mecanica_dos_fluidos_avancada

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Brasília-DF. 
Mecânica dos Fluidos avançada
Elaboração
Jéssica Leonel Gonçalves
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração
Sumário
APRESENTAÇÃO ................................................................................................................................. 5
ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA .................................................................... 6
INTRODUÇÃO.................................................................................................................................... 8
UNIDADE I
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS ................................................................................................ 11
CAPÍTULO 1
REOLOGIA DOS FLUIDOS ........................................................................................................ 11
CAPÍTULO 2
EQUAÇÕES INTEGRAIS: MASSA, QUANTIDADE DE MOVIMENTO E ENERGIA .............................. 17
CAPÍTULO 3
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MASSA E QUANTIDADE DE MOVIMENTO ........................................ 33
CAPÍTULO 4
EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES ................................................................................................ 38
UNIDADE II
ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS ..................................................................................................... 49
CAPÍTULO 1
PERDA DE CARGA ................................................................................................................. 53
UNIDADE III
ESCOAMENTO VISCOSO EXTERNO ...................................................................................................... 61
CAPÍTULO 1
ESCOAMENTO TURBULENTO .................................................................................................... 61
CAPÍTULO 2
CAMADA LIMITE ..................................................................................................................... 66
UNIDADE IV
TURBOMÁQUINAS ................................................................................................................................ 76
CAPÍTULO 1
EQUAÇÃO DE EULER DAS TURBOMÁQUINAS ........................................................................... 78
CAPÍTULO 2
MÁQUINAS MOTORAS ............................................................................................................ 82
CAPÍTULO 3
MÁQUINAS GERADORAS ........................................................................................................ 87
CAPÍTULO 4
ESTUDO DE CASO .................................................................................................................. 89
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................. 92
5
Apresentação
Caro aluno
A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se 
entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade. 
Caracteriza-se pela atualidade, dinâmica e pertinência de seu conteúdo, bem como pela 
interatividade e modernidade de sua estrutura formal, adequadas à metodologia da 
Educação a Distância – EaD.
Pretende-se, com este material, levá-lo à reflexão e à compreensão da pluralidade 
dos conhecimentos a serem oferecidos, possibilitando-lhe ampliar conceitos 
específicos da área e atuar de forma competente e conscienciosa, como convém 
ao profissional que busca a formação continuada para vencer os desafios que a 
evolução científico-tecnológica impõe ao mundo contemporâneo.
Elaborou-se a presente publicação com a intenção de torná-la subsídio valioso, de modo 
a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na 
profissional. Utilize-a como instrumento para seu sucesso na carreira.
Conselho Editorial
6
Organização do Caderno 
de Estudos e Pesquisa
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em unidades, subdivididas em 
capítulos, de forma didática, objetiva e coerente. Eles serão abordados por meio de textos 
básicos, com questões para reflexão, entre outros recursos editoriais que visam tornar 
sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, fontes de consulta para 
aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares.
A seguir, apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos 
Cadernos de Estudos e Pesquisa.
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes 
mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor 
conteudista.
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita 
sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. É importante 
que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus sentimentos. As 
reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo, 
discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a 
síntese/conclusão do assunto abordado.
7
Saiba mais
Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões 
sobre o assunto abordado.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o 
entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Para (não) finalizar
Texto integrador, ao final do módulo, que motiva o aluno a continuar a aprendizagem 
ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado.
8
Introdução
A ementa da disciplina de Mecânica dos Fluidos está dividida em seis unidades. 
Este material objetiva fornecer os conceitos necessários aos alunos ingressantes 
para que terminem a disciplina competentes a solucionar problemas diários 
que envolvam o escoamento de fluidos. Os temas abordados foram divididos da 
seguinte forma: 
 » Unidade I – Equações integrais e diferenciais: esta unidade 
apresenta conceitos importantes para o entendimento da mecânica 
dos fluidos, aborda temas como: propriedades e comportamento dos 
fluidos, regimes de escoamento e classificação dos fluidos (newtonianos 
e não newtonianos). Posteriormente, a dedução das equações-base foi 
subdividida em três importantes capítulos. O Capítulo 2 faz a dedução 
das equações de conservação da massa, quantidade de movimento e 
energia para um volume de controle a partir do Teorema de Transporte 
de Reynolds. Em seguida, a partir dessas equações no Capítulo 3, são 
apresentadas as equações na forma diferencial da massa e a quantidade 
de movimento. Por fim, no Capítulo 4, obtém-se uma famosa equação da 
mecânica dos fluidos: a equação de Navier-Stokes.
 » Unidade II – Escoamento viscoso em dutos: nesta unidade, 
serão apresentados as propriedades e o comportamento do escoamento 
de fluidos viscosos em dutos. Nela, a atenção é voltada ao escoamento 
laminar. Entretanto, no Capítulo 1, é apresentada a dedução das equações 
de perda de carga por atrito para escoamento laminar e turbulento, além 
disso expõem-se alguns métodos disponíveis na literatura para o cálculo 
do fator de atrito.
 » Unidade III – Escoamento viscoso externo: esta unidade apresenta 
dois conceitos importantes em mecânica dos fluidos em escoamento 
externo de forma sequencial: turbulência e camada limite. Primeiramente, 
o Capítulo 1 aborda o tópico de escoamento turbulento, entretanto, 
diante da vasta e complexa teoria inerente a esse tipo de escoamento em 
razão do comportamento oscilatório dos fluidos, esta seção tem como 
objetivo apresentar de forma introdutória os conceitos e as equações 
para sua modelagem, além de citar alguns modelos numéricos utilizados 
atualmente pelo CFD para análise e predição do comportamento dos 
9
fluidos. O Capítulo 2 introduz com mais detalhes o conceito de camada 
limite. Abordam-se suascaracterísticas e aplicabilidade. O capítulo está 
dividido em três subseções: na primeira, explicitam-se as equações que 
modelam a região da camada limite; na segunda, é realizada a dedução 
da Solução Exata de Blasius; e, na terceira, apresenta-se uma segunda 
solução para camada limite, utilizando-se técnicas de solução por 
aproximação.
 » Unidade IV – Turbomáquinas: esta unidade visa a apresentar 
a aplicação mais comum de mecânica dos fluidos em engenharia, as 
máquinas de fluxos. Dessa forma, é apresentada a dedução da equação 
de quantidade de movimento angular que dá origem à Equação de 
Euler das turbomáquinas, em seguida, apresentam-se as características 
das máquinas motoras (ex.: bombas e compressores) e das máquinas 
geradoras (ex.: turbinas hidráulicas).
Vamos aos estudos!
10
11
UNIDADE IEQUAÇÕES INTEGRAIS 
E DIFERENCIAIS
CAPÍTULO 1
Reologia dos fluidos
Iniciaremos os estudos de mecânica dos fluidos fazendo uma pequena revisão 
dos principais parâmetros e propriedades relacionados à modelagem do 
escoamento. A Reologia é a ciência da deformação e fluxo da matéria, ou seja, é 
a ciência que estuda como a matéria se deforma ou escoa quando está submetida 
a esforços provenientes de forças externas. Por matéria, entendem-se sólidos, 
líquidos e gases. Como este estudo se limita à abordagem da mecânica dos 
fluidos, discorreremos apenas sobre os processos inerentes à deformação de 
fluidos (gases e líquidos).
O escoamento é considerado um tipo de deformação irreversível, uma vez 
que o trabalho realizado para mantê-lo é dissipado em forma de calor, e não 
é possível sua recuperação mecânica. Entende-se que a energia mecânica 
convertida em calor corresponde à resistência friccional ou à viscosidade, ou 
seja, a resistência do fluido ao movimento gera a transformação da energia 
mecânica em calor.
Quando aplicamos o conceito de viscosidade (resistência do fluido ao 
movimento) a um caso real de escoamento, surge a curiosidade de como o fluido 
se comporta quando é submetido a uma força externa. Então, vamos imaginar 
uma situação (Figura 1), inicialmente, temos uma porção de fluido viscoso entre 
duas placas fixas, velocidade do fluido igual a zero ( V 0=

), ou seja, o fluido está 
estacionário e não temos deformação da matéria. Passado um determinado tempo 
(Δt), é aplicada uma força na placa superior gerando o movimento dela, o que 
acontece com o fluido? 
12
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Figura 1. Representação esquemática da deformação de uma porção de fluido com aplicação de uma força 
externa.
 
 
F
Placa Inferior fixa 
Placa Superior fixa 
Fluido 
Placa Inferior fixa 
Perfil de 
velocidade 
Placa Superior móvel 
(a) (b) 
Fonte: Elaboração própria da autora (2019).
Como é possível visualizar na Figura 1 (a), a porção de fluido está dividida em diversas 
camadas, e, em toda a extensão entre as placas, as camadas se comportam da mesma 
maneira, entretanto, ao aplicar uma força externa ao sistema, conforme a Figura 1 
(b), gera-se um perfil de velocidade que se propagará com velocidades diferentes 
em cada camada de fluido. Assim, analisando o escoamento como camadas planas, 
infinitas e paralelas, ao se aplicar a força, F

