CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA - lição 3

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Cálculo Vetorial e Geometria
Analítica
Aula 3 - Produto de vetores
INTRODUÇÃO
Nas aulas anteriores, vimos que existem operações de soma de vetores e multiplicação de vetor por escalar.
Nesta aula, vamos conhecer outras formas de operações matemáticas que podem ser realizadas com vetores, em
especial os produtos. Cada uma dessas operações tem sua aplicação, sobretudo por apresentar uma interpretação
geométrica própria.
Bons estudos!
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OBJETIVOS
Efetuar operações com as propriedades: produto escalar e módulo de um vetor; produto vetorial; produto misto.
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PRODUTO ESCALAR
Fonte da Imagem: Millisenta / Shutterstock
O produto escalar ou produto interno de dois vetores e é um escalar, e sua representação é feita por . , lê-se “
 escalar ".
Seu valor é de�nido por: . = u . v . cos ∅, onde u e v são os módulos dos vetores e , respectivamente e ∅ é o
ângulo entre os vetores.
A interpretação geométrica do produto escalar é feita da seguinte maneira:
Sejam dois vetores e , sendo unitário e ∅ o ângulo entre eles, seu produto escalar então é de�nido por: . =
u . λ .cos ∅
Como é unitário, seu módulo vale 1, logo: . = u . 1 . cos ∅ = u . cos∅
Você pode visualizar a representação geométrica do produto escalar na �gura abaixo:
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Podemos, ainda, determinar o produto escalar de duas maneiras:
PRODUTO ESCALAR DOS UNITÁRIOS, DAS DIREÇÕES, DOS EIXOS CARTESIANOS
Sejam os vetores unitários , e , das direções cartesianas x, y e z, respectivamente. Então, seus produtos escalares são:
 . = 1 . 1 . cos 0º = 1 = . = . 
 . = 1 . 1 . cos 90º = 0 = . = . = . = . = . 
Resumo:
O produto escalar, de vetores unitários iguais, vale 1; e o produto escalar, de vetores unitários diferentes, vale zero.
PRODUTO ESCALAR DADAS AS COORDENADAS DOS VETORES
Sejam dois vetores e de coordenadas:
 = u + u + u e = v + v + v
então:
x y z x y z
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 . = u . v . + u . v . + u . v . + u . v . + u . v . + u . v . + + u . v . + u . v . + u . v
. 
 . = u . v + u . v + u . v
ATIVIDADE 1
Vamos fazer uma pausa para um exercício!
Dados os vetores abaixo, determine os produtos escalares pedidos:
 = (1, 2, −1), = (1, 0, −3) e = (0, −2, −3)
a) . 
b) . 
c) . 
Resposta Correta
ÂNGULO ENTRE VETORES
Seja ∅ o ângulo entre dois vetores e . Sua determinação é feita pelo produto escalar entre eles. Assim:
x x x y x z y x y y y z z x z y z z
x x y y z z
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Fonte da Imagem: kaisorn / Shutterstock
Podemos determinar, ainda, a ortogonalidade entre vetores seguindo a condição abaixo:
Tendo em vista a de�nição de produto escalar entre dois vetores, pode-se a�rmar que dois vetores são ortogonais
entre si, se e somente se, seu produto escalar é nulo. Veja:
 . = 0
COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos diretores. Ângulos diretores são os ângulos α, β e γ, que um vetor
faz com os unitários , e , respectivamente. Observe na �gura abaixo:
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PROJEÇÃO DE UM VETOR NA DIREÇÃO DE OUTRO VETOR
Sejam dois vetores e . Para determinar o vetor projeção do vetor na direção do vetor , inicialmente deve-se
calcular o módulo desse vetor, fazendo o produto escalar do vetor com o vetor direção do vetor , isto é, com seu
unitário. Portanto:
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Fonte da Imagem: Millisenta / Shutterstock
Uma vez calculado o módulo da projeção, para se determinar o vetor projeção, deve-se multiplicar esse módulo pelo
unitário dessa direção. Logo:
ATIVIDADE 2
Vamos fazer mais uma pausa para realizar alguns exercícios sobre o conteúdo estudado até aqui!
1 - Se os vetores e formam entre si um ângulo de 45º e suas coordenadas são = (2, −1, 5) e = (−1, 2, n),
calcule n.
2 - Calcule os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor = (1, −2, 2).
3 - Determine o vetor projeção do vetor = (1, 2, 2) sobre o vetor = (2, −1, 1).
Resposta Correta
PRODUTO VETORIAL
Dados dois vetores = u + u + u e = v + v + v , o produto vetorial de e , escrito por x (lê-se
“ vetorial ") é um vetor, cujo módulo é de�nido por: | | x | | = u . v . sen∅, onde ∅ é o ângulo entre os vetores.
Como o produto vetorial é um vetor, necessita de um módulo, direção e sentido. Dessa forma, seu módulo é de�nido
como vimos acima, sua direção é sempre perpendicular aos dois vetores, e seu sentido é de�nido pela regra da mão
direita.
x y z x y z
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Fonte da Imagem: Verkhozina Ekaterina / Shutterstock
A regra da mão direita, para a determinação do sentido do produto vetorial, é realizada espalmando-se a mão direita,
com os dedos unidos, na direção do primeiro vetor; em seguida, fechando-se a mão na direção do segundo vetor, pelo
menor dos ângulos formados entre eles, o polegar indicará o sentido do produto vetorial.
