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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Luiz Eurico Junqueira Coli
Universidade Federal de Lavras - UFLA
Fundação de Apoio ao Ensino, Pesquisa e Extensão - FAEPE
Lavras - MG
Parceria
Universidade Federal de Lavras - UFLA
Fundação de Apoio ao Ensino, Pesquisa e Extensão - FAEPE
Reitor
Prof. Antônio Nazareno Guimarães Mendes
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Diretor da Editora
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Coordenador do Curso
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Presidente do Conselho Deliberativo
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Editoração
Centro de Editoração/FAEPE
Impressão
Gráfica Universitária/UFLA
Ficha Catalográfica Preparada pela Divisão de Processos Técnicos
 da Biblioteca Central da UFLA
 Coli, Luiz Eurico Junqueira
 Matemática financeira / Luiz Eurico Junqueira Coli.
 Lavras : UFLA/FAEPE, 2004.
 213p. : il. – Curso de Pós-graduação “Lato Sensu” (Especialização) a
 Distância – Controladoria e Finanças Empresariais.
 Bibliografia.
 1. Matemática financeira. 2. CáIculo. 3. Capitalização. 4. Renda. 5. Correção
monetária. I. Universidade Federal de Lavras. II. Fundação de Apoio ao Ensino,
Pesquisa e Extensão. III. Título.
CDD-658.15
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, por
qualquer meio, sem a prévia autorização.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ....................................................................................................................5
1. REVISÃO DE FUNÇÕES ................................................................................................7
1.1. Considerações iniciais ..................................................................................................7
1.2. Relação e função de uma variável................................................................................7
1.2.1. Noção intuitiva ...........................................................................................................7
1.2.2. Relação de uma variável ...........................................................................................8
1.2.3. Função de uma variável...........................................................................................10
1.3. Principais funções elementares ..................................................................................18
1.3.1. Função polinomial....................................................................................................18
1.4. Considerações adicionais sobre funções....................................................................36
1.4.1. Função definida por várias sentenças .....................................................................36
1.4.2. Conceito intuitivo de continuidade em funções........................................................37
1.4.3. Conceito de funções crescentes e decrescentes.....................................................37
1.5. Aplicações de função no campo da Administração ....................................................39
1.5.1 Aplicações da função linear ......................................................................................39
1.5.2 Aplicações da função quadrática ..............................................................................47
1.5.3 Aplicações da função cúbica ....................................................................................50
1.6. Estudo de casos (propostos) ......................................................................................51
1.7. Bibliografia consultada................................................................................................54
2. TÉCNICAS DE PREVISÃO ...........................................................................................56
2.1. Preâmbulo ..................................................................................................................56
2.2. Considerações iniciais ................................................................................................56
2.3. Classificação...............................................................................................................56
2.3.1. Métodos qualitativos de previsão.............................................................................57
2.3.2. Métodos quantitativos de previsão...........................................................................58
2.4. Bibliografia consultada................................................................................................79
3. MATEMÁTICA FINANCEIRA........................................................................................80
3.1. Conceitos básicos.......................................................................................................80
3.1.1. Noção intuitiva de juro .............................................................................................80
3.1.2. Condição temporal do capital ..................................................................................81
3.1.3. Alguns conceitos importantes ..................................................................................83
3.1.4. Conceito de fluxo de caixa.......................................................................................84
Bibliografia Específica: ......................................................................................................86
3.2. Capitalização Simples.................................................................................................88
3.2.1. Juro simples.............................................................................................................88
3.2.2. Desconto simples.....................................................................................................93
3.2.3. Casos resolvidos......................................................................................................99
3.2.4. Casos propostos....................................................................................................103
3.2.5. Bibliografia Específica............................................................................................105
3.3. Capitalização Composta ...........................................................................................107
3.3.1. Introdução ..........................................................................................................107
3.3.2. Diferença entre os regimes de capitalização composta e simples.........................108
3.3.3. Montante ou valor futuro ........................................................................................111
3.3.4. Juro total ................................................................................................................112
3.3.5. Estudo de casos ....................................................................................................113
3.3.6. Taxas equivalentes................................................................................................115
3.3.7. Taxas efetiva e nominal .........................................................................................117
3.3.8. Equivalência de capitais ........................................................................................124
3.9. Bibliografia Consultada .............................................................................................129
3.4. Anuidades ou Rendas certas....................................................................................133
3.4.1. Introdução..............................................................................................................133
3.4.2. Definições ..............................................................................................................134
3.4.3. Classificação dasrendas certas ............................................................................134
3.4.4. Modelo básico de rendas.......................................................................................135
3.4.5. Anuidades com diferimento ou carência ................................................................148
3.4.6. Rendas perpétuas..................................................................................................153
3.4.7. Estudo de casos ....................................................................................................154
3.4.8. Bibliografia consultada...........................................................................................165
3.5. Amortização de empréstimos ...................................................................................172
3.5.1. Introdução..............................................................................................................172
3.5.2. Sistema de amortização constante – SAC.............................................................175
3.5.3. Sistema de Amortização Francês – SF..................................................................182
3.5.4. Sistema ou Tabela Price........................................................................................189
3.5.5. Estudo de casos propostos....................................................................................191
3.6. Correção Monetária ..................................................................................................194
3.6.1. Introdução..............................................................................................................194
3.6.2. Índices de inflação .................................................................................................196
3.6.3. Correção monetária ...............................................................................................198
3.6.4. Taxa de juros nominal e real..................................................................................199
3.6.5. Operações financeiras indexadas..........................................................................201
3.6.6. Estudo de casos ....................................................................................................202
3.6.7. Bibliografia consultada...........................................................................................210
INTRODUÇÃO
Neste curso de Fundamentos da Matemática Financeira que ora iniciamos, faremos
uma revisão de funções (Unidade I). Em seguida, abordaremos de forma introdutória as
técnicas de previsão (Unidade II); e, por fim, a matemática financeira propriamente dita
(Unidade III). Deve estar se perguntando o motivo de se ter Matemática Financeira como
conteúdo de uma disciplina de curso de pós-graduação. O pensamento foi que talvez você
esteja distante desses conceitos, pelo não uso em sua vida cotidiana.
Para você a questão provavelmente ainda permanece. Para que estudar funções de
novo? Essa pergunta pode estar fazendo. Tanto técnicas de previsão quanto a matemática
financeira fazem uso dessa ferramenta do campo matemático. Deve recordar que o
departamento financeiro de uma organização pode ser estruturado em Tesouraria e
Controladoria. No caso, nos interessa a segunda área. Uma das atribuições da controladoria
é o planejamento e controle orçamentário. Agora, vamos diretamente ao ponto, sem maiores
rodeios. Uma das aplicações de modelos matemáticos em Finanças é em projeções de
valores futuros. Vamos tentar esmiuçar isso! Por exemplo, em orçamentação, é necessário
estimar as vendas do(s) período(s) seguinte(s) ao atual. Dependendo da situação, podemos
recorrer a técnicas estatísticas (que serão abordadas futuramente) para projetar a demanda
futura. Nesse caso, é necessário estar dominando o conceito e as aplicações de funções
para a compreensão dos processos matemáticos exigidos por essas técnicas. A segunda
unidade – técnicas de previsão – se insere neste contexto. O mesmo ocorre na equação para
o cálculo do montante (valor futuro) de um capital investido, por exemplo.
E daí?!
 EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira6
E por que estudar matemática financeira (unidade três)? Outra atribuição da área de
controladoria diz respeito a orçamento de capital. Várias técnicas de avaliação de projetos de
investimento tomam por base a condição temporal do capital. Talvez esteja se indagando: O
que é isso?! Trocando em miúdos, essa condição diz que o valor de uma unidade monetária
hoje é diverso daquele de uma daqui a um mês e muito mais daqui a um ano. Ou seja, uma
unidade monetária hoje vale mais do que uma daqui a um ano. Utilizando o princípio de
equivalência, podemos determinar o valor atual de uma unidade monetária atribuída para
daqui um ano. A base desse princípio está na matemática financeira. Não se preocupe se
isso tudo estiver meio nebuloso para você. Veremos esses conceitos em oportunidades
futuras. Lá, esperamos que essas dúvidas sejam dissipadas.
Na expectativa que você tenha dado crédito a esses argumentos, só peço um pouco
mais de paciência. Também, solicito que não entenda como falta de respeito ou pretensa
intimidade, a liberdade que tomei por tratá-lo por você. O objetivo é elaborar um texto mais
descontraído e amigável para um tema considerado um tanto quanto áspero para alguns
leitores. Então, vamos em frente!
1
REVISÃO DE FUNÇÕES
1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Nessa unidade, serão abordados os temas relação e função de uma variável, alguns
tipos de funções e aplicações no campo da Administração e da Economia.
1.2. RELAÇÃO E FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
1.2.1. Noção intuitiva
Seja o seguinte conjunto de símbolos, por facilidade, formados pelas letras gregas
minúsculas alfa, delta, pi e sigma:
Uma pergunta, como quantos símbolos estão presentes nesse conjunto, seria
facilmente respondida pela observação e contagem dos elementos. Agora, se o número de
símbolos fosse elevado o procedimento de contagem pela simples observação poderia levar
a erros de valores. Uma alternativa de solução seria a enumeração dos elementos. Ou seja,
relacionar cada símbolo a um número e assim calcular o número de elementos componentes
do conjunto. No caso, ficaria:
αααα
δδδδ
ππππ
σσσσ
αααα →→→→ 1
δδδδ →→→→ 2
ππππ →→→→ 3
σσσσ →→→→ 4
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira8
Por esse processo, pode-se notar que o número de símbolos componentes do conjunto
é 4. Colocando em termos de dois conjuntos, resultaria:
Por esse procedimento, foi estabelecido uma maneira em que se relaciona cada
elemento do conjunto S (símbolo) com cada elemento do conjunto N (número). Por exemplo,
o símbolo ππππ está relacionado com o numeral 3.
1.2.2. Relação de uma variável
1.2.2.1. Noção intuitiva através de exemplos
Sejam os seguintes casos:
1) Num sorteio de jogo da Loto, foi retirado o seguinte subconjunto de cinco números: A
= {08, 21, 42, 72, 87}. Podemos ressaltar que o conjunto universo, ou seja, todos os
elementos passíveis de serem selecionados são: U = {01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08,
09, 10, 11, ..., 99, 00}. Verificar a correspondência entre os elementos do
subconjunto sorteado e do conjunto universo.
2) Uma pequena indústria de implementos agrícolas tem capacidade para produzir até
oito picadeiras à óleo por mês. Uma loja tem a opção de compra com a indústria de
até 5 picadeiras por mês. O preço unitário do equipamento é de R$1.000,00. Verificar
o comportamento da receita da indústria em relação à loja.
Análise dos casos:
1) O sorteio é aleatório, ou seja, os números são escolhidos ao acaso. Portanto, os
elementos do subconjunto selecionado não possuem nenhuma regra de associação
com os do conjunto universo. Constitui esse caso, num contra-exemplo de relação.
