Eletricidade e Magnetismo

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MAGNETISMO
Adir Moysés Luiz 
Sérgio Lins Gouveia
Eletricidade e 
Magnetismo
Adir M. Luiz 
Sérgio L. Gouveia
r'"/' Editora "'x
www.VestSeller.com.br
http://www.VestSeller.com.br
1989 by Adir Moysés Luiz e Sérgio Lins Gouveia
L978e
89-0048
npresso no Brasil 
rinted in Brazil
1. Eletricidade. 2. Magnetismo. 3. Eletromag- 
netismo. I. Gouveia, Sérgio Lins, 1944. II. Titulo. 
III. Série.
CDD - 537
CDU — 537
bdos os direitos desta edição reservados à
Iditora Vestseller
■ww.vcstscUer.com.br
Apêndice : exercícios e tabelas.
ISBN 85-265-0166-6 — 85-265-0164-X (cole­
ção)
CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ.
Luís, Adir Moisés, 1942-
Eletricidade c magnetismo/
Adir M. Luiz, Sérgio L. Gouveia. — Fortaleza 
: Editora VestSeller, 2006.
(Coleção Física)
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ÍNDICE
Capítulo 1 ELETROSTÁTICA 9
1.1 Introdução 9
1.2 Carga elétrica e indução eletrostática 10
1.3 Lei de Coulomb 17
1.4 Blindagem eletrostática 22
1.5 Geradores eletrostáticos 23
1.6 Campo elétrico 24
1.7 Lei de Gauss 35
1.8 Potencial elétrico 44
1.9 Capacitância de um capacitor 57
1.10 Capacitância equivalente de uma associação de capacitores 66
1.11 Energia elétrica e densidade de energia elétrica 73
1.12 Armazenamento da energia elétrica 75
1.13 Fenômenos elétricos na atmosfera 76
1.14 Aplicações da eletrostática 77
Questionário 78
Exercícios 79
Problemas 88
Capítulo 2 ELETRODINÃM1CA 102
2.1 Introdução 102
2.2 Efeitos produzidos por uma corrente elétrica 102
2.3 Densidade de corrente elétrica 106
2.4 Resistência elétrica e Lei de Ohm 109
2.5 Variação da resistência com a temperatura 114
2.6 Potência elétrica e Lei de Joule 114
2.7 Força eletromotriz de um gerador elétrico 118
2.8 Circuito elétrico simples 121
2.9 Determinação da diferença de potencial entre dois pontos 124
2.10 Circuitos com diversas malhas 133
2.11 Circuitos com resistores e capacitores 140
2.12 Eletrodinâmica de sistemas especiais 143
Questionário 149
Exercícios 151
Problemas 157
Capítulo. 3 MAGNETISMO 172
3.1 Introdução 172
3.2 Campo magnético 172
3.3 Propriedades dos ímãs 177
4 Campo magnético produzido por uma corrente elétrica 184
.5 Campo magnético produzido por uma espira circular 187
6 Campo magnético produzido por um solenóide 192
7 Força magnética sobre uma carga em movimento 194
8 Trajetória de uma carga elétrica num campo magnético uniforme 195
9 Força magnética sobre um fio que conduz uma corrente elétrica 199
10 Torque magnético sobre uma espira e sobre uma bobina 202
.11 Lei de Ampère 203
. 12 Interação entre dois fios retilíneos 208
.13 Interação entre duas cspiras de corrente 209
Questionário 210
Exercícios 211
Problemas 215
apítulo 4 ELETROMAGNETISMO 224
.1 Introdução 224
.2 Indução eletromagnética 224
.3 Indutância de um indutor 234
,4 Energia associada a um campo magnético 239
.5 Circuitos com resistores e indutores 240
.6 Circuitos de corrente alternada 243
.7 Ondas eletromagnéticas 256
Questionário 266
Exercícios 267
Problemas 270
IBLIOGRAFIA 280
pêndice A Noções de eletrotécnica e de eletrônica 281
pêndice B Noções de supercondutividade 318
pêndice C Algumas tabelas importantes 324
pêndice D Unidades eletromagnéticas 325
pêndice E Sistema Internacional (SI) 329
pêndice F Complementos de Matemática 332
LOSSÁRIO 340
Rio de Janeiro, setembro de 1987 
Adir M. Luiz 
Sérgio L. Gouveia
PREFÁCIO
Esta obra se destina ao ensino da Física Básica em nível do Segundo Grau e do 
Vestibular, Os Estudantes Universitários também podem utilizar este livro como leitu­
ra preliminar. Em particular, recomendamos esta obra para alunos dos seguintes cur­
sos universitários: Química, Matemática, Geociências, Ciências Biológicàs, Farmácia, 
Ciências Agrícolas, Engenharia Florestal, Engenharia Agronômica e demais cursos uni­
versitários que precisam de conhecimentos de Física Básica sem a utilização de um tra­
tamento matemático muito aprofundado.
A presente obra se divide em quatro partes. No Capítulo 1 abordamos os princi­
pais conceitos àeEletrostátlca. No Capítulo 2 apresentamos os tópicos mais relevantes 
deEletrodinâmlca, dando ênfase especial aos circuitos de corrente contínua. No Capi­
tulo 3 focalizamos os problemas relacionados com as interações produzidas por cam­
pos magnéticos estacionários. No Capitulo 4 abordamos os principais tópicos do Ele- 
tromagnetismo. Além de uma Bibliografia, Incluímos um Glossário contendo os termos 
mais relevantes utilizados nesta obra. No Apêndice A apresentamos um resumo das prin­
cipais aplicações práticas da Eletricidade, do Magnetismo e do Eletromagnetlsmo. No 
Apêndice B fazemos breves comentários sobre a SupercondutMdade, que é um dos prin­
cipais ramos das pesquisas de Física no final deste século.
Neste livro, a exposição da matéria apresenta as seguintes características: (a) as 
teorias são desenvolvidas de forma objetiva, procurando-se dar ao aluno o máximo de 
informações, evltando-se dlvagaçôes e discussões puramente acadêmicas; (b) apresen­
tamos diversos exemplos minuciosamente resolvidos abrangendo as aplicações das teo­
rias físicas expostas em cada capítulo; (c) no final de cada capítulo propomos um Ques­
tionário, um conjunto de Exercícios de múltipla escolha e uma série de Problemas que 
exigem soluções discursivas; (d) todas as questões formuladas nos Questionários, nos 
Exercícios e nos Problemas são respondidas no final dos respectivos Capítulos; nesta 
Obra existe um total aproximado de 400 questões (distribuídas nos Questionários, nos 
Exercícios e nos Problemas).
Desejamos agradecer a todos aqueles que contribuíram direta ou indiretamente 
na elaboração desta obra. Em particular, agradecemos aos desenhistas Flamarion Jo­
sé M. Júnior e Carlos José B. Delgado pela confecção dos desenhos. Agradecemos ao 
Prof. Antonio S. de Castro pela revisão do manuscrito. Os Autores se sentirão plena­
mente gratificados se este livro contribuir para a melhoria do ensino da Física Básica, 
Esta obra faz parte de uma coleção de livros de Física. A coleção completa abrange os 
seguintes Livros: 1 - Mecânica-, 2 - Gravitaçáo, Oscilações e Ondas; 3 - Elementos de 
Termodinâmica; 4 - Eletricidade, Magnetismo e Eletromagnetismo; 5 - Ótica e Física 
Moderna.
Capítulo 1
ELETROSTÁTICA
9
1.1 Introdução
O termo “eletricidade" se origina de "elétron", que deriva de "elektrorí' (pala­
vra grega que significa '‘âmbar’"). O âmbar t uma resina fóssil amarela. A descoberta 
das forças elétricas i atribuída aos gregos e, em particular, aos estudos de Tales, natu­
ral da cidade de Mileto, que viveu entre os anos 640 e 546 antes de Cristo. Ao atritar 
um bastío de âmbar com outros corpos, Tales de Mileto observou que o bastão de âm­
bar adquiria a propriedade de atrair pequenos objetos (tais como fragmentos de papel 
ou de pano).
Os antigos gregos sabiam também que um certo tipo de minério de ferro, existen­
te numa região denominada Magnésia, tinha a propriedade de atrair pequenos objetos 
de ferro. A palavra magneto (sinônimo de ímã) t também de origem grega. Somente 
no Século XVI é que se começou a formular teorias sistemáticas sobre esforças elétri­
cas e sobre as forças magnéticas. William Gilbert (1540-1603) foi um dos primeiros es­
tudiosos a reconhecer a diferença entre umaforça elétrica e uma força magnética. As 
relações fenomenológicas entre a Eletricidade e o Magnetismo foram descobertas so­
mente no Século XIX com as experiências de Faraday e a famosa Teoria Eletromagnéti­
ca de Maxwell.
Existem quatro interações fundamentais na Física: a interação forte (responsá­
vel ç>e\ís forças nucleares), & interação eletromagnética (responsável pelas forças elétri­
cas e magnéticas existentes np interior das moléculas e dos átomos), a interação fraca 
(responsável, por exemplo, pelo fenômeno do decaimento beta que ocorre etn substân­
cias radioativas) e a interação gravitacional (responsável pelas forças gravitacionais). Uma 
discussão acerca das quatro interações da Física é apresentada no livro “Ótica e Física 
Moderna"de autoria do Prof. Adir M. Luiz e do Prof. Sérgio L. Gouveia.
Das quatro interações da Física, a mais importante (do ponto de vista das aplica­
ções práticas) é a interação eletromagnética. O objetivo deste livro é o estudo de todos 
os fenômenos relacionados com a interação eletromagnética. Dividimos este estudo em 
quatro partes. Neste primeiro Capítulo apresentamos a Eletrostática, isto é, o estudo 
do Eletromagnetismo no caso particular de cargas elétricas em repouso num dado siste­
ma de referência. No Capítulo 2 analisaremos aEletrodinâmica (estudo dos efeitos ele­
tromagnéticos produzidos pelo movimento de cargas elétricas). No Capítulo 3 estuda­
remos o Magnetismo ou Magnetostátlca (estudo dos efeitos estacionários decorrentes 
da interação eletromagnética produzida por ímãs, por eletroímãs, por correntes elétri­
cas e por cargas elétricas não aceleradas). No Capítulo 4 estudaremos as leis gerais do Ele-
10
trçmagnetismo que abrangem a Eletrostdtica, a Eletrodlnâmlca, o Magnetismo, os efeitos 
produzidos por correntes variáveis (ou cargas aceleradas) e as interações produzidas por 
melo de ondas eletromagnéticas.
