Gota de Milikan

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Relatório Científico da Disciplina
Física Experimental Avançada
Experimento da Gota de Milikan
Gabriel Edgard Vale, Marcelo F. T. L. I. de Sousa , Vitor de Paula
Universidade Federal de São João del-Rei, Departamento de Ciências Naturais, Campus
Dom Bosco, Praça Dom Helvécio, 74 – Fábricas, São João del-Rei – MG, CEP 36301-160
Relatório do experimento realizado no dia 17 de novembro de 2023
RESUMO: No experimento da gota Millikan, suspendemos gotas de óleo transportadas em
uma câmara de condensação, equilibrando as forças gravitacionais e elétricas. Variando a
carga elétrica aplicada, observamos que as gotas tinham cargas múltiplas da unidade de carga
fundamental. Analisando os dados, a carga elementar foi calculada em aproximadamente
. Este resultado está em estreita concordância com o valor𝑒
𝑒𝑥𝑝
= (4, 9 ± 0, 9) × 10−10𝑢𝑒𝑠
aceito, enfatizando a precisão do experimento e sua contribuição para a compreensão da
natureza discreta da carga elétrica.
1. Introdução
O precursor na investigação da carga do elétron foi J.J. Thomson, que descobriu esta
partícula em 1897. Com seu estudante C.T.R. Wilson, Thomson determinou a carga do
elétron fazendo uso de uma câmara de bolhas, ou câmara de nuvens, desenvolvida por
Wilson. O uso da câmara de Wilson para a determinação da carga do elétron fundamenta-se
no fato de que íons gasosos servem como núcleos de condensação de vapor d’água. Em
outras palavras, os íons são decorados por gotículas do vapor supersaturado. Os íons são
produzidos com um feixe de raios X, ou com um feixe de raios gama emitidos por uma fonte
radioativa.
Em 1851, Sir George Stokes mostrou que uma gota esférica, de raio a e densidade r,
caindo sob a ação de um campo gravitacional g, num fluido uniforme de viscosidade h ,
atinge uma velocidade terminal uniforme dada por . Sendo este movimento𝑣 = ( 29 )(
𝑔𝑎2𝑟
ℎ )
exatamente o mesmo daquele experimentado por cada gota ionizada na câmara de Wilson,
Thomson usou a relação de Stokes para estimar o raio médio das gotículas. Não cabe aqui
apresentar o trabalho de Thomson detalhadamente; ele é importante pela introdução da
câmara de bolhas, e pelo uso da relação de Stokes, mas as dificuldades metodológicas
imediatamente apontaram para a necessidade de aperfeiçoamentos. Para compreender essa
necessidade e as motivações das tentativas seguintes, vejamos, mesmo que superficialmente,
algumas etapas do método de Thomson. A carga total da nuvem de gotículas era medida com
um eletrômetro, de modo que a carga de cada gotícula era obtida pela média; o número de
gotículas era obtido através de um complicado processo de medidas e cálculos, começando
pela medida da velocidade da nuvem e passando pelo uso da relação de Stokes. O melhor
valor obtido por Thomson foi da ordem de Coulomb1. 1 × 10−19
Em 1903, outro estudante de Thomson, H.A. Wilson, implementou duas novidades
nesse método. A primeira foi a decisão de observar apenas a parte superior de cada nuvem,
porque consistia de gotículas menores e que se deslocavam mais lentamente. A segunda e
mais importante novidade, foi a introdução de um campo elétrico na mesma direção do
campo gravitacional. O tratamento matemático desse método é apresentado no livro de
Anderson, não cabendo aqui repeti-lo. A carga do elétron obtida com este método oscilava
em torno de Coulomb.1, 04 × 10−19
Millikan e seu estudante Begeman iniciaram, em 1907, a repetição do experimento de
H.A. Wilson. A sequência de tentativas de Millikan é dividida em três etapas, cada uma
caracterizada por um método. Esses métodos foram enumerados por Holton como Método I
(essencialmente o método de Wilson), Método II (gota d’água isolada com alto campo
elétrico) e Método III (gota de óleo).