, na placa superior, observa-se um 
movimento relativo entre as camadas, em que tal fenômeno é conhecido em reologia 
e mecânica dos fluidos como cisalhamento ou deformação viscosa. 
A deformação viscosa é expressa em termos de taxa de deformação ( γ ), que consiste 
na relação entre a variação de velocidade do escoamento e a distância entre camadas 
ou partículas dispersas de fluido, vide Eq.(1.1). Para melhor entendimento, pode-se 
comparar o comportamento de um sólido e de um fluido. Quando se aplica uma força 
a um corpo sólido elástico, ele sofre uma deformação proporcional à tensão aplicada e 
retorna ao seu estado inicial quando o esforço é retirado. Entretanto, quando se trata 
de um fluido, este sofrerá um cisalhamento contínuo, em que as velocidades entre 
as camadas variam de acordo com a distância entre elas, e a deformação continuará 
mesmo após a retirada da tensão.
V
y
∆
γ =
∆ (1.1)
Em que:
V∆ : Diferença de velocidade entre duas camadas
y∆ : Distância entre as camadas
Para os fluidos viscosos ideais, fluidos que se deformam contínua e 
irreversivelmente sob a ação de forças externas, a tensão de cisalhamento é dada 
13
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
pela taxa de cisalhamento multiplicada pela constante de proporcionalidade 
(viscosidade dinâmica do fluido, µ), conforme Eq.(1.2).
V
y
 ∆
τ = µ ∆ 
(1.2)
Como em alguns casos o perfil de velocidade do escoamento não é linear, é mais 
representativo escrevermos a Eq.(1.2) em forma de derivada, como exposto a seguir:
V
y
δ
τ = µ
δ (1.3)
É importante lembrar que a viscosidade dinâmica é uma propriedade do fluido, ou 
seja, ao analisar dois fluidos cisalhados pela mesma força, apresentará um grau de 
deformação diferente. Além da viscosidade dinâmica, encontra-se na literatura o 
conceito de viscosidade cinemática, que consiste na razão entre a viscosidade dinâmica 
e a massa específica do fluido (ρ), conforme Eq.(1.4).
µ
ν =
ρ (1.4)
Regimes de escoamento
Em mecânica dos fluidos, consideramos que um escoamento pode estar em dois 
regimes: transiente ou permanente. No regime permanente, também conhecido como 
estacionário, o escoamento é perfeitamente estável, ou seja, nenhuma propriedade se 
altera ao longo do tempo em um dado ponto, ou seja, as propriedades do escoamento 
e do fluido se alteram apenas no espaço (x, y, z). Enquanto no regime transiente, 
deve-se levar em consideração a variação dos parâmetros também no tempo. 
Lembre-se que a transição entre dois estados permanentes é intermediada por 
um estado transiente, por exemplo, dada uma linha de produção de petróleo com 
velocidade constante na entrada, tem-se um escoamento em regime permanente. 
Entretanto, se houver a necessidade de se alterar a vazão de entrada, surgirá um 
período de regime transiente até que o escoamento atinja novamente condições 
totalmente estáveis.
Outro conceito vastamente utilizado em mecânica dos fluidos consiste 
na definição do tipo de fluxo, que pode ser laminar ou turbulento. Estudos 
experimentais realizados por Reynolds demonstraram que o tipo de fluxo a ser 
encontrado é função do diâmetro do duto (D), da velocidade e das propriedades 
termodinâmicas dos fluidos (massa específica e viscosidade) sendo escoados. 
14
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
A definição do tipo de fluxo baseia-se no cálculo do número adimensional de 
Reynolds (Re), apresentado na Eq. (1.5).
VDRe ρ=
µ (1.5)
Segundo Machado (2002), encontra-se escoamento laminar para Re menores que 
2100 e escoamento turbulento para Re maiores que 2100.
Classificação dos fluidos viscosos
Os fluidos viscosos podem ser classificados mediante seu comportamento reológico 
para uma determinada condição de pressão e temperatura. Por meio de análises 
experimentais e analíticas pela Eq. (1.3), obtêm-se curvas que relacionam a tensão de 
cisalhamento e a taxa de cisalhamento, conforme Figura 2.
Observa-se que o único fluido com taxa de variação constante é o Newtoniano, 
que consiste na mais simples curva de fluxo: uma reta que intercepta o eixo x e 
y. Fundamentalmente, os fluidos são divididos em dois grandes tipos: fluidos 
Newtonianos e fluidos não Newtonianos.
Conforme verificado na Figura 2, os fluidos Newtonianos são aqueles em que 
a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de cisalhamento é dada por 
uma reta, ou seja, o coeficiente da reta é igual à viscosidade dinâmica do fluido e, 
consequentemente, é uma constante. Dessa forma, para os fluidos Newtonianos, 
pode-se concluir que a viscosidade só é influenciada pela variação da temperatura 
e da pressão.
Figura 2. Curvas de fluxo de alguns tipos de fluidos.
 
 
Fluido com tensão inicial e 
curva de escoamento não linear 
Plástico de Bingham 
Pseudoplástico 
NewtonianoDilatante 
Fonte: KARWOWSKI, 2012.
15
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
De forma geral, os gases e todos os sistemas homogêneos e monofásicos 
compostos de substâncias de baixo peso molecular ou de uma mistura desta 
são considerados fluidos Newtonianos, por exemplo: ar, água, soluções salinas, 
mel, glicerina.
Os fluidos não Newtonianos são todos aqueles em que a relação entre a tensão 
de cisalhamento e a taxa de cisalhamento não é uma constante, ou seja, há uma 
curva em que, para cada taxa de cisalhamento e tensão, obtém-se um valor 
diferente para a viscosidade dinâmica do fluido. Alguns exemplos desse tipo de 
fluido estão apresentados na Figura 3.
Figura 3. Exemplos de fluidos não Newtonianos. 
 
 
 
Fonte: <http://o-portico.blogspot.com/2015/07/a-magica-dos-fluidos-nao-newtonianos.html>, <http://blodonto.blogspot.
com/2012/12/dentifricios.html>. Acesso em: 9 abr. 2019. 
Apresentados os conceitos de regime de escoamento e comportamento/propriedades 
dos fluidos que serão escoados, é necessário conhecer as equações-base para o 
entendimento de mecânica dos fluidos. 
Existem duas abordagens clássicas para modelagem e resolução de um problema de 
mecânica dos fluidos, elas são comumente nomeadas de:
 » volume de controle ou análise integral (Capítulo 2 - Equações Integrais: 
Massa, Quantidade de Movimento e Energia);
 » sistema infinitesimal ou análise diferencial (Capítulo 3 - Equações 
Diferenciais: Massa e Quantidade de Movimento).
De uma forma mais ampla, é possível definir a aplicabilidade dessas duas abordagens 
como: 
1. análise integral: consiste em analisar o problema de interesse como 
uma região finita mediante um balanço do escoamento do que entra 
e saí pelas fronteiras da superfície e os efeitos globais atuantes na 
superfície dessa região (forças ou energia);
16
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
2. análise diferencial: consiste em problemas que procuram descrever 
os detalhes do escoamento em cada ponto (x, y, z) do campo.
As duas abordagens são igualmente importantes e devem ser conhecidas por um 
estudante que deseja se aprofundar na área de Térmicas e Fluidos, esta unidade tem 
a finalidade de apresentar a dedução dessas equações.
Definidas as abordagens, é necessário conhecer quais as leis básicas que regem um 
escoamento. Pode-se dizer que o escoamento tem de satisfazer as três leis básicas 
da mecânica, uma relação de estado termodinâmico para o fluido em análise e 
as condições de contorno associadas ao problema real a ser analisado. Assim, os 
estudantes de mecânica dos fluidos devem ter em mente alguns pontos a serem 
respeitados:
 » equação de conservação da massa (continuidade);
 » equação de quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton);
 » equação da conservação da energia (primeira lei da termodinâmica);
 » equação de estado: ρ = ρ (P, T);
 » condições de contorno apropriadas (ex.: superfícies sólidas, interfaces, 
entradas e saídas).
Nem todas as leis básicas são necessárias para a resolução de um problema qualquer. 
Cabe ao interessado identificar quais leis básicas são pertinentes à aplicação 
desejada. Os dois próximos capítulos apresentarão a dedução das equações para as 
duas abordagens explicitadas acima.
17
CAPÍTULO 2
Equações integrais: massa, quantidade 
de movimento e energia
Todas as leis da mecânica são escritas para um sistema que consiste no conceito de 
massa fixa e identificável. Ou seja, o sistema é separado do meio por suas fronteiras, 
as quais podem ser fixas ou móveis, entretanto nenhuma massa cruza suas fronteiras. 
Pode-se citar como um exemplo clássico de sistema o conjunto cilindro-pistão visto 
na termodinâmica (Figura 4). 
Na Figura 4, identificam-se a massa fixa (gás) e as fronteiras que limitam a extensão 
do sistema. O pistão e o cilindro compreendem a vizinhança do sistema. Nesse caso, 
a fronteira é móvel, por exemplo, caso o gás seja aquecido, o pistão se move, alterada 
a fronteira, mas a massa permanece inalterada.
Figura 4. Conjunto cilindro-pistão.
 
 
 
Pistão 
 Fronteira do sistema Gás 
Peso 
Cilindro 
Fonte: FOX; MCDONALD, 2014 (com adaptações).
A abordagem de sistema é coerente e prática para o desenvolvimento de uma análise 
de corpo rígido em que a massa é fixa e facilmente identificável. Entretanto, quando 
se trata de mecânica dos fluidos, cujo objetivo é investigar o escoamento de fluidos 
por meio de dispositivos, como compressores, bombas e válvulas, acompanhar uma 
massa de fluido fixa torna-se uma tarefa difícil. Devido a essa questão, opta-se pelo 
emprego do conceito de volume de controle, que trata o problema como um volume 
no espaço que permite a passagem do escoamento pelas suas fronteiras.
Dessa forma, faz-se necessária a transformação das equações previamente 
conhecidas para conservação de massa, quantidade de movimento e energia de 
18
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
sistema para a abordagem de volume de controle. Na literatura, trata-se essa 
transformação pelo Teorema de Transporte de Reynolds, o qual se resume na 
geração de uma equação geral para uma variável extensiva N que representará, 
posteriormente, cada uma das leis básicas acima citadas, respeitando suas 
peculiaridades.
Teorema de transporte de reynolds
De forma geral, a transformação de qualquer uma das grandezas consiste em uma 
manipulação matemática para relacionar a derivada temporal de uma grandeza do 
sistema à taxa de variação da mesma grandeza no interior de uma região fixa (volume 
de controle). A dedução desse teorema baseia-se na consideração de um volume de 
controle fixo, que inicialmente coincide com o sistema, entretanto, após um tempo 
infinitesimal, o sistema altera sua posição (Figura 5). 
Figura 5. Sistema versus Volume de Controle no tempo [t0] e [t0 + Δt]. 
 
 
Linhas de corrente no 
tempo, t0 
Grau de 
modelagem 
Sub-região (1) da 
região I 
Sub-região (3) da 
região III 
Sistema 
Volume de 
controle 
(a) Tempo, t0 (b) Tempo, t0 + Δt 
Fonte: FOX; MCDONALD, 2014 (com adaptações).
A partir da análise da Figura 5, é possível escrever que a taxa de variação do sistema 
pode ser dada por:
) )
o o
S St t t
t 0
sistema
N NdN lim
dt t
+∆
∆ →
− = ∆
(1.6)
19
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Sendo S o subscrito utilizado para referenciar a grandeza do sistema. Criando uma 
relação entre o sistema e o volume de controle, pode-se reescrever a Eq. (1.6):
( ) ( )
o o
VC I II VCt t t
t 0
sistema
N N N NdN lim
dt t
+∆
∆ →
− + − = ∆
(1.7)
Em que os subscritos VC, I, II denotam, respectivamente, o volume de controle e a 
região I e II representada na Figura 5. Isolando os termos iguais, temos:
) ( ) ) )
o o o o
VC VC III It t t t t t t
t 0 t 0 t 0
sistema
N N N NdN lim lim lim
dt t t t
+∆ +∆ +∆
∆ → ∆ → ∆ →
− = + − ∆ ∆ ∆
(1.8)
Avaliando isoladamente cada um dos três termos, tem-se que a relação da taxa de 
variação temporal da grandeza escrita para uma região fixa é dada por:
 
 
 
I IIIsistema VC SC SC
dN dV V dA V dA
dt t
 =  +   +      
Termo 1 Termo 2 
(1.9)
Em que:
:η Propriedade intensiva das grandezas.
:ρ Massa específica do fluido.
V :

Vetor velocidade.
A :

Vetor área.
Fisicamente, a derivada temporal do sistema (Eq. (1.9)) pode ser descrita como sendo 
a soma dos dois termos. O termo 1 corresponde à taxa de variação da quantidade 
de propriedade N dentro do volume de controle, e o termo 2 refere-se ao fluxo da 
propriedade N que atravessa a superfície de controle (entrada e saída do volume de 
controle).
Atenção! Lembre-se sempre de que, no vetor área, é normal a superfície 
de controle apontando para fora do volume, tal consideração é de suma 
importância para o cálculo de modo correto do produto escalar (Eq.(1.9)) e, 
consequentemente, do uso correto do sinal positivo ou negativo quando se 
analisa o fluxo que atravessa a superfície de controle (vide Figura 6). 
20
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Figura6. Produto escalar V dA⋅
 
 na entrada e na saída do volume de controle.
 