1,2 Carga elétrica e indução eletrostdtica
Assim como a massa de um corpo i a fonte da Interação gravltacional(que ocorre 
num campo gravltacional), a carga elétrica é a fonte da interação eletromagnética (que 
ocorre estaticamente através de um campo elétrico ou dinamicamente através de um cam­
po eletromagnético, conforme veremos mais adiante). Um observador fixo no labora­
tório mede uma,força elétrica produzida por uma carga elétrica em repouso sobre uma 
outra carga elétrica (também em repouso no laboratório). Neste capítulo estudaremos 
somente os efeitos eletrostdticos, isto é, os efeitos físicos produzidos pela ação de car­
gas elétricas em repouso.
Atritando um bastão de âmbar ou um bastão de vidro com um pano de lã e apro­
ximando o bastão de fragmentos de papel picado, você notará que o bastão atrai os frag­
mentos de papel. Considere agora dois bastões de vidro-, esfregando estes bastões com 
lã, você notará uma força de repulsão entre os dois bastões de vidro. Para explicar es­
tas experiências é necessário introduzir o conceito de carga elétrica e de interação ele­
trostdtica (ou força elétrica). A análise das experiências acima mencionadas conduz ime­
diatamente à seguinte conclusão: as forças elétricas (de atração e de repulsão) são pro­
vocadas pela presença de cargas elétricas nos objetos que se atraem ou que se repelem.
Para entender o aparecimento de cargas elétricas livres na superfície de um corpo 
é necessário compreender a estrutura da matéria. A seguir, apresentamos um breve re­
sumo acerca das Idéias atuais sobre a estrutura da matéria.
A matéria e todos os corpos do Universo são constituídos de pequenas partícu­
las. Este fato que, na Antigüidade, era apenas uma hipótese, está efetlvamente com­
provado no mundo de hoje. Três dessas partículas comparecem na maioria dos fenô­
menos: prótons, elétrons e nêutrons, Estas três partículas estão presentes em conj untoi 
denominados dtomos.
Os dtomos podem estar Isolados ou agrupados, formando moléculas, mas são, 
de modo geral, os constituintes fundamentais de qualquer corpo. O dtomo é constituí­
do de uma região central, na qual está concentrada quase toda a massa, e partículas, 
que ocupam de certo modo o resto do volume do átomo. À região central damos o no­
me de nücleo, e as partículas, que ocupam aleatoriamente o restante do volume, 
chamam-se elétrons. Os elétrons constituem a eletrosfera e giram em torno do nücleo, 
sendo partículas muito pequenas.
Para termos idéia das dimensões do dtomo e do nücleo, apenas diremos que os 
dtomos têm diâmetros da ordem de 10"10 metros, e os nücleos, diâmetros da ordem 
de 10"14 metros, ou seja, se compararmos, vemos que o diâmetro do átomo é 10"' vezes 
maior do que o do núcleo (imaginemos que se o núcleo tivesse um metro, o átomo teria 
104 metros, ou seja, 10 km).
Denomina-se nücleon toda partícula que compõe o nücleo de um dtomo. Existem 
dois tipos de nücleons: o próton e o nêutron. Verifica-se que o nêutron não i atraído 
nem repelido por nenhuma carga elétrica. Donde se conclui que o nêutron é eletrica­
mente neutro. A experiência mostra que as interações elétricas produzidas pelos elétrons
11
N = 1/(1,6 X IO"'’) = 6,25 x 10"
De acordo com a convenção internacional, a carga do elétron i considerada ne­
gativa-, logo, por esta mesma convenção, o próton deve ser positivo. No Capítulo 2 (Ele- 
trodinãmica) mostraremos uma outra convenção usual segundo a qual uma corrente elé­
trica é considerada como cargas positivas em movimento, embora se saiba que quase 
todas as corrente elétricas sejam oriundas do deslocamento de elétrons que, além de se­
rem quase 2000 vezes mais leves do que os prótons, os elétrons ficam fracamente liga-
slo contrárias às produzidas por prótons. Daí, concluímos que a carga elétrica do elé­
tron possui sinal contrário ao sinal da carga elétrica de um próton, Sendo assim, 
convencionou-se atribuir um sinal negativo para a carga elétrica do elétron e um sinal 
positivo para a carga elétrica de um próton.
Experiências realizadas por Du Fay (1698-1739) mostraram que existem dois ti­
pos de cargas elétricas-, as cargas elétricas positivas e as cargas elétricas negativas, Du 
Fay chegou à seguinte conclusão:
"Cargas elétricas de mesmo sinal se repetem e cargas de sinais contrários se atraem ",
Num átomo em equilíbrio o número de prótons é igual ao número de elétrons. O 
átomo como um todo é eletricamente neutro. Como os corpos em equilíbrio são cons­
tituídos por átomos, concluímos que os materiais macroscópicos são eletricamente neu­
tros. Como o átomo é neutro e como o número de prótons é igual ao número de elétrons, 
concluímos facilmente que o módulo da carga do elétron é igual ao módulo da carga do 
próton. Entretanto, verifica-se experlmentalmente que a massa do próton é dada por:
mp ~ 1840m,
onde m, é a massa do próton e m, é a massa do elétron. Para saber os valores de m, e de 
m, consulte o Apêndice C deste Livro.
Quando um corpo apresenta comportamento elétrico (poder de exefcer forças de 
atração ou repulsão sobre outros), dizemos que possui cargas elétricas, podendo estas 
cargas serem positivas ou negativas.
Como os prótons estão presos no mlcleo, as ações de movimentação de cargas são 
feitas sobre os elétrons, que podem ser retirados ou cedidos aos átomos.
Quando, pòr exemplo,-atritamos um bastão de vidro e ele fica carregado posltl- 
vamente, é porque retiramos elétrons do vidro através do atrito; quando atritamos a ebo- 
nlte e ela fica carregada negatlvamente, é porque cedemos elétrons à ebonite através do 
atrito. Assim sendo, é o nümero de elétrons que dá carga a um corpo (retirados ou cedi­
dos), sendo, então, o elétron, a menor carga elétrica ou carga elétrica fundamental.
Seja e a carga do elétron epa carga do próton. No Sistema Internacional (SI) te­
mos o seguinte valor aproximado:
p --e - l,6xl0-"C (1.1)
A unidade de carga do Sistema Internacional é o coulomb (C). Para obter uma 
carga negativa Q = -1 C seria necessário a acumulação de um número N de elétrons 
livies dado por:
12
Quantização da carga elétrica
Em 1909, Robert Milikan descobriu que toda carga elétrica livre se manifesta so­
mente através de múltiplos inteiros de uma carga elétrica fundamental. As grandezas que
dos noi átomos doi metais, ao passo qu« oa prótons ficam rigidamente ligados noa nú- 
deos atômicos.
Lei da conservação da carga elétrica
Uma daa leia mala importantes da Física é a Lei da Conservação da Carga Elétrica 
ou Princípio da Conservação da Carga Elétrica. Podemos enunciar esta lei do seguinte 
modo:
"Num sistema isolado a carga elétrica permanece constante".
Dizemos que um sistema é isolado quando ele não troca nem massa nem energia 
com o seu exterior. Para aplicação da Lei da Conservação da Carga é suficiente saber 
se o sistema considerado está (ou não) eletricamente isolado. Um sistema está eletrica­mente isolado do exterior quando ele possui paredes constituídas por isolantes elétri­
cos. A fim de entender o que seja o isolamento elétrico é conveniente explicar a diferen­
ça entre um condutor elétrico e um isolante elétrico.
Um condutor elétrico i um material que permite uma fácil locomoção de cargas 
elétricas no interior do material ou na superfície do material. Um isolante ou dielétrico 
não permite a locomoção de cargas elétricas no interior do material. Os metais são bons 
condutores de eletricidade, uma vez que os elétrons se encontramfracamente ligados nos 
dtomos dos respectivos metais. Sendo assim, quando, por exemplo, introduzimos car­
gas elétricas negativas num metal, os elétrons se acumulam ao longo da superfície do metal. 
Cargas livres (de mesmo sinal) não podem se acumular no interior de um metal porque 
as forças de repulsão produzem o afastamento destas cargas; como o material é condu­
tor, as cargas se locomovem até atingirem um equilíbrio eletrostático na superfície do 
metal. Exemplos de materiais isolantes: o vidro, a ebonite, o âmbar, os plásticos de um 
modo geral, a borracha, o papel, a lã, etc.
A Lei da Conservação da Carga pode ser expressa matematicamente através da 
equação: _____________
L<2.mm 3 Cd.pol, I (1 -2)
onde a soma indicada acima se estende a todas as cargas do sistema. O índice "antes’’ 
i usado para indicar a situação da distribuição de cargas antes de um dado processo; 
o índice "depois’’ refere-se a uma nova configuração de equilíbrio do sistema, depois 
de encerrado o referido processo ou transformação. Na Fig. 1.1 mostramos um exem­
plo de aplicação da Lei da Conservação da Carga. Na parte (a) da Fig. 1.1 mostramos 
três cargas Qlt Q,e Q>, sendo Q, = 0 (isto é, o corpo indicado na parte inferior não 
possui nenhuma carga livre inicial). Os corpos não estão em contato inicialmente; na 
parte (b) da Fig. 1.1 os três corpos estão em contato. A Lei da Conservação da Carga, 
neste exemplo, de acordo com a relação (1.2), fornece:
q, + e> = q: + e; + c;
(a) (b)
0 0 Q! Qi*
Qi
13
Fig. 1.1 Esquema para explicar o Princípio da Conservação da Carga Elétrica, (a) 
Três corpos antes de entrarem em contato, (b) Os mesmos corpos depois de entra­
rem em contato.
são múltiplos inteiros de uma grandeza fundamental denominam-se grandezas quânll- 
cas. Uma breve discussão sobre a Física Quântica pode ser encontrada na Obra citada 
"Ótica eFísica Moderna". Milikan descobriu a quantização da carga elétrica. Portan­
to, qualquer carga elétrica Q pode ser representada por:
Q = ± Ne (1.3)
onde Né um número inteiro. A carga do elétron, de acordo com as experiências de Mi­
likan, é dada pela relação (1.1).
Processos de eletrização
Denomina-se eletrização o processo de produção de cargas elétricas livres num cor­
po que estava inlcialmente neutro ou descarregado. O processo oposto ao da eletriza­
ção denomina-se neutralização ou descarga do corpo. As cargas elétricas livres não exis­
tem espontaneamente na Natureza em corpos em equilíbrio termodinâmico. Os processos 
de eletrização mais importantes são os seguintes: (a) eletrização por contato, (b) eletri­
zação por atrito, (c) eletrização por indução, (d) eletrização por aquecimento, (e) ele­
trização por aumento de pressão, (/) eletrização por mudança de fase, (g) eletrização 
por ação da luz.