Com o Método I eles obtiveram, para a carga do elétron, uma relação formalmente
idêntica à de Thomson-Wilson, com valor médio em torno de Coulomb. Uma1, 3 × 10−19
fonte de erro muito importante nos métodos baseados na câmara de bolhas foi destacada por
Rutherford, segundo o qual, a dificuldade de se levar em consideração o efeito da evaporação
das gotículas de água resultava em valores superestimados para o número de gotículas e,
conseqüentemente, em valores subestimados para a carga do elétron. Portanto, o problema
crucial era reduzir o efeito da evaporação. A idéia imediata de Millikan foi utilizar um forte
campo elétrico (obtido com uma tensão da ordem de 10 kV) para imobilizar a camada
superior da nuvem de gotículas ionizadas e com isso acompanhar seu processo de
evaporação. Qual não foi sua surpresa quando, ao ligar a bateria, a nuvem se dissipou
completa e imediatamente, ao invés de ficar imobilizada como ele estava esperando!
Observações sucessivas levaram Millikan a descobrir que depois da "explosão" da nuvem,
algumas minúsculas gotículas permaneciam, proporcionando, pela primeira vez, a observação
de gotas individuais; estava nascendo o Método II, na classificação de Holton. Millikan
parece ter ficado extasiado com o que viu; gotas que iniciavam o movimento, depois
paravam, e às vezes invertiam a direção do movimento quando o campo elétrico era
desligado e depois ligado. Com a obtenção de aproximadamente Coulomb1, 56 × 10−19
para a carga do elétron, Millikan e Begeman deveriam ficar mais do que satisfeitos. Todavia,
o problema da evaporação continuava. Tentativas para resolver este problema desembocaram
no experimento da gota de óleo, descrito a seguir com base no artigo de Fletcher. Para
concluir essa fase do trabalho de Millikan, é muito importante destacar o fato de que, com a
colaboração de Begeman, ele chegou à conclusão de que os valores das cargas das diversas
gotículas eram sempre múltiplos exatos da menor carga que eles haviam obtido. Portanto, o
resultado fundamental de que existe uma carga elementar, a carga do elétron, foi obtido com
o Método II. O principal problema deste método era a rápida evaporação das gotículas de
água. Vários materiais foram testados em substituição à água, entre as quais mercúrio e óleo.
Por causa da facilidade de obtenção e de manuseio, o óleo foi selecionado, dando início ao
desenvolvimento do Método III.
O arranjo experimental é esquematizado na figura ao lado. O atomizador de perfume
foi usado para borrifar óleo de relógio na câmara acima do capacitor. Durante a pulverização
algumas gotículas de óleo ionizam-se por atrito. Quando essas gotículas penetram no
capacitor, ficam sob a ação do campo elétrico que existe entre as placas do capacitor. Nos
primeiros experimentos Fletcher investigou o efeito de um campo criado pela aplicação de
um potencial de 1000 volts. Imediatamente observou (através do pequeno telescópio) que
algumas gotículas subiam lentamente, enquanto outras desciam rapidamente, um resultado
1
lógico para quem sabia que algumas gotículas estavam positivamente carregadas, e outras
negativamente. Ligando e desligando a bateria na frequência adequada, ele conseguia
selecionar uma gotícula e mantê-la no seu campo de visão por um longo tempo. Com
algumas medidas e o tratamento matemático utilizado por Millikan e Begeman, Fletcher
obteve, com seu rústico equipamento, resultados bastante razoáveis.
Logo depois Millikan encomendou uma montagem "profissional", com a qual obteve
o mais preciso valor para a carga do elétron, isto é, 1,59x10-19 C.
2. Fundamentação Teórica
Millikan determinou a carga do elétron analisando o movimento de uma gotícula de
óleo eletricamente carregada sujeita ao campo gravitacional terrestre e a um campo elétrico
uniforme criado no interior de um capacitor de placas paralelas. A Fig. 1 mostra uma gotícula
em queda com velocidade vd. A gotícula está sujeita às forças gravitacionais ( ), elétrica (𝐹𝑔
) e de arrasto ( ). O empuxo não será considerado, porque a densidade do óleo é três𝐹𝐸 𝐹𝑑
ordens de grandeza maior do que a do ar.
Figura 1: Gotícula de óleo em queda.