 
 𝑉𝑉ሬԦ 
𝑑𝑑𝑑𝑑ሬሬሬሬሬԦ 𝑑𝑑𝑑𝑑ሬሬሬሬሬԦ 
𝑉𝑉ሬԦ 
Fonte: Elaboração própria da autora.
Analisando a Figura 6 e sabendo que α é o ângulo entre os vetores, 
identificam-se os sinais a serem considerados para o cálculo do termo 2 
da Eq.(1.9). Agrupando o termo 2 em uma única integral, conclui-se que o 
Teorema de Transporte de Reynolds é dado pela Eq.(1.10).
sistema VC SC
dN dV V dA
dt t
δ = ηρ + ηρ ⋅ δ ∫ ∫
 
(1.10)
Mediante a definição de uma forma geral da transformação do conceito 
de sistema para volume de controle, podem-se escrever separadamente as 
equações de conservação da massa, quantidade de movimento e energia 
isoladamente. Assim, a seguir serão apresentadas isoladamente as três leis 
básicas da mecânica dos fluidos para abordagem de sistema e volume de 
controle.
Conservação da massa
Pelo conceito de sistema (massa fixa), sabe-se que não existe variação da massa no 
tempo, ou seja, a derivada temporal é igual a 0. Logo, a massa é dada por:
sistema
S
M dV= ρ∫ (1.11)
Analisando em conjunto a Eq.(1.10) e a Eq.(1.11), pode-se dizer que as variáveis 
extensiva e intensiva são dadas por:
N : M :η 1
Ou seja, a Equação da Conservação da Massa aplicada a um volume de controle é 
descrita por:
VC SC
dV V dA 0
t
δ
ρ + ρ ⋅ =
δ ∫ ∫
 
(1.12)
21
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Em alguns casos existentes na mecânica dos fluidos, algumas considerações 
simplificadoras podem ser aplicadas a fim de facilitar a utilização das equações de 
modelagem do escoamento, nomeadas de casos especiais neste estudo.
Casos especiais
Regime permanente
Assim, a primeira consideração simplificadora consiste na definição que o 
escoamento se encontra em regime permanente, ou seja, o Termo 1 da Eq.(1.9) é 
igual a 0, reduzindo a Eq.(1.12) a:
SC
V dA 0ρ ⋅ =∫
 
(1.13)
Fisicamente, a Eq.(1.13) nos mostra que, para que haja a conservação da massa 
dentro do volume de controle, a soma do fluxo de massa que atravessa as superfícies 
de controle deve ser igual a 0.
Fluido incompressível 
Por fim, mais uma consideração simplificadora pode ser aplicada à modelagem 
do escoamento, quando se trata de um fluido incompressível. Considera-se 
incompressível aquele fluido que tem massa específica constante, ou seja, a 
quantidade de volume e a quantidade de massa permanecerão iguais, ainda que 
sob pressão. Um exemplo de escoamento de fluido incompressível vastamente 
encontrado no dia a dia são tubulações de escoamento de águas pluviais.
A partir dessa consideração, tem-se que a massa específica, ρ, não varia no espaço 
e no tempo. Isto é, ela pode ser retirada da integral nos dois termos da Eq.(1.9). 
Aliado a isso, ciente que o volume de controle é fixo (não varia no tempo), a 
Eq.(1.12) se reduz a: 
SC
V dA 0⋅ =∫
 
(1.14)
Lembre-se que a Eq. (1.14) pode ser aplicada para escoamento em regime 
permanente ou transiente devido à única hipótese de fluido incompressível para 
sua dedução.
22
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Conservação da quantidade de movimento
A segunda Lei de Newton estabelece que a soma de todas as forças externas 
atuantes no sistema é igual à taxa de variação com o tempo da quantidade de 
movimento, conforme Eq.(1.15).
sistema
dPF
dt
= 


(1.15)
Em que o vetor F é a soma das forças externas (superfície e campo) e o P, a 
quantidade de movimento. Por meio da Eq.(1.15), define-se que a quantidade de 
movimento pode ser dada por:
sistema
S
P V dV= ρ∫
 
(1.16)
Utilizando o Teorema de Transporte de Reynolds e a Eq.(1.16), conclui-se que a 
propriedade extensiva e intensiva para a conservação de quantidade de movimento 
é dada por:
N: P
 :η V

Assim, a Equação de conversação da Quantidade de Movimento para um 
volume de controle estacionário é definida por:
S C
VC SC
F F F V dV V V dA
t
δ
= + = ρ + ρ ⋅
δ ∫ ∫
      
(1.17)
Fisicamente, a Eq.(1.17) demonstra que a soma de todas as forças atuando sobre 
um volume de controle deve ser igual à soma da taxa de variação de quantidade 
de movimento no interior do volume e ao fluxo de quantidade de movimento que 
atravessa a superfície de controle.
É importante lembrar primeiramente que a velocidade utilizada nesta 
equação se refere à velocidade em relação ao volume de controle, além disso 
a equação de conservação da quantidade de movimento é uma equação 
vetorial, podendo ser escrita na forma de três equações de componente, 
conforme Eq.(1.18).
x x
y y
z z
x S C
VC SC
y S C
VC SC
z S C
VC SC
F F F dV u V dA
t
F F F v dV v V dA
t
F F F w dV w V dA
t
δ
= + = ρ + ρ ⋅
δ
δ
= + = ρ + ρ ⋅
δ
δ
= + = ρ + ρ ⋅
δ
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
    
    
    
(1.18)
23
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Em relação às forças externas atuantes em um volume de controle, normalmente, 
podem ser relacionadas a força de campo à força peso (força gravitacional) e a força 
de superfície à força de pressão. Lembre-se que a força peso sempre atua sobre a 
superfície de controle, assim mantenha-se sempre atento ao sentido do vetor para o 
cálculo do produto escalar ( )P dA⋅  .
Lembre-se que o volume de controle a ser aplicado em cada situação 
específica é diferente e pode ser estacionário ou estar em movimento, 
ou seja, pode se mover com velocidade constante ou até mesmo ter 
uma aceleração retilínea. Dessa forma, em casos nos quais o volume de 
controle está em movimento, devemos ter em mente sempre um sistema 
de coordenadas estacionário de referência (XYZ) e um eixo movendo-se 
com o volume de controle (xyz).
Volume de controle movendo-se com 
velocidade constante
A equação de quantidade de movimento para este caso é igual a Eq.(1.17), 
entretanto é importante lembrar que a velocidade deve ser estipulada em relação 
ao volume de controle, ou seja, a velocidade refere-se à velocidade sentida por 
um observador movendo-se junto com o volume de controle. Assim, a Eq.(1.17) 
é reescrita inserindo o subscrito xyz para lembrarmos sempre a velocidade a ser 
utilizada, conforme apresentando na Eq. (1.19).
S C xyz xyz xyz
VC SC
F F F V dV V V dA
t
δ
= + = ρ + ρ ⋅
δ ∫ ∫
      
(1.19)
Volume de controle movendo-se com 
aceleração retilínea
Em alguns casos, podemos encontrar volumes de controle acelerando em relação 
ao sistema de coordenadas estacionário (XYZ), por exemplo, quando um foguete 
é lançado e deve ser acelerado ao sair do chão. Desse modo, há a necessidade de 
que a equação de quantidade de movimento capture essa aceleração.
Relembraremos a Eq.(1.15) e a Eq.(1.16), que são escritas para um sistema, 
entretanto pode ser relacionada às propriedades do volume de controle 
(sistema de coordenadas aplicado ao volume, xyz). Quando temos um volume 
de controle sendo acelerado em relação ao eixo estacionário, devemos 
24
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
reescrevê-lo em função desse sistema de coordenadas, uma vez que as 
quantidades de movimento PXYZ e Pxyz serão diferentes.
XYZ XYZ
XYZ
sistema sistema sistema
dP VdF V dV dV
dt dt dt
= = ρ = ρ
 ∫ ∫

 
(1.20)
Sabemos que a derivada temporal da velocidade é igual à aceleração e podemos 
relacioná-la à aceleração do volume de controle (xyz), conforme equação a seguir: 
XYZ
XYZ xyz rf
V a a a
dt
= = +

  
(1.21)
Em que rfa

 é a aceleração retilínea do referencial não estacionário (xyz) em relação 
à referência estacionária (XYZ).
Acoplando a definição de aceleração da Eq.(1.21) à Eq.(1.20), temos:
rf xyz
sistema sistema
F a dV a dV− ρ = ρ∫ ∫
  
(1.22)
A partir da Eq.(1.22), identifica-se uma forma de correlacioná-la à Eq.(1.19) por meio 
da variação de quantidade de movimento em relação ao referencial não estacionário. 
xyz
xyz xyz xyz xyz
sistema VC SC
dP
a dV V dV V V dA
dt t
δ
= ρ = ρ + ρ ⋅
δ∫ ∫ ∫
    
Assim, temos quea Equação de quantidade de movimento para com um volume 
de controle com aceleração retilínea é dada por:
rf xyz xyz xyz
sistema VC SC
F a dV V dV V V dA
t
δ
− ρ = ρ + ρ ⋅
δ∫ ∫ ∫
     
