Princípios de Contagem e Análise Combinatória

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RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱ 
 
AULA 08: PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 18 
3. Questões apresentadas na aula 93 
4. Gabarito 123 
 
 Prezado aluno, neste encontro trataremos sobre o assunto a seguir: 
 
Princípios de contagem. Arranjos e permutações. Combinações. 
 
Além de ser um tópico importante, ele também é um pré-requisito 
para o estudo de Probabilidades, tema da próxima aula. Portanto, muita 
atenção nesta aula! 
 
1. TEORIA 
1.1 Contagem e análise combinatória 
 Imagine que você possui em seu armário 3 calças , 4 camisetas e 2 
pares de tênis. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir? Ora, 
basta imaginar que para cada calça você pode utilizar qualquer uma das 4 
camisetas, e para cada conjunto calça-camiseta você pode usar qualquer 
dos 2 pares de tênis. 
 O princípio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz 
que para obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta 
multiplicar o número de calças pelo número de camisas e pelo número de 
tênis, isto é: 
Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24 
 
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 Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e 
independentes (escolha da calça, da camiseta e do tênis), basta 
multiplicarmos as quantidades de possibilidades de cada acontecimento 
(isto é, 3 possibilidades para o acontecimento “escolha da calça”; 4 para a 
“escolha da camiseta” e 2 para a “escolha do tênis”). 
Vejamos um outro exemplo: quantos números de 3 algarismos 
podemos formar utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
Note que precisamos formar números com o formato “ABC”, onde 
cada letra simboliza um algarismo. Para a posição A temos 6 opções de 
algarismos. Para a posição B temos novamente 6 opções. E o mesmo 
ocorre na posição C. Portanto, a quantidade de números de 3 algarismos 
é dada pela multiplicação: 
 
6 x 6 x 6 = 216 possibilidades 
 
E se o exercício dissesse que os números de 3 algarismos formados 
devem ter os 3 algarismos distintos? Neste caso, teríamos também 6 
opções para preencher a posição A. Para preencher a posição B, não mais 
podemos usar o número que já foi utilizado para A. Portanto, temos 5 
opções. E para a posição C, restam apenas 4 opções. Assim, teríamos: 
 
6 x 5 x 4 = 120 possibilidades 
 
E se o exercício houvesse dito que, além de formar números com 
algarismos distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora, 
precisamos calcular quantos números podemos formar tendo o 2 na 
posição A, depois na posição B, e depois na posição C. 
Se o 2 estiver na posição A, teremos números do tipo “2BC”. Para a 
posição B temos 5 opções de algarismos, pois o 2 já foi utilizado. E para a 
posição C temos 4 opções. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 
possibilidades de números do tipo 2BC. Analogamente, para números do 
tipo “A2C”, temos 5 x 1 x 4 = 20 possibilidades. Temos outras 20 
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possibilidades para números do tipo “AB2”. Ou seja, ao todo temos 60 
possibilidades. 
Você reparou que nos exemplos anteriores nós haviamos efetuado 
apenas multiplicações para chegar no resultado, e neste último exemplo 
foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para você saber 
quando somar e quando multiplicar é perceber a presença das expressões 
“E” e “OU”. Veja como fazer isso: 
- no exemplo das camisetas, calças e tênis, tínhamos 4 possibilidades 
para as camisetas E 3 possibilidades para as calças E 2 possibilidades 
para os tênis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2. 
- para formar números de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 
3, 4, 5, 6}, tínhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5 
possibilidades para o segundo E 4 possibilidades para o terceiro, de modo 
que novamente efetuamos a multiplicação 6 x 5 x 4. 
- já para obter números de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse 
presente, vimos que o 2 podia estar na primeira posição OU na segunda 
posição OU na terceira posição. Foi por isso que tivemos que somar as 20 
possibilidades de ter o 2 na primeira posição com as 20 possibilidades de 
ele estar na segunda posição e com as 20 possibilidades de ele estar na 
terceira posição. 
 Lembrando-se que o “E” remete à multiplicação e o “OU” remete à 
soma, você dificilmente errará uma questão. Em uma abordagem mais 
acadêmica, dizemos que: 
- o princípio multiplicativo é utilizado no caso de eventos independentes 
(a escolha da camiseta independe da escolha da calça, que independe da 
escolha do tênis); 
- o princípio aditivo é utilizado no caso de eventos mutuamente 
excludentes (a presença do 2 em uma posição exclui a possibilidade de 
ele estar nas demais posições); 
 
Sobre este assunto, tente resolver a questão a seguir: 
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1. ESAF – STN – 2008) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, 
todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. 
Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao 
pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O 
número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a 
terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: 
a) 681384 
b) 382426 
c) 43262 
d) 7488 
e) 2120 
RESOLUÇÃO: 
 Queremos que a 3ª caixa seja a de número 20. Assim, ao retirar a 
primeira caixa, podemos pegar qualquer uma das 90 caixas, exceto a de 
número 20. Logo, existem 89 caixas que podem ser pegas na 1ª 
tentativa, obedecendo a regra do enunciado. 
 No momento de retirar a 2ª caixa, veja que não podemos obter 
nem a caixa 20 e nem a caixa que já foi eliminada na 1ª tentativa. 
Temos, portanto, 88 possibilidades restantes. 
 Para a 3ª retirada só temos uma possibilidade que atende o 
enunciado: a caixa 20. Já para a 4ª retirada, podemos pegar qualquer 
uma das 87 caixas restantes. Veja isso resumido na tabela abaixo: 
Retirada 1 Retirada 2 Retirada 3 Retirada 4 
89 
possibilidades 
(pois a caixa 
20 não pode 
estar aqui, só 
na retirada 
88 
possibilidades 
(pois nem a 
caixa 20 nem 
a da retirada 
1 podem 
1 
possibilidade 
(caixa 20) 
87 
possibilidades 
(90 menos a 
caixa 20 e as 
das retiradas 1 
e 2) 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Α 
P(6) = 6! = 720 
 
1.3 Permutação com repetição 
 Imagine que você queira calcular o número de anagramas da 
palavra ARARA. A princípio você usaria a fórmula de permutação simples, 
como fizemos no caso de BRASIL. Porém ARARA possui 3 repetições da 
letra A e 2 repetições da letra R. Isso faz com que alguns anagramas 
seja, na verdade, repetições uns dos outros. 
 Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde 
simplesmente trocamos de posição o 2º R com o 2º A. Este mesmo 
anagrama poderia ter sido construído trocando de posição o 1º R com o 
2º A, e, a seguir, colocando o 1º A na última posição. Não podemos 
contar 2 vezes esses anagramas, pois eles são idênticos. 
 Por isso,quando há repetição devemos usar a fórmula da 
permutação simples, porém dividir o resultado pelo número de 
permutações de cada letra repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo 
que o A repete-se 3 vezes e o R repete-se 2 vezes, temos: 
5!(5 ; 3 2) 10
3! 2!
PR e  

anagramas 
 
 Generalizando, podemos dizer que a permutação de n elementos 
com repetição de m e p é dada por: 
!( ; )
! !
nPR n m e p
m p


 
 
 
1.4 Arranjo simples 
 Imagine agora que quiséssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas 
cadeiras do cinema, mas tivéssemos apenas 3 cadeiras à disposição. De 
quantas formas poderíamos fazer isso? 
 Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponíveis, 
isto é, 5 possibilidades. Já para a segunda cadeira, restam-nos 4 
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d) 3600 
e) 4320 
RESOLUÇÃO: 
 Se temos 8 cores disponíveis, a primeira listra poderá ser pintada 
de 8 maneiras distintas. A segunda listra poderá ser pintada com uma das 
7 cores restantes, já que uma cor já foi utilizada na primeira listra. A 
terceira listra poderá ser pintada de 6 maneiras diferentes, a quarta de 5 
maneiras, e a quinta de 4 maneiras distintas. O que disse aqui está 
refletido no esquema abaixo: 
Listra 1 Listra 2 Listra 3 Listra 4 Listra 5 
8 opções 7 opções 6 opções 5 opções 4 opções 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de maneiras 
distintas de pintar a parede é de: 
8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 
 
Já chegamos ao gabarito. Mas repare que se trata de um arranjo 
simples, afinal queremos dispor 8 elementos (cores) em 5 posições 
(listras), e a ordem das cores torna uma disposição diferente da outra. 
Isto é, pintar uma listra de Azul e a seguinte de Verde é diferente de 
pintar a primeira de Verde e a segunda de Azul. Utilizando a fórmula de 
arranjo, teríamos: 
!( , )
( )!
nA n m
n m


