Lei da Radiação de Stefan

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Lei da Radiação de Stefan-Boltzmann 
 
Barbara Herculano de Souza Silva – 21600775 
UFAM - Universidade Federal do Amazonas -Laboratório de Física Moderna I 
06 de fevereiro de 2022 
 
Resumo 
O presente relatório descreve um experimento mostrado pelo Prof. Haroldo de 
Almeida Guerreiro, em uma aula remota, com o intuito de estudar a Lei da Radiação de 
Stefan-Boltzmann. Um dos resultados mais concretos e importantes da termodinâmica do 
corpo-negro, na era pré Planck, são as leis de Stefan-Boltzmann e Wien. As deduções 
dessas leis demarcam o limite do que foi possível alcançar, usando apenas as ferramentas 
da termodinâmica e do eletromagnetismo clássico, sob a ignorância completa dos 
fenômenos quânticos. São resultados fabulosos que serviram como um ponto de partida 
bem estabelecido e seguro para a análise de resultados experimentais, bem como os 
trabalhos posteriores, audaciosos e revolucionários, de Planck e Einstein. 
 
1 Introdução 
A lei de Stefan-Boltzmann, como o próprio nome indica, foi descoberta pelo físico 
austríaco Joseph Stefan (1835-1893) e deduzida teoricamente pelo físico austríaco 
Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906). De acordo com essa lei, a energia emitida por 
unidade de tempo e por unidade de área por um corpo negro é proporcional à potência 
quatro da temperatura absoluta do corpo. A lei de Stefan-Boltzmann também é válida 
para os corpos conhecidos como corpos “cinza”, cuja superfície exibe um coeficiente de 
absorção menor que um e independente do comprimento de onda. 
1.1 Objetivo 
Este relatório tem como objetivo construir um gráfico demonstrativo através de 
dados experimentais coletados pelo aluno Thomás Silva Correa, no ano de 2020, na aula 
de laboratório de física moderna I, para verificação da Lei de Stefan-Boltzmann, 
representado pelo filamento de uma lâmpada incandescente cuja emissão de energia é 
investigada em função de sua temperatura. 
2 Equipamento 
 
1) Base barril -PASS- 
2) Distribuidor 
3) Lâmpada de filamento 6 V/ 5 A 
4) Suporte para lâmpada E 14, com haste 
5) Multímetro digital 
6) Cabo de conexão, 500 mm, vermelho 
7) Cabo de conexão, 500 mm, azul 
8) Banco de perfil óptico l = 60 cm 
9) Base para banco de perfil óptico, ajustável 
10) Suporte deslizante para banco de pr. Ópt., h30mm 
11) Termopilha, tipo Moll E 
12) Tubo blindado, para 08479.00 
13) Transformador, 25VAC/20VDC,12A 
14) Amplificador de medidas universal 
15) Resistor de carbono PEK 2W 5% 100 Ohm 
3 Problemas 
1. Medir a resistência do filamento da lâmpada incandescente à temperatura 
ambiente e determinar a resistência do filamento 𝑅0 à zero graus centígrados. 
 
