Equação da continuidade e do movimento_201

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Equação da continuidade
PROFª DRª FERNANDA FERREIRA FREITAS
Universidade Federal de Goiás
Instituto de Química
O que estuda a Cinemática?
A cinemática dos fluidos estuda 
o movimento dos fluidos em 
termos dos deslocamentos, 
velocidades e acelerações, sem 
levar em conta as forças que o 
produzem.
É o estudo de como os fluidos 
escoam e de como descrever 
seu movimento.
3
Antes de entender o que é a Equação da Continuidade, é necessário entender o conceito de fluxo. Se você
pudesse ver cada partícula de ar atravessando a superfície, poderíamos observar linhas que representariam as
trajetórias das partículas de ar. Veja a sequência das figuras abaixo:
Observa-se Fluxo como sendo um campo vetorial através de uma superfície, isto é, a “quantidade” de algo que, 
efetivamente, atravessa as superfícies, matematicamente, pode ser expresso da seguinte forma:
Fluxo = velocidade * área
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/07/equacao-da-continuidade1.jpg
4
É possível aumentar a velocidade da água que sai de uma mangueira de jardim fechando parcialmente o bico
da mangueira com o dedo. Esta alteração na velocidade está diretamente relacionada ao fato de alterarmos a
secção da área de saída de água da mangueira.
Alguns acontecimentos simples do nosso cotidiano evidenciam o comportamento dos fluidos na situação 
de escoamento e a equação da continuidade. Um exemplo muito comum do cotidiano é a tentativa de 
aumentar a velocidade da água em uma mangueira colocando o dedo na saída do tubo.
A equação da continuidade relaciona a velocidade de escoamento de um fluido com a área disponível para o 
seu fluir. Observando a imagem abaixo, vemos um fluido ideal passando por um tubo de calibre variável que 
possui uma área maior (A1) e outra menor (A2). Para cada uma das áreas, o fluido possui uma velocidade. 
Representaremos como v1 a velocidade na área maior e como v2 a velocidade da área menor
O QUE SERÁ QUE IRÁ ACNTECER?
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/fluidos.htm
SistemaS Termodinâmicos
Sistema termodinâmico consiste em uma quantidade de matéria ou região para a qual
nossa atenção está voltada. Demarcamos um sistema termodinâmico em função daquilo
que desejamos calcular. Tudo que se situa fora do sistema termodinâmico é chamado
MEIO ou VIZINHANÇA.
Sistema Fechado - É o sistema termodinâmico no qual não há fluxo de massa através
das fronteiras que definem o sistema.
5
Não há variação de 
massa
Sistema fechado
W
Q
Sistema Isolado - Não permite passagem de energia.
Volume de Controle - Ao contrário do sistema fechado, é o sistema termodinâmico no qual
ocorre fluxo de massa através da superfície de controle que define o sistema (sistema aberto). A
quantidade e identidade da matéria no V.C. pode variar com o tempo, mas a sua forma é fixa.
6
Sistema fechado e volume de controle
Não há variação de 
energia
Sistema isolado
Conceito de volume de controle e tipos de sistemas
Não há variação de 
energia
Sistema isolado
Não há variação de 
massa
Sistema fechado
W
Q
Variação de energia e 
massa
Sistema aberto
W
Q
mentra
msai
Conservação da Massa
Abordagens Integral e Diferencial para um Volume de Controle
Na análise do movimento dos fluidos, existem duas formas distintas de descrever o movimento:
(1) Abordagem Integral: trabalha-se com uma região
finita fazendo um balanço dos escoamentos que
entram e saem de um volume finito de controle com o
intuito de determinar os efeitos globais, tais como vazão
volumétrica ou mássica, a temperatura média, a
velocidade média,etc.
,
Abordagem Diferencial: Acompanhar a trajetória
individual de cada objeto, de cada parcela individual de
fluido. Acompanha a variação espacial (x,y,z) de uma
propriedade do escoamento (velocidade, pressão,
temperatura, etc.), ao longo do tempo(t), analisando
regiões infinitesimais dentro deste escoamento.
9
Abordagem Integral
Conservação da Massa
A equação Integral da Conservação da Massa
Volume de Controle (VC):
utilizado em mecânica dos
fluidos que permite estudar uma região do
espaço conforme o fluido escoa através
dela. Um volume de controle é delimitado
por uma superfície de controle (SC)
Volume de Controle
(VC)
Superfície de 
Controle (SC)
A abordagem Integral envolve a aplicação do conceito de Volume de Controle, mostrado na 
figura abaixo
Conservação da Massa
A equação Integral da Conservação da Massa
Para a aplicação da abordagem integral à massa, considere a lei de conservação da 
massa aplicada a um volume de controle, dada por:
VC
(taxa de variação da massa total)

