320830903-ESTRATEGIAS-MACETES-VAGNER-pdf

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Estratégias e Macetes Matemáticos
Para
Concurseiros
Vagner Lopes de Almeida
1
Maceió - AL
Ano 2012
2
A matemática da vida não é saber contar 1 + 2,
e sim saber que um simples erro de cálculo pode
levar a sérias consequencias!
Vanessa Ribas Gonçalves
Nesse livro vamos conhecer além de macetes, dicas e técnicas,
conheceremos melhor o mundo lógico e matemático.
Em provas de concurso o tempo é ouro e é sobre esse fator
que as dicas e macetes estão direcionados, veremos o quanto es-
sas dicas são valiosas e o quanto vamos ganhar tempo ao fazer uso
delas. Para fazer uma boa prova não basta apenas estudar, temos
de saber estudar, conhecer como a nossa mente funciona e saber
usar isso a nosso favor, conhecer técnicas de estudos, assim como
conhecer como o nosso cérebro funciona é o que faz toda dife-
rença nas provas de concurso, garanto que se você é concurseiro,
provavelmente você conhece pessoas que se matam de estudar e
até hoje ainda não passaram, não basta só estudar, temos de sa-
ber como estudar é sobre esse ângulo que devemos analisar tais
resultados.
No livro você ficará diante de várias questões de concursos,
questões de várias bancas, como COPEVE, CESGRANRIO, FCC,
CESPE - UnB ... etc. São mais de 100 questões resolvidas. Logo,
esse livro fará você ter um ótimo desempenho na área de exatas.
3
Conteúdo
1 Aritmética ou Álgebra 7
2 Teoria dos Números 14
2.1 Cálculo do M.D.C . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Quebra Cabeça e Desafios 26
4 Introdução à Lógica 40
4.1 Proposições e Sentenças . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Princípios Fundamentais . . . . . . . . . . . . . 42
5 Conectivos e Modificadores 45
6 Negação de proposições 53
7 Argumentos 59
8 Tautologias, Contradições e Contigências 62
9 Conjuntos 75
9.0.1 Operações com Conjuntos . . . . . . . . 77
4
10 Probabilidade 84
11 Médias 88
12 Contagem 92
13 Números Complexos 99
13.1 Operações com Complexos . . . . . . . . . . . . 101
13.2 Plano dos Complexos - Plano de Argand - Gauss 102
13.3 Número Complexo e Vetor . . . . . . . . . . . . 103
13.4 Forma Trigonométrica de um Complexo . . . . . 105
13.5 Multiplicação e Divisão na Forma Trigonométrica 107
14 Técnicas e Macetes 109
14.1 Algumas Associações . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2 Técnica Mnemônica . . . . . . . . . . . . . . . . 114
14.3 Técnica da Atribuição de Valores . . . . . . . . . 125
14.4 Aprendendo por Analogia . . . . . . . . . . . . . 129
14.5 Exercícios de fixação . . . . . . . . . . . . . . . 133
14.6 Mais Analogias e Associações . . . . . . . . . . 135
14.7 Intersecções de gráficos . . . . . . . . . . . . . . 145
15 Modelos de Questões 147
16 Técnica do Chute - A arte de marcar X. 182
16.1 As 13 Técnicas de Chute . . . . . . . . . . . . . 184
16.2 Sapoia X William Douglas . . . . . . . . . . . . 186
16.3 Chutando nas exatas . . . . . . . . . . . . . . . 195
17 Usando Macetes e Técnicas Nas Questões 198
18 Análise Dimensional 204
5
19 Simulado BM e PM - 2006 209
20 Soluções das questões modelos 235
6
Capítulo 1
Aritmética ou Álgebra
No ambiente aritmético trabalhamos mais com números, já no
ambiente álgebrico trabalhamos mais com letras, vamos ver como
esses mundos funcionam com exemplos simples.
Exemplo 1.1 Calcular dois números, dadas sua soma e dife-
rença.
1) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é
7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de
idade?
Vamos ao método algébrico, vamos usar letras para represen-
tar as idades desconhecidas, nesse caso vamos dizer que minha
idade seja x e a idade de meu irmão, seja y, assim, pelo enunci-
ado temos que x+y = 37 e que y = 7+x, temos assim um sistema
de equações do 1o grau.{
i) x+ y = 37
ii) y = x+7
7
Vamos substituir ii) em i), fazendo tal substituição teremos
que x+ x+7 = 37⇒ 2x = 37−7 = 30, se 2x é igual a 30, então
x = 15. Assim, temos que x = 15 e y = 15+ 7 = 22, isto é, eu
tenho 15 anos e meu irmão tem 22 anos.
Vamos agora ao método aritmético:
O método aritmético, basicamente consiste em usar a lógica e
operações aritméticas. Nesse caso, temos que se o meu irmão não
tivesse 7 anos a mais que eu, então a soma de nossas idades seria
30 anos ( 37 - 7 ), isto é, nossas idades seriam iguais e ainda teria
como soma 30, assim, dividindo 30 igualmente em duas partes,
teremos 15, então eu terei 15 anos e como ele é mais velho 7 anos,
ele tem 22 anos.
2) A soma da idade de 3 pessoas hoje é 42 anos. Daqui a
quantos anos a soma da idade dessas 3 pessoas vai ser de 54
anos ?
Vamos primeiro pelo método algébrico: Vamos dizer que as 3
pessoas hoje, tenham respectivamente a, b e c anos.
Assim, pelo enunciado teremos que a+b+c = 42 e daqui a x
anos teremos
(a+x)+(b+x)+(c+x) = 54⇒ 3x+42 = 54⇒ 3x = 54−
42 = 12⇒ x = 12
3
= 4, isto é, daqui a 4 anos, a soma das idades
das 3 pessoas resultarão em 54 anos.
Vamos ao método aritmético, como ele diz que a soma das 3
idades hoje é 42, então vamos pegar 3 idades quaisquer, de forma
que a soma delas resulte 42, por exemplo 10+12+20 = 42, isto
é, as 3 idades hoje são 10 anos, 12 anos e 20 anos, então quanto
tempo vai se passar para que a soam delas resulte em 54 ? temos
que chegar a 54 e como a soma atual é 42, temos que de 42 para
8
54 faltam 12, dividindo 12 por 3, já que temos 3 pessoas, vamos
ter 4, isto é, a que tem 10 anos hoje, ao se passar 4 anos terá 14,
a que tem 12, terá 16 e a que tem 20, terá 24. O que conferi a
soma 14+16+24 = 54.
Exemplo 1.2 Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto
pesa um tijolo inteiro ?
Solução:
Vamos ao método aritmético, veja a figura, ela fala por si.
Veja que o peso de um quilo, está no lugar de meio tijolo, isto
é, meio tijolo = 1 kg, assim, um tijolo inteiro é igual a 2 kg.
Método Algébrico: Se um tijolo inteiro pesa x, então temos
que x = 1+
x
2
⇒ x−1 = x
2
⇒
2(x−1) = x⇒ 2x−2 = x⇒ 2x− x = 2⇒ x = 2.
Exemplo 1.3 Se Paulo comprasse revistinhas de R$ 15,00 cada,
ficaria com R$ 10,00 sobrando. Se comprasse o mesmo número
de revistinhas porém de R$ 18,00 cada, ficariam faltando R$ 2,00.
Quantas revistinhas Paulo pretende comprar?
Solução:
9
Método Aritmético: Para trocar as revistinhas de R$ 15,00
por revistinhas de R$ 18,00, Paulo terá que pagar R$ 3, 00 a
mais por revistinha. Não tendo dinheiro suficiente, poderá tomar
emprestados os R$ 2,00 que faltam e efetuar a troca. Como ti-
nha R$ 10,00, tomando emprestados mais R$ 2,00, ficará com R$
12,00. Quantas vezes R$ 3,00 estiverem contidos em R$ 12,00,
são quantas revistinhas poderá comprar, isto é, 4 revistinhas de
R$ 18,00.
Método Algébrico: sendo x o número de revistinhas, temos
que 15.x+10 = 18x−2⇒ x = 4.
Exemplo 1.4 Num quintal há galinhas e coelhos, ao todo 12 ca-
beças e 34 pés. Quantos animais de cada espécie há no quintal?
Solução:
Método Aritmético: Ao todo são 12 cabeças, se cada animal
tivesse 2 pés, teríamos ao todo 24 pés, mas na verdade são 34
pés, temos assim uma diferença de 10 pés tomados dois a dois,
que correspondem ao número de coelhos, assim, temos 10/2 = 5
coelhos e 7 galinhas. De fato, dos 5 coelhos temos 20 pés e das 7
galinhas temos 14 pés, o que resulta em 20+14=34 pés e 7+5=12
animais.
Método Algébrico: Chamando de g o número de galinhas e c
o número de coelhos, basta resolver o sistema que segue.{
i) g+ c = 12
ii) 2g+4c = 34
Multiplicando i) por 2, temos iii) 2g+2c = 24, fazendo agora
a diferença ii)− iii) temos
10
2c= 10⇒ c= 5. Assim, de i) temos que g+c= 12⇒ g+5=
12⇒ g = 12−5 = 7.
Exemplo 1.5 Uma mulher vai visitar suas 3 filhas e leva uma
cesta de maçãs. Para a primeira, dá a metade das maçãs e mais
meia maçã. Para a segunda, dá a metade das maçãs que sobra-
ram e mais meia maçã. Para a terceira, novamente dá a metade
das maçãs que sobraram e mais meia maçã, ficando sem nenhuma
maçã. Quantas maçãs haviam na cesta?
Solução ( aritmética ):
Ao presentear a terceira filha, acabaram as maçãs. Portanto,
nesse momento a mãe só tinha 1 maçã, ou seja:
metade das maçãs + meia maçã (0,5) = 1maçã.
Antes de presentear a segunda filha:
(1+0,5)×2 = 3 maçãs na cesta.
Antes de presentear a primeira filha:
(3+0,5)×2 = 7 maçãs na cesta. Assim, haviam 7 maças na
cesta.
Solução ( algébrica ): Seja x o número de maças, então temos
que:
1)→ x− x
2
− 1
2
=
x
2
− 1
2
=
x−1
2
.
2)→ x−1
2
− x−1
4
− 1
2
=
2x−2
4
− x−1
4
− 2
4
=
x−1
4
− 2
4
=
x−3
4
.
3)→ x−3
4
− x−3
8
− 1
2
=
2x−6
8
− x−3
8
− 4
8
=
x−3
8
− 4
8
=
x−7
8
= 0⇒ x−7 = 0⇒ x = 7.
11
Agora é a sua vez, resolva as questões a seguir.
1) Dois amigos têm juntos 80 selos. O mais velho possui o
triplo do mais novo. O mais velho possui:
A) 20 selos
B) 30 selos
C) 40 selos
D) 60 selos
E) 80 selos
2) Reparti R$109,00 entre três irmãs, de modo que a 2a rece-
beu R$6,00 a menos que a 1a, e a 3a recebeu R$10,00 a mais que
a 2a. A quantia dada à 2.a foi R$ :
A) 35,00
B) 33,00
C) 31,00
D) 29,00
E) 27,00
3) A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho.
Calcule essas idades, sabendo que juntos tem 60 anos.
12
4) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse
número aumentado de 1. Qual é esse número?
5) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O
número de carros é igual a cinco vezes o de motos. Quantas motos
há no estacionamento?
6) Renato pensou em um número. Quando somou a metade
desse número com 5, deu menos do que quando tirou 1 de seu
dobro. Descubra o número que Renato pensou.
13
Capítulo 2
Teoria dos Números
Vamos começar com o seguinte problema, calcular o MMC ( Mí-
nimo Múltiplo Comum ) e o MDC ( Máximo Divisor Comum )
dos números 36 e 60.
Vamos começar calculando os múltiplos e divisores desses nú-
meros.
D(36)= ( Divisores de 36 ) ={1,2,3,4,6,9,12,18,36}
Observe que 36 = 32.22, ou seja, 36 = 3α.2θ, onde α = {0,1,2}
e θ = {0,1,2}.
Temos, assim 3 possibilidades para α e 3 possibilidades para
θ, usando o princípio fundamental de contagem temos, 3 × 3 = 9
possibilidades , ou seja, 36 tem 9 divisores.
D(60)= ( Divisores de 60 ) ={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}.
Observe que 60 = 22.3.5, ou seja, 60 = 2α.3θ.5λ, usando o prin-
cípio fundamental de contagem temos, 3 possibilidades para α, 2
possibilidades para θ e 2 possibilidades para λ. Resultando assim
3 × 2 × 2 = 12 possibilidades, ou seja, 60 tem 12 divisores.
Temos agora dois conjuntos a analisar, é fácil ver a intersecção
14
desses conjuntos, a saber temos:
D(36)∩D(60) = {1,2,3,4,6,12}. Assim, temos que o maior
divisor comum é 12, ou seja, MDC ( 36, 60) = 12.
Proposição 1: O M.D.C de dois ou mais números, quando fato-
rados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado
ao menor expoente.
Assim, pela proposição 1, temos M.D.C(36,60) = 22.3 =
4.3 = 12.
2.1 Cálculo do M.D.C
Cálculo do M.D.C. pelo processo das divisões sucessivas
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma
divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.
Dividindo 60 por 36 temos, 60 = 1× 36+ 24, temos assim
quociente 1 e resto 24.
Dividindo o divisor antigo ( 36 ) pelo resto ( 24 ), temos, 36 =
1×24+12, temos assim quociente 1 e resto 12.
Dividindo o divisor anterior ( 24 ) pelo resto ( 12 ) , temos
24 = 2×12, temos quociente 2 e resto zero.
Assim, 12 é o maior divisor comum de 36 e 60. Tal método
devemos a Euclides.
2.2 Múltiplos
Vamos agora aos múltiplos de 36 e 60.
15
M(36) = ( Múltiplos de 36 ) =
{0,36,72,108,144,180,216,252,288 . . .}.
M(60) = ( Múltiplos de 60 ) =
{0,60,120,180,240,300,360 . . .}.
Como zero é múltiplo de todo número, então, não teria graça
dizer que zero é o menor múltiplo comum dos números 36 e 60,
assim, dizemos que 180 é o menor múltiplo comum de 36 e 60,
ou seja, M.M.C ( 36, 60 ) = 180.
Proposição 2: O M.M.C. de dois ou mais números, quando
fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles,
cada um elevado ao maior expoente.
Usando a proposição 2, temos que M.M.C (36, 60) = 22×
32×5 = 4×9×5 = 9×20 = 180.
Vamos agora conhecer um processo para calcular simultanea-
mente o M.M.C e M.D.C de dois números.
60 36 2
30 18 2
15 9 3
5 3
Vamos recordar algumas coisas, antes de explicar tal processo.
Definição 1: Um número natural é um número primo quando
ele tem exatamente dois divisores diferentes: o número um e ele
mesmo.
OBS 1: Se um número não é primo, dizemos que ele é com-
posto ( exceto o 1 ) o número 1, não é primo e nem composto.
OBS 2: O número zero é composto, já que zero é múltiplo de
16
todo natural.
Lista de alguns primos:
{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 . . .}.
O número 1 é divisor de qualquer número e, se os números x e y
não admitem outro divisor comum, tem-se que M.D.C ( x, y ) = 1
e dizemos que x e y são primos entre si.
Vamos agora a explicação do método:
Nesta disposição, um número primo comparece na coluna da
direita apenas quando divide ambos os números à sua esquerda,
na mesma linha. As divisões terminam quando isto não mais for
possível, o que significa que encontramos dois números primos
entre si nas duas colunas da esquerda.
O MDC é o produto dos primos que estão na coluna da direita,
e o MMC, o produto deste M.D.C pelo dos números primos entre
si, que restaram na última linha à esquerda.
Assim, temos que o M.D.C ( 36, 60 ) = 2 × 2 × 3 = 12 e o
M.M.C ( 36, 60 ) = 12 × 5 × 3 =
= 60 × 3 = 180.
x . y = M.M.C ( x, y ) . M.D.C ( x, y )
Vamos agora a um problema clássico voltado à teoria dos nú-
meros.
Num cesto havia ovos: eram mais de 50 e menos de 60. Contando-
os de 3 em 3, sobravam 2, contando-os de 5 em 5, sobravam 4.
Determine o número de ovos do cesto.
17
Solução: Seja N o número de ovos do cesto, assim temos que
por um lado N = 3x+2 e por outro lado N = 5y+4.
Como N = 5y+4 = 5y+5−1 = 5.(y+1)−1 = 5q−1.
Temos também que N = 3x+2 = 3x+3−1 = 3k−1.
Como o M.M.C(3,5) = 15, temos que:
N = {(15−1),(30−1),(60−1), . . . ,(75−1) . . .}. Logo, pelo
que é dado no problema N = 60−1 = 59, ou seja, no cesto exis-
tem 59 ovos.
Problema 1: Com a intenção de atrair novos alunos, certa acade-
mia de dança abre todos os dias e oferece, como promoção, uma
aula gratuita de tango a cada 5 dias e uma aula gratuita de gafieira
a cada 3 dias. No dia 11 de janeiro coincidiram as aulas gratui-
tas de tango e de gafieira. Supondo que essa promoção tenha se
mantido conforme foi anunciada, conclui-se que, um dos dias em
que essa coincidência ocorreu em fevereiro do mesmo ano, foi:
A) 25
B) 18
C) 15
D) 14
E) 11
Solução: Vamos calcular o mínimo múltiplo comum de 5 e 3
que a saber é 15. Logo os próximos dias em que coincidirão as
duas promoções serão:
11/jan/2010
26/jan/2010
10 fev/2010
18
25/fev/2010
O que corresponde a letra A).
Problema 2: Qual é o menor número que quando é dividido por
3, 13 e 25 deixa resto 2?
A) 575
B) 573
C) 975
D) 977
E) 979
Solução: Observe primeiro que o menor número divisível por
3, 13 e 25 é o mínimo múltiplo comum desses três números. As-
sim, temos que M.M.C(3,13,25)=3 × 13 × 25 = 975, então se
divimos 975 por 3, por 13 ou por 25, teremos resto zero, assim o
número procurado é 975+2=977, o que corresponde a letra D).
Problema 3: (Cesgranrio) Se o mínimo múltiplo comum entre
os números 6 e K é maior do que 31 e menor do que 41, então o
número K, vale:
A) 40
B) 36
C) 34
D) 33
E) 32
19
Solução: Lembrando que o M.M.C entre dois ou mais núme-
ros é sempre múltiplo de cada um dos números. Assim, temos
que o M.M.C entre 6 e K será um múltiplo de 6, e pelas opções
temos que o único múltiplo de 6 é o que corresponde a letra B),
ou seja, 36.
Problema 4: Qual o maior múltiplo comum a 12, 18 e 20 de
quatro dígitos ?
A) 8999
B) 9000
C) 9800
D) 9875
E) 9900
Solução: Temos que M.M.C(12, 18, 20) = 180. Ao multi-
plicarmos 180, pela sucessão dos naturais não nulos, teremos os
múltiplos comuns a 12, 18 e 20.
Fazendo algumas tentativas, por exemplo 180 × 5 = 900 (
resultado com 3 digitos).
180 × 10 = 1800 ( agora temos um resultado de 4 dígitos ).
Mas ele pede o maior possível. Temos que o maior número de
4 dígitos é 9999, dividindo 9999 por 180, temos quociente 55
e resto 99, assim, 9999= 55 × 180 + 99, temos assim que o
número procurado é 180 × 55 ou 9999 - 99 que a saber é: 9900
correspondente a letra E).
Problema 5: (Colégio Naval) O mínimo múltiplo comum entre
dois números naturais a e b é 360 e a.b = 3600. Qual o menor
valor que (a+b) pode assumir ?
20
Solução:Lembrando que mdc(x,y)×mmc(x,y) = x.y ,
temos que mdc(a,b).360 = 3600⇒ mdc(a,b) = 3600
360
= 10.
Fazendo a = 10x e b = 10y, temos 10x.10y = 3600⇒ x.y = 36.
Fazendo um quadro com as possibilidades desse produto, te-
remos:
x y Análise das possibilidades
1 36 Soma dá 37
2 18 Não serve, pois não são primos entre si.
3 12 Não serve, pois não são primos entre si.
4 9 Soma dá 13 e é o menor valor possível.
Assim, a = 10.4 = 40 e b = 10.9 = 90, então temos que a+
b = 40+ 90 = 130, ou seja 130 é o menor valor que a + b pode
assumir.
Problema 6: Um jardineiro tem certo número de mudas, inferior
a 700. Quando as agrupa de 6 em 6, de 8 em 8, de 10 em 10 ou
de 12 em 12, sempre verifica que restam 5. E quando as agrupa
de 11 em 11, não resta nenhuma. Quanto ao número de mudas,
podemos afirmar que são:
A) 125 B) 120 C) 605 D) 565 E) 650
Problema 7: Um comerciante quer distribuir 60 laranjas, 72 ma-
çãs, 48 peras e 36 mangas entre várias sacolas, de modo que
cada uma recebesse o mesmo e o maior número possível de uma
mesma espécie de fruta. Qual o número total de sacolas obtidas ?
Solução: Se o comerciante quer dividir as frutas em quanti-
dades iguais é necessário que essa quantidade seja um divisor de
21
cada uma das quantidades.
E como ele quer que esse número seja maior possível, esse
divisor será o maior possivel. Calculando o MDC entre 60, 72, 48
e 36 encontraremos 12. Assim, cada sacola receberá: 12 laranjas
ou 12 maças ou 12 peras ou 12 mangas.
Com as 60 laranjas faremos: 60:12 = 5 sacolas.
Com as 72 maçãs faremos: 72:12 = 6 sacolas.
Com as 48 peras faremos: 48:12 = 4 sacolas.
Com as 36 mangas faremos: 36:12 = 3 sacolas. Assim, o total
de sacolas será: 5+6+4+3 = 18 sacolas.
Problema 8: Um empreiteiro deseja construir um prédio em um
terreno retangular de dimensões 216 m por 414 m. Para isso,
deverá cerca-lo com estacas. Se ele colocar uma estaca em cada
canto do terreno e utilizar sempre a mesma distância entre duas
estacas consecutivas, qual será a quantidade mínima de estacas a
serem utilizadas ?
