aula 05 E 06 - item 2 1 ATE2 8_ POS GREVE

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AERODINÂMICA: ALGUNS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS E EQUAÇÕES
CAPÍTULO 02 – 2.1 e 2.2
2.2 REVISÃO DAS RELAÇÕES VETORIAIS
A aerodinâmica está cheia de quantidades que tem tanto magnitude quanto direção, tais como força e velocidade.
Estes são grandezas vetoriais, e como tal, a matemática da aerodinâmica é mais convenientemente expressa em notação vetorial. 
O objetivo desta seção é estabelecer as relações básicas que precisamos da álgebra vetorial e cálculo vetorial. 
2.2.1 Soma Algébrica Vetorial
2.2.1 Soma Algébrica Vetorial
Figura 2.4:
2.2.1 Soma Algébrica Vetorial
2.2.1 Soma Algébrica Vetorial
2.2.1 Soma Algébrica Vetorial
ESCALAR – Representado pelo ponto – fornece um número
VETORIAL – Representado por uma cruz – fornece um vetor
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Revisão de relações vetoriais
Força e velocidade
Uso de notação vetorial
Álgebra vetorial
A - vetor
|A| - magnitude absoluta
n – vetor unitário, igual a A / |A|
Soma vetorial
Formada conectando o início de A com o final de B
Resumindo
9
Álgebra vetorial
Subtração
Soma com o vetor simétrico
Multiplicação
Produto escalar
A . B = |A||B| cos θ
Produto vetorial
A x B = (|A||B| sen θ) e = G
G é perpendicular ao plano que contém A e B
Regra da mão direita
Resumindo
2.2.2 Sistema típico de Coordenadas Ortogonais
Para descrever matematicamente o escoamento de um fluido através de um espaço tridimensional, temos que prescrever um sistema de coordenadas tridimensional. 
A geometria de alguns problemas aerodinâmicos se adapta melhor em um espaço retangular, enquanto outros são de natureza principalmente cilíndricos, e outros ainda podem ter propriedades esféricas. 
Por isso, temos interesse nos três sistemas mais comuns de coordenadas ortogonais: cartesiano, cilíndrico e esférico. 
Um sistema de coordenadas ortogonais é aquele em que todas as três direções de coordenadas são perpendiculares. 
2.2.2 Sistema típico de Coordenadas Ortogonais
2.2.2 Sistema típico de Coordenadas Ortogonais
Figura 2.6
2.2.2 Sistema típico de Coordenadas Ortogonais
2.2.2 Sistema típico de Coordenadas Ortogonais
2.2.2 Sistema típico de Coordenadas Ortogonais
2.2.2 Sistema típico de Coordenadas Ortogonais
2.2.3 Campos Escalares e Vetoriais
2.2.3 Campos Escalares e Vetoriais
2.2.3 Campos Escalares e Vetoriais
Expressões análogas podem ser escritas para os campos vetorias nos espaços cilíndrico e esférico. 
2.2.4 Produto Escalar e Vetorial
2.2.4 Produto Escalar e Vetorial
2.2.4 Produto Escalar e Vetorial
2.2.5 Gradiente de um campo escalar
2.2.5 Gradiente de um campo escalar
2.2.5 Gradiente de um campo escalar
2.2.5 Gradiente de um Campo Escalar
Resumindo: Gradiente é a variação de pressão entre dois pontos no espaço. 
Você pega dois pontos com diferentes pressões, calcula a diferença entre estes valores de pressão e dividi pela distância entre eles no espaço, ou seja, a distância entre os pontos com diferentes pressões.
Este cálculo é o gradiente de pressão
2.2.5 Gradiente de um campo escalar
2.2.5 Gradiente de um Campo Escalar
Isto é, a equação 2.15 é a diferença de pressão pelo espaço que é o gradiente de pressão vezes o vetor unitário, que serve para indicar a direção do gradiente, para onde está aumentando a pressão.
Ou seja, se você trabalha com temperatura, e está dentro de uma sala que tem uma lâmpada, o vetor unitário irá apontar em direção à lâmpada, que é a região mais quente, de maior temperatura, ou seja, a temperatura está aumentando naquela direção.
2.2.5 Gradiente de um campo escalar
2.2.6 Divergência de um Campo Vetorial
Considere um campo vetorial
No exemplo acima, V pode representar qualquer vetor quantidade. 
No entanto, para fins práticos, e para auxiliar na interpretação física, considere V como sendo a velocidade do escoamento. 
Além disso, visualizamos um pequeno elemento de fluido de massa fixa movendo-se ao longo de uma linha de corrente com velocidade V. 
À medida que o elemento de fluido se move através do espaço, o seu volume, em geral, muda. 
Posteriormente, será provado que a taxa de variação do volume de um elemento fluido de massa constante em movimento, por unidade de volume de tal elemento, é igual ao divergente de V, denotada por . 
 
2.2.6 Divergência de um Campo Vetorial
2.2.6 Divergência de um Campo Vetorial
Isto é, a divergência é o produto escalar do operador Nabla com o campo vetorial da velocidade (V). Isto fornece um número, que representa a fuga de massa de um ponto.
Nos fluidos incompressíveis, onde a massa específica é constante, a divergência é zero, porque não tem como as moléculas se afastarem, pois estão elas muito ligadas, quando uma molécula se afasta, já tem outra para pegar o lugar.
2.2.7 Rotacional de um Campo Vetorial
2.2.7 Rotacional de um campo vetorial
2.2.7 Rotacional de um campo vetorial
É a capacidade do fluido de girar, de rotação de um fluxo qualquer, como o redemoinho.
É igual a divergência, só que o Nabla opera vetorialmente com o vetor V.
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Integrais de linha
Considere um campo vetorial A, uma curva C conectando dois pontos a e b. Seja ds um elemento e n um vetor unitário tangente a C.
Definido o vetor ds = n ds, a integral de linha conectando a até b é
Se a curva C é fechada, então a integral fica
Resumindo
37
Integrais de superfície
Considere uma superfície aberta cercada pela curva fechada C
No ponto P da superfície, seja dS um elemento de área da superfície e n o vetor normal unitário
Definido o vetor dS = n ds, as integrais de superfície sobre S podem ser
Resumindo
2.2.9 Integral de Superfície
 = integral de superfície de um escalar p sobre uma superfície aberta S (o resultado é um vetor)
 
 = integral de superfície de um vetor A sobre uma superfície aberta S (o resultado é um escalar)
 
