, que passa a definir a unidade de
Coulomb. Assim, numa corrente de 1A, a secção do fio é atravessada a cada segundo
por 1C de carga, equivalente a 6.2× 1018 C.
69
70 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
Por motivos históricos, é convencional definir a corrente tendo a mesma direção do
fluxo de cargas positivas. Em condutores elétrico, tais como cobre e alumínio, a cor-
rente é devido ao movimento de elétrons. Portanto, num metal, a direção da corrente
num condutor é oposta ao fluxo de elétrons. Numa lâmpada fluorescente, os porta-
dores de cargas são tanto elétrons como íons positivos do gás, que se deslocam em
sentidos opostos sob a ação do campo de descarga.
5.1.1 Modelo Microscópico para Corrente
Podemos relacionar a corrente elétrica com o movimento de cargas através de um
modelo microscópico de condução num metal.
Num condutor isolado, isto é, a diferença de potencial é zero nele, os elétrons se
movem num movimento aleatório que é análogo ao movimento das moléculas num
gás. Quando uma diferença de potencial é aplicada nesse condutor, um campo elétrico
aparece nesse condutor exercendo uma força nos elétrons, produzindo uma corrente.
Contudo, os elétrons não se movem em linhas retas através do condutor, pois colidem
repeditademnte com os átomos do metal, e seu movimento resultante é complicado
em zig-zag. Apesar das colisões, os elétrons se movem vagarosamente através do con-
dutor (na direção oposta de ~E) com a velocidade de arrasto~vD, conforme figura (a).
–
Agora, consideremos um comprimento ∆x de um condutor de seção transversal A,
de modo que o volume dessa região é A∆x, conforme figura (b). Se n é o número de
portadores de carga por unidade de volume, o número de portadores nessa região é
nA∆x. Assim, a carga total ∆Q nessa região é
∆Q = (nA∆x)q
onde Q é a carga de cada portador. Se os portadores se movem com velocidade de
arrasto vD, devido à influência do campo elétrico externo, o intervalo de tempo que
leva para atravessarem essa região é dado pela relação ∆x = vD∆t. Esse intervalo de
5.1. CORRENTE ELÉTRICA 71
tempo é aquele necessário para todas as cargas no cilindro passarem de uma extremi-
dade a outra. Com isso, podemos escrever
∆Q = (nAvD∆t)q
Se dividirmos ambos os lados da equação por ∆t, a corrente elétrica média nesse
condutor é
imed =
∆Q
∆t
= nqAvD
E com isso, temos uma densidade de corrente elétrica ~j percorrendo o fio que é dada
por
j =
i
A
= nqvd
ou
~j = nq~vd (5.2)
Exemplo: Velocidade de Arrasto no Fio de Cobre
Consideremos um fio de cobre de área de seção transversal A = 3 × 10−6 m2, cuja
densidade é de 8.95 g/cm3 e massa molar igual a 63.5 g/mol, por onde passa uma
corrente de 10 A.
A densidade de portadores de carga (para o cobre, elétrons) é dada por
n =
ρ
µ
NA =
(8.95 g/cm3)
(63.5 g/mol)
(6.22× 1023) = 8.8× 1028 e−/m−3.
Assim, a velocidade de arrasto no fio é determinada pela corrente através de
vd =
i
nqA
=
(10 A)
(8.8× 1028 e−/m−3)(1.6× 10−19 C)(3× 10−6 m2) = 0.2 mm/s.
Desta forma, um elétron demoraria aproximadamente 1.5 horas para percorre um tre-
cho de 1 m nesse fio. O fato é que não é necessário que o elétron chegue até o equipa-
mento para acioná-lo, basta que o campo elétrico se propague pelo fio e faça com que
todos os elétrons se movimentem na mesma direção. O campo elétrico se propaga com
a velocidade da luz no meio material!
72 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
5.2 Lei de Ohm e Condutância
Anteriormente vimos que o campo elétrico no interior em equilíbrio eletrostático é
nulo, porém quando as cargas no condutor não estão em equilíbrio é possível que haja
um campo elétrico em seu interior.
Em alguns materiais, a densidade de corrente elétrica é proporcional ao campo elé-
trico
~j = σ~E (5.3)
onde a constante de proporcionalidade sigma é denominada condutividade do ma-
terial. Materiais que obedecem essa relação são conhecidos como materiais ôhmicos, em
homenagem a Georg Simon Ohm que descobriu essa relação empírica válida somente
para certos materiais.
Consideremos agora um pequeno trecho de um fio de comprimento L e seção trans-
versal uniforme de área A, conforme figura. Uma diferença de potencial ∆V = Vb−Va
é mantida ao longo do fio, criando no interior do fio um campo elétrico e portanto uma
corrente. Se o campo puder ser considerado uniforme, a diferença de potencial está
relacionada com o campo através da relação
∆V = EL
Assim, podemos expressar a intensidade da densidade de corrente no fio como
sendo
j =σE = σ
∆V
L
,
como j = i/A, podemos escrever
∆V =
L
σ
j =
(
L
σA
)
i = Ri.
A quantidade R = L/σA é denominada resistência elétrica do fio, que no SI tem
unidades ohm, equivalente a Volt por Ampère, Ω = V/A. Assim, a relação entre a
5.2. LEI DE OHM E CONDUTÂNCIA 73
diferença de potencial sobre um fio e a corrente elétrica criada no mesmo é dada pela
famosa Lei de Ohm, escrita na forma
∆V = Ri (5.4)
O inverso da condutividade é a resistividade ρ
ρ =
1
σ
, (5.5)
como R = L/σA, podemos expressar a resistência de um fio condutor de material
homogêneo e isotrópico como
R = ρ
L
A
. (5.6)
Materiais que são bom condutores de eletricidade apresentam resistividade baixa,
como o cobre cuja resistividade é da ordem de 10−8 Ω.m, enquanto que materiais iso-
lantes apresentam alta resistividade, como o quartzo cuja resistividade é da ordem de
1016 Ω.m. Além disso, a resistividade, num certo intervalo de temperatura, varia apro-
ximadamente linearmente com a temperatura de acordo com a expressão
ρ = ρ0[1+ α(T − T0)] (5.7)
onde ρ é a resistividade em alguma temperatura T, ρ0 é a resistividade em alguma
temepratura de referência T0, e α o coeficiente de temperatura da resistividade.
5.2.1 Modelo Microscópico para Condutividade
Podemos pensar num condutor como sendo uma rede regular de átomos mais um
conjunto de elétrons livres, que podemos chamar de elétrons de condução. Não há cor-
rente elétrica no condutor na ausência de um campo elétrico externo pois a velocidade
de arrasto dos elétrons é zero, isto é, na média o movimento dos elétrons é zero, con-
forme figura (a).
–
–
––
–
–
–
–
74 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
Com a presença do campo elétrico externo a situação muda, além do movimento
aleatório devido à agitação térmica, o campo elétrico ~E causa um arrasto dos elétrons
numa direção oposta àquele campo ~E, conforme figura (b).
Quando um elétron livre de massa m e carga q está sujeito a um campo elétrico ~E,
ele sofre uma forçca ~F = q~E. Como essa força está relacionada com a aceleração do
elétron através da segunda lei de Newton, ~F = m~a, concluímos que a aceleração do
elétron é
~a =
q~E
m
Essa aceleração, que ocorre somente em um curto intervalo de tempo entre colisões,
permite ao elétron adquirir uma pequena velocidade de arrasto. Se ~vi é a velocidade
inicial do elétron no instante após a colisão (que ocorre num tempo que definiremos
como t = 0), então a velocidade do elétron num tempo t (no qual ocorre a próxima
colisão) é
~v f = ~vi +~at = ~vi +
q~E
m
t
Em seguida, tomamos uma média sobre todos os valores possíveis de ~v f e ~vi du-
rante um intervalo de tempo médio entre sucessivas colisões τ. Como a distribuição
das velocidades iniciais é aleatória, o valor médio de~vi é zero. De modo que,
~v(f med) = ~vd =
q~E
m
τ
Relacionando essa expressão para a velocidade de arrasto com a corrente num con-
dutor, encontramos que a densidade de corrente é
j = nqvd =
nq2E
m
τ.
Comparando essa expressão com a lei de Ohm, j = σE, obtemos as seguintes rela-
ções para condutividade e resistividade do material
σ =
nq2τ
m
(5.8)
ρ =
1
σ
=
m
nq2τ
(5.9)
E de acordo com esse modelo clássico, a condutividade e a resistividade do material
não depende da intensidade do campo elétrico externo. O tempo médio entre colisões
τ está relacionado com a distância média entre colisões l (ou livre caminho médio) e a
5.3. POTÊNCIA ELÉTRICA E EFEITO JOULE 75
velocidade média v¯ através da expressão τ = l/v¯.
5.3 Potência Elétrica e Efeito Joule
Agora que sabemos que corrente é efetivamente o movimento das cargas no interior
de um condutor, quanta energia deve ser gasta para realizar esse movimento?
Para mover uma quantidade de carga dq = idt entre uma diferença de potencial
∆V, a quantidade de energia necessária é igual ao trabalho
dW = (idt)∆V
de modo que a potência da fonte, ou seja, da bateria deva ser
Pot =
dW
dt
= i∆V (5.10)
No caso de um material condutor, podemos usar a lei de Ohm para determinar a
potência dissipada pelo condutor em formas alternativas
Pot = Ri2 =
(∆V)2
R
(5.11)
Assim, a energia fornecida pela bateria para o movimento das cargas num condutor
acaba sendo dissipada na forma de calor devido a resistência do objeto, tal fenômeno
é conhecido como efeito Joule. Efeitos como esse são o que permitem utilizar energia
elétrica para gerar calor, como num chuveito elétrico.
De fato, podemos pensar nas colisões átomos-elétrons num condutor como uma
fricção interna efetiva similar aquela sentidas pelas moléculas de um líquido fluindo
através de um duto. A energia transferida dos elétrons para os átomos do metal du-
rante as colisões causa aumento da energia de vibração dos átomos e um correspon-
dente aumento na temperatura do condutor.
76 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
Exemplo: Potência de um aquecedor elétrico
Um aquecedor elétrico é construído aplicando-se uma diferença de potencial de 120 V
num fio de nicromo cuja resistência total é de 8.0 Ω.
