MAT05 - Lista 01 - Paralelismo e ângulos no Triângulo

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MAT05_AULA1: PARALELISMO E 
ÂNGULOS NO TRIÂNGULO 
 
Prof. Marcão 
 
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ORIENTAÇÃO DE ESTUDOS 
BÁSICO 1 a 17, 22 a 25, 30 a 32, 42 
INTERMEDIÁRIO 4,5,11,12,13,16 a 25, 30 a 34, 
40 a 42 
AVANÇADO 16 a 30, 34,40,44,47,48,50 
 
NÍVEL BÁSICO 
1) (UNESP-modificado)Um raio de luz monocromático incide sobre a su-
perfície de um líquido, de tal modo que o raio refletido R forma um 
ângulo de 90° com o raio refratado r. O ângulo entre o raio incidente 
I e a superfície de separação dos dois meios mede 37°, como mostra 
a figura, onde α e β representam as medidas do ângulo de incidência 
e do ângulo de refração, respectivamente 
 
 
 
Assim, nesse caso, α – β é igual a: 
 
a)26° b)16° c)32° d)12° e)22° 
 
2) Determinar em qual horário após a meia noite os ponteiros das horas 
e dos minutos se encontram pela primeira vez . 
 
3) (AFA-2001) Sejam r e s paralelas. Determine a medida do ângulo α 
na figura a seguir: 
 
 
 
4) Calcule o valor de x: 
 
 
a) 20° b) 30° c) 50° d) 70° e) 90° 
 
 
 
5) (Fuvest) No retângulo abaixo, calcule o valor de α+β em graus. 
 
 
 
6) Em um triangulo ABC, as bissetrizes internas de �̂� e �̂� encon-
tram-se em O. Por O traça-se uma paralela a BC, determinando 
D em AB e E em AC. Então 
a) DE=BC-BD 
b) DE=BD+CE 
c) DE=AD+AE-BC 
d) BC=BD+CE 
e) NRA 
 
7) O ângulo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos �̂� e �̂� 
de um triangulo mede 1100 . Calcule o ângulo �̂� . 
8) Em um triangulo retângulo o ângulo formado pela altura e a bis-
setriz relativas ao ângulo reto mede 140. Determine os ângulos 
agudos do triangulo. 
 
9) Em um triangulo retângulo a altura e a mediana relativas a hipo-
tenusa, formam um ângulo de 200. Determine os ângulos agudos 
do triangulo. 
 
10) Na figura, BM e CM são bissetrizes dos triângulos internos de 
vértices B e C, e o ângulo BAC mede 70°. Calcule a medida x do 
ângulo BMC. 
 
 
11) (Fuvest) Na figura temos AB=BD=CD Calcule 
𝑥
𝑦
 
 
P 
12) (FUVEST) Na figura abaixo, tem-se que AD = AE, CD = CF e 
BA = BC. 
 
Se o ângulo EDF mede 80°, então o ângulo ABC mede: 
a)20° b)30° c)50° d)60° e)90° 
 
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13) (FUVEST ) Na figura adiante, AB=AC, BX=BY e CZ=CY. Se o ângulo 
A mede 40°, então o ângulo XYZ mede: 
 
a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 90° 
 
14) (MACK) Na figura, AB = AC = CD e BAE = 75°. 
 
 
 
O valor de x é: 
 
a)10° b)15° c)20° d)25° e)30° 
 
15) (MACK) 
 
 
a)90° b)120° c)110° d)130° e)140° 
 
 
Nível ITA 
 
16) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Prove que 𝑥 = 𝛼 + 𝛽 
 
 
 
 
 
17) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Prove que 𝛼1 +
𝛼2 + 𝛼3 = 360
0. 
 
 
18) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Prove que 𝛼1 +
𝛼2 + 𝛼3 + 𝛼4 = 540
0. 
 
 
 
19) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Prove que 𝛼1 +
𝛼2 + 𝛼3+. . . 𝛼𝑛 = (𝑛 − 1). 180
0. 
 
 
20) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Prove que 
 𝑥 + 𝑦 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 . 
 
21) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Prove que 𝑥 =
𝑦
2
 
 
 
 
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22) (Fuvest) Na figura temos AB=BD=DE e o segmento BD é bissetriz de 
𝐸�̂�𝐶 . 
Determine a medida de 𝐴𝐸�̂� . 
 
 
23) (ITA ) Na figura AB=AC, AD=DC=CB. Determine α. 
 
 
24) (OBMEP 2006) Na figura o triângulo ABC é isósceles, BÂC = 20º e 
BC = BD = BE. Determine a medida do ângulo BDE 
 
 
25) (VUNESP ) Considere o triângulo ABC da figura adiante.Se a bissetriz 
interna do ângulo B forma com a bissetriz externa do ângulo C um 
ângulo de 50°, determine a medida do ângulo interno A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) Em um triangulo ABC, mostre que o maior ângulo formado pelas bis-
setrizes internas de �̂� 𝑒 �̂� é igual a 
𝐴
2
+ 900. 
 
27) Em um triangulo ABC, mostre que o menor ângulo formado pela 
bissetriz interna de �̂� e pela bissetriz externa de �̂� é igual a 
𝐴
2
. 
 
28) Em um triangulo ABC, mostre que o menor ângulo formado pelas 
bissetrizes externas de �̂� e �̂� é igual a 900 −
𝐴
2
. 
 
29) Em um triângulo ABC, E e D são pontos de AC e BC respecti-
vamente. AF é bissetriz de ˆCAD e BF é bissetriz de ˆCBE . 
Prove que ˆ ˆ ˆm(AEB) m(ADB) 2m(AFB)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30) (OLIMPÍADA ARGENTINA) Seja ABC um triângulo tal que AB = 
AC. Seja ADC um triângulo tal que AC = CD. Seja AB perpendi-
cular a CD. Nestas condições, sendo x e y medidas, em graus, 
dos ângulos ADC e ABC respectivamente, podemos afirmar que 
x + y vale: 
 
a)130º b)135º c)145º d)150º e)155º 
 
31) (PUC-84) A soma das medidas dos ângulos A + B + C + D + E 
é: 
 
 
a) 60° b) 120° 
c) 180° d) 360° 
e) varia de “estrela” para “estrela” 
 
32) Calcule S=a+b+c+d+e+f 
 
50° 
B C 
A 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
B 
C 
D 
E 
F 
 
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33) (XXVI OBM) Na figura, quanto vale x ? 
 
 
a) 6º b) 12º c) 18º d) 20º e) 24º 
 
34) Calcule 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝜃 
 
 
 
35) (OBM 2001) O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triân-
gulo ABC de 90o no sentido anti-horário ao redor de C, conforme mos-
trado no desenho abaixo. Podemos afirmar que  é igual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)75º b)65º c)70º d)45º e)55º 
 
36) Na figura temos AB=AC e AD=AE. Determine x em função de α . 
 
 
 
 
 
37) Na figura abaixo, os segmentos AF e BF são congruentes e a 
soma das medidas dos ângulos BCE, ADE e CED totaliza 150°. 
Calcular a medida do ângulo DAB. 
 
 
38) No triângulo ADE da figura, em que B e C são pontos dos lados 
AD e AE, respectivamente, temos que: AB = AC, BC = BD, CD = 
CE e a medida do ângulo AED é 42°. Calcular a medida do ân-
gulo EAD. 
 
 
39) No triangulo ABC , retângulo em C. CF é a mediana relativa a 
hipotenusa ( F é ponto médio da hipotenusa) , CE é a bissetriz 
do ângulo ACB e CD é a altura relativa a hipotenusa. Prove que
DCE ECF 
 
40) Na figura, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e perpendicular a Oy , 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ e paralelo a Oy , 
PQ=2OA,𝑃�̂�𝐵 = 260. Calcule 𝑥�̂�𝑦. 
 