 
8! 8! 8 7 6 5 4 3 2 1(8,5)
(8 5)! 3! 3 2 1
(8,5) 8 7 6 5 4 6720
A
A
      
  
  
     
 
Resposta: C 
 
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1.5 Arranjo com repetição 
 Imagine que temos à disposição as letras A, B, C e D. Queremos 
utilizá-las para formar placas de carros. Assim, precisamos de formar 
grupos de 3 letras, sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto é, 
podemos ter placas como: AAA, AAB, ABA, BAA, ABC etc. 
 Para calcular o número de arranjos possíveis de “n” elementos em 
grupos de “m”, e podendo repetir os elementos, usamos a fórmula do 
Arranjo com repetição: 
 
A (n, m) = nm 
(leia: “arranjo de n elementos, m a m, é dado por n elevado a m) 
 
 Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 
(m = 3) podendo repetir as letras, será possível formar o total de 
arranjos abaixo: 
3
( , )
(4,3) 4
(4,3) 64 arranjos
mA n m n
A
A



 
 
 Você pode resolver esse tipo de exercício sem o auxílio de fórmulas, 
apenas utilizando o princípio multiplicativo. Basta lembrar que você quer 
montar placas assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para 
cada uma das lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 43 = 64 
possibilidades. 
 
1.6 Combinação 
 Imagine agora que você tem à sua disposição aquelas mesmas 5 
pessoas, porém agora precisa formar uma dupla para participar de um 
determinado evento. Quantas duplas distintas é possível formar? 
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 Veja que agora a ordem não importa mais. A dupla formada por 
Ana e Beto é igual à dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, 
estamos diante de um problema de Combinação. 
 Será preciso calcular quantas combinações de 5 pessoas, duas a 
duas, é possível formar. Isto é feito através da fórmula abaixo: 
 
!( , )
! !
n nC n m
m m n m
 
    
 
 Veja que 
n
m
 
 
 
 é uma outra forma de simbolizar “combinação de n 
elementos, m a m”. Efetuando o cálculo para o exemplo acima, temos: 
 
 
!( , )
! !
5 5! 5!(5,2)
2 2! 5 2 ! 2! 3!
5 5 4 3 2 1(5,2) 10
2 2 1 3 2 1
n nC n m
m m n m
C
C
 
    
 
      
     
        
 
 
 Portanto, há 10 combinações de 5 elementos, dois a dois. Isto é, há 
10 formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas disponíveis. Vejamos 
quais seriam as 10 duplas: 
- Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo 
- Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo; 
- Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo; 
- Daniela e Eduardo. 
 A respeito de combinações, fica aqui uma dica para facilitar as 
contas. Ao invés de utilizar a fórmula acima, você pode chegar ao mesmo 
caso fazendo o seguinte: 
1. multiplicando os “m” primeiros termos de “n!” 
2. dividindo esse resultado por m! 
 No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros 
termos de 5! (que são 5 e 4) e dividir por 2! (2x1): 
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5 4 20(5,2) 10
2! 2
C    
 
 Outra dica para facilitar as contas: a combinação de 5 elementos, 2 
a 2, é igual à combinação de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 – 2. 
Da mesma forma, a combinação de 15 elementos, 14 a 14, é igual à 
combinação de 15 elementos, 1 a 1 (pois 1 = 15 – 14). Generalizando: a 
combinação de n elementos, m a m, é igual à combinação de n 
elementos, (n-m) a (n-m): 
n n
m n m
   
      
 
 
 Veja abaixo uma questão sobre este assunto: 
 
3. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento técnico de uma construtora 
imobiliária tem 10 técnicos de nível superior sendo 7 engenheiros e 3 
arquitetos. Quantas equipes técnicas distintas podem ser formadas por 2 
desses técnicos com a participação de pelo menos um engenheiro em 
cada equipe? 
a) 14 
b) 35 
c) 21 
d) 28 
e) 42 
RESOLUÇÃO: 
 Sempre que o objetivo for formar “equipes”, “grupos”, “comissões” 
etc. fique atento: provavelmente estamos diante de um caso de 
Combinação. Afinal nestes agrupamentos não interessa saber a ordem de 
escolha dos integrantes, interessa saber apenas quem são os integrantes. 
Neste exercício, note que na escolha de 2 profissionais, a ordem 
não importa: a dupla formada pelos técnicos A e B é igual à dupla 
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formada pelos técnicos B e A. Isto confirma que temos um caso de 
Combinação. 
 As equipes são formadas por 2 profissionais, e precisam ter pelo 
menos 1 engenheiro. Portanto, teremos as equipes com 1 e com 2 
engenheiros. Vejamos cada caso: 
 Equipes com 1 engenheiro: neste caso, teremos também 1 
arquiteto. Portanto, temos 7 possibilidades para o engenheiro a ser 
escolhido e 3 possibilidades para o arquiteto, totalizando 7 x 3 = 21 
possibilidades. 
 Equipes com 2 engenheiros: neste caso, o número de formas de 
escolher 2 engenheiros em um grupo de 7 é dado pela combinação 
de 7, 2 a 2. Isto é: 
7 7 6(7,2) 21
2 2 1
C        
 
 Portanto, ao todo temos 21 + 21 = 42 equipes distintas. 
Resposta: E 
 
1.7 Permutação circular 
Vimos que a permutação de n elementos é dada por P(n) = n!. 
Entretanto, temos um caso particular de permutação, muitopresente em 
provas de concurso, que é a Permutação Circular. 
Ao estudar a permutação simples, calculamos de quantas maneiras 
distintas podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5 
lugares. E se, ao invés da fileira do cinema, tivéssemos uma mesa 
redonda com 5 lugares? Observe as duas disposições abaixo das pessoas 
A, B, C, D, e E ao redor da mesa: 
 
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Do ponto de vista de permutação, essas duas disposições são iguais 
(afinal, a pessoa A tem à sua esquerda E, e à sua direita B, e assim 
sucessivamente). Não podemos contar duas vezes a mesma disposição. 
Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar à mesa, 
todas as 5 posições disponíveis são equivalentes. Isto porque não existe 
uma referência espacial. Nestes casos, devemos utilizar a fórmula da 
permutação circular de n pessoas, que é: 
Pc (n) = (n-1)! 
 
 Em nosso exemplo, o número de possibilidades de posicionar 5 
pessoas ao redor de uma mesa será: 
Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
 
Note que se houvesse uma posição da mesa com uma cadeira “de 
ouro”, por exemplo, passaríamos a ter uma orientação espacial em 
relação a esta cadeira, e deixaríamos de ter uma permutação circular. 
 
1.8 Comentários finais para resolução de exercícios 
 Agora que já conhecemos os arranjos, permutações e combinações, 
gostaria de gastar mais um tempinho reforçando as diferenças entre estas 
ferramentas. Como você verá ao longo dos exercícios, é essencial saber 
diferenciar se estamos diante de um caso de arranjo, permutação ou 
combinação, para só então resolvê-lo. 
 Ao se deparar com uma questão, você deve responder sempre a 
seguinte pergunta: 
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- a ordem de escolha ou de disposição dos elementos torna uma 
escolha/disposição diferente da outra? 
 
Exemplificando, imagine que você tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) 
à disposição, e o seu objetivo é formar equipes de 3 soldados. Veja que a 
equipe formada pelos soldados A, B, C é igual a equipe formada pelos 
soldados B, A, C, que também é igual à equipe formada pelos soldados C, 
B, A, e assim por diante. Isto é, a ordem de escolha dos soldados não é 
relevante, não torna uma escolha diferente da outra. 
Já se você quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C é 
diferente da fila B-A-C que é diferente da fila C-B-A, e assim por diante. 
Em uma fila, a ordem importa. Se trocamos a posição do primeiro 
colocado com a do último, temos uma fila diferente. Portanto, neste caso 
a ordem de escolha dos soldados é relevante, ou seja, torna uma escolha 
diferente da outra. 
Feita a pergunta, você tem duas possibilidades: 
- se a ordem NÃO É RELEVANTE: utilizar a fórmula de combinação. Isto é 
muito comum em questões onde o objetivo é formar equipes, grupos, 
comissões etc. Em nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3), 
concorda? 
- se a ordem É RELEVANTE: utilizar o princípio fundamental da contagem 
(aquela multiplicação simples), que se resume nas fórmulas de arranjos e 
permutações. No exemplo da fila acima, o resultado seria 5x4x3, 
concorda? Dependendo do caso, você precisa fazer alguns ajustes, como 
no caso de haver repetição. Isto é: 
- se houver repetição, basta dividir o resultado encontrado por n!, 
onde n é o número de repetições (ou usar direto a fórmula da permutação 
com repetição); 
- se houver mais de um item se repetindo, é preciso dividir por n!, 
s!, t! etc. (conforme o número de itens se repetindo). 
 
