TrabalhoBandasdeEnergia

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ESTADO SÓLIDO 
Bandas de Energia em Semicondutores Intrínsecos 
 
 
 
 
Ana Rita Caetano Bochini 11106813 
André Lopes Rocha 21014211 
Bryan Rosa Garcia Hadmann 11103115 
Edgard Makoto Akamine 11014313 
Gabriel Velasco Malvezi 21031615 
Guilherme Barnez 11047512 
Lucas Janazi de Souza 21020713 
Thiago L. A. Cortiz 11075213 
Prof. Dr. ​ ​José Fernando Queiruga Rey 
 
 
 
 
 
Santo André 
2020 
 
Sumário 
1. Introdução 2 
2. Objetivos 2 
3. Teoria de Banda 3 
3.1 Distribuição de Fermi-Dirac 4 
3.2 Densidade de estados 7 
3.3 Zonas de Brillouin e Estrutura de bandas 8 
4. Semicondutores Intrínsecos com Gap Direto e Indireto 9 
4.1 Semicondutor Intrínseco com Gap Direto: GaAs 9 
4.2 Semicondutor Intrínseco com Gap Indireto: Si 12 
5. ​Dependência da temperatura das mobilidades 17 
6. Absorção por transportadoras vinculadas a doadores e aceitadores 
rasos 18 
7. Espectroscopia de emissão 19 
8. Classificação de múltiplos poços e superlativos quânticos 20 
9. Conclusão 19 
10.Referências 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
1. Introdução 
 
De maneira simples, a definição de um semicondutor gira em torno de um 
material com condutividade elétrica mensurável que, ao contrário dos condutores 
metálicos, aumenta com a temperatura. 
Em temperatura superiores a 0 K, esses materiais terão uma condutividade 
elétrica pequena, cuja medida da condutividade estará entre as condutividades do 
material isolante e do material condutor. Essa condutividade elétrica é explicada 
através da teoria de bandas e das camadas energéticas envolvidas no processo[1]. 
Os semicondutores encontrados na natureza em seu estado natural são 
chamados semicondutores puros ou intrínsecos, são cristais abstratos que possuem 
apenas um único elemento principal. Dentre esses, os mais conhecidos e utilizados são 
o Silício (Si), Germânio (Ge) e o arseneto de Gálio (GaAs). Sendo que o Si e o GaAs 
serão abordados mais detalhadamente nas próximas seções. 
Ao adicionar, a um semicondutor intrínseco, outros átomos, denominados 
impurezas ou dopantes, tem-se um semicondutor extrínseco. Essas impurezas são 
adicionadas com o intuito de acrescentar elétrons livres ou espaços vazios ao material, 
alterando as propriedades elétricas para aumentar sua condutividade[2][3]. Não será 
detalhado semicondutores extrínsecos neste trabalho, o foco será nos semicondutores 
intrínsecos. 
Além da explicação da condutividade dos materiais o estudo da estrutura de 
bandas ajuda a explicar outros fenômenos como absorção óptica e, dependendo do 
estímulo, a emissão de luz. 
 
2. Objetivo 
 
Este trabalho tem por objetivo revisar as propriedades dos semicondutores 
intrínsecos, em especial os compostos por gálio e silício. Analisando as propriedades 
dos átomos que os compõem e estrutura, aliada às teorias para entender as 
propriedades gerais de semicondutores e aprofundar nos que são alvo deste estudo. 
2 
3. Teoria de Banda 
 
