A3 - Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

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Local: Sala 4 - TJ - Prova On-line / Andar / Polo Tijuca / POLO UVA TIJUCA 
Acadêmico: EAD-IL10010-20212A
Aluno: THIAGO MORELLI CARVALHO 
Avaliação: A3
Matrícula: 20191300529 
Data: 3 de Julho de 2021 - 08:00 Finalizado
Correto Incorreto Anulada  Discursiva  Objetiva Total: 9,50/10,00
1  Código: 29973 - Enunciado:  A construção de uma equação geral do plano pode ser um processo
tão mais direto quanto for a qualidade dos dados que coletamos sobre ele. Se forem conhecidos
um vetor normal, esse plano e um ponto deste, o processo será mais rápido, porém há
momentos em que a solicitação de um projeto é a equação na sua forma geral de um plano, que
deve passar por três pontos conhecidos, e esses são os únicos dados disponíveis. Considere que
seja necessário realizar o seccionamento de um bloco retangular passando pelos vértices I, J e K,
de modo que resulte em duas peças em forma de rampa, conforme mostra a figura a seguir.  Na
elaboração do projeto de corte, um bloco retangular foi posicionado com o centro de sua base
sobre a origem do sistema de eixos cartesianos, sendo que suas arestas medem
quatro metros. Considere os vértices do bloco I (2, 2, 0), J (–2, 2, 4) e K (–2, –2, 4). Diante
disso, marque a alternativa que apresenta uma equação geral do plano seccionador,
considerando os vetores diretores do plano com origem em I e extremidades em J e K.
 a) 16x + 16z – 32 = 0.
 b) 16x + 16y – 32 = 0.
 c) 16x + 16z + 32 = 0.
 d) –4x – 4y + 4z + 16 = 0.
 e) –4x + 4z – 32 = 0.
Alternativa marcada:
a) 16x + 16z – 32 = 0.
Justificativa: Resposta correta:16x + 16z – 32 = 0. são vetores do plano seccionador, não
paralelos, e o produto vetorial entre eles gera um vetor nomal ao plano , que é necessário para
construir a equação geral do plano; aplicando o ponto I na equação obtida, 16x + 16z + d = 0,
temos como resultado o valor d = –32; portanto 16x + 16z – 32 = 0. Distratores: –4x + 4z – 32 = 0.
Errada. (–4, 0, 4) é vetor do plano, e não normal ao plano, como é necessário para construir a
equação geral.–4x – 4y + 4z + 16 = 0. Errada. (–4, –4, 4) é vetor do plano, e não normal ao plano,
como é necessário para construir a equação geral.16x + 16z + 32 = 0. Errada. O valor de d é –
32.16x + 16y – 32 = 0. Errada. A ordenada do vetor normal é zero, e não a cota.
2,00/ 2,00
2  Código: 29472 - Enunciado:  Alguns representantes de vetores podem ser associados,
dependendo das características que possuam. Nesse sentido, existem algumas classificações,
entre as quais estão vetores opostos, versores, iguais, paralelos, ortogonais, entre outras. Cada
vetor não nulo corresponde a um vetor  –, de mesmo módulo e mesma direção de , porém de
sentido contrário. Se =, o vetor  é:
 a) O vetor inverso de  stack A B with rightwards arrow on top.
 b) Um vetor ortogonal a  stack A B with rightwards arrow on top.
 c) Um vetor igual a  stack A B with rightwards arrow on top.
 d) O vetor oposto a  stack A B with rightwards arrow on top.
 e) O versor de  stack A B with rightwards arrow on top.
Alternativa marcada:
d) O vetor oposto a  stack A B with rightwards arrow on top.
0,50/ 0,50
Justificativa: Resposta correta:Um vetor oposto a .  é o oposto de , por construção. Distratores:O
vetor inverso de . Errada. Não existe vetor inverso.O versor de . Errada. Versor tem a ver com vetor
unitário, e não oposto.Um vetor igual a .  Errada. Os vetores têm sentidos oposto, portanto não
são iguais.Um vetor ortogonal a . Errada. Têm mesma direção, portanto não ortogonais.
3  Código: 29951 - Enunciado:  As arestas de uma peça mecânica cujas linhas são retas têm como
suporte geométrico retas que podem ser representadas por meio de equações, preferindo-se
aquele tipo que for mais adequado aos dados e contexto observados. Caso seja necessário
representar o suporte geométrico de uma aresta por meio das equações paramétricas da reta, e
sabendo que essa reta passa pelo ponto A(1, 0, 2) e tem como vetor diretor o vetor , marque a
alternativa que apresenta as equações corretas.