2. Medir a densidade do fluxo de energia da lâmpada em diferentes voltagens de 
alimentação. A correspondente corrente elétrica de aquecimento obtendo a 
resistência associada ao filamento para cada voltagem de alimentação. 
Admitindo-se uma dependência de segunda ordem com a temperatura para a 
resistência do filamento, pode-se calcular a temperatura do filamento a partir dos 
dados medidos para a resistência. 
4 Montagem e procedimentos 
Monta-se inicialmente o circuito da Fig. 2 para medida da resistência do filamento 
à temperatura ambiente. Um resistor de 100 ohms é conectado em série com a lâmpada 
para permitir um ajuste fino da corrente. Mede-se a queda de potencial V no filamento 
para correntes de até 200 mA-DC, obtendo a resistência à temperatura ambiente. As 
intensidades de corrente nessa faixa são suficientemente pequenas de modo a desprezar 
efeitos de aquecimento. Prepara-se a montagem experimental da Fig. 1. O resistor de 100 
ohms é retirado do circuito. O filamento agora é alimentado por uma fonte de tensão VAC 
variável em série com um amperímetro que permita medidas de corrente alternada de até 
6A. O voltímetro é conectado aos terminais do filamento e a voltagem alternada é 
aumentada em intervalos de 0,5 ou 1,0 volt até o limite de 8 𝑉𝑎𝑐 . 
Figura 1: Montagem experimental 
Figura 2: Circuito para medida da resistência do filamento à temperatura ambiente. 
Com a termopilha montada a uma distância de 30 cm do filamento aplica-se 
inicialmente uma tensão de 1 𝑉𝐴𝐶 . Em seguida gira-se (com a base fixada) a termopilha 
para esquerda e direita procurando o valor máximo para a f.e.m. termoelétrica. O eixo do 
filamento cilíndrico deve estar perpendicular ao eixo do banco óptico. Como a f.e.m. 
termoelétrica é da ordem de poucos milivolts, deve-se usar um amplificador para medidas 
mais acuradas. O fator de amplificação deve estar na faixa de 102 ou 103 com o 
voltímetro ligado ao amplificador na escala de 1 ou 10 𝑉𝐷𝐶 . Antes de iniciar a leitura da 
f.e.m. termoelétrica deve-se ajustar um “zero” apropriado. Isto pode ser feito afastando-
se a lâmpada em seu suporte da frente da termopilha por alguns minutos. O amplificador 
deve ser usado no modo LOW DRIFT (104 ohm) com uma constante de tempo de 1 s. 
Após a lâmpada ser colocada de volta no trilho óptico podem ser tomados os 
dados, aguardando sempre alguns minutos entre cada medida para que a termopilha 
alcance o equilíbrio. Deve-se tomar cuidado para que nenhuma radiação de fundo 
prejudique as medidas. 
5 Teoria e Análise 
Considere a radiância espectral 𝑅𝑇(λ) para um corpo negro com uma área de 
superfície A. Podemos expressar a energia emitida por unidade de tempo e de área, à 
temperatura T e comprimento de onda λ no intervalo dλ pela equação de Planck: 
1
𝐴
𝑑𝐸
𝑑𝑡
 = 𝑅𝑇(λ)𝑑λ = 
2𝜋𝑐2
λ5
ℎ
(𝑒
ℎ𝑐
λkT⁄ − 1)
 𝑑λ (1) 
onde: 
c = 3,00 × 108 m/s (velocidade da luz) 
h = 6,62 × 10−34 J.s (constante de Planck) 
k = 1,381 × 10−23 J.𝐾−1 (constante de Boltzmann) 
Integrando a equação (1) sobre todo o espectro de comprimentos de onda, obtemos 
a potência total irradiada à temperatura T (Lei de Stefan-Boltzmann): 
𝑃(𝑇) = 𝐴 ∫ 𝑅𝑇
∞
0
(λ)dλ = Aσ𝑇4 (2) 
com: 
𝜎 = 2𝜋5. 𝑘4/15𝑐2. ℎ3 = 5,67 × 10−8 𝑊. 𝑚−2. 𝐾−4 
A relação de proporcionalidade entre P(T) e 𝑇4 continua válida para os chamados 
corpos “cinza”, cuja superfície exibe um coeficiente de absorção ε, menor que um e 
independente do comprimento de onda. Para testar a validade da Lei de Stefan-Boltzmann 
medimos a radiação emitida pelo filamento de uma lâmpada incandescente que se 
comporta muito proximamente a um corpo “cinza”. Para uma distância fixa entre o 
filamento e a termopilha, o fluxo de energia φ que a atinge é proporcional a P(T). 
φ ∝ P(T) 
E como φ também é proporcional à f.e.m. 𝑈𝑡ℎ da termopilha, podemos estabelecer 
que: 
𝑈𝑡ℎ ∝ 𝑇
4 
caso a termopilha esteja à temperatura de zero Kelvin. Mas como a termopilha está à 
temperatura ambiente 𝑇𝑎 ela também irradia segundo a lei 𝑇
4 de modo que devemos 
escrever: 
𝑈𝑡ℎ ∝ (𝑇
4 – 𝑇𝑎4) 
Nas circunstâncias da experiência podemos desprezar 𝑇𝑎4 em comparação a 𝑇
4 
de modo que podemos esperar uma relação linear, de coeficiente “4”, quando 
representada a função 𝑈𝑡ℎ(T) em escala di-logarítimica. 
Log 𝑈𝑡ℎ = 4 log T + const. (3) 
A temperatura absoluta T = t + 273 do filamento de tungstênio pode ser calculada 
pelas medidas de resistência R(t) do filamento (t é a temperatura em centígrados). Para a 
resistência de um filamento de tungstênio temos a seguinte relação: 
𝑅(𝑡) = 𝑅0(1 + 𝛼𝑡 + 𝛽𝑡
2) (4) 
sendo 𝑅0 a resistência a 0°C e, 
𝛼 = 4,82 𝑥 10−3𝐾−1 
𝛽 = 6,76 𝑥 10 −7𝐾−2 
A resistência 𝑅0 pode ser calculada usando a relação: 
𝑅0 = 
𝑅(𝑡𝑎)
1 + 𝛼. 𝑡𝑎 + 𝛽𝑡𝑎2
 (5) 
Resolvendo a eq. (4) para temperatura t, chega-se: 
𝑇 = 273 +
1
2𝛽
[√𝛼2 + 4𝛽(
𝑅(𝑡)
𝑅0
 − 1) − 𝛼] 
Tanto R (𝑡𝑎) quanto R(t) são obtidas pela lei de Ohm, ou seja, pelas medidas de 
voltagem e corrente através do filamento. 
Usando a saída de voltagem DC da fonte de tensão, uma corrente contínua de 100 
mA e de 200 mA foram aplicadas ao filamento em série com um resistorde 100 ohm. As 
voltagens correspondentes lidas no voltímetro foram de 16,5 mV e 33,0 mV 
respectivamente. Nota-se que dobrando a corrente a voltagem também dobra. Isto mostra 
que a influência da temperatura na resistência do filamento já é insignificante para os 
valores DC escolhidos. Encontramos nesse caso: 
𝑅(𝑡𝑎) = 0,165 𝑜ℎ𝑚 (7) 
e consequentemente: 
𝑅0 = 0,15 𝑜ℎ𝑚 (8) 
 