6. - o |
Observação: A quantização da carga do elétron t uma das bases da Física Quãntl- 
ca. Existem teorias quântlcas modernas e experiências que evidenciam a existência de al­
gumas partículas que possuem cargas menores do que a carga do elétron. Estas partículas 
receberam o nome genérico de quarks. Existem vários tipos de quarks. Os quarks negati­
vos possuem cargas e/3 e 2e/3, onde ei a carga do elétron. Os quarks positivos possuem 
cargas -e/3 e -2e/3. Note que a provável existência dos quarks não contradiz a noção 
da quantização da carga elétrica. A relação (1.3) continuaria válida; contudo, em vez de 
se usar o valor da carga do elétron e na relação (1.3), seria necessário utilizar o valor e/3. 
O leitor interessado em ler a respeito dos quarks e das partículas elementares de um modo 
geral deve consultar a Obra "Òtlca e Física Moderna" citada anteriormente.
+ +
14
' Bastão negati­
vamente carregado
Isolante —•
Deficiência 
de elétrons
Excesso 
de elétrons
Fig. 1.2 Eletrizaçâo por Indução. A ação elétrica do 
bastão (quepossui carga negativa) induz uma carga 
positiva q na extremidade esquerda do corpo e uma 
carga negativa —q na extremidade direita do corpo 
J que estava inicialmente neutro.
(a) Eletrizaçâo por contato. A eletrizaçâo por contato ió é importante quando o 
çontato ocorre entre condutores elétricos. Colocando-se em contato um condutor car­
regado com outro condutor neutro, o condutor eletrlzado transfere uma parte da sua 
carga elétrica para o condutor que estava Inicialmente neutro. A carga Inicial do con­
dutor eletrlzado se conserva, isto é, de acordo com a relação (1.2), temos:
Qmm “ Q. + Qi
onde é a carga total do condutor eletrlzado antes do contato, Q. e Q, são as car­
gas dos dois condutores depois do sistema atingir o equilíbrio eletrostdtico.
(b) Eletrizaçâo por atrito. Na Seção 1.1 eno inicio desta Seção já mencionamos 
o processo de eletrizaçâo por atrito. O termo triboeletricidade é usado para designar a 
produção de eletricidade por atrito. A eletrizaçâo por atrito é feita normalmente quan­
do atritamos dois corpos isolantes. Na triboeletricidade, em virtude da Lei da Conser­
vação da Carga, os corpos que foram atritados ficam com cargas iguais, mas de sinais 
contrários (porque eles estavam inicialmente neutros).
(c) Indução eletrostdtlea. A eletrizaçâopor Indução consiste na produção de car­
gas elétricas num corpo inicialmente neutro que é colocado nas vizinhanças de outro 
corpo eletrlzado, sem que haja contato entre os dois corpos. O efeito da indução ele­
trostdtlea decorre da ação do campo elétrico existente na região em torno de uma carga 
elétrica, conforme veremos mais adiante. De acordo com a relação (1.2), o corpo que 
estava inicialmente neutro, depois de eletrlzadopor indução, ficará com uma carga + q 
numa das suas extremidades e com uma carga — q na outra extremidade, de modo que 
a carga total do corpo eletrlzado continua sendo igual a zero. Na Fig. 1.2 ilustramos 
um condutor apoiado sobre uma barra isolante. A indução eletrostdtlea é mais eficien­
te para condutores (por razões Já expostas anteriormente em relação à locomoção de 
cargas num condutor). Um bastão eletrlzado com uma carga negativa está próximo do 
condutor, más não existe contato entre ó bastão e o condutor, conforme indicado na Fig. 
1.2.
15
Eletroscópios
O Eletroscópio i um instrumento utilizado para demonstrações experimentais de 
Eletroslátlca. Mediznte o uso de um eletroscópio, podemos dizer se um corpo possui ou 
não cargas elétricas livres. Ou seja, utilizamos um eletroscópio para saber se um corpo es­
tá ou não eletrizado. O eletroscópio de pêndulo (ou pêndulo elétrico) e o eletroscópio de 
folhas são os dois tipos mais comuns de eletroscópios.
Na Fig. 1.3 mostramos um eletroscópio de pêndulo. O funcionamento deste eletros­
cópio t bastante simples. Apróximando-se da esfera metálica indicada na Fig. 1.3 um cor­
po eletrizado, ocorrerá indução elétrica na superfície da esfera metálica. Jásabemos que, 
devido à Lei da Conservação da Carga, a parte da esfera próxima ao corpo eletrizado as­
sume uma carga q de sinal contrário ao da carga do corpo eletrizado', a parte da esfera dia­
metralmente oposta adquire uma carga — q. Logo, surgirá uma força de atração entre o
(d) Eletrização por aquecimento. Certos cristais inícialmente neutros quando são 
aquecidos produzem uma separação de cargas, de modo que uma das extremidades do 
cristal adquire uma cargaposltiva e a outra extremidade do cristal adquire uma carga 
igual, porém negativa (em virtude da Lei da Conservação da Carga) .Este efeito de ele- 
trlzação por aquecimento denomina-se efeito plroelétrico. Como exemplo decristalpl- 
roeléterlco citamos a turmallna.
(e) Eletrização por aumento depressão. Os chamados materiaispiezoelétrlcos pro­
duzem uma separação de cargas quando são submetidos a uma pressão externa. Este 
efeito caracteriza os chamados cristaispiezoelétrlcos que possuem um grande número 
de aplicações práticas, conforme veremos neste Capítulo e no Apêndice A. O efeito opos­
to ao efeitoplezoelétrico denomina-se eletrostrição (produção de uma pressão mecâni­
ca provocada por cargas elétricas induzidas num material).
(f) Eletrização por mudança de fase. Quando um vapor se condensa para formar 
um liquido ou quando um líquido se cristaliza, pode ocorrer um» separação de cargas. 
Por exemplo, a cristalização de um material dlelétrico (ou isolanté) pode produzir car­
gas negativas e cargas positivas nas extremidades de um dado .cristal. Este efeito é co­
nhecido pelo nome de qfelto termodlelétrico ou efeito Costa Ribeiro (em homenagem 
ao saudoso Prof. Costa Ribeiro que estudou este efeito em 1945). Na Seção 1.13 des­
creveremos os principais fenômenos elétricos da atmosfera', um dos fenômenos elétri­
cos mais importantes que ocorrem na atmosfera terrestre é a eletrização das nuvens. Em­
bora não se saiba com certeza absoluta todos os processos que contribuem para a ele­
trização das nuvens, uma das hipóteses formuladas é de que existe separação de cargas 
na própria mudança de fase (liquefação e cristalização) inerente ao processo de forma­
ção de nuvens.
(g) Eletrização pela ação da luz. Denomlna-sefotocondutor todo material que é 
Isolanté no escuro, mas que se torna condutor quando ele é submetido & ação da luz. 
Portanto, é possível eletrizar mediante a ação da luz. A. separação de cargas eletrostáti- 
cas mediante a utilização de um feixe de luz incidindo sobre um fotocondutor possui 
importante aplicação prática na reprodução gráfica utilizada nas copiadoras do tipo 
XEROX. Veja a Seção 1.14 (Aplicações da Eletrostdtica).
■5
16
As folhas do 
eletroscópio 
se repelem
Bastão de borracha 
í
Cargas induzidas J
Fig. 1,5 Esquema para explicar o uso de um eletros- 
? (Jj cóplo de folhas de ouro. As cargas de mesmo sinal
í acumuladas nas folhas produzem uma força de re-
jSqÇ. pulsdo que determina a separação das folhas.
Frasco de Basêlso-
vidro____________ lante
Fig. 1.3 Eletroscópio de Fig. 1.4 Eletroscópios de foihas. Lado esquer-
pêndulo (ou pêndulo do: eletroscópio de folhas de alumínio. Lado
elétrico). direito: eletroscópio de folhas de ouro.
Na Fig. 1.4 mostramos dois eletroscópios de folhas: no lado esquerdo desta ilustra- 
çáo indicamos um eletroscópio de folhas de alumínio e no lado direito mostramos um ele­
troscópio de folhas de ouro.
Na Fig. 1.5 mostramos como se usa um eletroscópio de folhas de ouro para saber 
se um corpo está ou nío eletrlzado. Quando você aproxima um corpo eletrizado do termi­
nal metdllco esférico do eletroscópio, surge uma Induçio de cargas no terminal esférico, 
conforme ilustrado na Fig. 1.5. Na extremidade superior da haste onde se encontra a esfe­
ra metálica surgem cargasposttIvas (induzidas pelas cargas negativas do bastia). Na ex­
tremidade inferior da haste surgem cargas negativas que se distribuem sobre as duas/o- 
Ihasdeouro. Como sabemos, cargas de mesmo sinal sofrem uma força áe repulsão: sendo 
assim, verificamos que as duas folhas de ouro se repelem e se afastam, conforme indicado 
na Fig. 1.5.
corpo eMetzado e a esfera metálica do eletroscópio, de modo que o pêndulo ficará osci­
lando. Se o corpo que se aproxima do eletroscópio nto possui nenhuma carga elétrica li­
vre, ou seja, se 0 corpo considerado estiver neutro, 0 pêndulo nio oscilará.
Terminal metálico
- Metal 
^^-Isolante •— 
^■Vicrò .
Metal —»/ 
Janela de [—te 
, vidro " 
Alumínio 
A Ouro
F-F <7
17
Q
1.3 Lei de Coulomb
Inicialmente explicaremos o conceito de carga elétricapuntiforme (ou carga elé­
trica pontual). A definição de carga elétricapuntiforme i semelhante à definição de massa 
puntiforme. Como sabemos, um corpo é considerado puntiforme quando ele é obser­
vado de uma distância muito maior do que a maior dimensão do corpo. Analogamen­
te, quando fazemos uma experiência elétrica a uma distância muito maior do que a maior 
dimensão de um corpo eletrizado, dizemos que a carga do corpo se comporta como uma 
carga puntiforme.
Considere duas esferas eletrizadas de mesmo raio R separadas por uma distância 
muito maior do que o raio R das esferas. Suponha que as duas esferas possuam cargas 
de mesmo sinal (ambas positivas). Verificamos que sobre cada uma das esferas surge 
uma força de repulsão elétricaF, conforme indicado naFig. 1.6. Uma das esferas cons­
titui uma carga puntiforme q e a outra esfera é considerada como uma carga puntifor­
me Q. As cargaspuntiformes podem ser consideradas como pontos situados nos cen­
tros das respectivas esferas, conforme mostra a Fig. 1.6.
As experiências de Du Fay e de Coulomb (1736-1806) elucidaram completamen­
te os aspectos qualitativos da força elétrica entre duas cargas puntiformes. A Lei de Cou­
lomb serve para determinar a força elétrica entre duas cargas puntiformes. As principais 
características da força elétrica entre duas cargas puntiformes são as seguintes:
1. A força atua na direção da reta que une as duas cargas.
2. Quando as cargas possuem o mesmo sinal, a força entre as cargas é repulsiva, 
istoé, aponta para fora da região entre as cargas, conforme indicado na Fig. 1.6. Quan­
do as cargas possuem sinais contrdrios, a força é atrativa, ou seja, aponta para dentro 
da região entre as cargas.