A corrente elétrica que passa pelo fio é dada pela lei de Ohm como
i =
∆V
R
=
120 V
8.0 Ω
= 15.0 A
A potência elétrica dissipada na forma de calor é dada por
Pot = Ri2 = (8.0 Ω)(15.0 A)2 = 1.80× 103 W = 1.80 kW
5.4. LISTA DE EXERCÍCIOS 77
5.4 Lista de Exercícios
1. No processo de carga de um capacitor, a carga acumulada numa das placas au-
menta com o tempo de acordo com a relação q = q0[1− exp (−bt)], onde b é uma
constante. Determine a expressão da corrente em função do tempo.
2. Em uma lâmpada fluorescente o mecanismo de condução é iônico. No tubo de
uma certa lâmpada fluorescente ocorre o deslocamento de 1,5× 1018 elétrons por
segundo e o deslocamento de 0,5× 1018 íons positivos por segundo. Calcule a
corrente elétrica.
3. Um fio cilíndrico de comprimento L e diâmetro d, feito de material ôhmico de
resistividade ρ, é colocado ao longo do eixo x. Assumindo que um potencial V
é mantido em x = 0 e que o potencial é zero em x = L. Em termos de L, d, V,
ρ, e constantes físicas, derive expressões para (a) o campo elétrico no fio; (b) a
resistência do fio; (c) a corrente elétrica no fio; (d) a densidade de corrente no fio.
(e) Prove que E = ρj.
4. Com um metal A, de resistividade ρA, fabrica-se um fio de comprimento L e de
raio a, e com um metal B, de resistividade ρB, fabrica-se um fio de comprimento
L e de raio b. Determine uma relação entre as resistividas desses materiais para
que a corrente que passa em um dos fios seja igual à corrente que passa no outro
fio, quando estes estão ligados em paralelo.
5. Uma carga Q é colocada num capacitor de capacitância C. O capacitor é conec-
tado no circuito mostrado na figura, com uma chave aberta, um resistor de resis-
tência R, e um capacitor inicialmente descarregado de capacitância 3C. A chave
é então fechada e o circuito entra em equilíbrio. Em termos de Q e C, determine
(a) a diferença de potencial final entre as placas de cada capactor; (b) a carga em
cada capacitor; (c) a energia final armazenada em cada capacitor; (d) a energia
dissipada no resistor.
78 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
6. O material dielétrico entre as placas de um capacitor de placas paralelas sempre
tem condutividade σ não nula. Seja A a área de cada placa, d a distância entre
elas, e κ a constante dielétrica do material. Mostre que a resistência R e a capaci-
tância C são relacionada por
RC =
κe0
σ
Young & Freedman: 25.60, 25.64, 25.66, 25.72, 25.80, 25.85.
Capítulo 6
Campo Magnético
Nesse capítulo, estudaremos as forças que agem em cargas elétricas em movimento
e em fios que carregam correntes elétricas na presemça de um campo magnético.
6.1 Fatos Experimentais
Na Grécia antiga se conheciam as propriedades de um minériode ferro encontrado
na região da Magnésia, a magnetita (Fe3O4): um pedaço de magnetita é um imã perma-
nente, que atrai pequenos fragmentos de ferro.
Em 1100 a.C., os chineses já haviam descoberto que uma agulha de magnetita capaz
de se orientar livremente num plano horizontal alinha-se aproximadamente na direção
norte-sul, e usavam este aparelho, a bússola, na navegação.
Em 1600, William Gilbert publicou um importante tratado sobre o magnetismo, onde
observa, pela primeira vez, que a própria Terra atua como um grande imã.
Um imã permanente tem um pólo norte (N) e um pólo sul (S), e é fácil verificar, com
dois imãs, que seus pólos de mesmo nome (N-N e S-S) se repelem, e que seus pólos de
nomes contrários (N-S) se atraem.
Entretanto, a experiência mostra que não é possível separar um pólo do outro num
imã. Se o partirmos em dois, cada um deles continuará tendo dois pólos N e S.
79
80 CAPÍTULO 6. CAMPOMAGNÉTICO
Em anos recentes, fez-se um grande esforço experimental para verificar se existem
partículas com “carga magnética”, que seriam pólos N ou S isolados (monopólos magné-
ticos). Nenhum jamais foi detectado. É portanto um fato experimental básico no estudo
do magnetismo que não existem cargas magnéticas (pólos magnéticos isolados).
Quando salpicamos limalha de ferro sobre um imã, cada pequeno fragmento de
ferro se magnetiza por indução e funciona como uma minúscula agulha imantada (bús-
sola), indicando a direção do campo, de modo que materializamos assim as linhas de
força magnéticas, conforme a figura a seguir.
6.2 Força e Campo Magnéticos
Em nosso estudo de eletricidade, descrevemos as interações entre objetos carrega-
dos em termos de campos elétricos, que rodeiam qualquer carga elétrica. Além de
conter o campo elétrico, a região do espaço ao redor de qualquer carga em movimento
contém um campo magnético.
A força magnética que atua numa carga puntiforme devido a algum campo mag-
nético ~B, tem as seguindes propriedades:
• a intensidade da força é proporcional à carga q e a intensidade da velocidade v
da partícula.
• quando~v e ~B tem direções paralelas, a força magnética é nula.
• quando~v e ~B tem direções que fazem um ângulo θ 6= 0 entre si, a força magnética
6.2. FORÇA E CAMPOMAGNÉTICOS 81
tem a direção perpendicular às direções de ~v e ~B e seu módulo proporcional a
sen θ.
Podemos resumir essas propriedades escrevendo a força magnética na forma de
um produto vetorial como sendo
~FB = q~v× ~B (6.1)
A direção da força magnética~FB agindo numa partícula carregada movendo-se com
uma velocidade~v na presença de um campo magnético ~B é perpendicular a ambos~v e
~B, conforme figura (a). Forças magnéticas de sentidos opostos são exercidas em cargas
de sinais opostos que se movem com a mesma velocidade num campo magnético,
conforme figura (b), onde as linhas tracejadas mostram os caminhos das partículas.
–
+
Como a força magnética é sempre perpendicular à velocidade da partícula, pode-
mos dizer que o campo magnético não realiza trabalho. Assim, a energia cinética de uma
partícula carregada num campo magnético constante permanece também constante.
Da equação para a força magnética, vemos que a unidade no SI do campo magné-
tico é o Newton por Coulomb-metro por segundo, que é denominada Tesla (T), sendo
então
1 T ≡ 1 N
C ·m/s,
e uma outra unidade muito comum é denominada Gauss (G), que é relacionado
com o Tesla através da conversão 1 T = 104 G. O campo magnético da Terra é ∼ 0.6 G.
82 CAPÍTULO 6. CAMPOMAGNÉTICO
Para facilitar as ilustrações, vamos definir uma pequena notação para indicar a di-
reção de ~B quando este está perpendicular ao plano do papel, usaremos� quando este
aponta saindo da página e ⊗ quando este aponta entrando na página.
6.2. FORÇA E CAMPOMAGNÉTICOS 83
Exemplo: Força Resultante na Partícula
Consideremos uma fonte de partículas puntiformes de carga elétrica q e com veloci-
dades ~v na direção x. As partículas passam por uma fenda e chegam na região onde
existem simultaneamente um campo magnético uniforme ~B = −Bzˆ e um campo elé-
trico uniforme ~E = −Eyˆ, conforme a figura (a).
+
–
++++++
––––––
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
Algumas dessas partículas passam por essa região sem defletir, ou seja, permanecem
em movimento com a velocidade constante. Para que isso ocorra, sabemos que a força
resultante sobre a mesma deve ser nula, conforme figura (b), de modo que
∑~F = q~E+ q~v× ~B = 0,
que corresponde a ~E = −~v × ~B, e como a velocidade da partícula está na direção x,
podemos escrever
−Eyˆ = −(vxˆ)× (−Bzˆ),
sendo necessário que a partícula tenha velocidade cujo módulo é
v =
E
B
Assim, a força resultante sobre uma partícula puntiforme em movimento na presença de campos
elétrico e magnético é dada pela força de Lorentz, que corresponde a equação
~FL = q~E+ q~v× ~B
onde q é a carga elétrica e~v é a velocidade da partícula.
Obs.: Esse equipamento é conhecido como seletor de velocidades, pois permite filtrar as
partículas que tenham somente a velocidade dada por v = E/B.
84 CAPÍTULO 6. CAMPOMAGNÉTICO
6.3 Força Magnética numa Corrente
Sabemos que uma força magnética é exercida numa única partícula quando esta
se move através de um campo magnético. Então, não deveria ser surpresa que um
fio carregado também deva experimentar uma força quando colocado na presença de
um campo magnético, pois uma corrente elétrica nada mais é do que uma coleção de
cargas em movimento.
Vamos quantificar esse efeito considerando um segmento infinitesimal de fio com
comprimento dl e seção transversal de área A, carregando uma corrente I na presença
de um campo magnético aproximadamente uniforme ~B, conforme figura.
+
× × × × ×
× × × × ×
×
×
A força magnética exercida numa carga q movendo-se com velocidade de arrasto
~vD é q~vD × ~B. A força magnética atuando no fio é devido a todas as cargas em mo-
vimento em seu interior que são nAdl, lembrando que n é o número de cargas por
volume. Assim, a força magnética nesse segmento do fio de comprimento dl é
d~FB = (q~vD × ~B)nAdl
que pode ser escrita de maneira mais conveniente se usarmos o fato que I = nqvd A,
portanto
d~FB = I d~l × ~B
onde d~l é o vetor que aponta na direção da corrente I e tem magnitude igual ao
comprimento dl do segmento.
6.3. FORÇAMAGNÉTICA NUMA CORRENTE 85
A força total que age sobre o fio todo, conforme fi-
gura, pode ser integrada sobre o comprimento do
fio
~FB = I
∫ B
A
d~l × ~B (6.2)
onde A e B representam as extremidades do fio.
Quando realizamos essa integração, a magnitude do
campo magnético e sua direção com o vetor d~l pode
variar para pontos diferentes.
Consideremos agora um fio suspenso verticalmente entre os pólos de um magneto,
conforme figura (a).
×
×
×
×
×
×
×
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×
×
×
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×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× ×
Nas figuras (b), (c) e (d) temos o aparato apresentado na parte (a) como visto do
pólo norte do magneto, tal que o campo magnético (cruzes azuis) tem direção entrando
na página. Quando não há corrente passando pelo fio, este permanece na vertical,
conforme figura (b). Quando há uma corrente vertical ascendente, o fio deflete para a
esquerda, conforme figura (c). Quando a corrente é descendente, o fio deflete para a
direita, conforme figura (d).
Portanto, o sentido da corrente determina o sentido da força magnética, uma vez
que trocar I → −I resulta em levar ~FB → −~FB.