Tendo em vista que os vetores estão no plano, existe uma simbologia de�nindo o vetor perpendicular ao plano, assim:
A �gura, a seguir, mostra um exemplo dos sentidos dos produtos vetoriais entre os vetores e :
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Para realizar a interpretação geométrica do produto vetorial de dois vetores, é necessário partir da de�nição do módulo
do produto vetorial de dois vetores e :
Vê-se pela �gura abaixo, que v . sen∅ é a altura do paralelogramo formado pelos dois vetores. Observe:
COLINEARIDADE DE VETORES
Fonte da Imagem: Verkhozina Ekaterina / Shutterstock
Dois vetores são colineares se seu produto vetorial é nulo, isto é, eles não formam paralelogramo, ou seja, a área do
paralelogramo formado é nula. Como eles são colineares, o ângulo entre eles é nulo, logo:
A = | x | = u . v . sen∅ = u . v . sen 0º = 0
Se vetor é colinear ao vetor , então: = t , ou seja,
(u , u , u ) = t . (v , v, v )x y z x z
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(u , u , u ) = (t .v , t . v , t .v )
Podemos, ainda, determinar o produto vetorial de duas maneiras:
PRODUTO VETORIAL DOS UNITÁRIOS, DAS DIREÇÕES DOS EIXOS CARTESIANOS
Sejam os vetores unitários , e , das direções cartesianas x, y e z, respectivamente. Então, os módulos dos seus produtos
vetoriais são:
| x | = 1 . 1 . sen 0º = 0 = | x | = | x |
| x | = 1 . 1 . sen 90º = 0 = | x | = | x | = | x | = | x |= | x |
PRODUTO VETORIAL DADAS AS COORDENADAS DOS VETORES
Sejam dois vetores e de coordenadas:
 = u + u + u e = v + v + v
então:
 x = u . v x + u . v x + u . v x + u . v x + u . v x + u . v x + u . v x + u . v x+ u .
v x 
Como:
x y z x y z
x y z x y z
x x x y x z y x y y y z z x z y z
z
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Então: x = u . v . 0 + u . v . + u . v . (− ) + u . v . (− ) + u . v . 0 + u . v . + u . v . + u . v . (− ) + u . v . 0
 x = (u . v − u . v ) + (u . v − u . v ) + (u . v − u . v ) 
Saiba Mais
, Para saber mais sobre produto vetorial dos unitários, das direções dos eixos cartesianos, e produto vetorial dadas as
coordenadas dos vetores, clique aqui. (galeria/aula3/docs/a03_09_01.pdf)
ATIVIDADE 3
Vamos fazer uma pausa para realizar alguns exercícios!
Dados os vetores = (1, 0, 3) e = (–1, 2, 1), calcule:
a) 2 x ( – )
b) ( – ) x ( + 3 )
Resposta Correta
PRODUTO MISTO
Dados três vetores , e , de�ne–se o produto misto dos vetores, nessa ordem, indicado por ( , , ), como
sendo o escalar . ( x ).
Sejam as coordenadas dos vetores, de�nidas por:
x x x y x z y x y y y z z x z y z z
y z z y z x x z x y y x
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gra005/galeria/aula3/docs/a03_09_01.pdf
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Atenção
, Tal modelo, também é obtido, na resolução de um determinante, onde sua primeira linha são as coordenadas do primeiro vetor, a
segunda linha são as coordenadas do segundo vetor e, na terceira linha, as coordenadas do terceiro vetor., , Assim, tem-se:, ,
, , Vê-se que o resultado do determinante coincide com o resultado do produto misto, tornando-se, então, um método prático de
resolução do produto misto.
A interpretação geométrica do produto misto é feita da seguinte maneira:
Dados três vetores , e , a interpretação geométrica do produto misto deles é igual, em módulo, ao volume do
paralelepípedo formado pelos três vetores, como suas arestas. Observe:
Saiba Mais
, Outra interpretação geométrica que pode ser dada ao produto misto, também envolve cálculo de volume de �guras geométricas
espaciais. Como os paralelepípedos podem ser divididos, em dois prismas triangulares iguais, e cada prisma em três pirâmides
ou tetraedros com base e altura equivalentes à base, e à base e à altura do prisma, o volume de cada uma dessas pirâmides é ⅙
do volume do paralelepípedo. Veja um exemplo na �gura abaixo:, ,
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COPLANARIDADE
Se três vetores são coplanares, não formam �gura espacial, logo não formam paralelepípedo e, portanto, o volume
dessa �gura é zero. Logo seu produto misto é nulo. Assim, a condição para que três vetores sejam coplanares é que
seu produto misto seja nulo. Observe um exemplo:
Se , e são coplanares, ( , , ) = 0
Atente-se para algumas observações sobre o produto misto:
Fonte da Imagem:
O produto misto também é nulo se um dos vetores for nulo, ou se dois dos vetores forem colineares, resultando em
área da base nula.
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Fonte da Imagem:
O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto é:
( , , ) = ( , , ) = ( , , )
Porém, ele muda de sinal quando há uma troca de posições de dois vetores consecutivos, ou seja:
( , , ) = ( , , )
Tais situações devem-se às propriedades dos determinantes quanto à troca de posições das suas linhas.
ATIVIDADE 4
Para �nalizarmos esta aula, vamos realizar mais alguns exercícios!
1 - Calcule o produto misto dos vetores = (1, 0, –2), = (2, –1, 3) e = (0, 1, –1).
2 - Calcule o volume do tetraedro cujos vértices são: A (1, 1, 2), B (0, 1, 3), C (1, 0, 1) e D (–1, –2, 0).
3 - Veri�que se os vetores = (–1, 2, 5), = (2, 0, –1) e = (1, 1, 1) são coplanares.
Resposta Correta
EXERCÍCIOS
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Fonte da Imagem: sir.Enity / Shutterstock
Você também poderá exercitar os conhecimentos que aprendeu, nesta aula, por meio de uma lista de exercícios que
preparamos.
Para acessar a lista de exercícios, clique aqui. (glossário)
Glossário
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gra005/galeria/aula3/docs/a03_14_01.pdf