Solução: Se o empreiteiro quer utilizar a quantidade mínima
de estacas, então a distância entre elas deve ser a maior possível.
Como pelo problema essa distância deve ser um divisor co-
mum das medidas dos lados e como deve ser a maior possível,
então vamos calcular o máximo divisor comum entre 216 e 144,
que a saber é 18.
Assim, no comprimento 414 m teremos: 414:18 = 23 estacas
× 2 = 46 estacas.
Na largura 216 m teremos: 216:18 = 12 estacas × 2 = 24
estacas.
Levando em conta, que cada vértice já foi contado, teremos
ao todo 46 + 24 = 70 estacas.
Problema 9: Três rolos de arame farpado têm, respectivamente,
22
168 m, 264 m e 312 m. Deseja-se cortá-los em partes de mesmo
comprimento, de forma que, cada parte, seja a maior possível.
Qual o número de partes obtidas e o comprimento de cada uma
delas ?
Solução: Como ele deseja que os rolos sejam divididos em
partes iguais e a maior possível, devemos calcular o MDC entre
os comprimentos dos rolos.
Logo, o M.D.C (168, 264, 312) = 24, com isso, cada um dos
pedaços iguais será igual a 24 m e serão obtidos:
168:24 = 7; 264:24 = 11 e 312:24 = 13, logo temos, 7 + 11 +
13 = 31 pedaços.
Assim, serão obtidos 31 pedaços e cada um deles medirá 24
metros.
Problema 10: O M.D.C de dois números A e B é 2x.33.54.7.
Sendo A = 2x.34.5z.7 e B = 26.3y.55.7, então o valor do produto
xyz é:
A) 20 B) 80 C) 60 D) 40 E) 11
Solução: Lembrando que o M.D.C de dois números escritos
em sua forma fatorada é dado pelo produto entre os fatores co-
muns, elevados aos menores expoentes. Assim sendo, teremos:
Como A= 2x.34.5z.7, B= 26.3y.55.7 e MDC(A,B)= 2x.33.54.7,
podemos concluir que:
Se x é menor expoente, ele poderá ser: 1, 2, 3, 4 ou 5; se y é
menor expoente, ele será 3 e se z é menor expoente, ele será 4.
Assim, podemos concluir que a nossa resposta, será um múl-
tiplo de 12 ( 4 × 3 ), com isso eliminamos todos os itens, com
exceção da letra C), que é o único múltiplo de 12 apresentado.
Problema 11: Se a soma de dois números é igual a 288, o MDC
23
entre eles é 36 e um dos números é múltiplo do outro, a diferença
entre eles é:
A) 120 B) 216 C) 248 D) 252 E) 324
Problema 12: Um comerciante quer distribuir 60 laranjas, 72
maçãs, 48 peras e 36 mangas entre várias crianças, de modo que
cada uma recebesse o mesmo e o menor número possível de frutas
de uma mesma espécie. Qual o número total de frutas recebidas
por cada criança ?
Problema 13: Dado que A+C = 140 e M.M.C(A,C) = 240, en-
tão qual o valor de A e C.
Problema 14: Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e
no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida de uma pista cir-
cular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em
120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar
novamente.
A) 1320 B) 132 C) 120 D) 60 E) 22
Problema 15: (Copeve 2010 - Penedo - AGENTE-ADM) Mar-
cos, Tiago e André resolvem viajara pé da cidade de Penedo até a
cidade de João Pessoa. Sabe-se que Marcos, Tiago e André per-
correm por dia, respectivamente, 30 km, 25 km e 18 km, e que,
pelo cansaço, a viagem foi interrompida quando os 3 amigos ti-
nham percorrido a mesma distância. Nessas, condições é correto
afirmar que:
A) André interrompeu a caminhada no 26o dia.
B) Marcos interrompeu a caminhada no 15o dia.
24
C) Marcos interrompeu a caminhada no 14o dia.
D) Tiago interrompeu a caminhada no 19o dia.
E) André interrompeu a caminhada no 24o dia.
Faça as contas e conclua que Marcos interrompeu a cami-
nhada no 15o dia.
25
Capítulo 3
Quebra Cabeça e Desafios
“Não há ramo da matemática, por mais abstrato que
seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenô-
menos do mundo real.”
Nicolai Lobachevsky
Desafio 3.1 Dois pais e dois filhos entraram num bar e pediram
3 refrigerantes. Cada um tomou uma garrafa inteira, ou seja,
nenhum deles deixou de beber o seu refrigerante. Descubra como
isso é possível.
Desafio 3.2 Um alfaiate tem uma peça de tecido com 20 metros
de comprimento. Cada dia ele tira um pedaço de 2 metros. Se o
26
primeiro corte foi feito no dia 11 de abril, em que dia ele fará o
último corte ?
Desafio 3.3 Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco
de 10 metros de profundidade, e quer sair de lá. Durante o dia
ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto
dorme, escorrega 1 metro. Quando ela chegará na saída do poço
?
Desafio 3.4 Vire o peixe de lado movendo apenas 3 palitos.
Desafio 3.5 Mova 2 palitos, mantendo a forma da pá, deixando
a sujeira fora dela.
27
Desafio 3.6 Qual o próximo símbolo da sequência abaixo.
Desafio 3.7 Uma pessoa entrou numa loja de calçados e com-
prou um par de sapatos por R$ 40,00. Pagou com uma nota de
R$ 50,00. A vendedora não tinha troco. Foi à padaria ao lado
e trocou a nota de R$ 50,00 por 5 notas de R$ 10,00. Devolveu
R$ 10,00 ao comprador, que foi embora satisfeito. Instantes de-
pois, o padeiro veio devolver a nota de R$ 50,00, dizendo que era
falsa. A vendedora, muito honestamente, trocou a nota falsa por
uma outra verdadeira. Pois bem, ajude-me a descobrir de quanto
foi o prejuízo da vendedora de calçados.
28
Desafio 3.8 Eu, Tu e Ele. . . .fomos comer no restaurante e no fi-
nal a conta deu R$30,00. Dividimos a quantia igualmente, assim
cada um de nós vai dar R$ 10,00.
O garçom levou o dinheiro, ou seja, as 3 notas de R$ 10,00
até o caixa e o dono do restaurante disse o seguinte: - Esses três
são clientes antigos do restaurante, então devolva R$5,00 para
eles. E entregou ao garçom 5 notas de R$ 1,00. O garçom, muito
esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$1,00 para
cada um. No final ficou assim:
Eu: R$ 10,00 (-R$1,00 que foi devolvido) = Eu gastei R$9,00.
Tu: R$ 10,00 (-R$1,00 que foi devolvido) =Tu gastaste R$9,00.
Ele:R$ 10,00 (-R$1,00 que foi devolvido) = Ele gastou R$9,00.
Logo, se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós 3 gastamos
juntos foi R$ 27,00. E se o garçom pegou R$2,00 para ele, então
temos 27,00 mais os dois reais que ficaram com o garçon, temos
ao todo R$ 29,00. Onde foi parar esse R$ 1,00 que falta pra
fechar a conta ?
Desafio 3.9 Um cavalo e um burro caminhavam juntos, carre-
gando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito
de sua pesada carga, respondeu-lhe o burro: de que te queixas?
se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se
eu te der um saco tua carga será igual a minha. Quantos sacos
cada um deles levava?
29
Desafio 3.10 Este é simples e conhecido, que consiste em ligar 9
pontos que estão alinhados 3 a 3 formando um quadrado, usando
4 segmentos de reta consecutivos e sem tirar a caneta do papel.
Desafio 3.11 Dois ciclistas se aproximam um do outro numa es-
trada reta, pedalando a 20 km/h, quando estão distanciados 40
km, uma mosca pousa numa das bicicletas, depois voa para ou-
tra. E fica indo e vindo entre as duas, voando a 30 km/h, até que
os ciclistas se encontram. Que distância percorreu a mosca?
Desafio 3.12 Um homem muito pobre queria fumar cigarros, mas
ele não tinha dinheiro para comprá-los. Ele descobriu que se ele
juntasse pontas de cigarros já fumados, ele conseguiria fazer um
cigarro a cada 5 pontas. Se ele achou 25 pontas, quantos cigarros
ele poderia fumar ?
30
Desafio 3.13 Existem 10 meias de cada uma das seguintes cores
em uma gaveta: azuis, verdes, vermelhas, amarelas e brancas,
num total de 50 meias. Se as meias são aleatoriamente distri-
buídas na gaveta (não em pares, nem em qualquer outro tipo de
grupo), e você está vendado, qual o número mínimo de meias que
você deve retirar, de modo a ter certeza de ter pego pelo menos 2
meias da mesma cor ?
Desafio 3.14 Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu
tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho,
teremos ambos (somados) 63 anos. Qual é a minha idade atual ?
Desafio 3.15 Descubra a minha idade, sabendo que ela é igual à
diferença entre o seu dobro e o triplo da idade que eu tinha há 6
anos.
31
Desafio 3.16 O pedreiro A executa determinada tarefa em 6 ho-
ras de trabalho. A mesma tarefa é executada pelo pedreiro B em
10 horas de trabalho.
Se A, após trabalhar 4 horas, deixasse o restante para B con-
cluir, quanto tempo este levaria para concluir a tarefa, em horas
e minutos?
Desafio 3.17 Qual a probabilidade, em porcentagem, de um ca-
sal ter quatro filhos, todos do mesmo sexo ?
Desafio 3.18 Nove copos estão enfileirados sobre uma mesa. Os
cinco primeiros estão cheios com água e os quatro últimos es-
tão vazios. Quantos copos, no mínimo, devemos mover para que
fiquemos com copos cheios e vazios alternadamente ? Como ?
32
Desafio 3.19 Em um escritório, há três armários com duas ga-
vetas cada. Em um armário, as duas gavetas contém, cada uma,
uma caneta. No segundo, há uma caneta em uma das gavetas
e um lápis na outra. No terceiro, há um lápis em cada gaveta.
Abre-se uma das gavetas de um armário qualquer e uma caneta
é encontrada. Qual a probabilidade da outra gaveta do mesmo
armário conter também uma caneta ?
Desafio 3.20 Qual a hora (em horas, minutos e segundos) em que
os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio ficam super-
postos pela primeira vez depois do meio-dia ?
Desafio 3.21 Qual a melhor opção: comprar um relógio de pon-
teiros que mostra a hora certa somente uma vez a cada ano ou
outro que mostra a hora certa duas vezes por dia ? Por quê ?
33
Desafio 3.22 Esta manhã, após minhas aulas, eu desci a escada,
pois o elevador estava quebrado. Eu já havia descido 7 degraus
quando vi o prof. Zizoloziz começando a subir a escada. Con-
tinuei no meu passo usual, cumprimentei o professor quando ele
passou e, para minha surpresa, faltando 4 degraus para eu aca-
bar de descer, o professor tinha chegado ao topo da escada. “
Enquanto eu desço 1 degrau, ele sobe 2 ”, eu pensei. Quantos
degraus tem a escada ?
Desafio 3.23 Quanto tempo, em segundos, leva um trem de 200
m de comprimento para passar completamente sobre uma ponte
com 100m de comprimento, se o trem está viajando a 60km/h ?