3. O módulo da força elétrica entre as cargas é diretamente proporcional ao pro­
duto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as cargas. 
Esta conclusão é conhecida como Lei de Coulomb. A expressão matemática da Lei de 
Coulomb, levando em conta somente o módulo da força elétrica, é dada por:
------------d------------ L
Fig. 1.6 Esquema para a determinação da força eletrostá- 
tica entre duas cargas puntiformes.
| F = kqQ/d2 | (1.4)
onde k é a constante de proporcionalidade referida acima e d i a distância entre as car­
gas. Quando qeQ possuem sinais iguais a força elétrica é repulsiva, conforme indicado 
na Fig. 1.6. Quando o sinal de q for contrário ao sinal de Q, a força elétrica entre as car­
gas será atrativa.
Note a analogia entre a Lei de Coulomb e a Lei de Newton da Gravitação Univer­
sal. A constante k da Lei de Coulomb é análoga à constante da gravitação G. Lembra-
kt, — 1/4x6» (1.6)
18
mos que o módulo da força de atração gravitacional entre dois corpos puntiformes de 
massas m e M, separados por uma distância d t dado por:
F, = OmM/dP
Vamos acentuar as diferenças mais relevantes entre a força elétrica Findicada na 
relação (1.4) e a força gravitacional F, mostrada na relação anterior: (o) a constante k 
da Lei de Coulomb (1.4) depende do meio onde as cargas se encontram, ao passo que 
a constante G da Lei da Gravitação Universal assume sempre o mesmo valor e não de­
pende do meio onde se encontram as massas; (Z>) a força elétrica entre duas cargas pode 
ser de atração ou então de repulsão, ao passo que a força gravitacional entre duas mas­
sas é sempre uma força de atração.
A constante k da Lei de Coulomb (1.4) é algumas vezes chamada de constante de 
Coulomb ou constante eletrostática. Em vez da constante k se costuma usar na prática 
uma outra constante e relacionada com a constante k através da equação:
As diferenças (a) e (b) mencionadas acima decorrem principalmente do fato de que 
existem cargas positivas e cargas negativas na Natureza, ao passo que não existem massas 
negativas. O conceito de massa efetiva negativaéum modelo utilizado em Hidrodinâmlca 
para explicar certos deslocamentos (como, por exemplo, a ascenção de uma bolha de ar 
no seio de um líquido). Contudo, mesmo neste caso, não podemos dizer que existe repul­
são entre as massas; t justamente a atração entre a Terra e o líquido que dá origem à força 
de empuxo exercida pelo líquido sobre a bolha.O leitor interessado nestes problemas de 
Hidrodinãmica e de Gravitação deve ler os livros “Elementos de Termodinâmica "e "Gra- 
vitação, Oscilações e Ondas” de autoria de Adir M. Luiz e Sérgio L. Gouveia.
O fenômeno da indução elétrica mencionado na Seção anterior não tem contrapar­
tida na Gravitação. Uma vez quendo existem massas negativas, o campo gravitacional não 
pode ' 'induzir" massas de sinais contrários. Esta é a principal razão pela qual a constante 
k da Lei de Coulomb depende do meio, ao passo que a constante G não depende do meio. 
Por outro lado, a indução de cargas elétricas na superfície de um melai permite obter fa­
cilmente a blindagem (ou proteção) de um campo elétrico externo, conforme veremos mais 
adiante. Contudo, como não existe indução gravitacional, o campogravitacional de um 
corpo pode penetrar no volume de outro corpo, ou seja, não podemos obter uma blinda­
gem gravitacional análoga à blindagem elétrica.
e = l/4rA: ; ou: k = 1/4x6 (1.5)
A constante e definida pela equação (1.5) denomina-se permissividade elétrica 
do meio considerado. Quando o meio considerado é o vácuo (ou o ar, com boa aproxi­
mação), costumamos utilizar üm índice o (zero ou o minúsculo) para diferenciar aper­
missividade do vácuo da permissividade dos outros meios. Ou seja, para o vácuo, te­
mos:
C7N.m2
19
Na msicr parte dos pi-oblsnas ãssis cs^íuío, aifl’.-sreaaja isdistintamente as cons­
tantes k, ou (l/4re<,). Contudo, em vez de se usar a permissividade elétrica de um meio 
e, se costuma utilizar a permissividade elétrica relativa ao vácuo. Esta permissividade 
elétrica relativa denomina-se constante dielétrica K do meio considerado, ou seja, a cons­
tante dielétrica de um meio é definida peta razão: ..
K ~ e/e, U’7)
De acordo com a definição (1.7), verificamos que a constante dielétricaé uma gran­
deza adimensional (não possui unidades). A constante dielétrica do vácuo vale K = 1. 
Quando estudarmos capacitares e dielétricos mais adiante, mostraremos que a constante 
dielétrica de um isolante ou dielétrico é sempre maior do que um, ou seja, apermissivi­
dade elétrica de um dielétrico é sempre maior do que a permissividade elétrica do vácuo.
As relações (1.5) e (1.6) mostram que a dimensão depermissividade elétrica é igual 
ao inverso da dimensão da constante eletgpstática k, ou seja,
[e] = i/W
Note que estamos utilizando a letra k (minúscula) para designar a constante ele- 
trostática da Lei de Coulomb e a letra K (maiuscula) para a constante dielétrica do meio. 
Como a carga elétrica não é uma grandeza mecânica, isto é, a carga elétrica não pode 
ser expressa em função da massa, do comprimento e do tempo, é conveniente adotar 
o símbolo Q para a dimensão da carga elétrica. Assim sendo, as dimensões físicas bási­
cas são: comprimento (símbolo: L), massa (simbolizada pela letra M), tempo (T) e car­
ga elétrica (Q). Por exemplo, a dimensão dapermissividade elétrica é dada por:
W = [G2/^] = QJ/MLJT-3
Neste Livro adotaremos apenas unidades do Sistema Internacional (SI). O leitor 
interessado em outros sistemas de unidades utilizados em alguns livros de Eletromag- 
netismo pode consultar o Apêndice D deste livro. No Apêndice E deste livro apresen­
tamos uma relação completa das unidades do SI. Por exemplo, em unidades do SI, a 
permissividade elétrica do vácuo é dada por:
6, = 8,85 x 10_"
Utilizando a relação acima e a equação (1.6) verificamos que a constante eletros- 
tática k, do vácuo é dada por:
Ar. = 9 x lO^N.mVC2
Os valores de ka e de e0 acima indicados serão utilizados não só para o vácuo co­
mo para os problemas de Eletrostática no ar atmosférico (com boa aproximação).
Princípio da Superposição
O Princípio da Superposição dos Efeitos ou simplesmente Princípios da Superpo­
sição é um princípio geral da Física. De acordo com este princípio, toda vez que dese­
jarmos obter um valor total ou valor efetivo de uma determinada grandeza física aditi­
va, basta calcular a soma total das grandezas consideradas. Esta soma total pode ser 
uma soma algébrica (no caso de grandezas escalares) ou então uma soma vetorial (no caso
(2)
F./F, = 2 X 10JP
20
de grandezas vetoriais). Por exemplo, para calcular a carga total de um sistema em equilí­
brio eletrostdtico basta calcular a soma algébrica de todas as cargas do sistema.
Para determinar a força elétrica resultante sobre uma das cargas de um sistema 
constituído por mais de duas cargas, devemos utilizar o Princípio da Superposição. De­
terminamos previamente as forças entre cada par de cargas (mediante aplicação da Lei 
de Coulomb)', a seguir, é suficiente somar vetorialmente todas as forças que atuam so­
bre a carga considerada. No Exemplo 1.3 ilustraremos a aplicação do Princípio da Su­
perposição para a determinação da força elétrica resultante de um sistema constituído 
por quatro cargas elétricas puntiformes.
Vemos que a força elétrica entre um próton e um elétron é cerca de 1O39 vezes maior 
do que a força de atração gravitacional entre estas duas partículas elementares. Este resul­
tado vale independentemente da distância entre o próton e o elétron, já que tanto no caso 
da força elétrica quanto no caso da força gravitacional aparece o termo (1/r2), portanto 
a razão entre a força elétrica e a força gravitacional de duas partículas carregadas não de­
pende da distância entre as mesmas.
Observação: em todos os problemas envolvendo interações elétricas e gravitacio- 
nais entre partículas elementares, pela ordem de grandeza obtida neste problema, concluí­
mos facilmente que a força gravitacional pode ser desprezada.
Exemplo 1.2 Duas esferas idênticas possuem a mesma carga q. Elas estão presas às 
extremidades de dois fios de mesmo comprimento L, conforme indicado na Fig. 1.7. De­
termine o módulo da tensão num dos fios em equilíbrio.
Solução. Aplique a condição de equilíbrio para uma das esferas. Por exemplo, para 
a esfera do lado direito da Fig. 1.7 existem três forças aplicadas: o peso mg , a tensão T 
e a força elétrica F. Sob a ação destas forças, esta esfera está em equilíbrio. Logo, apli­
cando a condição de equilíbrio para os componentes horizontais e verticais destas três for­
ças, obtemos facilmente:
Exemplo /./Determine a razão entre o módulo da força elétrica e o módulo da for­
ça gravitacional existente entre as partículas constituintes do átomo de hidrogênio.
Solução. O átomo de hidrogênio é constituído por um próton e por um elétron. A 
força de atração gravitacional entre estas duas partículas é dada por:
F, = GmfjnfP (1)
onde mp é a massa do próton, mt é a massa do elétron e r é a distância entre o próton e o 
elétron. Como a carga do elétron é igual e contrária à carga do próton, a força de atração 
elétrica entre estas duas cargas é dada por:
F, = k^/P
onde e é a carga do elétron. Dividindo a relação (2) pela relação (1) encontramos:
Ft/Ft - kdP/Gmpm, (3)
Use os seguintes valores: k0 = 9 x 10* N.m*/C*; G = 6,67 x 10” “ N.m^/kg2; 
mv = 1,7 x 10_,?7kg; mt = 9,1 X 10“ 31 kg. Substituindo estes valores na equação (3) re­
sulta:
Fig. 1.7 Esquema para a solução do exemplo 1.2.
0)
(4)
(5)
Fs
d
*Fi
d 9
Dd d
Fig. 1.8
9 21
(1)
(2)
T sen 6 = F 
TcosS = mg
Dividindo membro a membro as relações (1) e (2) obtemos:
tg6 = F/mg
De acordo com a Lei de Coulomb, temos:
F = krf/d2
Em geral o ângulo 91 muito pequeno, pois normalmente o peso do corpo é muito 
maior do que a força elétrica; neste caso, podemos usar a expressão aproximada:
sen 6 = tg 9 = d/2E
A tensão Tna corda, de acordo com as relações (5), (4) e (1), será dada por:
T = 2Lk^j‘/d1
Exemplo 1.3 Quatro cargas puntiformes positivas (cada uma igual a <?) estão dis­
postas nos vértices de um quadrado de lado igual a d, conforme indicado na Fig. 1.8. As 
cargas se encontram em equilíbrio no vácuo; os suportes isolantes que mantêm estas car­
gas em repouso não são indicados na Fig. 1.8. Determine o módulo da força resultante so­
bre uma das quatro cargas. Despreze a atração gravitacional.