O módulo da força gravitacional é dado por:
(1)𝐹𝑔 = 𝑚𝑔 = (4/3)π𝑟3ρ𝑔
onde m e r são a massa e o raio da gotícula; g é a aceleração da gravidade local, e ρ é a
densidade do óleo.A força elétrica é dada por:
(2)𝐹𝑒 = 𝑞𝐸
onde -q é a carga da gotícula, e E é o módulo do campo elétrico. A força de arrasto sobre uma
pequena esfera que se move com número de Reynolds muito baixo em um fluido viscoso é
dada pela Lei de Stokes:
(3)𝐹𝑑 = 6πη𝑟𝑣
onde η é a viscosidade dinâmica, r é o raio da esfera, e v é a velocidade do fluido em relação
ao corpo. Em unidades do Sistema Internacional de Unidades, a viscosidade é medida em
Pa.s.
As gotículas usadas neste experimento atingem a velocidade terminal em alguns
milisegundos, então a força resultante sobre uma gotícula deve ser nula:
(4)6πη𝑟𝑣
𝑑
− 𝑞𝐸 − (4/3)π𝑟3ρ𝑔 = 0
Para a subida da gotícula (Fig. 2), o sentido do campo elétrico deve ser invertido, e
temos:
2
(5)− 6πη𝑟𝑣
𝑠
+ 𝑞𝐸 − (4/3)π𝑟3ρ𝑔 = 0
onde é a velocidade de subida da gotícula.𝑣
𝑠
Figura 2: Gotícula em ascensão.
Somando a Eq. (4) e a Eq. (5) e isolando r resulta em:
(6)𝑟 =
9η(𝑣
𝑑
−𝑣
𝑠
)
4ρ𝑔
Subtraindo a Eq. (4) da Eq. (5) e isolando q fornece:
(7)𝑞 =
3πη𝑟(𝑣
𝑑
+𝑣
𝑠
)
𝐸
Substituindo a Eq. (6) na Eq. (7) dá:
(8)𝑞 = 3𝑑π𝑉
9η3(𝑣
𝑑
−𝑣
𝑠
)
4ρ𝑔 (𝑣𝑑 + 𝑣𝑠)
onde E=V /d , e d é a distância entre as placas do capacitor.
A lei de Stokes é válida para uma esfera que se move em um fluido contínuo. Um gás
real, no entanto, é formado por um número extremamente grande de moléculas em
movimento rápido aleatório. A distância média percorrida por uma molécula entre duas
colisões é chamada de caminho livre médio. As gotículas em nosso experimento – como se
verá - têm raios da ordem de décimos de micrômetro, que é da mesma ordem de grandeza do
caminho livre médio das moléculas de ar. Isso significa que as gotículas “sentem” as
moléculas de ar individualmente. A viscosidade efetiva percebida pelas gotículas é menor do
que a prevista pela lei de Stokes, uma vez que as gotículas deparam-se com espaços vazios. A
fim de compensar esse efeito, a viscosidade do ar deve ser corrigida de acordo com a fórmula
abaixo:
(9)η =
η
0
1+ 𝑏𝑝𝑟
onde é a viscosidade dinâmica não corrigida, p é a pressão dentro da câmara, eη
0
b=8,13×10−8 atm⋅m. Substituindo a Eq. (9) na Eq. (6) e isolando r, obtemos:
(10)𝑟 = ( 𝑏2𝑝 )
2 +
9η
0
(𝑣
𝑑
−𝑣
𝑠
)
4ρ𝑔 −
𝑏
2𝑝
Por sua vez, substituindo a Eq. (9) na Eq. (7) dá:
(11)𝑞 =
3π𝑑
9η3(𝑣
𝑑
−𝑣
𝑠
)
4ρ𝑔 (𝑣𝑑+𝑣𝑠)
𝑉(1+ 𝑏𝑝𝑟 )
3/2
3. Objetivo
O objetivo deste experimento consistiu em determinar a quantização da carga
utilizando o método desenvolvido por Robert A. Millikan.
3
4. Procedimento Experimental
A carga do elétron foi determinada utilizando-se gotas de óleo borrifadas num condensador
ou capacitor de placas paralelas, a distância entre as mesmas foram medidas com um
paquímetro, tal capacitor era fechado, lateralmente, por duas lâminas de vidro, suas funções
serão explicadas posteriormente. Para injetar as gotas de óleo no capacitor, utilizamos um
recipiente denominado de borrifador constituído por uma ampola de vidro com abertura na
parte superior conectada a uma parte de borracha. A ampola contém dois tubos, sendo que
um deles (A) é ligado ao nebulizador e o outro (B) está parcialmente imerso no óleo.
Figura 3.1: Borrifador.