dV=
t
VC
(Taxa variação da massa total) = taxa mássica total que entra − taxa mássica total que sai
VC SC SC
A variação da massa total pode ser dada pela integração da variação infinitesimal da massa de
fluido (por unidade de volume) sobre um volume de controle qualquer (genérico)
sendo ρ e V a massa específica do fluido e o volume considerado, respectivamente.
Conservação da Massa
SC SC
massa total que entra −massa total que sai = − v.dA
SC

A caracterização das correntes de entrada e saída do volume de controle é feita conforme a 
convenção dos sinais abaixo
A equação Integral da Conservação da Massa - As entradas e saídas de massa do volume de 
controle, pelas superfícies de controle, podem ser analisadas pela seguinte integral, sendo v o vetor 
velocidade e dA o vetor de área normal à SC
Fonte: White (2011)
Conservação da Massa
VC
SCt


dV =−  v .dA
A equação Integral da Conservação da Massa
Substituindo estes termos na lei de conservação da massa, tem-se:
(variação da massa total) = massa total que entra −massa total que sai
VC SC SC
Obs: Para um determinado número de entradas e saídas uniformes de um volume de controle, pode- se
escrever:
( )i i idV = −

t
{
i
 Av −(i Aivi )}
entra i sai
VC
ou,
)i(mdV =

t
−{
i
−(mi )}
entra i sai
VC
sendo: m a vazão mássica de fluido ( ρ.v.a - kg/s no S.I.)
Esta equação é também conhecida 
como Equação da Continuidade.
Em regime permanente:
Saída
(Positivo)
Entrada 
(negativo) Saída
(Positivo)
ENTÃO:
= − v.dA
SC
 https://www.youtube.com/watch?v=tKqv9uoTT2k
15
Considere os seguinte volume de controle com diferentes 
entradas e saídas . No caso de regime permanente e fluido 
compressível, tem-se, da figura ao lado: 
Todos os termos expressos
Em vazões mássicas, pq???
16
Escoamento com fluido Incompressível: apresenta variações desprezíveis de massa específica. Neste caso, as 
massas específicas das correntes de entrada são iguais às das saídas. Logo,
Note que, para um escoamento compressível e permanente, as vazões mássicas, e não as vazões 
volumétricas, são constantes. As vazões volumétricas são constantes, se, e somente se, o escoamento for 
incompressível.
Q = v.A
෍ 𝑣.𝐴 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = ෍ 𝑣.𝐴 𝑠𝑎𝑖
෍ 𝑄 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = ෍ 𝑄 𝑠𝑎𝑖
Onde Q é a vazão volumétrica do fluido (m3/s)
17
Abordagem Diferencial
Abordagem Diferencial
Há dois pontos de vista diferentes na abordagem diferencial: EULERIANO E LAGRANGEANO
Método Euleriano: Consiste em observar o comportamento transiente dos sistemas em vários pontos fixos, podendo-se, assim, obter
uma “visão” do comportamento do movimento naquele instante de tempo.
t1
Pontos fixos no espaço
Ex: Um engenheiro de trafego seleciona
um determinado trecho (fixo) da estrada
para estudo. Com o tempo, vários carros
diferentes vão passar pelo trecho, maso
engenheiro está interessado no fluxo
médio de carros naquele trecho, e não em
um carro em especial.