Desafio 3.24 Um velho professor de matemática e um de seus
alunos prediletos se encontram depois de 20 anos. Diante de uma
pergunta simples, o pupilo resolve desafiar o mestre. Acompanhe
o papo e veja se você também consegue descobrir as idades das
filhas do aluno aplicado.
Professor: Eduardo, como vai?
Eduardo: Vou bem. Casei e tenho três filhas.
34
Professor: Que ótimo! Que idade elas têm?
Eduardo: Suas idades, multiplicadas, dão 72. Somadas, o
resultado é igual ao número daquele prédio de apartamento ali
adiante.
Professor: Humm... ainda não consegui descobrir.
Eduardo: Ah, me desculpe. A mais velha acaba de aprender
a tocar piano. Quais são as idades das filhas ?
Desafio 3.25 Em uma eleição, 72% dos candidatos são desones-
tos, 75% são incompetentes e 60% odeiam pobres. Então, qual
a porcentagem mínima de candidatos que, simultaneamente, são
desonestos, incompetentes e odeiam pobres ?
Desafio 3.26 No dia do ano-novo de 1953, A e B se conheceram
numa viagem de trem. No decorrer da conversa, falaram da idade
de cada um. Disse A: Se você somar os 4 algarismos do ano em
que nasci, você saberá a minha idade. Após pensar um pouco, B
cumprimentou A pelo seu aniversário. Em que ano nasceu A ?
35
Desafio 3.27 Num hotel para cães e gatos 10% dos cães julgam
que são gatos e 10% dos gatos julgam que são cães. Após cui-
dadosas observações conclui-se que 20% de todos os hóspedes
pensam que são gatos e que os restantes pensam que são cães. Se
no hotel estão hospedados 10 gatos, quantos são os cães hospe-
dados ?
28) Na divisa de dois países existe uma ponte. Para atravessá-
la a pé são necessários 30 minutos. Porém, para impedir a tra-
vessia, um guarda fiscaliza a ponte de 20 em 20 minutos. Caso
o guarda observe alguém atravessando, obriga a pessoa a voltar.
Mesmo assim uma pessoa conseguiu atravessar sem que o guarda
percebesse. Como foi?
Desafio 3.28 Quando depois de amanhã for ontem, hoje está tão
distante de domingo como hoje esteve de domingo quando ante-
ontem era amanhã. Que dia é hoje ?
36
Desafio 3.29 Eu estou morrendo de fome e quero assar um frango.
Na embalagem, o tempo recomendado para assar é de 15 minu-
tos e eu quero começar a comê-lo em não mais que esse tempo.
Na minha cozinha existem duas ampulhetas, uma de 7 minutos e
outra de 11 minutos. Usando apenas as ampulhetas, como faço
para marcar o tempo exato para assar o frango ?
Desafio 3.30 Ricardo fala a verdade em apenas um dia da se-
mana. Um dia, ele disse: “ Eu minto nas segundas e terças ”. No
dia seguinte, disse: “ Hoje é quinta, sábado ou domingo ”. No
próximo dia, falou: “ Eu minto nas quartas e sextas ”. Em que
dia da semana Ricardo fala a verdade? Em que dia foi feita a
primeira afirmação ?
Desafio 3.31 Sabendo-se que A, B e C são algarismos e que AB+
BA =CAC, então quais os digitos, A, B e C ?
37
Desafio 3.32 Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis
numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas
começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de
cada vez enquanto que a outra subia dois. Ao chegar ao topo,
o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses
dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são
visíveis nessa escada rolante ?
Resp: 42 degraus, esse é um ótimo desafio, não desista, afinal
brasileiro não desiste nunca ...
Desafio 3.33 Temos um tabuleiro de xadrez onde os lados opos-
tos foram retirados de modo que restam apenas 62 quadrados.
Agora pegamos 31 dominós feitos de modo que cada dominó co-
bre exatamente dois quadrados. A pergunta é: Será possível dis-
por os 31 dominós de modo que eles cubram todos os 62 quadra-
dos do tabuleiro?
38
Desafio 3.34 Sejam ABCDE e EDCBA números de 5 algarismos
distintos. Letras iguais, algarismos iguais, letras diferentes alga-rismos diferentes. Se ABCDE × 4 = EDCBA, então descubra os
valores dos algarismos A, B, C, D e E.
39
Capítulo 4
Introdução à Lógica
Vou iniciar tal capítulo com o discurso de John Nash ao receber o
prêmio Nobel no filme UMA MENTE BRILHANTE:
“Eu sempre acreditei em números, em equações
e na lógica que leva à razão.
Mas depois de uma vida em tal busca, eu pergunto: o
que é mesmo a lógica ? quem decide o que é racional
? Tal busca me levou através da física, metafísica,
do delírio e de volta e então, eu fiz a descoberta mais
importante de minha carreira, a descoberta mais im-
portante de minha vida. É somente nas misteriosas
equações do amor que alguma lógica real pode ser
encontrada.”
Estudando a lógica teremos ferramentas para sedimentar nossa
aptidão de raciocínio. Aprenderemos a defender juízos e a criti-
car afirmações que acreditamos serem erradas. Usando a lógica,
fortalecemos as nossas capacidades naturais, sabendo assim de-
40
fender um argumento, uma tese, distinguir os bons dos maus ar-
gumentos.
É através de um discurso organizado e lógico que transmiti-
mos e expressamos aos outros as nossas ideias, crenças, experiên-
cias, teorias e teses. Podemos assim ser a favor e ter argumentos
para defender uma ideia ou refutar, ser contra e mostrar a falta de
fundamento ou coerência de opiniões diferentes das nossas.
Essencialmente a lógica se interessa pela validade dos pensa-
mentos. A lógica é a ciência que estuda as condições de validade
do raciocínio, dos métodos e princípios usados para distinguir um
raciocínio correto de um raciocínio incorreto.
O famoso detetive Sherlock Holmes ganhou fama ao se valer
da metodologia científica e da lógica dedutiva. Ele partia das
causas para compreender os efeitos, e assim chega à conclusão
mais acertada sobre certas proposições.
Elementar, meu caro leitor ?!
4.1 Proposições e Sentenças
Proposição: Toda oração declarativa que admite um e somente
um dos dois valores lógicos -
V = Verdadeira ou F = Falsa.
Assim, temos que toda proposição é uma frase, mas nem toda
frase é uma proposição, pois se é proposição é uma oração e se
é oração tem verbo, já uma frase necessariamente não precisa ter
verbo.
41
4.2 Princípios Fundamentais
• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE: Uma proposição verda-
deira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa.
• PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposi-
ção não pode ser, ao mesmo tempo, falsa e verdadeira.
• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda propo-
sição ou é verdadeira ou é falsa. Não há outra possibilidade.
Exemplos de proposições:
1. Brasília é a capital do Brasil - É uma oração declarativa ex-
pressa de forma afirmativa. Podemos atribuir um valor ló-
gico, como a oração é verdadeira seu valor lógico é “V”.
2. 7+ 5 = 16 - É uma oração declarativa expressa na forma
afirmativa. Podemos atribuir uma valor lógico, como a sen-
tença é falsa, seu valor lógico é “F”.
Exemplos de não proposições:
1. x− 2 = 5 - Não é proposição, pois não dar pra classificar
tal sentença como verdadeira ou falsa, já que não sabemos
o valor da variável x.
2. Fulano é o melhor jogador de futebol - Não é proposição,
pois não sabemos quem é o tal fulano, e assim, não dar pra
classificar em V ou F.
3. Como você se chama ? - Não é proposição, pois se trata de
uma frase interrogativa, e já sabemos que proposições são
orações declarativas.
42
4. Muito bom! - Não é proposição, pois se trata de uma frase
exclamativa.
5. Essa frase é falsa. - Não é uma proposição, pois para ser
verdadeira teria que ser falsa e se ela for falsa, teria que ser
verdadeira, logo, ela fere o princípio da não-contradição,
dizemos que tal frase é um paradoxo.
Uma proposição é denominada composta quando é formada
pela combinação de duas ou mais proposições simples.
Exemplos:
a: Paulo é inteligente.
b: João gosta de jogar bola.
p: Pedro é estudioso e João é preguiçoso.
s: Se Tiago não ama, então é infeliz.
Temos que as proposições a e b são proposições simples. Já
as proposições p e s, são proposições compostas. Note que nas
proposições p e s existem conectivos lógicos, a saber a conjunção
( e ) e o conectivo se ... então...
OBS: Costumamos representar as proposições por letras mi-
núsculas do nosso alfabeto.
Sentença aberta: É aquela sentença simples cujo resultado
(falso ou verdadeiro) é desconhecido, por conter um elemento in-
definido ou por conter variáveis.
Exemplo: x > 7 é uma sentença aberta, pois não podemos
julgar em verdadeiro ou falso, já que não conhecemos o valor da
variável x.
Podemos usar quantificadores para transformar sentenças aber-
tas em proposições, vamos aos exemplos:
43
p: (∃x/x + 1 = 7), ou seja, a proposição p, diz que existe
algum x, tal que x+1 = 7. Onde o simbolo ∃ representa o quan-
tificador existencial.
q: (∀x,x > 7), a proposição q, diz que para qualquer x, te-
mos x maior que 7. Onde o simbolo ∀ representa o quantificador
universal.
Considere a sentença aberta: x é um número natural múltiplo
de 4. Considere ainda o conjunto universo {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
neste conjunto universo, temos que o conjunto verdade é {4,8},
ou seja, denominamos conjunto universo de uma sentença aberta
ao conjunto formado por todos os valores que a variável pode
assumir. Já o subconjunto formado pelos valores que tornam a
sentença verdadeira, denominamos de conjunto verdade ou con-
junto solução.
44
Capítulo 5
Conectivos e Modificadores
Vamos agora conhecer palavras, termos ou simbolos que usamos
para transformar proposições simples em compostas.
É de costume representarmos as proposições através da tabela
das possibilidades de seus valores lógicos, que a saber é verda-
deiro(V) ou falso(F).
Tal tabela demonimamos, tabela-verdade e vamos conhecer
ela melhor mais adiante.
Agora vamos analisar os valores lógicos de sentenças com-
postas, veremos que pra analisar tais valores, devemos estudar as
proposições componentes e os conectivos que as une.
1) Negação, símbolo (v) ou (¬).
Se uma proposição p for verdadeira a sua negação (v p) será
falsa e se a proposição p for falsa a sua negação (v p) será ver-
dadeira.
Exemplos:
p: Tiago é estudioso.
q: Pedro não é Alagoano.
Assim, temos que:
45
(v p): Tiago não é estudioso.
(v q): Pedro é Alagoano.
Tal ideia vai ser representada pela tabela-verdade abaixo:
p v p
V F
F V
2) Conjunção (“e”), símbolo (∧).
Vamos analisar os valores lógicos da proposição abaixo:
s: Tiago é estudioso e Pedro é matemático.
Temos que a proposição s é composta de duas proposições
simples, que vamos chamar uma de p e a outra de q.
p: Tiago é estudioso.
q: Pedro é matemático.
Vamos analisar as possibilidades dos valores lógicos de tais
proposições, basta ver a tabela-verdade abaixo:
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
Pela tabela-verdade, temos que ( p∧q ) só é verdadeira quando
p e q são verdadeiras, se pelo menos uma das proposições for
falsa, então p∧q será falsa.
3) Disjunção (“ou”), símbolo (∨).