F,
Fig. 1.8 Esquema para a solução 
do Exemplo 1.3.22
F = Ft cos 45° + F2 cos 45° + Fj
Levando em conta as relações (1), (2) e (3) e lembrando que cos 45° = \£/2, obte­
mos o resultado:
Solução. O módulo da força resultante sobre qualquer uma das quatro cargas deve 
ser o mesmo (pela simetria do problema). Considere, por exemplo, a carga do canto supe­
rior do quadrado indicado na Fig. 1.8. Para calcular o módulo da força resultante, basta 
aplicar o Princípio da Superposição nesta carga. Uma vez que o lado do quadrado vale 
d, o módulo da força é igual ao módulo da força Fj (ver a Fig. 1.8). Logo, pela Lei de 
Coulomb:
F - F2 = krf/d2 (1)
Aplicando a Lei de Coulomb para calcular o módulo da força F > ao longo da dia­
gonal do quadrado, obtemos:
F = k^ (1+2 Jiytâ
1.4 Blindagem eletrostática
A blindagem eletrostática de um sistema é uma proteção que envolve um sistema 
para isolá-lo da ação de cargas elétricas situadas no exterior do sistema. Conforme vere­
mos mais adiante, o campo elétrico é uma modificação das propriedades de uma região 
do espaço provocada pela presença de cargas elétricas nesta região. O campo elétrico ex­
terno a um dado sistema pode ser blindado através de uma camada metálica contínua en­
volvendo o sistema. Até mesmo uma superfície fechada descontínua constituída por uma 
tela metálica é suficiente para proteger o sistema da ação de um campo elétrico externo 
(ou da ação de cargas elétricas externas). A chamada gaiola de Faraday nada mais é do 
que uma tela metálica envolvendo completamente uma região do espaço. No interior de 
uma gaiola de Faraday nenhum eletroscópio, por mais sensível que seja, pode detetar a 
presença de cargas elétricas externas ao sistema.
A blindagem eletrostática produzida por metais (ou por condutores de um modo ge­
ral), pode ser explicada do seguinte modo. Já vimos que num metal os elétrons estão fra­
camente ligados na rede cristalina, de modo que eles podem se locomover com facilidade 
de um sítio para outro no interior do metal. Sendo assim, quando aproximamos uma car­
ga elétrica de um condutor elétrico, surgem cargas induzidas na superfície do metal; estas 
cargas se distribuem na superfície externa do metal. Portanto, quando protegemos um sis­
tema com uma camada metálica (ou quando usamos uma gaiola deFaraday), o metal que 
envolve o sistema produz uma distribuição das cargas induzidas na superfície externa me­
tálica fechada que envolve o sistema. Estas cargas superficiais neutralizam a ação das car-
F = krf/D2 (2)
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo indicado na Fig. 1.8, vem
D3 = 2íF (3)
O Princípio da Superposição permite escrever:
F = F + F2 + F
Como Fi = F2, a resultante dajoma de Ft com F2 está na mesma direção e sentido 
da força Fj. Portanto, a resultante F es\Á na mesma direção de Fj. O módulo Fda resul­
tante será:
Lâmina metálica
Polia
Borracha
Polia
Motor
23
gas externas. Deste modo, pelo Princípio da Superposição, podemos verificar que o cam­
po elétrico é igual a zero em todos os pontos no interior do sistema considerado.
Os eletroscóplos, e todos os instrumentos elétricos de um modo geral, possuem as 
partes elétricas sensíveis protegidas por uma blindagem metálica conveniente. Os cabos 
telefônicos e demais condutores elétricos que transportam sinais elétricos devem ser pro­
tegidos por uma camada metálica externa para produzir blindagem elétrica. Em geral es­
tes condutores se encontram no interior de tubos de aço que não só oferecem proteção me­
cânica como também protegem os fios elétricos da ação de raios ou de qualquer campo 
elétrico existente no exterior dos tubos.
1.5 Geradores eletrostáticos
Denomina-se máquina eletrostática ou gerador eletrostático qualquer dispositivo 
capaz de produzir cargas elétricas estáticas. Qualquer um dos processos de eletrizaçáo in­
dicados no final da Seção 1.2pode ser usado para gerar cargas elétricas. Contudo, as má­
quinas eletrostáticas mais simples funcionam mediante utilização do processo de eletriza- 
çãopor atrito. Na Fig. 1.9 mostramos o esquema básico do gerador Van deGraaf.
Cúpula 
metálica
Camada 
de lã \
Lâmina metálica __ ______
__________________ | BASE ISOLANTE |
Fig. 1.9 Esquema de um gerador Van de Graaf.
24
As partes constituintes de um gerador Van de Graaf são indicadas com clareza na 
Fig. 1.9. As cargas negativas obtidas pelo atrito da 13 com a borracha são transportadas 
pela correia de borracha e criam, por indução elétrica, cargas positivas na superfície inter­
na da esfera e cargas negativas na superfície externa da esfera. Além da sua utilização nos 
laboratórios de ensino de Física, o gerador Van de Graaf é muito utilizado em pesquisas 
de Física Atômica e de Física Nuclear (para acelerar partículas carregadas).
1.6 Campo elétrico
O conceito de campo é extremamente importante na Física Moderna. Para rece­
bermos um sinal de um evento distante é necessário que haja um transporte de energia 
desde o local onde ocorre o evento até o local onde se encontra o observador. A trans­
missão de sinais pode ocorrer através de um meio material com densidade diferente de 
zero (como, por exemplo, no caso da transmissão do som no ar) ou, então, num meio 
de densidade nula (vácuo). Como exemplo de propagação de energia através do vácuo 
citamos a propagação da luz. A atração ou repulsão entre duas cargas elétricas separa­
das por uma distância d se processa tanto em meios materiais quanto no vácuo, ou se­
ja, a Lei de Coulomb (1.4), com o valor adequado de k, vale tanto no vácuo quanto em 
qualquer outro meio.
A velocidade de propagação de qualquer interação física é finita. Se a velocidade 
de propagação de uma interação fosse infinita seria possível obter interações instantâ­
neas entre um corpo e outro, qualquer que fosse a distância d entre os corpos. Ora, isto 
levaria a um absurdo físico. Para contornar as dificuldades oriundas da suposição de 
uma ação à distância instantânea, é necessário introduzir o conceito de campo na Física. 
A impossibilidade da existência de velocidades relativas maiores do que a velocidade da 
luz no vácuo deu origem à Teoria da Relatividade Restrita. Uma breve discussão sobre 
esta teoria é apresentada no livro “Ótica e Física Moderna" de autoria de Adir M. Luiz 
e Sérgio L. Gouveia.
Denomina-se Teoria dos Campos a teoria que mostra a necessidade da introdu­
ção do conceito de campo para explicar todas as interações físicas em que não há con­
tato direto entre os corpos que interagem. Assim como um corpo de massa m gera um 
campo gravitacional ao seu redor, toda carga elétrica gera um campo elétrico que altera 
as propriedades elétricas do espaço em volta da carga. O campo elétrico pode ser consi­
derado como uma forma especial de matéria que pode atravessar o vácuo e qualquer 
meio material. Dizemos qué o campo elétrico de uma carga q atua no local onde se en­
contra uma outra carga elétrica Q, de modo que sobre a carga Q surge uma força elétri­
ca dada pela Lei de Coulomb (1.4). Faraday e Maxwell foram os primeiros pesquisado­
res a utilizarem sistematicamente o conceito de campo para poder explicar as intera­
ções eletromagnéticas; de acordo com as idéias de Faraday, o campo elétrico é uma es­
pécie de meio intermediário que conduz a ação entre duas cargas elétricas.
Quais sâo as principais características de um campo elétrico? O campo elétrico não 
possui massa mas possui energia. Mais adiante mostraremos como se calcula a energia 
existente num campo elétrico. O campo elétrico é um campo vetorial. Isto é, devemos 
associar a cada ponto do espaço onde se encontra um campo elétrico um vetor chama­
do vetor campo elétrico E.
25
E = F/Q (1.9)
Note a analogia entre a definição de campo elétrico (1.8) e a definição de campo 
gravitacional dada por:
Vamos considerar inicialmente uma carga elétrica puntlforme <7 situada a uma dis­
tância d de outra carga elétrica Q, conforme ilustrado na Fig. 1.6. Designando o campo 
elétrico da carga q pelo vetor E, et força elétrica que atua sobre a carga Q é dada por:
E = QE (1.8)
A definição(1.8) mostra que quando a carga Q épositiva, a força que atua sobre 
esta carga de prova imersa no campo elétrico possui o mesmo sentido do vetor E. Con­
tudo, quando a carga de prova Q i negativa, a força elétrica possui sentido contrário 
ao sentido do vetor E. De acordo com a relação (1.8), o módulo do campo elétrico é 
dado pela equação:
E = keq/E = 9/(4^) (1.10)
onde kt e e» referem-se ao vácuo er = d = distância entre o ponto onde o campo é da­
do pela relação (1.10) e a carga q. Pela relação (1.9) vemos que a dimensão de campo 
elétrico é dada pela dimensão de força dividida pela dimensão de carga. No SI o campo 
elétrico é dado em N/C. Um N/C é equivalente a um volt/metro (V/m), conforme ve­
remos mais adiante.
Para determinar o vetor campo elétrico de uma carga puntlforme q num dado ponto 
P você deve proceder da seguinte forma. Ligue com uma linha reta o ponto P ao ponto 
O onde se encontra a carga q-, a direção do campo elétrico é dada pela direção desta re­
ta. O sentido do vetor campo elétrico é obtido mediante a seguinte regra: quando a car­
ga <7 é positiva, o vetor campo elétrico é orientado para fora, isto é, do ponto O para 
o ponto P-, em caso contrário, ou seja, se a carga for negativa, o campo elétrico é orien­
tado para dentro, isto é, do ponto P para o ponto O. O ponto de aplicação do vetor campo 
elétrico é o ponto P. O módulo do campo elétrico no ponto P (situado a uma distância 
r do ponto O) é obtido através da aplicação da equação (1.10).
No parágrafo anterior vimos como se determina o campo elétrico de uma carga 
puntiforme q. Vejamos agora como se determina o campo elétrico de um conjunto de 
N cargas pontuais q„qi,q„. . .q*. Neste caso, é necessário empregar o Princípio da Su­
perposição mencionado anteriormente. Donde se conclui que o campo elétrico efetivo
F, = mg
onde m é a massa de um corpo de prova e g* é o vetor campo gravitacional.