2) se constituir um conjunto formado pelos números de picadeiras vendidas. Outro
conjunto pode ser composto pelo faturamento da indústria com a venda de
picadeiras. Podemos verificar facilmente que existe um tipo de correspondência que
associa oselementos do primeiro (A) e do segundo (B) conjunto. Representando a
situação pelo Diagrama de Venn, temos:
αααα
δδδδ
ππππ
σσσσ
1
2
3
4
Revisão de Funções 9
Onde:
X → número de picadeiras à óleo vendidas no mês;
Y → receita obtida pela indústria devido à venda das picadeiras;
A → subconjunto formado pelo número de picadeiras à óleo que podem ser compradas
mensalmente pela loja junto à indústria;
B → subconjunto constituído pelo faturamento da indústria resultante da venda das
picadeiras à
óleo para a loja.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5};
B = {0,00, 1.000,00, 2.000,00, 3.000,00, 4.000,00, 5.000,00}.
1.2.2.2. Definições e notações
1. Relação
A relação de um conjunto X em um outro Y é uma correspondência que associa a cada
elemento x ∈ X a um elemento y ∈ Y. No exemplo da indústria de picadeiras à óleo, a regra
de associação da receita mensal obtida na venda para a loja é: y = 1.000,00x.
2. Domínio
Domínio de uma relação é constituído por todos os valores que a variável x possa
assumir. No exemplo das picadeiras à óleo, se for definida com a relação à venda da
indústria para a loja, temos como domínio: D = A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. O domínio da relação é o
subconjunto A, apesar da indústria produzir oito picadeiras por mês.
3. Contradomínio
Contradomínio de uma relação é constituído por todos os valores que a variável y pode
assumir. No exemplo das picadeiras à óleo, a relação de faturamento mensal que pode ser
obtido pela vendas das picadeiras será: CD = Y = {0,00, 1.000,00, 2.000,00, 3.000,00,
4.000,00, 5.000,00, 6.000,00, 7.000,00, 8.000,00}. O contradomínio da relação é o todo o
U
0 •
1 •
2 •
3 •
4 •
5 •
U
6 •
7 •
8 •
•••• 0,00
•••• 1.000,00
•••• 2.000,00
•••• 3.000,00
•••• 4.000,00
• 5.000,00
•••• 6.000,00
•••• 7.000,00
•••• 8.000,00
y = 1.000,00××××x
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira10
conjunto Y, apesar da loja ter direito de adquirir até cinco picadeiras, da produção mensal da
indústria.
4. Imagem
É um subconjunto do contradomínio. É constituído apenas pelos elementos que
guardam uma correspondência com o subconjunto domínio. No exemplo das picadeiras à
óleo, definida a relação de venda da indústria para a loja, tem-se como imagem: Im = B =
{0,00, 1.000,00, 2.000,00, 3.000,00, 4.000,00, 5.000,00}. A imagem da relação é o
subconjunto B, apesar da indústria poder comercializar oito picadeiras por mês.
5. Representação
Seja uma relação qualquer r que associa os elementos x ∈ X aos elemento y ∈ Y.
Pode-se apresentar o gráfico desta relação do modo que se segue: Gr = {(x, y) / x ∈ X e y ∈
Y}.
1.2.2.3. Relação através de produto cartesiano
Sejam os conjunto A e B, sendo que: A = {1, 3}; e B = {2, 4, 6, 8}. O produto cartesiano
será: A×B = {(x, y) / x ∈ X e y ∈ Y}. Logo, fica:
A×B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}.
Podemos definir a relação: R1 = {(x, y) ∈ A×B / y = x + 3}. Então, R1 = {(1, 4), (3, 6)}. Ou
ainda: R2 = {(x, y) ∈ A×B / y = 2x + 2}. Então, R2 = {(1, 4), (3, 8)}.
1.2.3. Função de uma variável
1.2.3.1. Noção intuitiva através de um exemplo
Imagine a situação de um grupo de sete amigos que decidem passar o final de semana
numa casa de campo. A casa possui cinco quartos. As pessoas irão em veículos diferentes e
terão ordem de chegada à casa distinta. O primeiro automóvel chegou com três pessoas.
Esses se alojaram em quartos individualmente. Construindo dois conjuntos, sendo o conjunto
A de pessoas e o B de quartos. O conjunto A é formado pelos elementos: A = {a, b, c, d, e, f,
g}; enquanto B é constituído por: B = {1, 2, 3, 4, 5}. A situação presente será:
1a Situação:
Um segundo automóvel chegou com mais dois colegas. Cada um se acomoda nos dois
quartos restantes. Então a atual situação será:
a •
b •
c •
A B
•••• 1
•••• 2
•••• 3
•••• 4
•••• 5
Revisão de Funções 11
2a Situação:
O terceiro veículo chega à casa com os dois amigos que faltavam. Por sorteio, cada um
será alojado com outro que já estava acomodado em um quarto. A nova situação ficará:
3a Situação:
1.2.3.2. Definição e notação
1. Conceito e definição
Uma função é uma relação particular. Pode ser definida como uma correspondência
pela qual se faz associar um e somente um valor da variável y para cada valor da variável x.
A variável x é dita independente, enquanto y é a variável dependente. Para a relação ser
considerada como uma função, tem que obedecer as seguintes condições:
• todos os elementos do domínio apresentam correspondente no contradomínio;
• cada elemento do domínio tem apenas um único elemento associado no contradomínio.
O caso da casa de campo apresentado no tópico anterior pode ser um exemplo de
função, desde que se estabeleça uma lei de correspondência entre o grupo de amigos e a
ocupação dos quartos. Isso decorre do fato que as duas premissas básicas são respeitadas.
A condição (i) é observada, pois todos os amigos são acomodados nos quartos. Também a
condição (ii) é respeitada, isto é, cada pessoa ficará alojado em um único quarto. Pode
ocorrer mais de uma pessoa ficar acomodada em um quarto, mas não o oposto.
a •
b •
c •
d •
e •
A B
•••• 1
•••• 2
•••• 3
•••• 4
•••• 5
a •
b •
c •
d •
e •
f •
g •
A B
•••• 1
•••• 2
•••• 3
•••• 4
•••• 5
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira12
A análise dos diagramas a seguir permite verificar quais representam funções. Ou seja:
(01) (02)
(03) (04)
Conclusões:
(01) → a relação entre A e B é uma função, pois as condições (i) e (ii) são verificadas;
(02) → a relação entre A e B é uma função, pois as condições (i) e (ii) são verificadas;
(03) → a relação entre A e B não é uma função, pois a condição (ii) é verificada, mas a
condição (i) não é respeitada;
(04) →a relação entre A e B não é uma função, pois a condição (i) é verificada, mas a
condição (ii) não é respeitada.
Na situação do diagrama (01), observa-se que:
a) domínio → D = {1, 2, 3, 4};
b) contradomínio → CD = {a, b, c, d, e};
c) imagem → Im = {a, b, c, d}.
2. Notação
A lei de correspondência que associa todo elemento x ∈ X a um único elemento y ∈ Y,
pode ser expressa por uma sentença matemática da forma: y = f(x) (lê-se: f de x). Para
indicar uma função f de X em Y, que obedece à regra de associação y = f(x), podemos usar a
notação:
f: X → Y; ou x → f(x).
1 •
2 •
3 •
4 •
A B
•••• a
•••• b
•••• c
•••• d
•••• e
A B
1 •
2 •
3 •
4 •
5 •
•••• a
•••• b
•••• c
•••• d
1 •
2 •
3 •
4 •
5 •
A B
•••• a
•••• b
•••• c
•••• d
A B
1 •
2 •
3 •
4 •
•••• a
•••• b
•••• c
•••• d
Revisão de Funções 13
Com essa notação, o conjunto de pares que definem a função f pode ser registrado
como: {x, f(x)}, onde f(x) = y.
3. Exemplo:
Uma pessoa vai à padaria para comprar pão e leite. Está decidido a adquirir dois litros
de leite ao preço unitário de R$0,95, mas ainda não resolveu quantos pães vai comprar. Não
sabe se deixa para adquiri-los amanhã ou já leva até 4 pães para o dia seguinte. Construir a
função f que associe sua despesa na padaria à quantidade de pães comprados ao preço de
R$0,20 cada unidade.
Solução:
Sejam os conjuntos X e Y:
X → quantidade de pães comprados;
Y → despesa na padaria.
• despesa com leite → 2×0,95 = R$1,90;
• despesa com pão → x×0,20 = 0,20x;
• despesa total na padaria → y = f(x) ∴ y = f(x) = 1,90 + 0,20x.
a) Determinação do domínio, contradomínio e imagem:
Dom(f) = {0, 1, 2, 3, 4};
CD = Im(f) = {1,10, 1,20, 1,30, 1,40, 1,50}.
b) Demonstração que f é uma função:
• todos os elementos do domínio apresentam correspondente no contradomínio;
• cada elemento do domínio está associado a apenas um único elemento do
contradomínio.
c) Pares da função f:
A = {x, y) / x ∈ X e y ∈ Y e y = f(x)};
A = {(0, 1,10), (1, 1,20), (2, 1,30), (3, 1,40), (4, 1,50)}.
0 •
1 •
2 •
3 •
4 •
X Y
•••• 1,90
•••• 2,10
•••• 2,30
•••• 2,50
•••• 2,70
y = f(x)
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira14
d) Representação no plano cartesiano:
1.2.3.3. Operações com funções
Sejam as seguintes funções f e g, definidas em um mesmo conjunto D, contido no
conjunto dos números reais �.
1. Igualdade
Sejam� as funçõesf e g, definidas para os domínios D1 e D2, respectivamente. A
igualdade entre f e g ocorrerá quando D1 = D2 = D, e se verificar f(x) = g(x), para todo x ∈ D.
Exemplo
Sejam�as funções f(x) = x2 definida em [3, 9] e g(x) = x2 definida em [4, 10]. Verifique se
existe igualdade entre as funções f e g.
Resposta:
Não há igualdade entre as funções, pois os domínios estão definidos em intervalos
distintos.
2. Soma
Sejam�as funções f e g, definidas para o domínio D. A soma das funções f e g será:
s(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ D.
0,00
1,90
2,10
1
(0, 1,90)
(1, 2,10)
2 3 40
2,30
2,50
2,70
(2, 2,30)
(3, 2,50)
(4, 2,70)
y = f(x)
x
Revisão de Funções 15
Exemplo
Sejam�as funções f(x) = 3x2 e g(x) = 2x – 4 definidas em �. A soma de f e g será:
s(x) = f(x) + g(x) = 3x2 + 2x – 4.
3. Produto
Sejam�as funções f e g, definidas para o domínio D. O produto das funções f e g será:
p(x) = f(x)×g(x), para todo x ∈ D.
Exemplo:
Sejam as funções f(x) = 3x2 e g(x) = 2x – 4 definidas em �. O produto de f por g será:
p(x) = f(x)×g(x) = (3x2)×(2x – 4) ∴ p(x) = 6x3 – 12x2.
4. Quociente
Sejam as funções f e g, definidas para o domínio D. O quociente das funções f e g será:
p(x) = f(x)/g(x), sendo g(x) ≠ 0, para todo x ∈ D.