Ao pressionar o nebulizador, um fluxo de ar a alta velocidade passa próximo a extremidade
do tubo B, nesta região haverá uma diminuição de pressão fazendo com que o óleo do tubo
seja sugado para cima, parte deste óleo acompanha o fluxo de ar e é borrifado, ejetando gotas
de óleo. O atrito com o ar ou com o vidro do nebulizador provoca a eletrização de algumas
gotas. O condensador foi adaptado a um tripé em conjunto com um microscópio e uma fonte
de luz. Estes dois últimos formam o conjunto óptico e estão dispostos horizontalmente e
fixados no eixo do suporte com liberdade de movimento. Utilizando um nível de bolha, as
placas foram niveladas ajustando os parafusos do tripé. As gotas foram observadas com
auxílio do conjunto óptico, pois suas dimensões são impossíveis de serem visualizadas a olho
nu. Calibramos a escala da ocular do microscópio por comparação com uma escala padrão
colocada sobre o condensador. O microscópio e a luz foram focalizados no centro do
condensador (figura 3.2).
4
Figura 3.2: Esquema do posicionamento do conjunto óptico em relação condensador.
Aplicamos um campo elétrico uniforme, produzido por uma diferença de potencial V entre as
placas do condensador, as gotas eletrizadas ficam sob influência deste campo. Para aplicação
deste foi necessário uma fonte de tensão contínua, que pode ser ajustada até
aproximadamente 300V, para este ajuste de tensão, utilizamos um multímetro digital.
Utilizamos uma chave inversora que permite alternar a polaridade das placas e estabelecia a
ligação entre a saída da fonte e o condensador, a mesma chave também permitia interromper
o fornecimento de tensão as placas, ao mesmo tempo em que eram ligadas em curto-circuito
para que não permanecessem qualquer carga residual. Este circuito está representado na
figura seguinte:
5. Resultados e Discussão
Inicialmente calculamos as velocidades médias de subida e descida de cada gota
utilizada na experiência:
Tabela 1: Tempos de subida e descida de cada gota analisada no experimento.
Gota Tempo de Subida 𝑡𝑠 Tempo de Descida 𝑡𝑑
1 16,23 9,97
2 7,43 5,03
3 26,00 9,79
4 5,44 2,81
5 9,18 5,79
6 9,21 5,99
7 11,79 6,35
8 12,77 6,50
9 9,46 6,54
10 10,30 6,30
11 10,31 6,29
12 13,35 6,63
13 10,65 6,16
14 10,30 6,12
15 16,76 9,57
5
No caso estes seriam já os valores de tempo médios de cada gota, uma vez que com o auxílio
do OBS Studio, gravamos uma subida e uma descida apenas de cada gota.
A partir do valor do tempo médio, calculamos então as velocidades médias de cada gota
utilizando as seguintes expressões:
.𝑣𝑠 = 𝑆
𝑡𝑠
; 𝑣𝑑 = 𝑆
𝑡𝑑
 ; σ𝑣𝑠 = 𝑣𝑠 (
σ
𝑠
𝑆 )
2 + ( σ𝑡𝑠
𝑡𝑠
)2; σ𝑣𝑑 = 𝑣𝑑 (
σ
𝑠
𝑆 )
2 + ( σ𝑡𝑑
𝑡𝑑
)2 
Com os dados obtidos através das expressões acima, montamos a tabela 02:
Tabela 2: Velocidades médias de subida e descida das gotas.