Levando em conta as equações (1.8) e (1.4), obtemos para o módulo do campo 
elétrico produzido por uma carga puntiforme q a seguinte expressão:
E = kq/cf
Como a distância d pode ser qualquer e, como em geral as situações consideradas 
neste livro envolvem cargas no vácuo (ou no ar), escreveremos a relação anterior na 
forma:
(1.11)
y
d
d
26
Seja x a distância entre o ponto Pe o centro do dipolo. O módulo do campo elétrico 
Si. produzido pela carga q no ponto P vale:
£, = k^q/P
Exemplo 1.4 Determine o campo elétrico de um dipolo nos pontos situados sobre 
a mediatriz do dipolo. Particularize a solução para pontos muito afastados do centro do 
dipolo.
Solução. Um dipolo é um conjunto de duas cargas iguais e de sinais contrários, se­
paradas por uma distância 2d. Vamos determinar o campo elétrico para os pontos situa­
dos sobre o eixo que passa pelo centro do dipolo e é perpendicular à reta que une as duas 
cargas do dipolo. Como existe simetriaem relação a esta reta, o resultado aqui obtido va­
lerá também para todos os pontos do plano ortogonal à reta que une as duas cargas e que 
passa pelo centro do dipolo. Considere o plano formado pelas duas cargas do dipolo e por 
uma reta mediatriz do dipolo e que passa pelo seu centro (ver Fig. 1.10).
Fig. 1.10 Esquema para a determinação do campo elétrico de um di­
polo elétrico.
ou campo elétrico resultante produzido por um conjunto de Ncargaspuntiformes é da­
do pela soma vetorial:
E =
i = 1 
onde E é o vetor campo elétrico produzido pela carga qt, onde i refere-se a um núme­
ro inteiro (i = 1,2,3,. . .N). O módulo E, do campo elétricoE\ é dado pela equação:
Ei - kdlí/rf (1-12)
onde r, é a distância entre o ponto P e a carga <?,. No Exemplo 1.4 vamos ilustrar a apli­
cação do Principio da Superposição para o cálculo do campo elétrico de um dipolo elé­
trico.
onde
(4)
(5)
(6)E
E = (7)
Linhas de força de um campo elétrico
27
O campo elétrico de uma carga elétrica ou de uma distribuição de cargas elétricas 
pode ser representado graficamente através das linhas de força do campo elétrico consi­
derado. Uma linha de força de um campo elétrico é uma linha orientada tal que a tangente 
em cada um de seus pontos fornece a direção e o sentido do vetor campo elétrico em cada 
um destes pontos. A densidade de linhas de força, isto é, o número de linhas de força em
P = q(2d)
onde p é o momento de dipolo. Usando a relação (5) e lembrando que k0 = //4«o» a equa­
ção (4) pode ser escrita como:
Denomina-se momento de dipolo o produto da carga q pela distância entre as cargas, 
ou seja,
A equação (7) mostra que o campo elétrico de um dipolo varia com o inverso do cu­
bo da distância ao centro do dipolo, para pontos muito afastados do dipolo.
A direção do campo elétrico ao longo do eixo considerado é sempre ortogonal ao 
eixo, ou seja, paralelo à reta que une as duas cargas do dipolo, e o sentido aponta da carga 
positiva para a carga negativa, conforme indicado nas Figs. 1.10 e 1.12 (ver linhas de for­
ça de um dipolo).
Para pontos muito afastados do centro do dipolo, temos: x > > d. E desprezando 
o termo d3 no denominador da relação (6), obtemos:
P
4-reoX3
r = (.x2 + d2')1'2 (3)
Portanto, de acordo com as relações (1), (2) e (3), o campo elétrico resultante terá 
módulo dado por:
Como a distância entre o ponto P e a carga — q também é igual a r, o módulo do 
campo Et è igual ao módulo do campo , ou seja:
Ei = E, = krf/r3 (1)
Podemos usar a relação (1.11) para calcular o campo elétrico resultante. Examinando 
a Fig. 1.10, concluímos facilmentequeo módulo do campo elétrico resultante é dado por: 
E = 2E, cos 6 = 2Etd/r (2)
____ P
4«0(x2 + d2)3'2
... - 
(x2 + d2)3'2
fíg. 1.12 Linhas de força de um dipolo elétrico.
28
Fig. 1.11 Linhas de força de uma 
carga pontual positiva.
Para uma distribuição de cargas, as Unhas de força são obtidas pela aplicação do 
Princípio da Superposição. Quando existem cargas positivas e negativas numa distri­
buição, normal mente as linhas de força saem das cargas positivas e penetram nas cargas 
negativas. Na Fig. 1.12 ilustramos as linhas de força de um dipolo elétrico (ver o Exem­
plo 1.4).
cada seção reta do conjunto, é diretamente proporcional ao módulo do campo elétrico 
nas vizinhanças do ponto considerado.
Na Fig. 1.11 mostramos as linhas de força de uma carga puntiforme positiva. Neste 
exemplo, as linhas de força são linhas retas orientadas de dentro para fora. Por analo­
gia com a Hidrodinâmica, se costuma dizer que uma carga puntiforme positiva i uma 
fonte. No caso de uma carga puntiforme negativa, as tinhas de força também são ra­
diais, mas elas são orientadas de fora para dentro. Podemos dizer que uma carga pun­
tiforme negativa é um sorvedouro ou sumidouro.
+ Q Ê
Placa metálica
V
11 | -Q
29
Campo elétrico uniforme
Dizemos que numa região do espaço existe um campo elétrico uniforme quando 
o vetor campo elétrico em cada ponto desta região é constante ou equipolente (todos os 
vetores do campo possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido). Co­
mo exemplo de um campo elétrico uniforme citamos o campo elétrico entre as placas 
de um capacitor plano. Um capacitor plano de placas paralelas é um dispositivo consti­
tuído por duas placas metálicas paralelas carregadas com cargas iguais e contrárias. Na 
Fig. 1.13 ilustramos o campo elétrico uniforme existente entre as placas de um capaci­
tor de placas paralelas. As linhas de força do campo elétrico uniforme ilustrado na Fig. 
1.13 são retas verticais orientadas de cima para baixo, isto é, as linhas de força saem 
das cargas positivas e penetram nas cargas negativas. Na Seção 1.9 daremos detalhes 
sobre os capacitares de placas paralelas.
Fig. 1.13 Campo elétrico uniforme entre duas placas metá­
licas carregadas com cargas iguais e de sinais contrários.
A levltação elétrica e a experiência de MIUkan
Suponha que exista uma pequena gota de óleo entre as placas do capacitor indicado 
na Fig. 1.13. Quando a gota está neutra ela tende a cair sob a ação do campo gravitacional 
da Terra g~ que também possui o sentido igual ao do vetor ff indicadona Fig. 1.13. Con­
tudo, caso a gota de óleo possua uma carga elétrica, de acordo com a relação (1.8), surge 
uma força elétrica X que atua sobre a gota. Quando a gota possui carga negativa, esta, força 
elétrica t orientada de baixo para cima. Sendo assim, caso o módulo desta força seja igual 
ao peso da gota, pode ocorrer o fenômeno da levitação elétrica (flutuação de um corpo 
quando seu peso é anulado pela força elétrica).
Objetivando determinar o valor da carga do elétron, Milikan fez experiências com 
gotas de óleo contendo cargas negativas no interior de um campo elétrico uniforme seme­
lhante ao ilustrado na Fig. 1.13. Observando o movimento das gotas e alterando-se o va­
lor de E é possível chegar ao seguinte equilíbrio:
mg = qE
Fazendo um estudo experimental completo do movimento de gotas eletrizadas num 
campo elétrico uniforme, Milikan descobriu nquantigaçâo das cargas elétricas livres e de­
terminou com precisão o valor da carga elétrica do elétron (ver a Seção 1.2).’
Uo
££
(2)
30
Exemplo 1.5\kr& partícula elementar de massa m e carga q é abandonada com uma 
velocidade inicial üÕ em um campo elétrico uniforme E. Suponha que a velocidade ini­
cial seja paralela ao campo. Determine a aceleração e a velocidade da partícula em função 
da distância percorrida. (Ver a Fig. 1.14).
Solução. Como se trata de uma partícula elementar, podemos desprezar o peso da 
partícula em comparação com a força elétrica. Então, para estudar o movimento da partí­
cula, basta analisar o efeito produzido pela força elétrica que atua sobre a partícula. O mó­
dulo da força de atua sobre a partícula é dado or F =■ qE\ portanto, de acordo com a 
segunda lei de Newton, a aceleração da partícula será:
a = F/m » qE/m (1)
Como o campo é constante, a aceleração dada pela relação (1) será constante, por­
tanto, a partícula descreverá uma trajetória retilínea com aceleração constante. A veloci­
dade da partícula é dada por:
-----------------------------1---------------------------------------------------------
4- 4- 4- 4-4-4- J4- 4-4-4—V-4-4-4—1-4-4-4-4-
Q
v = Ub i at
onde a aceleração é dada pela equação (1). O sinal positivo deve ser usado quando vô tiver 
o mesmo sentido de £ e a carga for positiva. Quando üõ tiver sentido contrário ao do ve­
tor E devemos usar o sinal menos (para uma carga positiva); quando a carga for negativa 
as duas conclusões anteriores se invertem. Considere um eixo Oz orientado na direção do ve­
tor E. O espaço percorrido em função do tempo será dado por:
Z = Vot ± (l/2)a?
A velocidade em função do espaço percorrido é dada por:
v2 = vo ± 2az (3)
Observe a analogia entre este problema e o problema do movimento de uma partí­
cula de massa m num campo gravitacional uniforme (queda livre de uma partícula com 
velocidade inicial úÕ paralela ao campo gravitacional E). Note a analogia entre as equa­
ções quando você troca q pormcE por g.
I
I
l 
I
I I
! CAMPO ELÉTRICO UNIFORME r :
Fig. 1.14 Esquema para a solução do Exemplo 1.5.
(1)
(2)
e, como a = qE/m, obtemos:
e
<r,
31
Trajetória parabólica 
do elétron
Trajetória parabólica 
da carga positiva
Trajetória retilínea 
da carga positiva ANTEPARO
Fig. 1.15 Esquema para a solução do exemplo 1.7.
IsE. = qEz (3)
Sabemos que num campo gravitacional uniforme a variação da energia cinética de 
uma partícula em queda livre t dada por:
íuE = mgz (4)
Note a analogia entre as expressões (3) e (4) quando trocamos g por Ee a carga elé­
trica q pela massa m.