(1.23)
Se analisarmos a Eq.(1.23), verificaremos que, caso o volume de controle não 
seja acelerado em relação ao eixo estacionário, a aceleração será igual a 0, assim 
retornamos à Eq.(1.19). Portanto, podemos torná-la a equação padrão para 
aplicação da conservação de quantidade de movimento.
Caso especial
Aplicando a equação da conservação da massa e a equação de conservação da 
quantidade de movimento a um volume de controle infinitesimal limitado pelas 
linhas de corrente de um escoamento impondo algumas hipóteses simplificadoras 
encontra-se uma equação famosa em mecânica dos fluidos: Equação de Bernoulli. 
As simplificações impostas para essa dedução são:
25
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
 » escoamento em regime permanente;
 » ausência de atrito;
 » escoamento ao longo de uma linha de corrente;
 » escoamento incompressível.
Como se trata de um volume de controle infinitesimal, assume-se que a variação da 
velocidade e da área na entrada (posição s) e saída (posição s + ds) é uma variação 
diferencial, ou seja, têm-se VS e A na entrada e (VS+dVS) e (A+dA). Iniciaremos pela 
aplicação da Eq. (1.13), que nos resulta em:
( )( )S S SV A V dV A dAρ = ρ + + (1.24)
Em conjunto, a Eq. (1.24) aplica-se à Eq.(1.17) ao longo da linha de corrente e 
considerando os produtos de diferenciais desprezíveis em relação aos demais 
termos, obtém-se:
S S
dP gdz V dV− − =
ρ (1.25)
Integrando a Eq.(1.25), encontra-se a Equação de Bernoulli demonstrada na Eq.(1.26).
2P V gz constante
2
+ + =
ρ
(1.26)
Lembre-se sempre que a equação acima deve ser aplicada apenas para a 
modelagem, em que as quatros hipóteses simplificadoras sejam verdadeiras 
para garantir a representatividade dos resultados obtidos. Por exemplo, caso o 
objetivo seja a definição da variação da pressão ao longo de um escoamento 
horizontal de água, a Eq.(1.26) não deve ser utilizada, visto que a parcela de 
atrito é de suma importância para o cálculo da variação de pressão.
Conservação da energia
A primeira lei da termodinâmica (Eq.(1.27)) postula a lei da conservação da energia, 
segundo a qual se enuncia que a energia interna (E) de um sistema é dada pela diferença 
entre a quantidade de calor (Q) trocada com o meio ambiente e o trabalho (W) realizado 
ou recebido pelo sistema.
E Q W= − (1.27)
26
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
É importante frisar neste momento que a energia total de um sistema é a soma de 
todas as modalidades de energias, compreendendo a parcela de energia interna 
específica, energia cinética e energia potencial, conforme Eq.(1.28):
2VE u gz
2
= + + (1.28)
em que u é a energia interna específica, v a velocidade, g a aceleração da gravidade 
e z a altura (em relação a uma altura conveniente).
Rescrevendo a Eq.(1.27) na forma de taxa:
sistema
dE Q W
dt
 = −

  (1.29)
Aliando o conceito de energia interna Eq.(1.28) e a Eq.(1.29), pode-se dizer que a 
energia interna de um sistema é dada por:
sistema
S
E e dV= ρ∫ (1.30)
Assim, definem-se as propriedades extensiva e intensiva para a conservação de energia 
como sendo:
N: E :η e
Ou seja, a Equação de Conservação da Energia para um volume de controle pode 
ser escrita por meio da Eq.((1.31)).
VC SC
Q W e dV e V dA
t
δ
− = ρ + ρ ⋅
δ ∫ ∫
 
  (1.31)
Lembre-se sempre que, por convenção, a taxa de transferência de calor, Q , 
é positiva quando o calor é adicionado ao sistema pelo meio que o envolve, 
e a taxa de transferência de trabalho, W , é positiva quando o trabalho é 
realizado pelo sistema sobre o meio. Tal notação é mantida quando se trata 
da aplicação para volume de controle.
É importante citar que, para uma análise mais adequada da equação de energia 
aplicada a um volume de controle, é necessário conhecer isoladamente todas as 
modalidades de trabalho realizadas pelo ou sobre o volume de controle que engloba 
o termo W , ou seja, mantenha sempre em mente que este termo é subdividido em 
quatro classificações, conforme Eq.(1.32). 
S normal cisalhamento outrosW W W W W= + + +     (1.32)
27
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Sendo:
SW : Trabalho de eixo. (ex.: turbina a vapor, compressor);
normalW :
Trabalho realizado por tensões normais na superfície de controle (ex.: 
pressão).
cisalhamentoW : Trabalho realizado por tensões de cisalhamento na superfície de controle.
outrosW : Outros tipos de trabalho. (Ex.: absorção de energia eletromagnética).
Reescrevendo o termo de trabalho realizado por tensões normais à superfície, a Eq. 
(1.32) torna-se:
S nn cisalhamento outros
SC
W W V dA W W= − σ ⋅ + +∫
 
   
(1.33)
Substituindo a definição de trabalho, a Eq. (1.31), e agrupando os termos de 
interesse, temos:
S cisalhamento outros nn
VC SC
Q W W W e dV (e ) V dA
t
δ
− − − = ρ + −σ γ ρ ⋅
δ ∫ ∫
 
    (1.34)
Em que γ é o volume específico dado por 1/γ = ρ .
Uma vez que, na maioria dos casos de interesse comuns, na engenharia, a tensão 
normal pode ser atribuída à pressão, nn Pσ = − . Substitui-se essa definição à equação 
de energia. Assim, obtemos a forma mais comum da primeira lei da termodinâmica 
para volume de controle.
S cisalhamento outros
VC SC
Q W W W e dV (e P ) V dA
t
δ
− − − = ρ + + γ ρ ⋅
δ ∫ ∫
 
    (1.35)
Estudos de caso
Esta seção tem como objetivo apresentar alguns exemplos de aplicação das 
equações expostas anteriormente, a fim de exemplificar os conceitos introduzidos 
neste capítulo. Dessarte, serão apresentados dois exercícios, em que o primeiro se 
utiliza principalmente da equação de quantidade de movimento e o segundo, da 
equação de energia.
Exemplo 1: Imaginaremos um foguete (vide Figura 7) com massa inicial de 600 
kg, o qual deve ser lançado verticalmente. A taxa de consumo de combustível 
é de 10 kg/s, ejetando gás a 4.000 m/s à pressão atmosférica. Desprezando a 
resistência do ar, qual será a aceleração inicial e qual a velocidade do foguete após 
10 segundos do lançamento?
28
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Figura 7. Foguete: (a) Ilustração de um foguete. (b) Representação esquemática do foguete e o volume de 
controle.
 
 
Volume de 
controle 
𝑉𝑉ሬԦ 
Foguete 
(a) (b) 
600kg 
X 
Y 
x 
y 
Fonte: Elaboração própria da autora. Disponível em: (a) <https://www.istockphoto.com/br/vetor/crescente-foguete-desenho-
gm453287119-30892074>. Acesso em: 30 abr. 2019.
Solução:
Elencando as propriedades disponíveis do problema, temos:
 » velocidade do fluido ejetado pelo foguete: V = 4000 m/s;
 » fluxo mássico atravessando a superfície de controle: 10 /m kg s= ;
 » massa inicial do foguete: M = 600 kg.
Considera-se, nesse problema, um volume de controle que engloba todo o foguete 
movendo-se com aceleração constante em relação ao eixo inercial estacionário (X,Y), 
conforme exposto na Figura 7. 
Assim, uma vez que todas as forças e velocidades atuantes no volume estão na 
direção Y, o problema deve ser resolvido por meio da equação de quantidade 
de movimento com aceleração retilínea nesta direção (Eq.(1.23)), exposta por 
conveniência a seguir:
Sy By ry xyz xyz
VC VC SC
F F a dV v dV v VdA
t
δ
+ − ρ = ρ + ρ
δ∫ ∫ ∫

(1.36)
29
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
A partir da descrição do problema, tais considerações podem ser feitas:
 » forças de superfície na direção y igual a 0;
 » pressão atmosférica atua sobre todo o volume de controle;
 » a velocidade do fluxo saindo do foguete é constante e uniforme.
Dessa forma, podemos reduzir a Eq.(1.36) a:
 
 
 
By ry xyz xyz xyz
VC VC SC
F a dV v dV v V dA
t

−  =  + 
  
Termo 2 Termo 3 Termo 4 Termo 1 
(1.37)
Analisando isoladamente os quatro termos, temos:
 » Termo 1 – Força peso: By VC
VC
F g dV g M= − ρ = −∫
 » Termo 2 – Aceleração constante: ry ry VC
VC
adV a M− ρ = −∫
 » Termo 3 – A variação de quantidade de movimento dentro do volume de 
controle no tempo é desprezível: xyz
VC
v dV 0
t
δ
ρ =
δ ∫
 » Termo 4 – Fluxo atravessando a superfície de controle tem velocidade 
constante e uniforme: xyz xyz
SC
v V dA V mρ = ×∫


Lembre-se que o foguete perde massa ao longo do tempo devido ao fluxo que 
deixa o foguete, dessa forma, a MVC deve ser escrita como uma função do tempo. 
Deduzir uma equação para essa variável é possível por meio da equação da 
massa (Eq.(1.12)), conforme exposto a seguir:
M m
t
δ
= −
δ
 (1.38)
Ou seja:
0M M m t= − × (1.39)
Substituindo a Eq.(1.39) na dedução dos Termos 1, 2, 3 e 4 e retornando a Eq.(1.37), 
temos:
( )( )0 ryM mt g a V m− − − = ×  (1.40)
30
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Isolando a aceleração, obtemos:
ry
0
V ma g
M mt
×
= −
−


(1.41)
Substituindo as propriedades disponíveis, sabemos que a aceleração inicial do 
foguete é igual a 56,86 m/s².
Mediante a Eq.(1.41), podemos definir uma equação para a velocidade do fluxo 
que atravessa a superfície de controle como função do tempo, conforme descrito 
abaixo:
0
V m dVg
M mt dt
×
+ =
−


(1.42)
Isolando as variáveis e integrando os dois lados da equação, temos:
0
0
0
M mtV V ln gt
M
 −
= − − 
 

(1.43)
Assim, encontramos, após 10 segundos, a velocidade do foguete, que é igual a 631,2 
m/s.
Exemplo 2: vamos considerar um fluido que adentra em um compressor com 
pressão de 14,7 psia, 70 ºF e velocidade desprezível. Ele é descarregado com pressão 
de 50 psia, 100 ºF por meio de tubo de 1ft² de área (vide). Sabe-se que a vazão 
mássica é igual a 20 lbm/s e que a potência fornecida ao compressor é igual a 600 
hp, qual a taxa de transferência de calor?
Figura 8. Representação esquemática do fluxo através de um compressor.
 