86 CAPÍTULO 6. CAMPOMAGNÉTICO
Exemplo: Força num Fio Curvado
Consideremos um fio curvado que carrega uma corrente I e está localizada num campo
magnético uniforme~B, conforme a figura.
Como o campo é uniforme, podemos tirar ~B da in-
tegral, e obtemos
~FB = I
(∫ B
A
d~l
)
× ~B
Mas a quantidade
∫ B
A d~l representa a soma vetorial
de todos os elementos de linha de A até B. Pela lei
da adição vetorial, a soma é igual a ~L
′
, dirigido de
A para B. Portanto, reduzimos nosso resultado a
~FB = I~L
′ × ~B
Assim, a força magnética num fio curvado carregando uma corrente num campo magnético
uniforme é igual aquela de um fio reto conectando os pontos finais e carregando a mesma cor-
rente.
Exemplo: Força num Loop de Fio
Consideremos um fio na forma de um loop fechado que carrega uma corrente I e está
localizada num campo magnético uniforme ~B, conforme a figura.
Novamente como o campo é uniforme, podemos ti-
rar ~B da integral, e obtemos
~FB = I
(∮
d~l
)
× ~B
Como o conjunto de elementos representa um polí-
gono fechado, a soma vetorial de todos os elementos
deve ser zero. Isso segue do procedimento da adi-
ção de vetores pelo método gráfico. Sendo
∮
d~l = 0,
concluímos que
~FB = 0
Assim, a força magnética total agindo em qualquer loop fechado de fio carregando uma corrente
num campo magnético uniforme é zero.
6.3. FORÇAMAGNÉTICA NUMA CORRENTE 87
Consideremos um circuito retangular de lados a e b percorrido por uma corrente
estacionária I e situado num campo magnético uniforme ~B, que supomos paralelo ao
lado a, conforme figura (a).
×
Como os lados 1 e 3 são paralelos a ~B,
a força magnética sobre ambos é zero.
Usando o sistema de coordenadas da fi-
gura, a força ~F2 sobre o lado 2 é
~F2 = (Ibzˆ)× (Byˆ) = −IBbxˆ,
igual e contrária à força ~F4 sobre o lado 4,
o que corresponde a um binário de torque,
conforme figura (b).
~τ = (ayˆ)× (−IBbxˆ) = IBAzˆ
onde A = ab é a área do circuito e defini-
mos
~µ = IAxˆ = IAnˆ ≡ I~A
como o momento de dipolo magnético da es-
pira, onde ~A = Anˆ é a sua área orientada
(visto da extremidade de nˆ, o circuito é per-
corrido em sentido anti-horário).
Sendo assim, o torque magnético sobre uma espira com momento de dipolo mag-
nético~µ num campo magnético uniforme ~B é dado facilmente via
~τ = ~µ× ~B
A posição de equilíbrio corresponde a~µ//~B, ou seja, o circuito tende a se orientar
perpendicularmente ao campo magnético. É devido a esse fato que uma bússola se
orienta na presença do campo magnético terrestre, o momento de dipolo magnético da
bússola se alinha ao campo magnético da Terra!
88 CAPÍTULO 6. CAMPOMAGNÉTICO
6.4 Movimento de Cargas num Campo Magnético Uni-
forme
Vimos que a força magnética agindo numa partícula carregada em movimento num
campo magnético é perpendicular à velocidade da partícula e consequentemente o
trabalho feito pela força magnética sobre essa partícula é nulo.
Consideremos o caso especial de uma partícula com carga positiva que se move
num campo magnético uniforme com sua velocidade inicial perpendicular ao campo.
Conforme a partícula muda a direção da sua velocidade devido à força magnética, a
força magnética permanece perpendicular à velocidade. E como a força é sempre per-
pendicular à velocidade, a trajetória da partícula é um círculo! A figura a seguir mostra
a partícula se movendo num círculo num plano perpendicular ao campo magnético.
+
+
+
× × × × ×
× × × ×
×
× × × ×
× × × ×
A partícula se move num círculo porque a força
magnética ~FB é perpendicular a ~v e ~B e tem uma
intensidade constante qvB, e tem orientação anti-
horária para uma carga positiva. Sendo assim, a
força centrípeta é igual a força magnética
∑ F = macp
FB = qvB =
mv2
R
R =
mv
qB
Assim, o raio da trajetória é proporcional ao momentum linear mv da partícula e
inversamente proporcional a intensidade da carga q dela e à intensidade do campo
magnético B. A velocidade angular da partícula é
ω =
v
R
=
qB
m
Esse resultado mostra que a velocidade angular da partícula e o período da órbita
circular não dependem da velocidade linear da mesma ou do raio da órbita. A velo-
cidade angular ω é algumas vezes denominada de frequência cíclotron pois partículas
carregadas circulam com essa frequência angular num tipo de acelerador chamado de
cíclotron.
6.4. MOVIMENTO DE CARGAS NUM CAMPOMAGNÉTICO UNIFORME 89
Exemplo: Trajetória Helicoidal
Consideremos um campo magnético uniforme na direção z dado por ~B = Bzˆ, con-
forme a figura.
+
A força magnética sobre uma partícula de carga q e
velocidade arbitrária~v é dada por
~FB = q~v× ~B = qvB(vˆ× zˆ)
onde vˆ representa a direção do vetor velocidade ~v
da partícula, e por consequência (vˆ × zˆ) é sempre
uma direção perpendicular a z.
Desta forma, não há nenhuma componente da força magnética ao longo da direção z,
e consequentemente a aceleração é az = 0, de modo que a componente z da velocidade
permanece constante, vz = v0z.
Contudo, a força magnética tem componentes x e y que causam mudanças nas com-
ponentes vx e vy no tempo, de modo que a projeção da trajetória nesse plano xy é um
círculo, cujo raio é
R =
mv⊥
qB
,
onde v⊥ =
√
v2x + v2y é a componente da velocidade que é perpendicular ao campo
magnético. As projeções em xz e yz são senóides!
Assim, se a partícula carregada se move num campo magnético uniforme com sua velocidade
em alguma direção arbitrária com respeito à direção do campo, sua trajetória é uma hélice com
o eixo paralelo ao campo magnético.
90 CAPÍTULO 6. CAMPOMAGNÉTICO
6.5 Lista de Exercícios
1. Em um fio retilíneo passa uma corrente i. O fio possui um comprimento L está
imerso em um campo magnético uniforme, formando um ângulo θ com a direção
do fio. Determine o módulo da força magnética que atua sobre o fio.
2. Um cubo tem arestas de tamanho l. Quatro segmentos de fio - ab, bc, cd, e da
- formam uma espira fechada que carrega uma corrente elétrica i, cuja direção
está dada pela figura. Um campo magnético uniforme de intensidade B está na
direção y positivo. Determine a intensidade e a direção da força magnética em
cada segmento, e a força total sobre a espira.
3. Um fio condutor, curvado na forma de um semicírculo de raio R, forma um cir-
cuito fechado e é percorrido por uma corrente i. O circuito está no plano xy e
um campo magnético uniforme ~B está aplicado paralelamento ao eixo y, como é
visto na figura. Determine: (a) a força magnética total sobre a parte retilínea do
condutor. (b) a força magnética total sobre a parte curva do condutor. (c) o torque
total sobre o circuito.
4. Considere uma espira quadrada de lados 2a por onde passa uma corrente i. A
espira se encontra no plano xy onde existe um campo magnético uniforme ~B =
Bxˆ, conforme a figura. Determine: (a) os vetores força resultante sobre cada um
dos lados do quadrado. (b) o vetor torque sobre a espira.
5. Um seletor de velocidades consiste de campos elétrico e magnético dados por
~E = Ezˆ e ~B = Byˆ. Determine o valor de E para que uma partícula de energia
cinética K movendo-se ao longo do eixo x positivo não seja defletida.
6.5. LISTA DE EXERCÍCIOS 91
6. Uma partícula alfa (constituída por dois prótons e dois nêutrons) encontra-se em
um campo magnético uniforme ~B orientado para dentro de uma folha de papel.
O vetor velocidade ~v da partícula alfa está contido no plano da folha. A carga
do próton é igual a e, e sua massa é igual a m, sendo igual à massa do nêutron.
Determine: (a) a intensidade da força magnética sobre a partícula. (b) o raio da
trajetória da partícula. (c) a frequência cíclotron.
7. Um campo magnético uniforme de intensidade B é dirigido ao longo do eixo
x positivo. Um pósitron movendo-se com velocidade v entra na região com o
campo ao longo de uma direção que faz um ângulo θ com o eixo x, conforme
figura. O movimento da partícula é esperado ser uma hélice. Calcule (a) o vetor
força magnética, (b) o passo p e (c) o raio r da trajetória.
8. Uma bússola tende a oscilarantes de se alinhar com o campo magnético da Terra.
Considere uma agulha imantada de momento de dipolo magnético~µ e momento
de inércia I, suspensa de forma a oscilar livremente em torno de um eixo verti-
cal, situada num campo magnético horizontal uniforme ~B. As direções de ~µ e
~B formam inicialmente um pequeno ângulo θ0. Calcule a frequência angular de
pequenas oscilações (desprezando o armotecimento) e mostre que sua determi-
nação permite medir |~µ|.|~B|.
Young & Freedman: 27.53, 27.60, 27.66, 27.75, 27.81, 27.84, 27.91
92 CAPÍTULO 6. CAMPOMAGNÉTICO
Capítulo 7
Fontes de Campo Magnético
Nesse capítulo, exploramos a origem do campo magnético - cargas em movimento.
Apresentaremos a Lei de Gauss do Magnetismo, a Lei de Biot e Savart, a Lei de Ampère
e a corrente de deslocamento de Maxwell.
7.1 Lei de Gauss no Magnetismo
O fluxo associado com um campo magnético é defi-
nido numa maneira similar aquela usada para defi-
nir o fluxo elétrico. Se em algum elemento de super-
fície dA, o campo magnético é ~B, o fluxo magnético
através desse elemento é ~B · d~A, onde d~A é um vetor
que é perpendicular a superfície e tem intensidade
igual a área dA. Portanto, o fluxo magnético total
ΦB sobre a superfície é
ΦB =
∫
~B · d~A
A unidade de fluxo magnético é T.m2, que é definido como Weber (Wb), de modo
que 1 Wb = 1 T.m2.
Vimos no capítulo 2 que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada em volta
de uma carga é proporcional a essa carga (Lei de Gauss). Em outras palavras, o número
de linhas de campo elétrico deixando a superfície depende somente da carga total no
seu interior. Essa propriedade é baseada no fato que as linhas de campo elétrico come-
çam e terminam em cargas elétricas.
