Exercicio Resolvido 1.1 Kittel

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Exercício 1.1 Livro do Kittel 
1 - Mostre que o ângulo entre as ligações tetraédricas do diamante é aproximadamente θ 
= 109°. Dica: esse ângulo é o mesmo entre as diagonais de um cubo, veja os vetores 
primitivos de uma estrutura bcc. 
Como o ângulo entre as ligações tetraédricas do diamante é o mesmo que o entre as 
diagonais de um cubo, é possível encontrá-lo 
calculando o produto escalar entre dois dos seus 
vetores primitivos. 
Os vetores primitivos de uma estrutura bcc são: 
𝑎1⃗⃗⃗⃗ =
𝑎
2
(�̂� + �̂� − �̂�) 
𝑎2⃗⃗⃗⃗ =
𝑎
2
(−�̂� + �̂� + �̂�) 
𝑎3⃗⃗⃗⃗ =
𝑎
2
(�̂� − �̂� + �̂�) 
Pegando a figura do slide como referência para o 
desenvolvimento: 
Vamos calcular o produto escalar dos dois vetores primitivos, ou seja: 
𝑎1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑎2⃗⃗⃗⃗ = |𝑎1||𝑎2| cos 𝜃 
E 
𝑎1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑎2⃗⃗⃗⃗ = 𝑎1𝑥𝑎2𝑥 + 𝑎1𝑦𝑎2𝑦 + 𝑎1𝑧𝑎2𝑧 
Calculando |𝑎1| e |𝑎2|: 
|𝑎1| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧² = √
𝑎²
4
+
𝑎²
4
+
𝑎²
4
= √
3𝑎²
4
=
√3𝑎
2
 
|𝑎2| = √
𝑎²
4
+
𝑎²
4
+
𝑎²
4
= √
3𝑎²
4
=
√3𝑎
2
 
Calculando 𝑎1𝑥𝑎2𝑥 + 𝑎1𝑦𝑎2𝑦 + 𝑎1𝑧𝑎2𝑧: 
𝑎1𝑥𝑎2𝑥 + 𝑎1𝑦𝑎2𝑦 + 𝑎1𝑧𝑎2𝑧 = 
𝑎
2
× (−
𝑎
2
) +
𝑎
2
×
𝑎
2
+ (−
𝑎
2
) ×
𝑎
2
 
𝑎1𝑥𝑎2𝑥 + 𝑎1𝑦𝑎2𝑦 + 𝑎1𝑧𝑎2𝑧 = −
𝑎²
4
 
Portanto, 
𝑎1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑎2⃗⃗⃗⃗ = −
𝑎²
4
 
Substituindo: 
−
𝑎²
4
= 
√3𝑎
2
×
√3𝑎
2
× cos 𝜃 
−
1
4
=
3
4
cos 𝜃 
−
1
3
= cos 𝜃 
𝜃 = cos−1 (−
1
3
) 
𝜃 ≅ 109°