É importante conhecer um pouco de suas características físicas e, 
principalmente, alguns dos princípios da teoria do orbital molecular para compreender 
melhor os seus mecanismos de condução. Os sólidos podem ser considerados a união 
de um número infinito de átomos, de modo que o seu posicionamento sucessivo em 
linha leva à superposição dos orbitais adjacentes para a formação de ligações. Por se 
tratar de um problema de múltiplos corpos é assumido, para simplificação, de que a 
função de onda resultante do sistema é uma combinação linear das funções de onda. 
Através da combinação linear de dois orbitais atômicos é originado um orbital molecular 
ligante e um orbital molecular antiligante (dois orbitais moleculares). [4] 
À medida que mais átomos são enfileirados, mais orbitais moleculares são 
formados pela interferência das funções de onda de seus orbitais atômicos, levando à 
formação de um conjunto de orbitais não-degenerados com baixa diferença de energia 
entre níveis consecutivos. Sugere-se de modo aproximado a formação de um contínuo 
de níveis de energia entre o orbital ligante de menor energia e o orbital antiligante de 
maior energia, a chamada banda. 
A diferença de energia entre os níveis de energia é maior conforme maior 
intensidade da força de interação entre os átomos vizinhos, e portanto, implicando em 
uma banda mais larga. O aumento do número de átomos enfileirados e orbitais 
moleculares formados eleva o número de níveis internos da banda e a chamada 
densidade de estados (número de níveis contidos em uma fração de largura 
infinitesimal da banda), reduzindo a diferença de energia entre níveis consecutivos e 
tornando o modelo ainda mais próximo do real. 
Cada banda pode ser classificada de acordo com o tipo de orbital atômico que a 
constitui. A Figura 1 representa a formação de uma “banda s”, sendo possível a 
formação de “banda p” ou ainda “banda d” pela combinação dos respectivos orbitais 
atômicos quando disponíveis. Como os orbitais “d” são mais energéticos do que os “p” 
que, por sua vez, são mais altos que os “s” em uma mesma camada de valência, há 
3 
frequentemente a formação de uma falha entre as bandas formadas, uma região vazia 
entre níveis ou orbitais moleculares, chamada de banda proibida. 
 
 
Figura 1 - Esquema do enfileiramento crescente de átomos com a combinação linear de seus 
orbitais atômicos do tipo s para a formação de orbitais moleculares ​𝝈​s ​ e ​𝝈​s*.​ O modelo de banda se 
constitui da formação de um aproximado contínuo, quando o número de átomos enfileirados tende ao 
infinito .[4] 
 
A diferença de energia delimitada pela sua largura é chamada de Band Gap 
(Eg). A existência da banda proibida (Band Gap) está condicionada à largura das 
bandas consecutivas e à separação energética dos tipos de orbitais envolvidos na 
formação de cada uma. Forças interatômicas elevadas e energias de orbitais atômicos 
similares geralmente induzem a sobreposição de bandas. 
 
3.1 Distribuição de Fermi-Dirac 
 
A ocupação dos orbitais em bandas é ditada pela distribuição de Fermi-Dirac, 
um algoritmo estatístico sigmoidal semelhante à distribuição de Boltzmann, mas com a 
restrição de ocupação de apenas dois elétrons por nível: 
 
4 
 ​ (1)(E) f = 1
1 + e (E − μ)/kT
 
em que ƒ(E) representa a probabilidade de um estado com energia “E” estar ocupado 
após o equilíbrio termodinâmico ser alcançado, T é a temperatura absoluta do sistema 
em Kelvin, k é a constante de Boltzmann e μ representa o potencial químico total dos 
elétrons. Em especial, a energia equivalente ao potencial químico do sistema (E = μ) 
merece atenção: neste valor, a probabilidade atinge 50 % (0,5/1,0) de chance de 
ocupação. Esse nível é chamado de nível de Fermi (E​f​). O nível de Fermi não 
corresponde necessariamente a um nível real, podendo se localizar no meio da banda 
proibida (falha) onde não há orbitais. É um parâmetro de suma importância na 
caracterização de materiais, pois, juntamente com a estrutura, possibilita prever seu 
comportamento elétrico. [4] 
A banda localizada imediatamente acima do nível de Fermi é chamada de 
Banda de Condução (BC ou Banda Vazia), e por se constituir de orbitais de maior 
energia, apresenta níveis de baixa probabilidade de ocupação. A banda localizadaimediatamente abaixo do nível de Fermi é chamada de Banda de Valência (BV ou 
Banda Cheia) e, por constituir-se de orbitais de menor energia, encontra maior 
probabilidade de ocupação. 
Em sólidos, os elétrons apenas podem atuar como transportadores de carga 
quando há estados eletrônicos vacantes na banda, uma circunstância plausível 
somente quando há promoção de parte dos elétrons da banda de valência para a 
banda de condução. Em metais, como as bandas são largas e os níveis mais altos da 
BV são energeticamente comparáveis aos mais baixos da BC, observa-se a 
sobreposição de bandas com o Ef localizado nessa região (Figura 2). Os elétrons da 
BV conseguem atingir a BC como estados termicamente acessíveis, de modo que à 
temperatura ambiente (298,15 K), a BC encontra-se parcialmente ocupada e a BV não 
completamente preenchida. Assim, pela ação de um campo elétrico, é possível 
transportar carga. 
5 
Em materiais isolantes, E​f encontra-se dentro de um Band Gap largo (Figura 2), 
muito distante das bordas de qualquer uma das bandas e de qualquer estado com 
capacidade de transporte de carga. Os elétrons permanecem isolados na banda de 
valência cheia, não apresentando estados que permitam mobilidade frente a um campo 
elétrico. Em semicondutores, a distância da Banda de Condução para a Banda de 
Valência é pequena (Figura 2 – Band Gap < 4 eV), sendo que o nível de Fermi se 
encontra aproximadamente no centro do Band Gap (Ef = ½ Eg). 
Desse modo, alguns níveis inferiores da Banda de Condução são termicamente 
acessíveis para elétrons no topo da Banda de Valência à temperatura ambiente 
(≈298,15 K) que, após a excitação, transformam-se em transportadores de carga (e– 
BC), assim como os estados vacantes deixados na BV, chamados de lacunas (h+ BV), 
que conferem maior grau de liberdade ao restante de elétrons ali contidos. Esses níveis 
de transportadores de carga formados puramente por excitação térmica são 
conhecidos como níveis intrínsecos. [5] 
 