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
Alternativa marcada:
d) 
Justificativa: Resposta correta: Como A(1, 0, 2) e : x = 1 – t (abcissas do ponto (1) e do vetor (–1)
multiplicadas pelo parâmetro t). y = t (ordenadas do ponto (0) e do vetor (1) multiplicadas pelo
parâmetro t). z = 2 (cotas do ponto (2) e do vetor (0) multiplicadas pelo parâmetro t).   Distratores:
 Errada. A ordenada do ponto na segunda equação é igual a zero, assim como a cota do vetor na
última equação. Errada. A ordenada do ponto na segunda equação é igual a zero. Errada. A
abcissa do vetor diretor na primeira equação é igual a –1. Errada. Falta –t na primeira equação, e
a cota do vetor diretor é zero na última equação.
1,50/ 1,50
4  Código: 29479 - Enunciado:  O resultado de produtos entre vetores pode ser um número real ou
um vetor, e a cada produto se pode associar uma interpretação geométrica distinta.  Sobre o
vetor que é resultado de , podemos afirmar que:
 a) Forma ângulo obtuso com   stack u space with rightwards arrow on top e com 
v with rightwards arrow on top.
 b) Possui módulo igual a 1.
 c) É paralelo a  stack u space with rightwards arrow on top e a 
v with rightwards arrow on top.
 d) É igual a (2, 3, 1).
 e) É ortogonal a  stack u space with rightwards arrow on top e a 
v with rightwards arrow on top.
Alternativa marcada:
0,00/ 0,50
a) Forma ângulo obtuso com   stack u space with rightwards arrow on top e com 
v with rightwards arrow on top.
Justificativa: Resposta correta:É ortogonal a  e a . Esta é uma propriedade do produto vetorial: o
vetor resultado de um produto vetorial é ortogonal a cada um dos vetores. Distratores:É paralelo
a  e a . Errada. É ortogonal, ou seja, forma ângulo de 90 graus, simultaneamente, com os vetores u
e v.É igual a (2, 3, 1). Errada. Não há dados para realizar o cálculo.Possui módulo igual a
1. Errada. Não há dados para realizar o cálculo.Forma ângulo obtuso com   e com . Errada.
O ângulo é de 90 graus.
5  Código: 29474 - Enunciado:  Considere o paralelepípedo a seguir.  Considerando os vetores ,
podemos concluir que:  
 a)
stack A B with rightwards arrow on top comma space stack E F with rightwards arrow on top
space e space stack C D with rightwards arrow on top
 são vetores ortogonais, porque têm sentidos opostos.
 b)
stack A B with rightwards arrow on top comma space stack E F with rightwards arrow on top
space e space stack C D with rightwards arrow on top
 são vetores paralelos, porque têm o mesmo sentido.
 c)
stack A B with rightwards arrow on top comma space stack E F with rightwards arrow on top
space e space stack C D with rightwards arrow on top
 são vetores paralelos, porque têm a mesma direção.
 d)
stack A B with rightwards arrow on top comma space stack E F with rightwards arrow on top
space e space stack C D with rightwards arrow on top
 são vetores opostos, porque estão sobre arestas distintas.
 e)
stack A B with rightwards arrow on top comma space stack E F with rightwards arrow on top
space e space stack C D with rightwards arrow on top
 são vetores iguais, porque estão sobre arestas distintas.
Alternativa marcada:
c)
stack A B with rightwards arrow on top comma space stack E F with rightwards arrow on top
space e space stack C D with rightwards arrow on top
 são vetores paralelos, porque têm a mesma direção.
Justificativa: Resposta correta: são vetores paralelos, porque têm a mesma direção. Os três
vetores têm a mesma direção, pois estão sobre arestas paralelas de um
paralelepípedo. Distratores: são vetores paralelos, porque têm o mesmo sentido. Errada. Eles
serem paralelos não depende do sentido, e sim da direção. são vetores ortogonais, porque têm
sentidos opostos. Errada. Não são ortogonais. são vetores opostos, porque estão sobre arestas
distintas. Errada. Esse não é o conceito de oposto. são vetores iguais, porque estão sobre arestas
distintas. Errada. Não têm as mesmas coordenadas cartesianas.
2,00/ 2,00
6  Código: 29982 - Enunciado:  Há distintas posições relativas entre retas e planos,entre as quais
estão o paralelismo e a concorrência. Para determinar se dois planos são concorrentes ou
paralelos, é necessário verificar algumas de suas características, por exemplo, algebricamente
por meio de suas equações. Considere a reta e o plano descritos a seguir:  Diante disso, marque a
alternativa que apresenta uma afirmativa correta sobre a reta r e o plano . 
 a) r e  straight pi são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(–3, 2, 4).