Obs: Este método é normalmente utilizadas no estudo da fluidodinâmica, sendo que os campos de pressão,
velocidade, etc., são determinados em pontos fixos no espaço (x, y, z) ao longo do tempo.
V
t1
t3
P1
t2
P1
P1
Abordagem Diferencial
Método Lagrangeano: Consiste em identificar um determinado sistema e, a partir daí, observar variações de propriedades
tais como temperatura, velocidade, etc. à medida que este sistemase desloca no espaço com o passar do tempo.
Obs.: A seguir o Método Euleriano (aplicado a um elemento de fluido) será aplicado à conservação da massa e da
quantidade de movimento.
Acúmulo de massa no volume de controle Velocidade com a qual a massa 
entra e sai
20
Equação da Continuidade está centrada no acúmulo de massa num volume de
controle (VC) em virtude das velocidades com que a matéria entra e sai dele ou ainda, em 
função da taxa de consumo ou geração de massa que ocorre no interior dele. Ou seja:
TERMO DE ACÚMULO
Balanço de matéria em cada uma das faces 
do volume de controle:
Volume de controle
face direção x face direção y face direção z
21
Definição de ???
FORMA DIFERENCIALTERMO DE ACÚMULO
Já dividido 
‘
ISSO ACONTECE PORQUE??
Lembrando do Teorema de Gauss...
Então,
Comparando com a integral tripla:
Só satisfaz se integrando for nulo, ou seja, a Eq da Continuidade na forma diferencial é:
22
É comum na literatura sobre Fenômenos de Transporte, a 
Equação da Continuidade ser
apresentada na forma integral 
e a partir dela se chegar na forma diferencial
Forma Integral (visto anteriormente)
Regimes permanente e não-permanente
❖ Escoamento permanente ou estacionário é aquele cujo campo de velocidades 
que o representa não depende do tempo, ou seja, todas as suas propriedades e 
grandezas são constantes no tempo.
❖ Escoamento não-permanente é aquele cujo campo de velocidades apresenta 
dependência temporal, isto é, ao menos uma propriedade ou grandeza é 
função do tempo. Pode ser transiente, periódico ou aleatório.
23
24
25
Equação da continuidade – situações de 
aplicações
26
Obs: Note que, para um escoamento compressível e permanente, as vazões mássicas, e não as vazões volumétricas, são 
constantes. As vazões volumétricas são constantes, se, e somente se, o escoamento for incompressível. 
b) Sistema de Coordenadas Cilíndricas: a alternativa mais comum ao sistema cartesiano é o sistema
de coordenadas cilíndricas, utilizado, por exemplo, na análise de escoamentos no interior de um
tubo de seção circular.
Considere as taxas de massa que transpassam as faces do volume de controle abaixo, cujo volume é 
dado por rdθdrdz
rdθ
dr
dz
Área perpendicular a r: rdθdz
Área perpendicular a z: rdθdr
Área perpendicular a θ: drdz
z
r
θr
Fθ
O vetor velocidade é dado por v (sendo 
“e” o vetor unitário):
V = Vrer + V e+ Vzez
“F” a taxa mássica que as
faces do volume
Obs: seja
transpassa
infinitesimal
Fθ + dθ
Fz
Fz + dz
Fr
Fr + dr
V (r,θ,z)
y
Conservação da Massa
A equação Diferencial da Conservação da Massa
Logo, novamente a forma compacta da equação da continuidadetorna-se:

