Campo elétrico Uniforme e Superfícies

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Campo elétrico Uniforme e Superfícies 
equipotenciais
APRESENTAÇÃO
O estudo de superfícies equipotenciais está intimamente relacionado com o trabalho realizado 
sobre cargas em campos elétricos. Por meio da identificação dessas superfícies, podemos 
calcular o trabalho e também saber quando este é nulo. Outra aplicação interessante consiste 
nos capacitores, que são capazes de armazenar energia potencial elétrica entre superfícies 
metálicas devido à diferença de potencial obtida. 
 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender a identificar as superfícies equipotenciais e 
a calcular o trabalho originado dos campos elétricos entre tais superfícies. 
 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar regiões em que não ocorrem variações do potencial elétrico e em que, 
consequentemente, uma carga elétrica não está submetida a um trabalho.
•
Determinar a diferença de potencial em regiões em que o campo elétrico é constante.•
Resolver o trabalho sobre uma carga em uma região com campo elétrico uniforme.•
DESAFIO
Uma casca esférica metálica, quando uniformemente carregada com carga negativa Q, apresenta 
um campo elétrico nulo em seu interior e um vetor campo elétrico em seu exterior que aponta 
para o centro, como mostrado na figura a seguir. Imagine, agora, o que ocorre se colocarmos 
uma carga positiva Q no centro dessa casca esférica.
Explique o fenômeno com suas palavras e desenhe uma figura esquematizando a 
configuração final das linhas de campo.
 
INFOGRÁFICO
 
Superfícies equipotenciais são regiões no espaço que possuem o mesmo valor de potencial 
elétrico. O trabalho pelo campo elétrico realizado sobre uma carga não depende da trajetória. 
Assim, basta que os pontos iniciais e finais da trajetória estejam em uma mesma superfície 
equipotencial para o trabalho ser nulo, mesmo que essa trajetória passe por regiões fora da 
superfície em questão. 
 
Veja o Infográfico e conheça mais sobre o tema.
CONTEÚDO DO LIVRO
Você sabia que o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga não depende da 
trajetória? E que as superfícies equipotenciais são regiões no espaço que possuem o mesmo 
valor de potencial elétrico e podem ser tratadas como curvas de nível?
Neste capítulo, Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais, do 
livro Eletromagnetismo, você vai entender o porquê dessa relação, além de aprender como 
identificar tais superfícies. Verá, também, como determinar a diferença de potencial usando o 
campo elétrico e como calcular o trabalho em campo elétrico uniforme usando a geometria do 
problema. 
 