1,50/ 1,50
 b) r e  straight pi são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(2, 3, –1). 
 c) r e  straight pi são concorrentes, e não há nenhum ponto de intersecção entre eles.
 d) r e  straight pi são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(1, 5, 3). 
 e) r e  straight pi são paralelos, e o ponto de intersecção é P(–3, 2, 4).
Alternativa marcada:
a) r e  straight pi são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(–3, 2, 4).
Justificativa: Resposta correta:r e  são concorrentes, e o ponto de intersecção é P(–3, 2, 4).
Qualquer ponto de r é da forma (x, y, z) = (–1 + 2t, 5 + 3t, 3 – t). Se um deles é comum com o plano
, suas coordenadas verificam a equação de  2(–1 + 2t) – (5 + 3t) + 3(3 – t) – 4 = 0; daí resulta t =
–1. Substituindo esse valor nas equações de r, obtém-se X = –1 + 2(–1) = –3 y = 5 + 3(–1) = 2z = 3 –
 (–1) = 4. Logo, a interseção de r e é o ponto (–3, 2, 4). Distratores: r e  são paralelos, e o ponto
de intersecção entre eles é P(–3, 2, 4). Errada. Se fossem paralelos, não haveria ponto de
intersecção.r e  são concorrentes, e não há nenhum ponto de intersecção entre eles. Errada.
Sendo concorrentes, obrigatoriamente haveria ponto de intersecção.r e  são concorrentes, e o
ponto de intersecção entre eles é P(1, 5, 3). Errada. Esse P é um dos pontos da reta, e não
necessariamente o ponto de intersecção com o plano.r e  são concorrentes, e o ponto de
intersecção entre eles é P(2, 3, –1). Errada. Esse P é um vetor diretor da reta, não é nem mesmo
ponto.
7  Código: 29478 - Enunciado:  Um dos produtos entre vetores pode ser associado ao ângulo que
os vetores fazem entre si. Sendo = 2, = 3 e 120º o ângulo entre e , marque a alternativa que
apresenta .
 a) -3.
 b) 4,2.
 c) (-3, 0).
 d) (0, -3).
 e) 3.
Alternativa marcada:
a) -3.
Justificativa: Resposta correta: -3.. Distratores: 3. Errada. O aluno pode ter errado o valor do
cosseno de 120º, resultando em 3 positivo.(-3, 0). Errada. O aluno confundiu com produto
vetorial, cujo resultado é um vetor, e não um número.(0, -3). Errada. O aluno confundiu com
produto vetorial, cujo resultado é um vetor, e não um número.4,2. Errada. O aluno pode ter
considerado como cosseno de 120º o valor de .
1,50/ 1,50
8  Código: 29950 - Enunciado:  Ponto, reta e plano são chamados de entes primitivos da
matemática. Não há definição para eles; são ideias aceitas por todos e que representamos
graficamente. Na geometria analítica, há equações diferentes para representar uma reta, por
exemplo, com intuito tanto gráfico quanto algébrico. Diante disso, marque a alternativa que
apresenta corretamente a equação vetorial da reta.
 a) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A e P são pontos pertencentes a uma reta paralela à r, e 
v with rightwards arrow on top é o vetor diretor da reta r.
 b) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A e P são pontos da reta r, e  v with rightwards arrow on top é o vetor ortogonal à reta
r.
 c) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A é uma reta paralela à reta r, e  v with rightwards arrow on top é o vetor diretor
0,50/ 0,50
da reta r.
 d) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A e P são pontos sempre conhecidos da reta r, e  v with rightwards arrow on top é o
vetor diretor da reta r.
 e) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A e P são pontos da reta r, e  v with rightwards arrow on top é o vetor diretor da reta r.
Alternativa marcada:
e) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t, em
que A e P são pontos da reta r, e  v with rightwards arrow on top é o vetor diretor da reta r.
Justificativa: Resposta correta:, em que A e P são pontos da reta r, e  é o vetor diretor da reta
r.Essa é a definição para equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto A e tem direção dada
pelo vetor v. Distratores:, em que A e P são pontos da reta r, e  é o vetor ortogonal à reta r. Errada.
O vetor v é paralelo à reta r., em que A e P são pontos pertencentes a uma reta paralela à r, e  é o
vetor diretor da reta r. Errada. A e P pertencem à reta r., em que A e P são pontos sempre
conhecidos da reta r, e  é o vetor diretor da reta r. Errada. P representa um ponto qualquer da reta
r, usado para que se possa determinar um ponto de reta pela equação., em que A é uma reta
paralela à reta r , e  é o vetor diretor da reta r.  Errada. A é um ponto de r.