1 Relatório de Circuitos Elétricos II

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
THIAGO VÍTOR SOARES ALVES 
 
 
MARCOS ANTÔNIO LEANDRO 
 
 
 
 
 
 
1o RELATÓRIO DE LABORATÓRIO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
RESPOSTAS NATURAL E A UM DEGRAU DE CIRCUITOS RC 
 
 
 
Professor Hélciner Vitor Ferreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NEPOMUCENO 
 
02 de Dezembro/2021 
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OBJETIVO 
 
O objetivo deste trabalho é realizar o estudo de circuitos de 1º ordem com enfoque nos 
circuitos RC, abrangendo as duas situações: a de uma resposta natural e a resposta a um degrau. 
Tudo isso, a fim de obter um maior entendimento do funcionamento e comportamento de um 
circuito RC. Para realizar esse estudo, utilizou-se dois exemplos de referências para cada uma 
das situações, sendo solucionados manualmente e computacionalmente (através do software 
LTspice). 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
Os circuitos denominados RC [1] são circuitos constituídos resistores e capacitores. A 
análise deste tipo de circuitos (RC) é realizada aplicando as leis de Kirchhoff da mesma 
maneira que se realiza em circuitos puramente resistivos. A única diferença é que para circuitos 
RC resultará em equações diferenciais enquanto em circuitos puramente resistivos produz 
equações algébricas (mais fáceis de se resolver se comparado as diferenciais). As equações 
diferenciais resultantes da análise de circuitos RC são de primeira ordem, consequentemente, 
os circuitos são conhecidos coletivamente como circuitos de primeira ordem. Estes circuitos 
RC possuem inúmeras aplicações em eletrônica, comunicações e sistemas de controle. 
Existem duas maneiras de excitar os dois tipos de circuitos de primeira ordem (RC e 
RL). A primeira está relacionada às condições iniciais dos elementos de armazenamento nos 
circuitos, nos quais são denominados de circuitos sem fonte, supomos que a energia esteja 
armazenada inicialmente no elemento capacitivo (nosso objeto de estudo em momento) ou 
indutivo. A energia faz a corrente fluir no circuito e ser gradualmente dissipada nos resistores. 
Embora os circuitos sem fonte sejam, por definição, livres de fontes independentes, eles podem, 
eventualmente, ter fontes dependentes. A segunda forma de se excitar esses circuitos é pelas 
fontes independentes, que serão consideradas normalmente como fontes CC. Depois de uma 
breve introdução a respeito dos circuitos de primeira ordem, o foco deste trabalho será o estudo 
de circuitos RC, abrangendo duas situações. 
A primeira situação é um circuito RC sem fonte, que ocorre quando sua fonte CC é 
desconectada abruptamente, sendo assim a energia já armazenada no capacitor é liberada para 
os resistores. Considera-se o circuito da figura 1 logo abaixo: 
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Figura 1 - Circuito RC sem fonte 
 
Uma vez que o capacitor está carregado inicialmente, podemos supor que no instante t 
= 0 a tensão inicial v(0) = V0, cujo o valor correspondente da energia armazenada é dada por: 
 
Aplicando, então, todos os entendimentos advindos de circuitos elétricos I (como 
análises de malhas e LKC) e de cálculo (a respeito das equações diferenciais de primeira 
ordem) e realizando as devidas manipulações, determina-se que a partir das condições iniciais, 
dada por v(0) = A = V0, o valor da tensão v(t) no capacitor é referenciada pela equação 1 abaixo: 
 
Demonstrando que a resposta em tensão do circuito RC é uma queda exponencial da 
tensão inicial. Uma vez que a resposta se deve à energia inicial armazenada e às características 
físicas do circuito e não a alguma fonte de tensão ou de corrente externa, ela é chamada de 
resposta natural do circuito. A resposta natural de um circuito se refere ao comportamento do 
próprio circuito, em termos de tensões e correntes, sem nenhuma fonte externa de excitação. 
Ela pode ser visualizada graficamente pela figura 2 a seguir: 
 
Figura 2 - Resposta em tensão do circuito RC 
 
Observe pela figura 2 que a medida que o tempo aumenta, a tensão diminui em direção 
a zero. A rapidez com que a tensão decresce é expressa em termos da constante de tempo, 
representada pela letra grega minúscula tau. A constante de tempo de um circuito é o tempo 
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necessário para a resposta de decaimento a um fator igual a 1/e ou a 36,8% de seu valor inicial. 
Logo, para a equação 1 denominada v(t), resulta no instante t = tau em: 
 
 
Assim, em termos da constante de tempo, a equação v(t) pode ser expressa como: 
 
Para que haja uma carga ou descarga por completo do capacitor, deverá ser considerado 
um intervalo de 5 constantes de tempo. Portanto, o segredo para se trabalhar com o circuito RC 
sem fonte é determinar: primeiramente, a tensão inicial v(0) = V0 no capacitor e, em seguida, 
determinar a constante de tempo. Conhecendo esses parâmetros, consegue-se determinar outros 
como corrente do capacitor iC, tensão vR e a corrente do resistor iR. 
 