A situação é um pouco diferente para campos magnéticos, que são contínuos e for-
mam curvas fechadas. Em outras palavras, linhas de campo magnético não começam
e terminam em qualquer ponto, conforme figura (a) a seguir.
93
94 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPOMAGNÉTICO
–
+
Note que para qualquer superfície fechada, tal como a linha tracejada na figura (a)
acima, o número de linhas entrando na superfície é igual ao número saindo dela, então,
o fluxo magnético total é zero. No contrário, para uma superfície fechada ao redor de
uma carga de um dipolo elétrico, conforme figura (b), o fluxo elétrico total não é zero.
Assim, a lei de Gauss no magnetismo estabelece que o fluxo magnético total em qual-
quer superfície fechada é sempre zero
∮
~B · d~A = 0 (7.1)
o que permite afirmar que não há cargas magnéticas, ou seja, monopólos magnéticos não
existem.
7.2. LEI DE BIOT-SAVART 95
7.2 Lei de Biot-Savart
Se não existem cargas magnéticas, quais seriam as fontes do campo magnético?
Pouco depois de Oersted descobrir em 1819 que uma bússola é defletida por um
condutor que carrega uma corrente elétrica, Jean-Baptiste Biot e Félix Savart realizaram
experimentos quantitativos da força exercida por uma corrente elétrica num magneto
próximo.
A partir dos seus resultados experimentais para o campo magnético d~B num ponto
P associado com um elemento de linha d~l de um condutor carregando uma corrente
estacionária I, conforme figura, Biot e Savart chegaram as seguintes propriedades ex-
perimentais para o campo magnético d~B:
• é perpendicular a ambos d~l e ao vetor unitário
rˆ dirigido de d~l para P .
• a sua intensidade é inversamente proporcio-
nal a distância até o ponto r2, e é proporcional
a corrente I e a magnitude dl.
• a sua intensidade é proporcional a sen θ, onde
θ é o ângulo entre os vetores d~l e rˆ.
Essas propriedades podem ser resumidas numa expressão matemática conhecida
hoje como lei de Biot-Savart
d~B =
µ0
4pi
Id~l × rˆ
r2
(7.2)
onde µ0 é a constante denominada permeabilidade magnética do vácuo e tem valor
igual a
µ0 = 4pi × 10−7 T.m/A
Note que o campo magnético dado pela Lei de Biot-Savart é o campo criado por
uma corrente em somente um pequeno elemento de linha d~l do condutor. Para encon-
trar o campo magnético total ~B criado em algum ponto por uma corrente de tamanho
finito, devemos somar as contribuições de todos elementos de corrente Id~l que formam
a corrente. Isso é, devemos calcular ~B a partir da integral
~B =
µ0 I
4pi
∫ d~l × rˆ
r2
(7.3)
96 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPOMAGNÉTICO
Exemplo: Campo Magnético de um Fio Retilíneo
Consideremos um fio retilíneo e fino, de comprimento L, carregando uma corrente
elétrica estacionária I e localizado ao longo do exio x, conforme figura.
Pela Lei de Biot-Savart, sabemos que o campo mag-
nético criado pelo fio no ponto P que situa-se a uma
distância y do fio pode ser calculado por
~B =
µ0 I
4pi
∫
fio
d~l × rˆ
r2
Um elemento de corrente do fio pode ser facilmente
descrito por d~l = dxxˆ, de modo que o produto veto-
rial entre d~l e rˆ tem a direção z positivo, pela regra
da mão direita, e assim
d~l × rˆ = |d~l × rˆ|zˆ = (dx sen θ)zˆ
A distância do ponto P ao elemento de corrente é obtida geometricamente como r2 =
x2 + y2, além do fato que sen θ = y/r, e com isso temos a integral de Biot-Savart
~B(P) = µ0 I
4pi
zˆ
∫ L/2
−L/2
y dx
(x2 + y2)3/2
e como
∫
y dx/(x2 + y2)3/2 = x/y
√
x2 + y2 (*Mostre!), podemos escrever
~B(P) = µ0 I
4pi
L/y√
(L/2)2 + y2
zˆ
No limite que o fio é muito longo, ou seja, L� y, é fácil mostrar que
lim
L�y
~B(P) = µ0 I
2piy
zˆ
É fácil notar que o campo magnético produzido por um fio muito longo só depende da
distância perpendicular a ele do ponto. Isto é, a intensidade do campo ~B é constante
em qualquer círculo de raio y, enquanto sua direção é dado pela regra da mão-direita
de tal forma que o campo circule ao redor do fio.
Assim, as linhas de campo magnético produzidas por um fio retílineo e muito longo que carrega
uma corrente estacionária são círculos concêntricos ao fio e pertencem a planos perpendiculares
a ele.
7.2. LEI DE BIOT-SAVART 97
Exemplo: Campo Magnético no eixo de uma Espira
Consideremos uma espira circular de raio R localizada no plano xy e carregando uma
corrente estacionária I, conforme figura.
Pela Lei de Biot-Savart, sabemos que o
campo magnético criado pela espira em
qualque pontoP que situa-se a uma distân-
cia z do centro O dela, pode ser calculado
por
~B =
µ0 I
4pi
∫
espira
d~l × rˆ
r2
Nessa situação, todos os elementos de cor-
rente d~l da espira são perpendiculares ao
vetor rˆ do próprio elemento, uma vez que
o primeiro se encontra no plano xy e o se-
gundo no plano xz, como na situação apre-
sentada ao lado. Então, para qualquer ele-
mento
|d~l × rˆ| = (dl)(1) sen 90o = dl
e sua distância até o ponto P é a mesma
r2 = z2 + R2.
A direção de d~B produzido por esse elemento é perpendicular ao plano formado pord~l
e rˆ, conforme figura. Decompondo esse vetor numa componente dBx e outra dBz, no-
tamos que quando as componentes dBx forem somadas sobre todos os elementos da
espira, a componente resultante Bx será nula. Mesmo argumento vale para a compo-
nente By, de modo que a única componente restante será a componente Bz dada por
~B = Bzzˆ onde
Bz =
∫
espira
dB cos θ =
µ0 I
4pi
∫
espira
ds cos θ
(z2 + R2)
sendo a integral feita sobre toda a espira. Como cos θ = R/(z2 + R2)1/2, obtemos que
Bz =
µ0 IR
4pi(z2 + R2)3/2
∫
espira
ds
e como
∫
espira ds = 2piR é o comprimento da espira, chegamos ao resultado
~B(P) = µ0 IR
2
2(z2 + R2)3/2
zˆ
Podemos re-escrever esse resultado usando a definição de momento de dipolo magné-
tico da espira, apresentada no capítulo anterior, que nesse caso é
~µ = ipiR2zˆ ⇒ ~B(P) = µ0
2pi
~µ
(z2 + R2)3/2
ou seja, o campo magnético no eixo da espira tem a direção do momento de dipolo
magnético dela própria.
98 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPOMAGNÉTICO
Se o ponto P está muito distante da espira, ou a espira é muito pequena,temos o limite
de z� R, e nesse limite
lim
z�R
~B(P) = µ0
2pi
~µ
z3
que é o limite conhecido como o campo magnético de um dipolo magnético físico.
O padrão das linhas de campo magnético para uma
espira circular de corrente é apresentado na figura
a seguir. Por clareza, as linhas são desenhadas so-
mente em um plano que contém o eixo da espira.
Assim, as linhas de campo magnético produzidas por uma espira circular são axialmente simé-
tricas e parecem aquelas linhas produzidas por um imã, de modo que podemos associar a
espira um pólo norte e um pólo sul, essencialmente caracterizado pelo seu momento
de dipolo magnético~µ.
7.3 Lei de Ampère
Em 1819, a descoberta de Oersted sobre uma bússola defletida demonstra que um
condutor carregando uma corrente elétrica produz campo magnético. A figura a seguir
mostra como esse efeito pode ser demonstrado usando algumas bússolas colocadas
num plano horizontal próximo a um fio longo vertical.
Quando nenhuma corrente passa pelo fio, todas bússolas apontam na mesma di-
reção (aquela do campo magnético da Terra), como esperado na Fig.(a). Quando o fio
7.3. LEI DE AMPÈRE 99
carrega uma corrente estacionária forte, todas as bússolas são defletidas numa direção
tangente a um círculo, como na Fig.(b).
Como as bússolas apontam na direção de ~B, concluímos que as linhas de ~B formam
círculos ao redor do fio, como discutido na seção anterior. Por simetria, a intensidade
de ~B é a mesma em todo lugar no caminho circular centrado no fio e pertencente ao
plano perpendicular ao fio, de modo que ~B = B(s)φˆ, sendo φ a coordenada angular
cilíndrica. Variando a corrente elétrica I e a distância s ao fio, encontramos que B(s)
é proporcional a corrente e inversamente proporcional ao fio, de modo que B(s) =
µ0 I/2pis.
Vamos calcular o produto ~B · d~l para um pequeno elemento de linha d~l num ca-
minho circular definido pela bússola, e somar esse produto sobre todos elementos de
linha sobre o caminho circular. Ao longo desse caminho, os vetores d~l e ~B são paralelos
em cada ponto (vide Fig.(b)), tal que ~B · d~l = B dl. Além disso, a intensidade de ~B é
constante nesse círculo conforme vimos. Portanto, a soma dos produtos b dl sobre o
caminho fechado, que é equivalente a integral de linha ~B · d~l, é
∮
~B · d~l = B
∮
dl =
µ0 I
2pis
(2pis) = µ0i
onde
∮
dl = 2pis é circunferência do caminho circular. Embora esse resultado fora
calculado para o caso especial de um caminho circular ao redor do fio, isso vale para
uma curva fechada de qualquer forma, uma amperiana circundante à corrente.
O caso geral, conhecido como Lei de Ampère, pode ser descrito como a integral de
linha de ~B · d~l, ou seja, a circulação de ~B ao redor de qualquer curva fechada é igual
a µ0 I, onde I é a corrente total que passa através de qualquer superfície limitada pela
curva fechada.
∮
~B · d~l = µ0 Ienc (7.4)
100 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPOMAGNÉTICO
Exemplo: Circulação do Campo Magnético
Consideremos 4 curvas fechadas nomeadas a, b, c e d orientadas no sentido anti-horário
e pertencentes a um plano perpendicular ao eixo de três fios que carregam correntes I,
conforme figura.