 
Figura 2: Esquema de representação de diagramas de bandas tipicos para (a) metais, (b) 
semicondutores e (c) isolantes. Os termos: Eg (Band Gap). BV (banda de valência). BC (banda de 
condução. Ef (nível de Fermi à 298,15K). A área sombreada representa a presença de estados ocupados 
com capacidade de transporte de carga. [5] 
 
A formação de transportadores de carga (elétrons na banda de condução e 
lacunas na banda de valência) em semicondutores lhes confere condutividade superior 
6 
a de um isolante nas mesmas condições. Entretanto, a condutividade de ambos os 
materiais apresenta uma dependência com a temperatura do tipo de Arrhenius, à qual 
se aplica o valor de gap de energia entre o fundo da banda de condução (EBC) e o 
nível de Fermi (Ef) em analogia à Energia de Ativação (E​a​ = E​BC​ – E​f​ ≈ Eg/2): 
 ​(2) σ e σ = 0 2kT
−Eg
 
 
em que σ é a condutividade em S cm, ​σ​0 é um fator pré-exponencial, Eg é a energia de 
separação entre a borda das bandas (Band Gap), k é a constante de Boltzmann e T é a 
temperatura absoluta em Kelvin. Qualitativamente, é possível concluir que o gap de 
energia entre o fundo da BC e o nível de Fermi (E​BC – E​f​) é um parâmetro determinante 
da condutividade de um semicondutor intrínseco ou isolante, qualquer que seja a 
temperatura de estudo. Inclusive, esse pode ser o principal parâmetro de diferenciação, 
uma vez que isolantes até podem ser considerados semicondutores em temperaturas 
elevadas e, em zero Kelvin, todo semicondutor será um isolante. [5] 
 
3.2 Densidade de estados 
 
Um novo rearranjo da equação da condutividade apresentado abaixo na Eq. 3, 
explicita a relação de decaimento exponencial do produto das concentrações dos 
transportadores intrínsecos (lacunas e elétrons) com a energia de Band Gap (Eg), 
atenuado pela energia térmica do sistema (kT) e de acordo com um fator 
pré-exponencial correspondente à densidade efetiva de estados nas bordas das 
bandas de condução e valência, N​c​ e N​v​ respectivamente: 
 
N N e n[ ] p[ ] = c v kT
−Eg
(3) 
 
Os valores de densidade de estados N​c e N​v costumam ser da ordem de 10​19 
cm​–3​, de modo que quando a excitação térmica é o único mecanismo de geração de 
7 
transportadores de carga, [n] = [p] e a concentração total de transportadores decai 
fortemente com o aumento da energia de Band Gap para uma dada temperatura. A 
exemplo disso, em temperatura ambiente (298,15 K), o produto kT é de 0,0257 eV, o 
que para os valores propostos acima indica a classificação de isolante para materiais 
com Eg a partir de 0,5 eV. Sendo assim, não é surpreendente que à temperatura 
ambiente semicondutores intrínsecos apresentem um número limitado de aplicações 
por sua baixa condutividade. Ao determinar na prática a população de elétrons 
excitados em semicondutores intrínsecos típicos, como o Si ou o GaAs, é possível 
encontrar valores no intervalo entre 10​6 e 10​10 cm​–3​, o que se compara 
desfavoravelmente ao número de transportadores livres disponíveis em metais, que 
chega a ordem de 10​28 cm​–3​. Portanto, o aumento de condutividade do material é 
essencial, havendo algumas estratégias para isso, como é o caso da dopagem. [5] 
 