 
Seção 1 Seção 2 
Fonte: Elaboração própria da autora.
Solução:
Elencando as propriedades disponíveis do problema, temos:
 » seção 1: P = 14,7 psia; T = 70 oF e V = 0 m/s.
 » seção 2: P = 50 psia; T =100 oF e A=1ft2.
31
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
 » fluxo mássico atravessando a Seção 1: 20 /m lbm s= .
 » potência fornecida ao compressor: P = 600 hp.
Uma vez que o objetivo desse exemplo é definir a taxa de transferência de calor, 
aplica-se a equação da energia (Eq.(1.35)), apresentada a seguir por conveniência, ao 
volume exposto na Figura 8 mediante uma linha tracejada vermelha.
S cisalhamento outros
VC SC
Q W W W e dV (e P ) V dA
t
δ
− − − = ρ + + γ ρ ⋅
δ ∫ ∫
 
    (1.44)
em que: 
2Ve u gz
2
= + + .
A partir da descrição do problema, considera-se que:
 » escoamento permanente: 
0
t
δ
=
δ ;
 » propriedades uniformes nas seções 1 e 2;
 » gás ideal: P RT= ρ ;
 » altura (z) igual para as duas seções: 1 2z z= ;
 » trabalho realizado por tensões de cisalhamento igual a 0: cisalhamentoW 0= .
 » outrosW 0= .
Dessa forma, a Eq.(1.44) é reduzida a:
2
S
SC
VQ W (u gz P ) V dA
2
− = + + + γ ρ ⋅∫
 
  (1.45)
Uma vez que as propriedades são uniformes nas seções 1 e 2, podemos reescrever a 
equação como:
( ) ( )
2 2
1 2
S 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
V VQ W h gz V A h gz V A
2 2
   
− = − + + ρ + + + ρ   
   
  (1.46)
sendo: 1 1 1 1h u P= + γ e 2 2 2 2h u P= + γ .
A partir da equação da massa (Eq.(1.12)), sabemos que as vazões mássicas por meio 
das duas fronteiras são iguais, conforme Eq. (1.47).
1 1 1 2 2 2 2 2 2V A V A m V Aρ = ρ → = ρ (1.47)
32
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Além disso, é sabido que a velocidade na seção 1 é desprezível e que as cotas z1 e z2 
são iguais. Resultando que a taxa de transferência de calor é dada por:
( )
2
2
S 2 1
VQ W m h h
2
 
= + − + 
 
 
 (1.48)
Em que: ( ) ( ) P1 2 P 1 2h h C T T =C alor Esp C ecífico− = − → .
Calculando a velocidade na seção 2 pela Eq.(1.47) e substituindo as propriedades 
fornecidas na descrição do problema, temos que o fluxo de calor é igual a -277 Btu/s.
33
CAPÍTULO 3
Equações diferenciais: massa e 
quantidade de movimento
Para a resolução de alguns problemas da mecânica dos fluidos, a definição do 
comportamento de um escoamento em uma região genérica, equações integrais 
desenvolvidas no Capítulo 1, não é suficiente, já que é necessário conhecer as 
propriedades ponto por ponto (x, y, z) do campo de escoamento. A partir dessa 
necessidade, foram desenvolvidas as equações diferenciais, neste capítulo serão 
apresentadas as equações de conservação da massa e quantidade de movimento, 
lembrando-se que, como desejamos desenvolver uma equação diferencial, toda a 
análise é feita em termos de sistema e volumes diferenciais.
Em coordenadas retangulares, o volume de controle escolhido consiste em cubo 
infinitesimal com lados dx, dy e dz, conforme exemplificado pela Figura 9.
Figura 9. Volume de controle infinitesimal (coordenadas retangulares).
 
 
Volume de 
Controle 
dy 
dz 
dx 
𝑖𝑖Ƹ 
𝑗𝑗Ƹ 
𝑘𝑘෠ 
Fonte: FOX; MCDONALD, 2014 (com adaptações).
Define-se a massa específica no centro do cubo como ρ e a velocidade como 
ˆ ˆ ˆV ui vj wk= + +

. Para identificarmos as propriedades do escoamento nas seis 
faces do cubo, utiliza-se uma expansão em série de Taylor em torno do centro 
do cubo (O), conforme Eq. (1.49):
)
22
dx 2x
2
dx 1 dx ...
x 2 x 2! 2+
 δρ δ ρ   ρ = ρ + +    δ δ    
(1.49)
34
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Entretanto, para a finalidade da descrição das propriedades, podem-se desprezar 
os termos de ordem superior e truncar a expansão no primeiro termo, conforme 
Eq. (1.50) e Eq. (1.51), para a massa específica e velocidade (u), respectivamente.
) dxx
2
dx
x 2+
δρ ρ = ρ δ 
(1.50)
) dxx
2
u dxu u
x 2+
δ =  δ 
(1.51)
O mesmo procedimento pode ser feito para obtenção das propriedades do 
escoamento para as demais faces do cubo, respeitando sempre os sinais para 
incremento ou decréscimo de dx, dy, dz. 
Conservação da massa
Analisando a equação integral da conservação da massa, Eq.(1.12), e acoplando 
seus conceitos físicos às considerações feitas acima o termo de fluxo de massa por 
meio do volume de controle em notações diferenciais pode ser escrito através da 
Regra de Leibniz, conforme Eq. (1.52).
SC
u v wV dA u v w
x x y y z z
  δρ δ δρ δ δρ δ   ρ ⋅ = +ρ + +ρ + +ρ      δ δ δ δ δ δ     
∫
 
(1.52)
Utilizando o operador vetorial (∇ ), a Eq.(1.52) é reescrita como:
( )
SC
V dA Vρ ⋅ = ∇ ⋅ ρ∫
  
(1.53)
Em que o operador vetorial em coordenada retangular (a) ou cilíndrica (b) é dado por:
r
ˆ ˆ ˆi j k (a) 
x y z
ˆˆ ˆe e k (b)
r r zθ
δ δ δ
∇ = + +
δ δ δ
δ δ δ
∇ = + +
δ δθ δ
(1.54)
Reescrito o termo de fluxo, analisaremos o termo de acúmulo de massa no 
volume de controle. Como nesse instante tratamos de um volume infinitesimal, 
a integral pode ser reduzida a apenas um diferencial. Assim, a Eq.(1.12) 
reescrita na abordagem diferencial, também conhecida como a Equação da 
Continuidade, é apresentada na Eq. (1.55).
u v wV 0 ou 0
t t x y z
 δρ δρ δρ δρ δρ
+∇⋅ρ = + + + = δ δ δ δ δ 

(1.55)
35
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Os casos especiais expostos na abordagem integral da conservação da 
massa também são aplicáveis à abordagem diferencial. Um outro conceito 
vastamente encontrado na análise de vários parâmetros do escoamento é 
a derivada material, que é dada pela soma da taxa de variação de qualquer 
variável no tempo e no espaço, conforme Eq. (1.56).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )D u v w
Dt t x y z
δ δ δ δ
= + + +
δ δ δ δ
(1.56)
Ou seja, a derivada material é dividida em dois tipos de termos, a 
derivada temporal e as derivadas espaciais. A derivada temporal 
representa o efeito de transitoriedade do escoamento (escoamento 
permanente, 
( ) 0
t
δ
=
δ ) e a derivada espacial, conhecida também como 
derivada convectiva, representa o fato de as propriedades do elemento 
fluido poder variar com o movimento das partículas de umponto para 
o outro.
Esse conceito está sendo exposto neste momento devido à possibilidade de 
você, aluno da área de térmicas e fluidos, encontrar a Eq.(1.55) em termos de 
derivada material, conforme Eq.(1.57).
( )D1 V 0
Dt
ρ
+∇⋅ =
ρ

(1.57)
Fisicamente, ao se analisar essa equação, é possível dizer que a variação da 
massa específica no elemento de fluido é dada pela variação do gradiente de 
velocidade ( V∇⋅

). Entretanto, em casos nos quais a variação da massa específica 
é muito pequena em relação ao gradiente de velocidade, enquanto o elemento 
material se movimenta, o escoamento comporta-se como um escoamento 
incompressível ( ( )D1 0
Dt
ρ
≅
ρ
).
Conservação da quantidade de movimento
Analisando um sistema infinitesimal de massa dm, a Segunda Lei de Newton é 
escrita como: 
dF dm a= ×
 
(1.58)
Entretanto, a partir de agora, sabemos que a aceleração pode ser reescrita como 
sendo uma derivada material de um elemento de fluido, de massa de dm, em 
movimento em um campo de velocidade. Assim, a aceleração da Eq.(1.58) pode 
ser definida como:
36
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
( ) ( ) ( ) ( ) ( )D V V V V V
a u v w
Dt t x y z
δ δ δ δ
= = + + +
δ δ δ δ
    

(1.59)
Substituindo a Eq. (1.59) na Eq. (1.58), tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )V V V V
dF dm u v w
t x y z
 δ δ δ δ
 = × + + +
 δ δ δ δ
  
   

(1.60)
Entretanto, ainda é preciso definir uma formulação das forças atuantes 
no sistema, que já sabemos que compreende a soma das forças de campo e 
superfície ( S CdF dF dF= +
  
). Analisando primeiramente as forças de superfície, 
retornaremos ao conceito da Figura 9 para definição das tensões atuantes 
em cada face do elemento de fluido por meio da expansão em série de Taylor 
truncada no primeiro termo, em que a direção da tensão e da normal estão 
identificadas como subscrito, conforme exemplificado na Figura 10.
Figura 10. Representação esquemática da direção da tensão atuante em todas as faces do elemento de fluido.
Direção da normal
Direção da tensão
 
Fonte: Elaboração própria da autora (2019).
Analisando face a face do elemento de fluido, pode-se escrever que a soma das tensões 
atuantes na direção x é dada pela Eq.(1.61).
x
xx xx
S xx xx
yx yx
yx yx
zx zx
zx zx
dx dxdF dydx dydz
x 2 x 2
dy dydxdz dxdz
y 2 y 2
dz dzdxdy dxdy
z 2 z 2
δσ δσ   = σ + − σ −   δ δ   
δτ δτ   
+ τ + − τ −   δ δ   
δτ δτ   + τ + − τ −   δ δ   
(1.61)
Simplificando a Eq. (1.61), a tensão é dada por:
x
yxxx zx
SdF dxdydzx y z
δτ δσ δτ
= + + δ δ δ 
(1.62)
37
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Em relação às forças de campos, temos a força peso, que é dada na direção x, por:
xC x
dF g (dxdydz)= ρ× × (1.63)
O mesmo procedimento é feito para as três direções com vistas à obtenção 
das forças de campo e superfície a fim de retornar todas as formulações à 
Eq.(1.58). Lembre-se que a massa do elemento de fluido também pode ser 
reescrita em função do volume, como ( )dm dV ou dm dxdydz= ρ× = ρ× . Dessa 
forma, substituindo as Eq.(1.62) e (1.63) na Eq.(1.60), obtêm-se as Equações de 
Conservação da Quantidade de Movimento, nomeadas também de Equação de 
Cauchy, para as direções x, y, z:
( ) ( ) ( ) ( )yxxx zx
x
u u u u
g u v w
x y z t x y z
δτ δ δ δ δ  δτ δτ
+ + +ρ = ρ + + +  δ δ δ δ δ δ δ   
(1.64)
( ) ( ) ( ) ( )xy yy zy
y
v v v v
g u v w
x y z t x y z
δτ δτ δτ δ δ δ δ  
+ + +ρ = ρ + + +  δ δ δ δ δ δ δ   
(1.65)
( ) ( ) ( ) ( )yzxz zz
z
w w w w
g u v w
x y z t x y z
δτ δ δ δ δ  δτ δτ
+ + +ρ = ρ + + +  δ δ δ δ δ δ δ   
(1.66)
Assim, as Eq.(1.64) a (1.66) representam as equações diferenciais do movimento 
para qualquer partícula fluida. Entretanto, antes de serem utilizadas, é necessário 
desenvolver a formulação para a definição da tensão viscosa em termos de velocidade 
e pressão, conforme será exposto no Capítulo 4 - Equação de Navier-Stokes, que 
demonstra a dedução da Equação de Navier-Stokes.
38
CAPÍTULO 4
Equação de Navier-Stokes
Conforme exposto no Capítulo 1, para os fluidos newtonianos, a tensão viscosa 
é diretamente proporcional à taxa de deformação por cisalhamento, conforme 
Eq. (1.3). Entretanto, quando se trata de um escoamento tridimensional (vide 
Figura 9), há a necessidade de identificar a formulação para todas as tensões 
viscosas existentes nas Eqs. (1.64) a (1.66). As tensões são expressas em função 
do gradiente de velocidade, da pressão e das propriedades termodinâmicas dos 
fluidos (massa específica e viscosidade dinâmica), conforme exposto nas Eqs.
(1.67) a (1.72).
xy yx
u u
x y
 δ δ
τ = τ = µ + δ δ 
(1.67)
yz zy
w v
y z
 δ δ
τ = τ = µ + δ δ 
(1.68)
zx xz
u w
z x
δ δ τ = τ = µ + δ δ 
(1.69)
( )xx 2 uP V 23 x
δ
τ = − − µ ∇⋅ + µ
δ