×
Pela Lei de Ampère, sabemos que a circulação do
campo magnético criado pelos três fios em qualquer
uma das curvas pode ser calculado por
Ci ≡
∮
i
~B · d~l = µ0 Ienc
Na curva a vemos que as três correntes estão cerca-
das pela curva, de modo que
Ca ≡
∮
a
~B · d~l = µ0(I + I − I) = µ0 I
pois duas correntes estão no sentido positivo e so-
mente uma das correntes está orientada no sentido
contrário.
Na curva b vemos que somente duas correntes estão
cercadas pela curva, de modo que
Cb ≡
∮
b
~B · d~l = µ0(I − I) = 0
pois uma corrente está no sentido positivo e a outra
está orientada no sentido contrário.
Na curva c vemos que duas correntes estão cercadas pela curva e ambas no mesmo
sentido, assim
Cc ≡
∮
c
~B · d~l = µ0(I + I) = 2µ0 I
Na curva d vemos que duas correntes estão cercadas pela curva e em sentidos opostos,
assim
Cd ≡
∮
d
~B · d~l = µ0(I − I) = 0
Assim, usando a lei de Ampère fica fácil determinar a circulação do campo magnético ao longo
de qualquer curva, basta saber a corrente total que atravessa a superfície delimitada pela curva
dada.
7.3. LEI DE AMPÈRE 101
A lei de Ampère descreve a criação de campos magnéticos por todas configurações
contínuas de correntes, mas nesse nível matemático é somente útil para cálculo de
campos magnéticos de configurações de correntes tendo alto grau de simetria. Seu uso
é similar aquele da lei de Gauss no cálculo do campo elétrico para distribuições de
cargas altamente simétricas.
Exemplo: Campo Magnético criado por um Fio Retilíneo muito Longo
Consideremos um fio retilíneo e muito longo de raio R que carrega uma corrente esta-
cionária I que é uniformemente distribuída através da seção reta do fio.
Pela alta simetria do fio, podemos determinar o
campo magnético pela lei de Ampère. De fato, pela
simetria axial, as linhas de força de ~B, dentro e fora
do fio, são círculos concêntricos, orientados como
na figura (curvas 1 e 2), e a intensidade de B não
varia ao longo de cada um desses círculos.
Usando coordenadas cilíndricas com eixo z paralelo
à corrente, temos
~B = B(s)ϕˆ
e o elemento de linha de um círculo pode ser escrito
como d~l = dlϕˆ.
Para o caso s > R, devemos chegar no mesmo resultado que aquele obtido pela lei de
Biot-Savart. Para analisar esse caso, escolhemos como caminho de integração o círculo
1, conforme figura, e com isso temos
∮
1
~B · d~l = 2pisB(s) = µ0 I
e como a corrente total I atravessa a área definida pela curva 1, concluímos que
B(s > R) =
µ0 I
2pis
102 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPOMAGNÉTICO
Para o caso s < R, escolhemos como caminho de integração o círculo 2, conforme
figura, e com isso temos
∮
2
~B · d~l = 2pisB(s) = µ0 I′
e como a corrente I′ que atravessa a área definida pela curva 2 é proporcional à área da
mesma, sabemos que I′ = (I/piR2)pis2, e com isso
B(s < R) =
µ0 I
2piR2
s
A intensidade do campo magnético B como função
da distância ao eixo do fio s é representada no grá-
fico ao lado. Notemos que nos dois casos, o campo
magnético em s = R é o mesmo, demonstrando que
o campo magnético é contínuo na superfície do fio.
Exemplo: Campo Magnético criado por um Solenóide muito Longo
Consideremos um solenóide, um fio muito longo enrolado na forma de uma hélice,
retilíneo e muito longo de raio R que carrega uma corrente estacionária I e tem n espi-
ras por unidade de comprimento. De fato, consideraremos um solenóide ideal, onde a
separação entre as espiras é desprezível e o comprimento do solenóide é muito maior
que o seu raio interno.
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Pela alta simetria do solenóide, podemos determi-
nar o campo magnético pela lei de Ampère. De
fato, pela simetria cilíndrica, as linhas de força de
~B, dentro e fora do solenóide, são axiais, isto é, são
linhas paralelas ao eixo do solenóide, orientados
como na figura (corte longitudinal do solenóide), e
a intensidade de B deve depender da distância ao
eixo do solenóide.
Usando coordenadas cilíndricas com eixo z paralelo
à corrente, temos
~B = B(s)zˆ
7.3. LEI DE AMPÈRE 103
Para determinar o campo no interior do solenóide, ou seja no caso s < R, escolhemos
como amperiana o retângulo C = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4, conforme figura. Para facilitar o
cálculo, a curva C3 é levada ao infinito, de tal forma que o campo magnético sobre essa
curva seja nulo, de modo que
∮
C
~B · d~l =
∫
C1
~B · d~l = lB(s) = µ0 Ienc
onde a integrais sobre C2 e C3 devem ser nulas pois ~B ⊥ d~l ao longo dessas curvas, e
a integral sobre C4 é nula pois ~B → 0 quando w → 0. Além disso, a corrente total que
passa pela amperiana é Ienc = NI, de modo que
B(s < R) = µ0
N
l
I = µ0nI
onde N/l é exatamenten, o número de espiras por unidade de comprimento do
solenóide.
Para determinar o campo no exterior do solenóide, ou seja no caso s > R, escolhe-
mos como amperiana o mesmo retângulo C, porém, levando a curva C1 para fora do
solenóide, e com isso
∮
C
~B · d~l =
∫
C1
~B · d~l = lB(s) = µ0 Ienc = 0
onde usamos os mesmos argumentos anteriores, e utilizamos o fato que a corrente
nessa nova amperiana é zero, de modo que
B(s > R) = 0
Assim, num solenóide ideal, o campo magnético é uniforme em seu interior e nulo na região
externa.
104 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPOMAGNÉTICO
7.4 Corrente de Deslocamento e a Lei de Ampère-Maxwell
Vimos que quando um condutor carregada uma corrente elétrica e tem alta sime-
tria, podemos usar a lei de Ampère para calcular o campo magnético criado. Na lei
de Ampère,
∮
~B · d~l = µ0 I, a integral de linha é sobre qualquer curva fechada através
da qual atravessa a corrente de condução, onde a corrente de condução é definida pela
expressão I = dq/dt. Porém, nesta forma, a lei de Ampère é válida somente se os
campos elétricos presentes são constantes no tempo, ou seja, estacionários.
Consideremos um capacitor que está carregando.
Quando uma corrente de condução está presente, a
carga na placa positiva muda mas nenhuma corrente
existe entre as placas. A lei de Ampère estabelece que∮
~B · d~l ao longo do caminho deve ser igual a µ0 I,
onde I é a corrente total que atravessa qualquer
superfície delimitada pela curva C.
Agora, consideremos duas superfíciesA1 eA2, con-
forme figura, delimitadas pela mesma curva C.
Quando o caminho C é considerada como a borda de A1,
∮
~B · d~l = µ0 I pois a
corrente de condução passa através de A1. Quando o caminho é considerado como a
borda de A2, contudo,
∮
~B · d~l = 0 pois nenhuma corrente de condução passa através
deA2. Então, temos uma situação contraditória que aparece devido a discontinuidade
da corrente!
Maxwell resolveu esse problema postulando um termo adicional do lado direito da
lei de Ampère, que inclui um fator chamado corrente de deslocamento Id, definida como
Id ≡ e0 dΦEdt (7.5)
onde e0 é a permissividade elétrica do vácuo e ΦE =
∫
~E · d~A é o fluxo elétrico.
Como o capacitor está sendo carregado (ou descarregado), a variação do campo elé-
trico entre as placas deve ser considerada equivalente à corrente. Quando a expressão
para a corrente de deslocamento é adicionada à corrente de condução no lado direito
da lei de Ampère, o problema apresentado fica resolvido. Não importa que superfície
delimitada por C seja escolhida, ora uma corrente de condução ora uma corrente de
deslocamento irá atravessá-la.
Com esse novo termo Id, podemos expressar a forma geral da lei de Ampère, deno-
minada lei de Ampère-Maxwell como
7.4. CORRENTE DE DESLOCAMENTO E A LEI DE AMPÈRE-MAXWELL 105
∮
~B · d~l = µ0(I + Id) = µ0 I + µ0e0 dΦEdt (7.6)
Desta forma, concluímos que campos magnéticos são produzidos por correntes elé-
trica e por campos elétricos que variam no tempo.
Exemplo: Corrente de Deslocamento num Capacitor Carregando
Consideremos um capacitor com placas de área A carregando devido a uma corrente
I, conforme figura.
O fluxo elétrico que atravessa a superfície A2 é
ΦE =
∫
A2
~E · d~A = EA
onde E é a intensidade do campo elétrico uniforme
entre as placas.
Se q é carga numa das placas em qualquer instante t, então E = q/(e0A), e o fluxo
elétrico através A2 é simplesmente
ΦE = EA =
q
e0
Então, a corrente de deslocamento através de A2 é
Id = e0
dΦE
dt
=
dq
dt
Isto é, a corrente de deslocamento Id através deA2 é precisamente igual a corrente de condução
I através de A1!
106 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPOMAGNÉTICO
7.5 Lista de Exercícios
1. Considere um fio de comprimento 2a por onde passa uma corrente i colocado ao
longo do eixo x, conforme a figura. Determine o campo magnético produzido
pelo fio num ponto P do eixo y: (a) usando a lei de Biot-Savart. (b) estendendo
esse resultado para a→ ∞. (c) usando a lei de Ampère para o caso do fio infinito.
2. Considere uma espira conforme figura, formada de linhas radiais e segmentos de
círculos cujos centros estão no ponto P. Determine a intensidade e a direção de ~B
no ponto P.
3. Uma corrente i1 flui através de um fio retilíneo infinito colocado no eixo de
sim,etria de uma casca condutora cilíndrica infinita de raio R por onde flui uma
corrente i2 uniformemente distribuída, com sentido oposto ao sentido da corrente
i1. Determine o módulo do campo magnético ~B para pontos situados: (a) entre
a casca e o fio, isto é, para s < R. (b) fora da casca, isto é, para s > R. (c) O que
ocorre quando i1 = i2?
4. Um condutor cilíndrico maciço de raio R conduz uma corrente i distribuída uni-
formemente em sua seção reta. Determine o campo magnético: (a) no exterior do
cilindro, s > R. (b) no interior do cilindro, s < R.
5. Determine o campo magnético produzido por um solenóide de raio R e densi-
dade de espiras n.
6. Na figura a seguir, há um fio retilíneo que carrega uma corrente i1 e uma espira
retangular que carrega uma corrente i2. Determine a intensidade e a direção da
força total exercida na espira pelo campo magnético criado pelo fio.