 = integral de superfície de um vetor A sobre a superfície aberta S (o resultado é um vetor)
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Integrais de volume
O resultado é um vetor ou escalar
Resumindo
2.2.10 Integral de Volume
41
Relações entre integrais de linha, superfície e volume
Teorema de Stokes
Teorema da divergência
Teorema do gradiente
Todos estes teoremas foram deduzidos pelos alunos em cálculo II.
Resumindo
MODELOS DE FLUIDOS: VOLUMES CONTROLE E ELEMENTOS FLUIDOS
CAPÍTULO 02 – 2.3
2.3 MODELOS DE FLUIDOS: VOLUMES CONTROLE E ELEMENTOS FLUIDOS
Aerodinâmica é uma ciência fundamental, apoiada na observação física. 
Com esta seção, começamos a construir as equações básicas da aerodinâmica. Observe:
1. Invocar três princípios físicos fundamentais que estão profundamente interligados em nossas observações macroscópicas da natureza, ou seja,
a. A massa é conservada, ou seja, a massa não pode ser criada nem destruída.
b. Segunda lei de Newton: força = massa x aceleração.
c. A energia é conservada, só pode mudar de uma forma para outra.
2. Determinar um modelo adequado do fluido. Lembre-se que um fluido é uma substância deformável e, portanto, geralmente é mais difícil de descrever do que um corpo sólido bem definido. 
2.3 MODELOS DE FLUIDOS: VOLUMES CONTROLE E ELEMENTOS FLUIDOS
OBS: isto é, a massa é conservada, aplica-se a segunda lei de Newton e a energia é conservada. Em resumo, vc tem que criar uma forma de controlar e quantificar a massa fluida em seu movimento.
OBS: A metodolgia que se vai usar será escolhida com base no (1) Volume de controle finito, (2) elemento de fluido infinitesimal, e (3) molecular.
2.3.1 Método do Volume de Controle Finito
Considere um campo geral de escoamento representado pelas linhas de corrente na Figura 2.13. 
OBS: As linhas de corrente são uma trajetória onde sempre tem a velocidade do fluido tangente a ela. É uma trajetória que tangencia sempre o campo de velocidade.
Imaginemos um volume fechado desenhado dentro de uma região finita do escoamento. 
2.3.1 Método do Volume de Controle Finito
Estevolume define um volume de controle V, e uma superfície de controle S é definida como a superfície fechada que circunda o volume de controle. 
O volume de controle pode ser fixado no espaço com o fluido movendo-se através dele, ou seja, ocorre a passagem do fluido através dele, como mostrado à esquerda da Figura 2.13. 
OBS: os modelos fixos são chamados de modelos de Euler, e os modelos móveis são chamados de modelos de lagrange.
2.3.1 Método do Volume de Controle Finito
Alternativamente, o volume de controle pode estar se movendo com o fluido de tal forma que as partículas do mesmo fluido estão sempre dentro dela, como mostrado à direita da Figura 2.13. 
Em ambos os casos, o volume de controIe é uma região finita razoavelmente grande de escoamento. 
2.3.1 Método do Volume de Controle Finito
Os princípios fundamentais da física serão aplicadas ao fluido dentro do volume controle, e para o fluido que atravessa a superfície de controle (se o volume de controle é fixo no espaço). 
Portanto, em vez de olhar para o campo de escoamento inteiro de uma vez, com o modelo do volume de controle limitamos nossa atenção apenas para o fluido na região finita do próprio volume.
2.3.2 Método do elemento de fluido infinitesimal
Considere um campo geral de escoamento representado pelas linhas de corrente na Figura 2.14. 
Vamos imaginar um elemento de fluido infinitesimal no escoamento, com um diferencial de volume dV. 
O elemento de fluido é infinitesimal, no mesmo sentido que como no cálculo diferencial. No entanto, é grande o suficiente para conter um grande número de moléculas de modo que possa ser visto como um meio contínuo. 
2.3.2 Método do elemento de fluido infinitesimal
O elemento de fluido pode ser fixado no espaço com a passagem do fluido através dele, como mostrado à esquerda da Figura 2.14. 
Alternativamente, pode estar se movendo ao longo de uma linha de corrente com velocidade V igual à velocidade do fluxo em cada ponto. 
Novamente, em vez de olhar para o campo de escoamento inteiro de uma vez, os princípios físicos fundamentais são aplicados apenas no próprio elemento do fluido.
2.3.2 Método do elemento de fluido infinitesimal
OBS: As moléculas de fluido são bem espaçadas, bem mais que nos sólidos, e é isso que faz elas serem deformáveis. Desta forma, o volume infinitesimal dV, ele tem que ser grande o suficiente para conter um certo número de moléculas que permita que as características de continuidade do fluido permaneçam. As moléculas ficam afastadas e se vc reduzir este volume para regiões muito pequenas, pode ser que estas dimensões sejam tão pequenas que não contenha nenhuma molécula, só o vácuo. Nesta escala, o fluido não pode ser considerado mais como um meio contínuo. Neste caso, os modelos, ou metodologias, escolhidas perdem sua validade, ou seja, se vc vai estudar o movimento das moléculas não pode pegar o volume de controle no vácuo.
OBS: Em vez de pegar o sistema todo, so se vai pegar o elemento, o volume de controle. Exemplo, vc tem um tubo e abre uma janela de acrílico nele, então vc controlo somente o que passa pela janela.
2.3.2 Método do elemento de fluido infinitesimal
OBS: O volume de controle é finito e o elemento de fluido é infinitesimal.
O elemento de fluido pode está dentro do volume de controle.
2.3.4 Significado físico do divergente do campo de velocidade
Nas equações a seguir, o divergente da velocidade, , ocorre com freqüência. 
Antes de deixar esta seção, vamos provar a afirmação feita anteriormente (Seção 2.2) que é fisicamente a taxa de variação do volume de um elemento fluido em movimento com massa fixa por unidade de volume do elemento. 
Considere um volume de controle movendo-se com o fluido (o caso mostrado à direita da Figura 2.13). 
OBS: divergente do campo de velocidade:
É uma operação matemática que quantifica o movimento 
de massa do fluido em torno de um ponto)
2.3.4 Significado físico do divergente da velocidade
Este volume de controle é sempre composto de partículas de mesmo fluido que se movem com o escoamento, portanto, sua massa é fixa, invariável com o tempo. 
No entanto, o seu volume v e a superfície de controle S estão mudando com o tempo enquanto se movem para diferentes regiões de escoamento onde existem diferentes valores de . 
Ou seja, este volume de controle móvel de massa fixa está constantemente aumentando ou diminuindo seu volume e está mudando sua forma, dependendo das características do fluxo. Este volume de controle é mostrado na Figura 2.15, em algum instante no tempo.
Figura 2.15
2.3.4 Significado físico do divergente da velocidade
OBS: A quantidade de massa é fixa dentro do volume de controle, mas a massa pode se deslocar dentro do VC, se mover, pode ficar concentrada ou menos concentrada em diferentes pontos do VC, fazendo com que sua massa especifica varie dentro do VC. Então a divergencia é uma forma de medir esta variação, ou seja, é a variação de volume da massa fixa com o tempo por unidade de volume do fluido.
OBS: Veja um ponto ., vc ve massa entrando e saindo deste ponto, então a divergencia é a variação temporal de massa por unidade de volume em torno deste ponto. Isto permite concluir que se a massa especifica é constante, a quantidade de massa que foge do ponto é igual à quantidade de massa que chega no ponto, fazendo com que a divergencia seja zero. Se a divergencia é diferente de zero, a massa especifica é variável.
Figura 2.15
2.3.4 Significado físico do divergente da velocidade
OBS: Ou seja, vc tem um copo, para vc medir a variação do volume de controle, 
vc tira uma faixa e a variação vai ser a área desta faixa de fluido.
2.3.4 Significado físico do divergente da velocidade
Sobre a variação de tempo, a variação total no volume de todo o volume de controle é igual ao somatório da Equação (2.28) sobre a superfície de controle total. No limite em que , a soma torna-se a integral de superfície:
 
OBS: a equação (2.28) representa a variação apenas através da superficie dS, e eu preciso da variação total através da superficie de controle, então eu integro esta expressão.
Se esta integral é dividida pelo intervalo de tempo , o resultado é fisicamente a variação temporal do volume de controle, denotada por , ou seja,
 (2.29)
2.3.4 Significado físico do divergente da velocidade
Resumindo a transparência anterior: V.t é a distancia percorrida, quando vc multiplica pelo vetor n, vc encontra a direção e o sentido da distancia percorrida. 
 O volume é a distancia percorrida (vtn) pela área (dS).
Vc tem um VC limitado por uma superficie, só que a superficie é maleável, se deforma. Como o infinitesimal dS está se movendo com a velocidade V, ele está deformando o VC. Logo, a deformação , ou seja, a variação desse volume, é o produto escalar do espaço percorrido vezes o vetor unitário n.
Multipica pelo vetor unitário n porque se está calculando um vetor, então se precisa saber a direção e o sentido.
2.3.4 Significado físico do divergente da velocidade
Aplicando o teorema da divergência, Equação (2.26), para o lado direito da Equação (2.29), temos:
 (2.30)
Ou seja, a integral da Eq 2.29 é de superficie, então eu preciso relacionar com a integral de volume. E como se faz isso? Como se transforma a integral de superficie em integral de volume? Através do teorema de Stokes ou teorema da divergencia, que diz o seguinte: “o fluxo volumétrico através de uma superficie de controle é igual à integral da divergencia desse volume de controle”, que é dada por 
 
2.3.4 Significado físico do divergente da velocidade
 
Agora, vamos imaginar que o volume de controle movendo-se na Figura 2.15 é reduzido a um volume muito pequeno , essencialmente tornando-se um elementode fluido infinitesimal e movendo-se como esboçado no lado direito da Figura 2.14. Então a equação (2.30) pode ser escrita como:
 (2.31)
2.3.4 Significado físico do divergente da velocidade
2.3.4 Significado físico do divergente da velocidade
2.3.5 ESPECIFICAÇÕES DO CAMPO DE ESCOAMENTO
Anteriormente, definimos dois campos escalares e vetoriais. 
Vamos agora aplicar este conceito de um campo mais diretamente a um escoamento aerodinâmico. 
Uma das maneiras mais simples de descrever os detalhes de um escoamento aerodinâmico é simplesmente visualizar o escoamento no espaço tridimensional, e escrever a variação das propriedades aerodinâmicas como uma função do espaço e do tempo. 
Por exemplo, em coordenadas cartesianas as equações são:
 
 (2.33a)
 (2.33b)
 (2.33c)
2.3.5 ESPECIFICAÇÕES DO CAMPO DE ESCOAMENTO
2.3.5 ESPECIFICAÇÕES DO CAMPO DE ESCOAMENTO
As Equações (2.33a-c) dão a variação do campo de escoamento para as variáveis de ​​pressão, densidade e temperatura, respectivamente. 
Em equilíbrio termodinâmico, a especificação de duas variáveis ​​de estado, tais como p e , definem exclusivamente os valores de todas as outras variáveis ​​de estado, tais como T. 
Neste caso, uma das Equações (2.33) pode ser considerada redundante.
OBS: se vc tem p e , vc consegue definir T pela equação da lei dos gases.
As Equações (2.34a-d) dão a variação do campo de escoamento vetorial para as variável velocidade V, onde as componentes escalares de V em x, y, e z são u, v, e w, respectivamente.
2.3.5 ESPECIFICAÇÕES DO CAMPO DE ESCOAMENTO
A Figura 2.16 ilustra um dado elemento de fluido movendo-se em um campo de escoamento especificado pelas Equações (2.33) e (2.34). Para o instante , o elemento de fluido está no ponto 1, localizado em como mostrado na Figura 2.16.
Nesse instante, sua velocidade é e sua pressão é dada por:
e similarmente para suas outras variáveis ​​de escoamento.
Figura 2.16:
2.3.5 ESPECIFICAÇÕES DO CAMPO DE ESCOAMENTO
Por definição, um escoamento transiente (não permanente) é aquele em que as variáveis ​​do campo de escoamento em qualquer ponto estão mudando com o tempo. 
Por exemplo, se você fechar os olhos no ponto 1, na Figura 2.16, e mantê-los fixos no ponto 1, se o escoamento é transiente (não permanente) você vai observar p, , etc variam com o tempo. 
As equações (2.33) e (2.34) descrevem um campo de escoamento transiente (não permanente), porque o tempo t é incluído como uma das variáveis ​​independentes. 
Por outro lado, um escoamento permanente é aquele em que as variáveis ​​do campo de escoamento em qualquer ponto são invariáveis ​​com o tempo, isto é, se você fechar seus olhos em um ponto você vai observar continuamente os mesmos valores constantes para p, , V, etc para todos os tempos.
 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
CAPÍTULO 02 – 2.4
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Nós agora empregaremos o modelo para um volume de controle finito fixo como esboçado no lado esquerdo da Figura 2.13. 
 Figura 2.13
Aqui, o volume de controle é fixo no espaço, com o escoamento movendo-se através dele. 
Ao contrário de nossa derivação anterior, o volume V e superfície de controle S são agora constantes com o tempo, e a massa de fluido contida dentro do volume de controle pode mudar em função do tempo (devido à variações transientes do campo de escoamento).
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
É importante, antes de tudo, entender o volume de controle. Você tem o sistema na figura (a) e depois de um certo tempo, o sistema andou e foi para a figura (b)
Veja que o sistema está no tempo t. Este sistema vai andando, e o Volume de Controle está parado. No instante seguinte, o fluido, que é o sistema, andou, mas o volume de controle continua parado e você tem uma nova situação.
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Voltando as nossas equações percebe-se:
Antes de iniciar a derivação das equações fundamentais da aeradinâmica, devemos examinar um conceito vital para as equações, a saber, o conceito de fluxo de massa. 
Considere uma determinada área A arbitrariamente orientada em um campo de escoamento, como mostrado na Figura 2.18. 
Na Figura 2.18, estamos olhando para uma vista lateral da área A. 
Seja a área A pequena o suficiente de modo que a velocidade de fluxo V é uniforme em toda A. 
Figura 2.18:
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Considere os elementos de fluido com velocidade V que passam através de A. 
Em um tempo dt, depois de passarem através de A, eles se movem a um distância Vdt e percorreram o volume sombreado indicado na Figura 2.18. 
Este volume é igual à área da base vezes a altura A do cilindro, onde é a componente normal da velocidade A, ou seja,
OBS: vc esta admitindo movimento uniforme, logo a velocidade é constante ao longo da seção. E com V constante, o fluido move-se a uma distância definida por Vdt.
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A massa dentro do volume sombreado é, portanto,
 (2.42)
OBS: Lembre-se 
Esta é a massa que percorreu a área A no tempo dt. 
Por definição, a vazão mássica, , através de A, é a massa que atravessou A por segundo (por exemplo, kg por segundo, slugs por segundo). Seja a vazão mássica. A partir da Equação (2.42).
Ou (2.43)
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Equação (2.43) demonstra que a vazão mássica através de A é dado pelo produto:
Área X Densidade X Componente da Velocidade na direção normal à Área
 
