Relatório de Filtros e Diagrama de Bode

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Tecnologia e Ciências 
Faculdade de Engenharia 
Laboratório de Circuitos Elétricos II 
Turma 3 
 
 
Experiência 4 
 
Filtros e Diagrama de Bode 
 
 
 
Alunos: Leonardo Falbo Alves de Oliveira - 201810059111 
 Dimitri Rocha Justa de Souza – 201810065411 
 Renan Larrieu de Abreu Mourão - 201810061211 
 Matheus Barros Pereira – 201810068211 
Professor: Leny Medeiros Silva 
Data de Entrega do Trabalho: 18/04/2021 
1. Materiais 
Os materiais utilizados na experiência foram: 
• Excel; 
• NI Multisim 14.2; 
• Python. 
2. Cálculos Teóricos 
Os cálculos teóricos abordam dois tipos de circuito: Filtro Passa Baixa e Passa Alta, como 
também, Filtro RLC – Passa Banda. 
I. Filtro Passa Baixa e Passa Alta 
O circuito a ser analisado é: 
 
Figura 1 - Filtro Passa Baixa 
Com intuito de avaliar as frequências de corte, mostra-se necessário analisar as funções de 
transferência 𝐻1(𝑗𝜔) e 𝐻2(𝑗𝜔), onde 𝐻1 representa o Filtro Passa Baixa e 𝐻2, o Filtro Passa 
Alta. Essas equações são: 
𝑯𝟏(𝒋𝝎) =
𝑽𝟎
𝑽
 e 𝑯𝟐(𝒋𝝎) =
𝑽𝑹
𝑽
 
Inicialmente, utiliza-se o fator 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔, para encontrar 𝑉0 e 𝑉𝑅. Por isso, busca-se a 
impedância equivalente do circuito. 
𝑍𝑒𝑞̇ =
1
𝐶𝑠
+ 𝑅 =
1 + 𝑅𝐶𝑠
𝐶𝑠
 
Com isso, aplica-se o divisor de tensão para encontrar as tensões desejadas. 
𝑉0̇ =
1
𝐶𝑠
1 + 𝑅𝐶𝑠
𝐶𝑠
⋅ �̇� =
1
1 + 𝑅𝐶𝑠
⋅ �̇� 
𝑉�̇� =
𝑅
1 + 𝑅𝐶𝑠
𝐶𝑠
⋅ �̇� =
𝑅𝐶𝑠
1 + 𝑅𝐶𝑠
⋅ �̇� 
Com isso, encontram-se 𝐻1(𝑠) e 𝐻2(𝑠), 
𝑯𝟏(𝒔) =
𝑽�̇�
�̇�
=
𝟏
𝟏 + 𝑹𝑪𝒔
⋅
�̇�
�̇�
=
𝟏
𝟏 + 𝑹𝑪𝒔
 
𝑯𝟐(𝒔) =
𝑽�̇�
�̇�
=
𝑹𝑪𝒔
𝟏 + 𝑹𝑪𝒔
⋅
�̇�
�̇�
=
𝑹𝑪𝒔
𝟏 + 𝑹𝑪𝒔
 
Dessa forma, para encontrar a frequência de corte, transforma-se o fator s em 𝑗𝜔. 
𝑯𝟏(𝒋𝝎) =
𝟏
𝟏 + 𝒋𝝎𝑹𝑪
 
𝑯𝟐(𝒋𝝎) =
𝒋𝝎𝑹𝑪
𝟏 + 𝒋𝝎𝑹𝑪
 
Além disso, pode-se inferir que 
𝑽𝟎 = 𝑽 ⋅ 𝑯𝟏(𝒋𝝎) 
𝑽𝑹 = 𝑽 ⋅ 𝑯𝟐(𝒋𝝎) 
Com isso, conclui-se que a frequência de corte é igual a 
𝝎𝟎 =
𝟏
𝑹𝑪
=
𝟏
𝟔𝟖𝒌𝜴 ⋅ 𝟐, 𝟐𝒏𝑭
= 𝟔𝟔𝟖𝟒, 𝟓 
𝒓𝒂𝒅
𝒔
= 𝟏𝟎𝟔𝟑, 𝟗 𝑯𝒛 
Para uma melhor organização, os dois filtros são analisados separadamente. 
a. Filtro Passa Baixa 
Como foi examinado anteriormente, a função de transferência desse filtro é: 
𝑯𝟏(𝒋𝝎) =
𝟏
𝟏 + 𝒋𝝎𝑹𝑪
 