7.5. LISTA DE EXERCÍCIOS 107
7. Um anel fino de raio R, carregado com densidade linear de carga λ, gira em torno
de um exio z que passa pelo seu centro com uma velocidade angular ~ω = ωzˆ,
conforme a figura. Atua nessa região um campo magnético externo uniforme
~B = Bxˆ. Determine: (a) a corrente i associada ao movimento do anel, e qual o
sentido da corrente. (b) o vetor torque que o campo externo ~B exerce sobre o
anel. (c) o campo magnético ~BO produzido pelo anel no seu centro. (d) o vetor
momento de dipolo associado ao anel.
8. Duas bobinas circulares de raio R, cada com N voltas, estão perpendiculares a
um eixo comum. Os centros das bobinas estão a uma distância R um do outro.
Cada bobina carrega uma corrente estacionária i na mesma direção, conforme
figura. (a) Mostre que o campo magnético no eixo a uma distância x do centro de
uma das bobinas é
B =
Nµ0iR2
2
[
1
(R2 + x2)3/2
+
1
(2R2 + x2 − 2Rx)3/2
]
(b) Mostre que dB/dx e d2B/dx2 são ambos zero no ponto médio entre as bobi-
nas. Isso significa que o campo magnético na região média entre as bobinas é
uniforme. Bobinas nessa configuração são chamadas bobinas de Helmholtz.
Young & Freedman: 28.60, 28.70, 28.74, 28.76, 28.77, 28.82, 28.88.
108 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPOMAGNÉTICO
Capítulo 8
Indução Eletromagnética
Nesse capítulo, estudaremos como um campo magnético variável pode induzir
uma f.e.m num circuito, o grandioso fenômeno da indução eletromagnética, determi-
nar a indutância de alguns circuitos, calcular a energia armazenada no campo magné-
tica e obter enfim as famosas equações de Maxwell.
8.1 Lei de Lenz
Experimentos conduzidos por Michael Faraday na Inglaterra em 1831 e indepen-
dentemente por Joseph Henry nos EUA no mesmo ano mostraram que uma f.e.m
(força eletromotriz) pode ser induzida num circuito pela variação do campo magné-
tico.
Primeiramente, vamos analisar qualitativamente o sentido da corrente induzida
numa espira devido a variação do fluxo magnético que atravessa a mesma, para isso
consideremos a situação em que um imã se move em direção a uma espira condutora,
conforme figura.
E
xa
m
pl
e
N S
NS
Quando o imã se aproxima da espira, conforme figura (a), o fluxo magnético ex-
terno através da espira aumenta com o tempo. Para contrabalancear esse aumento de
109
110 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
fluxo devido ao campo dirigido para a direita, a corrente induzida produz seu próprio
campo para a esquerda, conforme figura (b), e assim, a corrente induzida está na dire-
ção indicada. Sabendo que pólos iguais se repelem, concluímos que a face esquerda da
espira age como um pólo norte ea face direita como um pólo sul.
S N
NS
Se o imã se move para a esquerda, conforme figura (c), seu fluxo através da área
delimitada pela espira diminui com o tempo. Agora a corrente induzida na espira está
na direção mostrada na figura (d) pois sua corrente produz um campo magnético na
mesma direção do campo externo. Nesse caso, a face esquerda da espira é um pólo sul
e a face direita é um pólo norte.
Essa interpretação física é conhecida como lei de Lenz e afirma que a corrente in-
duzida numa espira está na direção que cria um campo magnético que se opões a
mudança do fluxo magnético através da área delimitada pela espira.
8.2 Indução de Faraday
Vamos agora descrever um experimento conduzido por Faraday e ilustrado na fi-
gura a seguir. Uma bobina primária está conectada a uma chave e a uma bateria,
estando enrolada num anel de ferro, de tal forma que uma corrente na bobina produz
um campo magnético no metal quando a chave é fechada. Uma bobina secundária está
também enrolada no anel metálico e está conectada a um amperímetro, onde nenhuma
bateria está conectada a ela, e nem mesmo está conectada à bobina primária. Qualquer
corrente detectada no circuito secundário deve ser induzida por algum agente externo.
No instante que a chave é fechada, o amperímetro marca uma corrente numa certa
direção e então retorna ao zero. No instante em que a chave é aberta, o amperímetro
marca a corrente numa direção oposta e retorna ao zero.
Finalmente, o amperímetro lê zero quando há ora uma corrente estacionária, ora
nenhuma corrente no circuito primário. A idéia principal desse experimento é que
8.2. INDUÇÃO DE FARADAY 111
+
–
quando a chave é fechada, a corrente no circuito primário produz um campo magnético
que penetra o circuito secundário, e o mesmo ocorre no momento em que a chave é
aberta, de modo que o sentido da corrente se opõe devido a lei de Lenz.
Como resultado dessas observações, Faraday concluiu que uma corrente elétrica
pode ser induzida num circuito pela mudança do campo magnético. A corrente indu-
zida existe somente num curto intervalo de tempo quando o campo magnético através
da bobina secundária está mudando. E uma vez que o campo magnético se torna esta-
cionário, a corrente na bobina secundária desaparece.
Em geral, a lei de indução de Faraday diz que a f.e.m induzida num circuito é direta-
mente proporcional a taxa temporal da variação do fluxo magnético através do circuito,
e pode ser escrita como
E = −dΦB
dt
(8.1)
onde ΦB =
∫
~B · d~A é o fluxo magnético através do circuito.
112 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Exemplo: Espira se movendo através de um Campo Magnético
Uma espira condutora retangular de dimensões l e w se move com velocidade v cons-
tante para a direita, conforme a figura. A espira atravessa um campo magnético uni-
forme ~B dirigido para dentro da página numa extensão de 3w ao longo do eixo x.
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
A figura (a) mostra o fluxo através da área delimi-
tada pela espira como função de x. Antes da espira
entrar na região do campo, o fluxo é zero. Conforme
a espira entra no campo, o fluxo aumenta linear-
mente com a posição até a lateral esquerda da es-
pira estar justamente dentro do campo. Finalmente,
o fluxo através da espira decresce linearmente para
zero conforme a espira deixa o campo.
x
A figura (b) mostra a f.e.m induzida na espira como função de x. Antes da espira
entrar na região do campo, nenhuma f.e.m é induzida na espira. Conforme a aresta
direita da espira entra no campo, o fluxo magnético dirigido para dentro da página
cresce, e de acordo com a lei de Lenz, a corrente induzida é anti-horária pois deve
produzir um campo saindo da página, sendo a f.e.m induzida igual a −Blv. Quando
a espira está inteiramente no campo, a variação do fluxo é zero, e assim a f.e.m é nula.
Quando a aresta direita da espira deixa o campo, o fluxo diminui, uma corrente horária
é induzida, e a f.e.m induzida é Blv. E enquanto a aresta esquerda deixa o campo, a
f.e.m diminui para zero.
8.2. INDUÇÃO DE FARADAY 113
Exemplo: Freio Magnético
Uma barra condutora de comprimento l e massa m se move em cima de dois trilhos pa-
ralelos sem atrito na presença de um campo magnético uniforme dirigido para dentro
da página, conforme a figura. No instante inicial, a velocidade da barra é v0.
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
××
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Usando a lei de Lenz, vemos que conforme a barra
se movimenta para a direita, uma corrente no sen-
tido anti-horário se estabelece no circuito consis-
tindo da barra, os trilhos e um resistor R. O fluxo
magnético que atravessa o circuito depende da po-
sição da barra x, isto é ΦB = −Blx, com o sinal ne-
gativo vindo do fato que a área está orientada posi-
tivamente e o campo negativamente.
Desta forma, a variação do fluxo magnético neste mesmo circuito será
dΦB
dt
= −Bl dx
dt
= −Blv
Usando a lei de Faraday podemos determinar a f.e.m induzida nesse circuito, uma vez
que há variação do fluxo magnético, de modo que E = Blv, e com a resistência do
circuito sendo R, a corrente induzida será
I =
Blv
R
Como a energia tem de ser conservada no sistema, a taxa de energia cinética transferida
da barra é igual a taxa de energia transferia para o resistor. Então, Presistor = −Pbarra,
que podemos escrever como
R
(
Blv
R
)2
= −mvdv
dt
que resolvendo para v em função de t teremos como solução
v(t) = v0e−t/τ
onde τ é um tempo característico de decaimento da velocidade, dado por (Bl)2/mR.
Assim, devido o aumento do fluxo magnético, a corrente elétrica induzida faz com que
a barra freie e cesse o aumento do fluxo magnético enfim.
114 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
8.3 Lei de Faraday
Vimos que uma mudança no fluxo magnético induz uma f.e.m e uma corrente
numa espira condutora. Em nosso estudo de eletricidade, relacionamos a corrente a
um campo elétrico que aplica uma força em partículas carregadas. Da mesma ma-
neira, podemos relacionar uma corrente induzida numa espira condutora a um campo
elétrico.
× × ×
× × ××
× × × ××
× × × ××
× × ××
× × ×
Podemos entender essa relação considerando uma
espira condutora de raio r situada num campo mag-
nético uniforme que é perpendicular ao plano da es-
pira, conforme figura. Se o campo magnético varia
no tempo, então, de acordo com a indução de Fa-
raday, uma f.e.m E = −dΦB/dt é induzida na es-
pira. A indução de uma corrente numa espira im-
plica a presença de um campo elétrico induzido ~E,
que deve ser tangente à espira pois essa é a direção
em que as cargas no fio se movem sob a ação da
força elétrica.
A f.e.m induzida em qualquer curva fechada pode ser expressa como E = ∮ ~E · d~l.
Em casos mais gerais, E não deve ser constante, e o caminho pode não ser um círculo.
Assim, a lei de Faraday da indução pode ser escrita na forma geral
∮
~E · d~l = −dΦB
dt
(8.2)
O campo elétrico induzido~E pela lei de Faraday é um campo não-conservativo que
é gerado pela variação do campo magnético. De fato, o campo elétrico induzido pela
lei de Faraday é não-conservativo, uma vez que a integral
∮
~E · d~l 6= 0.
8.3. LEI DE FARADAY 115
Exemplo: Campo Elétrico gerado por um Solenóide Infinito
Consideremos um solenóide muito longo de raio R possuindo n espirar por unidade
de comprimento que carrega uma corrente variável na forma I = I0 cosωt, onde I0 é o
valor máximo da corrente e ω é a frequência angular da corrente alternada.