Exemplo:
Sejam as funções f(x) = 3x2 e g(x) = 2x – 4 definidas em {x ∈ R / x ≠ 2}. O quociente de f por
g será:
q x
f x
g x
q x
x
x
( )
( )
( )
( )= ∴ =
−
3
2 4
2
.
1.2.3.4. Exercícios propostos
1. Verificar se as relações dadas podem ser definidas como funções:
a) y = 2x; c) y = x2; e) y = 5x4; g) y = 2x;
b) y = 3x – 4; d) y = x2 + 5x – 7; f) y x= ; h) y2 = –x2 + 9;
2. Determinar o domínio das seguintes funções:
a) y = f(x) = x ;
b) y = f(x) = 2x-5 ;
c) y = f(x) = x2;
d) y = f(x) = 2x2 + 5x - 7;
e) y f x x= =( ) ;
f) y f x x= = −( ) 2 9 ;
g) y f x x= = −( ) 4 2 .
3. Determinar o domínio e a imagem da seguinte função: y = f(x) = 2x.
4. Construir um esboço do gráfico da função y = f(x) = 3x – 5, no intervalo de [0, 3].
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira16
1.2.3.5. Funções injetiva, sobrejetiva, bijetiva e inversa
1. Função injetiva
Noção intuitiva:
Uma função é dita injetiva quando para cada elemento da imagem, tem apenas um
correspondente no domínio da função. No exemplo do grupo de amigos que vão passar o fim
de semana em casa de campo (tópico 1.2.3.1), a primeira situação é o caso de uma função
injetiva. Pois em cada quarto ocupado (1, 2 e 3), há apenas uma pessoa (a, b e c,
respectivamente).
Definição:
Uma função f é chamada de injetiva, se e somente se, para todo x1, x2 ∈ Dom(f) com x1
≠ x2, tem-se: f(x1) ≠ f(x2). Somente no caso de x1 = x2, ocorrerá a situação de f(x1) = f(x2).
Digrama:
Exemplo: f(x) = 2x + 3; verifica-se que: ∀x1 ≠ x2 � f(x1) ≠ f(x2).
Contra exemplo: f(x) = 2x2 + 3; para ∀x1 = –x2 � x1 ≠ x2 � f(x1) = f(x2); ou seja:
f(2) = 2×(2)2 + 3 = 2×4 + 3 ∴ f(2) = 11;
f(–2) = 2×(–2)2 + 3 = 2×4 + 3 ∴ f(–2) = 11.
2. Função sobrejetiva
Noção intuitiva:
Uma função é sobrejetiva quando todo elemento do contradomínio tem correspondente
no domínio. No exemplo do grupo de amigos que vão passar o fim de semana em casa de
campo, a terceira situação é o caso de uma função sobrejetiva. Todos quartos (1, 2, 3, 4 e 5)
são ocupados.
Definição:
Uma função f é dita sobrejetiva, se o conjunto imagem possuir todos os elementos do
contradomínio da função. Em outras palavras: Im(f) = CD(f).
Digrama:
•
•
•
••••
••••
••••
••••
•
•
•
•
••••
••••
••••
Revisão de Funções 17
Exemplo: f(x) = 2x2; para Dom(f) = {x ∈ � / x > 0} � Im(f) = CD(f).
Contra exemplo: f(x) = 2x2; para Dom(f) = � � Im(f) ≠ CD(f).
3. Função bijetiva
Noção intuitiva:
Uma função é bijetiva quando for injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. No exemplo
do grupo de amigos que vão passar o fim de semana em casa de campo, a segunda
situação é o caso de uma função bijetiva. Pois todos quartos (1, 2, 3, 4 e 5) são ocupados e
por apenas uma pessoa.
Definição:
Uma função f é chamada de bijetiva, se satisfazer simultaneamente as condições:
i) todos os elementos da imagem da função tiverem apenas um correspondente no
domínio;
ii) todos elementos do contradomínio pertencerem ao conjunto imagem da função.
Digrama:
Exemplo: f(x) = 2x – 8; verifica-se que: ∀x1 ≠ x2 � f(x1) ≠ f(x2) � função injetiva;
para CD(f) = � → Im(f) = CD(f) � função sobrejetiva.
Contra exemplo: f(x) = 2x2 – 8; para ∀x1 = –x2 � x1 ≠ x2 � f(x1) = f(x2) � não é injetiva;
para CD(f) = � → Im(f) = [2, +∞) � Im(f) ≠ CD(f) � não é sobrejetiva.
4. Função inversa
Definição:
Uma função é inversível, se e somente se, para todo y ∈ CD(f) tenha apenas um único
elemento correspondente x ∈ Dom(f), tal que: y = f(x). Em outras palavras, uma função é
inversível se for bijetiva.
Notação:
y = f –1(x).
Diagrama:
•
•
•
•
••••
••••
••••
••••
x • •••• y
f
f –1
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira18
y = f(x) → x = f –1(y).
Exemplos:
y = f(x) = x +2 ∴ x = y – 2 ∴ y = f –1(x) = x – 2;
y f x x= = −( ) 2 4 ; para Dom(f) = {x ∈ � / x > 0} ∴ x y= + 4 ∴ y f x x= = +−1 4( ) .
Contra exemplo:
y = f(x) = x2 – 3x – 4; justificativa → f não é uma função injetiva.
1.3. PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES
Algumas funções são importantes para o desenvolvimento de métodos matemáticos.
Assim sendo, é interessante abordar, mesmo que de modo superficial, esses tipos de função.
A metodologia que será adotada pretende iniciar os estudos apresentando casos particulares
de natureza prática. Numa segunda etapa, partimos para a generalização dos casos.
As funções circulares (seno, coseno, tangente, secante, etc) são consideradas
elementares, com bastante uso na área da Física. Porém, não possuem aplicação imediata
no campo das finanças. Por essa razão, não serão abordadas neste texto.
1.3.1. Função polinomial
A função polinomial é toda aquela que obedece a seguinte forma:
y = f(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ... + a1x1 + a0, sendo:
an, an–1, an–2, ..., a1, a0 → números reais constantes;
an ≠ 0; e
n → número inteiro não negativo.
A função assim definida é uma função polinomial de grau n.
Exemplos:
Função a0 a1 a2 a3 a4 a5 Grau
f(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 19 +19 –7 +5 +2 --- --- n = 3
f(x) = x5 – 4x3 + 2x + 20 +20 +2 0 –4 0 +1 n = 5
f(x) = –2x4 – x3 + 12x – 9 –9 +12 0 –1 –2 --- n = 4
f(x) = –5x5 0 0 0 0 0 –5 n = 5
Existem alguns casos especiais de funções polinomiais. Essas situações serão
estudadas em separado, a seguir.
1.3.1.1. Função constante
A função constante é uma polinomial de grau zero (n = 0). Portanto, a equação da
função constante se reduz a forma: y = f(x) = a0.
Revisão de Funções 19
Veja os seguintes casos:
1o Caso:
Uma pequena loja opera exclusivamente com roupa de banho. Comercializa vários
modelos, porém as peças são vendidas por peso, ao preço de R$30,00/kg. A loja mantém
um nível de estoque mensal de 200 kg. Em caso de aquecimento de mercado, a empresa
pode recorrer ao fabricantes e atacadistas, conseguindo um volume máximo adicional de 200
kg durante o mês em curso. Considerando a hipótese que a loja comercializa apenas valores
inteiros de peso, pede-se:
a) definir uma função que associe o preço por quilograma ao peso de peças vendidas no
mês;
b) determinar o domínio e a imagem da função assim definida;
c) esboçar o gráfico desta função.
Solução:
X → volume em peso de peças comercializadas;
Y → preço do quilograma de roupa de banho.
a) O preço do quilograma de roupa de banho permanece constante em R$30,00,
independente do volume vendido no mês. Então, a função f preço por quilograma de roupa
de banho é constante. A regra de associação é a seguinte: y = f(x) = 30.
b) A empresa possui um estoque de 200 kg e ainda pode conseguir obter, se necessário,
até 200 kg extra. Portanto, o volume vendido no mês pode variar de zero até 400 kg. Já o
quilograma de roupa de banho é vendido unicamente por R$30,00/kg. Logo, fica:
Dom(f) = {0, 1, 2, ..., 400}; e Im(f) = {30}.
c) Os pares ordenados, nesse caso, serão:
X×Y = {(0, 30), (1, 30), (2, 30), ..., (200, 30), ..., (400, 30)}
Representação gráficada função f:
1 2 3 2000
(3, 30)
y = f(x)
x
400
(1, 30) (2, 30)
(0, 30)
(200, 30) (400, 30)
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira20
2o Caso:
O proprietário de uma pequena mercearia observou que a demanda semanal de açúcar
é constante em 90 kg. O empresário constatou que esse fato ocorre mesmo quando o preço
variou de R$0,60 até R$0,90/kg. Nessas circunstâncias, pede-se:
a) definir uma função que associe o preço por quilograma ao peso de açúcar ao volume
demandado por mês;
b) determinar o domínio e a imagem da função assim definida;
c) esboçar o gráfico desta função.
Solução:
X → preço do quilograma de açúcar;
Y → volume em peso demandado semanalmente.
a) O volume comercializado na semana permanece constante em 90 kg, quando o preço
varia de R$0,60 até R$0,90 por quilograma. Então, temos que: y = f(x) = 90.
b) O preço do quilograma de açúcar flutuou de R$0,60 até R$0,90, enquanto o volume
demandado permaneceu constante em 90 kg/semana. Logo, fica:
Dom(f) = {0,60, 0,61, 0,62, ..., 0,90}; e Im(f) = {90}.
c) Os pares ordenados, nesse caso, serão:
X×Y = {(0,60, 90), (0,61, 90), (0,62, 90), ..., (0,80, 90), ..., (0,90, 90)}
Representação gráfica da função f:
Caso geral:
A equação da função constante é da forma geral: y = f(x) = k; onde:
k → número real constante.
0,60 0,62 0,64 0,750
y = f(x)
x
0,90
90
0,61 0,63
Revisão de Funções 21
A representação gráfica para uma função genérica constante f contínua pode ser:
1.3.1.2. Função linear
A função linear é uma polinomial de grau um (n = 1), para quando a0 = 0. Logo, a
equação da função linear se reduz a forma: y = f(x) = a1x. Veja os seguintes casos:
1o Caso:
Retomando o 1o caso apresentado para a função constante, ou seja: uma pequena loja
opera exclusivamente com roupa de banho. Comercializa vários modelos, porém as peças
são vendidas por peso, ao preço de R$30,00/kg. A loja mantém um nível de estoque mensal
de 200 kg. Em caso de aquecimento de mercado, a empresa pode recorrer ao fabricantes e
atacadistas, conseguindo um volume máximo adicional de 200 kg durante o mês em curso.
Considerando a hipótese que a loja comercializa apenas valores inteiros de peso, pede-se:
a) definir uma função que associe a receita mensal à quantidade em peso vendidas no
mês;
b) determinar o domínio e a imagem da função assim definida;
c) esboçar o gráfico desta função.