Já a segunda situação é a resposta de um circuito RC em degrau. Essa situação acontece 
quando a fonte CC de um circuito RC for aplicada repentinamente, a fonte de tensão ou de 
corrente pode ser modelada como uma função degrau, sendo a resposta denominada como 
resposta a um degrau. A resposta a um degrau é a resposta do circuito decorrente de uma 
aplicação súbita de uma fonte de tensão ou de corrente CC. Considera-se o circuito RC da 
figura 3: 
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Figura 3 - Circuito RC com entrada de degrau de tensão 
 
Consideremos o circuito RC da figura 3a que pode ser substituído pelo circuito da figura 
b, onde Vs é uma constante, a fonte de tensão CC. Repetindo, optamos pela tensão do capacitor 
como resposta do circuito a ser determinada. Suponha-se uma tensão inicial V0 no capacitor, 
(embora isso não seja necessário para a resposta a um degrau). Já 
que a tensão de um capacitor não pode mudar instantaneamente, 
apresenta-se a imagem ao lado, onde v(0–) é a tensão no capacitor 
imediatamente antes da mudança e v(0+) é sua tensão imediatamente após a mudança. 
 
Portanto, aplicando os conhecimentos de circuitos/cálculos e realizando a manipulações 
necessárias, chega-se que para instante de t > 0, uma expressão da tensão v(t), o qual é chamada 
de equação 2: 
 
Logo, obtém-se uma resposta completa, dada por: 
 
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Assim, esta é chamada de resposta completa (ou resposta total) de um circuito RC à 
aplicação súbita de uma fonte de tensão CC, partindo do pressuposto de que o capacitor esteja 
inicialmente carregado. Esta resposta pode ser visualizada a seguir: 
 
 
Figura 4 - Resposta de um circuito RC com capacitor inicialmente carregador 
 
Ao analisar a equação 2, fica evidente que v(t) possui duas componentes. 
Classicamente, existem duas maneiras de decompor isso em duas componentes. A primeira 
delas é dividi-la em “resposta natural e resposta forçada”. Partindo inicialmente das respostas 
natural e forçada, podemos escrever a resposta total ou completa como: 
 
 Para encontrar a resposta a um degrau de um circuito RC requer três passos: primeiro, 
determinar a tensão inicial v(0) no capacitor; segundo, determinar a tensão final v(∞) no 
capacitor e por último, a constante de tempo (tau). 
 
METODOLOGIA 
 
Para o referido relatório, foram propostos dois problemas a fim de serem solucionados 
com o conhecimento acerca de um circuito RC. Portantos, os exercícios são: 
1) A chave no circuito da Figura 01 foi fechada por um longo período e é aberta em t = 0. 
Determine: 
a) Defina a constante de tempo do circuito. 
b) v(t) para t >= 0. 
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c) Calcule a energia inicial armazenada no capacitor. 
d) Simule o circuito no LTSPICE, apresentando a forma de onda da tensão de saída no 
capacitor, corrente no capacitor, tensão e corrente no resistor equivalente (1Ω - 9Ω). 
 
2) A chave da Figura 2 se encontra na posição A há um bom tempo. Em t = 0, a chave é mudada 
para a posição B. 
Determine: 
a) v(t) para t >0. 
b) Calcule o valor da tensão no capacitorno tempo t = 1 s e 4 s. 
c) Simule o circuito no LTSPICE, apresentando a forma de onda da tensão de saída no 
capacitor, corrente no capacitor, tensão e corrente no resistor (4kΩ). 
 
 
 
 
 
 
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A seguir, apresenta-se o diagrama esquemático completo das montagens ou 
simplesmente os circuitos dos dois exercícios: 
 
 
Figura 5 - Circuito do Problema 1 
 
 
Figura 6 - Circuito do Problema 2 
 
 Para realizar as medições, utilizou-se amperímetro e voltímetro no LTspice, onde os 
mesmos são considerados virtuais. O amperímetro é um instrumento eletrônico utilizado para 
medir corrente elétrica, tanto alternada quanto contínua, que passa por um fio ou ramo, ele deve 
ser ligado sempre em série para aferir a corrente que passa por determinada região do circuito 
e a sua unidade de medida é o Àmpere [A]. Já o voltímetro é um aparelho eletrônico utilizado 
para medir a diferença de potencial ou DDP entre dois pontos ou dois nós, justamente por esse 
motivo sempre deve ser ligado em paralelo com trecho em específico do circuito, a qual se 
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deseja obter a tensão elétrica. O voltímetro pode medir tensões contínuas ou alternadas e sua 
unidade de medida é o Volts [V]. 
Para montar ambos os circuitos, utilizou-se fontes de tensão, capacitores, resistores e 
chaves seccionadoras. Cada componente dos circuitos recebeu os parâmetros determinados 
pelo próprio problema/exercício (pode ser visualizado pelas figuras dos dois problemas), 
possibilitando o desenho dos circuitos e, em seguida, a sua simulação. Já em relação ao pontos 
de medição, utilizou-se amperímetros e voltímetros virtuais, os quais no LTspice possuem uma 
interface diferente dos outros programas de simulação eletrônica. 
Para o uso do voltímetro virtual, basta passar o cursor do mouse sobre o nó desejado 
que aparecerá o símbolo de uma ponta de prova de um voltímetro (ao clicar com o botão 
esquerdo do mouse, aparecerá uma janela gráfica mostrando a curva correspondente a tensão 
no nó desejado em função da tensão da varredura configurada anteriormente). Assim como, 
pode-se também, arrastar o cursor do mouse de um nó desejado a outro nó para medir a 
diferença de potencial (DDP), neste caso, perceba a aparência de uma ponta de prova vermelha 
(positivo) e preta (negativo) respectivamente. 
Para o uso do amperímetro virtual, basta passar o cursor do mouse sobre o componente 
eletrônico desejado e aparecerá o símbolo de um alicate (justificando ser o próprio 
amperímetro) e ao clicar com o botão esquerdo do mouse, aparecerá a janela gráfica referente 
a corrente elétrica que passa pelo componente. Note que ao aparecer o símbolo do alicate, é 
observado também o sentido de propagação da corrente elétrica nesse elemento do circuito 
(podendo ser ao contrário, caso inverta a polaridade dos componentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESULTADOS 
 