Devido a simetria axial das linhas de campo ~B
produzidas pelo solenóide, devemos usar a lei de
Faraday com o auxílio de amperianas na forma
circular. Por simetria, vemos que a intensidade E
do campo elétrico é constante nessa amperiana e
que ~E é tangentea curva.
Usando coordenadas cilíndricas onde o eixo do so-
lenóide é o eixo z, temos
~E = E(s)ϕˆ
Para a região externa ao solenóide, utilizaremos uma amperiana de raio s > R por
onde passa um fluxo magnético igual a BA = BpiR2, e assim
∮
~E · d~l = 2pisE(s) = − d
dt
(BpiR2) = −piR2 dB
dt
e como o campo magnético no interior do solenóide é B = µ0nI, podemos substituir a
corrente I = I0 cosωt nessa relação e então substituir na equação acima como
2pisE(s) = −piR2µ0nI0 ddt (cosωt)
então
E(s > R) =
µ0nI0ωR2
2s
senωt
Para a região interna ao solenóide, utilizaremos uma amperiana de raio s < R por onde
passa um fluxo magnético igual a BA = Bpis2, e assim
∮
~E · d~l = 2pisE(s) = −pis2 dB
dt
= pis2µ0nI0ω senωt
então
E(s < R) =
µ0nI0ω
2
s senωt
Isso mostra que a intensidade do campo elétrico induzido varia de forma senoidal
devido à variação da corrente elétrica no solenóide. Assim, o campo elétrico induzido
depende da variação do campo magnético.
116 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
8.4 Indutância Mútua e Auto-Indutância
Sabemos que entre dois fios que conduzem correntes elétricas estacionárias existe
uma interação magnética, pois a corrente de um fio produz um campo magnético sobre
a corrente do outro fio. Porém, quando existe uma corrente variável em dos circuitos,
ocorre uma interação a mais!
Consideremos duas bobinas com número de espi-
ras N1 e N2, conforme figura ao lado. Pela bobina 1
passa uma corrente I1 que produz um campo mag-
nético ~B1 e, portanto, um fluxo magnético através
da bobina 2, denominado Φ2. Quando a corrente I1
varia, o fluxo Φ2 também varia, e de acordo com a
lei de Faraday, isso produz uma f.e.m E2 na bobina
2, dada por
E2 = −N2 dΦ2dt
Além disso, podemos representar a proporcionalidade entre o fluxo total N2Φ2 atra-
vés da bobina 2 e a corrente I1 da bobina 1 na forma
N2Φ2 = M12 I1
onde M12 é chamada indutância mútua das duas bobinas. Portanto,
N2
dΦ2
dt
= M12
dI1
dt
e podemos escrever
E2 = −M12 dI1dt (8.3)
Ou seja, a variação da corrente I1 na bobina 1 induz uma f.e.m E2 na bobina 2
diretamente proporcional à taxa de variação da corrente I1.
Podemos repetir o raciocínio anterior para o caso oposto, no qual uma corrente
variável I2 na bobina 2 produza um fluxo magnético variável Φ1 e induza uma f.e.m
E1 na bobina 1. E com isso, verificamos que M12 é sempre igual a M21, de modo que
podemos representar a indutância mútua simplesmente pela letra M. Logo, podemos
escrever para as f.e.m’s induzidas
E2 = −M dI1dt e E1 = −M
dI2
dt
(8.4)
e que a indutância mútua é
8.4. INDUTÂNCIA MÚTUA E AUTO-INDUTÂNCIA 117
M =
N2Φ2
I1
=
N1Φ1
I2
(8.5)
A primeira equação afirma que a variação da corrente na bobina 1 produz uma
variação do fluxo magnético na bobina 2, induzindo uma fem na bobina 2 que se opõe
à variação desse fluxo, e na segunda equação as bobinas são invertidas.
A unidade no SI de indutância denomina-se henry (H), sendo igual a um weber por
ampère, 1 H = 1 Wb/A.
Exemplo: Indutância Mútua de Solenóides
Consideremos um solenóide (fonte) de comprimento l com NI espiras, carregando uma
corrente I, e tendo área da seção transversal A. À sua volta se encontra outro solenóide
(receptor) com NE espiras, conforme figura.
O solenóide interno carrega uma corrente I, de
modo que o campo magnético em seu interior tem
intensidade
B =
µ0NI I
l
.
Como o fluxo do campo magnéticoΦB(E) através do
solenóide externo é BA, a indutância mútua é
M =
NEΦB(E)
I
=
NEBA
I
e usando o valor do campo magnético
M = µ0
NENI A
l
Um efeito análogo ocorre até mesmo quando consideramos uma única bobina iso-
lada. Quando existe uma corrente em um circuito, ela produz um campo magnético
que gera um fluxo através do próprio circuito, e quando a corrente varia, esse fluxo
também varia. Portanto, qualquer circuito percorrido por uma corrente variável pos-
sui uma f.e.m induzida nele mesmo pela variação do seu próprio fluxo magnético, que
de acordo com a lei de Lenz, sempre se opõe à variação da corrente que produz a f.e.m
e, portanto, tende a tornar mais difícil qualquer variação da corrente.
Uma f.e.m auto-induzida pode ocorrer em qualquer circuito, porém o efeito é am-
pliado quando o circuito contém uma bobina de N espiras. Por analogia à indutância
118 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
mútua, definimos a auto-indutância L do circuito na forma
L =
NΦB
I
(8.6)
E de acordo com a lei de Faraday para uma bobina com N espiras, a f.e.m auto-
induzida pode ser escrita em termos da auto-indutância como
E = −LdI
dt
(8.7)
E o sinal negativo novamente mostra que a fem auto-induzida em um circuito se
opõe a qualquer varia cão da corrente que ocorra no circuito.
Exemplo: Auto-indutância de um Solenóide
Consideremos novamente um solenóide de comprimento l com N espiras cuja área da
seção transversal A.
Sabemos que o campo magnético produzido no interior do solenóide devido a uma
corrente I é
B = µ0nI = µ0
N
l
I
onde n = N/l é o número de voltas por unidade de comprimento. O fluxo magnético
através de cada espira é
ΦB = BA = µ0
NA
l
I
Usando a definição da auto-indutância, encontramos que
L =
NΦB
I
=
µ0N2A
l
Assim, a auto-indutância de um solenóide só depende da geometria e é proporcional ao quadrado
do número de espiras no solenóide.
8.5. ENERGIA MAGNÉTICA 119
8.5 Energia Magnética
Digamos que U seja a energia armazenada num indutor em algum instante de
tempo, então a taxa dU/dt na qual a energia está sendo armazenada é
dU
dt
= E I = LI dI
dt
Para determinar a energia total armazenada no indutor, podemos re-escrever essa
expressão e integrar
U =
∫
dU =
∫ I
0
LI′ dI′ = L
∫ I
0
I′ dI′
U =
1
2
LI2 (8.8)
E essa expressão representa a energia armazenada no campo magnético do indutor
quando a corrente é I. Note que essa equação é similar aquela da energia armazenada
no campo elétrico de um capacitor, U = 12C(∆V)
2. No outro caso, vimos que aquela
energia é necessária para estabelecer o campo elétrico.
Podemos também determinar a densidade de energia de um campo magnético. Por
simplicidade, consideremos um solenóide cuja indutância é dada por
L = µ0n2Al
O campo magnético do solenóide é dado por
B = µ0nI
Substituindo a expressão para L e I = B/µ0n, temos
U =
1
2
LI2 =
1
2
µ0n2Al
(
B
µ0n
)2
=
B2
2µ0
Al
e como Al é o volume do solenóide, a densidade de energia magnética, ou a energia
armazenada no campo magnético por unidade de volume do indutor é
uB =
U
Al
=
B2
2µ0
(8.9)
Embora essa expressão foi derivada para o caso especial de um solenóide, é válida
para qualquer região do espaço em que existe um campo magnético. Note que essa
energia é similar a forma da energia por unidade de volume armazenada num campo
elétrico, uE = 12e0E
2. Em ambos os casos, a densidade de energia é proporcional ao
120 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
quadrado do campo.
8.6 Equações de Maxwell e Além!
Concluímos esse capítulo apresentando as quatro equações que são tratadas como
as bases de todos fenômenos elétricos e magnéticos. Essas equações, desenvolvidas
por James Clerk Maxwell, são tão fundamentais para os fenômenos eletromagnéticos
como as leis de Newton são para os fenômenos mecânicos. De fato, a teoria de Maxwell
foi mais longe do que ele próprio poderia imaginar pois concorda ainda mesmo com a
teoria da relatividade especial, conforme Einstein mostrou em 1905.
As quatro equações de Maxwell são
∮
∂V
~E · d~A = Qint
e0
(8.10)
∮
∂V
~B · d~A = 0 (8.11)
∮
∂S
~E · d~l = − d
dt
∫
S
~B · d~A (8.12)
∮
∂S
~B · d~l = µ0 I + e0µ0 ddt
∫
S
~E · d~A (8.13)
e junto da equação para a força de Lorentz
~F = q~E+ q~v× ~B (8.14)
contém toda a informação sobre os fenômenoseletromagnéticos!
8.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 121
8.7 Lista de Exercícios
1. Usando a lei de Lenz, determine a direção da corrente induzida no resistor R li-
gado a um solenóide (a) quando o imã se afasta dele. (b) quando o irmã se apro-
xima dele. (c) quando o solenóide se aproxima do imã. (d) quando o solenóide
se afasta do imã.
S N S N
S NS N
2. Uma espira circular de raio r está num campo magnético uniforme, com o plano
da espira perpendicular à direção do campo, conforme figura. O campo magné-
tico varia com o tempo de acordo com B(t) = a+ bt, onde a e b são constantes. (a)
Calcule o fluxo magnético através da espira no instante t = 0. (b) Calcule a f.e.m
induzida na espira. (c) Se a resistência da espira é R, qual é a corrente induzida?
(d) Qual é a taxa de energia sendo dissipada pela resistência da espira?
122 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
3. Uma barra condutora de comprimento l e massa m cai a partir do repouso no
campo gravitacional escorregando sem atrito sobre um fio condutor na forma de
um U ligado a um resistor de resistência R, conforme a figura. O conjunto forma
um circuito na vertical que se encontra na presença de um campo magnético uni-
forme ~B na direção perpendicular ao plano do circuito. Determine (a) o sentido
da corrente induzida no circuito. (b) a f.e.m induzida E no circuito em termos do
módulo v da velocidade da barra. (c) a velocidade terminal vterm da barra. (d) a
potência dissipada pelo sistema na situação do item (c) e mostre que ela é igual à
potência fornecida ao sistema pelo campo gravitacional.