Vamos analisar os valores lógicos da proposição abaixo:
s: Tiago é estudioso ou Pedro é matemático.
Temos que a proposição s é composta de duas proposições
46
simples, que vamos chamar uma de p e a outra de q.
p: Tiago é estudioso.
q: Pedro é matemático.
Vamos analisar as possibilidades dos valores lógicos de tais
proposições, basta ver a tabela-verdade abaixo:
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
Assim, pela tabela-verdade, temos que se pelo menos uma
das proposições p ou q for verdadeira, então p∨q é verdadeira.
4) Disjunção Exclusiva (“ou . . . ou . . . ”), símbolo (Y).
Vamos analisar as proposições abaixo:
w: Te darei uma bola ou te darei um celular.
r: ou te darei uma bola ou te darei um celular.
A diferença entre w e r é sutil, mas é importante. Na proposi-
ção r, temos a presença de dois conectivos “ou”, diremos que tal
construção é uma disjunção exclusiva.
Vamos a tabela-verdade da proposição r:
p q pYq
V V F
V F V
F V V
F F F
⇐⇒
p q ou p ou q
V V F
V F V
F V V
F F F
Pela tabela-verdade, temos que se apenas uma das proposi-
ções p ou q for verdadeira, pY q será verdadeira, ou seja, ambas
nunca poderãoser, ao mesmo tempo verdadeiras; ambas nunca
47
poderão ser, ao mesmo tempo falsas.
5) Condicional (“ Se x então y ”), símbolo: x→ y.
Vamos analisar a proposição composta abaixo:
s: Se eu nascir em Maceió, então sou Alagoano.
Agora pense e me responda, qual é a única maneira da pro-
posição s ser falsa, qual é a única maneira dessa condicional ser
incorreta ?
Veja que a estrutura da proposição s é do tipo se .... então
....,assim temos duas partes, a que vem depois do se e antes do
então e a parte que vem depois do então. Tais partes vamos de-
nominar respectivamente de hipótese e tese, assim na proposição
s, temos que nascir em Maceió é a hipótese e ser Alagoano é a
tese, ou seja, hipótese vai ser tudo que consideramos verdadeiro
e a tese vai ser o que queremos provar. Vamos separar as propo-
sições componentes de s, vamos analisar a seguinte estrutura: se
p então q.
p: Nascir em Maceió.
q: Sou Alagoano.
É por tal estrutura que os matemáticos estão interessados em
estudar, não teria sentido prático estudar a proposição s no caso
em que o valor lógico de p é falso.
Dito isso, temos que a única maneira de s ser falsa é se q for
falsa, ou seja, a proposição abaixo seria falsa:
Se nascir em Maceió, então sou Carioca.
Ou seja, se é verdade que eu nascir em Maceió, então neces-
sariamente é verdade que sou Alagoano.
Perceba que o fato de eu ter nascido em Maceió é condição
suficiente ( basta isso ) para que se torne um resultado necessário
que eu seja Alagoano, ou seja, uma condição suficiente gera um
resultado necessário.
Causa −→ Consequência
48
Vamos a mais um exemplo, se alguém disser que Paulo ser
rico é condição suficiente para Tiago ser jogador, então podemos
reescrever essa proposição usando a estrutura da condicional, ou
seja:
Se Paulo for rico, então Tiago é jogador.
Vamos a mais um exemplo:
Se o pássaro canta então está vivo. Agora outras maneiras
equivalentes de dizer o mesmo:
1) O pássaro cantar é condição suficiente para ele estar vivo.
2) O pássaro estar vivo é condição necessária para ele cantar,
ou seja é necessario que o pássaro esteja vivo para que ele possa
cantar.
Na proposição se p então q, denominaremos p de antece-
dente e q de consequente, vimos também que no ambiente ma-
temático p é a hipótese e q é a tese.
Vamos a tabela-verdade da condicional p→ q.
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Vamos analisar mais um pouco os valores lógicos da tabela-
verdade da condicional, os valores lógicos da primeira linha da
tabela já analisamos, assim como já analisamos os valores lógicos
da segunda linha, vamos analisar os valores da terceira linha e da
quarta linha, para isso vamos pegar as proposições abaixo:
1) Se você é o dono da coca-cola, então eu sou o super man.
2) Se 1 = 2, então a lua é de queijo.
Tais exemplos mostram que se o antecedente for falso, a con-
49
dicional se ... então... é verdadeira, ou seja, partindo de algo
falso, consequentemente teremos algo verdadeiro.
As expressões abaixo podem ser empregadas como equiva-
lentes da condicional se p então q.
• Se A, B.
• B, se A.
• Quando A, B.
• A implica B
• A é condição suficiente para B.
• B é condição necessária para A
• A somente se B.
• Todo A é B.
6) Proposição Bicondicional: ( p se e somente se q ), sím-
bolo (p↔ q).
A bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais,
para entender basta analisar a proposição abaixo:
4 é par, se e somente se, o açucar for doce. Estamos diante
de uma proposição composta e temos que ela é equivalente a se-
guinte proposição:
Se 4 é par, então o açucar é doce e se o açucar é doce, então 4
é par, ou seja a condição de “ ida ” e a condição de “ volta ” são
válidas.
Assim, a bicondicional (p↔ q) é equivalente a (p→ q)∧
(q→ p). De fato, basta analisar a tabela-verdade abaixo:
50
p q p→ q q→ p (p→ q)∧ (q→ p) p↔ q
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
Pela tabela-verdade, temos que , então a bicondicional será
falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições
que a compõem forem diferentes, isto é, haverá duas situações
em que a bicondicional será verdadeira: quando o antecedente e
conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos
falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa.
São também equivalentes à bicondicional “ p se e somente se
q ” as seguintes expressões:
• A se e só se B.
• Se A então B e se B então A.
• A somente se B e B somente se A.
• A é condição suficiente para B e B é condição suficiente
para A.
• B é condição necessária para A e A é condição necessária
para B.
• Todo A é B e todo B é A.
• Todo A é B e reciprocamente.
De sorte que em questões de prova, a bicondicional apareci no
formato tradicional: “ p se e somente se q ”.
Usando a tabela verdade vamos mostrar que:
51
p→ q⇔∼ q→∼ p , ou seja, mostrar que a condicional
(p→ q) é equivalente a contra-recíproca ( ou contra positiva )
∼ q→∼ p. De fato, basta analisar a tabela-verdade:
p q ∼ p ∼ q p→ q ∼ q→∼ p
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
52
Capítulo 6
Negação de proposições
No capítulo anterior, vimos que o primeiro tópico dos conecti-
vos abordados foi a “ negação ”. Vamos agora apronfundar um
pouco e entender melhor como negar proposições compostas e
as proposições categoricas.
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS: São proposições em que
existe uma relação entre atributos que denotam conjuntos com as
próprias proposições, isto é, são proposições formadas com os ter-
mos todo, algum e nenhum. Temos as seguintes formas ( mais
comuns ):
1. Todo A é B.
2. Nenhum A é B.
3. Algum A é B.
4. Algum A não é B.
Qual seria a negação das proposições abaixo:
53
i) Todo A é B.
ii) Algum A é B.
Com ajuda dos diagramas abaixo, ficará fácil analisar tais pro-
posições, então vamos aos diagramas:
No caso da primeira proposição, temos que os diagramas 3)
e 4) são válidos. Assim, temos duas possibilidades para o item
i), mas de modo geral na resolusão de questões, o que vamos ver
adiante, quando se falar da estrutura equivalente ao item i), vamos
usar o diagrama 3.
Já no caso da segunda proposição, temos que as 4 possibilida-
des são válidas, mas na resolução de questões, vamos usar apenas
a primeira possibilidade.
Agora acho que ficou fácil fazer a negação das proposições i)
e ii).
Então, temos que o valor lógico de i) é verdadeiro, assim
como o valor lógico de ii), o que devemos fazer para que o va-
lor lógico de i) e de ii) sejam falsos ?
p: Todo A é B, então (∼ p): Algum A não é B.
s: Algum A é B, então (∼ s): Nenhum A é B.
54
Temos também que algum A não é B é o mesmo que pelo
menos um A não é B.
Ou seja, em resumo temos: Universal←→ Particular
1) Negação de uma Proposição Conjuntiva: ∼(p e q).
A negação de tal estrutura é feita usando o fato de que
∼ (p∧q)⇔ (∼ p ∨ ∼ q) , fato que iremos demonstrar, para
isso vamos usar a tabela-verdade:
p q ∼ p ∼ q p ∧ q ∼ (p∧q) ∼ p ∨ ∼ q
V V F F V F F
V F F V F V V
F V V F F V V
F F V V F V V
Observe que os valores lógicos da coluna de ∼ (p∧ q) são os
mesmos que os da coluna de ∼ p ∨ ∼ q, como queriamos provar.
Questões clássicas de concursos, são do tipo, dito que: “ Não
é verdade que Tiago é médico e Pedro é estudante ”e pedirá que
encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja
logicamente equivalente a tal proposição. Assim temos um pro-
posição conjuntiva , vamos analisar suas componentes:
p: Tiago é médico.
q: Pedro é estudante.
55
Então queremos a negação de ( p e q ), pela tabela-verdade
acima, basta negar p, depois negar q e trocar o conectivo e, pelo
conectivo ou, ou seja, a proposição equivalente, seria:
Tiago não é médico ou Pedro não é estudante.
2) Negação de uma Proposição Disjuntiva: ∼ (p ou q).
Como exercício, use a tabela-verdade e mostre que:
∼ (p∨q)⇔∼ p ∧ ∼ q
3) Negação de uma Proposição Condicional:
∼ (p→ q).
Como exercício, use a tabela-verdade e mostre que:
∼ (p→ q)⇔ p ∧ ∼ q
(TRT-PR 2004/FCC) Sabe-se que existem pessoas desones-
tas e que existem corruptos.
Admitindo-se verdadeira a frase “ Todos os corruptos são de-
sonestos”, é correto concluir que:
A) Quem não é corrupto é honesto.
B) Existem corruptos honestos.
C) Alguns honestos podem ser corruptos.
D) Existem mais corruptos do que desonestos.
E) Existem desonestos que são corruptos.
Solução: Para resolver tal questão, vamos analisar o dia-
grama abaixo, lembre-se, sempre que possível, fazer um desenho
ou esquema que simplifique a questão.
56
Vamos analisar cada opção, começando pela letra A), temos:
A) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não
são corruptas e que são desonestas.
B) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto.
C) Esta alternativa é falsa, pois se é honesto, não tem como
ser corrupto.
D) Esta alternativa é falsa, nem precisa comentário.
Assim, por eliminação, concluimos que a opção correta cor-
responde a letra E).
4) Negação da Bicondicional, mostre que:
∼ (p↔ q)⇔ [(p ∧ ∼ q)∨ (q ∧ ∼ p)]
(SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, tam-
bém, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de
história. Todos os alunos de português são também alunos de in-
formática, e alguns alunos de informática são também alunos de
história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e
como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
A) Pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
57
B) Pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
C) Nenhum aluno de português é aluno de matemática.
D) Todos os alunos de informática são alunos de matemática.
E) Todos os alunos de informática são alunos de português.
Solução: Pelo enunciado temos as seguintes proposições ca-
tegóricas:
1. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de
inglês.