Exemplo 1.7 Deflexão elétrica. No Apêndice A deste livro mostraremos como fun­
ciona um tubo de raios catódlcos. Os elétrons são orientados convenientemente no inte­
rior de um tubo de raios catódicos a fim de que eles atinjam determinados pontos de um
Exemplo 1.6 Calcule a variação da energia cinética da partícula mencionada no pro­
blema anterior desde o momento inicial até o instante em que sua velocidade é igual a v.
Solução. A energia cinética inicial é dada por:
E,-. = (l/2)mu?
A energia cinética final é dada por:
E.., = (l/2)mu2
A variação da energia cinética é dada pela equação:
= Et,t - EtÁ
Substituindo na expressão anterior as equações (2) e (1), resulta:
áE, = (m/2) (v2 - vi)
Substituindo a relação (3) do problema anterior na equação acima, encontramos:
&Et = maz
Trajetória 
retilínea do 
elétron
q !
ill*
32
a = qE/m
Substituindo a aceleração a na equação (2) e lembrando que o movimento é retilí- 
neo uniformemente retardado ao longo do eixo Oz, concluímos que:
z = uo sen 6 t — qEt2/2m (3)
As equações (1) e (3) mostram que a partícula positiva descreve uma parábola no 
interior do campo uniforme; a concavidade desta parábola é voltada para baixo. Fora das 
placas do capacitor; como não existe mais a força elétrica (e a força gravitacional é despre­
zível), verifica-se que a partícula passa a descrever uma trajetória retilínea (tangente à pa­
rábola no ponto onde a partícula sai do campo uniforme).
(ò) Para resolver o problema do movimento de um elétron que entra no campo com 
uma velocidade ül paralela ao eixo Ox, basta fazer 6 = 0 nas equações do item anterior. 
Além disto, é necessário lembrar que, como o elétron é negativo, a força elétrica é contrá­
ria ao campo elétrico. Utilizando um raciocínio análogo ao usado na dedução das relações 
(1) e (3) e considerando 6 = 0, encontramos:
x = v\t ; z = - eEt2/2mt
onde e é o módulo da carga do elétron e mt é a massa do elétron. Eliminando o tempo t, 
achamos a seguinte expressão para a trajetória da partícula:
z = — eEx2/(2mt u*f)
anteparo fluorescente existente na extremidade do tubo. A orientação dos elétrons 
denomina-se focalização eletrônica. Afocalização eletrônica pode ser obtida por intermédio 
de campos elétricos, ou, então, por intermédio de campos magnéticos. Neste problema va­
mos mostrar como um campo elétrico uniforme pode ser usado para se obter deflexão elé­
trica de um feixe de elétrons. No Capítulo 3 vamos mostrar que um campo magnético uni­
forme produz deflexão magnética de um feixe eletrônico, (a) Descreva o movimento de 
uma partícula elementar (com massa m e carga q) que penetra num campo elétrico unifor­
me com uma velocidade üÔ que forma um ângulo 6 com o eixo horizontal de simetria do 
capacitor que produz o campo elétrico considerado, conforme ilustrado na Fig. 1.15. (d) 
Suponha que um elétron penetre neste campo uniforme com uma velocidade ü] parale­
la ao eixo Ox, conforme indicado na Fig. 1.15; descreva o movimento do elétron.
Solução, (a) Suponha que um capacitor de placas planas e paralelas produza o cam­
po elétrico uniforme indicado na Fig. 1.15. Seja Oxz um sistema cartesiano orientado con­
forme indicado na Fig. 1.15.
Como se trata de uma partícula elementar, as forças gravitacionais podem ser des­
prezadas em comparação com as forças elétricas. Portanto, para solucionar este proble­
ma basta considerar a ação das forças elétricas. No caso (a), a força elétrica é orientada de 
cima para baixo (no sentido positivo do eixo Oz). Sendo assim, existe uma analogia com­
pleta entre este caso e o movimento de um projétil lançado na superfície terrestre. Como 
ao longo do eixo Oxnão existe nenhuma força aplicada, o movimento ao longo deste eixo 
é retilíneo e uniforme. Logo:
u, « uo cos 6 ; x = uo cos 6 t (1)
A força elétrica na direção do eixo Oz é constante. Logo, o movimento da partícula 
de carga q é retilíneo uniformemente retardado ao longo do eixo Oz. Podemos escrever:
Ui = uo sen 0 — at; z = u0 sen 6 t — at*/2 (2)
onde a é o módulo da aceleração da partícula. Usando a Segunda Lei de Newton, temos: 
qE - ma. Logo:
r = A£ (1.13)
a
33
Campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas
O campo elétrico de uma distribuição descontínua de cargas, ou seja, o campo elé­
trico de uma distribuição de cargaspuntiformes pode ser determinado pelo Princípio da 
Superposição através das relações (1.11) e (1.12). Vejamos agora o procedimento para a 
determinação do campo elétrico de cargas distribuídas continuamente ao longo de um corpo, 
ou seja, desejamos determinaro campo elétrico de corpos eletrizados que não podem ser 
considerados como cargaspuntiformes. Neste caso, o Princípio da Superposição também 
se aplica. Contudo, em vez de adotar a relação (1.11), é necessário fazer uma soma sobre 
um número infinito de parcelas infinitesimais. Inicialmente, determinamos o campo pro­
duzido por uma carga puntiforme A^. A seguir, aplicamos o Princípio da Superposição 
para todos os campos oriundos da totalidade das cargas que existem no corpo. Neste ca­
so, em vez da relação (1.11), devemos usar a seguinte relação:
A£k
~x.
ÒJS
Vemos, portanto, que o elétron descreve uma trajetória parabólica no interior do 
campo elétrico uniforme. A concavidade d& parábola é voltada para cima, contrariamen­
te ao caso (a). Ao emergir do campo elétrico uniforme, o elétron passa a descrever uma 
trajetória retiiínea tangente à parábola acima mencionada no ponto onde o elétron sai do 
campo.
onde AéT( é o campo elétrico produzido por uma cargapuntiforme infinitesimal ãqi. A so­
ma indicada na equação (1.13) deve ser estendida a todas as cargas do corpo considerado. 
Como se trata de uma soma de parcelas infinitesimais, à medida que o número de parcelas 
aumenta indefinidamente, pela definição de integral, podemos escrever a relação (1.13) 
sob a forma mais geral: .
s =J dE
Portanto, o campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas pode ser obtido 
por uma integral do campo infinitesimal dÊ produzido por uma carga puntiforme infini­
tesimal dq. A integral acima deve ser estendida a todos os pontos do corpo onde se encon­
tram as cargas. No Exemplo 1.8 vamos ilustrar este método de cálculo determinando o cam­
po elétrico produzido por um anel uniformemente carregado.
Exemplo 1.8 Considere um anel de raio a uniformemente carregado com uma carga 
positiva Q. Determine o campo elétrico ao longo dos pontos do eixo de simetria deste anel 
(eixo ortogonal ao plano do anel e passando pelo centro do anel).
Fig. 1.16 Esquema para a determinação do 
campo elétrico ao longo do eixo de simetria 
de um anel uniformemente carregado com 
uma carga total positiva Q.
s
(3)
(4)
E (5)
34
Observação: Podemos testar a relação (5) de dois modos: 1 ?) para x = 0, a relação 
(5) mostra que E = 0 no centro do anel (este resultado é correto, tendo em vista a simetria 
do anel); 2?) para os pontos muito afastados do centro do anel, isto é, para*muito maior
A soma total (ou Integral) das cargas Q existentes sobre o anel é igual à carga total 
Q do anel. Sendo assim, o módulo do campo elétrico do anel no ponto situado a uma dis­
tância x do centro do anel é dado por:
Solução Na Fig. 1.16 mostramos o campo infinitesimal oE produzido por uma carga 
infinitesimal OQ situada sobre o anel. Podemos decompor o campo àS em dois compo­
nentes. O componente àSx é a projeção do vetor àS sobre o eixo do anel (eixo designa­
do pela variável x). Seja x a distância entre o centro do anel e o ponto onde desejamos de­
terminar o campo elétrico. O vetor aEÇ é o componente perpendicular ao eixo da variá­
vel x. A simetria do anel indica claramente que o campo elétrico resultante deve estar ao 
longo do eixo do anel, uma vez que os componentes perpendiculares AE^ se anulam pa­
ra duas cargas simetricamente opostas situadas ao longo do anel. Portanto, para calcular 
o campo elétrico resultante basta somar os componentes ao longo do eixo da variável x. 
O módulo do vetor a£, é dado por:
AEX = AE cos 0 (1)
Õnde AEé o módulo do campo elétrico infinitesimal produzido por uma carga puntiforme 
AQ, conforme indicado na Fig. 1.16. O módulo do vetor AfT é dado por:
AE = k^Q/s2 (2)
Levando em conta as relações (1) e (2) e aplicando o Princípio da Superposição (1.13), 
obtemos:
koáQ cos S
7 "
kçQx 
(x2 + a3)3'3
Como a distância x para um dado ponto é uma distância fixa, o valor de x não varia 
na relação anterior. Além disto, como a e ka também são constantes, podemos escrever 
a equação anterior colocando para fora do sinal de somatório o fator constante, ou seja.
AQ
Observando a Fig. 1.16, concluímos que:
s2 = x3 + a2 ; cos 0 = x/s = xtx2 + a3)'73
Das relações (3) e (4) achamos:
(x2 + a3)3'3
k<>x áQE - y v --------
^x3 + a3)3'3
E,A
t
35
do que a, podemos desprezar o valor de a em comparação com x no denominador da ex­
pressão (5); neste ,caso, a expressão (5) se reduz a
E = kcQ/x2
Este resultado concorda com o módulo do campo elétrico de uma carga puntiforme 
Qsituada no centro do anel. É claro que, pela definição de cargapuntiforme, o anel pode 
ser considerado como uma carga puntiforme Q para valores x muito maiores do que a.
Fig. 1.17 O fluxo de um campo elé­
trico uniforme através de uma su­
perfície plana ortogonal ao cam­
po elétrico é dado por; <}> = EA, 
ondeEéo módulo do campo elé­
trico eAéa área da superfície pla­
na considerada.
onde A é a área da superfície plana mencionada que é atravessada pelo campo elétrico 
E. NoS/o fluxo elétrico édado em N.m2/C. Na convenção utilizada para a descrição 
das linhas de força de um campo elétrico é conveniente traçar uma figura na qual a den­
sidade de linhas de força seja proporcional ao módulo do campo elétrico na região con­
siderada. Ou seja, o módulo do campo elétrico no interior de uma pequena região é pro­
porcional ao número de linhas de força por unidade de área ortogonal ao campo elétri­
co. Logo, pela definição de fluxo elétrico e pela convenção sobre as linhas de força de 
um campo elétrico, concluímos que o fluxo elétrico através de uma área é proporcional 
ao número de linhas de força que atravessam a área considerada.