Boa leitura.
ELETROMAGNETISMO
Mariana Sacrini 
Ayres Ferraz
 
Campo elétrico uniforme e 
superfícies equipotenciais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar regiões em que não ocorrem variações do potencial elé-
trico e que, devido a isso, uma carga elétrica não está submetida a 
um trabalho.
 � Determinar a diferença de potencial em regiões onde o campo elétrico 
é constante.
 � Resolver o trabalho sobre uma carga em uma região com campo 
elétrico uniforme.
Introdução
O estudo de superfícies equipotenciais está intimamente relacionado 
com trabalho realizado sobre cargas em campos elétricos. Por meio da 
identificação dessas superfícies, podemos calcular o trabalho e, também, 
saber quando este é nulo. Outra aplicação interessante são os capacitores, 
que são capazes de armazenar energia potencial elétrica entre superfícies 
metálicas, devido à diferença de potencial obtida. 
Neste capítulo, você vai aprender a identificar as superfícies equipo-
tenciais e calcular o trabalho devido a campos elétricos entre elas.
Superfícies equipotenciais
Superfícies equipotenciais são regiões no espaço que possuem o mesmo valor de 
potencial elétrico. A Figura 1 ilustra linhas equipotenciais em duas dimensões, 
ou seja, seções transversais das superfícies equipotenciais. Vemos que, para 
cada linha, há um valor de potencial. Isso implica que a diferença de potencial 
entre dois pontos pertencentes à mesma superfície equipotencial será nula.
Figura 1. Exemplo de linhas equipotenciais.
Fonte: Mundim (1999a).
Superfícies e linhas equipotenciais podem ser pensadas como curvas de 
níveis. A Figura 2a mostra três picos. Estes podem ser delimitados por curvas 
(Figura 2b) que são projetadas em duas dimensões (Figura 2c), e cada uma 
delas é referente a uma altitude diferente. Se tivermos o potencial em 3D, 
podemos, da mesma maneira que em curvas de nível, encontrar superfícies 
ou linhas equipotenciais.
Figura 2. Exemplo de como são geradas as curvas de nível. Método semelhante ao usado 
para gerar linhas equipotenciais.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012).
(a) (b) (c)
Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais2
Vamos relembrar a definição de diferença de potencial. Ela é dada por:
∆V = Vf – Vi = –
Wif
q0
Ou seja, a diferença de potencial entre dois pontos i e f é igual ao negativo 
do trabalho Wif realizado para mover a carga teste q0 do ponto i para o ponto f. 
Supondo que os pontos i e f estejam em uma mesma superfície equipotencial, 
∆V será zero. Assim:
∆V = 0 = –
Wif
q0
Wif = –q0 0 = 0
O trabalho realizado no percurso de i para f será nulo. Assim, nenhum 
trabalho é realizado sobre a carga pelo campo elétrico quando ela move-se entre 
pontos iniciais e finais pertencentes a uma mesma superfície equipotencial.
O trabalho pelo campo elétrico realizado sobre uma carga não depende da trajetória. 
Assim, bastam os pontos iniciais e finais da trajetória estar em uma mesma superfície 
equipotencial para o trabalho ser nulo, mesmo que ela passe por regiões fora da 
superfície em questão.
Veja a ilustração a seguir. Nela, temos quatro superfícies equipotenciais e quatro 
exemplos de trajetórias realizadas por uma carga teste. As trajetórias I e II têm seus 
pontos iniciais e finais pertencentes a uma mesma superfície equipotencial. Assim, 
os trabalhos realizados são nulos. Já as trajetórias III e IV iniciam-se em uma superfície 
e terminam em outra. Assim, os trabalhos não são nulos. Mas note que os trabalhos 
serão iguais, pois a diferença de potencial é igual para essas trajetórias.
3Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais
A Figura 3 mostra um exemplo de um campo uniforme e as superfícies 
equipotenciais. As superfícies são perpendiculares às linhas de campo, ou 
seja, ao vetor de campo elétrico. Se pensarmos bem, podemos concluir que 
as superfícies serão sempre perpendiculares ao campo elétrico, pois, caso não 
fossem, existiria uma componente do campo que realizaria trabalho durante 
alguma trajetória contida em uma superfície equipotencial. Lembrando que 
Wif = qE · d = qEdcos(θ) , ou seja, apenas se o ângulo θ entre o deslocamento 
d e o campo elétrico E for perpendicular é que resultará em um trabalho nulo.
Fonte: Halliday (2004, p. 66).
Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais4
Figura 3. Exemplo de campo uniforme e seções transversais das 
superfícies equipotenciais.
As superfícies equipotenciais de cargas puntiformes são constituídas por esferas 
concêntricas, perpendiculares ao vetor de campo elétrico radial à carga.
A seguir, outros exemplos de superfícies equipotenciais para conjuntos de cargas.
5Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais
Diferença de potencial em campos elétricos 
A partir do conhecimento do vetor campo elétrico, é possível encontrar a 
diferença de potencial entre dois pontos, ou entre superfícies equipotenciais. 
Podemos imaginar uma trajetória de uma carga teste q0 imersa em um campo 
elétrico E . Ela sofre um deslocamento diferencial ds devido à ação de uma 
força eletrostática F que realiza um trabalho diferencial dW:
dW = F · ds = q0E · ds
O trabalho total durante a trajetória será a integral do trabalho diferencial 