(1.70)
( )yy 2 vP V 23 y
δ
τ = − − µ ∇⋅ + µ
δ

(1.71)
( )zz 2 wP V 23 z
δ
τ = − − µ ∇⋅ + µ
δ

(1.72)
Para maiores informações, a dedução passo a passo dos termos acima citados pode 
ser encontrada em Kundu e Cohen (2002).
Utilizando todos os componentes de tensão expostos nas Eqs. (1.64) a (1.66) 
e substituindo em cada componente da Equação de Cauchy apresentada no 
capítulo anterior (dedução por meio da Segunda Lei de Newton), obtêm-se 
finalmente as Equações de Navier-Stokes, equação vastamente utilizada na 
análise de escoamento de fluidos, vide Eq.(1.73).
2DV g P V
Dt
 
ρ = ρ −∇ +µ∇ 
  

  
(1.73)
39
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Em que os componentes na direção x, y e z separadamente estão expostos nas 
Eqs. (1.74) a (1.76).
2 2 2
x 2 2 2
Du Pg u
Dt x x y z
 δ δ δ δ ρ = ρ − +µ + +   δ δ δ δ   
(1.74)
2 2 2
y 2 2 2
Dv Pg v
Dt y x y z
 δ δ δ δ ρ = ρ − +µ + +   δ δ δ δ   
(1.75)
2 2 2
z 2 2 2
Dw Pg w
Dt z x y z
 δ δ δ δ ρ = ρ − +µ + +   δ δ δ δ   
(1.76)
As equações apresentadas acima foram deduzidas em coordenadas 
cartesianas, entretanto podem ser escritas em coordenadas cilíndricas, como 
está disposto nas Eqs. (1.77) a (1.79). A definição de qual equação deve ser 
aplicada é diretamente relacionada ao tipo de escoamento a ser analisado.
2
r r r r
r z r
22 2
r r r r
2 2 2 2 2 2
Pg
t r r r z r
1 1 2r
r r r r r r z
θ θ
θ
 ν νδν δν δν δν δ
ρ + ν + − + ν = ρ − + δ δ δθ δ δ 
 δ νδν ν δ ν δ νδ  +µ − + − +  δ δ δθ δθ δ  
(1.77)
r
r z
2 2
r
2 2 2 2 2
1 Pg
t r r r z r
1 1 2r
r r r r r r z
θ θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ
 δν δν ν δν ν ν δν δ
ρ + ν + − + ν = ρ − + δ δ δθ δ δθ 
 δν ν δ ν δ νδνδ  +µ − + − +  δ δ δθ δθ δ  
(1.78)
2 2
z z z z z z z
r z z 2 2 2
P 1 1g r
t r r z z r r r r z
θ  νδν δν δν δν δν δ ν δ νδ δ   ρ + ν + + ν = ρ − +µ + +   δ δ δθ δ δ δ δ δθ δ    
(1.79)
O nome dado à equação é uma homenagem aos dois responsáveis pelo seu 
desenvolvimento, o engenheiro francês Louis Marie Henri Navier (1785-1836) 
e o matemático inglês Sir George Gabriel Stokes (1819-1903). A complexidade 
inerente à solução dessa equação para resolução de situações práticas 
fomenta o interesse por estudos no meio acadêmico para desenvolvimento 
de métodos para resolvê-la.
Essas equações anteriormente apresentadas são vastamente utilizadas nas 
análises avançadas dos escoamentos, por exemplo, o estudo de escoamento 
através de esferas, cubos e aviões. Entretanto, sua aplicação atualmente só 
é possível devido à evolução da tecnologia que tornou viável a simulação 
numérica dos escoamentos mediante técnicas, tais como: (1) método das 
diferenças finitas, (2) método dos elementos e dos volumes finitos e (3) 
método dos elementos de contorno.
40
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Entretanto, existem alguns casos em que é possível aplicar hipóteses 
simplificadoras que permitem a resolução de problemas por meio de soluções 
exatas para a Equação de Navier-Stokes. Contudo, ainda assim, existem poucas 
soluções analíticas para escoamentos comaplicação prática. A seguir, serão 
apresentadas algumas hipóteses simplificadoras que reduzem a complexidade 
da Eq.(1.73), alcançando soluções analíticas.
Escoamento sem viscosidade (escoamento 
invíscido)
O primeiro caso especial a ser abordado é a hipótese mais simples em que se 
admite escoamento não viscoso, ou seja, o escoamento sem atrito ( 0µ = ). Assim, 
todo o termo de variação da tensão nas faces expostas no lado esquerdo da 
equação pode ser anulado, resultando em uma equação simplificada, nomeada 
de Equação de Euler, representada na Eq. (1.80).
DVg P
Dt
ρ −∇ =


(1.80)
Esse tipo de escoamento é aplicável para casos em que os efeitos viscosos são 
desprezíveis. Por meio do número de Reynolds, verificam-se quais os efeitos 
predominantes no escoamento de forma geral, ou seja, para altos números de 
Reynolds, o efeito viscoso é predominante em todo o escoamento, enquanto, 
para números de Reynolds baixos, esse efeito é desprezível em grande parte do 
escoamento. Para um melhor entendimento das particularidades do escoamento 
invíscido, podemos analisar o fluxo em torno de um cilindro, conforme exposto 
na Figura 11. 
Figura 11. Imagem das linhas de corrente de um escoamento invíscido em torno de um cilindro.
Fonte: <https://lusoacademia.org/2015/08/11/3-hidrodinamica/>. Acesso em: 18 abr. 2019.
41
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Analisando a Figura 11, verifica-se que, no escoamento sem atrito, as linhas de 
corrente são simétricas, ou seja, são iguais à montante e à jusante do cilindro. A 
partir disso, é possível concluir que a vazão mássica entre duas linhas de corrente 
quaisquer é constante. Dessa forma, sabe-se que, em pontos onde há uma abertura no 
espaçamento entre duas linhas de corrente, a velocidade nesse ponto deve diminuir, 
e o inverso é observado quando as linhas se aproximam. Outro conceito introduzido 
correlaciona a redução/aumento da velocidade à pressão. Esses dois parâmetros são 
inversamente proporcionais, ou seja, nos pontos de máxima velocidade, temos as 
menores pressões e, nos pontos mínimos de velocidade, as máximas. 
No entanto, devido à consideração de que não há atrito, surge um paradoxo, 
nomeado de Paradoxo de d’Alembert, envolvendo esse tipo de escoamento em 
razão da afirmação de que, no escoamento não viscoso, não há arrasto. Entretanto, 
analisando um escoamento em torno de uma bola, por exemplo, não é factível 
dizer que a bola não sofre arrasto. Assim, em 1904, Prandtl sugeriu a existência 
de uma camada viscosa próxima à superfície mesmo em escoamentos com altos 
números de Reynolds (efeitos viscosos desprezíveis). 
Destarte, ao longo da camada limite, a velocidade aumenta rapidamente entre a 
velocidade igual a 0 na superfície (condição de não deslizamento) e a velocidade 
prevista pela teoria do escoamento invíscido. Esse conceito permite reconciliar a 
hipótese de escoamento sem atrito ao que se encontra nas situações cotidianas. 
Maiores informações sobre o conceito e a modelagem da camada limite serão 
abordadas na Unidade III.
Escoamento de Couette
O escoamento de Couette consiste em um escoamento viscoso bidimensional 
plano ( 0
z
δ
=
δ
) entre duas placas muito longas e largas, em que uma se encontra 
fixa e a outra se move com velocidade V

 (vide Figura 12). De forma que o 
escoamento é unicamente axial e dado pelo movimento da placa superior 
(não existe gradiente de pressão), ou seja, tem-se velocidade apenas no eixo 
x ( u 0 e v w 0≠ = = ). Além disso, também se desconsideram os efeitos da 
gravidade.
42
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Figura 12. Representação esquemática do Escoamento de Couette.
 
 
x y 
H = +y 
H = -y 
𝑉𝑉ሬԦ 
Fonte: Elaboração própria da autora.
Para a resolução do problema representado pela Figura 12, utiliza-se a equação da 
massa (Eq. (1.55)) e a equação de Navier-Stokes na direção x (Eq.(1.74)). Devido à 
consideração de escoamento incompressível, permanente, unicamente axial, sem 
gradiente de pressão e efeitos de gravidade, as duas equações são reduzidas a: 
 » Massa: 
u 0
x
δ
=
δ
. Ou seja, ( )u u y= .
 » Quantidade de Movimento: 
2
2
u0
y
δ
=
δ
 . Ou seja, 1 2u C y C= + .
Em que y é a distância transversal em relação à origem, e C1 e C2, as 
constantes de integração. As constantes são definidas por meio da definição 
de condições de contorno pertinentes ao caso estudado.
Mediante a análise do escoamento, aplicando-se a condição de não 
escorregamento na placa inferior e superior, podem-se definir duas relações 
da altura com a velocidade:
 » Primeira condição de contorno: ( ) ( )1 2y H u y 0 C H C= − → = = − +
 » Segunda condição de contorno: ( ) 1 2y H u y V C H C= → = = +
Ou seja: 1 2
V VC e C
2h 2
= = .
Portanto, a solução para o escoamento de Couette é dada por:
V Vu y
2H 2
= + (1.81)
Escoamento de Poiseuille
O escoamento de Poiseuille tem condições semelhantes ao caso anterior, o 
escoamento de Couette. Entretanto, as duas placas são fixas e o escoamento 
é dado pelo diferencial de pressão na direção x, ou seja, as velocidades nos 
limites H e –H são iguais a zero (V = 0). Conforme exposto na Figura 13, 
43
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
o perfil de velocidade gerado nesse tipo de escoamento é dado por uma 
parábola (simétrico) com a velocidade máxima no centro do duto. 
Figura 13. Representação esquemática do escoamento de Poiseuille.
 