1.7 Lei de Gauss
No Exemplo 1.8 mostramos como se determina o campo elétrico de uma distri­
buição contínua de cargas. Mostraremos agora uma forma alternativa para a determi­
nação do campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas; este método se baseia 
na Lei de Gauss que será apresentada a seguir.
Fluxo elétrico
Antes de escrever a Lei de Gauss é necessário discutir o conceito de fluxo elétrico. 
Na Fig. 1.17 mostramos um campo elétrico uniforme ortogonal à superfície plana de 
área A indicada na ilustração. O fluxo elétrico <t> de um campo elétrico uniforme através 
de uma superfície plana ortogonal à direção do campo é definido pela equação:
<t> = EA (1.14)
<t>
36
Quando a superfície plana não é ortogonal ao campo elétrico uniforme, o fluxo 
elétrico não pode ser calculado pela relação (1.14). Neste caso, devemos usar a seguinte 
equação:
Fluxo através de uma superfície fechada e Lei de Gauss
O fluxo definido pela equação (1.15) ou pela equação geral (1.17) refere-se a um fluxo 
através de uma superfície aberta. Quando se trata de um corpo é necessário calcular o 
fluxo total através da superfície fechada do exterior do corpo. Mesmo quando não existe 
nenhum corpo imerso no campo elétrico, é conveniente aprender a calcular o fluxo to­
tal através de uma superfície fechada qualquer. Para determinar o fluxo elétrico total 
através de uma superfície fechada, calculamos o fluxo infinitesimal em cada ponto da 
superfície e estendemos o cálculo da integral (1.17) para todos os pontos da superfície 
considerada.
Pela definição de fluxo elétrico, verificamos que o fluxo é positivo quando o ve­
tor campo elétrico atravessa a superfície de dentro parafora (porque o vetor área é orien­
tado sempre de dentro para fora da superfície). Analogamente, quando o vetor campo 
elétrico atravessa a superfície de fora para dentro, concluímos que o fluxo elétrico é ne­
gativo. É fácil verificar, pela definição de fluxo, que o fluxo total através da superfície 
fechada de um corpo imerso num campo elétrico uniforme é igual a zero. Toda superfí­
cie fechada imersa num campo elétrico uniformeproduzfluxo elétrico nulo. Verifica-se
Nota: A expressão (1.16) pode ser generalizada para o caso em que a superfície con­
siderada não é plana e o campo elétrico.não é uniforme. Neste caso, o fluxo elétrico t defi­
nido pela integral:
= ^E.dA (1.17)
onde o vetor dA é um vetor infinitesimal ortogonal ao elemento de superfície cujaárea 
vale dA. A integral acima deve ser estendida a todos os pontos da superfície atravessada 
pelo campo elétrico Ê. Quando a superfície considerada for uma superfície plana na área 
A, a integral (1.17) se transforma na equação (1.16), supondo que o campo elétrico seja 
constante ao longo da área A.
| » = E.X | (1.15)
onde o ponto entre o vetor E e o vetor /T representa o produto escalar entre os dois ve­
tores. Logo, a relação (1.15) também pode ser escrita na forma:
<t> = EA cos 8 (1.16)
onde 8 é o ângulo entre o vetor E” e o vetor Ã. O vetor área X é definido como um 
vetor ortogonal à superfície considerada e que possui um módulo igual à área A da su­
perfície considerada. Logo, o ângulo 8 indicado na relação (1.16) é o ângulo entre a 
normal da superfície (indicada pelo vetor Â) e o vetor campo elétrico E. No caso par­
ticular em que a superfície plana é ortogonal ao vetor E, verificamos facilmente que 
a relação (1.16) se reduz à equação (1.14).
— Ôtat/Co (1.19)
37
Densidade de cargas elétricas
Dizemos que um corpo possui uma certa densidade de cargas elétricas quando o 
corpo possui cargas livres. A densidade linear de cargas de um fio uniformemente car­
regado é definida pela relação:
que quando uma superfície fechada não possui nenhuma carga elétrica em seu interior, 
o fluxo elétrico através desta superfície fechada é sempre igual a zero, mesmo quando 
a superfície está imersa num campo elétrico não uniforme.
Considere agora uma superfície fechada na ausência de campos externos. Supo­
nha que exista uma carga elétrica positiva Q no interior desta superfície. Como as li­
nhas de força do campo elétrico produzido pela carga Q atravessam esta superfície de 
dentro para fora, concluímos que o fluxo elétrico total através desta superfície fechada 
épositivo. De modo análogo, concluímos que é negativo o fluxo elétrico total através 
de uma superfície fechada que contém uma carga elétrica negativa.
Levando em conta as observações teóricas sobre fluxo elétrico e, de acordo com 
os resultados experimentais, podemos enunciar a Lei de Gauss da Eletrostática do se­
guinte modo:
"O fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual a 
Q,.,/e0”. Ou seja, a famosa Lei de Gauss estabelece que:
0 lOUl — Q„/e. (1.18)
onde Q„, é carga elétrica total no interior da superfície fechada na qual calculamos o 
valor do fluxo total
Na prática, a Lei de Gauss da Eletrostática só deve ser usada quando a distribui­
ção de cargas possuir simetria esférica, simetria cilíndrica ou então simetria plana-, para 
estas distribuições de cargas, a Lei de Gauss assume a forma:
| X = Q/£ | (1.20)
onde Q é a carga total distribuída uniformemente ao longo do comprimento L do fio.
onde é a área total da superfície ao longo da qual o módulo E do campo elétrico 
é constante, sendo o vetor E ortogonal ao elemento de área em cada ponto da superfí­
cie cuja área vale Mostraremos com vários exemplos como se utiliza a Lei de 
Gauss (1.19) para calcular o campo elétrico de diversas distribuições com simetrias esfé­
ricas, cilíndricas e planas (ver os Exemplos de número 1.9 até 1.16).
É conveniente mostrar a analogia entre a Lei de Gauss da Eletrostática e a Lei de 
Gauss da Gravitação.ALei de Gauss da Eletrostática afirma que o fluxo total do campo 
elétrico através de uma superfície fechada é diretamente proporcional à carga elétrica 
total existente no interior da superfície fechada considerada. A Lei de Gauss da Gravi- 
tação afirma que o fluxo total do campo gravitacional através de uma superfície fecha­
da é diretamente proporcional à massa total existente no interior da superfície fechada 
considerada.
u =
(1.22)
(2)
E =
38
De acordo com as relações (1), (2) e (1.19), temos:
4-rpE = q/co
Portanto, o módulo do campo elétrico da carga pontual q é dado por:
onde Ké o volume do corpo ao longo do qual existe uma distribuição uniforme de car­
gas (com uma carga total Q). Note que a relação (1.22) não pode ser usada para condu­
tores. Em virtude da repulsão coulombiana, um condutor em equilíbrio eletrostático só 
pode possuir cargas livres localizadas na sua superfície externa (no caso de um condu­
tor maciço sem nenhum buraco). No caso de um condutor com um ou mais buracos, 
também existe densidade superficial de cargas; contudo, as cargas devem se distribuir 
tanto na superfície externa quanto na superfície interna de cada buraco.
Observação: As definições (1.20), (1.21) e (1.22) não valem no caso de distribuições 
não uniformes. Neste caso, em vez de se usar estas relações, devemos utilizar as seguintes 
derivadas:
X = dQ/dL ; a = dQ/dA ; p = dQ/dV
Exemplo 1,9 Aplique a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico de uma car­
ga puntiforme q.
Solução. Considere uma superfície esférica de raio r com uma carga q. Como a dis­
tância r é a mesma para todos os pontos da superfície da esfera, o módulo do vetor E é 
constante ao longo desta superfície. A direção deste vetor é perpendicular à superfície, por­
tanto, este vetor é paralelo ao vetor dA. Logo, o fluxo total na superfície da esfera, de acordo 
com a definição (1.17) será dado por:
•Êtool = £>lio<»l (1)
Na Fig. 1.18 mostramos uma superfície esférica de raio r envolvendo a carga q. A área to­
tal da superfície da esfera é dada por:
A tocaj = 4“KJ^
A densidade superficial de cargas a de um condutor ou de qualquer sistema que 
possua uma distribuição uniforme de cargas na sua superfície é definida por:
QÃT] (1-21)
onde Q i a carga total distribuída uniformemente ao longo da superfície do corpo de 
área A.
A densidade volumétrica de cargas de um isolante (ou dielétrico) é definida, no caso 
de uma distribuição uniforme, através da equação:
|P = 2/^(
39
Fig. 1.18 Superfície gaussiana esférica para 
a determinação do campo elétrico de uma 
carga puntiforme q.
Nota: Mostramos como se determina o campo elétrico de uma carga puntiforme; 
colocando-se uma carga de prova Q neste campo, verificamos que o módulo da força elé­
trica será dado pela Lei de Coulomb (1.4). Logo, podemos deduzir a Lei de Coulomb a 
partir da Lei de Gauss. Reciprocamente, conhecendo-se a Lei de Coulomb e utilizando-se 
a definição de fluxo elétrico, é possível deduzir a Lei de Gauss.
Exemplo 1.10 Um condutor de forma geométrica arbitrária está carregado. Cal­
cule o módulo do campo elétrico produzido por este condutor: (a) para pontos no interior 
do condutor; (ò) para pontos externos próximos à superfície do condutor.
Solução (a) Quando um condutor está carregado, as cargas elétricas se distribuem 
na superfície do condutor. No interior do condutor não pode existir nenhuma carga, por­
que, devido à repulsão coulombiana entre as cargas, elas tendem a sair do interior do corpo 
para a sua superfície. Fazendo-se um raciocínio de simetria e aplicando-se o Prindpio da 
Superposição, podemos provar que no interior de qualquer condutor E = 0.
(ò) Para aplicar a Lei de Gauss, é conveniente considerar uma superfície cilíndrica 
fechada com as bases paralelas a uma pequena seção da superfície do condutor, conforme 
indicado na Fig. 1.19.
Fig. 1.19 Esquema para aplicar a Lei de Gauss na de- 
terminação do campo elétrico de um condutor de for­
ma geométrica arbitrária (no interior do condutor e 
nas vizinhanças da superfície externa do condutor).
Uma das bases de área A do pequeno cilindro está dentro do condutor, a outra base 
está fora do condutor, conforme ilustrado na Fig. 1.19. Como na parte interna o campo 
elétrico é nulo, aplicando a Lei de Gauss (1.19), encontramos:
EA = Q/c0
E
40
Fig. 1.20 Superfície esférica de raio r envolvendo um con­
dutor esférico de raio R que contém uma carga elétrica Q dis­
tribuída uniformemente na superfície externa.
De acordo com a definição de densidade superficial de cargas, temos:
Q = a A
Portanto, usando as equações anteriores, achamos:
E — a/eo
A relação acima fornece o módulo do campo elétrico nas vizinhanças de um condu­
tor; nesta relação a é a densidade de cargas na região considerada. O campo elétrico