3.3 Zonas de Brillouin e Estrutura de bandas 
 
O estudo da teoria de bandas analisa os níveis de energias e os vetores k das 
funções de onda permitidas para os elétrons de tal maneira que resulta no seguinte 
diagrama: 
 
8 
 
Figura 3 - Estrutura de bandas de energia do silício, a linha pontilhada e a linha contínua obtidas 
através de simulações computacionais através de pseudopotenciais [6] adaptado. 
 
 
Estes vetores k são as direções dos pontos da zona de Brillouin em que temos 
alta simetria com as quais podemos descrever as propriedades do cristal todo dentro 
da zona de Brillouin. Assim, o gap de energia pode ser visualizado como a diferença de 
energia do mínimo da banda de condução e o máximo da banda de valência, e que não 
precisam necessariamente estar no mesmo vetor de onda k. 
Este diagrama da Figura 3 foi obtido através de cálculos usando 
pseudopotenciais, estes acoplado do uso da teoria do funcional da densidade ( ou 
então conhecido como first principles) tem sido usado com bastante sucesso nas 
simulações computacionais para pesquisas de novos materiais ( como por exemplo no 
software Quantum ESPRESSO ). 
 
 
 
 
9 
4. Semicondutores Intrínsecos com Gap Direto e Indireto 
 
Semicondutores são divididos em dois tipos, um cuja parte mais alta da banda 
de valência e parte mais baixa da banda de condução possuem um mesmo vetor de 
onda k, denominados semicondutores de gap direto. E outro que possui pontos em 
diferentes localidades, não em um mesmo vetor de onda, são denominados 
semicondutores de gap indireto. 
Existe um grande número de materiais semicondutores, entre eles podem ser 
citados o arsenato de gálio, que é um semicondutor com gap direto, e o silício, que 
possui gap indireto. Será abordado um pouco a respeito desses dois semicondutores. 
 
4.1 Semicondutor Instrínseco com Gap Direto: GaAs 
 
O semicondutor de maior aplicação em optoeletrônica éo arseneto de gálio 
(GaAs), formado pelos elementos Ga e As, dos grupos III e V respectivamente [7]. 
Cada átomo de gálio da estrutura está cercado de átomos de arsênio, o que configura 
a estrutura da Figura 4. Temos 3 elétrons de valência do gálio e 5 elétrons de valência 
do arsênio que se juntam, dando 8 elétrons. 
 
Figura 4 - Estrutura do GaAs. 
 
Na formação do GaAs, o átomo de arsênio perde um elétron que passa para um 
vizinho de Ga, ficando ambos com quatro elétrons nas camadas ​4s​2 4p​2​. Semelhante a 
Si e Ge, o GaAs tem 4N elétrons que enchem completamente a banda de valência, 
10 
deixando vazia a banda de condução. A estrutura de bandas do arseneto de gálio é a 
seguinte: 
 
Figura 5 - Estrutura de bandas de energia do arseneto de gálio (GaAs). 
 
Neste caso o mínimo da banda de condução ocorre no mesmo vetor de onda, 
com k = 0, que é igual ao máximo da banda de valência, sendo o gap Eg = 1,43 eV. Há 
vários outros semicondutores formados por elementos dos grupos III e V, chamados de 
compostos III-V, como o InSb (Eg = 0,18 eV), InP (1,35 eV) e GaP (2,26 eV), por 
exemplo. 
As propriedades de condução dos semicondutores são determinadas 
principalmente pelo número de elétrons na banda de condução. Então elas dependem 
fortemente da razão Eg/KbT e, portanto, do valor do gap Eg mas não são muito 
influenciadas pela forma das bandas. Por outro lado, as propriedades ópticas 
dependem muito da forma das bandas de energia. 
As transições eletrônicas de emissão acompanhadas da emissão ou absorção 
de fótons num cristal devem conservar energia e momentum, ou seja: 
 
