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 Cap 05 - Análise combinatória 
 
 5.3.3 Permutação composta
 → A ordem é importante
 → Alguns elementos se repetem
 → n = p sendo n : número de elementos disponíveis e p : número de posições ou de 
vagas. 
 a,b,c : número de vezes que determinado elemento é repetido na estrutura, normalmente é um 
número ou uma palavra.
 Fórmula
 
 Pna ,b , c = n!
a! b !c !
 
 
Ex 1 ) quantos anagramas podemos formar com as letras de ARARA ?
Nas letras de ARARA : n = 5 a = 3 e b = 2 .
 P53,2 = 
5 !
3 !2 !
= 
5.4 .3 !
3! 2.1
= 10 anagramas
Ex 2) Com as letras de ANPAD quantos anagramas podemos formar de modo que as
letras A fiquem separadas ?
Vamos usar o processo da exclusão. Fica mais fácil. 
Primeiro vamos calcular o total geral de números de anagramas.
Depois, calculamos o total de anagramas em que as letras A aparecem juntas.
Depois é só subtrair o primeiro resultado do segundo resultado e acharemos a resposta
correta.
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 Primeiro cálculo : Número total de anagramas
 ANPAD
 
 P52 = 
5 !
2!
= 
5.4 .3 .2 !
2 !
= 60 anagramas
 Segundo cálculo : Número de anagramas em que os dois A estão juntos
 
 AA N P D
 ___ __ _ _
 
 P4 = 4! = 24
 60 – 24 = 36
 5.3.4 Permutação circular
 → A ordem é importante
 → Os elementos são distintos
 → n = p sendo n : número de elementos disponíveis e p : número de 
posições ou de vagas
 Fórmula
 Pc = ( n -1 ) !
Vamos entender o motivo da fórmula ser esta.
Imagine uma situação em que 4 pessoas estão posicionadas em uma mesa circular
conforme o desenho abaixo.
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 A Se falarmos as sequências :
 
 D B ABCD ou BCDA ou CDAB , são as mesmas posições.
 O segredo para calcularmos o número de disposições é
 
 C fixarmos qualquer uma das letras e permutar as outras.
Vamos fazer isto. Vamos fixar a letra A.
Então teremos :
 A (FIXO) A A
 
 D B C B C D
 C D
 B
 A A A
 D C B C B D
 B D C
Teremos seis resultados no total , seis possibilidades que são 3 ! .
Então para n = 4 temos 3 !
Para n = 5 temos 4 !
Então para n elementos teremos (n – 1 ) ! possibilidades de permutações circulares.
Esta é a demonstração da fórmula.
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EX 3 : O amigo oculto é uma tradição de fim de ano que tem por finalidade a troca de
presentes entre os participantes.
Primeiro cada participante deve sortear um papel com o nome do amigo que presenteará.
Depois, há o dia da troca em que cada um deverá fornecer dicas , para que os demais
advinhem quem será o presenteado.
Escolhe-se quem começa a dar as dicas , e o próximo será aquele que que tiver acabado
de ser presenteado.
Dependendo do sorteio , pode acontecer de , durante a brincadeira, algum participante
presentear um amigo que já deu um presente , mas ainda haver amigos que não
brincaram.
Nesse caso , deve-se escolher quem vai reiniciar a brincadeira.
Em um grupo de oito amigos , de quantas maneiras o sorteio poderá ser feito de modo
que o recomeço não aconteça ?
a) 8 b) 92 c) 520 d) 5040 e) 40320
O amigo oculto é uma brincadeira que configura a permutação circular por que o que
começa tem que terminar. Logo :
n = 8 PC8 = ( 8 – 1 ) ! = 7 ! = 5040 possibilidades.