Uma relação conceitual é o de fluxo de massa, definido como a vazão mássica por unidade de área.
 
Fluxo de massa = (2.44)
As unidades típicas de fluxo de massa são kg/(s.m²) e slugs/(s.ft²).
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Note, pela Equação (2.44), que o fluxo de massa através de uma superfície é igual ao produto da densidade pela componente da velocidade perpendicular à superfície. 
Muitas das equações da aerodinâmica envolvem produtos de densidade e velocidade. 
Por exemplo, em coordenadas cartesianas, , onde u, v, e w denotam as componentes x, y e z da velocidade, respectivamente. 
O uso de u, v, e w ao invés de para simbolizar as componentes x, y e z da velocidade é bastante comum na literatura aerodinâmica, nós adotaremos a notação u, v e w. 
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Em muitas das equações de aerodinamicas, você vai encontrar o produto , e sempre lembrando que estes produtos são os fluxos de massa (ou vazão mássica, coforme pode ser conferido na equação 2.44) na direções x, y, e z, respectivamente. 
De uma forma mais geral, se V é o módulo da velocidade em uma direção arbitrária, o produto é fisicamente o fluxo de massa (escoamento de massa por unidade de área) atravéz de uma área perpendicular à direção de V.
Agora, estamos prontos para aplicar o nosso primeiro princípio físico para um volume de controle finito fixo no espaço.
 
Pincípio Físico: A massa não pode ser criada nem destruida.
 
, 
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Considere um campo de escoamento em que todas as propriedades variam com a localização espacial e temporal, por exemplo, . 
Neste campo de escoamento, considere o volume decontrole fixo finito mostrado na Figura 2.19. 
Em um ponto sobre a superfície de controle, a velocidade do escoamento é V e o elemento do vetor superfície é dS. Também dv é um elemento de volume no interior do volume de controle. Aplicado a este volume de controle, o princípio físico acima significa:
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A vazão mássica para fora do volume de controle através da superfície S = Variação temporal da massa no interior do volume de Controle V ao longo do tempo (2.45a)
Ou B = C (2.45b)
 
onde B e C são apenas símbolos convenientes para os lados esquerdo e direito, respectivamente, da Equação (2.45a). 
OBS 1: a massa que está passando pela porta tem que ser igual ao decréscimo de massa que sai do VC, ou seja tem que ser igual ao que está diminuindo dentro do VC.
OBS 2: O que sai tem que ser igual ao que entra para não variar a massa.
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
O fluxo total de massa (vazão mássica total) líquida para fora da superfície de controle S é a soma dos elementos de fluxos de massa sobre S. Isto é, o somatorio de todos os elementos de fluxo de massa em cima de S.
No limite, isso se torna uma integral de superfície, que é fisicamente o lado esquerdo das Equações (2.45a e b), ou seja,
 (2.46)
OBS: é a vazão mássica de um elemento de fluido, mas eu quero saber a vazão mássica total do VC, então eu integro em toda a superficie, ou seja, faço a soma de todos os pequenos elementos e ai vamos ter a equação (2.46)
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Agora considere o lado direito das equações (2.45a e b). A massa contida no elemento de volume dV é 
 Assim, a massa total dentro do volume controle é:
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A variação temporal da massa no interior do volume é, então, V
Por sua vez, esta variação é negativa com relação ao meio externo, ou seja, (porque ele perde massa)
 (2.47)
OBS: vc tem um VC, se o meio externo perde massa, o interno ganha, e se o interno ganha, o externo perde. Estas variações são contrárias.
Assim, substituindo as equações (2.46) e (2.47) em (2.45b), temos:
Ou
 (2.48)
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Equação (2.48) é o resultado final da aplicação do princípio físico da conservação da massa para um volume de controle finito fixo no espaço. A Equação (2.48) é chamada de equação da continuidade. É uma das equações mais fundamentais da dinâmica dos fluidos.
 
Note que a Equação (2.48) expressa a equação da continuidade na forma integral. Nós teremos inúmeras oportunidades para usar esta forma, ela tem a vantagem de relacionar fenômenos aerodinâmicos sobre uma região finita do espaço sem se preocupar com os detalhes de exatamente o que está acontecendo em um dado ponto distinto no escoamento. 
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Por outro lado, existem muitas ocasiões onde estamos preocupados com os detalhes de um escoamento e queremos ter equações que relacionam as propriedades do escoamento em um determinado ponto. 
OBS: Agora, ele quer criar uma maneira de estudar não de forma global, mas de forma particular o movimento das partículas fluidas no interior do VC.
Nesse caso, a forma integral como expressa na Equação (2.48) não é útil. No entanto, a Equação (2.48) pode ser reduzida a uma outra forma que relaciona as propriedades do escoamento em um determinado ponto, como se segue. Para começar, já que o volume de controle usado para obter a Equação (2.48) é fixo no espaço, os limites de integração também serão fixos. 
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Assim, a derivada temporal pode ser colocada dentro da integral do volume e a Equação (2.48) pode ser escrita como:
 (2.49)
 
Aplicando o teorema de divergência, Equação (2.26), nós podemos expressar o termo do lado direito da Equação (2.49) como:
 (2.50)
 
Substituindo a Equação (2.50) na Equação (2.49), nós obtemos:
Ou 
 (2.51)
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Examine o integrando da Equação (2.51). Se o integrando for um número finito, então a equação (2.51) exigirá que a integral sobre parte do volume de controle seja igual e de sinal oposto à integral ao longo do restante do volume de controle, de tal forma que o valor líquido da integração seja zero. No entanto, o volume de controle finito é arbitrariamente desenhado no espaço, não há razão para o cancelamento de uma região com a outra. Assim, a única maneira para a integral na Equação (2.51) ser zero para um volume de controle arbitrário é quando o integrando for zero em todos os pontos dentro do volume de controle. 
OBS: Isto é, a equação 2.51 mostra que para se anular é importante que a parte do interior do integrando se anule, logo 
 