Gota Velocidade de Subida 𝑣𝑠 Velocidade de Descida 𝑣𝑑
1 6,2 3± 10,1 0,6±
2 13,5 8± 20,0 1,4±
3 3,9 2± 10,2 0,6±
4 18,4 1,2± 35,7 3,2±
5 10,9 0,6± 17,4 1,1±
6 10,9 0,6± 16,7 1,0±
7 8,5 0,5± 15,8 1,0±
8 7,9 0,4± 15,5 1,1±
9 10,6 0,6± 15,3 0,9±
10 9,7 0,5± 15,9 0,9±
11 9,7 0,6± 15,9 1,0±
12 7,5 0,4± 15,1 0,9±
13 9,4 0,5± 16,3 1,0±
14 9,7 0,5± 16,4 1,0±
15 6,0 0,3± 10,5 0,6±
A tensão aplicada permaneceu constante durante toda a experiência e foi de 300V. Devido a
flutuação no valor da tensão consideramos um erro de 2V ( ). A incerteza na cargaσ
𝑉
= 2𝑉
da gota é dada pela expressão: .σ
𝑞
= 𝑞[(
σ
𝑎
𝑎 )
2 + (
σ
𝑑
𝑑
)2 + (
σ
𝑉
𝑉 )
2 + (
σ2
𝑣𝑑
+σ2
𝑣𝑠
𝑣𝑑+𝑣𝑠
)2]
Considerando valores previamente determinados:
𝑃
𝑎𝑡𝑚
= (69, 942 ± 0, 012) 𝑐𝑚𝐻𝑔; η
0
= (1, 8440 ± 0, 0025) × 10−4;
6
. Utilizando a Eq.δ = (0, 840 ± 0, 001)𝑔/𝑐𝑚3; δ
𝐴
= (1, 0984 ± 0, 001) × 10−3𝑔/𝑐𝑚3
(10) e Eq. (11), obtivemos a tabela referente aos valores dos raios e das gotas:
Tabela 3: Raios e cargas das gotas.
Gota r( )1 × 10−5𝑐𝑚 q( )1 × 10−10𝑢𝑒𝑠
1 4,9 4± 4,9 9,0±
2 6,2 7± 13,0 3,0±
3 6,1 3± 5,5 6,0±
4 9,8 9± 35,0 8,0±
5 6,2 6± 11,0 2,4±
6 5,9 5± 10,3 2,3±
7 6,6 5± 10,2 1,8±
8 6,7 5± 10,1 1,8±
9 5,4 6± 8,7 2,2±
10 6,1 5± 9,9 1,9±
11 6,1 5± 9,9 2,1±
12 6,7 4± 9,7 1,4±
13 6,4 5± 10,4 1,9±
14 6,3 5± 10,4 2,0±
15 5,2 4± 5,3 9,0±
sendo 1C , portanto C .= 2, 99792 × 109𝑢𝑒𝑠 1, 6 × 10−19 = 4, 79667 × 1010𝑢𝑒𝑠
Para estabelecer a carga elementar, escolhemos a gota com a menor carga e dividimos
todos outros valores por ela, obtendo assim a tabela abaixo:
Tabela 4: Valor quantizado das gotas.
Gota 𝑛 = 𝑞𝑞
𝑚𝑖𝑛
1 1,00 26±
2 2,65 78±
3 1,12 24±
7
4 7,14 2,09±
5 2,24 64±
6 2,10 61±
7 2,08 53±
8 2,06 53±
9 1,78 55±
10 2,02 54±
11 2,02 57±
12 1,98 46±
13 2,12 55±
14 2,12 56±
15 1,08 27±
Por meio da Tabela 04 foi possível verificar uma relação linear entre a carga e a carga𝑞
elementar : . Para isso, construímos oseguinte gráfico:𝑒 𝑞 = 𝑒𝑛 → 𝑦 = 𝑎𝑥
Figura 4: gráfico da carga em função de n.
Através do gráfico podemos confirmar a relação acima e o coeficiente angular corresponderia
a carga elementar ( ): ( .𝑒 4, 9 ± 0, 9) × 10−10𝑢𝑒𝑠
6. Conclusão
8
A partir da análise dos dados da tabela 3, verificamos que existe uma carga na qual as
outras são múltiplas dela. Assim sendo, podemos supor que esta carga mínima seja a carga
elementar e as demais múltiplas dela ( ).𝑒 𝑛𝑒 𝑒
𝑒𝑥𝑝
= (4, 9 ± 0, 9) × 10−10𝑢𝑒𝑠
Ao verificar o valor tabelado de , podemos dizer então que as cargas são4, 79 × 10−10𝑢𝑒𝑠
múltiplos do menor valor ( ).~5 × 10−10𝑢𝑒𝑠
7. Referências
[1] MILLIKAN, R.A. Phys. Rev. 8, 595-625 (1916).
[2] Millikan, R. A., "ELECTRONES, FOTONES, NEUTRONES Y RAYOS CÓSMICOS",
EspasaCalpe Argentina S. A., Buenos Aires, 1944;
[3] Millikan, R. A., "THE AUTOBIOGRAPHY OF ROBERT A. MILLIKAN", Arno Press,
New York, 1980.
[4] Enge, H. A., "INTRODUCTION TO ATOMIC PHYSICS", Addison-Wesley Publishing
Company, Massachusetts, 1972;
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