2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história.
3. Todos os alunos de português são também alunos de infor-
mática.
4. Alguns alunos de informática são também alunos de histó-
ria.
5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês.
6. Nenhum aluno de português é aluno de história.
Pela questão conseguimos desenhar os diagramas abaixo, o
qual revela facilmente a opção correta.
Testando e analisando as opções, chegaremos a alternativa C.
58
Capítulo 7
Argumentos
Vamos agora estudar sobre argumentos, silogismos e falacias no
mundo lógico e matemático.
Argumento (definição): Um argumento é uma sequência de
proposições. Todas as proposições, exceto a última, são chama-
das de premissas ou suposições ou hipóteses. A última afirmação
é chamada de conclusão. Daí, um argumento é dito válido quando
consideramos as premissas verdadeiras e concluimos obrigatoria-
mente que a conclusão é verdadeira.
Silogismo é um caso particular de argumento, onde temos 3
proposições, duas premissas e uma conclusão.
Vamos analisar os seguintes argumentos:
p1: Todo homem é um animal.
p2: Pedro é um animal.
Conclusão: Pedro é um homem.
Então considerando p1 e p2 verdadeiras, será que obrigatoria-
mente temos que Pedro é um homem ?
Vamos desenhar um diagrama e assim facilitar nosso trabalho:
59
Pelo diagrama, temos um elemento x que é um animal, mas
necessariamente não é homem, assim, tal argumento não é válido,
em particular, como temos apenas 3 proposição, então diremos
que tal estrutura não é um silogismo. Ou seja, podemos dizer
que tal estrutura se trata de uma falácia, isto é, um argumento
logicamente inconsistente, sem fundamento, inválido.
Usando o mesmo diagrama, vamos concluir que a estrutura
que segue é um silogismo.
p1: Todo homem é um animal.
p2: Pedro é um homem.
Conclusão: Pedro é um animal.
Vamos julgar se o argumento que segue é válido ou não, va-
mos a ele:
p1: Se trabalho não posso estudar.
p2: Trabalho ou serei aprovado em matemática.
p3: Trabalhei.
Conclusão: Fui aprovado em matemática.
Solução: Fazendo T = Trabalho, E = Estudar, A = Aprovado
em matemática, podemos resumir o argumento pelo seguinte es-
quema:
60
p1: T→∼ E (V)
p2: T ∨ A (V)
p3: T (V)
Conclusão: A
Por p3, temos que T é verdade, e como por p1 a condicional
T→∼ E é verdadeira, então ∼ E é obrigatoriamente verdadeira,
por outro lado temos que como T é verdadeira e a disjunção T ∨
A é verdadeira, então temos que A pode ser verdadeira ou falso,
assim, tal argumento é inválido.
61
Capítulo 8
Tautologias, Contradições e
Contigências
Vamos agora conhecer outras definições do mundo lógico.
Tautologia ( definição ): É uma proposição cujo valor lógico é
sempre verdadeiro.
Vamos ao exemplo clássico, veja a tabela-verdade que segue:
p ∼ p p ∨ ∼ p
V F V
F V V
Assim, pela tabela-verdade temos que a proposição com-
posta p ∨ ∼ p é uma tautologia.
Contradição ( definição ): é uma proposição cujo valor lógico
é sempre falso.
Veja a tabela-verdade que segue:
62
p ∼ p p ∧ ∼ p
V F F
F V F
Assim, a proposição p ∧∼ p é uma contradição, quando uma
proposição não é tautológica e não contraditória, dizemos que ela
é uma contingência ou proposição indeterminada.
Vamos resolver mais uma questão de concurso, vamos a ela.
( Agente de Fiscalização de Trânsito de Maceió - 2012 ) Dada
as seguinte proposições,
i) ∼ (P↔ (P→ Q))∨ (R→ Q);
ii) (∼ P→∼ Q)↔ ((P∨R)∧Q);
iii) (P∧Q→ R)→ (∼ P→ Q);
e admitindo que os valores lógicos das proposições P, Q e R são,
respectivamente, F, F, V (V, se verdadeiro; F, se falso), quais os
valores lógicos das proposições i), ii) e iii), respectivamente?
A) V V V.
B) V F F.
C) F V F.
D) V F V.
E) F F F.
Solução:
Vamos construir a tabela-verdade de tal estrutura e fazer a
análise devida.
63
Veja que para fazer a análise da proposição i), foi preciso conhe-
cer a tabela-verdade da condicional, bicondicional, negação e da
disjunção ( ou ), já nas proposições ii) e iii) vamos precisar tam-
bém conhecer a tabela-verdade da conjunção ( e ).
Vamos a tabela-verdade da proposição ii), segundo o enun-
ciado temos:
Vamos a tabela-verdade da proposição iii).
Assim, chegamos a letra B).
( Agente de Fiscalização de Trânsito de Maceió - 2012 ) Con-
sidere as seguintes premissas.
I. Os cavalos são velozes.
II. Animais velozes são desprezados.
III. Quem sabe comer um peixe não é desprezado.
Assinale a única opção que não é uma consequência lógica
das premissas apresentadas.
A) Cavalos não sabem comer peixes.
B) Animais desprezados são velozes.
C) Animais desprezados não sabem comer peixes.
64
D) Animais velozes não sabem comer peixes.
E) Cavalos são desprezados.
Dica para solução, veja o capítulo sobre argumentos e use os
diagramas de Veen para representar as proposições e assim chegar
facilmente na letra B).
Como citação, vou apresentar alguns problemas lógicos, tira-
dos do livro “ explorando o ensino da matemática ”, são histórias
bem interessantes para motivar o estudo da lógica, tais histórias
são referentes às aventuras de Alice. Antes de ver a solução, tende
resolver os problemas, agora vamos a eles.
Exercício 1: Uma Aventura de Alice:
Alice, ao entrar na floresta, perdeu a noção dos
dias da semana. O Leão e o Unicórnio eram duas es-
tranhas criaturas que freqüentavam a floresta. O Leão
mentia às segundas, terças e quartas-feiras, e falava
a verdade nos outros dias da semana. O Unicórnio
mentia às quintas, sextas e sábados, mas falava a ver-
dade nos outros dias da semana.
Problema 1:
Um dia Alice encontrou o Leão e o Unicórnio
descansando à sombra de uma árvore. Eles disseram:
Leão: Ontem foi um dos meus dias de mentir.
Unicórnio: Ontem foi um dos meus dias de men-
tir.
A partir dessas afirmações, Alice descobriu qual
era o dia da semana. Qual era?
Problema 2:
65
Em outra ocasião Alice encontrou o Leão sozi-
nho. Ele fez as seguintes afirmações:
1) Eu menti ontem.
2) Eu mentirei daqui a 3 dias.
Qual era o dia da semana ?
Problema 3:
Em qual dia da semana é possível o Leão fazer as
seguintes afirmações?
1) Eu menti ontem.
2) Eu mentirei amanhã.
Problema 4:
Em que dias da semana é possível o Leão fazer
cada uma das seguintes afirmações:
(a) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã.
(b) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã.
(c) Se menti ontem, então mentirei de novo ama-
nhã.
(d) Menti ontem se, e somente se mentiramanhã.
Vamos a solução:
Problema 1:
- Pela resposta do Leão, pode ser 2a ou 5a.
- Pela resposta do Unicórnio, pode ser 5a ou do-
mingo. Portanto, como os dois se referiam a um
mesmo dia da semana, este era quinta-feira.
Problema 2:
66
- Por (1), o dia poderia ser 2a ou 5a.
- Por (2), como o Leão mentirá 3 dias depois de
hoje, hoje pode ser 2a, 3a, 4a, 6a, sábado, domingo.
Logo, o dia da semana era segunda-feira.
Problema 3
- A afirmação (1) pode ser feita 2a ou 5a.
- A afirmação (2) pode ser feita 4a e domingo.
Portanto, não existe um dia na semana em que
seja possível o Leão fazer as duas afirmações.
Problema 4
(a) Esta afirmação (que é uma conjunção) é uma
mentira quando alguma das suas componentes for falsa,
logo, como mentira, o Leão pode afirmá-la 2a ou 4a.
Por outro lado, ela será verdadeira somente quando
suas duas componentes o forem, logo o Leão não po-
derá afirmá-la em nenhum dia em que fala a verdade.
Resposta
2a ou 4a (compare este exercício com o Problema
3 e explique por que eles são diferentes).
(b) Esta afirmação (que é uma disjunção) é men-
tirosa quando as suas duas componentes forem falsas,
logo o Leão não poderá afirmá-la nos dias em que
mente. Por outro lado, ela será verdadeira quando
pelo menos uma das suas componentes o for, assim o
Leão poderá afirmá-la na 5a ou no domingo.
Resposta
5a ou domingo.
(c) Esta afirmação (que é uma implicação), com-
posta de duas outras, só é falsa quando, sendo a pri-
meira (premissa) verdadeira, a segunda (conclusão)
67
for falsa. Logo, o Leão poderá fazer uma afirmação
mentirosa somente na 4a (na 2a e na 3a a afirmação
é verdadeira ? convença-se). Pelo mesmo motivo
acima o Leão não poderá fazê-la na 5a, dia em que
fala a verdade. Nos demais dias de verdade ele po-
derá fazê-la (6a, sábado e domingo), já que, a pre-
missa sendo falsa, a implicação é verdadeira (pense
nisso!). Resposta: 4a, 6a, sábado ou domingo.
d) Esta afirmação (que é uma equivalência) é ver-
dadeira quando suas duas componentes forem verda-
deiras ou quando forem as duas falsas. Assim, ela é
uma mentira, dentre os dias em que o Leão mente,
somente na 2a ou na 4a. Dentre os dias em que ele
fala a verdade, ele poderá dizê-la somente na 6a ou
no sábado.
Resposta
2a, 4a, 6a ou sábado.
Existem vários livros ou revistas que contêm pro-
blemas do tipo “charada lógica”. Na bibliografia cita-
mos alguns. Estes problemas podem ser usados aqui
ou ali para chamar a atenção de alguns tipos mais co-
muns de “falha de lógica” num raciocínio, como por
exemplo:
Exercício 2
Leia as seguintes afirmações:
(1) Se um político tem muito dinheiro, então ele
pode ganhar as eleições.
(2) Se um político não tem muito dinheiro, então
ele não pode ganhar as eleições.
(3) Se um político pode ganhar as eleições, então
68
ele tem muito dinheiro.
(4) Se um político não pode ganhar as eleições,
então ele não tem muito dinheiro.
(5) Um político não pode ganhar as eleições se
ele não tem muito dinheiro.
Responda então:
(a) Assumindo que (1) é verdadeiro, quais das ou-
tras afirmações são verdadeiras?
(b) Qual é a negação de (1)? E a sua recíproca? E
a sua contrapositiva ( contra-recíproca )?
(c) Mesmas perguntas para (5).
Resolução:
(a) Sendo (1) verdadeiro, não se pode saber nada
sobre a veracidade de (2), (3) ou (5) (observe que (2)
e (5) afirmam a mesma coisa). A única que é verda-
deira como decorrência de (1) é a afirmação (4).
(b) A proposição (1) é do tipo P→ Q, isto é, ela
segue a estrutura Se... Então..., e queremos ∼ (P→
Q).