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
4. Um fio longo e retilíneo carrega uma corrente elétrica dada por I = Imax sen (ωt + φ)
e se encontra no plano de uma bobina retangular de N espiras, conforme figura.
Determine (a) o campo magnético produzido pelo fio na região da bobina. (b) o
fluxo magnético total através da bobina. (c) a f.e.m induzida na bobina, despre-
zando sua auto-indutância. (d) a indutância mútua do conjunto.
5. O campo magnético no interior de um solenóide muito longo e supercondutor é
B. O solenóide tem raio interno igual a R e comprimento igual a L. Determine
(a) a densidade de energia magnética no campo e (b) a energia armazenada no
campo magnético no interior do solenóide.
6. Um solenóide muito longo com n espiras por unidade de comprimento e raio R
carrega uma corrente oscilante na forma I = I0 cosωt. Determine (a) o campo
8.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 123
elétrico induzido no interior do solenóide, ou seja, s < R. (b) o campo elétrico no
exterior do solenóide, ou seja, s > R. (c) a sua auto-indutância.
Young & Freedman: 29.48, 29.49, 29.61, 29.78, 30.48, 30.50, 30.73, 30.78.
124 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Referências Bibliográficas
[1] W. Bauer and G. Westfall. University Physics with Modern Physics. McGraw-Hill
Companies,Incorporated, 2010.
[2] R. Feynman, R. Leighton, and Sands. Lições de Física. Number v. 2. Bookman, 2008.
[3] P. Hewitt. Fisica Conceitual. Bookman, 2002.
[4] A. M. Luiz. Coleção Física 3 Eletromagnetismo, Teoria e problemas resolvidos. Fisica 3.
Livraria da Física, 2009.
[5] H. Nussenzveig. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. Edgard Blucher, 2001.
[6] E. M. Purcell. Berkeley Physics Course: Electricity and Magnetism. Berkeley Physics
Course. McGraw-Hill, 1965.
[7] R. Serway and J. Jewett. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics.
Physics for Scientists and Engineers. Cengage Learning, 2007.
[8] H. Young, R. Freedman, F. Sears, and M. Zemansky. Sears e Zemansky Física III:
Eletromagnetismo. Física. Pearson Addison Wesley, 2004.
125
126 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Apêndice A
Gabaritos das Listas de Exercícios
Capítulo 1
1. Q = meNA/µ
2. F = (1+2
√
2)kQ2
2L2
3. F = 3
√
3kqQ
a2 na direção da carga 3q
para a q.
4. q1 = q2 = Q/2
5. Mostre!
6. ~E = k Qx
(x2+R2)3/2 xˆ
7. ~E = k Qx
(x2+R2)3/2 xˆ, mesmo resultado
do anterior.
8. ~E = −k Qpi4R2 yˆ e ~F = −k
qQpi
4R2 yˆ
9. E = k 2Q
y
√
L2+4y2
10. ~E = k 4λLd
((L/2)2+d2)(2(L/2)2+d2)1/2 zˆ
11. E = k Q2R2
12. Linhas de Campo:
–+
13. ~v(t) = ~v0 + em~Et e
~r(t) =~r0 +~v0t + 12
e
m
~Et2
Capítulo 2
1. (a) 0.
(b) piR2E.
2. (a) Q/(6ε0).
(b) Q/ε0.
3. ΦE = chw2/2.
4. E = q4piε0r2 .
5. (a) E(r > R) = Q4piε0r2 .
(b) E(r < R) = Qr4piε0R3 .
6. E(s) = λ2piε0s .
127
128 APÊNDICE A. GABARITOS DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS
7. E = σ2ε0 .
8. E = σε0 entre as placas, e E = 0 fora
das placas.
9. E(s < R) = 0 e E(s > R) = σRε0s .
10. (a) Q = piBR4.
(b) E(r < R) = Br
2
4ε0
e E(r > R) = Q4piε0r2 .
11. (a) E(r < a) = k Qra3
E(a < r < b) = k Qr2
E(b < r < c) = 0
E(r > c) = k Qr2 .
(b) σ(r = b) = − Q4pib2
σ(r = c) = Q4pic2 .
(c)
12. Mostre!
Capítulo 3
1. ∆U = − qσde0 e v =
√
2qσd
e0m
2. V(r) = kqr
3. (a) V = k(q2+q3)L
(b) W = q1
k(q2+q3)
L
4. ∆V = 2kλ ln
( c
b
)
5. Ex = 0 e Ey = 2kλR .
6. (a) V(P) = 2pikσ
[
(x2 + b2)1/2 − (x2 + a2)1/2].
(b) Ex(P) = 2pikσx
[
1√
x2+a2
− 1√
x2+b2
]
e Ey = 0.
7. (a) V(r > R) = kQr ;
(b) V(r < R) = kQR ;
(c) V(r = R) = kQR ;
(d) V(r = 0) = kQR .
8. (a) V(r < R) = kQ(3R
2−r2)
2R3 ;
(b) V(r > R) = kQr ;
(c) r = 2R;
(d) r =
√
2R.
9. (a) Mostre!
(b) Ex = k
3p cos θ sen θ
r3
Ey = k
p
r3 (3 cos
2 θ − 1)
10. (a) E(r) = 2V0e0 r exp (−r2/a2).
(b) Q(r) = 8piV0r3 exp (−r2/a2).
(c) ρ(r) = 2V0(3− 2r2) exp (−r2/a2).
(d) Esboce.
129
Capítulo 4
1. (a) ∆V = Q4pie0
[
1
b − 1c
]
.
(b) C = 4pie0Qbcc−b .
(c) Não. Como a carga de um condu-
tor maciço já se encontra na superfí-
cie, um condutor de espessura des-
prezível seria equivalente a um ma-
ciço.
2. Mostre!
3. (a) C = nC0.
(b) C = C0/n.
(c) C = 2nC0n2+4 .
4. (a) C = C0/3.
(b) Q = Q0/3.
(c) U = U0/3.
5. (a) ∆Vf =
(
C1−C2
C1+C2
)
∆Vi.
(b) Ui = 12(C1 + C2)(∆Vi)
2,
U f = 12
(C1−C2)2
(C1+C2)
(∆Vi)2 e
U f
Ui
=
(
C1−C2
C1+C2
)2
6. (a) E(r > R) = ρR
3
3e0r2
e E(r < R) =
ρr
3e0
.
(b) uE(r > R) =
ρ2R6
6e0r4
e uE(r < R) =
ρ2r2
6e0
.
(c) UE =
4piρ2R5
5e0
.
7. Q = κEmaxR2/k.
8. κd/(1+ κ).
9. Mostre!
Capítulo 5
1. i = bq0 exp (−bt)
2. 0,32 A.
3. (a) Ex = −V/L.
(b) R = ρL/(pid2).
(c) i = V(pid
2)
ρL .
(d) j = VρL .
(e) Mostre!
4. ρA/ρB = (a/b)2.
5. (a) Q/4C em ambos.
(b) Q/4 e 3Q/4.
(c) Q
2
32C e
3Q2
32C .
(d) 7Q
2
8C .
6. Mostre!
130 APÊNDICE A. GABARITOS DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS
Capítulo 6
1. F = iLB sen θ
2. ~Fab = 0, ~Fbc = −ilBxˆ,
~Fcd = −ilBzˆ, ~Fda = ilB(xˆ+ zˆ),
e ∑~F = 0.
3. (a) ~Fretil = 2iRBzˆ.
(b) ~Fsemi-circ = −2iRBzˆ.
(c)~τ = −(ipiR2B/2)xˆ.
4. (a) ~Fhor-sup = ~Fhor-inf = 0,
~Fver-esq = 2iaBzˆ = −~Fver-dir.
(b)~τ = 4ia2Byˆ.
5. E = −B√2K/m.
6. (a) F = 2evB. (b) R = 2mv/(eB).
(c) ω = eB/(2m).
7. (a) ~F = −qvB sen θrˆ.
(b) p = 2pimv cos θ/(qB).
(c) r = mv sen θ/(qB).
8. ω =
√
|~µ|.|~B|/I.
Capítulo 7
1. (a) ~B(P) = µ0i2pi
a
y
√
a2+y2
zˆ.
(b) lima→∞ ~B(P) = µ0i2piy zˆ.
(c) ~B(P) = µ0i2piy zˆ.
2. ~B(P) = µ0i12
(b−a)
ab zˆ.
3. (a) ~B(s < R) = µ0i12pisϕˆ.
(b) ~B(s > R) = µ0(i1−i2)2pis ϕˆ.
(c) ~B(s < R) = µ0i12pisϕˆ e
~B(s > R) = 0.
4. (a) ~B(s > R) = µ0i2pisϕˆ.
(b) ~B(s < R) = µ0i2piR2 sϕˆ.
5. ~B(s < R) = µ0nizˆ e ~B(s > R) = 0.
6. F = µ0i1i2ab2pid(d+a) , horizontal para es-
querda.
7. (a) i = λRω.
(b)~τ = λpiR3~ω× ~B.
(c) ~BO =
µ0λ
2 ~ω.
(d)~µ = λpiR3~ω.
8. Mostre!
Capítulo 8
1. (a) da esquerda para a direita.
(b) da direita para a esquerda.
(c) da direita para a esquerda.
131
(d) da esquerda para a direita.
2. (a) ΦB(0) = apir2.(b) E = bpir2.
(c) I = bpir
2
R .
(d) Pot = (bpir
2)2
R .
3. (a) anti-horário.
(b) E = Blv.
(c) vterm =
mg
(Bl)2 R.
(d) dUdissdt =
(mg)2
(Bl)2 R =
dUgrav
dt .
4. (a) B(y, t) = µ0 Imax sen (ωt+φ)2piy , en-
trando na página.
(b) NΦB = −N µ0 Imax sen (ωt+φ)2pi l ln
(
h+w
h
)
.
(c) E = ωN µ0 Imax cos (ωt+φ)2pi l ln
(
h+w
h
)
.
(d) M = N µ02pi l ln
(
h+w
h
)
.
5. (a) uB = B
2
2µ0
.
(b) U = B
2
2µ0
piR2L.
6. (a) ~E(s < R) = µ0nI0ω2 s senωt ϕˆ.
(b) ~E(s > R) = µ0nI0ωR
2
2s senωt ϕˆ.
(c) L = µ0n2L.
	Carga Elétrica e Campo Elétrico
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	Corrente Elétrica
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	Modelo Microscópico para Condutividade
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	Lista de Exercícios
	Referências Bibliográficas
	Gabaritos das Listas de Exercícios