+.(V)= 0
t
A equação Diferencial da Conservação da Massa
a) Sistema de Coordenadas Cilíndricas:
Após a determinação da taxa líquida nas direções r, θ e z, e a posterior substituição na lei de
conservação da massa, a equação da continuidade (por unidade de volume) em coordenadas
cilíndricas torna-se (para maiores detalhes ver Fox et al., 2012):
O operador divergente (.) de um vetor “A” qualquer, em coordenadas cilíndricas, é dado por:
29
b) Sistema de Coordenadas Esféricas: este sistema também é bastante utilizado em alguns
problemas de fenômenos de transporte. Considere as taxas de massa que transpassam as
faces do volume de controle abaixo, cujo volume é dado por dr.rsen(ϕ)dθ.rdϕ
Coordenadas cartesianas? Cilíndricas? Esféricas?
Cilíndricas
Esféricas
30
31
EXEMPLO 1
❖ Seja o sistema abaixo onde se deseja calcular v2. Considerar 
regime permanente e fluido incompressivel
 
V1, 
d1 
V2, 
d2 
V3, 
d3 
32
EXEMPLO 2
❖ Seja um gás ideal escoando um regime permanente numa tubulação conforme representado a
seguir. Calcular a velocidade na saída do tubo no SI. Dados:
33
Equação da Continuidade 
Teorema do valor médio
Vamos definir a velocidade média pelo Teorema do Valor Médio:
34
= vdA
A
v
1
r
rd
dr
dA=rdrd
  ==


2
0 0
R
rdrddAA
35
EXERCICIO 3 – Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de velocidades a seguir.
b
36
EXERCICIO 4 – Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da figura. 
Na seção (1) tem-se A1=20cm2, ρ 1=4Kg/m3 e v1=30m/s. Na seção 2, A2=10cm2, 
ρ2=12Kg/m3. Calcule v2.
Exercício 3. Sabendo-se que o perfil de velocidade de água escoando num tubo , calcular a 
velocidade média do escoamento. 














−=
2
1
R
r
vv max
( )rdr
R
r
v
A
dAv
A
v
AA
21
11
2















−== max.




















−==  R
dr
R
r
R
r
v
R
R
dAv
R
v
AA


21
1
2
2
2
2 max
.
( )  ( )  −=−=
AA
xdxxvxdxx
v
v
22
121
2
max
max


4
1
2
2
1
222
1
0
3
1
0
maxmaxmaxmax vvxdxvxdvv −=−= 
22
1 max
maxmax
v
vvv =−=
Velocidade, velocidade média de um fluido.
38
•Welty, J. R.; Wicks, C. E.; Wilson, R. E.; Rorrer, G. L., Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer, 5th
Edition, John Wiley and Sons, New Jersey, 2007.
• Brunetti, Franco. Mecânica dos Fluidos, 2ª edição, Prentice Hall
•Potter, M. C., Wiggert, D. C., Hondzo, M. Shih, T. I. P. - Mecânica dos Fluidos, 3a. edição, tradução de A. Pacini,
Pioneira Thomson Learning, São Paulo-SP, 2004.
•Roma, W, N. L. - Fenômenos de Transporte para Engenharia, 2. edição revisada, Rima Editora, São Carlos-SP,
2006.
•Fox, R. W.; McDonald, A. T.; Pritchard, P. J., Introduction to Fluid Mechanics, 6th Edition, John Wiley and Sons,
New Jersey, 2004.
• Notas de aula do professor Dyrney Araújo.
Referências Bibliográficas
Equação do movimento
PROFª DRª FERNANDA FERREIRA FREITAS
Universidade Federal de Goiás
Instituto de Química
40
Derivada Parcial em relação ao tempo
Suponha-se que um pescador (observador) esteja parado sobre a ponte de um rio e observe como a
concentração de peixes (C), exatamente debaixo de dele, varia com o tempo (t). Nesta situação, o
observador (pescador) vê como a concentração de peixes varia com o tempo para uma posição fixa
no espaço. De acordo com isso, indica uma derivada parcial de C em relação a t, mantendo
constantes x, y e z. t
C