Como já sabemos que ∼ (P→ Q) = P∧ ∼ Q .
Agora ficou fácil, ou não ?
- A negação de (1) é:
“ Um político tem muito dinheiro e não pode ga-
nhar as eleições ”.
A recíproca de (1) é (3).
- A contrapositiva de (1) é (4).
(c) Sendo (5) verdadeira, (2), que é a mesma afir-
mação com outra maneira de escrever, também será
obrigatoriamente verdadeira. Também (3), que é a
69
contrapositiva de (2), será obrigatoriamente verda-
deira. Nada se pode afirmar sobre a veracidade de
(1) ou (4).
- A negação de (5) é:
“ Um político pode ganhar as eleições e não ter
muito dinheiro ”.
- A recíproca de (5) é (4).
- A contrapositiva de (5) é (3).
Exercício 3:
Decida quais das afirmações são válidas.
(a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pás-
saros são amarelos, logo nenhum pássaro é um giras-
sol.
(b) Alguns livros são verdes e algumas coisas ver-
des são comestíveis. Concluímos que alguns livros
são comestíveis.
(c) Como todos os peixes são mamíferos, todos os
mamíferos são aves e existem minerais que são pei-
xes, concluímos que existem minerais que são aves.
(d) Todos os homens são mortais. O presidente é
um homem. Conclusão: O presidente é mortal.
(e) Alguns homens sabem nadar. Não existem
peixes que não sabem nadar. Conclusão: Os peixes
sabem nadar.
(f) Alguns santistas são surfistas. Alguns surfistas
são loiros. Não existem professores surfistas.
Conclusões:
(1) Alguns santistas são loiros.
(2) Alguns professores são santistas.
(3) Alguns loiros são professores.
70
(4) Existem professores loiros.
Neste exercício os diagramas de Venn podem ser
utilizados, como a seguir:
(a) Algumas configurações possíveis para as pre-
missas do enunciado.
Análise as confuguração e veja que existe no mí-
nimo uma configuração que torna a premissa verda-
deira e a conclusão falsa. Assim, podemos concluir
que a afirmação não é válida.
(b) Algumas configurações possíveis para as pre-
missas do enunciado:
A configuração (2) nos permite concluir que a
71
afirmação não é válida.
Todos aqueles minerais que forem peixes, pelo
diagrama são necessariamente aves, logo a conclu-
são é decorrente das premissas e a afirmação é vá-
lida, apesar de poder haver outros diagramas cabíveis
com a descrição das premissas ? por exemplo, algum
que não deixe nenhum mineral ser mamífero sem ser
peixe. (Esboce um assim.) Esta afirmação é chamada
silogismo. O mais famoso deles, deixado por Aris-
tóteles, falava de Sócrates, ao invés do presidente. E
claramente válido.
(e )Esta afirmação é válida pois a conclusão é
equivalente a uma das premissas.
(f) Alguns diagramas possíveis para as premissas
do enunciado.
Bastam estes dois diagramas para vermos que ne-
72
nhuma das quatro conclusões é válida com base nas
premissas. Isso não impede que existam configura-
ções em que todas as quatro sejam verdadeiras (faça
exemplos de tais configurações onde todas as pre-
missas sejam verdadeiras e as conclusões também).
Mas para que uma implicação genérica deste tipo seja
válida, não é possível que possamos exibir contra-
exemplos como os acima. Uma afirmação destas só
é válida quando for verdadeira em todos os modelos
possíveis nos quais as premissas são verdadeiras.
Logo abaixo segue um dos problemas tirado do livro Malba
Tahan - O Homem que Calculava, farei uma citação do pro-
blema, o qual também encontra-se no livro “ explorando o ensino
da matemática vol 1 ”.
O Problema se refere a 5 escravas de um poderoso
califa. Três delas têm olhos azuis e nunca falam a
verdade.
As outras duas tem olhos negros e só dizem a ver-
dade. As escravas se apresentaram com os rostos co-
bertos por véus e Beremiz foi desafiado a determinar
a cor dos olhos de cada uma, tendo o direito a fazer
três perguntas, não mais do que uma pergunta a cada
escrava. Para facilitar as referências, chamaremos as
5 escravas A, B, C, D e E.
Beremiz ( O homem que calculava ) começou per-
guntando à escrava A: “ Qual a cor dos seus olhos ? ”
Para seu desespero, ela respondeu em chinês, língua
que ele não entendia, por isso protestou. Seu protesto
73
não foi aceito, mas ficou decidido que as respostas se-
guintes seriam em árabe. Em seguida, ele perguntou
à B:
“ Qual foi a resposta que A me deu? ” B respon-
deu:
“ Que seus olhos eram azuis ”.
Finalmente, Beremiz perguntou à C:
“ Quais as cores dos olhos de A e B ? ”
A resposta de C foi: “ A tem olhos pretos e B tem
olhos azuis ”. Neste ponto, o homem que calculava
concluiu.
“ A tem olhos pretos, B azuis, C pretos, D azuis e
E azuis. Acertoue todos ficaram maravilhados ”.
Explicação para a dedução de Beremiz: Em pri-
meiro lugar, se perguntarmos a qualquer das cinco
escravas qual a cor dos seus olhos, sua resposta só po-
derá ser “ negros ”, tenha ela olhos azuis ou negros,
pois na primeira hipótese ela mentirá e na segunda
dirá a verdade. Logo, B mentiu e portanto seus olhos
são azuis. Como C disse que os olhos de B eram
azuis, C falou a verdade, logo seus olhos são negros.
Também porque C fala a verdade, os olhos de A são
negros. Como somente duas escravas tem olhos ne-
gros, segue-se que os olhos de D e E são azuis.
Para mais questões, visite o link 1.
1www.universodalogica.blogspot.com
74
Capítulo 9
Conjuntos
Conjunto é um conceito primitivo e assim sendo não vamos de-
finir, vamos relembrar alguns conjuntos numéricos fundamentais.
1) Conjunto dos Naturais.
N= {0,1,2,3, · · ·}
2) Conjunto dos Inteiros.
Z= {· · · ,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · ·}
3) Conjunto dos Racionais.
Q= {x;x = p
q
,com p ∈ Z,q ∈ Z e q 6= 0}.
Isto é, um número racional é aquele que pode ser escrito como
uma fração na forma
p
q
, onde p e q são inteiros, com o denomi-
nador diferente de zero.
Lembre-se do mandamento matemático: Nunca dividirás
por zero.
Nota: Toda dízima periódica é um número racional, isto é,
sempre é possivel escrever uma dízima na forma de fração.
Subconjunto ( definição ): Se todo elemento de um conjunto A
pertence a um conjunto B, então diremos que A é subconjunto de
75
B, isto é, A está contido em B, ou B contém A e denotaremos por
A ⊂ B. O diagrama que segue representa tal estrutura, já vimos
ela nos tópicos de lógica, lembras ?
Observações:
• Todo conjunto é subconjunto de si próprio, isto é, ( A ⊂ A
).
• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, isto
é, ( �⊂ A )
• Se um conjunto A possui n elementos, então ele possui 2n
subconjuntos.
• Um subconjunto de A é também denominado parte de A.
• N⊂ Z⊂Q
4) Conjuntos dos Irracionais, que denotaremos por I, são
os números que não são racionais, isto é, os que não podem ser
escritos como fração. Vamos a alguns exemplos:
•
√
2.
• π ( Razão entre o comprimento de qualquer circunferência
e o seu diâmetro )
76
5) Conjunto dos Reais.
R= {x; x é racional ou x é irracional}
Assim, temos que:
• N⊂ Z⊂Q⊂ R.
• I ⊂ R, isto é, o conjunto dos irracionais está contido nos
conjuntos dos números reais.
9.0.1 Operações com Conjuntos
União de Conjuntos, simbolo: (∪): Dados dois conjuntos A e B,
definiremos A união B, por:
A∪B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}. Isto é, A∪B, é o conjunto de todos
os elementos que pertencem a A ou a B, veja que pelo estudo da
lógica, quando dizemos A ou B, significa que são os elementos
que pertencem apenas a A, os que pertecentem só a B e os que
pertencem a ambos os conjuntos.
Por xemplo, se x.y = 0, então temos que x = 0 ou y = 0, isto
é, ou x = 0 e y 6= 0, ou y = 0 e x 6= 0, ou ainda x = 0 e y = 0.
Interseção de Conjuntos , simbolo: (∩): Dados dois conjuntos A
e B, definiremos A intersecção B, por: A∩B = {x; x ∈ A e x ∈ B}.
Isto é, os elementos comuns aos conjuntos A e B.
Diferença de Conjuntos: A−B = {x; x ∈ A e x 6∈ B}. Isto é,
dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou dife-
rença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que
não pertencem a B.
Complementar de um conjunto: Trata-se de um caso particular
da diferença entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos A e B,
77
com a condição de que B⊂ A , a diferença A−B chama-se, neste
caso, complementar de B em relação a A. Vamos usar a seguinte
notação A para o complementar de A
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A
seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhe-
cido com cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A∩B por
n(A∩B) e o número de elementos da união A∪B por n(A∪B) ,
podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B) . Tal fórmula é simples de
ser demonstrada, assim não precisamos nos preocupar com ela,
com a prática, ela ficará fixada em nossas mentes.
Vamos resolver algumas questões usando as ideias de con-
junto, vamos as questões abaixo:
1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa
que:
i) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
ii) quando chove de manhã não chove à tarde;
iii) houve 5 tardes sem chuva;
iv) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
78
Solução:
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o
conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M e T os
conjuntos complementares de M e T respectivamente, teremos:
• n(T ) = 5. (cinco tardes sem chuva)
• n(M) = 6. (seis manhãs sem chuva)
• n(M∩T ) = 0. (pois quando chove pela manhã, não chove
à tarde)
Assim, temos que:
n(M∪T ) = n(M)+ n(T )− n(M∩T )⇔ 7 = n(M)+ n(T )−
0⇒ n(M)+n(T ) = 7. Por outro lado temos que n(M)+n(T ) =
5+6 = 11. Então ficamos com o seguinte sistema:{
n(M)+n(T ) = 11
n(M)+N(T ) = 7
Somando as equações do sistema membro a membro, temos que
n(M)+n(M)+n(T )+n(T ) = 11+7 = 18.
Observe que n(M)+n(M) = total dos dias de férias = n. As-
sim, como n(T )+ n(T ) = total dos dias de férias = n. Portanto
fazendo as devidas substituições, temos que n+ n = 18⇒ 2n =
18⇒ n = 18
2
= 9. O que corresponde a letra B).
2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B,
entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam
de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e
B;
79
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A
nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos
dois produtos é igual a:
A) 48
B) 35
C) 36
D) 47
E) 37
Solução: Desenhando um diagrama e fazendo as devidas aná-
lises, temos:
Pelo diagrama de Venn ( diagrama acima ) e do enunciado,
temos que:
i) x+ y+ z+w = 52 ;
ii) y+ z = 4y ;
iii) y+ z = 2.(x+ y) ;
iv) y+ z =
w
2
;
80
De ii) temos que z= 4y−y= 3y, substituindo ii) em iii) temos
que y+3y = 2x+2y⇒
4y−2y = 2x⇒ 2y = 2x⇒ y = x. De iv) temos que w = 2y+2z,
mas como z = 3y, então
w = 2y+2.(3y) = 2y+6y = 8y.
