Uma (Breve) Introdução à Geometria Plana -- Primeira Edição

UMA UMA (BREVE)(BREVE) 
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
À GEOMETRIAÀ GEOMETRIA
PLANAPLANA
Leonardo Santos
1ª Edição
Uma Introdução (Breve) à Geometria Plana
Leonardo Santos Barbosa
24 de janeiro de 2022
Introdução à Geometria 2
Prefácio
A ideia principal deste material é trazer uma introdução (breve, mas não de-
masiadamente. . . ) à geometria plana, mas não só comentar as ideias intuitivas,
os princípios, os postulados, teoremas, etc. como também trazer uma noção a
mais ampla possível do início do estudo da geometria. Assunto este que, por
muitas vezes, até por uma questão da logística dos livros didáticos, do tempo
disponível em sala de aula para ministrar o assunto e do valor comercial agre-
gado a uma coletânea de livros, torna-se inviável o aprofundar-se nele e discutir
mais sobre o tema.
Assim, eu quis falar não apenas do “plano” (já que a geometria é plana. . . !)
mas abordar alguns tópicos que envolvem relações com o espaço, justamente
para justificar o “breve” no título do material entre parenteses.
O fato é que há mais do que na maioria dos livros. Não porque este mate-
rial é melhor, mas justamente porque a ideia é dar uma introdução, mas já
preparar o terreno para o estudo de tópicos relacionados à geometria espacial,
por exemplo.
Daí, busquei várias referências de livros conhecidos de muitos alunos e pro-
fessores tais como o famoso “livro do Morgado” (que nem é só dele! Veja [3].) e
o tão difundido “Iezzi” (que ele nem escreveu, mas cuja coleção ficou conhecida
com o seu nome. . . ; veja [1] e [2].) entre outros, tentando sintetizar ao máximo
o conteúdo disponível nesses livros em uma espécie de compêndio, mas acres-
centando observações que considero relevantes para o aprendizado.
Portanto, não espere um livro com uma lógica matemática pesada e formal,
mas um material que procura ter uma linguagem leve e acessível, porém sem
perder a abordagem matemática que o assunto merece. Este é um assunto que,
na maioria dos livros, ou não aparece ou aparece dentro e/ou misturado com
outros não havendo, por consequência, exercćios específicos. Procurei então
preencher este espaço.
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Introdução à Geometria ii
Não quis trazer um amontoado de postulados, por assim dizer; antes, trazer um
texto que dá autonomia ao aluno pra estudar o assunto e se aprofundar com
outros materiais se quiser e que, ao mesmo tempo, dê ao professor algo que
aborda os principais conceitos relevantes ao estudo inicial da geometria plana
com uma quantidade razoável de exemplos e exercćios simples.
Finalizando, espero que você consiga alcançar seus objetivos (seja você um
aluno ou um professor) e, caso tenha alguma sugestão (qualquer que seja) que
ache acrescentar conteúdo a este material, fique a vontade para enviar pra mim
pelo e-mail leonardosantos.inf@gmail.com.
Um grande abraço e bons estudos.
Leonardo Santos
Sobre o Autor
Leonardo Santos é engenheiro eletrônico e de computação formado pela Uni-
versidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), atuando como professor de mate-
mática e física em diversos cursos preparatórios, tanto pré-vestibulares quanto
pré-militares no Rio de Janeiro.
É também fundador e administrador do site de conteúdo de matemática e
física Curso Mentor (www.cursomentor.com), do canal Mentor no YouTube e
também do perfil do Instagram (@mentorblog_oficial).
Triatleta amador desde 2017.
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Introdução à Geometria iv
Como Usar Este Livro
O material está dividido de maneira que se tenha as noções intuitivas e alguns
postulados e, sempre que se faz necessário, um postulado ou conceito novo é
apresentado.