Solução:
X → quantidade em peso de peças comercializadas;
Y → receita mensal da empresa.
a) A receita mensal da loja depende do volume de roupa de banho vendido no mês a
R$30,00 por quilograma. Então, a função f receita mensal é proporcional ao volume de
vendas. A regra de associação é a seguinte: y = f(x) = 30x.
b) A empresa possui um estoque de 200 kg e ainda pode conseguir obter, se necessário,
até 200 kg extra. Portanto, o volume vendido no mês pode variar de zero até 400 kg. Nesse
caso, a receita pode variar de zero até R$12.000,00. Logo, fica:
Dom(f) = {0, 1, 2, 3, ..., 400}; e Im(f) = {0,00, 30,00, 60,00, 90,00, ..., 12.000,00}.
c) Os pares ordenados, nesse caso, serão:
X×Y = {(0, 0,00), (1, 30,00), (2, 60,00), ..., (200, 6.000,00), ..., (400, 12.000,00)}
– 1 32– 2 0
k
y = f(x)
x
1
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira22
Representação gráfica da função f:
2o Caso:
Um atacadista de café possui um estoque de 18 toneladas do produto. O preço médio
no mercado para a saca de 60 kg é de R$200,00. Pede-se:
a) definir uma função de correspondência entre o faturamento do atacadista e a
quantidade de saca comercializadas;
b) determinar o domínio e a imagem da função assim definida;
c) esboçar o gráfico desta função.
Solução:
X → quantidade de sacas comercializadas;
Y → faturamento do empresário.
Volume estocado → 18×1.000 = 18.000 kg (1 ton. = 1.000 kg).
 Número de sacas em estoque → 
18.000
60
 = 300 sacas de 60 kg cada uma.
a) O faturamento do atacadista depende da quantidade de sacas de 60 kg vendidas ao
preço de R$200,00. Portanto, a equação fica: y = f(x) = 200x.
b) O atacadista possui um estoque de 300 sacas de 60 kg. Portanto, o volume
comercializado no mês pode flutuar de zero até trezentas sacas. Nesse caso, o faturamento
pode variar de zero até R$60.000,00. Logo, fica:
Dom(f) = {0, 1, 2, 3, ..., 300}; e Im(f) = {0,00, 200,00, 400,00, 600,00, ..., 60.000,00}.
c) Os pares ordenados, nesse caso, serão:
X×Y = {(0, 0,00), (1, 200,00), (2, 400,00), ..., (150, 30.000,00), ..., (300, 60.000,00)}.
0,00
30,00
60,00
1
(0, 0,00)
(2, 60,00)
2 3 40
90,00
120,00
(3, 90,00)
(4, 120,00)
y = f(x)
x
(1, 30,00)
Revisão de Funções 23
Representação gráfica da função f:
Caso geral:
A equação da função linear é da forma geral: y = f(x) = kx; onde:
k → número real constante.
Quando ocorrer do valor da constante for igual a um (k = 1), a equação fica: y = f(x) = x.
Nesse caso, a função linear recebe a denominação de função identidade.
A representação gráfica para uma função genérica linear f contínua pode ser:
0,00
200,00
400,00
1
(0, 0,00)
(2, 400,00)
2 3 40
600,00
800,00
(3, 600,00)
(4, 800,00)
y = f(x)
x
(1, 200,00)
– 1 32– 2 0
k >>>> 0
y = f(x) = kx
x
1
k <<<< 0
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira24
1.3.1.3. Função linear afim
A função linear afim é uma polinomial de grau um (n = 1), para quando a0 ≠ 0. Logo, a
equação da função linear afim se reduz a forma: y = f(x) = a1x + a0. Veja os seguintes casos:
1o Caso:
Retomando o 1o Caso apresentado para a função constante, ou seja: uma pequena loja
opera exclusivamente com roupa de banho. Comercializa vários modelos, porém as peças
são vendidas por peso, apresentando um custo médio de comercialização de R$20,00/kg. A
loja tem uma despesa mensal de R$1.000,00, mesmo que não haja vendas (aluguel do
imóvel, salários, honorários, etc). A loja mantém um nível de estoque mensal de 200 kg. Em
caso de aquecimento de mercado, a empresa pode recorrer ao fabricantes e atacadistas,
conseguindo um volume máximo adicional de 200 kg durante o mês em curso. Considerando
a hipótese que a loja comercializa apenas valores inteiros de peso, pede-se:
a) definir uma função que associe a despesa total do mês à quantidade em peso de peças
comercializadas no mês;
b) determinar o domínio e a imagem da função assim definida;
c) esboçar o gráfico desta função.
Solução:
X → quantidade em peso de peças comercializadas;
Y → despesa mensal da empresa.
a) A despesa mensal da loja é dependente do volume de roupa de banho vendido no mês
a um gasto de R$20,00/kg acrescida de uma despesa fixa de R$1.000,00. Portanto, a função
f receita mensal é proporcional ao volume de vendas mais uma constante. A lei de
associação é a seguinte: y = f(x) = 20x + 1.000.
b) A empresa possui um estoque de 200 kg e ainda pode conseguir obter, se necessário,
até 200 kg extra. Então, a quantidade vendida no mês pode variar de zero até 400 kg. Nesse
caso, a despesa total pode variar de R$1.000,00 até R$9.000,00. Logo, temos:
Dom(f) = {0, 1, 2, ..., 400}; e Im(f) = {1.000,00, 1.020,00, 1.040,00, ..., 9.000,00}.
c) Os pares ordenados, nesse caso, serão:
X×Y = {(0, 1.000,00), (1, 1020,00), (2, 1.040,00), ..., (200, 5.000,00), ..., (400, 9.000,00)}
Revisão de Funções 25
Representação gráfica da função f:
Caso geral:
A equação da função linear afim é da forma geral: y = f(x) = ax + b; onde:
a, b → números reais constantes.
A representação gráfica para uma função genérica linear afim f contínua pode ser:
1.3.1.4. Função quadrática
1. Conceituação
A função polinomial da forma y = f(x) = ax2 + bx + c, sendo a, b e c números reais
constantes, com a restrição de a ≠ 0 é chamada de função quadrática. Também é conhecida
como parábola do segundo grau.
– 1 32– 2 0
a >>>> 0
y = f(x) = ax + b
x
1
a <<<< 0
0,00
1.000,00
1 2 30
1.020,00
1.040,00
y = f(x)
x
1.060,00
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira26
A função quadrática y = f(x) = 3x2 + 5x – 7, tem as constantes: a = +3; b = +5; c = –7.
Os valores das constantes a, b e c para os exemplos a seguir serão:
Função a bc
y = f(x) = x2 – 5x + 6 +1 –2 +6
y = f(x) = –2x2 + 5x –2 +5 0
y = f(x) = x2 – 4 +1 0 –4
2. Representação gráfica
A representação gráfica de uma função quadrática será uma parábola de segundo grau.
Como exemplo, será esboçado o gráfico da seguinte função: y = f(x) = x2 – 4x + 3. Ou seja:
3. Elaboração do gráfico da parábola de segundo grau
Para esboçar o gráfico de uma função polinomial do segundo grau é preciso determinar
alguns elementos fundamentais (pontos de interseção, concavidade, vértice, eixo de
simetria). O processo de cálculo desses elementos é apresentado a seguir:
3.1. Interseção com o eixo das abcissas(x)
Seja f uma função quadrática: y = f(x) = ax2 + bx + c. Na interseção com eixo das
abcissas, tem-se: y = f(x = x0) = 0. A questão é determinar o(s) valor(es) de x0, se
houver(em). A função y = f(x) = ax2 + bx + c, possui o discriminante: ∆ = b2 – 4ac. A princípio,
podem ocorrer as situações:
x
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
y
+8
+3
0
–1
0
+3
+8
y = f(x)
x
8
3
3
4
21
0–1
–1
5
f(x) = x2 – 4x + 3
Revisão de Funções 27
1a) ∆ ≥ 0
Nesse caso, a função y = f(x) = ax2 + bx + c apresentará dois valores para x, chamados
raízes da equação, tal que: f(x = x1) = 0 e f(x = x2) = 0. Os valores de x1 e x2 podem ser
calculados pelas expressões:
x
b
a1 2
=
− + ∆
 e x
b
a2 2
=
− − ∆
.
Os pontos de interseção, portanto, serão:
P1 ≡ (x1, 0) e P2 ≡ (x2, 0).
2a) ∆ = 0
Nesse caso, a função y = f(x) = ax2 + bx + c apresentará apenas um valor para x, ou
seja, uma única raiz, tal que: f(x = x0) = 0. O valor de x0 pode ser calculado pela expressão:
x
b
a0 2
=
−
.
Logo, o ponto de interseção será: P0 ≡ (x0, 0).
3a) ∆ < 0
Nesse caso, a função y = f(x) = ax2 + bx + c não terá valores para x, tal que: f(x = x0) =
0. Em outras palavras, a função y = f(x) = ax2 + bx + c não “corta” o eixo das abcissas (x).
3.2. Interseção com o eixo das ordenadas (y)
Seja f uma função quadrática, isto é, y = f(x) = ax2 + bx + c. Na interseção com eixo das
ordenadas, tem-se: y0 = f(x0 = 0). A função y = f(x) = ax2 + bx + c, para y0 = f(x0 = 0), resulta
simplesmente em: y0 = f(x0 = 0) = a×(0)2 + b×(0) + c = c ∴ y0 = f(x0 = 0) = c.
3.3. Sentido da concavidade
A concavidade da parábola pode ser voltada para cima ou para baixo. A determinação
do sentido é dada pela constante a. Quando a constante a é positiva (a > 0), a concavidade é
voltada para cima. Se a é negativa (a < 0), a concavidade é voltada para baixo.
3.4. Vértice da parábola
O vértice é um ponto extremo da parábola. Tanto pode ser um ponto de máximo como
de mínimo. Depende do sentido da concavidade da curva. Quando a concavidade é voltada
para baixo (a < 0), tem-se que o vértice é um ponto de máximo. Caso contrário, ou seja,
concavidade voltada para cima (a > 0), o vértice será um ponto de mínimo. O vértice PV ≡ (xV,
yV), tem suas ordenadas obtidas por:
x
b
aV
= −
2
 e y
aV
= −
∆
4
.
3.5. Eixo de simetria da parábola
O eixo de simetria, como o próprio nome já diz, apresenta o mesmo valor de ordenada
para abcissas eqüidistantes desse eixo. O eixo de simetria é paralelo ao eixo ordenado (x =
0), tendo a equação:
x
b
a
= −
2
.
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira28
Pode-se notar que o eixo de simetria passa pelo vértice da parábola.
3.6. Exemplos
1) Dada função quadrática y = f(x) = x2 – 4x + 3, determinar o sentido da concavidade, o
vértice da parábola, o eixo de simetria, as raízes da equação, se houverem, e esboçar o
gráfico da função.