Agora, vamos fazer as devidas substituições em i), deixando i)
em função apenas de y. Assim, teremos que i) vai ser y+y+3y+
8y = 52⇒ 13y = 52⇒ y = 52
13
= 4. Assim, temos que z = 3.4 =
12, x= 4, w= 8.y= 8.4= 32, O problema pede para determinar o
número de pessoas que não gostam dos produtos A e B. Observe
que o conectivo e indica que devemos excluir os elementos da
interseção A∩B. Assim, desejamos saber o valor de w+ x+ z =
32+4+12 = 48, chegamos assim a letra A).
3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16
visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes,
5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também
São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São
Paulo foi:
A) 29
B) 24
C) 11
D) 8
E) 5
Faça as contas e chegue na letra A).
4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que
uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um
famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
81
A) Século XIX.
B) Século XX .
C) Antes de 1860.
D) Depois de 1830.
E) N.D.A
Solução:
As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir
por uma delas, inicialmente.
A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois implicaria -
pelo enunciado - que o escritor nem teria nascido!
A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois implicaria
concluir-se pelos séculos XIX ou XX e, pelo enunciado, só existe
uma alternativa verdadeira.
Por exclusão, chegamos a letra C). Essa questão é ótima,
pois ela mostra que tendo um pouco de conhecimento de lógica,
podemos resolver questões de outras áreas, sem conhecer a mate-
ria, usando apenas o conhecimento lógico.
5) Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-
se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7
comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não co-
meramnenhuma ? ( Faça as contas e chegue na letra A)).
A) 1.
B) 2.
C) 3.
82
D) 4.
6) (FCC - 2010) Numa pesquisa respondida por todos os fun-
cionários de uma empresa, 75% declararam praticar exercícios fí-
sicos regularmente, 68% disseram que fazem todos os exames de
rotina recomendados pelos médicos e 17% informaram que não
possuem nenhum dos dois hábitos. Em relação ao total, os fun-
cionários desta empresa que afirmaram que praticam exercícios
físicos regularmente e fazem todos os exames de rotina recomen-
dados pelos médicos representam:
(A) 43% (B) 60% (C) 68% (D) 83% (E)
100%
Solução: A estrutura desse problema é clássica, vamos ana-
lisar o diagrama abaixo, uma vez lido e entendido o problema,
temos o que se segue:
Onde EF representa os que praticam exercícos físicos regular-
mente e ER os que fazem exames de rotina, assim pelo diagrama
temos que (75− x)+ x+(68− x) = 100−17, como todos os va-
lores estão em percentagem, deixaremos para inserir o símbolo
no final, dito isso, basta resolver a equação, no primeiro membro
( lado esquerdo ) temos (143− x) e no segundo temos 83, assim
temos que 143− x = 83⇒ 143− 83 = x⇒ x = 60. Chegamos
assim a letra B).
83
Capítulo 10
Probabilidade
Vamos aproveitar e estudar um pouco sobre probabilidade e va-
mos tentar ligar os conceitos de lógica e conjuntos a esse mundo
probabilístico.
ESPAÇO AMOSTRAL : É o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório ( ao acaso ). Vamos usar a
letra S para representar o espaço amostral.
Exemplo, no lançamento de uma moeda temos apenas 2 pos-
sibilidades, isto é, podemos ter cara ou coroa, assim,
S = {cara ou coroa}.
Chamaremos de evento, qualquer subconjunto do espaço amos-
tral.
Assim, por exemplo no lançamento de um dado, o evento
ocorrência de um número ímpar é {1,3,5}.
Eventos Mutuamente Exclusivos:
Dois eventos são mutuamente exclusivos, quando não pos-
suem elemento em comum.
84
Probabilidade:
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável
quando seus eventos elementares tem probabilidades iguais de
ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a pro-
babilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
P(A) =
n(A)
n(S)
, isto é, número de casos favoráveis dividido pelo
número de resultados possíveis.
Consequencias da definição:
1) Se A e A são eventos complementares 1, então:
P(A)+P(A) = 1.
A∩A =� e A∪A = S.
2) A probabilidade de um evento é sempre um número entre
zero (probabilidade do evento impossível) e 1 (probabilidade do
evento certo).
Isto é, se A é um evento qualquer de S, então: 0 ≤ P(A) ≤ 1
ou 0≤ P(A)≤ 100%.
Probabilidade de A ou B ocorrer:
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabi-
lidade de ocorrer A ou B é dada por:
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
Se A e B são mutuamente exclusivos, então, temos que:
1veja o conceito de complementar que usamos nos conjuntos
85
P(A∪B) = P(A)+P(B).
Exemplo1: Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se
uma bola dessa urna a probabilidade de se obter uma bola verme-
lha é 0,64. Qual a probabilidade de se obter uma bola que não
seja vermelha ?
Solução: Seja A o evento bolas vermelhas e seja A o evento
bolas não vermelhas. Assim, temos que P(A)+P(A) = 1, pelo
enunciado, temos que P(A) = 1?0,64 = 0,36, ou 36%.
Exemplo 2: Uma urna contém cinco bolas vermelhas, três
bolas azuis e quatro bolas brancas. Retira-se ao acaso uma bola
da urna. Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha ou
uma bola azul?
Solução: Temos que nosso espaço amostral é 12, vamos de-
notar o espaço amostral por n(S) = 12. Isto é,
S = {x|x é bola da urna}→ n(S) = 12.
Consideremos dois eventos:
A = {y ∈ S|y é bola vermelha}→ n(A) = 5.
B = {w ∈ S|w é bola azul}→ n(B) = 3.
Como A∩B é vazio, então temos que A e B são mutuamente
exclusivos. Assim, temos que P(A∪B) = P(A)+P(B) =
=
5
12
+
3
12
=
8
12
=
2
3
≈ 0,66 ou 66%.
Exemplo 3 ( Eventos Independentes ): Uma urna contém
exatamente sete bolas: quatro azuis (A) e três vermelhas (V).
Retira-se ao acaso uma bola da urna, registra-se sua cor, e repõe-
se a bola na urna. A seguir, retira-se novamente ao acaso uma
bola da urna e registra-se sua cor. Calcular a probabilidade de:
86
a) Sair uma bola azul e depois uma vermelha;
b) Sairem duas bolas de cores diferentes.
Solução:
a) temos que P(A) =
4
7
e P(V ) =
3
7
, queremos a probabilidade
de obter a sequência A e B, isto é, P(A∩B) = P(A).P(B) = 4
7
.
3
7
=
12
49
≈ 0,24 ou 24%.
b) Temos duas possibilidades, a saber: A e V ou V e A, ou
seja, queremos calcular o valor de P(A∩V ) +P(V ∩A), como
P(A∩V ) = P(A).P(V ) = 4
7
.
3
7
=
12
49
, de modo análogo temos que
P(V ∩A) = 12
49
, assim, temos que P(A∩V )+P(V ∩A) =
=
12
49
+
12
49
=
24
49
≈ 0,48 ou 48%.
87
Capítulo 11
Médias
Vamos agora conhecer as médias aritmética, ponderada, geomé-
trica e harmônica.
Dada a sequência de números positivos, x1,x2, . . . ,xn, denota-
remos Ma = Média Aritmética,
Mg = Média Geometrica e Mh = Média Harmônica.
Assim, temos as seguinte definições:
Ma =
x1 + x2 + . . .+ xn
n
;
Mg = (x1.x2. . . . .xn)
1
n = n
√
x1.x2. . . . .xn
Mh =
n
1
x1
+ 1x2 + . . .+
1
xn
.
Vamos determinar as médias aritmética, geométrica e harmô-
nica dos números 1, 2 e 4.
Solução:
88
Ma =
1+2+4
3
=
7
3
≈ 2,33.
Mg = 3
√
1.2.4 = 3
√
8 = 2.
Mh =
3
1
1 +
1
2 +
1
4
=
3
4
4 +
2
4 +
1
4
=
3
7/4
= 3.
4
7
=
12
7
≈ 1,71.
Veja que 1,71 < 2 < 2,33, de modo geral temos que
Mh≤Mg≤Ma.
(Exemplo de média ponderada ): Numa sala 10 alunos possuem
14 anos, 12 alunos possuem 15 anos e 8 deles 16 anos de idade.
Qual será a idade média dessa turma ?
Solução:
A Média ponderada é um caso particular da média aritmé-
tica, uma média aritmética é definida como ponderada quando é
repetido um ou mais números, essa quantidade de repetição cha-
maremos de peso.
Temos um exemplo de média ponderada, onde a quantidade
de alunos serão os pesos.
Assim, temos que Ma=
10.14+12.15+8.16
10+12+8
=
448
30
≈ 14,93.
Exercício 1: Determine a média geométrica entre dois núme-
ros sabendo que a média aritmética e a média harmônica entre
eles são, respectivamente, iguais a 4 e 9.
Clássico problema de velocidade: Mário, um imprudente
vendedor de filtros de água, costuma acordar cedo e viajar de
carro, da cidade A até a cidade B, com a velocidade média de 120
km/h. Depois de visitar seus clientes e tomar com eles algumas
89
garrafas de cerveja, ele volta de B para A, com a velocidade mé-
dia de 60 km/h. Qual é a velocidade média que Mário desenvolve
no percurso todo?
Solução:
De imediato podemos pensar que a resposta seria a média arit-
mética das velocidades de ida e de volta, o que daria
120+60
2
=
180
2
= 90, isto é, 90 km/h. Mas tal resposta está errada, se não
vejamos. Vamos usar as notações que seguem:
d = a distância entre as cidades A e B;
v1 = velocidade média na ida;
v2 = velocidade média na volta;
t1 = tempo gasto na ida;
t2 = tempo gasto na volta.
Lembrando que Vm =
Distância
Tempo
⇒ d = v.t.
Pelo enunciado temos que d = v1.t1 = v2.t2, como v é a velo-
cidade média no percurso todo, temos que 2d = v.(t1 + t2).
Fazendo as devidas substituições, temos
2d = v.(d/v1+d/v2)⇒ 2d = v.
(
d.v2 +d.v1
v1.v2
)
⇒ 2= v.
(
v2 + v1
v1.v2
)
⇒
2v1.v2 = v(v1 + v2)⇒
v =
2.v1.v2
v1 + v2
. Substituindo os valores v1 = 120 e v2 = 60, temos
v =
2.120.60
120+60
=
2.120.60
180
= 80km/h,
90
isto é, a velocidade média no percurso todo é a média harmônica
das velocidades na ida e na volta.
Problema Clássico das Torneiras: Se uma torneira enche
um tanque em 60 minutos e uma outra torneira enche o mesmo
tanque em 30 minutos, em quanto tempo as duas torneiras juntas
enchem o tanque?
Solução:
Se uma torneira enche o tanque em 60 minutos, então em 1
minuto ela vai encher 1/60 do tanque, já a outra troneira em 1
minuto vai encher 1/30 do tanque, assim juntas vão encher 160 +
1
30 =
30+60
60.30 =
90
1800 =
1
20 .
Isto é, juntas em 1 minuto elas enchem 1/20 do tanque, então
para encher o tanque todo vão gastar x, onde temos que x. 120