( 1)
Observe que para esta e as posteriores análises serão considerados os seguintes
elementos: pescador, ponte, lancha, bóia, rio e peixes. Neste caso, o rio (obviamente
com os peixes) será o sistema e o restante (pescador, ponte, lancha, canoa) será
simplesmente as vizinhanças.
41
Derivada Total em relação ao Tempo
Considere agora que ao invés de o pescador permanecer sobre a ponte do rio, ele esteja numa lancha a
motor que se move no rio em todas as direções possíveis (a favor, contra ou transversalmente à
correnteza). Note que nesta situação, o referencial (observador) NÃO É MAIS FIXO. Nesta hipótese, ao se
referir à variação da concentração de peixes em relação ao tempo, os valores resultantes deverão
considerar também o movimento da lancha. Assim, a derivada total em relação ao tempo será dada pela
Eq. (2).
em que dx/dt, dy/dt e dz/dt são as componentes da velocidade da lancha. Neste caso, elementos da vizinhança (pescador 
e lancha) se movem independentemente da velocidade do sistema (rio).
(2)
42
Derivada Substantiva em relação ao Tempo
Considere agora que ao invés da lancha motorizada, o pescador esteja numa bóia que
simplesmente se move conforme a vontade da correnteza do rio. Neste caso, a velocidade do
observador é exatamente a mesma velocidade da correnteza. Ao se referir à variação da
concentração de peixes em relação ao tempo, os números dependem da velocidade local da
correnteza. Esta derivada é uma classe especial de derivada total em relação ao tempo que
se denomina de derivada substantiva (DC/Dt) ou de derivada seguindo o movimento, cuja
expressão está representada pela Eq. (3).
Este caso é análogo à Eq. (2) com a diferença de que o observador/bóia se movem exatamente
com a mesma velocidade do sistema (rio). Assim, ao invés de deixargenericamente as
derivadas espaciais da concentração, elas simplesmente foram substituídas pela própria
velocidade do rio (que na verdade é um fluido que se move com o vetor velocidade “v” – o que
comumente se denomina de correnteza – representado na Eq. 3 pelas respectivas
componentes).
(3)
OU 
43
OU
44
Derivada Substantiva em relação ao Tempo
Campo de velocidade: a forma vetorial cartesiana de um campo de velocidades 
que varia no espaço e no tempo pode ser expressa como: 
Para calcular o campo vetorial de aceleração do escoamento deriva-se o 
campo de velocidade, ou seja, 
Como cada componente escalar (u, v, w) é uma função de quatro variáveis (x, y, z, t), 
aplica-se a regra da cadeia para obter cada derivada temporal escalar. 
Exemplo: para a componente da velocidade na direção x, a derivada total é 
dada por 
Onde u = Vx, v=Vy e w=Vz
45
Visto que dx/dt é o componente da velocidade local u, dy/dt = v e dz/dt = w, tem-se 
para a componente de velocidade em x 
Derivada Substantiva em relação ao Tempo
A equação acima também pode ser escrita como: 
Finalmente, podemos aplicar para as outras direções y e z e, de uma forma 
geral, tem-se: 
Segundo a ótica de F.T.: 
As forças de campo e superfícies são
Então:
Fi = Fc + Fs
46
RECORDANDO .......
Se a massa do corpo for constante: 
Fc
Fs
Forças de Campo: são forças 
decorrentes de campos 
externos (gravidade, 
magnetismo, potencial elétrico) 
que agem sobre toda a massa 
dentro do elemento.
Forças de superfícies: a soma da
pressão hidrostática mais as
tensões viscosas
➢ Uma componente de tensão que age perpendicularmente a uma face é
denominado de tensão normal
σ𝑥𝑥 σ𝑦𝑦 σ𝑧𝑧
➢ Uma componente de tensão que age tangencialmente a uma face é
denominado de tensão de cisalhamento
𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑦
São ao total nove componentes de tensão que agem em um ponto em particular
As forças de superfícies 
x
y
z
σxy
σyy
σyxσyz
σxx
σxz
σzy
σ zx
σzz