Solução:
a) Cálculo do sentido da concavidade: a = 1 → a > 0 � concavidade voltada para cima
(↑);
b) Cálculo do vértice da parábola:
x
b
a
xV V= − = −
−
×
= + ∴ =
2
4
2 1
4
2
2
( )
;
∆ = b2 – 4ac = (2)2 – 4×1×3 = 16 – 12 ∴ ∆ = 4;
y
a
yV V= − = − ×
= − ∴ = −
∆
4
4
4 1
4
4
1.
c) Cálculo das raízes da função:
∆ = 4 → ∆ > 0 � ∃ x1 e x2;
x
b
a
x1 12
4 4
2 1
4 2
2
6
2
3=
− +
=
− − +
×
=
+
= ∴ =
∆ ( )
;
x
b
a
x2 22
4 4
2 1
4 2
2
2
2
1=
− −
=
− − −
×
=
−
= ∴ =
∆ ( )
.
d) Cálculo do eixo de simetria da parábola: x = xV = 2.
e) esboço do gráfico da função y = f(x) = x2 – 4x + 3:
Revisão de Funções 29
2) Dada função quadrática y = f(x) = 4 – x2, esboçar o gráfico dessa função.
Solução:
a) Cálculo do sentido da concavidade: a = –1 → a < 0 � concavidade voltada para
baixo (↓);
b) Cálculo do vértice da parábola:
x
b
a
xV V= − = − × −
∴ =
2
0
2 1
0
( )
;
∆ = b2 – 4ac = (0)2 – 4×(–1)×4 = 0 + 16 ∴ ∆ = 16;
y
a
yV V= − = − × −
= ∴ =
∆
4
16
4 1
16
4
4
( )
.
c) Cálculo das raízes da função:
∆ = 16 → ∆ > 0 � ∃ x1 e x2;
x
b
a
x1 12
0 16
2 1
0 4
2
4
2
2=
− +
=
− +
× −
=
+
−
=
−
∴ = −
∆ ( )
( )
;
x
b
a
x2 22
0 16
2 1
0 4
2
4
2
2=
− −
=
− −
× −
=
−
−
=
−
−
∴ =
∆ ( )
( )
.
d) Cálculo do eixo de simetria da parábola: x = xV = 0.
e) esboço do gráfico da função y = f(x) = 4 – x2:
y = f(x)
x
8
3
3
4
1
0–1
–1
5
f(x) = x2 – 4x + 3
x = 2
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira30
3) (proposto) Dada função quadrática y = f(x) = x2 – 4x + 4, esboçar o gráfico dessa
função.
4) (proposto) Dada função quadrática y = f(x) = x2 – 2x + 3, esboçar o gráfico dessa
função.
1.3.1.5. Função cúbica
1. Conceituação
A função da forma y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, sendo a, b, c e d números reais
constantes, com a restrição de a ≠ 0 é chamada de função cúbica. Também é uma função
polinomial, sendo de terceiro grau.
A função cúbica y = f(x) = 3x3 + 5x2 – 7x + 2, onde: a = +3; b = +5; c = –7; d = +2 são as
constantes da equação. Os valores das constantes a, b, c e d para os exemplos a seguir
serão:
Função a b c d
y = f(x) = x3 – 2x2 + 6x – 1 +1 –2 +6 –1
y = f(x) = –2x3 + 5x2 + 3 –2 +5 0 +3
y = f(x) = x3 – 4x +1 0 –4 0
2. Aplicação
As funções polinomiais possuem aplicações no campo da administração, da economia
e da engenharia econômica. Em problemas envolvendo questões unidimensionais, pode-se
moldá-los para casos de função linear. Abordaremos problemas de oferta e demanda, de
custos e de receitas de organizações. Esses casos serão utilizados como exemplos de
y = f(x)
f(x) = 4 – x2
4
x
0 2–2
Revisão de Funções 31
aplicação do conceito. Para problemas que abrangem aspectos bidimensionais, temos o
recurso matemático da função quadrática. Questões tendo por base o cálculo de áreas, são
exemplos de aplicação desse tipo de função polinomial. Trataremos casos de oferta e
demanda, de custos e de receitas de organizações. Já a função cúbica serve como
instrumento para tratar problemas que envolvem questões tridimensionais, como o cálculo de
volumes.
1.3.1.6. Função modular
Seja a função y = f(x) = x, denominada função modular em x ou módulo de x.
Também é chamada de função valor absoluto. Assim, a função modular em x é aquela que
executa:
Desse modo, para x = 2, e então x > 0, temos a situação (01). Ou seja: y = f(2) = 2 =
+(2) = 2. No caso de x = –2, logo x < 0, temos a situação (02). Isto é: y = f(–2) = –2 = –(–2)
= 2. Observamos que: f(x = x0) = 0, quando x0 = 0. A representação gráfica da função: f(x) =
x, será:
Seja a função y = f(x) = x + 1. Observamos que: f(x = x0) = 0, quando x0 = –1.
Portanto, a função modular em x + 1 é aquela que realiza:
0
x
y = f(x)
f(x) = xf(x) = x
f(x) = + x, quando x ≥ 0; (01)
f(x) = – x, quando x < 0. (02)
f(x) = x =
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira32
Para x = 2, e portanto x > –1, temos a situação (01). Ou seja: y = f(2) = 2 + 1 = +(2 +
1) ∴ y = f(2) = 2. Se x = –2, logo x < –1, então temos a situação (02). Isto é: y = f(–2) = (–2) +
1∴ y = f(–2) = –(–2+1) ∴ y = f(–2) = 1.
Seja ainda a função y = f(x) = 3x – 9. Observamos que: f(x=x0) = 0, quando x0 = 3.
Portanto, a função modular em 3x – 9 é aquela que faz:
Para x = 4, e então x > 3, temos a situação (01). Ou seja: y = f(4) = 3×4 – 9 = +(3×4 –
9) ∴ y = f(4) = 3. Se x = – 4, logo x < 3, temos a situação (02). Assim, fica: y = f(–4) = 3×(–4)
– 9 ∴ y = f(–4) = –(–21) ∴ y = f(–4) = 21.
Através dos exemplos mostrados, podemos verificar que a função modular faz com que
osvalores assumidos pela variável dependente sejam positivos. Em outras palavras, mesmo
que o domínio da função modular esteja definido no conjunto dos números reais, a imagem
será sempre o subconjunto dos reais positivos (�+). Ou seja: Dom(f) = �; Im(f) = {y ∈ � / y ≥
0}.
1.3.1.7. Função racional
Sejam as funções polinomiais f e g. Uma função h é dita racional, quando ocorre:
)(
)(
)(
xg
xf
xh = , com g(x) ≠ 0.
Exemplos:
Calcular o domínio das funções racionais:
1)
4
14
)( 2 +
−==
x
x
xhy Dom(h) = �;
2)
4
14
)( 2 −
−==
x
x
xhy Dom(h) = {x ∈ � / x ≠ 2};
3)
x
xx
xhy
3
1245
)(
3 −+==
Dom(h) = {x ∈ � / x ≠ 0};
4)
xx
xxxx
xhy
9
81235
)( 3
246
−
+−+−==
Dom(h) = {x ∈ � / x ≠ 0 e x ≠ ± 3}.
f(x) = +(x + 1), quando x ≥ –1; (01)
f(x) = –(x + 1), quando x < –1. (02)
f(x) = x+1 =
f(x) = +(3x – 9), quando x ≥ +3; (01)
f(x) = –(3x – 9), quando x < +3. (02)
f(x) = 3x – 9 =
Revisão de Funções 33
1.3.1.8. Função algébrica
É aquela formada por um número limitado de operações algébricas (tais como: adição
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação).
Exemplos:
Calcular o domínio das seguintes funções algébricas:
1)
9
4
)( 2
2
+
+==
x
x
xhy
Dom(h) = �;
2)
9
4
)( 2
2
−
−==
x
x
xhy
Dom(h) = {x ∈ � / x ≥ 2 e x ≠ 3};
3)
y h x
x
x x
= =
−
− +
( )
5 20
8 152
Dom(h) = {x ∈ � / 3 < x ≤ 4 e x > 5}.
1.3.1.9. Função exponencial
1. Conceituação
Toda função definida da forma y = f(x) = ax é chamada de função exponencial de base
a. Onde a é uma constante, pertencente ao conjunto dos números reais positivos, exceto a
unidade, por motivos óbvios. Em matemáticos, pode ser expresso da forma: {x ∈ �� / x ≠ 1}.
O domínio da função exponencial é os números reais e a imagem é o conjunto dos números
reais positivos. Ou seja: Dom(f) = (−∞,+∞) = �; e Im(f) = (0, +∞) = R +
* .
2. Representação gráfica
O gráfico da função exponencial y = f(x) = ax, no plano coordenado cartesiano,
apresenta algumas características expressivas:
em virtude da imagem da função y = f(x) = ax ser constituída pelo conjunto dos números
reais positivos ( R +
* ), seu gráfico se posiciona acima do eixo das abcissas no plano
coordenado cartesiano, ou seja: y = f(x) > 0;
a função exponencial intercepta o eixo ordenado no ponto P0 ≡ (0, 1);
a função é monotonamente crescente [f(x2) sempre será maior que f(x1), para todo x2 >
x1] para o caso de a > 1; e monotonamente decrescente para o caso de 0 < a < 1.
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3. Exemplos e aplicações
3.1. Exemplos:
( )y f x x= =( ) ,0 5 ;
y f x x= =( ) 2 ;
y f x e x= =( ) , sendo: e ≅ 2,7182881828 (número neperiano);
( )y f x x= =( ) 14 ;
( )y f x x= = −( ) 2 2 ∴ ( )[ ]y f x x= = −( ) 2 2 ∴ y f x x= =( ) 4 ;
( )y f x x= = −( ) 2 2 ∴ ( )[ ]y f x x= = −( ) 2 2 ∴ [ ]y f x x= =( ) 122 ∴ ( )y f x x= =( ) 14 .
3.2. Aplicações
Existem várias aplicações do conceito de função exponencial no campo da
Administração Na área financeira, por exemplo, a equação para o cálculo do montante (valor
futuro) em regime de capitalização composta periódica é um exemplo. Também o é para o
caso da capitalização composta contínua (nesse caso, tem-se uma função exponencial de
base neperiana, cujo valor é 2,718281828...). O valor contábil de um ativo pelo método de
depreciação da taxa constante pode ser obtido pela equação de uma função exponencial.
Veremos essas situações em oportunidades futuras, além de outras aplicações possíveis.
1.3.1.10. Função logarítmica
É chamada função logarítmica na base a, a função que associa cada x em R +
* a um
valor logax, sendo 0 < a ≠ 1.
Observações gerais:
i) y = logax � x = ay ∴ y = ax (permutando símbolos das variáveis);
ii) o domínio da função logarítmica são é os números reais positivos e a imagem é definida
pelo conjunto dos números reais; ou seja: Dom(f) = (0, +∞) = R +
* e Im(f) = (−∞,+∞) = �;
x
1
y = f(x) = ax
a >>>> 1
0
x
1
y = f(x) = ax
0
0 <<<< a <<<< 1
Revisão de Funções 35
Observações sobre o gráfico da função:
i) em virtude do domínio da função y = f(x) = logax ser formado pelo conjunto dos números
reais positivos ( R +
* ), seu gráfico se posiciona do lado direito do eixo das ordenadas no plano
coordenado cartesiano, ou seja: x > 0;
ii) a função logarítmica intercepta o eixo das abcissas no ponto P0 ≡ (1, 0);
iii) a função é monotonamente crescente para o caso de a > 1 e monotonamente
decrescente para o caso de 0 < a < 1;
iv) as funções exponencial e logarítmica são simétricas em relação a função identidade [y
= f(x) = x], para o caso de a > 1.