 (2.52)
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Equação (2.52) é a equação da continuidade, na forma de uma equação diferencial parcial. Esta equação relaciona as variáveis ​​do campo de escoamento em um ponto no escoamento, em oposição à Equação (2.48), que trata de um espaço finito.
OBS: Ela agora permite que vc descreva o comportamento do fluido no interior do VC.
É importante ter em mente que as equações (2.48) e (2.52) são afirmações igualmente válidas do princípio físico da conservação da massa. Eles são representações matemáticas, mas sempre se lembre das palavras – A massa não pode ser nem criada nem destruída.
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
É importante enfatizar a diferença entre os escoamentos permanente e transiente (não permanente). Em um escoamento transiente (não permanente), as variáveis ​​do campo de escoamento são função tanto da localização espacial quanto do tempo, por exemplo,
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Isto significa que se você fixar seus olhos em um ponto fixo no espaço, a densidade nesse ponto vai mudar com o tempo. Tais flutuações transientes (não permanente) podem ser causadas variando o tempo (por exemplo, um aerofólio inclinando-se para cima e para baixo com o tempo ou as válvulas de abastecimento de um túnel de vento serem ligadas ou desligadas). As Equações (2.48) e (2.52) mantém-se para tais escoamentos transientes (não permanente). 
Por outro lado, a grande maioria dos problemas práticos da aerodinâmica envolvem escoamento permanente. Aqui, as variáveis ​​do campo de escoamento são função somente da localização espacial, por exemplo,
2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Isto significa que se você fechar seus olhos em um ponto fixo no espaço, a densidade em qualquer ponto será um valor fixo, invariável com o tempo. Para o escoamento permanente, , e, portanto, as equações (2.48) e (2.52) reduzem-se a:
 (2.53)
e
 (2.54)
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
CAPÍTULO 02 – 2.5
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A segunda lei de Newton é frequentemente escrita como:
 (2.55)
onde F é a força exercida sobre um corpo de massa m e a é a aceleração. No entanto, uma forma mais geral da Equação (2.55) é
 (2.56)
que representa a Equação (2.55) para um corpo de massa constante. Na Equação (2.56), mV é a Quantidade de Movimento de um corpo de massa m. A Equação (2.56) representa o segundo princípio fundamental ao qual a dinâmica dos fluidos teórica se baseia.
PRINCÍPIO FÍSICO: Força =Variação temporal da quantidade de movimento
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Vamos aplicar este princípio [sob a forma da Equação (2.56)] para o modelo de um volume de controle finito fixo no espaço como esboçado na Figura 2.19. 
Nosso objetivo é a obtenção de expressões para ambos os lados esquerdo e direito da Equação (2.56) em termos das variáveis comuns do campo de escoamento ​​ , , V, etc. 
Primeiro, vamos nos concentrar no lado esquerdo da Equação (2.56), (isto é, vamos obter uma expressão para F, que é a força exercida sobre o fluido que flui através do volume de controle).
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Essa força vem de duas fontes:
Forças de corpo: a força de gravidade, as forças electromecânicas, ou quaisquer outras forças que atuam a uma determinada distância no interior do fluido de volume V.
Forças de superfície: a pressão e a tensão de cisalhamento agindo sobre a superfície de controle S.
Seja f a representação da força líquida do corpo por unidade de massa exercida no fluido no interior de V. A força do corpo sobre o elemento de volume dV na Figura 2.19 é, portanto,
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
OBS: Entender de onde saiu esta Equação:
O termo f é como se fosse a gravidade g. Multiplica por dV para dizer que esta força esta sendo aplicada ao volume de controle. Veja que se multiplica a massa especifica pela gravidade ter-se-á o peso específico, que multiplicado pelo volume ter-se-á unidade de força.
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
E a força total do corpo exercida sobre o fluido no volume de controle é a soma desta força mostrada acima sobre o volume V. Isto é, a força total é a integral da força elementar.
Força de campo = (2.57)
 
O elemento de força de superfície devido à pressão atuando sobre o elemento de área dS é:
onde o sinal negativo indica que a força é na direção oposta de dS. Isto é, a superfície de controle está experimentando uma força de pressão que é direcionada para o volume de controle e que é devido à pressão do ambiente, e análisando a Figura 2.19 percebe-se que tal força interior é dirigida na direção oposta de dS (porque o vetor A é sempre saindo). 
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A força de pressão total é a soma das forças elementares sobre a superfície controle inteira:
Força de Pressão = (2.58)
Em um escoamento viscoso, a tensão de cisalhamento e a força normal viscosa também exercem uma força de superfície. 
A avaliação detalhada dessas tensões viscosas não se justifica nesta fase de nossa discussão. 
Vamos simplesmente reconhecer este efeito, considerando como a força viscosa total exercida sobre a superfície de controle. 
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Agora, estamos prontos para escrever uma expressão para o lado esquerdo da Equação (2.56). 
 
A força total agindo sobre o fluido como está mostrado sobre o volume de controle fixo é dada pela soma das Equações (2.57) e (2.58) e mais . Isto é, a força total sobre o VC é a soma destas 3 forças individuais.
 (2.59)
 
Agora, considere o lado direito da Equação (2.56). A variação temporal da quantidade de movimento do fluido, através do volume controle fixo é a soma de dois termos:
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
**A quantidade de movimento líquido que sai do volume de controle através da superfície S =G (2.60a)
**A variação da quantidade de movimento causada pelas flutuações transitórias das propriedades do escoamento no interior de V =H (2.60b)
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
O escoamento da quantidade de movimento que sai do volume controle e atravessa a superfície S é simplesmente a diferença entre o fluxo que sai menos o fluxo que entra através da superfície de controle. 
Esta mudança na quantidade de movimento é denotada por G, como descrito acima. 
Para obter uma expressão para G, lembre-se que o fluxo de massa (vazão mássica) através do elemento de área S é , assim, o fluxo da quantidade de movimento por segundo através de dS é:
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
O fluxo da quantidade de movimento que sai do volume de controle através da superfície S é a soma das contribuições elementares acima, ou seja,
 (2.61)
 
Na Equação (2.61), lembre-se que os valores positivos de representam o fluxo de massa que sai do volume controle, e os valores negativos representam o fluxo de massa entrando no volume controle (porque o vetor é área é sempre saindo, ai vai ficar cosseno de 180 que é negativo). 
Assim, na Equação (2.61) a integral sobre a superfície de controle toda é uma combinação de contribuições positivas (saída da quantidade de movimento) e as contribuições negativas (entrada de quantidade de movimento), com o valor resultante da integral representando o balanço da quantidade de movimento. 
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Se G tem um valor positivo, há mais quantidade de movimento saindo do volume de controle por segundo do que entrando, inversamente, se G tem um valor negativo, a quantidade de movimento entrando no volume de controle por segundo é menor do que saindo.
Agora considere H da equação (2.60b). A quantidade de movimento do fluido no elemento de volume dV mostrado na Figura 2.19 é:
A quantidade de movimento contida, em qualquer instante, dentro do volume de controle é, portanto,
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
e sua taxa de variação devido às flutuações transitórias no escoamento é:
 (2.62)
Combinando as equações (2.61) e (2.62), obtemos uma expressão para a variação temporal total da quantidade de movimento para o fluido, a medida que ela passa através do volume de controle fixo, que por sua vez representa o lado direito da Equação (2.56):
 (2.63)
Assim, a partir de equações (2.59) e (2.63), a segunda lei de Newton, 
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
aplicada a um escoamento de fluidos, tem-se:
 (2.64)
 
A Equação (2.64) é a equação de quantidade de movimento na forma integral. 
Note que ela é uma equação vetorial. 
Assim como no caso da forma integral da equação da continuidade, a Equação (2.64) tem a vantagem de relacionar fenômenos aerodinâmicos sobre uma região finita do espaço sem se preocupar com os detalhes do que exatamente está acontecendo em um determinado ponto distinto no escoamento.
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A partir da Equação (2.64), nós agora procedemos para uma equação diferencial parcial que relaciona as propriedades do campo de escoamento em um ponto no espaço. 
Tal equação é uma equivalência para a forma diferencial da equação da continuidade dada na Equação (2.52). 
Aplica-se o teorema do gradiente, Equação (2.27), para o primeiro termo no lado direito da Equação (2.64):
 
 (2.65)
 
Também, porque o volume de controle é fixo, a derivada temporal da Equação (2.64) pode ser colocada dentro da integral. 
Portanto, a Equação (2.64) pode ser escrita como:
 
 (2.66)
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Lembre-se que a Equação (2.66) é uma equação vetorial. É conveniente escrever esta equação como três equações escalares. Usando coordenadascartesianas, onde:
A componente x da Equação (2.66) é:
 
 (2.67)
[Nota: Na Equação (2.67), o produto é um escalar, e, portanto, não tem componentes]. Aplicar o teorema da divergência, Equação (2.26), para a integral de superfície, no lado esquerdo da Equação (2.67) :
 
 (2.68)
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Substituindo a Equação (2.68) na Equação (2.67), temos:
 (2.69)
 
onde indica a forma adequada da componente x das tensões de cisalhamento viscosa quando colocada no interior da integral do volume.
Como Já mencionado anteriormente, o integrando da Equação (2.69) é identicamente zero em todos os pontos no fluxo: assim,
 (2.70a)
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A Equação (2.70a) é a componente x da equação da quantidade de movimento na forma diferencial. 
Voltando à Equação (2.66), e escrevendo as componetes y e z, obtemos de forma semelhante,
 (2.70b)
 (2.70c)
 
As Equações (2.70a até c) são as componentes escalares x, y, z da equação de quantidade de movimento, respectivamente, que são equações diferenciais parciais que relacionam as propriendades do campo de escoamento em qualquer ponto no escoamento.
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Note que as equações (2.64) e (2.70a até c) aplicam-se a escoamento não permanente tridimensional para qualquer fluido compressível ou incompressível, viscoso ou não viscoso. 
Especificamente para escoamento permanente , escoamento não viscoso ( ), escoamento sem forças de campo (f = O), estas equações tornam-se: 
 (2.71)
E
 (2.72a)
 (2.72b)
 (2.72c)
2.5 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Já que a maioria do material nos capítulos 3 a 14 assume o fluxo não permanente, não viscoso, sem forças de campo, teremos frequentes ocasiões para usar a equação da quantidade de movimento na forma das equações (2.71) e (2.72a até c).
As equações de quantidade de movimento para um fluxo viscoso [como nas equações (2.72a até c] são chamadas as equações de Euler. 
As equações de movimento para um fluxo viscoso [tais como as equações (2.70a até c) são chamadas equações de Navier-Stokes. 
EQUAÇÃO DA ENERGIA
CAPÍTULO 02 – 2.7
2.7 Equação de Energia
Para um escoamento incompressível, onde é constante, as principais variáveis do campo de escoamento são ​​p e V. 
As equações da continuidade e da quantidade de movimento, obtidas anteriormente, são duas equações em termos das duas incógnitas p e V. 
Assim, para um estudo do escoamento incompressível, as equações da continuidade e da quantidade de movimento são instrumentos suficientes para resolver o problema.
No entanto, para um escoamento compressível, é uma variável adicional, e, portanto, precisamos de uma equação fundamental adicional para completar o sistema. 
O material discutido nesta seção é pertinente para o estudo do fluxo compressível. E como o nosso programa não inclui um estudo detalhado a respeito deste assunto, você pode ignorar esta seção e ve-la somente como uma informação complementar.
Considere uma grandeza vetorial A; tanto a sua magnitude e direção são dadas 
pela seta rotulada A na Figura 2.4. 
O valor absoluto de A é 
A
, e é uma quantidade escalar. 
O vetor unitário n, definido por 
AAn/
, tem um valor unitário e um sentido 
igual ao de A. 
Seja B a representação de um outro vetor. 
A adição dos vetores de A e B produz um terceiro vetor C. 
CBA
 (2.1) 
que é formado através da ligação da cauda de A com a cabeça de B, como 
mostrado na figura 2.4. 
Considere uma grandeza vetorial A; tanto a sua magnitude e direção são dadas pela seta rotulada A na Figura 2.4. 
O valor absoluto de A é , e é uma quantidade escalar. 
O vetor unitário n, definido por , tem um valor unitário e um sentido igual ao de A. 
Seja B a representação de um outro vetor. 
A adição dos vetores de A e B produz um terceiro vetor C.
 (2.1)
que é formado através da ligação da cauda de A com a cabeça de B, como mostrado na figura 2.4. 
C
B
A
=
+
A
A
A
n
/
=
Agora considere – B, que é igual, em valor, ao B, mas em direção oposta. 
A subtração dos vetores de B e A produz o vetor D, 
DBA
 (2.2) 
que é formado através da ligação a cauda de A com a cabeça de – B, como 
mostrado na figura 2.4. 
Existem duas formas de multiplicação do vetor. 
Considere dois vetores A e B e um ângulo 