Ef - Ei = ±ħ 
 
11 
Kf - Ki = ± k 
 
Sendo Ef e Ei as energias do elétron nos estados final e inicial, respectivamente, 
e kf e ki os vetores de onda correspondentes, w e k a frequência e o vetor de onda do 
fóton absorvido ​(Ef > Ei)​ ou emitido ​(Ef < Ei)​ na transição. 
No caso do arseneto de gálio, a transição de um elétron do mínimo da banda de 
condução para o máximo da banda de valência é acompanhada da emissão de um 
fóton de energia ​ħ = Eg = 1,43 eV​, cujo vetor de onda tem módulo k = 2π/λ = 7,2x10⁴ 
cm⁻1​. 
Como este valor de k é muito menor que o valor da fronteira da zona de Brillouin 
(kzb = 10⁸ cm​-1​), ele é desprezível na escala da figura da estrutura de bandas 
apresentada anteriormente. Desta forma, o momento é conservado na emissão do 
fóton e a transição é permitida, chamado de processo direto de emissão. 
No caso do silício ou do germânio não é possível ter uma transição entre o topo 
da banda de valência e o mínimo da banda de condução apenas com emissão ou 
absorção de fótons. Isto porque o fóton com energia Eg tem ​k << kzb​, e esta transição 
requer uma variação de vetor de onda da ordem de kzb para conservar momento. 
Como os fônons tem ​energia << Eg e vetor de onda está entre zero e kzb, é 
possível ter uma transição através do gap com a emissão ou absorção de um fóton, 
desde que acompanhada da emissão ou absorção de um fônon. Esta transição 
(ilustrada na Figura 6) é chamada de processo indireto. Si e Ge são semicondutores de 
gap indireto. No semicondutor de gap indireto, a transição através do gap envolve um 
fóton de frequência ​w ≃ w​g e ​k≃ 0 e um fônon de frequência omega muito menor que w​g 
e vetor de onda ​k≃ kzb​, de tal forma a conservar energia e momentum totais. 
 
12 
 
Figura 6 - (a) Bandas de valência e de condução de gap direto. (b) Gap indireto. 
 
Como a transição de gap indireto envolve fônons e fótons, a probabilidade de 
emissão ou absorção de fótons é muito menor que no caso de gap direto. No gap direto 
a transição através do gap ocorre com a emissão de um fóton onde a frequência ​w​g = 
Eg/ħ ​e com vetor de onda desprezível. Por esta razão é preciso utilizar semicondutores 
de gap direto para fabricar lasers e diodos emissores de luz, como o GaAs, InSb, InAs, 
InP, PbS, CdS, CdTE. Nem todos do grupo III-V são de gap direto, GaP e AlSb, por 
exemplo, têm gap indireto . 
 
4.2 Semicondutor Intrínseco com Gap Indireto: Si 
 
Um dos mais conhecidos e utilizados material semicondutor é o silício (Si). Na 
natureza existem diversos semicondutores, tais como zinco-blenda (ZnS) cuprita 
(Cu​2​O) e galena (PbS) [7]. O uso deste material na microeletrônica, por exemplo, deve 
recorrer a métodos de fabricação que propiciem uma estrutura cristalina homogênea. O 
método mais utilizado é o ​Czochralski​, que produz um monocristal de Si (no caso) [8]. 
De maneira geral, como já foi falado, para um cristal, um estado quântico é 
caracterizado pelos índices 𝑛, 𝒌 e pelo spin 𝜎. Quando não ocorrem efeitos de 
polarização de spin, cada banda pode acomodar 2 elétrons por ponto 𝒌. As bandas são 
preenchidas da mais baixa para mais alta energia, onde existem faixas de energia 
proibidas no espectro, conhecidas como gaps de energia. A Figura 7 mostra, pelo 
método de pseudo potencial de ondas planas, as bandas obtidas para o Si: 
13 
 
 
Figura 7 - Estrutura de banda do Si, calculada pelo método de pseudopotencial (mais 
informações no Capítulo 2, ​2.5 Band Structure Calculations by Pseudopotential Methods da referencia 
[4]) de ondas planas. Estrutura tipo diamante com a = 5, 43 Å. [9] adaptado. 
 