Depois que os principais elementos usados no material são explicitados, temos
as interações (posições relativas) entre esses elementos primitivos, trazendo
sempre que possível alguma observação.
Como se trata de um material envolvendo muitos conceitos iniciais há pou-
cos exemplos resolvidos, no entanto, ao final procurei deixar uma coletânea de
alguns exercícios reunidos de minhas notas de aula e outras fontes que envol-
vem esses conceitos, postulados, ideias primitivas, etc. para que se possa fazer
exercícios o suficiente para apreender, aprender e abordar todo o conteúdo.
Antes de partir para os exercícios, temos um resumo do que foi apresentado.
Após os exercícios, há o gabarito dos mesmos.
Como já dissemos anteriormente a ideia desse material é não só exercitar a
parte mais inicial e intuitiva da geometria plana, já que não há muito mate-
rial (eu, pelo menos, desconheço. . . ) que coloca este conteúdo disponível por
aí, mas também, é servir como uma espécie de apostila para complementar os
livros que não possuam muitos exercícios sobre esse assunto especificamente
e talvez principalmente, exercitar a análise criteriosa de um assunto que vai
formar a base para todo o estudo da geometria.
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Introdução à Geometria vi
Sumário
1 Introdução à Geometria 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Noções Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Postulados ou Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Posições Relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Gabarito 29
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Introdução à Geometria viii
Capítulo 1
Introdução à Geometria
1.1 Introdução
Neste material abordaremos os principais tópicos necessários ao início do estudo
da geometria euclideana (ou euclidiana) básica no plano. Isto é, procuparemo-
nos com apenas figuras contidas em um único plano1.
1.2 Noções Primitivas
São noções adotadas previamente sem definição ou demonstração. Para nós,
três serão as noções primitivas: o ponto, a reta e o plano.
A partir destes “entes” primitivos poderemos definir outros elementos impor-
tantes no estudo da geometria.
Vemos que, mesmo que estes elementos não possuam uma definição eles po-
derão ser associados à figuras do cotidiano, de modo que possamos ter uma
visualização do que representam.
1.2.1 Representação de Ponto, Reta e Plano
Para entender a linguagem de forma clara e precisa, precisamos definir como
representaremos estes entes geométricos primitivos. Em geral, representamos
algebricamente como segue:
• Ponto: letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, . . .
1Na realidade o próprio conceito de “plano” ainda nem foi definido, mas já temos uma
noção intuitiva!
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Introdução à Geometria 2
• Reta: letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, . . .
• Plano: letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, γ, . . .
Geometricamente (ou graficamente) representamos os três conceitos como mos-
tram as figuras 1.1, 1.2 e 1.3 a seguir.
A
B
C
Figura 1.1: Três pontos A, B e C representados geometricamente. Os pontos
não possuem dimensões.
Perceba que os pontos da geometria, na verdade, assemelham-se a pontos no
sentido cotidiano comum, como o próprio ponto final desta frase. Assim, é
usual, no início do estudo da geometria nas séries iniciais escolares fazermos
associações do tipo grãos de areia ou estrelas no céu.
Como os pontos não possuem dimensão a ssociação a ser feita dependerá do
contexto. Por exemplo, as estrelas no céu podem se assemelhar a pontos por
estarem distantes da Terra, mas uma observação mais próxima já não permiti-
ria isso.
Exemplo: grãos de arroz, “pontos” feitos com lápis no papel, pequenas pin-
tas na pele são alguns exemplos de representações de pontos.
r
Figura 1.2: Uma reta r representada geometricamente. A reta não possui
largura (nem espessura) e seu comprimento é infinito ao longo de sua direção.
Do mesmo modo que fizemos com os pontos, as retas também possuem repre-
sentação no “mundo real”. Podemos imaginar a reta como uma estrada longa
sem curvas ou mesmo uma linha de transmissão de alta tensão que se estende
por vários quilômetros.
Obviamente nenhum destes elementos é infinito, mas para efeitos