Pequenas variações em 𝑅0 influenciam de forma insignificante o coeficiente S. 
6 Tratamento de Dados 
Com os valores obtidos da voltagem e corrente é possível calcular a resistência do 
filamento da lâmpada a temperatura ambiente. Após a montagem do circuito fizemos 
medidas das voltagens no terminal da lâmpada e assim montamos uma tabela com os 
seguintes valores encontrados. 
U (V) I (mA) R (mΏ) 
3,5 20 1,75 x 10−1 
7,1 40 1,78 x 10−1 
10,6 60 1,77 x 10−1 
14,2 80 1,78 x 10−1 
17,2 100 1,72 x 10−1 
Tabela 1: Voltagens nos terminais para determinadas correntes. 
Com os valores encontrados, foram calculadas as resistências a temperatura 
ambiente através da média entre todas as resistências obtidas para cada corrente. 
Valor experimental (R) Valor do fabricante (R) 
0,1757 0,15 
Tabela 2: Resistências a temperatura ambiente 
Com isso, também podemos calcular pela eq. (5) o valor de R(mΏ): 
Valor experimental (R) Valor do fabricante (R) 
0,1586 0,165 
Tabela 3: Resistências (mΏ) 
Com os valores obtidos, pelo aluno Thomás Silva Correa, no ano de 2020, na aula 
de laboratório de física moderna I, nas voltagens e correntes no circuito contendo a 
lâmpada e da tensão na termopilha na saída do amplificador, conseguimos montar a 
seguinte tabela: 
𝑉𝐴𝐶 (V) 𝐼𝐴𝐶 (A) R (t) T (k) 𝑈𝑡ℎ (𝑚𝑉) 
1 1,93 0,52 752,61 0,06 
2 2,60 0,76 1035,32 0,32 
3 3,20 0,93 1224,88 0,74 
4 3,73 1,07 1375,21 1,28 
5 4,22 1,18 1490,01 1,98 
6 4,66 1,28 1592,04 2,77 
7 5,07 1,38 1691,97 3,62 
8 5,47 1,46 1770,50 4,59 
Tabela 4: Valores encontrados via experimento 
Gráfico 1: Tensão na termopilha x temperatura do filamento 
Conseguimos também tirar os logaritmos de T (k) e 𝑈𝑡ℎ (𝑚𝑉), com isso teremos 
uma tabela e um gráfico a seguir: 
Log 𝑈𝑡ℎ (𝑚𝑉) Log T (K) 
-1,2218 2,8265 
0,4948 3,0151 
0,1307 3,0880 
0,1072 3,1383 
0,2966 3,1731 
0,4424 3,2019 
0,5587 3,2283 
0,6618 3,2480 
Tabela 5: Logaritmos encontrados de 𝑈𝑡ℎ e T 
0.06
0.32
0.74
1.28
1.98
2.77
3.62
4.59
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
U
th
 (
m
V
)
T (K)
Gráfico Uth x T
Valores Y Linear (Valores Y)
Gráfico 2: Logaritmos de Uth e T 
A representação gráfica di-logarítimica do fluxo de energia em função da 
temperatura absoluta é mostrado na Fig. 3. O coeficiente S da reta ajustada pelo método 
dos mínimos quadrados é: 
S = 4,19 ± 0,27 (9) 
O valor teórico de S, que é 4 , se encontra dentro dos limites da incerteza calculada. 
7 Conclusão 
 Com o valor encontrado no Gráfico 2 de 𝑉𝑒 = 4,02 juntamente com o valor 
encontrado pelo fabricante que é de 𝑉𝑓 = 4,19 , conseguimos calcular o valor teórico de 
𝑉𝑡 = 4,00. Percebe-se alcançamos o objetivo de determinar que a lei de Stefan-Boltzmann 
pode ser utilizada para chamados corpos cinzas pois estes comportam-se semelhante aos 
corpos negros. 
8 Ilustrações 
Foram tiradas imagens fotográficas dos resultados obtidos a cada um volt a mais 
fornecido ao sistema, pelo aluno Thomás Silva Correa, no ano de 2020, na aula de 
laboratório de física moderna I. 
 