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Caso 2 soldados fossem “idênticos”, de tal modo que não fosse 
possível diferenciá-los (digamos que D = E), quantas filas diferentes 
conseguiríamos formar? Ora, temos uma repetição de 2 elementos, certo? 
Portanto, o número de filas seria 5x4x3/2! . 
 
E se quiséssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa 
redonda? Aí teríamos a permutação circular, que é dada por (n-1)!, ou 
seja, 4! = 24. 
 
 Por fim, qual a diferença entre Arranjo e Permutação? Imagine que 
você dispõe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila. 
- Quantas filas de 3 soldados você consegue? 5x4x3 = 60 
- E quantas filas com os 5 soldados você consegue? 5x4x3x2x1 = 120 
 
O primeiro caso é um arranjo, o segundo uma permutação. A 
diferença é que a permutação SEMPRE envolve TODOS os elementos 
disponíveis (você calcula quantas formas possíveis de dispor os 5 
elementos possíveis), já o arranjo não envolve todos os elementos (para 
cada arranjo foi preciso usar apenas 3 dos 5 soldados, concorda?) 
 
Se você entendeu a explicação acima, conseguirá resolver a grande 
maioria das questões. Ah, e preste atenção nas resoluções onde misturo a 
fórmula de combinação com o princípio fundamental da contagem, pois 
estas são as questões mais difíceis, ok? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
4. ESAF – AFT – 2010) O departamento de vendas de uma empresa 
possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções 
possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 
funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos 
uma mulher? 
a) 192. 
b) 36. 
c) 96. 
d) 48. 
e) 60. 
RESOLUÇÃO: 
 Se a equipe tem 3 pessoas, precisa ter pelo menos 1 homem e 1 
mulher, temos 2 possíveis grupos: 2 homens e 1 mulher, ou 2 mulheres e 
1 homem. Vejamos quantas possibilidades temos para cada tipo de 
grupo. 
 2 homens e 1 mulher: 
Para escolher 2 homens em um total de 4 disponíveis, basta 
calcular a combinação de 4, 2 a 2: 
4 4 3(4,2) 6
2 2 1
C        
 
 E para escolher 1 mulher em um total de 6, temos 6 possibilidades, 
como você pode comprovar abaixo: 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΓ 
6 6(6,1) 6
1 1!
C     
 
 
 Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 6 = 36 formas 
de agrupar 2 homens e 1 mulher. 
 2 mulheres e 1 homem: 
Para escolher 2 mulheres em um total de 6 disponíveis, basta 
calcular a combinação de 6, 2 a 2: 
 
6 6 5(6,2) 15
2 2 1
C        
 
E para escolher 1 homem em um total de 4, temos 4 possibilidades, 
como você pode comprovar abaixo: 
 
4 4(4,1) 4
1 1!
C     
 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 15 x 4 = 60 formas 
de agrupar 2 mulheres e 1 homem. 
 
 Assim, ao todo temos 36 + 60 = 96 equipes distintas com 3 
funcionários, respeitando as condições do enunciado. 
Resposta: C 
 
5. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento de vendas de imóveis de 
uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas 
equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, 
havendo em cada equipe pelo menos uma mulher? 
a) 15 
b) 45 
c) 31 
d) 18 
e) 25 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヰ 
RESOLUÇÃO:Veja que podemos ter equipes com 1 mulher e 1 homem, ou 
equipes com 2 mulheres. 
 No primeiro caso, precisamos combinar 3 mulheres, 1 a 1, e 
combinar 5 homens, 1 a 1: 
(3,1) 3
(5,1) 5
C
C


 
 Portanto, é possível formar 3 x 5 = 15 equipes distintas. 
 No segundo caso, precisamos apenas combinar as 3 mulheres, 2 a 
2: 
3 2(3,2) 3
2 1
C  

 
 Assim, podemos formar 3 equipes distintas. Ao todo, temos 15 + 3 
= 18 equipes distintas. 
Resposta: D 
 
6. ESAF – Analista MPOG – 2010) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em 
sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter 
melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 
pacientes em três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 
pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 
pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode 
distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a: 
a) 2.440 
b) 5.600 
c) 4.200 
d) 24.000 
e) 42.000 
RESOLUÇÃO: 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヱ 
 Beatriz tem 10 pacientes e precisa separá-los conforme o seguinte 
esquema: 
Sala 1 Sala 2 Sala 3 
4 pacientes 3 pacientes 3 pacientes 
 Veja que, ao escolher 4 pacientes para a sala 1, a ordem deles não 
importa. Isto é, escolher A, B, C e D é igual a escolher B, D, A e C. Assim, 
a quantidade de maneiras de escolher 4 pacientes, em um grupo de 10, 
para ficarem na sala 1, é dada pela combinação abaixo: 
10 10 9 8 7(10,4) 210
4 4 3 2 1
C            
 
 Escolhidos 4 pacientes para a sala 1, restam 6 pacientes para as 
demais salas. Destes, 3 ficarão na sala 2. O número de combinações 
desses 6 pacientes, 3 a 3, é: 
6 6 5 4(6,3) 20
3 3 2 1
C          
 
 Escolhidos os 3 pacientes da sala 2, restam apenas 3 pacientes, que 
ocuparão a sala 3. Isto é, há apenas 1 forma de ocupar esta última sala: 
3 3
(3,3) 1
3 0
C         
   
 
 Assim, temos: 
Sala 1 Sala 2 Sala 3 
210 
possibilidades 
20 
possibilidades 
1 
possibilidade 
 
 Pelo princípio fundamental da contagem, temos 210 x 20 x 1 = 
4200 possibilidades de ocupar as 3 salas. 
Resposta: C 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヲ 
7. ESAF – MPOG – 2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro 
com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento 
apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 
meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 
amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de 
cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da 
gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a: 
a) 30 
b) 40 
c) 246 
d) 124 
e) 5 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos 4 possibilidades de cores de meias: pretas, 
brancas, azuis e amarelas. Portanto, se Marcos tirar da gaveta apenas 4 
meias, ele pode “dar o azar” de tirar exatamente 1 meia de cada cor. 
Entretanto, ao tirar a 5ª meia da gaveta, ela necessariamente será de 
uma das 4 cores que ele já tirou. Assim, ele certamente conseguirá 
formar um par de meias da mesma cor. 
 Isso mostra que é preciso tirar pelo menos 5 meias da gaveta para 
ter certeza de obter um par da mesma cor. 
Resposta: E 
 
8. ESAF – CGU – 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática 
composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa 
resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras 
diferentes Ana pode escolher as questões? 
a) 3003 
b) 2980 
c) 2800 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲン 
d) 3006 
e) 3005 
RESOLUÇÃO: 
 Se temos 15 questões e, delas, queremos separar um grupo de 10 
questões para resolver, basta calcular a combinação de 15, 10 a 10. Isso 
porque a ordem das questões não importa: escolher as questões 1, 3 e 5 
é igual a escolher as questões 3, 5 e 1. 
Para calcular de uma forma mais fácil a combinação de 15, 10 a 10, 
você precisa lembrar a seguinte propriedade (que vimos na teoria de 
hoje): 
(15,10) (15,5)C C 
 Assim, 
15 14 13 12 11(15,10) (15,5) 3003
5 4 3 2 1
C C      
   
 
 Ana pode escolher 10 das 15 questões de 3003 formas distintas. 
Resposta: A 
 
9. ESAF – AFRE/MG – 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, 
Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do 
desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre 
em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a 
última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. 
Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de 
diferentes filas que podem ser formadas é igual a: 
a) 420 
b) 480 
c) 360 
d) 240 
e) 60 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヴ 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos 4 tipos de filas: aquelas com Ana no final, aquelas 
com Beatriz no final, aquelas com Carla no final e aquelas com Denise no 
final. 
 Vamos calcular quantas filas podemos formar com Denise no final. 
Para isso, considere o desenho abaixo: 
Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 
6 possibilidades 
(pois Denise já é 
a última) 
5 possibilidades 4 possibilidades 
1 possibilidade 
(Denise) 
 Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 5 x 4 x 1 = 120 
possibilidades de formar fila com Denise no final. 
 Vamos calcular a quantidade de filas com Ana no final. Para isso, é 
importante lembrar que Denise não pode ser a primeira. Portanto, temos 
apenas 5 possibilidades para a posição 1 (pois Ana já está no final, e 
Denise não pode ser a primeira). Para a posição 2, temos outras 5 
possibilidades (pois agora podemos incluir Denise). E para a posição 3, 
temos 4 possibilidades (pois já colocamos uma pessoa nas posições 1, 2 e 
4): 
Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 
5 possibilidades 
(pois Denise não 
pode ser a 
primeira) 
5 possibilidades 4 possibilidades 
1 possibilidade 
(Ana) 
 Portanto, temos 5 x 5 x 4 x 1 = 100 possibilidades com Ana no 
final. O raciocínio é análogo para as filas com Beatriz ou Carla no final, 
isto é, teremos mais 100 possibilidades em cada caso. 
 Assim, ao todo temos 120 + 100 + 100 + 100 = 420 possibilidades. 
Resposta: A 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヵ 
 
10. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Quatro crianças devem 
ficar uma ao lado da outra para uma fotografia. 
 