 
 
41) (OCM 1985) Os pontos M,O,Q e L,N,P estão nesta ordem 
sobre os lados AB e AC de um triângulo isósceles ABC de 
base BC , marcados de B para A e de C para A . Deter-
mine, em graus, o valor do ângulo do vértice A do triângulo
ABC , sabendo-se que 
CB BL LM MN NO OP PQ QA       
 
42) ( IME 1970 ) A bissetriz interna e a altura traçadas a partir do 
vértice C de um triângulo ABC formam um ângulo de 47°. 
Dado C = 34°, calcule os ângulos A e B. 
 
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43) Em um triângulo ABC com 
50)ˆ()ˆ(  CABmCBAm , a bisse-
triz do ângulo BCA ˆ intersecta o lado AB em D. Seja E o ponto do 
lado AC tal que 
90)ˆ( EDCm . A medida do ângulo EDA ˆ é: 
A) 25o B) 30o C) 40o D) 45o E) 50o 
 
 
Aprofundamento 
 
44) Seja ABCD um quadrilátero convexo tal que AB = BC = CD = 1 e 
ˆˆm(ABD) m(ACB) . Sabendo que as medidas, em graus, dos ângu-
los ˆABD e ˆACD são inteiras, determine quantos quadriláteros ABCD 
podem ser construídos satisfazendo as condições acima. 
 
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 
 
45) (OBM 2002) As medidas dos ângulos do triângulo ABC são tais que 
 < B < 90° < C. As bissetrizes externas dos ângulos  e C cortam os 
prolongamentos dos lados opostos BC e AB nos pontos P e Q, res-
pectivamente. Sabendo que AP=CQ=AC, determine os ângulos de 
ABC. 
 
46) Prove que se , no triangulo ABC a mediana AM divide o ângulo 𝐵�̂�𝐶 
na razão 1:2, e AM é extendido de M a D tal que DBA é um ângulo 
reto, então 
1
AC AD
2
 
 
47) No interior de um triangulo ABC desenha-se o ponto S, tal que 
𝐵�̂�𝑆 =
𝐴�̂�𝑆
3
= 200, 𝐴�̂�𝐶 = 1200 e 𝐴𝐵 = 𝑆𝐶. Calcule 𝐵�̂�𝑆 . 
 
48) No plano de um triangulo ABC, onde 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, desenha-se o ponto 
V na região exterior relativa a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , tal que 𝐴𝑉 = 𝐵𝐶. Se 
𝐵𝐴𝐶
4
=
𝐴�̂�𝑉
3
=
𝐴𝑉𝐶
13
, calcule 𝐶�̂�𝑉. 
 
49) No triângulo ABC com AB = BC, 0ˆABC 144 . Seja K um ponto em 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , L um ponto em 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e M em 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ de modo que 𝐾𝐿̅̅ ̅̅ ∥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐾𝑀̅̅ ̅̅ ̅ ∥
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e KL = KM. A reta 𝐿𝑀 ⃡ corta o prolongamento de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ em P. Ache 
a medida do ângulo 𝐵�̂�𝐿. 
 
50) Na figura abaixo, ABGH, BCFG e CDEF são quadrados iguais. De-
termine a soma 𝐴�̂�𝐻 + 𝐴�̂�𝐻 + 𝐴�̂�𝐻 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. 2 02. 1h 5min 27,27s 
 
03. 1350 04. D 
 
05. 1300 06. B 
 
07. 400 08. 310 e 550 
 
09. 350 e 550 10 1250 
 
11. 1
3
 
12 A 
13. D 14 D 
 
15. B 16 Demonstração 
 
17. Demonstração 18. Demonstração 
 
19. Demonstração 20. Demonstração 
 
21. Demonstração 22. 1080 
 
23. 360 24. 600 
 
25. 1000 26. Demonstração 
 
27. Demonstração 28. Demonstração 
 
29. Demonstração 30. B 
 
31. C 32. 360 
 
33. C 34. 5400 
 
35. E 36. 
2

 
 
37. 150 38. 680 
 
39. Demonstração 40. 780 
 
41. 200 42. 1200 e 260 
 
43. A 44. D 
 
45. �̂� = 120 , �̂� = 360, �̂� = 1320 46. Demonstração 
 
47. 100 48. 200 
 
49. 630 50. 900