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
2.8 2.85 2.9 2.95 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3
Lo
ga
ri
tm
o
 d
e 
U
th
Logaritmo de T
Gráfico de Log Uth x T
Figura 3: sendo fornecido 1 (dois) volts (V) ao sistema 
 
 
Figura 4: sendo fornecido 2 (dois) volts (V) ao sistema 
 
 
Figura 5: sendo fornecido 3 (dois) volts (V) ao sistema 
 
 
Figura 6: sendo fornecido 4 (dois) volts (V) ao sistema 
 
 
Figura 7: sendo fornecido 5 (dois) volts (V) ao sistema 
 
 
Figura 8: sendo fornecido 6 (dois) volts (V) ao sistema 
 
 
Figura 9: sendo fornecido 7 (dois) volts (V) ao sistema 
 
 
 
Figura 10: sendo fornecido 8 (dois) volts (V) ao sistema 
8 Bibliografia 
https://www.if.ufrj.br/~moriconi/MecEst/corpo-negro.pdf Acesso: 02/02/22 
file:///C:/Users/LENOVO/Downloads/climaambiente.pdf Acesso:02/02/22 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stefan%E2%80%93Boltzmann Acesso:02/02/22 
 
 
 
 
 
 
https://www.if.ufrj.br/~moriconi/MecEst/corpo-negro.pdf
file:///C:/Users/LENOVO/Downloads/climaambiente.pdf
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stefan%E2%80%93Boltzmann