Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre os pontos P, Q e R: I. ( ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k. - Para que os pontos sejam distintos, suas coordenadas devem ser diferentes. Vamos verificar: - P(10k, 10, 0) - Q(10k - 1, 20k, 20) - R(10, 30, -10) Para k = 1, temos: - P(10, 10, 0) - Q(9, 20, 20) - R(10, 30, -10) Os pontos são distintos. Para outros valores de k, P e Q podem se tornar iguais se 10k = 10k - 1, o que não é possível. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). II. ( ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo. - Para que três pontos definam um triângulo, eles não podem ser colineares. Vamos verificar se os vetores PQ e PR são proporcionais: - PQ = Q - P = (10k - 1 - 10k, 20k - 10, 20 - 0) = (-1, 20k - 10, 20) - PR = R - P = (10 - 10k, 30 - 10, -10 - 0) = (10 - 10k, 20, -10) Para k = 1, temos: - PQ = (-1, 10, 20) - PR = (0, 20, -10) Os vetores não são proporcionais, então os pontos não são colineares e definem um triângulo. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). III. ( ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P. - Para verificar se o triângulo é retângulo, precisamos verificar se o produto escalar entre os vetores PQ e PR é zero: - PQ = (-1, 10, 20) - PR = (0, 20, -10) O produto escalar é: - PQ · PR = (-1) * 0 + 10 * 20 + 20 * (-10) = 0 + 200 - 200 = 0 Como o produto escalar é zero, o triângulo é retângulo no vértice P. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). IV. ( ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a. - A área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula: - Área = (1/2) * |PQ x PR|, onde "x" representa o produto vetorial. Vamos calcular o produto vetorial: - PQ = (-1, 10, 20) - PR = (0, 20, -10) O produto vetorial PQ x PR é dado por: - |i j k| - |-1 10 20| - | 0 20 -10| Calculando o determinante, obtemos: - i(10 * -10 - 20 * 20) - j(-1 * -10 - 20 * 0) + k(-1 * 20 - 10 * 0) - = i(-100 - 400) - j(10) + k(-20) - = -500i - 10j - 20k O módulo do vetor resultante é: - |PQ x PR| = √((-500)² + (-10)² + (-20)²) = √(250000 + 100 + 400) = √(250500) A área do triângulo é: - Área = (1/2) * √(250500) ≈ 500 u.a. (aproximadamente). Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). Agora, a sequência correta é: V - V - V - V. A alternativa correta é: d) V - V - V - V.