6 Processo de Gram-Schmidt Complemento ortogonal

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Álgebra Linear
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Complemento ortogonal.
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Bases ortonormais
Definição
Se V é um espaço vetorial de dimensão n com produto interno 〈·, ·〉 e
{u1, . . . ,un} ⊂ V formam um conjunto ortonormal, então diremos que
estes vetores formam uma base ortonormal de V .
Proposição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 que possui uma
base ortonormal {u1, . . . ,un} ⊂ V . Então, cada u ∈ V se escreve
como u = 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un.
Pergunta-se: o que muda se considerarmos base ortogonal na
proposição acima?
Lema
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e U ⊆ V . Se u ∈ U e
u ⊥ U, então u = 0 .
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Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉
Proposição
1 Seja U = [u1, . . . ,un] ⊆ V o subespaço gerado por um conjunto
ortonormal S = {u1, . . . ,un}. Então, para qualquer u ∈ V , o vetor
v = u − (〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un) é ortogonal a U. Além disso,
v = 0 se, e somente se, u = 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un, i.e. u ∈ U.
2 Se S = {u1, . . . ,un} e R = {v1, . . . , vn} são conjuntos ortonormais
de V tais que [S] = [R]. Então, para cada u ∈ V , temos
〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un = 〈u, v1〉 v1 + · · ·+ 〈u, vn〉 vn.
Definição
Sejam S = {u1, . . . ,un} ⊆ V um conjunto ortonormal e
U = [u1, . . . ,un]. Dado u ∈ V , o vetor 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un é
chamado de projeção ortogonal de u sobre o subespaço U.
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Exercícios
1 Encontre todas as bases ortonormais de R2 com relação ao
produto interno canônico.
2 Encontre as coordenadas de (1,1) ∈ R2 com relação à base
formada por (
√
2
2 ,
√
2
2 ) e (
√
2
2 ,−
√
2
2 ).
3 Com relação ao produto interno usual de R3, verifique que os
vetores u1 = ( 1√3 ,−
1√
3
, 1√
3
) e u2 = ( 1√2 ,
1√
2
,0) formam um
conjunto ortonormal e encontre a projeção ortogonal de
u = (2,3,1) sobre o subespaço gerado por {u1,u2}.
4 Considere P3 com o produto interno dado por
〈p,q〉 =
∫ 1
0 p(x)q(x)dx . Encontre a projeção de
p(x) = −1 + x + x2 + x3 sobre [q(x)] = [x3 − x ].
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Processo de Gram-Schimdt e bases ortonormais
Objetivo: Obter a partir de um conjunto de vetores l.i um conjunto
ortogonal que gere o mesmo subespaço vetorial.
Consequência principal: Todo espaço vetorial com produto interno
e dimensão finita possui uma base ortogonal (e, portanto, uma base
ortonormal).
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O PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT.
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Considere
A = {v1, . . . , vn} ⊂ V um conjunto linearmente independente. Vamos
construir um conjunto de vetores A′ = {w1, . . . ,wn} que seja ortogonal
e tal que [A] = [A′]. A construção é feita de forma indutiva:
• w1 := v1
• w2 := v2 − 〈v2,w1〉‖w1‖2 w1
⇒ Justifique: w2 6= 0, w2 ⊥ w1 e [v1, v2] = [w1,w2].
• Interprete geometricamente o que seria w3, a partir de w1 e w2.
• Uma vez definidos w1, . . . ,wk , 1 < k < n, satisfazendo o que é
requerido, podemos definir
wk+1 := vk+1 −
〈vk+1,w1〉
‖w1‖2
w1 − · · · −
〈vk+1,wk 〉
‖wk‖2
wk
⇒ É possível que algum wk seja nulo?
⇒ O conjunto {w1, . . . ,wn} acima construído é ortogonal? É l.i?
⇒ Justifique: wi ∈W = [v1, . . . , vn], ∀ i ∈ {1, . . . ,n}.
⇒ Justifique: {w1, . . . ,wn} é uma base de W e [A] = [A′].
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Consequência
Como consequência do método apresentado acima, obtemos o
seguinte:
Teorema
Todo espaço vetorial de dimensão finita n ≥ 1 com produto interno
possui uma base ortonormal.
Uma grande vantagem de se trabalhar com bases ortonormais é que
o produto interno pode ser descrito de maneira bastante simples em
termos das coordenadas dos vetores. De fato, sejam V um espaço
vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e {v1, . . . , vn} uma base ortonormal
de V . Considere u =
∑n
i=1 αivi e v =
∑n
i=1 βjvj , com αi ’s e βj ’s. Então,
〈u, v〉 =
n∑
i=1
αiβi .
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Exercícios
1 Obtenha um conjunto de vetores ortonormais aplicando o método
de Gram-Schmidt aos vetores dos dois casos abaixo:
(i) v1 = (1,1,1), v2 = (0,2,1), v3 = (0,1,1)
(ii) v1 =

