Lista1(PARTE_A)_CalculoIII

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Universidade Federal do Maranhão
CCET-Departamento de Matemática
Cálculo III
Profo. Jairo Santos
Lista 1
1. Determinar o domı́nio das seguintes funções vetoriais:
a) r(t) = (t2,
√
t− 1,
√
5− t) b) r(t) = t− 2
t+ 2
i + sen t j + ln (9− t2)k
2. Calcule os limites:
a) lim
t→0+
(cos t, sen t, t ln t) b) lim
t→0
[
e−3t i +
t2
sen2 t
j + cos 2tk
]
3. Esboce o gráfico das curvas cujas equações vetoriais são dadas a seguir e indique com
setas a direção na qual o parâmetro cresce:
a) r(t) = (sen t, t) b) r(t) = (t, cos 2t, sen 2t)
c) r(t) = (sen t, 3, cos t) d) r(t) = t2 i + t4 j + t6 k
4. Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga
P e Q.
a) P = (0, 0, 0), Q = (1, 2, 3) b) P = (1,−1, 2), Q = (4, 1, 7)
5. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t, y = t sen t, z = t está no cone
z2 = x2 + y2, e use esse fato para esboçar a curva.
6. Em quais pontos a curva r(t) = t i + (2t− t2)k intercepta o paraboloide z = x2 + y2?
7. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t2, y = 1− 3t, z = 1 + t3 passa pelos
pontos (1, 4, 0) e (9,−8, 28), mas não passa pelo ponto (4, 7,−6).
8. Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção do cone z =√
x2 + y2 com o plano z = 1 + y.
9. Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t → a. Mostre
que
a) lim
t→a
[u(t) · v(t)] = lim
t→a
u(t) · lim
t→a
v(t) b) lim
t→a
[u(t)× v(t)] = lim
t→a
u(t)× lim
t→a
v(t)
10. Mostre que limt→a r(t) = b se, e somente se, para todo � > 0, existe um número δ > 0 tal
que
se 0 < |t− a| < δ então |r(t)− b| < �
Bons Estudos!