Se a criança mais alta deve ficar em uma das extremidades, o número de 
arrumações possíveis dessas crianças é: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
RESOLUÇÃO: 
 Como a criança mais velha deve ficar em uma das extremidades, 
temos que analisar 2 casos: quando esta criança está na extremidade 
esquerda; e quando esta criança está na extremidade direita. Veja: 
1. Criança mais alta na extremidade esquerda. Temos a seguinte 
disposição: 
Criança mais 
alta 
(1 
possibilidade) 
3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade 
Portanto, o número de possibilidades que temos aqui é: 
Possibilidades = 1 x 3 x 2 x 1= 6 
2. Criança mais alta na extremidade direita. Neste caso, teríamos: 
 3 
possibilidades 
2 possibilidades 1 possibilidade Criança mais 
alta (1 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヶ 
possibilidade) 
 Calculando o número de possibilidades: 
Possibilidades = 3 x 2 x 1 x 1 = 6 
 Portanto, ao todo temos 12 possibilidades. 
Resposta: E. 
 
11. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Permutando de todos os 
modos possíveis todos os algarismos ímpares 1, 3, 5, 7 e 9, e escrevendo 
os números assim formados em ordem crescente, o número que ocupa a 
83ª posição é: 
a) 71935 
b) 71953 
c) 73195 
d) 73519 
e) 73915 
RESOLUÇÃO: 
 Ao escrever todos os números formados por estes algarismos em 
ordem crescente, sabemos que os primeiros serão aqueles começados 
pelo algarismo 1. Quantos números começam com o algarismo 1? Basta 
ver o esquema abaixo, onde cada célula representa uma casa do número 
de 5 algarismos: 
Algarismo 1 
(1 
possibilidade) 
4 
possibilidades 
(3, 5, 7 ou 9) 
3 
possibilidades 
2 
possibilidades 
1 
possibilidade 
 
 Portanto, ao todo temos 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilidades 
começando com o algarismo 1. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΒ 
12. CEPERJ – SEE-RJ – 2011) Uma permutação de um número natural 
é um outro número natural que possui exatamente os mesmos algarismos 
em outra ordem. Se todas as permutações do número 31452 foram 
escritas em ordem crescente, o número que ocupará a 80ª posição nessa 
lista será: 
a) 32154 
b) 34251 
c) 35142 
d) 41352 
e) 42153 
RESOLUÇÃO: 
 Perceba a similaridade entre este exercício e o anterior. Novamente 
vamos começar calculando quantos números começarão com o algarismo 
1, pois estes são os primeiros (se colocarmos os números em ordem 
crescente). Veja o esquema abaixo, onde cada célula representa uma 
casa do número de 5 algarismos formado por 1, 2, 3, 4 e 5: 
Algarismo 1 
(1 
possibilidade) 
4 
possibilidades 
(2, 3, 4 ou 5) 
3 
possibilidades 
2 
possibilidades 
1 
possibilidade 
 
 Portanto, ao todo temos 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilidades 
começando com o algarismo 1. 
 Após os números começando com o algarismo 1, teremos os 
números começados com o algarismo 2, e a seguir aqueles começando 
com o 3. 
Da mesma forma que calculamos acima, teremos 24 números 
começados com o algarismo 2 e outros 24 começados pelo algarismo 3. 
Até aqui, temos 72 números. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヰ 
III - Pelo menos uma, dentre as questões X, Y e Z, deve fazer parte da 
prova 
 
Dessa forma, o número máximo de modelos distintos de provas que a 
banca pode confeccionar, sem se importar com a ordem das questões na 
prova, é: 
a) 120 
b) 129 
c) 369 
d) 80 
e) 55 
RESOLUÇÃO: 
 O próprio exercício disse que a ordem das questões não importa. 
Portanto, estamos diante de uma questão de combinação. Para obedecer 
as 3 regras dadas pelo enunciado, teremos os seguintes modelos de 
provas: 
1. aqueles que possuem Z, mas não possuem X (e nem Y, pois Y só está 
presente quando X também está); 
2. aqueles que possuem X e Y e não possuem Z; 
 
 Para o primeiro caso, temos 10 questões disponíveis, já que não 
podemos usar X e Y. Precisamos escolher 8 para compor a prova. Porém 
1 obrigatoriamente será Z. Assim, precisamos escolher apenas 7 das 9 
questões restantes. A combinação de 9 questões, 7 a 7, é vista abaixo: 
9 9 9 8 36
7 2 2 1
    
         
 
 Para o segundo caso, já temos 2 questões na prova (X e Y). Além 
disso, não podemos usar a questão Z, então temos apenas 9 questões 
disponíveis, sendo que precisamos pegar apenas 6 delas para completar 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヱ 
as 8 da prova (junto da X e Y). Assim, precisamos combinar 9 questões 
disponíveis, 6 a 6: 
9 9 9 8 7 84
6 3 3 2 1
     
          
 
 Portanto, somando os dois casos, temos 36 + 84 = 120 formas de 
montar a prova. 
Resposta: A. 
 
14. CEPERJ – SEE-RJ – 2011) As letras B, R, A, S, I, L devem ser 
escritas nas faces de um cubo, com uma letra em cada face. O número de 
maneiras diferentes em que essas letras podem ser colocadas nas faces 
do cubo é: 
a) 18 
b) 24 
c) 30 
d) 60 
e) 72 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos fixar uma letra qualquer em uma das faces do dado. Ela 
servirá de referência. A próxima etapa é escolher uma letra para a face 
oposta a essa. Temos, para isso, 5 letras restantes, isto é, 5 
possibilidades. 
 Para as outras 4 faces, temos uma permutação circular. Calculando 
o número de possibilidades para essa permutação: 
Pc (4) = (4 – 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 
 Assim, temos 2 eventos independentes (escolha da letra da face 
oposta e escolha das letras da permutação circular), um com 5 
possibilidades e o outro com 6. Pelo princípio fundamental da contagem, o 
número total de possibilidades será: 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヲ 
Possibilidades = 5 x 6 = 30 
Resposta: C. 
 
15. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) O número de subconjuntos de A = { 1, 
2, 3, 4} que contém o elemento 2 ou o elemento 3 é: 
a) 14 
b) 13 
c) 12 
d) 11 
e) 10 
RESOLUÇÃO: 
 O exercício não disse quantos elementos devem estar presentes nos 
subconjuntos. 
Vamos começar analisando subconjuntos com apenas 1 elemento, depois 
com 2, e assim por diante. 
 Subconjuntos com 1 elemento: 
Neste caso, apenas os subconjuntos {2} e {3} atendem a condição 
do enunciado (contém ou o elemento 2, ou o elemento 3). 
 Subconjuntos com 2 elementos: 
Aqui os subconjuntos {1, 2}, {2, 4}, {1, 3}, {2, 3} e {3, 4} 
atendem a condição do enunciado. 
 Subconjuntos com 3 elementos: 
Neste caso, os subconjuntos {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} e {2, 3, 
4} atendem a condição dada. 
 Subconjuntos com 4 elementos: 
Apenas o {1, 2, 3, 4}. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンン 
Assim, foi possível obter 12 subconjuntos. 
Resposta: C 
 Outra forma de resolver seria: 
4 4 4 4
1 2 3 4
       
         
       
. Desse total seria 
preciso subtrair os casos que não atendem a condição do enunciado: {1}, 
{4} e {1, 4}. 
 
16. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) No departamento de vendas de uma 
empresa trabalham 4 homens e duas mulheres. Destas 6 pessoas, um 
grupo de 3 pessoas deve ser escolhido de forma que possua pelo menos 
uma mulher. O número de grupos diferentes que podem ser formados é: 
a) 16 
b) 12 
c) 8 
d) 20 
e) 24 
RESOLUÇÃO: 
 Precisamos formar grupos com 1 mulher e 2 homens, ou com 2 
mulheres e 1 homem. 
 1 mulher e 2 homens: 
Precisamos combinar as 2 mulheres, 1 a 1, e multiplicar isso pela 
combinação de 4 homens, 2 a 2: 
2 4 4 32 12
1 2 2
                 
 
 2 mulheres e 1 homem: 
Aqui temos que combinar 2 mulheres, 2 a 2, e multiplicar pela 
combinação de 4 homens, 1 a1: 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヴ 
2 4
1 4 4
2 1
   
      
   
 
 Ao todo, teremos 12 + 4 = 16 grupos. 
Resposta: A. 
 
17. FDC – MAPA – 2010) Em uma gaveta estão guardadas várias meias 
masculinas, todas misturadas, nas seguintes quantidades e cores: 8 
meias brancas, 12 meias pretas, 6 meias beges, 4 meias vermelhas e 2 
meias azuis. Ocorreu uma pane de energia elétrica e uma pessoa precisa 
retirar a quantidade mínima de meias dessa gaveta, na escuridão, para 
que possa garantir que duas delas, pelo menos, sejam da mesma cor. O 
número de meias que a pessoa deve retirar é: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
RESOLUÇÃO: 
 Em exercícios como este, onde o objetivo é tirar 2 meias da mesma 
cor, você precisa imaginar o pior caso. 
Imagine que, por azar, a pessoa tirou 5 meias, sendo uma de cada 
cor. Ora, este é o pior caso possível. Entretanto, note que, ao retirar a 6ª 
meia, ela necessariamente repetirá uma das 5 cores. Portanto, é preciso 
tirar 6 meias para ter certeza que pelo menos 2 são da mesma cor. 
Resposta: C. 
 
18. FDC – MAPA – 2010) Uma prova de questões de múltipla-escolha é 
constituída de 20 questões com 5 opções cada uma, sendo apenas uma 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヵ 
opção correta. O número de maneiras distintas de uma pessoa responder 
a essa prova e tirar a nota zero é: 
a) 100 (cem) 
b) 205 
c) 520 
d) 420 
e) 1 (uma) 
RESOLUÇÃO: 
 Para errar a primeira questão, o aluno tem 4 opções para marcar. E 
tem outras 4 formas de errar a segunda. E mais 4 formas de errar a 
terceira. E assim por diante. 
Note que errar a primeira questão é um evento independente de 
errar a segunda, que por sua vez é independente de errar a terceira etc. 
Portanto, podemos usar o princípio fundamental da contagem para 
calcular quantas formas existem para errar as 20 questões: 
4 x 4 x 4 x 4 ... x 4 = 420 
Resposta: D. 
 
19. FDC – MAPA – 2010) O número máximo possível de placas de 
automóvel em nosso país, com três letras e quatro algarismos, 
começadas pela letra B e terminadas pelo algarismo 9, é: 
a) 650.000 
b) 676.000 
c) 175.760 
d) 10.000 
e) 26.000 
RESOLUÇÃO: 
 Considerando que temos 26 letras no alfabeto, e 10 algarismos, 
precisamos completar a placa abaixo: 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヶ 
B __ __ - __ __ __ 9 
 Temos 26 possibilidades para a primeira letra, E 26 possibilidades 
para a segunda. Além disso, temos 10 possibilidades para cada algarismo. 
Note que o exercício não disse que precisávamos de letras ou algarismos 
distintos, isto é, pode haver repetição. 
 Portanto, o número de possibilidades é dado pelo princípio 
fundamental da contagem: 
Possibilidades = 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 676.000 
Resposta: B. 
 
20. CEPERJ – FAETEC – 2010) Ricardo vai fazer uma longa viagem e 
pretende levar 3 livros para ler. Se, na sua estante, há 9 livros que ele 
não leu, o número de maneiras que Ricardo poderá escolher, dentre esses 
9 livros, aquele que vai levar é: 
a) 48 
b) 64 
c) 72 
d) 84 
e) 90 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que precisamos criar um grupo de 3 livros a partir de 9. Para 
isso, a ordem de escolha dos livros não importa. Isto é, escolher os livros 
A, B e C é igual a escolher os livros B, A e C. Estamos diante de um 
exercício de combinação. 
9 9 8 7(9,3) 84
3 3 2 1
C          
 
Resposta: D. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΑ 
 
21. CESPE – EMBASA – 2009) A leitura mensal do consumo de água 
residencial em cada um dos quinze bairros de determinado município é 
feita por apenas um dos três funcionários responsáveis por essa 
atividade; a cada mês, há uma distribuição aleatória em que cinco desses 
bairros são designados para cada um desses funcionários. Com relação a 
essa situação hipotética, julgue os itens a seguir: 
 
( ) Essa distribuição pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes. 
 
( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de 
determinado funcionário sejam agrupados, por proximidade geográfica, 
em duas regiões, A e B, com dois bairros em A e três bairros em B, então 
esse funcionário poderá visitar esses bairros de 24 maneiras distintas se 
ele visitar todos os bairros de uma mesma região antes dos demais 
bairros. 
RESOLUÇÃO: 
 
 PRIMEIRO ITEM: 
 Para o primeiro item, precisamos saber de quantas formas podemos 
distribuir 15 bairros entre 3 funcionários, deixando cada um deles com 5 
bairros. 
 A combinação de 15 em grupos de 5 (isto é, 15, 5 a 5) nos diz de 
quantas maneiras podemos distribuir os bairros do primeiro funcionário: 
15 15 14 13 12 11 3003
5 5 4 3 2 1
     
       
 
 Após separarmos os 5 bairros do primeiro funcionário, sobram 10 
bairros, dos quais 5 deverão ser distribuídos para o próximo funcionário. 
A combinação de 10 bairros, 5 a 5, nos dá o número de formas de efetuar 
essa distribuição: 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΒ 
10 10 9 8 7 6 252
5 5 4 3 2 1
     
       
 
 Por fim, sobram 5 bairros, que serão distribuídos para o último 
funcionário. Só há uma forma de fazer isso, como vemos abaixo: 
5
1
5
 
 
 
 
 Multiplicando o número de formas de distribuir os bairros do 
primeiro funcionário pelo número de formas para distribuir os bairros do 
segundo funcionário e pelo número de formas de distribuir os bairros do 
último funcionário, temos: 
3003 252 1 756756   
 Portanto, esse item está ERRADO. No gabarito preliminar, este item 
foi considerado correto, mas foi corrigido no gabarito definitivo. 
 
 SEGUNDO ITEM: o funcionário pode visitar os 2 bairros da região 
A e, a seguir, os 3 bairros da região B, ou vice-versa. Vamos 
calcular de quantas formas ele fazer isso. Note que agora a ordem 
importa. Portanto, trata-se de um caso de permutação. 
- De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 2 
bairros da região A? Basta permutar os 2 bairros: P(2) = 2! = 2. 
- De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 3 
bairros da região B? P(3) = 3! = 6 
- De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar as 2 
regiões? Ora, ele pode ir primeiro na região A e depois na B, ou 
vice-versa. Temos 2 formas de fazer isso, que é justamente P(2). 
 Como temos 2 formas de visitar as regiões, e, dentro das regiões, 2 
formas de visitar os bairros de A e 6 formas de visitar os bairros de B, o 
total de formas de visitar todos os bairros é: 2 x 2 x 6 = 24. Item 
CORRETO. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΓ 
Resposta: E C 
 
22. CESPE – MPE/AM – 2008) Com respeito aos princípios básicos da 
contagem de elementos de um conjunto finito, julgue os itens a seguir. 
 
( ) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de 
correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cadauma 
delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2 
dígitos distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Então, de todos 
os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados. 
 
( ) Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do 
conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, 
escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Nessa situação, se forem 
permitidas repetições das letras e dos algarismos, então o número de 
possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102(102 + 1). 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 PRIMEIRO ITEM: note que quando vamos formar códigos de 2 
algarismos distintos, não tem problema algum o zero ser o primeiro 
algarismo. Por exemplo, a sua senha do banco pode ser “0153”, 
que é diferente da senha “153” apenas. Assim, temos 10 
possibilidades (de 0 a 9) para o primeiro dígito, e 9 possibilidades 
para o segundo dígito (pois devemos ter dígitos distintos). Ao todo 
temos 10 x 9 = 90 possibilidades de código. Como eram apenas 79 
caixas de correspondência, 11 códigos não precisaram ser 
utilizados. CORRETO. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヰ 
 SEGUNDO ITEM: Se fossemos simplesmente montar um código 
com 4 letras retiradas do conjunto de 10 letras do enunciado, seria 
possível formar 10x10x10x10 =104 códigos. Além disso, podemos 
escolher 2 algarismos de 0 a 9 (10 possibilidades), ou seja, 
podemos escolher 10 x 10 = 102 pares de 2 algarismos. 
Multiplicando apenas a quantidade de grupos de 4 letras (104) pela 
quantidade de grupos de algarismos (102) já temos 106 
possibilidades, que é um resultado maior que aquele dado pelo 
enunciado, portanto o item está ERRADO. Por fins didáticos, vamos 
prosseguir com a resolução. Teremos um código da seguinte forma: 
L L L L / / N N 
Neste código acima, os L representam as 4 letras, as / representam 
as barras e os N representam os 2 algarismos. Veja que não basta 
apenas multiplicar as quantidades de grupos de letras (104) pela de 
números (102). Precisamos ainda considerar que as letras, barras e 
números podem estar em qualquer posição. Veja os 3 exemplos 
abaixo. Cada um representa um código distinto, apesar de usar as 
mesmas letras e números: 
Q R S T / / 1 2 
Q R S T 1 2 / / 
Q / R S / T 1 2 
Assim, para cada grupo de 4 letras e 2 números que escolhermos, 
precisamos calcular o número de permutações possíveis. Para 
piorar, trata-se de uma permutação com repetição, pois a barra se 
repete. Temos, assim, 
8!(8, 2) 20160
2!
PR   
Portanto, ao todo teríamos 20160 x 104 x 102 códigos. 
Resposta: C E 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヱ 
 
23. CESPE – TSE – 2007) Para aumentar a segurança no interior do 
prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas para todos os 
funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso 
ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de três letras 
(retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de três 
algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que 
podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas 
admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a: 
a) 263 x 10 x 9 x 8 
b) 263 x 103 
c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 
d) 26 x 25 x 24 x 103 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que teremos senhas do tipo __ __ __ - __ __ __, onde as três 
primeiras lacunas devem ser preenchidas por letras, e as três seguintes 
por números. 
Veja que não há repetição de letras. Pelo princípio fundamental da 
contagem, temos 26 possibilidades para a primeira letra, 25 para a 
segunda e 24 para a terceira, isto é: 26 x 25 x 24 possibilidades. 
 Por outro lado, é permitido repetir algarismos. Temos 10 
possibilidades para o primeiro, outras 10 para o segundo e outras 10 para 
o terceiro, perfazendo 10 x 10 x 10 = 103 possibilidades. 
 Ao todo, teremos 26 x 25 x 24 x 103 possibilidades de senhas. 
Resposta: D 
 Obs.: a título de exercício, repare que a letra A representa o caso 
onde podemos repetir letras, mas não algarismos. A letra B representa o 
caso onde podemos repetir tanto as letras quanto os algarismos. A letra C 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヲ 
representa o caso onde não podemos repetir nem letras e nem 
algarismos. 
 
24. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio 
de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e 
que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que 
se segue. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que 
formarão o grupo A será inferior a 400. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que colocar as equipes 1, 2, 3, 4 e 5 no grupo A é 
equivalente a colocar as equipes 3, 2, 1, 5 e 4 neste grupo. Isto é, a 
ordem das equipes não importa. Estamos diante de um problema de 
combinação. O número de maneiras de se combinar 11 equipes em 
grupos de 5 é dado por: 
11 11 10 9 8 7(11,5) 462
5 5 4 3 2 1
C
     
        
 
 Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escolher 5 
equipes que formarão o grupo A será SUPERIOR a 400. 
Resposta: E 
 
25. CESPE – Polícia Federal – 2009) A Polícia Federal brasileira 
identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada 
ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do 
Sul (MS) com o Paraguai. 
Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações). 
Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴン 
( ) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no 
texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a 
entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 
500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que, das 17 cidades de fronteira, apenas 11 (17 – 6) não estão 
na fronteira do MS com o Paraguai, portanto apenas estas serão 
escolhidas pela organização criminosa. 
 O número de maneiras de se combinar 11 em grupos de 6 é dado 
por: 
11 10 9 8 7(11,6) (11,5) 462
5 4 3 2 1
C C      
   
 
 Este número é MENOR do que 500, portanto o item está ERRADO. 
Resposta: E 
 
26. CESPE – ABIN – 2010) Com relação aos princípios e técnicas de 
contagem, julgue os itens subsequentes. 
 
( ) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de 
determinado órgão tenha de organizar, em uma estante com 5 
prateleiras, 3 processos referentes a cidades da região Nordeste, 3 da 
região Norte, 2 da região Sul, 2 da região Centro-Oeste e 1 da região 
Sudeste, de modo que processos de regiões distintas fiquem em 
prateleiras distintas, então esse servidor terá 17.280 maneiras distintas 
para organizar esses processos. 
 
( ) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio 
de carro, por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que, 
dado o caráter sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os 
agentes que participarão dessa operação devam chegar à referida cidade 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ;┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヴ 
de maneira independente, em veículos distintos. Em face dessa situação, 
sabendo-se que o órgão de inteligência dispõe de apenas um carro e que 
os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, é correto afirmar que o 
número de maneiras de o servidor responsável pela organização das 
viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para essa 
missão é inferior a 50. 
 
( ) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes 
entre os 7 disponíveis para viagens — um deles para coordenar a equipe, 
um para redigir o relatório de missão e um para fazer os levantamentos 
de informações —, o número de maneiras de que esse chefe dispõe para 
fazer suas escolhas é inferior a 200. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 PRIMEIRO ITEM: temos 5 prateleiras, e processos de 5 regiões 
para colocar em cada uma. Todos os processos de uma mesma 
região devem ficar na mesma prateleira. Isto pode ser representado 
pelo esquema abaixo: 
Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 
5 
5 
possibilidades 
4 
possibilidades 
3 
possibilidades 
2 
possibilidades 
1 
possibilidade 
 Pelo princípio fundamental da contagem, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 
120 formas distintas de dispor os processos de cada região numa mesma 
prateleira. 
 Imagine a seguinte distribuição: 
Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5 
Região Norte 
(3 
processos) 
Região 
Nordeste 
(3 
Região Sul 
(2 
processos) 
Região 
Sudeste 
(1 processo) 
Região 
Centro-Oeste 
(2 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヵ 
processos) processos) 
 Note que é possível permutar os 3 processos da região Norte, 
dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Da mesma forma, podemos 
permutar os da região Nordeste, dispondo-os de 3! = 6 maneiras 
diferentes. Para a região Sul temos 2! = 2 maneiras distintas, o mesmo 
se aplicando à região Centro-Oeste, e apenas 1 maneira para a região 
Sudeste. 
 Assim, considerando as regiões distribuídas conforme esta última 
tabela, teríamos 6 x 6 x 2 x 1 x 2 = 144 formas distintas de distribuir os 
processos, devido às permutações dos mesmos dentro de cada prateleira. 
 Isto é, para cada uma das 120 formas de dispor os processos de 
cada região nas prateleiras, existem 144 formas de organizar os 
processos de cada prateleira. Ao todo, temos 120 x 144 = 17280 formas 
de distribuir os processos. Item CERTO. 
 
 SEGUNDO ITEM: Será preciso escolher 3 veículos, um para 
transportar cada um dos agentes. A ordem não importa, o que 
interessa é escolher 3 dos 8 veículos disponíveis para transportar os 
agentes. Isto é, precisamos calcular a combinação de 8 veículos em 
grupos de 3: 
8 7 6(8,3) 56
3 2 1
C   
 
 
Item ERRADO. 
 
 TERCEIRO ITEM: O número de formas de escolher 3 agentes em 
um grupo de 7 é dado pela combinação de 7, 3 a 3 (pois a ordem 
não importa): 
7 6 5(7,3) 35
3 2 1
C   
 
 
 Uma vez escolhidos esses 3 agentes, temos que alocar cada um em 
uma função: coordenar, redigir e fazer levantamentos. Aqui, a ordem 
importa, pois colocar o agente A para coordenar e o agente B para redigir 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヶ 
é diferente de colocar o agente A para redigir e o agente B para 
coordenar. Assim, para a primeira função, temos 3 possibilidades 
(qualquer um dos 3 agentes), para a segunda temos 2 possibilidades e 
para a terceira temos 1 possibilidade, totalizando 3 x 2 x 1 = 6 
possibilidades. 
Assim, ao todo temos 35 grupos de 3 agentes, e cada grupo pode 
ser alocado de 6 maneiras distintas, totalizando 35 x 6 = 210 formas de 
escolher os agentes. Item ERRADO. 
Resposta: C E E 
 
27. CESPE – ANAC – 2009) Com relação a análise combinatória, julgue 
os itens que se seguem. 
 
( ) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, 
Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João 
Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo 
Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. 
 
( ) Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma permutação 
das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, 
A seja a quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra 
AEROPORTO, B seja a quantidade de anagramas começando por 
consoante e terminando por vogal possíveis de se formar com a palavra 
TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, então A = 21B. 
 
( ) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas 
ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. 
Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. 
Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e 
escala em C é igual a 400. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΑ 
( ) O número de comissões constituídas por 4 pessoas que é possível 
obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 
pilotos, é superior a 210. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 PRIMEIRO ITEM: temos 3 cidades de partida, 4 para fazer escala 
e 7 de destino. Saíndo de uma das 3 cidades de partida, temos 4 
vôos possíveis para a cidade de escala. Após esse primeiro vôo, 
temos outros 7 vôos possíveis para a cidade de destino. Portanto, 
ao todo temos 3 x 4 x 7 = 84 vôos (que é múltiplo de 12). Item 
CERTO. 
 
 SEGUNDO ITEM: Veja que AEROPORTO possui a repetição de 2 R e 
3 O. Portanto, o número de anagramas é dado pela permutação de 
9 letras, com a repetição de 2 e de 3: 
9! 362880(9;3,2) 30240
3!2! 12
P    
Já TURBINA não possui letras repetidas. Entretanto, o exercício só 
quer os anagramas que comecem com uma das 4 consoantes e 
termine com uma das 3 vogais. Portanto, temos o seguinte 
esquema: 
1ª letra 2ª 
letra 
3ª 
letra 
4ª 
letra 
5ª 
letra 
6ª 
letra 
7ª letra 
4 opções 
(consoantes) 
 3 
opções 
(vogais) 
 
Da 2ª à 6ª letra, podemos utilizar qualquer uma das 5 letras 
restantes. Portanto, temos: 
1ª letra 2ª 
letra 
3ª 
letra 
4ª 
letra 
5ª 
letra 
6ª 
letra 
7ª 
letra 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΒ 
4 opções 
(consoantes) 
5 
opções 
4 
opções 
3 
opções 
2 
opções 
1 
opção 
3 
opções 
(vogais) 
 
Assim, existem 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 1440 anagramas de 
TURBINA que atendem as condições do enunciado. 
 
Portanto, A = 30240 e B = 1440. Veja que 21 x 1440 = 30240. Isto 
é, A = 21B. Item CERTO. 
 
 
 TERCEIRO ITEM: Temos o esquema abaixo: 
 
 
Para sair de A e voltar a A, passando por C, existem as seguintes 
formas: 
1) A  B  C  A 
2) ACA 
3) ACBA 
4) A BCBA 
 
 Calculando as probabilidades de cada caso, temos: 
 1) 6 x 3 x 2 = 36 
 2) 2 x 2 = 4 
 3) 2 x 3 x 6 = 36 
 4) 6 x 3 x 3 x 6 = 324 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΓ 
 Ao todo, temos 36 + 4 + 36 + 324 = 400 possibilidades. Item 
CERTO. 
 
 
 QUARTO ITEM: Neste caso, podemos somar o total de comissõescontendo 2, 3 e 4 pilotos. Podemos também calcular o total de 
comissões possíveis com os 11 funcionários e subtrair deste total 
aquelas que não possuem piloto ou possuem apenas 1 piloto. Para 
exercitar, vamos utilizar o segundo método. 
 
O total de combinações de 11 pessoas, 4 a 4, é dado por: 
(11,4) 330C  
 
Já o total de grupos formados apenas por co-pilotos, isto é, sem 
nenhum piloto, é dado pela combinação dos 6 co-pilotos, 4 a 4: 
(6,4) 15C  
 
Por fim, o total de grupos formados por apenas 1 piloto e 3 co-
pilotos é dado pela multiplicação entre a combinação de 5 pilotos, 1 
a 1, pela combinação de 6 co-pilotos, 3 a 3: 
(5,1) (6,3) 100C C  
 
Portanto, o total de combinações que possuem 2 ou mais pilotos é: 
330 – 15 – 100 = 215 
 
Como este valor é superior a 210, o item está CERTO. 
 
Resposta: C C C C 
 
28. CESPE – BANCO DO BRASIL – 2007) Julgue os itens que se 
seguem quanto a diferentes formas de contagem. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヰ 
( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para 
serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo 
Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade 
total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, 
em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois 
nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares 
diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70. 
 
( ) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 
funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência 
receba 4 funcionários. 
 
( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de 
dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja 
para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e 
indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, 
esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes 
com essas faixas. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 PRIMEIRO ITEM: Aqui temos a combinação de 12 nomes em 
pares de 2: 
 
 Item CERTO. 
 
 SEGUNDO ITEM: para a primeira agência, podemos combinar os 
12 funcionários, 4 a 4. Já para a segunda agência, sobram 8 
funcionários para serem combinados 4 a 4. Por fim, para a terceira 
agência sobram 4 funcionários. Até aqui, temos: 
(12,2) 66C 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヱ 
(12,4) 495
(8,4) 70
(4,4) 1
C
C
C



 
 Portanto, até aqui temos 495 x 70 x 1 possibilidades. Só isso já é 
superior a 495, portanto o item está ERRADO. 
 
 TERCEIRO ITEM: Veja que temos a permutação de 7 faixas, com a 
repetição de 3 (verdes) e 3 (amarelas). Utilizando a fórmula da 
permutação com repetição, temos: 
7!(7;3,3) 140
3!3!
P   
 Isto é, existem 140 formas diferentes de dispor as 7 faixas. Item 
CERTO. 
 
Resposta: C E C 
 
 
29. CESPE – MPE/RR – 2008) Em cada um dos próximos itens, é 
apresentada uma situação hipotética a respeito de probabilidade e 
contagem, seguida de uma assertiva a ser julgada. 
 
( ) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as 
seguintes áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; 
direito tributário e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a 
um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que área se referem, 
para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 
se refiram a uma mesma área, será necessário que se retirem pelo menos 
45 processos. 
 
RESOLUÇÃO: 
Vamos imaginar o pior caso possível. Imagine que, ao retirar 4 
processos, foram retirados exatamente 1 processo de cada tipo. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヲ 
Prosseguindo, após retirar mais 4 processos, demos o “azar” de tirar mais 
1 processo de cada tipo, totalizando 2 processos de cada tipo. 
Prosseguindo neste raciocínio, pode ser que, após retirar 36 processos, 
tenhamos 9 de cada tipo. Isto significa que, ao retirar o próximo processo 
(o 37º), completaremos 10 processos de algum dos tipos. Isto é, é 
preciso tirar 37 processos do arquivo para ter certeza de que pelo menos 
10 são do mesmo tipo. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
30. CESPE – Polícia Militar/CE – 2008) Cada um dos itens a seguir 
apresenta uma informação seguida de uma assertiva a ser julgada a 
respeito de contagem. 
 
( ) No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto, 
seguidas de quatro algarismos. Então, com as letras A, B e C e com os 
algarismos 1, 2, 3 e 4 é possível formar mais de 140 placas distintas de 
automóveis. 
 
( ) Determinada cidade possui quatro praças, cinco escolas e seis centros 
de saúde que deverão ser vigiados pela polícia militar. Diariamente, um 
soldado deverá escolher uma praça, uma escola e um centro de saúde 
para fazer a sua ronda. Nesse caso, o soldado disporá de mais de 150 
formas diferentes de escolha dos locais para sua ronda. 
 
( ) Em determinada delegacia, há 10 celas iguais e 8 presidiários. Nesse 
caso, há mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um 
presidiário em cada cela. 
 
( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA é uma permutação das letras 
dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum. A 
quantidade de anagramas que é possível formar com essa palavra é 
inferior a 180.000. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵン 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 PRIMEIRO ITEM: Temos que formar placas com 3 letras e 4 
algarismos com as 3 letras disponíveis e os 4 algarismos 
disponíveis. Veja que o exercício não disse que as letras ou os 
algarismos deviam ser distintos, isto é, pode haver repetição. 
Pensando numa senha do tipo L L L – N N N N, onde a letra “L” 
simboliza uma letra e a letra “N” simboliza um algarismo, sabemos 
que temos 3 possibilidades para preencher cada “L”, e 4 
possibilidades para preencher cada “N”. Ao todo, temos: 3 x 3 x 3 x 
4 x 4 x 4 x 4 = 6912 possibilidades. Isto é, BEM MAIS que 140 
placas distintas. Item CERTO. 
 