Exemplo:
Esboçar o gráfico genérico das funções exponencial e logarítmica, quando tem-se: a >
1. Sejam as funções exponencial e logarítmica y = f(x) = ax e y = f(x) = logax,
respectivamente.
Então a representação gráfica das funções, ficaria:
Aplicações:
Existem várias aplicações para a função logarítmica nas áreas de administração,
economia e engenharia econômica. Alguns dos casos serão tratados para a função
exponencial e são também são válidos para a logarítmica.
Observação:
A função logarítmica que possui como base e (número neperiano: 2,718281828...), é
denominada função logaritmo natural e denotada por: y = lnx.
x
a >>>> 1
0
1
1
y
y = f(x) = ax
y = f(x) = x
y = f(x) = logax
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1.4. CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS SOBRE FUNÇÕES
1.4.1. Função definida por várias sentenças
Algumas funções apresentam leis de correspondência diversas em intervalos diferentes
do domínio para associar a variável dependente à independente. Um caso prático é o do
estado físico da água em relação à temperatura. Ao nível do mar, a água passa do estado
líquido para o sólido à temperatura de 0oC e ao estado gasoso aos 100oC.
Exemplos:
1)
2)
3)
Sugestão:
Construa o gráfico das funções apresentadas.
Aplicações:
Uma aplicação de função definida por várias sentenças no campo da física, diz respeito
ao peso de um objeto em relação a sua distância à Terra. Ou seja:
Onde:
x → distância do objeto ao centro da Terra;
p → peso do objeto;
R → raio da Terra;
a, b → constantes.
2x – 2, se x ≥ 0
2, se x < 0
f(x) =
–3, se x < –2
x2 – 9, se x ≥ 1
g(x) = x + 3, se –2 ≤ x < 1
+1, se x < 0
2x, se x ≥ 2
h(x) = 3x – 2, se 0 ≤ x < 2
ax, se x ≤ R
b
x 2 , se x > R
p(x) =
Revisão de Funções 37
Outra aplicação, agora no campo da administração, seria o caso de um sistema de
remuneração para os funcionários, de acordo com uma escala de produção. Isto é:
Onde:
x → quantidade de peças produzidas pelo funcionário no período;
R → remuneração periódica do empregado;
P, Q → quantidades produzidas de referência;
a, b, c → constantes.
1.4.2. Conceito intuitivo de continuidade em funções
A questão de continuidade deveria ser precedida do conceito de limite de uma função
para seja apresentado um tratamento formal sobre esse tema. Como não veremos esse
conceito no momento, daremos ênfase a uma abordagem de caráter intuitivo desse assunto.
Observe o caso de funções definidas por várias sentenças. No terceiro exemplo, a função h
apresenta, para a segunda mudança da lei de correspondência (x = +2), pode-se observar
que não ocorre sobressalto de valores em sua proximidade. Pelo lado esquerdo da curva
(para valores inferiores a +2) o valor de y = h(x), será: y = h(x = 2) = 3×2 – 2 ∴ y = h(x = 2) =
4. Já pelo lado direito da curva (para valores superiores a +2) o valor de y = h(x), será: : y =
h(x = 2) = 22 = 4.
Ainda função h, quando se analisa a primeira mudança de lei correspondência (x = 0),
esse fato não se verifica. Isto pode ser constatado de forma imediata:
• pelo lado esquerdo da curva (para x < 0) → y = h(x = 0) = +1;
• pelo lado direito da curva (para x ≥ 0) → y = h(x = 0) = 3×0 – 2 = –2.
A função assim definida não apresenta sobressalto no valor do domínio igual a 2, então
se diz que a função f é contínua em x = 2. Como ocorre valores diversos da imagem quando
se analisa à esquerda e à direita de x = 0, diz-se que a função possui uma descontinuidade
em x = 0.
1.4.3. Conceitode funções crescentes e decrescentes
Uma função é dita crescente num intervalo [a, b], quando ocorrer que para todo x1 e x2
∈ [a, b], com x2 > x1 se verifica a condição f(x2) > f(x1). Já uma função é chamada
decrescente no intervalo [c, d], se para todo x1 e x2 ∈ [c, d], com x2 > x1 se verifica a
condição f(x2) < f(x1).
Seja a função quadrática y f x x= = −( ) 4 2 . Esboçar o gráfico dessa função e verificar
seu comportamento nos intervalos de (–2, 0) e de (0, +2).
a, se x < P
c, se x ≥ Q
R(x) = a +bx, se P ≤ x < Q
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira38
Observação:
Esse caso já analisamos anteriormente (tópico 1.3.1.4.).
Solução:
a) esboço do gráfico da função y = f(x) = 4 – x2:
b) Análise do comportamento nos intervalos [–2, 0) e (0, +2]:
b–1) intervalo [–2, 0)
Nesse intervalo, analisando o gráfico, podemos notar que a função é crescente. Pode-
se comprovar este fato através de exemplos numéricos. Sejam x1 = –2 x1 2= − e x2 = –1,
então, ocorre: y1 =f(x1 = –2) = 4 – (–2)2 = 0; y2 =f(x2 = –1) = 4 – (–1)2 = 3. Logo, verificamos a
seguinte situação: x1 e x2 ∈ (–2, 0) → x2 > x1 � f(x2) > f(x1).
b–2) intervalo (0, 2]
A análise do gráfico nos permite observar que a função é decrescente, nesse intervalo.
Podemos comprovar este fato através de exemplos numéricos. Sejam x1 = +1 e x2 = +1,
então, ocorre: y1 = f(x1 = 1) = 4 – (1)2 = 3; e y2 = f(x2 = 2) = 4 – (2)2 = 0. Portanto, teremos a
seguinte situação: x1 e x2 ∈ (–2, 0) → x2 > x1 � f(x2) < f(x1).
Uma função é dita monótona, quando num dado intervalo, não há alteração de seu
sentido. Em outras palavras, no intervalo analisado, a função apresenta apenas tendência de
crescimento ou de decrescimento. Essa situação não se verifica para a função y = f(x) = 4 –
x2 no intervalo [–2, +2]. Já a função exponencial y = f(x) = 2x possui um comportamento
crescente monótono nesse intervalo, ou em qualquer outro.
y = f(x)
f(x) = 4 – x2
4
x
0 2–2
Revisão de Funções 39
1.5. APLICAÇÕES DE FUNÇÃO NO CAMPO DA ADMINISTRAÇÃO
1.5.1 Aplicações da função linear
1.5.1.1. Considerações preliminares
A função linear afim possui aplicações na área de Finanças. Uma aplicação bem usual,
no meio financeiro, é no cálculo de montante em regime de capitalização simples. Esse caso
será abordado posteriormente. Para efeitos de exercício dos conceitos sobre esse tipo de
função, serão abordadas aplicações no campo de Economia.
A função linear afim y = f(x) = ax + b determina a equação de uma reta. As constantes a
e b são denominadas coeficientes angular e linear, respectivamente. O coeficiente angular
fornece a inclinação da reta, enquanto o coeficiente linear estabelece a interseção da reta
com o eixo das ordenadas. Por exemplo:
Seja a função linear afim y = f(x) = 2x – 3. Os coeficientes, logo, serão: a = 2; e b = – 3.
Representação gráfica de f:
1.5.1.2. Pontos pertencentes a uma reta
Sejam o ponto P0 ≡ (x0, y0) e a reta r ≡ y = ax + b. O ponto P0 pertencerá a reta r, se for
verdadeira a igualdade: y0 = ax0 + b.
y = f(x)
2 3
x
0 1
–1
–1
–5
–3
1
3
f(x) = 2x – 3
x
–1
0
+1
+2
+3
y
–5
–3
–1
+1
+3
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira40
Exemplos:
1) A análise do 1o Caso do tópico 1.3.1.3., fornece:
X → quantidade em peso de peças comercializadas;
Y → despesa mensal da empresa.
Vimos que a despesa e a quantidade em peso definem um função linear afim, cuja
equação é dada pela reta: r ≡ y = f(x) = 20x +1.000. Verificar se o ponto P (127, 3.540)
pertence à reta r. Para essa situação proposta, temos então:
• quantidade em peso de peças comercializadas → 127 kg;
• despesa mensal da empresa → R$3.540,00.
Verificação:
Para P ∈ r, é necessário que seja verdade: f(x = 127) = 3.540. Então:
f(x = 127) = 20×(127) + 1.000 = 2.540 + 1.000 ∴ f(x = 127) = 3.540.
Conclusão:
O ponto P pertence a reta r (P ∈ r).
2) A análise do 2o Caso do tópico 1.3.1.2., oferece:
X → quantidade de sacas comercializadas;
Y → faturamento do empresário.
Vimos que o faturamento e a quantidade de sacas definem um função linear, portanto, o
coeficiente linear é nulo (b = 0). A equação é dada pela reta: r ≡ y = f(x) = 200x. Verificar se o
ponto P (127, 13.540) pertence a reta r. Para que isso seja verdadeiro, tem que ocorrer:
• quantidade de sacas comercializadas → 127 kg;
• faturamento do atacadista → R$25.540,00.
Verificação:
Para P ∈ r, é necessário que se verifique: f(x = 127) = 13.540. Então:
f(x = 127) = 200×(127) ∴ f(x = 127) = 25.400.
Conclusão:
O ponto P não pertence a reta r (P ∉ r), pois f(x = 127) ≠ 25.540.
1.5.1.3. Determinação da reta através de dois pontos
Sejam os pontos P1 ≡ (x1, y1) e P2 ≡ (x2, y2), e a reta r ≡ y = ax + b. Para que a reta r
seja obtida pelos ponto P1 e P2, esses pontos terão que pertencer a essa reta. Portanto, tem-
se: P1 ∈ r e P2 ∈ r. Para que isto seja verdadeiro, tem que ocorrer:
y1 = ax1 + b; (01)
y2 = ax2 + b. (02)
Conhecidos os pontos P1 e P2, as equações resultantes (01) e (02) formam um sistema
linear de duas equações e duas incógnitas. Resolvendo o sistema, obtém-se os coeficientes
angular e linear da reta definida por esses pontos. O coeficiente angular pode ser
Revisão de Funções 41
determinado a partir de dois pontos conhecidos de uma reta, fazendo a subtração das
equações, ou seja: (02) – (01).
y2 – y1 = (ax2 + b) – (ax1 + b) ∴ y2 – y1 = ax2 + b – ax1 – b ∴ y2 – y1 = a×(x2 – ax1) ∴
a =
y y
x x
 
 2 1
2 1
−
−
.
Exemplos:
1) Analisando o 1o Caso do tópico 1.3.1.3., observamos que os pontos extremos são:
(0, 1.000) e (400, 9.000). Os mesmos pertencem a equação da reta definida pela função de
correspondência entre a despesa mensal e a quantidade comercializada. Portanto:
• 1.000 = a×(0) + b; (01)
• 9.000 = a×(400) + b; (02)
De (01), obtém-se: b = 1.000. Em (02), fica: 9.000 = a×(400) + 1.000 ∴ a = 20. Logo, a
equação da reta será: y = f(x) = 20x + 1.000.