 
x y 
H = +y 
H = -y 
𝑢𝑢(𝑦𝑦) 
𝑢𝑢𝑚𝑚á𝑥𝑥 
Fonte: Elaboração própria da autora.
Uma vez que o escoamento é unicamente axial, a equação da massa coincide 
com o caso anterior, ou seja, ( )u u y= . Em relação à equação da conservação da 
quantidade de movimento, a principal diferença entre os dois casos é a inserção 
do termo de variação de pressão ao longo do escoamento (direção x), conforme 
apresentado a seguir:
 » Quantidade de Movimento: 
2
2
P u0
x y
δ δ
= − +µ
δ δ
 . Ou seja, 
2
2
P u
x y
δ δ
= µ
δ δ
Integrando a equação acima duas vezes:
2
1 2
1 dP yu C y C
dx 2
= + +
µ
(1.82)
Aplicando a consideração de não escorregamento nas paredes, sabe-se que as 
velocidades nas paredes são iguais a zero.
 » Condição de contorno: ( )y H u y 0= ± → =
Ou seja, 
2dP HC1 0 e C2
dt 2
= = −
µ
.
Assim, a solução para o escoamento de Poiseuille é dada por:
2 2
2
dP H yu 1
dt 2 H
 
= − − µ  
(1.83)
Uma vez que a velocidade máxima se encontra na linha de centro (y = 0), a 
velocidade máxima é definida por meio da Eq.(1.84).
2dP Hu
dx 2
= −
µ
(1.84)
44
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Escoamento de Hagen-Poiseuille
O escoamento de Hagen-Poiseuille consiste em uma das soluções exatas de 
Navier-Stokes, ela representa o escoamento incompressível em tubo circular 
reto de raio R (coordenadas cilíndricas) totalmente desenvolvido, ou seja, a 
região de estudo é suficientemente distante da entrada para que o escoamento 
seja puramente axial, isto é, z 0ν ≠ e r 0θν = ν = . Assim, as equações da massa e 
quantidade de movimento em coordenadas cilíndricas são reduzidas a:
 » Massa: z 0
z
δν
=
δ
. Ou seja, ( )z z rν = ν .
 » Quantidade de Movimento: z
dP d0 r
z r dr dr
νδ µ  = − +  δ  
.
Como é possível verificar, a equação de quantidade de movimento é muito 
semelhante à encontrada para o escoamento entre duas placas físicas, e o modo 
de resolução é muito semelhante. Integrando duas vezes a equação, obtém-se:
( )
2
z 1 2
dP r C ln r C
dz 4
ν = + +
µ
(1.85)
Em relação às condições de contorno para esse caso, temos:
 » Primeira condição de contorno: ( ) ( )
2
r 1 2
dP Ry R z 0 C ln r C
dz 4
= →ν = = + +
µ
 » Segunda condição de contorno: ( ) ( )r 1 2y H z finita 0 C ln r C= →ν = = + +
Ou seja, 
2dP RC1 0 e C2
dz 4
= = −
µ
.
Assim, a solução para o escoamento de Hagen-Poiseuille totalmente desenvolvido é 
dada por:
( )2 2z dP 1 R rdz 4ν = −µ (1.86)
Conhecida a equação do perfil da velocidade, podem-se definir outros parâmetros 
do escoamento, tais como: velocidademáxima, velocidade média, vazão e tensão na 
parede.
Escoamento entre cilindros longos e 
concêntricos
Este caso consiste em um escoamento de um fluido com massa específica e 
viscosidade constante entre dois cilindros concêntricos, em que o cilindro externo 
se mantém fixo e o interno se movimenta com velocidade angular Ω, conforme 
45
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Figura 14. Considera-se que não há movimento axial ( z 0z
δ
ν = =
δ ) e que há simetria 
circular, assim a velocidade varia apenas com r. Além disso, desconsideram-se 
também a gravidade e o gradiente de pressão.
Figura 14. Representação esquemática de escoamento entre cilindros.
Fonte: Elaboração própria da autora.
Considerando as hipóteses feitas acima e lembrando que o fluxo é puramente 
circunferencial, ou seja, não tem velocidade na direção r, aplicando essas considerações 
às equações da massa e a quantidade de movimento em coordenadas cilíndricas, estas 
se reduzem a:
 » Massa: ( )r
1 r 0
r r
δ
ν =
δ
. Ou seja, rr cteν = .
 » Quantidade de Movimento: 2
10 r
r r r r
θ θδν νδ  = − δ δ 
. Ou seja, 
2
1 r
r r r r
θ θν δνδ  =  δ δ 
.
A solução para a equação da quantidade de movimento (equação diferencial 
ordinária linear de segunda ordem) é dada por:
2
1
CC r
rθ
ν = + (1.87)
46
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Aplicando as condições de contorno de não escorregamento nas paredes dos 
cilindros externo e interno, temos:
 » Primeira condição de contorno: 2o 1 o
o
Cr r 0 C r
rθ
= →ν = = + +
 » Segunda condição de contorno: 2i i i 1 i
i
Cr r r C r
rθ
= →ν = Ω = +
Assim, a solução exata para a distribuição da pressão para o escoamento entre 
cilindros é dada por:
o o
i i
o i i o
r / r r / rr
r / r r / rθ
−
ν = Ω
− (1.88)
Pode-se citar como exemplo desse tipo de escoamento a camada lubrificante de 
um mancal de escorregamento, em que se tem um eixo fixo e outro em movimento, 
separados por um fluido lubrificante cuja finalidade é reduzir o atrito ou o 
desgaste entre as duas superfícies sólidas em movimento relativo, separando-as 
parcialmente ou completamente.
Estudos de caso
Aplicaremos os conhecimentos adquiridos até aqui para a resolução de um estudo 
de caso no qual se deve aplicar as Equações de Navier-Stokes e fazer as hipóteses 
simplificadoras pertinentes para que seja possível sua resolução de forma analítica. 
Exemplo 1: Suponha que um filme de líquido viscoso (Óleo SAE 10W) com espessura 
constante (h) escoe em regime permanente e laminar ao longo de uma placa plana 
inclinada a 45º, conforme Figura15. Deseja-se identificar a vazão do escoamento e a 
tensão cisalhante na parede.
Figura 15. Representação esquemática do escoamento ao longo de uma plana inclinada.
 
 
𝜃𝜃 
h 
y 
x 
𝜃𝜃 
Fonte: Elaboração própria da autora.
47
EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS │ UNIDADE I
Solução:
Elencando as propriedades disponíveis do problema, temos:
 » Propriedade do fluido (White (2015): ρ = 870 kg/m³; μ = 0,104 kg/(m∙s).
 » Inclinação: θ = 45°
 » Espessura do filme: h = 2m
A partir das propriedades repassadas pelo enunciado no Exemplo 1, pode-se considerar 
que:
 » Escoamento permanente: 0t
δ
=
δ
 » Escoamento totalmente desenvolvido: ( ( )V f y= )
 » Fluido incompressível.
 » Não há gradiente de pressão.
Além disso, como condição de contorno, sabe-se que:
 » 1ª Condição: y 0 V 0= → =
 » 2ª Condição: uy h 0
y
δ
= → =
δ
Ciente de todos os parâmetros do sistema, iniciaremos a análise do escoamento 
pela equação da massa (Eq.(1.55), reescrita na forma diferencial bidimensional 
abaixo por conveniência:
 
 
 
 
u v 0
x y
 
+ =
 
v = 0 
Lembrando que não temos fluxo na direção Y, sabe-se que v = 0. Assim, temos que 
u 0
x
δ
=
δ
, reafirmando a consideração de escoamento totalmente desenvolvido (não há 
variação da velocidade na direção x).
Sabendo que o fluxo é dado apenas na direção x, a equação de quantidade de 
movimento só será analisada nessa direção (Eq.(1.74)), conforme apresentada a 
seguir em coordenadas retangulares.
 
 
( )
2 2
2 2
u u P u uu v g sen
x y x x y
      
 + =   − + +             
Não há variação em x v = 0 
Gradiente de 
pressão =0 Não há variação em x 
48
UNIDADE I │ EQUAÇÕES INTEGRAIS E DIFERENCIAIS
Reduzindo a equação a:
( )
2
2
u g sen
y
δ
µ = −ρ θ
δ
(1.89)
Utilizando o conceito de viscosidade cinemática Eq.(1.4) e integrando a Eq.(1.89) 
duas vezes, temos que:
( ) ( ) 2 1 2
g sen
u y y C y C
2
× θ
= − + +
ν
(1.90)
Aplicando as condições de contorno, o perfil de velocidade do filme de líquido é dado 
por:
( ) ( )2 2g senu(y) h y2
× θ
= −
ν
(1.91)
Definido o perfil de velocidade, é possível deduzir equações para vazão e tensão de 
cisalhamento. Para o cálculo da vazão por unidade de largura, basta aplicação de 
uma integral na Eq.(1.91) com limite de integração de 0 a h, conforme Eq.(1.92).
( ) ( )
3h
0
sen h
Q u y dy g
3
θ
= =
ν∫ (1.92)
Em relação à tensão de cisalhamento, sabemos qual a relação da tensão com a 
variação de velocidade (Eq.(1.3)). Assim, pode-se escrever a tensão como função da 
espessura por:
( )u g y sen
y
δ
τ = µ = −ρ⋅ ⋅ ⋅ θ
δ (1.93)
Aplicando as propriedades conhecidas do fluido e da espessura às Eq.(1.92) e 
(1.93), temos que a vazão por unidade de largura é igual a 0,0022 m³/s e a tensão 
na parede é igual a -12.070 kg/(m.s²).
49
UNIDADE IIESCOAMENTO 
VISCOSO EM DUTOS
Os escoamentos são classificados como internos ou externos, dependendo 
do fato se o escoamento é dado através de um duto ou sobre uma superfície. 
Podemos citar como exemplo de escoamento interno o escoamento de água 
pelas tubulações até chegar às nossas residências ou o fluxo sanguíneo através 
de nossas veias. 
Em relação a escoamentos externos, presenciamos esse tipo de escoamento 
frequentemente, seja quando andamos de carro ou durante uma viagem de avião. 
Além disso, podemos encontrar na literatura um terceiro tipo de escoamento, o 
em canal aberto, que consiste em escoamentos limitados por fronteiras fixas, mas 
que não ocupam toda a área transversal, como exemplo, temos os rios ou canais 
construídos para o escoamento de rios e esgotos (Figura 16).
Figura 16. Exemplos de escoamento interno (a), externo (b) e em canal aberto (c).
Fonte: (a) <http://infofluidos.blogspot.com/2010/05/escoamento-laminar-turbulencia-e-numero.html>; (b) <http://
fenomenosutfpr.blogspot.com/>; (c) <https://www.cidadeecultura.com/canais-de-santos/>. Acesso em: 11/4/2019.
Durante a dedução das equações apresentadas na Unidade I, verificamos que 
podemos encontrar três grandes efeitos no escoamento: viscosidade, gradiente de 
pressão e gravidade. Entretanto, o efeito predominante em cada caso é diferente de 
acordo com as condições de escoamento, por exemplo, em escoamentos internos, 
o efeito da viscosidade e o gradiente de pressão são dominantes, enquanto no 
escoamento externo a viscosidade influencia apenas uma região do escoamento 
próxima à superfície, nomeada de camada limite, ou na esteira formada a jusante 
do corpo imerso em fluido.
50
UNIDADE II │ ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS
Nesta unidade, aplicaremos todo nosso esforço para analisar e entender o 
escoamento interno, ou seja, escoamento em dutos (seja ele com seção transversal 
circular, retangular ou elíptica). O estudo desse tipo de escoamento é de suma 
importância devido à sua vasta aplicação prática, como:
 » Sistemas de transporte de petróleo (oleodutos e gasodutos).
 » Tubulações de águas e esgotos residencial e industrial.
 » Sistemas de condicionamento de ar e refrigeração.
É importante lembrar que, em sistemas semelhantes aos exemplos acima, o duto 
é constituído de diversos elementos, como válvulas, cotovelos, curvas, trechos 
retos e inclinados. Além disso, ainda é possível a inserção de equipamentos como 
bombas, compressores, no sistema. Tais componentes influenciam diretamente na 
evolução das propriedades do escoamento e devem ser considerados pelas equaçõesde modelagem do fluxo.
Os estudos sobre escoamento viscoso em duto podem ser divididos em duas 
partes: escoamento laminar e escoamento turbulento. O tipo de escoamento, 
laminar ou turbulento, é função das propriedades termodinâmicas do fluido, da 
velocidade e do diâmetro do duto. Utiliza-se o número adimensional de Reynolds 
para definição do regime de escoamento.
Iniciaremos nossos estudos apresentando o conceito de escoamento totalmente 
desenvolvido em duto que está diretamente ligado à região de entrada.
Figura 17. Perfis de velocidade na região em desenvolvimento e totalmente desenvolvida.
 