Obs: visto que a pressão é uma tensão normal para
dentro do elemento infinitesimal, suas componentes
aparecem apenas na diagonal principal do tensor total
com sinal negativo.
Forças de Superfície: decorrem das tensões sobre os
lados da superfície de controle.
Obs: Elas são a soma da pressão hidrostática mais as tensões viscosas que 
surgem do movimento com gradientes de velocidade:
Representação do tensor total que age sobre o volume infinitesimal
Então:
T = PI + τ
Tensão normal ou estática
Tensão 
Dinâmica 
ou Viscosa
49
A parcela “PI” é conhecida como
Tensão Normal ou Estática,
devido à pressão do fluido em
que “I” é o tensor unitário. A
parcela “ ” é denominada de
Tensão Dinâmica ou Viscosa e só
existe se o fluido estiver em
movimento.
Utilizando o Teorema de Gauss:
50
APLICANDO GAUSS
g
Substituindo a na equação, temos a Equação do Movimento:
A Equação do Movimento em sua forma expandida em coordenadas cartesianas é:
51
Em Fenômenos de Transporte, a aceleração do sistema é 
explicitado sob a forma de Derivada Substantiva ou material
a =
Separando por componentes:
52
Bird , 2002
53
A Equação do Movimento em sua forma expandida em coordenadas cilindricas é:
Bird , 2002
54
Casos Particulares da 
Equação do Movimento
❖ Equação de Navier-Stokes
55
Tensor proposto por Navier-Stokes
Quando a densidade () e a viscosidade (μ) do fluido são constantes durante o escoamento do fluido, a Equação da 
Continuidade transforma-se em:
Assim como a Equação do Movimento, a Equação de Navier-Stokes 
pode ser ainda reescrita em coordenadas cilíndricas ou esféricas,
LOGO
❖ Equação de Navier-Stokes - cartesianasBird , 2002
56
❖ Equação de Navier-Stokes – coordenadas cilíndricas
Bird , 2002
❖ Equação de Navier-Stokes – cartesianas
❖ Equação de Stokes 
Se o escoamento do fluido for lento, o termo inercial da Equação de Navier-Stokes é 
nulo (aceleração do fluido é desprezada), resultando, portanto, na Equação de 
Stokes:
57
❖ Equação de Euler 
Se o fluido for ideal (μ = 0), a Equação de Navier-Stokes resulta na Equação 
de Euler:
58
Se o fluido estiver estático (sem termo inercial e viscoso):
Equação de Navier-Stokes Equação Fundamental da Estática dos 
Fluidos
59
VISTO ANTERIORMENTE
Se o escoamento do fluido for em estado estacionário, o fluido for 
ideal e o escoamento ocorrer preferencialmente em uma direção (L):
60
Equação de Navier-Stokes Equação Bernoulli
Neste caso, ocorre apenas 
variações de energia cinética, de 
pressão e potencial entre dois 
pontos situados na fronteira 
sistema (pontos 1 e 2).
EXERCÍCIO 5
❖ Utilizando a Equação de Navier-Stokes, obtenha o perfil de velocidades, definido
pelo escoamento de um fluido incompressível entre duas placas verticais infinitas e
paralelas. Admita que a placa da direita é mantida fixa e a da esquerda é
movimentada para cima com velocidade constante e igual a v. Suponha que o
escoamento é permanente, isotérmico e laminar. Determine os perfis de tensão e
de velocidade e explique detalhadamente cada passo da resolução do problema.
61
62
Escoamentos em tubulações são muito utilizadas nas indústrias. No
desenho abaixo, considere regime laminar em estado estacionário,
fluido newtoniano e que exista queda de pressão dentro do cilindro..
Descreva o perfil de velocidade e de tensão.
EXERCÍCIO 6
63
Usando a equação do movimento e a equação da continuidade, obter o perfil de velocidade de um fluido 
newtoniano incompressível que flui entre duas placas paralelas verticais. A placa da direita está em repouso 
enquanto a da esquerda move-se para cima com uma velocidade constante v. Assumir que o fluxo é laminar 
e regime estabelecido. Admita que além da ação da gravidade, o escoamento também ocorra pela queda 
de pressão na direção y. 
EXERCÍCIO 7