entre eles, como mostrado na 
figura 2.4. O produto escalar (representado por um ponto ) de dois vetores A e 
B é definida como: 
cosBABA
 (2.3) 
= valor de A X valor da componente de B ao longo da direção de A. 
Agora considere – B, que é igual, em valor, ao B, mas em direção oposta. 
A subtração dos vetores de B e A produz o vetor D,
 (2.2)
que é formado através da ligação a cauda de A com a cabeça de – B, como mostrado na figura 2.4.
Existem duas formas de multiplicação do vetor. 
Considere dois vetores A e B e um ângulo entre eles, como mostrado na figura 2.4. O produto escalar (representado por um ponto) de dois vetores A e B é definida como:
 (2.3)
= valor de A X valor da componente de B ao longo da direção de A.
q
cos
B
A
B
A
=
·
D
B
A
=
-
q
Note-se que o produto escalar de dois vetores é um escalar. 
Em contraste, o produto vetorial ( representado por uma cruz ) de dois vetores 
A e B é definido como: 
GesenBABA  )( 
 (2.4) 
onde G é perpendicular ao plano de A e B e na direção que obedece à "regra 
da mão direita." 
Rode A ao redor de B, como mostrado na figura 2.4 . 
Agora enrole os dedos de sua mão direita na direção da rotação. Seu polegar 
direito vai estar apontando na direção de G . 
Na equação (2.4), e é um vetor unitário na direção de G, como também 
mostrado na Figura 2.4 . Note que o produto vetorial de dois vetores é um 
vetor. 
Note-se que o produto escalar de dois vetores é um escalar. 
Em contraste, o produto vetorial (representado por uma cruz) de dois vetores A e B é definido como:
 (2.4)
onde G é perpendicular ao plano de A e B e na direção que obedece à "regra da mão direita." 
Rode A ao redor de B, como mostrado na figura 2.4. 
Agora enrole os dedos de sua mão direita na direção da rotação. Seu polegar direito vai estar apontando na direção de G. 
Na equação (2.4), e é um vetor unitário na direção de G, como também mostrado na Figura 2.4. Note que o produto vetorial de dois vetores é um vetor.
G
e
sen
B
A
B
A
=
=
´
)
(
q
Um sistema de coordenadas cartesianas é mostrado na Figura 2.5a. 
Os eixos x, y, e z são perpendiculares entre si, e i, j, e k são os vetores unitários 
nas direções x, y, e Z, respectivamente. 
Um ponto arbitrárioP no espaço está localizado, especificando as três 
coordenadas (x, y, z). 
O ponto também pode ser localizado pelo vet or posição r, onde: 
kzjyixr
ˆ
ˆˆ

 
Um sistema de coordenadas cartesianas é mostrado na Figura 2.5a. 
Os eixos x, y, e z são perpendiculares entre si, e i, j, e k são os vetores unitários nas direções x, y, e Z, respectivamente. 
Um ponto arbitrário P no espaço está localizado, especificando as três coordenadas (x, y, z). 
O ponto também pode ser localizado pelo vetor posição r, onde:
k
z
j
y
i
x
r
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
Se A é um dado vetor no espaço cartesiano, ele pode ser expresso como: 
kAjAiAA
zyx
ˆ
ˆˆ

 
Onde 
x
A
, 
y
A
 e 
z
A
 são os compoentes escalares do vetor A ao longo das 
direções x, y e z, respectivamente, como mostrado na Figura 2.5b. 
Se A é um dado vetor no espaço cartesiano, ele pode ser expresso como:
Onde , e são os compoentes escalares do vetor A ao longo das direções x, y e z, respectivamente, como mostrado na Figura 2.5b.
y
A
z
A
k
A
j
A
i
A
A
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
x
A
Um sistema de coordenadas cilíndricas é mostrado na Figura 2.6a. 
Um sistema cartesiano "fantasma" também é mostrado com linhas pontilhadas 
para ajudar a visualizar a figura. 
A localização do ponto P no espaço é dada por três coordenadas (r, 

, z), onde r 
e 

 são medidos no plano xy mostrado na Figura 2.6a. 
Se A é um dado vetor no espaço cilíndrico, então, 
zzrr
eAeAeAA 

 
Onde 
r
A
, 

A
 e 
z
A
são os componentes escalares de A ao longo das direções r, 

 
e z, respectivamente, como mostrado na Figura 2.6b. 
Um sistema de coordenadas cilíndricas é mostrado na Figura 2.6a. 
Um sistema cartesiano "fantasma" também é mostrado com linhas pontilhadas para ajudar a visualizar a figura. 
A localização do ponto P no espaço é dada por três coordenadas (r, , z), onde r e são medidos no plano xy mostrado na Figura 2.6a. 
Se A é um dado vetor no espaço cilíndrico, então,
Onde , e são os componentes escalares de A ao longo das direções r, e z, respectivamente, como mostrado na Figura 2.6b. 
z
z
r
r
e
A
e
A
e
A
A
+
+
=
q
q
r
A
q
A
z
A
q
q
q
A relação, ou transformação, entre coordenadas cartesianas e coordenadas 
cilíndricas pode ser obtida da inspeção da Figura 2.6a, ou seja, 








zz
rseny
rx

cos
 (2.5) 
Ou inversamente: 










zz
x
y
arctg
yxr

22
 (2.6) 
A relação, ou transformação, entre coordenadas cartesianas e coordenadas cilíndricas pode ser obtida da inspeção da Figura 2.6a, ou seja,
 (2.5)
Ou inversamente:
 (2.6)
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
z
z
rsen
y
r
x
q
q
cos
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
+
=
z
z
x
y
arctg
y
x
r
q
2
2
Um sistema de coordenadas esférico é mostrado na Figura 2.7a. 
A localização do ponto P no espaço é dada por três coordenadas (r, 

,

), onde 
r é a distância de P a partir da origem, 

 é o ângulo medido a partir do eixo z e 
está no plano rz, e 

 é o ângulo medido a partir do e ixo x e está no plano xy. 
Os vetores unitários, 
r
e
, 

e
 e 

e
são perpendiculares entre si. Se A é um dado 
vetor no espaço esférico, então, 

 eAeAeAA
rr 
 
Onde 
r
A
, 

A
 e 

A
 são as componentes escalares de A ao longo das direções r, 

 e 

, respectivamente, como mostrado na Figura 2.7b. 
Um sistema de coordenadas esférico é mostrado na Figura 2.7a. 
A localização do ponto P no espaço é dada por três coordenadas (r, ,), onde r é a distância de P a partir da origem, é o ângulo medido a partir do eixo z e está no plano rz, e é o ângulo medido a partir do eixo x e está no plano xy. 
Os vetores unitários, , e são perpendiculares entre si. Se A é um dado vetor no espaço esférico, então,
Onde , e são as componentes escalares de A ao longo das direções r, e , respectivamente, como mostrado na Figura 2.7b. 
F
r
e
q
e
F
e
F
F
+
+
=
e
A
e
A
e
A
A
r
r
q
q
r
A
q
A
F
A
q
F
q
F
A transformação entre coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas é 
obtida na inspeção da Figura 2.7a, ou seja, 











cos
cos
rz
senrseny
rsenx
 (2.7) 
Ou inversamente: 
222
22
222
arccos
arccosarccos
zyx
z
yx
x
r
z
zyxr















 (2.8) 
A transformação entre coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas é obtida na inspeção da Figura 2.7a, ou seja,
 (2.7)
Ou inversamente:
 (2.8)
ï
î
ï
í
ì
=
F
=
F
=
q
q
q
cos
cos
r
z
sen
rsen
y
rsen
x
2
2
2
2
2
2
2
2
arccos
arccos
arccos
z
y
x
z
y
x
x
r
z
z
y
x
r
+
+
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
+
=
F
=
=
+
+
=
q
A quantidade escalar dada como uma função da coordenada espacial e do 
tempo t é chamada de campo escalar. 
Por exemplo, pressão, densidade e temperatura são quantidades escalares e 
 