Os semicondutores desse tipo (incluindo o Si) apresentam estruturas de bandas 
parecidas, mas com algumas diferenças fundamentais. O gap ocorre, com as bandas 
preenchidas completamente (bandas de valência) e bandas completamente vazias 
(bandas de condução) a T = 0 K. Cada material, como já dito, apresenta um gap 
diferente, estando em geral na região do infravermelho. Para T = 300 K (temperatura 
ambiente), a energia térmica é da ordem de 25 MeV, sendo uma energia muito baixa 
do gap da maioria dos semicondutores. A criação de portadores livres na banda de 
condução (ou de lacunas ou buracos na banda de valência) é realizada por meio de 
dopagem. Na prática, cria-se um portador para cada 10​6​-10​7 átomos do semicondutor. 
Como consequência, a ocupação da banda livre, de condução, por exemplo (dopagem 
tipo-n, doadores), é de apenas uma pequena parte da zona de Brillouin (inferior a 1%). 
Ou seja, a região de maior interesse é em torno do extremo (mínimo ou máximo) da 
banda. Nessa região, aproximações na descrição da dinâmica eletrônica são 
perfeitamente válidas. Mais que isso, métodos de cálculo global das bandas, como o 
mostrado na Figura 7, não é possível descrever com acurácia necessária a banda em 
torno do ponto de alta simetria. 
14 
A Figura 7 também mostra o Gap Indireto do Si, que é da ordem de energia Eg = 
1,17 eV. 
Outros métodos são necessários, que normalmente, fazem recursos da 
parametrizações utilizando resultados experimentais. Um dos métodos mais populares 
é a aproximação · , pelo qual se expande a estrutura de banda em torno do ponto k p 
de simetria para pequenos desvios de nesse ponto.k 
O teorema de Bloch nos diz que elétrons na presença de um potencial periódico 
(rede) são descritos por uma combinação linear de ondas planas ocupando o materialcomo um todo: 
 (r) e Ψ
k
= ∑
 
G
C
k−G 
−i(k−G ) r
 
* 
 
Com isso, os elétrons assumem o movimento em estruturas periódicas sem que 
ocorra colisões, ou seja, sejam espalhados, ao contrário do modelo de Drude (que 
considera o material como um gás). Para se obter a equação de movimento de um 
elétron em uma banda de energia, ou seja, de um “pacote” de onda em um campo 
elétrico aplicado. 
Desde que as funções de onda dos elétrons são funções de Bloch podemos, ao 
redor de um valor particular de , escrever um “pacote” de onda e assim sua k 
velocidade será [10]: 
 V g = dk
dw 
 
Agora, considerando E = ħ/ω, podemos substituir na equação de V​g​, obtendo: 
 
 
dk
dw = 1dεħdk = V g 
 
Com essa relação, temos o termo da derivada dε/dk os efeitos do cristal sobre o 
movimento do elétron estão contidos na relação de dispersão ε( ) [10]. r 
Utilizando a quantidade ​ℏ , que é o momento do elétron no cristal, podemos k 
utilizar a seguinte equação: 
15 
 
 E F ℏ dt
dk = − e = ext 
Uma analogia a equação de Newton para a movimentação dos elétrons livres. 
Com a relação de dispersão ℇ( ) × , é possível se obter V​g​, e assim a relação k k 
da massa efetiva: 
 
 (k)1m * = 
1
ℏ 2 ·∇ k
2 · ε 
 
Aqui é considerado um elétron sujeito a uma força externa. 
Agora, considerando as BC e BV. Para o Si, considerando as bandas 
mostradas na Figura 7, o mínimo da banda de condução não se encontra próximo do 
centro da 1ª ZB, na direção 𝚪-𝐗, e as superfícies de energia constante são 
aproximadamente elipsóides de rotação em torno dos seis eixos 𝚪-𝐗, mostrado na 
Figura 8. 
 
 
Figura 8: Si: 𝐸𝑔 indireto direção Γ-X [8] adaptado. 
 
Por fim, para o Si, assim como outros semicondutores, e observando a Figura 7, 
temos que extremo da BC é esférico e o elétron possui massa efetiva​ : m e* 
 
 E ε c = c + 2m e*
ħ k 2 2 
16 
 
Já para a BV, são verificadas 3 curvas na vizinhança do extremo. Em geral, 
duas delas são degeneradas, uma banda de buraco leve, massa efetiva 𝑚​𝑙h​∗, outra de 
buraco pesado, massa efetiva 𝑚​ℎℎ​∗, e a terceira é a banda de buracos separados, 
massa efetiva 𝑚 ​𝑠o𝑠​∗, que se separa das outras duas bandas devido à interação 
spin-órbita, de energia Δ [10]: 
 
 
 
Com isso, é possível verificar alguns comportamentos dos materiais. Avaliando 
tais propriedades, principalmente o gap indireto do semicondutor, em aplicações de 
engenharia, mais precisamente em microeletrônica, considerando o coeficiente de 
absorção dos semicondutores, apresenta ganhos menos existe aumento da energia 
dos fótons para fotoexcitação e exigem, com os comprimentos de onda semelhantes 
consideravelmente menores do que o equivalente ao Band Gap, espessuras de filme 
maiores para um bom aproveitamento da radiação incidente. A equação abaixo mostra 
a relação do coeficiente de absorção [11]. 
 