 Os resultados obtidos na resolução do Problema 1 foram os seguintes (seguindo o 
estabelecido pelo exercício): 
 
 
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Para a letra D) do Problema 1, foi requisitada a simulação do circuito montado no 
LTSPICE, apresentando a forma de onda da tensão de saída no capacitor, corrente no capacitor, 
tensão e corrente no resistor equivalente (1Ω - 9Ω). Essas informações podem ser vistas pelas 
imagens abaixo: 
 
 
 
Figura 7 - Gráfico da tensão (verde claro) e corrente (azul) de saída no capacitor. 
 
 
Figura 8 - Gráfico da tensão (vermelho) e corrente (dourado) do resistor equivalente [1Ω - 
9Ω]. 
Observa-se através da Figura 7 e 8 que o capacitor começa com uma tensão inicial de 
15 V, logo após abertura da chave. Perceba-se também, que o capacitor descarrega totalmente 
e atinge o regime permanente próximo ao 1 s, que é aproximadamente 5 constante de tempo, 
ou seja, o sistema gasta 1s para sair da resposta transitória. A tensão em cima do capacitor é a 
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mesma em cima do resistor equivalente 1Ω - 9Ω (estes resistores estariam em paralelo com o 
capacitor), pois o circuito apresenta apenas uma malha e consequentemente a corrente em cima 
do capacitor é a mesma do que no resistor equivalente. 
Os resultados obtidos na resolução do Problema 2 foram os seguintes (seguindo o 
estabelecido pelo exercício): 
 
 
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Para a letra C) do Problema 1, foi requisitada a simulação do circuito montado no LTSPICE, 
apresentando a forma de onda da tensão de saída no capacitor, corrente no capacitor, tensão e 
corrente no resistor (4 kΩ). Essas informações podem ser vistas pelas imagens abaixo: 
 
 
Figura 9 - Gráfico da tensão (verde claro) e corrente (azul) de saída no capacitor. 
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Figura 10 - Gráfico da tensão (verde claro) e corrente (azul) no resistor de 4 kΩ. 
 
 Observa-se através da Figura 9 e 10 que o capacitor começa com uma tensão inicial de 
15 V para um t > 0s, quando a chave se encontra na posição B (desconsiderando todo o lado 
esquerdo do circuito da figura do exercício). Perceba-se também, que o capacitor carrega 
totalmente e atinge o regime permanente próximo ao 10 s, que é aproximadamente 5 constante 
de tempo (tau = 2 s), ou seja, o sistema gasta 10 s para sair da resposta transitória e atingir 30 
V que é o regime permanente. Como o circuito na posição B vai apresentar apenas uma malha, 
a corrente elétrica no capacitor é a mesma do que no resistor de 4 kΩ. Em contrapartida, a soma 
da tensão no capacitor e no resistor de 4 kΩ deverá ser igual ao valor da fonte de tensão de 
30V, já que tanto o capacitor quanto o resistor referido estão em série. Perceba que ao analisar 
a tensão nos dois elementos, ambos apresentam comportamentos gráficos contrários seguindo 
uma função exponencial, ou seja, enquanto a tensão no capacitor se eleva, a tensão no resistor 
requerido diminui. 
 
CONCLUSÃO 
 
 Diante do exposto, pode-se inferir que o software LTspice é bastante eficiente e ágil 
para simular circuitos elétricos simples ou complexos, comprovando também a veracidade dos 
cálculos manuais. Note que todo o conhecimento teórico foi aliada à prática para um melhor 
entendimento das respostas natural e a um degrau de um circuito RC, observando 
exclusivamente o comportamento mais detalhado das formas de ondas. É importante a 
utilização do programa, já que o mesmo confirma a confiabilidade do projeto elétrico na vida 
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real, evitando gastos maiores com algo desnecessário. Tudo isso é imprescindível para a 
formação de um engenheiro eletricista, agregando valor e conhecimento a sua carreira. 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2004.