),,,(),,,(),,,(
321
trptzrptzyxpp  
 
),,,(),,,(),,,(
321
trtzrtzyx  
 
),,,(),,,(),,,(
321
trTtzrTtzyxTT  
 
 
são campos escalares para a pressão, densidade e temperatura, 
respectivamente. 
A quantidade escalar dada como uma função da coordenada espacial e do tempo t é chamada de campo escalar. 
Por exemplo, pressão, densidade e temperatura são quantidades escalares e
são campos escalares para a pressão, densidade e temperatura, respectivamente. 
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
3
2
1
t
r
T
t
z
r
T
t
z
y
x
T
T
F
=
=
=
q
q
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
3
2
1
t
r
p
t
z
r
p
t
z
y
x
p
p
F
=
=
=
q
q
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
3
2
1
t
r
t
z
r
t
z
y
x
F
=
=
=
q
r
q
r
r
r
Da mesma forma, uma grandeza vetorial dada como uma função da 
coordenada do espaço e do tempo é chamado de campo vetorial. 
Por exemplo, a velocidade é uma grandeza vetorial, e , 
kVjViVV
zyx
ˆ
ˆˆ

 
onde 
),,,( tzyxVV
xx

 
),,,( tzyxVV
yy

 
),,,( tzyxVV
zz

 
é o campo vetorial de V no espaço cartesiano. 
Da mesma forma, uma grandeza vetorial dada como uma função da coordenada do espaço e do tempo é chamado de campo vetorial. 
Por exemplo, a velocidade é uma grandeza vetorial, e,
onde
é o campo vetorial de V no espaço cartesiano. 
)
,
,
,
(
t
z
y
x
V
V
y
y
=
)
,
,
,
(
t
z
y
x
V
V
z
z
=
k
V
j
V
i
V
V
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
)
,
,
,
(
t
z
y
x
V
V
x
x
=
Os produtos escalar e vetorial definido pelas Equações (2.3) e (2 .4), 
respectivamente, podem ser escritos em termos de componentes de cada vetor 
da seguinte forma. 
kAjAiAA
zyx
ˆ
ˆˆ

, e 
kBjBiBB
zyx
ˆ
ˆˆ

 
Então: 
zzyyxx
BABABABA 
 (2.9) tem como resposta um numero 
E 
 
 
)()(
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
BABAkBABAjBABAi
BBB
AAA
kji
BA 











 (2.10) 
tem como resposta um vetor 
Os produtos escalar e vetorial definido pelas Equações (2.3) e (2.4), respectivamente, podem ser escritos em termos de componentes de cada vetor da seguinte forma.
, e 
Então:
 (2.9) tem como resposta um numero
E 
 (2.10) tem como resposta um vetor
z
z
y
y
x
x
B
A
B
A
B
A
B
A
+
+
=
·
(
)
)
(
)
(
x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
y
z
y
x
z
y
x
B
A
B
A
k
B
A
B
A
j
B
A
B
A
i
B
B
B
A
A
A
k
j
i
B
A
-
+
-
+
-
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
´
k
A
j
A
i
A
A
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
k
B
j
B
i
B
B
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
Coordenadas Cilíndricas : seja: 
 
zzrr
eAeAeAA 

 
zzrr
eBeBeBB 

 
Então: 
zzrr
BABABABA 

 (2.11) 
E 
 











zr
zr
zr
BBB
AAA
eee
BA



 (2.12) 
Coordenadas Cilíndricas: seja: 
Então:
 (2.11)
E 
 (2.12)
z
z
r
r
B
A
B
A
B
A
B
A
+
+=
·
q
q
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
´
z
r
z
r
z
r
B
B
B
A
A
A
e
e
e
B
A
q
q
q
z
z
r
r
e
A
e
A
e
A
A
+
+
=
q
q
z
z
r
r
e
B
e
B
e
B
B
+
+
=
q
q
Coordenadas Esféricas : Seja 

 eAeAeAA
rr 
 
E 

 eBeBeBB
rr 
 
Então: 

 BABABABA
rr 
 (2.13) 
E 
 














BBB
AAA
eee
BA
r
r
r



 (2.14) 
Coordenadas Esféricas: Seja 
E 
Então:
 (2.13)
E 
 (2.14)
F
F
+
+
=
·
B
A
B
A
B
A
B
A
r
r
q
q
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
´
F
F
F
B
B
B
A
A
A
e
e
e
B
A
r
r
r
q
q
q
F
F
+
+
=
e
A
e
A
e
A
A
r
r
q
q
F
F
+
+
=
e
B
e
B
e
B
B
r
r
q
q
Agora começamos uma revisão de alguns elementos de cálculo vetorial. Considere um campo 
escalar: 
),,(),,(),,(
321
  rpzrpzyxpp
 
 
O gradiente de 
p
, 
p
, em um determinado ponto , no espaço, é definido como um vetor tal que: 
 
1. Sua magnitude (seu valor) é a taxa máxima de mudança de 
p
 por unidade de comprimento da 
coordenada espacial no ponto dado. 
 
2. Sua direção é a da taxa máxima de variação de 
p
 no ponto dado. 
Agora começamos uma revisão de alguns elementos de cálculo vetorial. Considere um campo escalar:
O gradiente de , , em um determinado ponto, no espaço, é definido como um vetor tal que:
1. Sua magnitude (seu valor) é a taxa máxima de mudança de por unidade de comprimento da coordenada espacial no ponto dado.
2. Sua direção é a da taxa máxima de variação de no ponto dado.
p
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
3
2
1
F
=
=
=
q
q
r
p
z
r
p
z
y
x
p
p
p
p
Ñ
Por exemplo, considere um campo de pressão bidimensional no espaço cartesiano como esboçado 
na Figura 2.8. 
As curvas sólidas são linhas de pressão constante, ou seja, elas se conectam aos pontos no campo de 
pressão que têm o mesmo valor de 
p
. 
Essas linhas são chamadas de isolinhas. 
Considere um ponto arbitrário (x, y) na Figura 2.8. 
Se nos afastamos a partir deste ponto em uma direção arbitrária, 
p
 geralmente vai mudar, porque 
estamos nos movendo para outro local no espaço. 
Além disso, haverá, alguma direção, a partir deste ponto, ao longo da qual 
p
 variará mais por 
unidade de comprimento. 
Por exemplo, considere um campo de pressão bidimensional no espaço cartesiano como esboçado na Figura 2.8. 
As curvas sólidas são linhas de pressão constante, ou seja, elas se conectam aos pontos no campo de pressão que têm o mesmo valor de . 
Essas linhas são chamadas de isolinhas. 
Considere um ponto arbitrário (x, y) na Figura 2.8. 
Se nos afastamos a partir deste ponto em uma direção arbitrária, geralmente vai mudar, porque estamos nos movendo para outro local no espaço. 
Além disso, haverá, alguma direção, a partir deste ponto, ao longo da qual variará mais por unidade de comprimento. 
p
Isto define a direção do gradiente de 
p
 e é identificado na figura 2.8. 
A magnitude do 
p
 é a taxa de variação de 
p
 por unidade de comprimento nessa direção. 
A dimensão e direção de 
p
 
mudará de um ponto para outr o nas coordenadas espaciais. 
A linha traçada neste espaço ao longo do qual 
p
 
é tangente em cada ponto é definida como uma 
linha de gradiente, como esboçado na Figura 2.8. 
A linha de gradiente e as isolinhas por meio de qualquer ponto d ado no sistema de coordenadas são 
perpendiculares. 
Isto define a direção do gradiente de e é identificado na figura 2.8. 
A magnitude do é a taxa de variação de por unidade de comprimento nessa direção. 
A dimensão e direção de mudará de um ponto para outro nas coordenadas espaciais. 
A linha traçada neste espaço ao longo do qual é tangente em cada ponto é definida como uma linha de gradiente, como esboçado na Figura 2.8. 
A linha de gradiente e as isolinhas por meio de qualquer ponto dado no sistema de coordenadas são perpendiculares.
p
p
Ñ
Considere 
p
 em um determinado ponto (x, y) como mostrado na figura 2.9. 
Escolhe-se alguma direção arbitrária s longe do ponto, como também mostrado na Figura 2.9. Seja n 
um vetor unitário na direção s. A taxa de variação de 
p
 por unidade de comprimento na direção s é: 
np
ds
dp
.
 (2.15) 
 
Na Equação (2.15), 
ds
dp
é chamada de a derivada direcional na direção s. 
Nota-se pela Equação (2.15) que a taxa de variação de 
p
 em qualquer direção arbitrária é 
simplesmente o componente de 
p
 
nessa direção. 
Considere em um determinado ponto (x, y) como mostrado na figura 2.9. 
Escolhe-se alguma direção arbitrária s longe do ponto, como também mostrado na Figura 2.9. Seja n um vetor unitário na direção s. A taxa de variação de por unidade de comprimento na direção s é:
 (2.15)
Na Equação (2.15), é chamada de a derivada direcional na direção s. 
Nota-se pela Equação (2.15) que a taxa de variação de em qualquer direção arbitrária é simplesmente o componente de nessa direção.
ds
dp
p
Ñ
p
n
p
ds
dp
.
Ñ
=
Expressões para 
p
 