 
 Núcleo de 
escoamento 
não viscoso 
Fusão das 
camadas 
limite 
Perfil de 
velocidade 
desenvolvido 
Comprimento de 
entrada Le (região 
em 
desenvolvimento) 
Escoamento 
totalmente 
desenvolvido 
Fonte: WHITE, 2015 (com adaptações).
51
ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS │ UNIDADE II
Imaginaremos uma condição de partida de duto, em que um escoamento 
praticamente não viscoso converge para a entrada do duto (vide Figura 17), 
resultando no surgimento de duas camadas limite viscosas próximas à parede do 
duto, que retardam o escoamento axial próximo à parede, em razão da tensão 
viscosa, e aceleram o escoamento no centro do duto para garantir a conservação 
da massa, conforme demonstrado na região em desenvolvimento da Figura 17.
Entretanto, o escoamento torna-se totalmente desenvolvido no ponto em que 
as camadas limite se fundem gerando o perfil usualmente apresentado para 
escoamento em dutos (velocidade nula na parede devido à condição de não 
deslizamento e velocidade máxima no centro do duto). A partir desse ponto, o 
escoamento é inteiramente viscoso, e o perfil de velocidade não se altera ao longo 
do duto, resultando em uma tensão cisalhante na parede constante e uma variação 
de pressão linear. 
A ciência de que modelar o escoamento em regime totalmente desenvolvido 
mostra-se mais fácil devido ao perfil de velocidade constante saber quais 
parâmetros do escoamento afetam a definição do comprimento de entrada torna-
se algo importante. Dessa forma, a partir da análise dimensional, descobriu-se 
que o comprimento de entrada é função apenas do regime de escoamento: laminar 
ou turbulento. Na literatura, encontram-se correlações para os dois regimes, 
conforme Eq.(1.94).
d
1/4
d
LeLaminar 0,06Re
d
LeTurbulento 1,6Re
d
→ ≈
→ ≈
(1.94)
A partir do conceito introduzido acima, vamos considerar regime laminar 
totalmente desenvolvido, ou seja, a velocidade varia apenas radialmente (perfil 
simétrico), e a velocidade máxima encontra-se no centro do duto, como apresentado 
no escoamento de Hagen-Poiseuille (escoamento entre placas paralelas em virtude 
do gradiente de pressão).
Assim, retornaremos à Eq.(1.86) para identificar mais alguns parâmetros 
importantes a serem utilizados para a modelagem do escoamento laminar em 
dutos. Iniciaremos definindo a velocidade máxima ( r 0= ), substituindo o valor de 
r a Eq.(1.86), temos:
( )
2
máx z z
dP Rr 0
dz 4
ν = ν = = ν =
µ
(1.95)
52
UNIDADE II │ ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS
Assim, podemos reescrever a Eq.(1.86) em função da velocidade máxima, 
transformando-a em:
2
z máx 2
r1
R
 
ν = ν − 
 
(1.96)
Além da velocidade máxima, precisamos identificar os seguintes parâmetros: 
velocidade média, vazão e tensão na parede. As velocidades média e de vazão são 
calculadas por meio da Eq.(1.96), conforme apresentado na Eq.(1.97) e (1.98).
( )
R 2 2
máx
máx2 2
0
1 1 r dP Rr 1 2 rdr
A R R 2 dt 8
  ν
ν = ν = ν − π = = π µ 
∫ ∫ (1.97)
( )
R 2 4
2
máx 2
0
r R PQ r dA 1 2 rdr R
R 8 L
  π ∆
= ν = ν − π = π ν =  µ 
∫ ∫ (1.98)
Na Eq.(1.98), verifica-se que dP / dt foi reescrito mediante a razão entre a diferença 
de pressão e o comprimento do duto percorrido ( P / L∆ ), uma vez que a taxa de 
variação da pressão ao longo do duto é dada por uma constante em escoamento 
totalmente desenvolvido.
Por fim, deve-se definir uma equação para o cálculo da tensão na parede do duto, 
sabe-se que, em se tratando de escoamento de fluidos Newtonianos, a tensão é dada 
por [ ]du / dyτ = µ . Assim, a partir do perfil de velocidade, a tensão é reescrita pela 
Eq.(1.99).
parede
r R
du 4 R P
dy R 2 L=
µν ∆
τ = µ = = (1.99)
53
CAPÍTULO 1
Perda de carga
Este capítulo objetiva apresentar a dedução de equações para o cálculo da perda de 
carga por atrito para escoamento viscoso em dutos. Utilizaremos como conceito de 
partida para desenvolvimento da equação da perda de carga a equação da conservação 
de energia (Eq.(1.31)) para um volume de controle que engloba um duto inclinado, 
com diâmetro constante entre as seções 1 e 2, conforme apresentado na Figura 18.
Figura 18. Representação esquemática de um escoamento entre duas seções.
Fonte: WHITE, 2015.
Considerando escoamento permanente e que não há trabalho sendo recebido ou 
realizado pelo volume de controle, a Eq.(1.31) pode ser reduzida a:
2
SC
VQ u gz P V dA
2
 
= + + + γ ρ ⋅ 
 
∫
 
 (1.100)
Considerando a velocidade média nas seções 1 e 2 e dividindo a equação pelo fluxo 
mássico ( m ), a Eq. (1.100) pode ser reescrita como:
2 2
2 1
1 2
P V P V Qgz gz (u u )
2 2 m
   
+ α + − +α + = − +   ρ ρ   


(1.101)
54
UNIDADE II │ ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS
É possível perceber que foi introduzida na equação um novo parâmetro, α, que 
consiste no coeficiente de energia cinética. Esse coeficiente é um fator de correção 
que permite a utilização da velocidade média do escoamento na seção em estudo. 
Em escoamento laminar, utiliza-se α = 2, enquanto em escoamento turbulento 
define-se α = 1 em razão do perfil de velocidade mais achatado próximo à parede.
Mediante a Eq.(1.101), verifica-se que a soma dos termos do lado direito 
da equação corresponde à diferença de energia mecânica por unidade de 
massa entre as duas sessões. Ela representa a energia mecânica convertida 
(irreversivelmente) para energia térmica 2 1(u u )− e a perda por transferência de 
calor (Q / m)  . Toda essa energia mecânica perdida recebe o nome de perda de 
carga, e pode ser designada como hP, conforme Eq.(1.102).
2 2
P
1 2
hP V P Vz z
g 2g g 2g g
   
+ α + − +α + =   ρ ρ   
(1.102)
A perda de carga, hP, é a soma de dois componentes (Eq.(1.103)): perda de 
carga distribuída, hD, (perda por atrito ao longo de seções do escoamento) e 
perdas localizadas, hL, (perdas geradas por entradas, acessórios, variações de 
área etc.). 
P D L
l
h h hh
g g
+
= = (1.103)
Considerando escoamento totalmente desenvolvido ( 1 2V V= ) resultando em 
uma variação de pressão dada apenas pela diferença de altura (z) e pelo atrito 
conforme Eq.(1.104).
( ) ( )1 2 1 2 l
P P
g z z h
−
= − +
ρ
(1.104)
O cálculo da perda de pressão por atrito ao longo do escoamento (perda de carga 
distribuída) é dado de forma diferente para escoamentos em regime laminar ou 
turbulento, conforme apresentado a seguir:
Escoamento laminar
No escoamento laminar, há queda de pressão para escoamento totalmente 
desenvolvido em duto horizontal ( )1 2z z= , a variação de pressão pode ser calculada 
de forma analítica, utilizando-se como base a Eq. (1.98). Isolando o termo de 
queda de pressão, P∆ , temos: 
4
Q8 L L VP 32
R D D
µ µ
∆ = =
π
(1.105)
55
ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS │ UNIDADE II
Dividindo a Eq.(1.105) por ρ e substituindo na Eq.(1.104), considerando escoamento 
horizontal, a perda de carga é dada por:
2 2
D
L V 64 L Vh 64
D 2g DV Re D 2g
 µ  = =   ρ   
(1.106)
Escoamento turbulento
Para escoamento turbulento, não é possível avaliar a queda de pressão 
analiticamente. Assim, utiliza-se a análise dimensional para correlacionar a 
variação de pressão aos parâmetros dependentes. Considerando escoamento 
horizontal permanente, incompressível e viscoso, a queda de pressão é função do 
comprimento (L), diâmetro (D) e rugosidade (e) do duto, da velocidade média (V), 
da viscosidade (µ) e massa específica (ρ) do fluido, conforme Eq. (1.107).