 SEGUNDO ITEM: o policial tem 4 formas de escolher uma praça 
para fazer a sua ronda. E 5 formas de escolher uma escola. E 6 
formas de escolher um centro de saúde. Portanto, ao todo o policial 
pode escolher um conjunto praça-escola-centro de 4 x 5 x 6 = 120 
formas distintas. Item ERRADO. 
 
 TERCEIRO ITEM: Veja que sempre sobrarão exatamente 2 celas 
vazias, afinal devemos colocar um presidiário apenas por cela. 
Portanto, precisamos resolver este item em 2 etapas: 
 
- escolher 8 das 10 celas para preencher com presidiários. Para 
isso, devemos combinar 10 celas, 8 a 8: 
(10,8) (10,2) 45C C  
- escolhidas as 8 celas, devemos permutar os 8 presidiários entre as 
celas, calculando a quantidade de forma de dispô-los: 
(8) 8! 40320P   
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヴ 
Portanto, temos 45 formas de escolher 8 celas, e, para cada uma 
dessas formas, temos 40320 formas de dispor os presidiários. 
Assim, ao todo temos: 
45 x 40320 = 1.814.400Item CERTO. 
 
 QUARTO ITEM: observe que FORTALEZA possui 9 letras, com a 
repetição de 2 letras A. Portanto, a quantidade de anagramas é 
dada pela permutação de 9, com repetição de 2: 
9!(9;2) 181440
2!
P   
 Isto é, temos mais de 180.000 anagramas. Item ERRADO. 
Resposta: C E C E 
 
31. ESAF – ANEEL – 2004) Quer-se formar um grupo de danças com 6 
bailarinas, de modo que três delas tenham menos de 18 anos, que uma 
delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior 
a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades 
de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente 
das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser 
selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a 
 a) 85. 
 b) 220. 
 c) 210. 
 d) 120. 
 e) 150. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos uma candidata com cada idade possível entre 11 e 22 anos. 
Portanto, temos ao todo 7 candidatas com menos de 18 anos (11, 12, 13, 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヵ 
14, 15, 16 e 17 anos); 1 candidata com 18 anos, e 4 candidatas com 
mais de 18 anos (19, 20, 21 e 22 anos). 
 Precisamos escolher 3 dentre as 7 bailarinas com menos de 18 
anos. Veja que a ordem de escolha não importa, afinal o grupo 
constituído pelas bailarinas 11-12-13 é igual ao grupo constituído pelas 
bailarinas 13-11-12, e assim por diante. Logo, estamos diante de uma 
combinação de 7 pessoas, 3 a 3: 
C(7,3) = 7 x 6 x 5 / (3 x 2 x 1) = 35 possibilidades 
 
 Só há 1 possibilidade para a escolha de uma garota com 
exatamente 18 anos. Devemos ainda escolher as 2 bailarinas que restam 
para completar o grupo de 6. Elas devem ser escolhidas dentre as 4 com 
mais de 18 anos. O número de possibilidades para esta escolha é dada 
pelas combinações de 4 pessoas em grupos de 2: 
C(4,2) = 4 x 3 / (2 x 1) = 6 possibilidades 
 
 Ao todo temos 35 possibilidades para as menores de 18 anos E 1 
possibilidade para a bailarina de 18 anos E 6 possibilidades para as 
maiores de 18. Portanto, o número de formas de escolha é dado pela 
multiplicação (veja que destaquei o “E” na frase anterior para detonar o 
princípio multiplicativo): 
Total = 35 x 1 x 6 = 210 possibilidades 
Resposta: C 
 
32. ESAF – AFT – 2006) Quer-se formar um grupo de dança com 9 
bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma 
delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior 
a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com 
idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヶ 
diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que 
podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: 
 a) 120 
 b) 1220 
 c) 870 
 d) 760 
 e) 1120 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 8 garotas com menos de 23 anos, das quais devemos 
escolher 5. O número de combinações é: 
C(8,5) = C (8,3) = 8 x 7 x 6 / (3 x 2 x 1) = 56 possibilidades 
 
 Temos uma única possibilidade para a garota de 23 anos exatos. E 
restam 6 garotas com mais de 23 anos, das quais devemos escolher 3. 
Isto é: 
C(6,3) = 6 x 5 x 4 / (3 x 2 x 1) = 20 possibilidades 
 
 Ao todo, temos 56 x 1 x 20 = 1120 possibilidades. 
Resposta: E 
 
33. ESAF – MPU – 2004) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de 
Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os 
seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser 
dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam 
ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O 
número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é 
igual a 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΑ 
 a) 20. 
 b) 30. 
 c) 24. 
 d) 120. 
 e) 360. 
RESOLUÇÃO: 
 Inicialmente, vamos desconsiderar o fato de que os quadros de 
Gotuzo precisam ficar em uma ordem fixa (cronológica). Sendo G1, G2 e 
G3 os quadros de Gotuzo e P1, P2 e P3 os quadros de Portinari, alguns 
exemplos de disposição seriam: 
1. P1 P2 P3 G1 G2 G3 
2. P1 G1 P2 G2 P3 G3 
3. P1 G3 P2 G1 P3 G2 
4. G1 G2 P3 P1 G3 P2 
5. G2 G1 P3 P1 G3 P2 
6. G3 G1 P3 P1 G2 P2 
... 
Veja que temos 6 quadros distintos, e está claro que a ordem dos 
quadros torna uma disposição diferente da outra. Logo, podemos calcular 
o número total de formas diferentes de dispô-los através da fórmula da 
permutação simples: 
Total = P(6) = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 formas 
 
 Deste total acima, devemos eliminar os casos em que os quadros de 
Gotuzo trocam de ordem entre si (afinal eles devem estar sempre na 
mesma ordem, do mais recente para o mais antigo). Em nossa lista 
acima, veja que deveríamos eliminar o caso 3, pois a diferença do caso 2 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΒ 
para ele é apenas a troca na ordem dos quadros de Gotuzo. Da mesma 
forma, deveríamos eliminar os casos 5 e 6, pois a diferença deles para o 
caso 4 é a troca de ordem dos quadros de Gotuzo. 
Vamos trabalhar mais detidamente sobre o caso 4 para você 
visualizar o problema. Substituindo os quadros de Gotuzo por posições 
em branco, temos: 
4. _ _ P3 P1 _ P2 
 
De quantas maneiras podemos distribuir os quadros de Gotuzo nos 
espaços em branco? Ora, temos 3 possibilidades para o primeiro espaço 
(G1, G2 ou G3), 2 para o segundo e 1 para o terceiro, totalizando 3 x 2 x 
1 = 6 formas. Isto nos mostra que, pela simples alteração na posição dos 
quadros de Gotuzo (sem mexer na posição dos Portinari) criamos 6 
distribuições diferentes, sendo que destas apenas 1 nos interessa – 
aquela que esses quadros estão em ordem cronológica: 
4. G1 G2 P3 P1 G3 P2 
 
Generalizando este raciocínio, para cada posicionamento dos 3 
quadros de Portinari, o número de permutações possíveis para os 3 
quadros de Gotuzo é: 
P(3) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 
 
 Destas 6 permutações possíveis, só 1 nos interessa (ordem 
cronológica). Isto é, para aquelas 720 distribuições que encontramos 
inicialmente, sabemos que de cada 6 delas apenas 1 nos interessa. 
Assim, devemos dividir 720 por 6, para eliminar as distribuições geradas 
pela simples permutação entre os quadros de Gotuzo. Logo, 
Disposições = 720 / 6 = 120 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΒ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΓ 
 Temos 120 formas de organizar os 6 quadros, de maneira a não 
trocar a ordem dos quadros de Gotuzo. 
Resposta: D 
 
34. ESAF – MPU – 2004) Quatro casais compram ingressos para oito 
lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes 
maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres 
sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se 
juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, 
 a) 1112 e 1152. 
 b) 1152 e 1100. 
 c) 1152 e 1152. 
 d) 384 e 1112. 
 e) 112 e 384. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos usar a tabela abaixo para anotar todas as possibilidades de 
preenchimento de cada cadeira. 
Cadeira 
1 
Cadeira 
2 
Cadeira 
3 
Cadeira 
4 
Cadeira 
5 
Cadeira