nos diferentes sistemas de coordenadas são os seguintes: 
Cartesiano: 
),,(zyxpp
 
k
z
p
j
y
p
i
x
p
p
ˆ
ˆˆ









 (2.16) 
Cilíndrica: 
),,(zrpp 
 
zr
e
z
p
e
p
r
e
r
p
p











1
 (2.17) 
Esférica: 
),,(rpp
 









 e
p
senr
e
p
r
e
r
p
p
r


.
11
 (2.18) 
Expressões para nos diferentes sistemas de coordenadas são os seguintes:
Cartesiano: 
 (2.16)
Cilíndrica: 
 (2.17)
Esférica: 
 (2.18)
)
,
,
(
z
r
p
p
q
=
z
r
e
z
p
e
p
r
e
r
p
p
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
Ñ
q
q
1
)
,
,
(
F
=
q
r
p
p
F
F
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
Ñ
e
p
sen
r
e
p
r
e
r
p
p
r
q
q
q
.
1
1
p
Ñ
)
,
,
(
z
y
x
p
p
=
k
z
p
j
y
p
i
x
p
p
ˆ
ˆ
ˆ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
Ñ
V
·
Ñ
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
F
=
=
=
q
q
r
V
z
r
V
z
y
x
V
V
A divergência de uma vetor é uma quantidade escalar, ela é uma das duas maneiras que a derivada 
de um campo vetorial pode ser definida. 
Em diferentes sistemas de coordenadas, temos : 
Cartesiano: 
kVjViVzyxVV
zyx
ˆ
ˆˆ
),,( 
 
z
V
y
V
x
V
V
z
y
x









 (2.19) 
Cilíndrica: 
zzrr
eVeVeVzrVV 

),,(
 
z
V
V
r
rV
rr
V
z
r











1
)(
1
 (2.20) 
Esférica: 

 eVeVeVrVV
rr 
),,(
 










V
senr
senV
rsen
Vr
rr
V
r




.
1
)(
1
)(
1
2
2
 (2.21) 
A divergência de uma vetor é uma quantidade escalar, ela é uma das duas maneiras que a derivada de um campo vetorial pode ser definida. 
Em diferentes sistemas de coordenadas, temos:
Cartesiano: 
 (2.19)
Cilíndrica: 
 (2.20)
Esférica: 
 (2.21)
z
z
r
r
e
V
e
V
e
V
z
r
V
V
+
+
=
=
q
q
q
)
,
,
(
z
V
V
r
rV
r
r
V
z
r
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
·
Ñ
q
q
1
)
(
1
F
F
+
+
=
F
=
e
V
e
V
e
V
r
V
V
r
r
q
q
q
)
,
,
(
F
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
·
Ñ
F
V
sen
r
sen
V
rsen
V
r
r
r
V
r
q
q
q
q
q
.
1
)
(
1
)
(
1
2
2
k
V
j
V
i
V
z
y
x
V
V
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
)
,
,
(
+
+
=
=
z
V
y
V
x
V
V
z
y
x
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
·
Ñ
Considere o campo vetorial: 
),,(),,(),,(   rVzrVzyxVV
 
Apesar de V poder ser qualquer vetor quantidade, mais uma vez, vamos considerar V como sendo a 
velocidade do escoamento. 
Mais uma vez, visualize um elemento de fluido se movendo ao longo de uma linha de corrente. 
É possível que este elemento de fluido esteja rotacionando, girando, com uma velocidade angular
, enquanto realiza translação ao longo de uma linha de corrente. 
Já é provado que 

 é igual a metade do rotacional de V, onde o rotacional de V é denotado por 
V
. 
Considere o campo vetorial:
Apesar de V poder ser qualquer vetor quantidade, mais uma vez, vamos considerar V como sendo a velocidade do escoamento. 
Mais uma vez, visualize um elemento de fluido se movendo ao longo de uma linha de corrente. 
É possível que este elemento de fluido esteja rotacionando, girando, com uma velocidade angular, enquanto realiza translação ao longo de uma linha de corrente. 
Já é provado que é igual a metade do rotacional de V, onde o rotacional de V é denotado por . 
V
´
Ñ
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
F
=
=
=
q
q
r
V
z
r
V
z
y
x
V
V
w
O rotacional de V é uma grandeza vetorial, ele é a forma alternativa em que a derivada de um 
campo vetorial pode ser definid a, sendo a primeira 
V
 . 
Cartesiano: 
kVjViVV
zyx
ˆ
ˆˆ

 





















































y
V
x
V
k
x
V
z
V
j
z
V
y
V
i
VVV
zyx
kji
V
x
y
z
x
y
z
zyx
)(
 (2.22) 
Cilíndrica: 
zzrr
eVeVeVV 

 

















zr
zr
VrVV
zx
eee
r
V



1
 (2.23) 
Esférica: 

 eVeVeVV
rr 
 



















VsenrrVV
x
eee
senr
V
r
r
).(
1
2





 (2.24) 
O rotacional de V é uma grandeza vetorial, ele é a forma alternativa em que a derivada de um campo vetorial pode ser definida, sendo a primeira . 
Cartesiano: 
 (2.22)
Cilíndrica: 
 (2.23)
Esférica: 
 (2.24)
z
z
r
r
e
V
e
V
e
V
V
+
+
=
q
q
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
´
Ñ
z
r
z
r
V
rV
V
z
x
e
e
e
r
V
q
q
q
1
F
F
+
+
=
e
V
e
V
e
V
V
r
r
q
q
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
F
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
´
Ñ
F
F
V
sen
r
rV
V
x
e
e
e
sen
r
V
r
r
)
.
(
1
2
q
q
q
q
q
V
·
Ñ
k
V
j
V
i
V
V
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
´
Ñ
y
V
x
V
k
x
V
z
V
j
z
V
y
V
i
V
V
V
z
y
x
k
j
i
V
x
y
z
x
y
z
z
y
x
)
(
òò
S
dS
p
.
òò
S
dS
A
.
òò
´
S
dS
A
Considere um volume V no espaço. Seja p um campo escalar neste espaço. A integral de volume 
sobre o volume V da grandeza, p, é escrita como: 

v
dV.
 = integral de volume de um escalar 

sobre o volume V (o resultado é um escalar) 
 
Seja A um campo vetorial no espaço. A integral de volume sobre o volume, V, da quantidade A é 
escrita como: 

v
dVA.
 = integral de volume de um vetor A sobre o volume V (o resultado é um vetor) 
Considere um volume V no espaço. Seja p um campo escalar neste espaço. A integral de volume sobre o volume V da grandeza, p, é escrita como:
 = integral de volume de um escalar sobre o volume V (o resultado é um escalar)
Seja A um campo vetorial no espaço. A integral de volume sobre o volume, V, da quantidade A é escrita como:
 = integral de volume de um vetor A sobre o volume V (o resultado é um vetor)
òòò
v
dV
.
r
r
òòò
v
dV
A
.
V
·
Ñ
r
Considere um elemento infinitesimal de superfície, dS, movendo com uma velocidade local V, como 
mostrado na Figura 2.15. A mudança de volume do volume de controle, 

, devido ao movimento de 
dS ao longo do tempo 
t
, é, a partir da Figura 2.15, igual ao volume do cilindro, longo e fino com a 
área da base dS e altura 
ntV)(
, ou seja, 
 
 
dStVdSntV ).()( 
 (2.28) 
Considere um elemento infinitesimal de superfície, dS, movendo com uma velocidade local V, como mostrado na Figura 2.15. A mudança de volume do volume de controle, , devido ao movimento de dS ao longo do tempo , é, a partir da Figura 2.15, igual ao volume do cilindro, longo e fino com a área da base dS e altura , ou seja,
 (2.28)
[
]
dS
t
V
dS
n
t
V
).
(
)
(
D
=
·
D
=
Ú
D
Ú
D
t
D
n
t
V
·
D
)
(
t
D
0
®
dS
òò
·
D
S
dS
t
V
)
.
(
Dt
D
/
Ú
òò
òò
·
=
·
D
D
=
Ú
S
S
dS
V
dS
t
V
t
Dt
D
)
.
(
1
òòò
Ú
·
Ñ
=
Ú
v
d
V
Dt
D
)
(
òòò
Ú
·
Ñ
v
d
V
)
(
Ú
d
òòò
Ú
·
Ñ
=
Ú
v
d
V
Dt
D
d
d
)
(
)
(
Suponha que 
V
é pequeno o suficiente tal que 
V
é essencialmente o 
mesmo valor durante todo 
V
. Então, a integral na Equação (2.31) pode ser 
aproximada como 
VV)(
. A partir da Equação (2.31), temos : 
VV
Dt
VD


)(
)(

 
Ou 

Dt
VD
V
V


1
)( 
 (2.32) 
Suponha que é pequeno o suficiente tal que é essencialmente o mesmo valor durante todo . Então, a integral na Equação (2.31) pode ser aproximada como . A partir da Equação (2.31), temos:
 
Ou 
 (2.32)
V
V
d
)
(
·
Ñ
V
V
Dt
V
D
d
d
)
(
)
(
·
Ñ
=
(
)
Dt
V
D
V
V
d
d
1
)
(
=
·
Ñ
V
d
V
·
Ñ
OBS: Dentro do VC pegou -se um 
V
 pequeno, e ele pegou 
suficientemente pequeno de modo que a divergencia é a mesma em 
todos os pontos de 
V
. 
 
Examine a Equação (2.32). Ela afirma que 
)(V
é fisicamente a 
mudança temporal do volume de um elemento fluido em 
movimento, por unidade de volume. Daí, a interpretação de 
)(V
, 
primeiro dada na Seção 2.2.6, o divergente de um campo vetorial, já 
está provada. 
OBS: Dentro do VC pegou-se um pequeno, e ele pegou suficientemente pequeno de modo que a divergencia é a mesma em todos os pontos de .
Examine a Equação (2.32). Ela afirma que é fisicamente a mudança temporal do volume de um elemento fluido em movimento, por unidade de volume. Daí, a interpretação de , primeiro dada na Seção 2.2.6, o divergente de um campo vetorial, já está provada.
)
(
V
·
Ñ
V
d
)
(
V
·
Ñ
)
,
,
,
(
t
z
y
x
p
p
=
)
,
,
,
(
t
z
y
x
r
r
=
)
,
,
,
(
t
z
y
x
T
T
=
e 
kwjviuV
ˆ
ˆˆ

 (2.34a) 
 
onde 
 
),,,( tzyxuu
 (2.34b) 
),,,( tzyxvv
 (2.34c) 
),,,( tzyxww
 (2.34c) 
 
representam o campo de escoamento. 
e (2.34a)
onde 
 (2.34b)
 (2.34c)
 (2.34c)
representam o campo de escoamento. 
)
,
,
,
(
t
z
y
x
w
w
=
k
w
j
v
i
u
V
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
)
,
,
,
(
t
z
y
x
u
u
=
)
,
,
,
(
t
z
y
x
v
v
=
r
1
t
1
V
)
,
,
,
(
1
1
1
1
t
z
y
x
p
p
=
OBS: Isto é 
),,,(
1111
tzyx
 
),,,(
1111
tzyxTT
 , ou seja, 
vc vai ter cada valor de P, 

 e T naquele ponto, 
cada um deles tem seu valor próprio definido naquele ponto, formando um 
campo.
 