1
1
0
0
 , v2 =

1
0
1
0
 , v3 =

1
0
0
1
 , v4 =

0
1
1
0

2 Encontre uma base ortonormal para P3 considerando o produto
interno dado por 〈f ,g〉 =
∫ 1
−1 f (x)g(x)dx , onde f ,g ∈ P3.
Determine os coeficientes de 5− 3x + 4x2 − 7x3 na base
determinada na parte anterior.
3 Encontre um conjunto de vetores ortonormais {w1,w2,w3}, com
w1 = (0, 35 ,0,
4
5) em R
4.
4 Sejam v1, v2, v3 vetores linearmente dependentes. Mostre que, se
forçarmos o método de Gram-Schmidt para obtermos vetores
w1,w2,w3 a partir de v1, v2, v3, chegaremos a w2 = 0 ou w3 = 0.
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Complemento Ortogonal
Definição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e X ⊆ V um
subconjunto qualquer. O complemento ortogonal a X em V é o
conjunto
X⊥ = {v ∈ V | 〈v , x〉 = 0 para todo x ∈ X}.
Proposição
Verifique que X⊥ é um subespaço vetorial de V .
Teorema
Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno
〈·, ·〉 e U ⊂ V um subespaço vetorial. Então, V = U ⊕ U⊥.
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Exercícios
Exercícios
1 Encontre uma base ortogonal para o espaço vetorial
U = {(x , y , z,w) ∈ R4 | z = w e x − y + z = 0} e encontre U⊥.
2 Se V tem dimensão finita e U ⊆ V é um subespaço vetorial,
u ∈ U⊥ se, e somente se, u é ortogonal a todos vetores de uma
base qualquer de U.
3 Encontre U⊥ para U = {(x , y , z) ∈ R3 | x − y − z = 0}.
4 ? Encontre U⊥ para
U = {(x , y , z) ∈ R3 | ax + by + cz = 0, com a,b, c ∈ R}.
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Execícios
1 Responda verdadeiro ou falso, justificando suas respostas:
1 Sejam v1, v2, v3 vetores de um espaço vetorial V com produto
interno 〈·, ·〉. Se esses vetores são dois a dois ortogonais entre si,
então ‖v1 + v2 + v3‖2 = ‖v1‖2 + ‖v2‖2 + ‖v3‖2? Isso pode ser
generalizado para n vetores dois a dois ortogonais?
2 Sejam α, β, γ os ângulos que um vetor (x , y , z) 6= 0 faz com os
eixos coordenados Ox , Oy e Oz, respectivamente. Podemos dizer
que cosα = x‖(x,y,z)‖ , cosβ =
y
‖(x,y,z)‖ , cosγ =
z
‖(x,y,z)‖?
3 Sejam u e v vetores de um espaço vetorial V com produto interno
〈·, ·〉. Então, ‖u‖ = ‖v‖ se, e somente se, u + v ⊥ u − v?
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