em toda a trajetória:
Wif = q0 ∫ E · ds
f
i
Substituindona equação da diferença de potencial, encontramos que:
∆V = Vf – Vi = –
Wif
q0 – ∫ E · ds
f
i
Fonte: Mundim (1999b).
Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais6
Ou seja, a diferença de potencial entre dois pontos, ou duas superfícies 
equipotenciais, é o negativo da integral de linha de E · ds entre esses pontos.
Qual a diferença de potencial entre os pontos A e B, indicados na figura, próximos a 
uma carga positiva?
O campo elétrico, a uma distância r da carga, é dado por:
E (r) = k
Q
r2
onde k é a constante eletrostática (k = 8,99 • 109 N•m2/C2).
A diferença de potencial entre os pontos A e B é dada por:
VB – VA = – ∫ E · dl = –∫ E dr = –kQ ∫ 1r2
1
r
–( ) 1rB 1rA–( )dr = –kQ = kQ
rB
rA
rB
rA
rB
rA
B
A
Trabalho em campo elétrico uniforme
Quando conhecemos o vetor campo elétrico, o trabalho para se mover uma 
carga teste imersa nesse campo pode ser determinado. Como vimos ante-
riormente, o campo não realizará trabalho sobre a carga se esta se mover 
perpendicularmente ao campo, ou se mover-se entre pontos de uma mesma 
superfície equipotencial. Vamos olhar os casos mostrados na Figura 4. Nos 
três casos, a carga inicia a trajetória no ponto i e finaliza no ponto f, mas o 
7Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais
percurso é diferente. No primeiro caso, a trajetória segue paralelamente a uma 
linha de campo de i para f; no segundo caso, a trajetória inicia-se do ponto 
i para o ponto c perpendicular a uma linha de campo e depois segue para o 
ponto f fazendo um ângulo de 45° com o vetor de campo elétrico; e no terceiro 
caso, a partícula vai até c, segue para o ponto d paralelamente a uma linha de 
campo, e segue para f perpendicularmente ao campo.
Figura 4. Carga teste q0 imersa em um campo elétrico E movendo-se entre os pontos i e 
f. A carga move-se por três trajetórias diferentes.
Sabemos que o trabalho é independente do caminho. Assim, o trabalho 
realizado nos três casos tem que ser igual. Além do mais, o trabalho nos 
percursos de i para c, e de d para f devem ser zeros, pois os deslocamentos são 
perpendiculares ao vetor do campo elétrico. Outra observação que podemos 
fazer é que o trabalho de i para f no primeiro caso, deve ser igual ao trabalho 
de c para d, do terceiro caso, pois essas trajetórias movem-se entre as mesmas 
duas superfícies equipotenciais, como podemos visualizar na Figura 3.
Podemos fazer os cálculos explícitos para demonstrar o que dissemos 
intuitivamente no parágrafo anterior. Para o primeiro caso, temos que:
Vf – Vi = – ∫ E · ds = –∫ Ecos(0°)ds = –E ∫ ds = –Ed
f
i
f
i
f
i
Agora, para o segundo caso, ficamos com:
Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais8
Vf – Vi = – ∫ E · ds = –∫ E · ds –∫ E · ds = – ∫ Ecos(90°)ds –∫ Ecos(45°)ds
f
i
c
i
f
c
c
i
f
c
= 0 – E √22 ∫ ds
f
c
A integral de ds nesse caso, é o comprimento de c até f, ou seja, d/sen(45°). 
Assim, ficamos com:
Vf – Vi = – E
√2
2
2
√2d = –Ed
Para o terceiro caso, temos que:
Vf – Vi = – ∫ E · ds = –∫ E · ds –∫ E · ds – ∫ E ∙ ds
f
i
c
i
d
c
f
d
= ∫ Ecos(90°)ds –∫ Ecos(0°)ds –∫ Ecos(90°)ds
c
i
d
c
f
d
= –0 – E ∫ ds – 0 = –Ed 
d
c
9Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magne-
tismo. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2012. 
HALLIDAY, D. Física 3. 5. ed. São Paulo: LTC, 2004. 
MUNDIM, K. C. Superfícies e Linhas Equipotenciais. Brasília, DF: UnB, 1999a. Disponível 
em: <http://ensinoadistancia.pro.br/EaD/Eletromagnetismo/Equipotenciais/Equipo-
tenciais.html>. Acesso em: 02 fev. 2018.
MUNDIM, K. C. Propriedades das Superfícies Equipotenciais. Brasília, DF: UnB, 1999b. 
Disponível em: <http://ensinoadistancia.pro.br/EaD/Eletromagnetismo/Equipoten-
ciaisProp/EquipotenciaisProp.html>. Acesso em: 02 fev. 2018. 
Leituras recomendadas
SILVA, D. C. M. Superfície equipotencial. Mundo Educação, Goiânia, 2016. Disponível 
em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/superficie-equipotencial.htm>. 
Acesso em: 02 fev. 2018.
SILVA, P. Potencial elétrico de uma esfera condutora eletrizada. Brasil Escola, Goiânia, 
2018. Disponível em: < http://brasilescola.uol.com.br/fisica/potencial-eletrico-uma-
-esfera-condutora-eletrizada.htm>. Acesso em: 02 fev. 2018.
Campo elétrico uniforme e superfícies equipotenciais10
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Como você viu anteriormente, o estudo de superfícies equipotenciais está relacionado com o 
trabalho realizado sobre cargas em campos elétricos. Quando você identifica essas superfícies, 
pode calcular o trabalho e saber quando este é nulo. 
Nesta Dica do Professor, vamos revisar o tema das superfícies equipotenciais e do trabalho 
realizado sobre partículas.
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EXERCÍCIOS
1) Tendo em vista as seguintes afirmações: 
I - o trabalho realizado sobre uma carga é nulo caso esta se mova entre pontos em 
uma mesma superfície equipotencial; 
II - o trabalho realizado pelo campo elétrico em uma carga depende da trajetória 
feita por essa carga; 
III - as superfícies equipotenciais de um campo elétrico uniforme são perpendiculares 
a esse campo. 
 