2) Encontrar a reta que passa pelos pontos P1 ≡ (2, 5) e P2 ≡ (5, 14).
Solução:
Sabemos que: a =
y y
x x
 
 
=
 
=2 1
2 1
−
−
−
−
14 5
5 2
9
3
 ∴ a = 3. Temos que P1 ∈ r, então fica:
y1 = ax1 + b ∴ 5 = 3×(2) + b ∴ b = 5 – 6 ∴ b = –1.
Conclusão:
A equação da reta r que passa pelos pontos P1 ≡ (2, 5) e P2 ≡ (5, 14), será: r ≡ y = 3x –
1.
Comprovação:
Para que a reta r seja definida por P1 ≡ (2, 5) e P2 ≡ (5, 14), temos também que verificar
a condição P2 ∈ r, ou seja: y2 = ax2 + b. Portanto, fica: y2 = 3×(5) – 1 ∴ y2 = 14.
1.5.1.4. Determinação da reta através de um ponto e do coeficiente angular
Sejam conhecidos o ponto P0 ≡ (x0, y0) e o coeficiente angular a. A equação procurada
da reta r ≡ y = ax + b, pode ser obtida:
a → coeficiente angular dado;
P0 ∈ r � y0 = ax0 + b ∴ b = y0 – ax0. Logo, a equação da reta será: r ≡ y = ax + (y0 –
ax0).
Exemplo:
Determine a reta que passa pelo ponto P0 ≡ (2, 4) e apresenta um coeficiente angular
igual à menos meio (a = –0,5).
Solução:
r ≡ y = ax + (y0 – ax0) ∴ r ≡ y = –0,5x + [4 – (–0,5×2)] ∴ r ≡ y = –0,5x + 5.
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira42
1.5.1.5. Interseção de duas retas
Sejam as retas r ≡ y = a1x + b1 e s ≡ y = a2x + b2 conhecidas. Seja ainda que a1 ≠ a2, ou
em outras palavras, desejamos que as retas r e s não sejam paralelas. Nesse caso, as duas
retas se interceptam num único ponto. Seja P0 ≡ (x0, y0) o ponto de interseção das retas r e s.
Para que esse fato seja verdadeiro, terá que ocorrer simultaneamente: P0 ∈ r e P0 ∈ s.
Portanto, temos o sistema de equações:
• y0 = a1x0 + b1; (01)
• y0 = a2x0 + b2; (02)
Fazendo : (02) – (01), encontramos: y0 – y0 = (a2x0 + b2) – (a1x0 + b1) ∴ 0 = a2x0 + b2 –
a1x0 + b1 ∴
0 = (b2 – b1) – (a1 – a2)×x0 ∴ (a1 – a2)×x0 = (b2 – b1) ∴ x =
b b
a a0
2 1
1 2
 
−
−
. Assim fica:
y = a
b b
a a
b0 1
2 1
1 2
1 ×
−
−
�
�
�
�
�
� + .
Exemplos:
1) Achar o ponto onde as retas r ≡ y = 2x + 1 e s ≡ y = 3x – 2 se interceptam.
Dados:
a1 = +2; a2 = +3; b1 = +1; b2 = –2.
Solução:
Seja P0 ≡ (x0, y0) o ponto de interseção das retas r e s. Logo, temos:
x =
b b
a a0
2 1
1 2
 
−
−
=
− −
−
=
−
−
2 1
2 33
1
 ∴ x0 = 3.
Se P0 é o ponto de interseção das retas r e s, então P0 pertence tanto à reta r quanto à
s. Ou seja, se P0 ∈ r, então se verifica: y0 = a1x0 + b1 ∴ y0 = 2×(3) + 1 ∴ y0 = 7.
Comprovação:
Se P0 é o ponto de interseção das retas r e s, então P0 ∈ s, então verificamos seguinte
situação : y0 = a2x0 + b2 ∴ ∴ y0 = 3×(3) – 2 ∴ y0 = 7.
2) Encontrar a reta r que intercepta a reta s ≡ y = 3x – 2 no ponto P0 ≡(3, 7), cujo
coeficiente é igual a 2.
Solução:
Se P0 ≡ (3, 7) é o ponto de interseção das retas r e s, então: P0 ∈ r. Portanto,
verificaremos que: y0 = a1x0 + b1 ∴ 7 = 2×(3) + b1 ∴ b1 = +1. Logo, a reta r procurada será: r
≡ y = 2x + 1.
Revisão de Funções 43
1.5.1.6. Estudo das equações de demanda e oferta e do ponto de equilíbrio
1.5.1.6.1. Ponto de equilíbrio – PE
Uma organização empresarial possui gastos decorrentes suas atividades operacionais
e receitas, principalmente, devido às vendas de produtos e/ou serviços. Os desembolsos
possuem um caráter fixo (aluguel, impostos, seguros, etc) e outro variável, de acordo cm a
produção (matéria-prima é um exemplo clássico). Já as vendas tem uma natureza
claramente variável. Em outras palavras, a receita varia conforme o nível de vendas. O ponto
de equilíbrio é a posição da organização no período, em que não apresenta lucro e nem
prejuízo. Ou seja, a receita gerada pela comercialização dos bens é igual aos gastos
operacionais do período. O ponto de equilíbrio é também chamado de Ponto de Nivelamento
ou ainda pela expressão inglesa Break Even Point.
Se for admitido a linearidade das equações de gastos e de receita, podemos recorrer as
propriedades de função linear para a determinação do ponto de equilíbrio de um período.
Estudo de casos
1o Caso:
Seja o caso da loja de roupa de banho (já referido em várias oportunidades, como no 1o
Caso do tópico 1.3.1.3.). O empresário deseja conhecer o volume de vendas necessário para
que a loja não apresente lucro e nem prejuízo. Ou seja, determinar o ponto de equilíbrio da
empresa.
Solução:
X → quantidade em peso de peças comercializadas no mês;
Y → faturamento mensal da loja;
Z → despesa (gasto) total da loja no mês.
Recuperando as conclusões anteriores, temos:
y = f(x) = 30x;
z = g(x) = 20x + 1.000.
No Ponto de Equilíbrio PE, a quantidade comercializada x0 será aquela que propiciará a
igualdade entre o faturamento y0 e a despesa z0. Ou seja: y0 = z0 ∴ f(x0) = g(x0). Logo, fica:
30x0 = 20x0 + 1.000 ∴ 30x0 – 20x0 = 1.000 ∴ x0 = 100.
Conclusão:
Ponto de Equilíbrio – PE → 100 kg de roupa de banho a serem vendidos por mês.
2o Caso:
Nesse mesmo caso da loja de roupa de banho, se o empresário desejar ter um lucro de
R$2.500,00 por mês, qual a quantidade necessária a ser vendida para que isso ocorra?
Solução:
X → quantidade em peso de peças comercializadas no mês;
Y → faturamento mensal da loja;
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira44
Z → despesa mensal total da loja;
W → lucro obtido pela empresa no mês.
Podemos observar que o lucro é resultado da operação da empresa. Em outras
palavras, o lucro é fruto da parcela do faturamento que excede os gastos operacionais. Isto
é, o lucro resulta da diferença entre a receita e os desembolsos do período. Seja h(x) a
função lucro. Recuperando as conclusões já obtidas, temos que:
• faturamento mensal → y = f(x) = 30x;
• gasto mensal → z = g(x) = 20x + 1.000;
• lucro mensal → h(x) = f(x) – g(x) = 30x – (20x + 1.000) ∴ h(x) = 10x – 1.000.
• lucro desejado → h(x1) = R$2.500,00.
Logo, fica: h(x1) = 10x1 – 1.000 ∴ 2.500,00 = 10x1 – 1.000 ∴ 3.500,00 = 10x1 ∴ x1 =
350.
Conclusão:
Volume de vendas → 350 kg de roupa de banho para gerar o lucro desejado.
1.5.1.6.2. Equações de demanda e de oferta
1) Considerações iniciais
Considerando que nenhum agente ou mesmo grupo desses podem provocar
significativas distorções no mercado, é possível trabalhar com algumas suposições.
Entendemos por distorção a capacidade que dados atores possuem para operar
manipulações nos mercados setoriais em que atuam. Essas manipulações podem ser
referentes à formação de preços a serem praticados, à demanda e à oferta do segmento do
mercado no qual trabalham.
Vamos supor que então o mercado seja relativamente perfeito, isto é, nenhum agente
tem o poder de provocar sensíveis distorções. Em outras palavras, são todos tomadores de
preços nesse mercado. Nesse caso, as seguintes hipóteses são plausíveis:
i) a quantidade de produtos demandada neste mercado, dentro de certos limites, guarda
relação inversa com o preço praticado;
ii) a quantidade de produtos ofertada neste mercado, dentro de certos limites, guarda
relação proporcional ao preço praticado.
A primeira hipótese (i) considera que, dentro de um certo intervalo, o consumo do
produto (bem ou serviço) aumenta na medida que o preço praticado reduz. Já a segunda
hipótese (ii) pressupõe que na proporção que o preço sobe, os produtores estarão dispostos
a aumentar a sua oferta para o mercado.
A tarefa de estimar como ocorre essas relações é uma atividade complexa. O processo
para a realização dessas análises toma por base pesquisas de tendência de mercado.
Métodos estatísticos são aplicados aos dados econômicos apurados, visando operar
aferições sobre curvas de demanda e de oferta.
Revisão de Funções 45
2) Demanda
Denotando-se por p o preço praticado de um dado produto e por x o volume
demandado desse bem no mercado. Definimos a equação de demanda por: p = f(x). A
função assim definida é chamada de função preço, pela qual determinamos o preço de
mercado quando são demandadas x unidades do bem. Já a equação x = g(p) define a
chamada função de demanda, que representa o volume demandado, quando p for o preço
de uma unidade do produto.
O gráfico da equação de demanda é denominado de curva de demanda. Podemos
observar intuitivamente que a curva de demanda é definida apenas no primeiro quadrante do
plano cartesiano. Isto ocorre devido ao presumível fato que o preço praticado e a quantidade
demandada assumirem apenas valores não negativos. Também é razoável supor que as
duas variáveis assumam valores delimitados por um certo intervalo. Portanto, tem-se que: x
∈ [0, k] e p ∈ [0, l]. Em função de razões de ordem prática, é plausível a suposição que o
preço e a quantidade demandada assumirem valores pertencentes ao conjunto de números
racionais. Porém nesse texto, para facilitar a representação dos intervalos de valores,
consideraremos que as variáveis possam assumir valores pertencentes ao conjunto dos
números reais, dentro de certos limites determinados.
A hipótese que a um preço menor os consumidores estarão dispostos a demandar uma
maior quantidade do produto é razoável. Portanto, se P1 ≡ (x1, p1) e P2 ≡ (x2, p2) forem dois
pontos da curva de oferta, então para p2 > p1 � x2 < x1. Já o ponto P0 ≡ (0, p0) representa a
posição para a qual o preço p0 praticado, não terá consumidores dispostos a requerer o
produto no mercado.
No caso de admitir que a equação da oferta seja linear, teremos: p = f(x) = ax + b.