OBS: Isto é , ou seja, 
vc vai ter cada valor de P, e T naquele ponto, 
cada um deles tem seu valor próprio definido naquele ponto, formando um campo.
)
,
,
,
(
1
1
1
1
t
z
y
x
r
r
=
)
,
,
,
(
1
1
1
1
t
z
y
x
T
T
=
r
)
,
,
(
z
y
x
p
p
=
)
,
,
(
z
y
x
r
r
=
No tempo 
0
t
, se fotografou a figura (a), no tempo 
tt
0
, se fotografou a figura (b). Se você 
olhar o fluido se movimentando, pode -se dividir este movimento em três regiões (I, II, III). Isto 
é, notamos que o sistema, que estava inteiramente dentro do volume de controle, no ins tante 
0
t
, está parcialmente fora do volume de controle no instante 
tt
0
. De fato, três regiões 
podem ser identificadas. São elas: a reg ião I e II, que juntas formam o volume de controle, e a 
região III que, junto com a região II, delimita o sistema no ins tante 
tt
0
. 
No tempo , se fotografou a figura (a), no tempo , se fotografou a figura (b). Se você olhar o fluido se movimentando, pode-se dividireste movimento em três regiões (I, II, III). Isto é, notamos que o sistema, que estava inteiramente dentro do volume de controle, no instante , está parcialmente fora do volume de controle no instante . De fato, três regiões podem ser identificadas. São elas: a região I e II, que juntas formam o volume de controle, e a região III que, junto com a região II, delimita o sistema no instante .
0
t
t
t
D
+
0
dt
V
n
n
V
A
dt
V
Volume
n
)
(
=
A
dt
V
Massa
n
)
(
r
=
Volume
Massa
=
r
m
&
dt
A
dt
V
m
n
)
(
r
=
&
A
V
m
n
r
=
&
n
V
A
m
r
=
&
k
w
j
v
i
u
k
V
j
V
i
V
V
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
+
+
=
z
y
x
V
V
V
,
,
u
r
v
r
w
r
V
r
OBS: ou seja, toda porção de massa em um sistema é constante, logo sua variação é zero. Isto é, se 
vc tem 
VM
 e diferencia, então isto será zero 
0dM
.
 
OBS: ou seja, toda porção de massa em um sistema é constante, logo sua variação é zero. Isto é, se vc tem e diferencia, então isto será zero .
V
M
r
=
0
=
dM
)
,
,
,
(
t
z
y
x
r
r
=
Primeiro, vamos obter uma expressão para B em termos das quantidades mostradas na Figura 2.19. 
A partir da Equação (2.43), a vazão mássica elementar passando pela superfície dS é: 
dSVdSV
n

 
OBS: dS é o vetor área. Veja que nesta equação transformou -se o vetor em função escalar, isto é 
feito realizando a seguinte operação: 
 cosSVdSV
n

. Como estão na mesma direção, 
1cos
.
 
Examinando a Figura 2.19, note que, por conve nção, dS sempre aponta na direção para fora do 
volume de controle. 
Primeiro, vamos obter uma expressão para B em termos das quantidades mostradas na Figura 2.19. A partir da Equação (2.43), a vazão mássica elementar passando pela superfície dS é:
 
OBS: dS é o vetor área. Veja que nesta equação transformou-se o vetor em função escalar, isto é feito realizando a seguinte operação: . Como estão na mesma direção, .
Examinando a Figura 2.19, note que, por convenção, dS sempre aponta na direção para fora do volume de controle. 
1
cos
=
q
dS
V
dS
V
n
·
=
r
r
q
r
r
cos
S
V
dS
V
n
=
Assim, quando V também aponta para fora do volume de controle (como mostrado na Figura 2.19), 
o produto 
dSV
 é positivo. 
Além disso, quando V aponta para fora do controle de volume, o fluxo de massa está fisicamente 
deixando o volume de controle, ou se ja, é uma saída. 
Assim, um valor positivo de 
dSV
 denota uma saída. 
 
No entanto, quando V aponta para dentro do volume de controle, o termo 
dSV
 é negativo. 
Além disso, quando V aponta para dentro, o fluxo de massa está fisicamente entrando no volume de 
controle, ou seja, é uma entrada. 
Assim, um valor negativo para 
dSV
 denota uma entrada. 
OBS: Isso ocorre por causa do 
cos
, porque 
1180cos 
.
 
Assim, quando V também aponta para fora do volume de controle (como mostrado na Figura 2.19), o produto é positivo. 
Além disso, quando V aponta para fora do controle de volume, o fluxo de massa está fisicamente deixando o volume de controle, ou seja, é uma saída. 
Assim, um valor positivo de denota uma saída. 
No entanto, quando V aponta para dentro do volume de controle, o termo é negativo. 
Além disso, quando V aponta para dentro, o fluxo de massa está fisicamente entrando no volume de controle, ou seja, é uma entrada. 
Assim, um valor negativo para denota uma entrada. 
OBS: Isso ocorre por causa do , porque .
q
cos
1
180
cos
-
=
dS
V
·
r
òò
·
=
S
dS
V
B
r
dS
V
·
r
dV
r
òòò
v
dV
r
òòò
¶
¶
v
dV
t
r
C
dV
t
v
=
¶
¶
-
òòò
r
òòò
òò
¶
¶
-
=
·
v
S
dV
t
dS
V
r
r
0
=
·
+
¶
¶
òò
òòò
S
v
dS
V
dV
t
r
r
0
=
·
+
¶
¶
òò
òòò
S
v
dS
V
dV
t
r
r
(
)
òòò
òò
·
Ñ
=
·
v
S
dV
V
dS
V
)
(
r
r
0
)
(
=
·
Ñ
+
¶
¶
òòò
òòò
v
v
dV
V
dV
t
r
r
0
)
(
=
ú
û
ù
ê
ë
é
·
Ñ
+
¶
¶
òòò
v
dV
V
t
r
r
0
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(
=
·
Ñ
+
¶
¶
V
t
r
r
)
,
,
,
(
t
z
y
x
r
r
=
)
,
,
(
z
y
x
r
r
=
0
=
¶
¶
t
0
=
·
òò
S
dS
V
r
)
(
V
r
·
Ñ
ma
F
=
)
(
mV
dt
d
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=
p
r
dV
f
.
r
òòò
V
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f
.
r
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p
.
-
òò
-
S
dS
p
.
o
vis
F
cos
o
vis
F
cos
o
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S
V
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p
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f
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.
.
+
-
=
òò
òòò
r
)
(
dS
V
·
r
V
dS
V
)
(
·
r
òò
·
=
S
V
dS
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G
)
(
r
V
dV
)
(
r
òòò
V
dV
V
.
r
òòò
¶
¶
=
V
dV
V
t
H
.
r
òòò
òò
¶
¶
+
·
=
+
=
V
S
dV
V
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V
dS
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H
G
mV
dt
d
.
)
(
)
(
r
r
F
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dt
d
=
)
(
o
vis
V
S
S
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F
dV
f
dS
p
V
dS
V
dV
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cos
.
.
)
(
.
+
+
-
=
·
+
¶
¶
òòò
òò
òò
òòò
r
r
r
òòò
òò
Ñ
=
-
V
S
dV
p
dS
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.
o
vis
V
V
S
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F
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f
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V
dS
V
dV
t
V
cos
.
.
)
(
)
(
+
+
Ñ
-
=
·
+
¶
¶
òòò
òò
òò
òòò
r
r
r
k
w
j
v
i
u
V
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
o
vis
x
V
x
V
S
V
F
dV
f
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x
p
u
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V
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u
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(
.
.
)
(
)
(
+
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¶
¶
-
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·
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¶
¶
òòò
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r
r
r
)
(
dS
V
·
r
òòò
òò
òò
Ñ
=
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·
V
S
S
dV
uV
dS
uV
u
dS
V
)
(
)
(
)
(
r
r
r
]
0
)
(
)
(
)
(
cos
=
-
-
¶
¶
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Ñ
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¶
¶
òòò
dV
F
f
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p
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)
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)
(
+
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¶
¶
-
=
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+
¶
¶
r
r
r
o
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y
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y
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dV
vV
dV
t
v
cos
)
(
)
(
)
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¶
¶
-
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Ñ
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¶
¶
r
r
r
o
vis
z
z
F
f
z
p
dV
wV
dV
t
w
cos
)
(
)
(
)
(
+
+
+
¶
¶
-
=
Ñ
+
¶
¶
r
r
r
0
º
¶
¶
t
0
cos
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o
vis
F
òò
òò
-
=
·
S
S
dS
p
V
dS
V
.
)
(
r
(
)
x
p
uV
¶
¶
-
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r
(
)
y
p
vV
¶
¶
-
=
·
Ñ
r
(
)
z
p
wV
¶
¶
-
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·
Ñ
r
r