É correto afirmar que:
A) as afirmativas I, II e III estão corretas.
B) as afirmativas I e II estão corretas.
C) as afirmativas I e III estão corretas.
D) as afirmativas II e III estão corretas.
E) apenas a afirmativa III está correta.
2) Considere uma casca esférica metálica uniformemente carregada com carga Q e de 
raio R. Sabendo-se que, no interior da casca, o campo elétrico é nulo, é correto 
afirmar que:
A) o potencial no interior da casca é nulo.
B) o potencial para r > R é diretamente proporcional a r.
C) o potencial no interior da casca é constante.
D) os potenciais para r < R e para r > R são iguais.
E) o potencial para r > R decai com r2.
Um elétron move-se do ponto A até o ponto B ao longo da linha de campo, como mostrado 
na figura: 
 
3) 
 
Nessa trajetória, o campo elétrico realiza um trabalho de 3,94 10-19 J. Quais são as 
diferenças de potencial elétrico Vb-Va, Vc-Va e Vc-Vb em volts? Use a carga do elétron 
como -1,6 10-19 C.
A) As diferenças de potencial elétrico são, respectivamente: -2,46, -2,46 e zero.
B) As diferenças de potencial elétrico são, respectivamente: 2,46, -2,46 e zero.
C) As diferenças de potencial elétrico são, respectivamente: -2,46, 2,46 e zero.
D) As diferenças de potencial elétrico são, respectivamente: 2,46, 2,46 e zero.
E) As diferenças de potencial elétrico são, respectivamente: -2,46, zero e zero.
Considerando-se o esquema a seguir, qual é a diferença de potencial entre os pontos A e B 
com o deslocamento de uma carga-teste Q? 
4) 
 
A) A diferença de potencial é -Ed.
B) A diferença de potencial é Ed.
C) A diferença de potencial é Ed/2.
D) A diferença de potencial é -Ed/2.
E) A diferença de potencial é 3Ed/4.
Uma carga move-se de A para B em um campo elétrico E, conforme imagem a seguir. 5) 
Supondo a diferença de potencial entre os pontos A e B dV=-20 V, d=1,0 m e q=2,0 C, qual 
é a força na carga Q em N?
A) A força na carga Q em N é 4.
B) A força na carga Q em N é 10.
C) A força na carga Q em N é 20.
D) A força na carga Q em N é 40.
E) A força na carga Q em N é 60.
NA PRÁTICA
Você consegue imaginar algum exemplo em que estejam envolvidos campos elétricos uniformes 
e superfícies equipotenciais? Uma resposta esperada seria: capacitores.Um capacitor é 
formado basicamente por duas placas condutoras paralelas, como mostra o esquema a 
seguir, separadas por uma distância. As placas, quando carregadas com cargas opostas, geram 
um campo elétrico uniforme em seu interior, representado pelas setas em vermelho. Já as 
superfícies equipotenciais estão representas em azul, paralelas ao campo.
Uma das utilidades do capacitoré armazenar energia potencial. Após ser carregado, ele pode ser 
usado, por exemplo, em desfibriladores, que precisam de altas tensões para administrar os 
choques nas vítimas de paradas cardíacas. 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Simulador para cargas e campos.
Acesse o simulador a seguir para verificar um caso prático sobre os vetores de campo e as 
superfícies equipotenciais.
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Superfícies equipotenciais.
No vídeo a seguir, você poderá ver uma montagem experimental com placas metálicas paralelas 
para o estudo do campo elétrico e das superfícies equipotenciais.
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Mapeamento de equipotenciais de terminais circulares carregados.
Veja neste link experimentos de mapeamento de superfícies equipotenciais que também podem 
ser feitos em simetrias diferentes das de placas paralelas.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!