Nessa hipótese, o coeficiente angular será negativo (a < 0). Esse fato ocorre em virtude da
função ser monotonamente decrescente. (Esse conceito abordamos no tópico 1.4.3.). Em
outras palavras, na medida que o preço aumenta, a demanda apresenta a tendência de
queda.
3) Oferta
Denotando-se por p o preço praticado de um dado produto e por x o volume da oferta
do mesmo no mercado. A equação de oferta é definida por: p = f(x). O preço p a ser
praticado é estabelecido a partir da quantidade x que os produtores estarão oferecendo ao
mercado. O gráfico da equação de oferta é denominado de curva de oferta.
A hipótese que a um preço maior os produtores estarão dispostos a ofertar uma maior
quantidade do bem é razoável. Portanto, se P1 ≡ (x1, p1) e P2 ≡ (x2, p2) forem dois pontos da
curva de oferta, então para p2 > p1 � x2 > x1. Já o ponto P0 ≡ (0, p0) representa a posição em
que, para o preço p0 praticado, não haverá produtores dispostos a colocá-lo no mercado.
No caso de aceitar a linearidade para a equação da oferta,teremos que: p = f(x) = ax +
b. Nessa hipótese, o coeficiente angular será positivo (a > 0). Esse fato ocorre em virtude da
função ser monotonamente crescente. (Esse conceito também vimos no tópico 1.4.3.).
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira46
Em outras palavras, na medida que o preço aumenta, a oferta sempre acompanha essa
tendência.
Podemos notar de forma intuitiva que a curva de oferta é definida apenas no primeiro
quadrante do plano cartesiano. Isto decorre do fato de que é presumível que o preço e a
quantidade ofertada assumirem somente valores não negativos. Também é razoável supor
que as duas variáveis assumam valores limitados dentro de um certo intervalo. Portanto,
assim, teremos que: x ∈ [0, k] e p ∈ [0, l]. Em função de razões de ordem prática, é plausível
a suposição que o preço e a quantidade demandada assumirem valores pertencentes ao
conjunto de números racionais. Porém nesse texto, para facilitar a representação, será
considerado que as variáveis possam assumir valores do conjunto dos números reais, dentro
de certos limites determinados.
4) Equilíbrio de mercado
No mercado, temos de um lado a curva de demanda, e de outro, a curva de oferta de
um dado produto. É denominado por ponto de equilíbrio de mercado àquele para o qual todo
volume de um certo produto ofertado seja consumido e não verificamos demanda não
satisfeita. Em outras palavras, para um dado preço do produto, a quantidade demandada é
igual a quantidade colocada no mercado pelos produtores. Esse volume é chamado de
quantidade de equilíbrio. Enquanto o preço para essa situação recebe a denominação de
preço de equilíbrio.
Uma das preocupações dos agentes econômicos do mercado é estabelecer o ponto de
equilíbrio para um dado produto. O ponto de equilíbrio PE ≡ (xE, pE) é determinado pela
resolução do sistema das equações de demanda e de oferta. A representação gráfica
genérica das funções linear para demanda e oferta podem ser assim estruturada:
5) Estudo de casos
1o Caso:
Estudos econômicos apontaram que a curva de demanda de um dado produto é dada
pela equação: p = f(x) = 19 – 5x. Já o comportamento da oferta é definido pela equação: p =
g(x) = 5 + 2x. Os produtores do setor desejam planejar o nível de produção para satisfazer o
mercado. Determinar a quantidade a ser produzida e qual o preço a ser praticado. (A medida
PE ≡ (xE, pE)
0
x
demanda oferta
k l
y = f(x) = ax + b
Revisão de Funções 47
x referente a quantidade é dada em termos de 1.000.000 de unidades e a de preço p é dada
em R$1.000,00).
Solução:
demanda → d ≡ p = f(x) = 19 – 5x;
oferta → o ≡ p = g(x) = 5 + 2x.
ponto de equilíbrio → PE ≡ (xE, pE) � PE ∈ d; e PE ∈ o; então:
Substituindo (02) em (01), fica: 5 + 2xE = 19 – 5xE ∴ 2xE + 5xE = 19 – 5 ∴ 7xE = 14 ∴ xE =
2×1.000.000 ∴ xE = 2.000.000 unidades. Em (01), fica: pE = 19 – 5×2 ∴ pE =R$9.000,00.
2o Caso:
O corpo técnico de uma cooperativa de café concluiu que a função demanda é dada
pela equação: x = f(p) = 1.490 – 2,5p, onde x é a quantidade de sacas de 60 kg de café
demandadas e p o preço de uma saca em reais (R$). Constatou-se também que ao preço da
saca a R$160,00, os produtores preferem reter a mercadoria nos armazéns. O grupo de
técnicos observou que a equação de oferta descreve uma função linear afim e o preço de
equilíbrio é de R$216,00. Determine a equação de oferta dos produtores de café.
Solução:
X → quantidade de sacas colocadas no mercado pelos produtores;
P → preço da saca de 60 kg de café.
Equação de oferta → função linear afim � p = f(x) = ax + b.
Para p0 = 140,00 → x0 = 0 (nenhuma unidade é oferecida para comercialização). Ou
seja:
140,00 = a×0 + b ∴ b = 140.
O ponto de equilíbrio pertence tanto a equação de demanda quanto da de oferta. Tendo
que o preço de equilíbrio é de R$216,00, portanto fica:
xE = 1.490 – 2,5pE ∴ xE = 1.490 – 2,5×216,00 ∴ xE = 1.490 – 540,00 ∴ xE = 950 sacas;
Ponto de equilíbrio → PE ≡ (216,00, 950). Na equação de oferta, fica: pE = axE + b ∴
216,00 = a×(950) + 140 ∴ a = 0,08. A equação de oferta, será: p = f(x) = 0,08x + 140.
1.5.2 Aplicações da função quadrática
Estudo de casos
1o Caso:
Um terreno retangular no campo precisa ser cercado. O proprietário contratou duas
turmas de trabalhadores, cada uma será responsável pela metade do perímetro do terreno.
pE = 19 – 5xE; (01)
pE = 5 + 2xE; (02)
EDITORA - UFLA/FAEPE - Matemática Financeira48
Uma turma vai receber R$25,00 por metro linear de cerca e a outra R$30,00. O fazendeiro
prevê gastar R$8.690,00 no serviço. Pede-se:
a) definir uma função de correspondência entre a área e o lado menor do terreno;
b) esboçar o gráfico da função assim definida;
c) determinar o domínio e a imagem dessa função.
Definição das variáveis:
X → dimensão do lado menor do terreno;
Y → dimensão do lado maior do terreno;
P → perímetro do terreno;
A → área do terreno.
Solução:
Despesa do serviço → (extensão cercada)×(valor unitário); ou seja:
(x + y)×25,00 + (x + y)×30,00 = 8.690,00 ∴ 25x + 25y + 30x + 30y = 8.690 ∴ 55x + 55y
= 8.690 ∴ x + y = 158 ∴ y = 158 – x.
a) A(x) = x×y = x×(158 – x) ∴ A(x) = 158x – x2.
b) i) a < 0 → concavidade voltada para baixo;
ii) cruzamento de A(x) com eixo das ordenadas → x0 = 0 � y0 = A(x0 = 0) = 0;
iii) cruzamento de A(x) com eixo das abcissas → y0 = A(x0) = 0 � A(x0) = 158x – x2 = 0
∴ (158 – x)×x = 0 ∴ x1 = 0 e x2 = 158;
iv) vértice da parábola → x
b
aV
= − = −
× −2
158
2 1( )
 ∴ xV = 79;
∆ = b2 – 4ac = (158)2 – 4×(–1)×0 ∴ ∆ = 24.964; y
aV
= − = −
× −
∆
4
24 964
4 1
.
( )
 ∴ yV = 6.241.
158
x
79
0
A(x) = 158x – x2
6.241
y = A(x)
Revisão de Funções 49
2o Caso:
Uma pequena fábrica de palitos de fósforos verificou, através de estudos estatísticos,
que a sua curva de custos de produção se aproxima de uma função quadrática: C(x) = ax2 +
bx + c, onde x é a quantidade de caixas com 50 palitos cada uma. Os administradores da
empresa levantaram os seguintes dados:
TIPO DE DADOS \ MÊS Março Abril Maio
Produção mensal (medida em caixas de 50 unidades) 68.000 57.000 72.000
Custo de produção (em reais – R$) 164.400,00 152.025,00 182.400,00
Pede-se determinar:
a) a curva de custos de produção;
b) a quantidade a ser fabricada para que se consiga o melhor desempenho (isto é: nível
que propiciará o menor custo de produção).
Solução:
Se já sabemos que a curva de custos de produção é uma função quadrática, a questão
passa a ser o cálculo dos parâmetros a, b e c da equação. Os dados observados para os três
meses, portanto, devem satisfazer a equação de custos, ou seja:
1) C(x1) = ax12 + bx1 + c ∴ C(x1 = 68.000) = a×(68.000)2 + b×(68.000) + c = 164.400,00 ∴
4.624.000.000×a + 68.000×b + c = 164.400,00 (01);
2) C(x2) = ax22 + bx2 + c ∴ C(x2 = 57.000) = a×(57.000)2 + b×(57.000) + c = 152.025,00 ∴
3.249.000.000×a + 57.000×b + c = 152.025,00 (02);
3) C(x3) = ax32 + bx3 + c ∴ C(x3 = 72.000) = a×(72.000)2 + b×(72.000) + c = 182.400,00 ∴
5.184.000.000×a + 72.000×b + c = 182.400,00 (03);
Subtraindo (01) de (02), encontraremos:
(4.624.000.000×a + 68.000×b + c) – (3.249.000.000×a + 57.000×b + c) = 164.400,00 –
152.025,00 ∴ 4.624.000.000×a + 68.000×b + c – 3.249.000.000×a – 57.000×b – c =
12.375,00 ∴ 1.375.000.000×a + 11.000×b = 12.375,00 (04).
Subtraindo (03) de (02), teremos:
(5.184.000.000×a + 72.000×b + c) – (3.249.000.000×a + 57.000×b + c) = 182.400,00 –
152.025,00 ∴ 5.184.000.000×a + 72.000×b + c – 3.249.000.000×a – 57.000×b – c =
30.375,00 ∴ 1.935.000.000×a + 15.000×b = 30.375,00 ∴ (1.935.000.000×a + 15.000×b =
30.375,00) [(÷)(11/15)] ∴ 1.419.000.000×a + 11.000×b = 22.275,00 (05).
Subtraindo (05) de (04), resulta:
(1.419.000.000×a + 11.000×b) – (1.375.000.000×a + 11.000×b) = 22.275,00 –
12.375,00 ∴
1.419.000.000×a + 11.000×b – 1.375.000.000×a – 11.000×b = 22.275,00 – 12.375,00 ∴
44.000.000×a = 9.900,00 ∴ a = 9.900,00/44.000.000 ∴ a = 0,000225. Em (04), fica:
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1.375.000.000×0,000225 + 11.000×b = 12.375,00 ∴ 11.000×b = 12.375,00 –
309.375,00 ∴
b = –297.000,00/11.000 ∴ b = –27.