 α = hv
A(hv − Eg) 2
m 
 
 
α representa o coeficiente de absorção, A uma constante, m = 1 para uma 
transição de Band Gap direta, m = 4 para transição de Band Gap indireta, h é a 
constante de Planck e ν é a frequência da radiação incidente. Logo, para o Si, m = 1. 
É importante apontar que o excesso de energia de um fóton em relação ao Band 
Gap do material pode caracterizar a formação de um éxciton quente, em que os 
elétrons e lacunas ocupam estados excitados da BC e BV, respectivamente. Mas não 
17 
entraremos em detalhes nesse tópico, uma vez que a síntese de assunto demanda 
maiores explicações que fogem do escopo desta seção. 
 
5. Dependência da temperatura das mobilidades 
 
A partir das taxas de espalhamento de um elétron em uma banda, é possível 
definir a dependência da temperatura das mobilidades de portadores, dado que cada 
mecanismo de espalhamento vai possuir diferentes dependências da energia e 
temperatura dos elétrons, resultando em diferentes dependências de temperatura da 
mobilidade. Além disso, é possível determinar as diferentes contribuições dos 
mecanismos de espalhamento através da comparação da temperatura da mobilidade 
medida com a teórica. A Figura 9 mostra a dependência da temperatura da mobilidade 
no Si do tipo n. O gráfico (a) representa os resultado experimental e o gráfico (b) 
mostra as contribuições relativas à mobilidade da dispersão por diferentes tipos de 
fônons. Avaliando (b) podemos ver que a curva “A” representa a contribuição da 
dispersão acústica intravalley, enquanto as outras duas curvas representam 
contribuições da dispersão intervalley por fônons cujas energias correspondem a 
temperaturas de 190 K (ou 16 meV) e 630 K (54 meV). [7]: 
 
 
Figura 9 - Dependência da temperatura da mobilidade no Si do tipo n. 
 
18 
Já a Figura 10 Dependência da temperatura das mobilidades no Si do tipo n 
para uma série de amostras com diferentes concentrações de elétrons. A inserção 
esboça a dependência da temperatura devido à dispersão da rede e da impureza. 
 
 
Figura 10 -​ Mobilidade no Si do tipo n para diferentes concentrações de doadores. 
. 
Sendo que, a forma das curvas experimentais em altas concentrações de 
doadores pode ser explicada pela predominância da dispersão de impurezas ionizadas 
a baixas temperaturas. [7] 
 
6. Conclusão 
 
Com a realização do presente trabalho, a revisão bibliográfica permitiu o estudo 
de diversos semicondutores e suas diferentes propriedades. Foi possível entender 
como um semicondutor funciona, além de como sua estrutura cristalina dita as suas 
características finais. O estudo da teoria, junto da configuração eletrônica e 
eletronegatividade dos átomos que compõem os compostos, permitem combinações 
que produzem um material com as propriedades requeridas. 
Os semicondutores intrínsecos podem apresentar band gap direto e indireto, 
devemos considerar que um band gap direto tem maior probabilidade de emissão ou 
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absorção de fótons, facilitando assim a criação de pares elétron-lacuna. Podemos citar 
que lasers e leds utilizam semicondutores com bandgap direto. 
A temperatura também é de grande influência, a temperatura de 0K, a banda de 
condução está totalmente vazia, com o aumento da temperatura, elétrons tem energia 
suficiente para que possam fazer parte da banda de condução. Em temperaturas 
elevadas, podem se comportar como condutores. 
 
 
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7. Referências Bibliográficas 
 
[1] - ARANTES, Vera L. “Propriedades elétricas dos materiais.”. Disponível em: 
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/188823/mod_resource/content/1/aula%209%20
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http://www.dsif.fee.unicamp.br/~fabiano/EE530/PDF/Texto%20-%20F%EDsica%20dos
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