Com a finalidade de chegar às equações que possibilitem a elaboração do Diagrama de Bode, 
analisam-se dois intervalos, para 𝜔 ≪ 𝜔0 e 𝜔 ≫ 𝜔0. 
• 𝝎 ≪ 𝝎𝟎 
A expressão de 𝐻1(𝑗𝜔) nesse caso é: 
𝐻1(𝑗𝜔) =
1∠0°
1∠0°
= 1∠0° 
Consequentemente, 
∣ 𝑯𝟏(𝒋𝝎) ∣𝒅𝒃= 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝟏) 
∢𝑯𝟏(𝒋𝝎) = 𝟎° 
• 𝝎 ≫ 𝝎𝟎 
A função de transferência nesse caso é: 
𝐻1(𝑗𝜔) =
1∠0°
𝜔𝑅𝐶∠90°
=
1
𝜔𝑅𝐶
∠ − 90° 
Dessa maneira, 
∣ 𝐻1(𝑗𝜔) ∣𝑑𝑏= −20 log(𝜔) − 20log (𝑅𝐶) 
∢𝐻1(𝑗𝜔) = −90° 
• Observação dos intervalos dos módulos da função de transferência 
Para fazer o Diagrama de Bode, torna-se indispensável calcular o módulo da função de 
transferência para diversas décadas nos intervalos descritos acima. A relação entre os módulos 
é analisada por meio de tabelas. 
⋅ 𝜔 ≪ 𝜔0 
𝝎 (𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ ) 
∣ 𝑯𝟏(𝒋𝝎) ∣𝒅𝑩 
𝜔0
10
= 668,4 20 log(1) = 0 dB 
𝜔0 = 6684,5 20 log(1) = 0 dB 
 
⋅ 𝜔 ≫ 𝜔0 
𝝎 (𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ ) 
∣ 𝑯𝟏(𝒋𝝎) ∣𝒅𝑩 
𝜔0 = 6684,5 −20 log(6684,5) − 20 log(1,5 ⋅ 10
−4)
= 0 𝑑𝑏 
10𝜔0 = 66845 −20 log(66845) − 20 log(1,5 ⋅ 10
−4)
= −20 𝑑𝑏 
 
Constata-se então, que a função de transferência acima da frequência de corte decresce em uma 
variação de 20𝑑𝑏/𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 ou 3𝑑𝑏/𝑜𝑖𝑡𝑎𝑣𝑎. 
• Ângulo da função de transferência nas diversas frequências 
 
∢𝑯𝟏(𝒋𝝎) =
𝟏∠𝟎°
𝝎𝑹𝑪∠ 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝝎𝑹𝑪 °
= − 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝝎𝑹𝑪 ° 
Após o procedimento acima, pode-se preparar o Diagrama de Bode para o Filtro Passa Baixa. 
Para isso, utiliza-se o Excel: 
 
 
Figura 2 - Módulo Circuito Passa Baixa 
 
 
Figura 3 - Fase Circuito Passa Baixa 
-25
-20
-15
-10
-5
0
d
B
log(H)
|H1(jω)|dB
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
d
B
log(H)
∠H1(jω)
 
b. Filtro Passa Alta 
De maneira análoga ao desenvolvido na letra a, observa-se a função de transferência 𝐻2(𝑗𝜔) 
para 𝜔 ≪ 𝜔0 e 𝜔 ≫ 𝜔0. 
• 𝝎 ≪ 𝝎𝟎 
A função de transferência 𝐻2(𝑗𝜔) nesse caso é: 
𝐻2(𝑗𝜔) =
𝜔𝑅𝐶∠90°
1∠0°
= 𝜔𝑅𝐶∠90° 
Em consequência, 
∣ 𝑯𝟐(𝒋𝝎) ∣𝒅𝒃= 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝝎) + 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝑹𝑪) 
∢𝑯𝟐(𝒋𝝎) = 𝟗𝟎° 
• 𝝎 ≫ 𝝎𝟎 
A relação de 𝐻2(𝑗𝜔) para esse intervalo é: 
𝐻2(𝑗𝜔) =
𝜔𝑅𝐶∠90°
𝜔𝑅𝐶∠90°
= 1∠0° 
Como resultado disso, 
∣ 𝑯𝟐(𝒋𝝎) ∣𝒅𝒃= 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝟏) 
∢𝑯𝟐(𝒋𝝎) = 𝟎° 
• Análise dos intervalos dos módulos da função de transferência 
Realiza-se a mesma observação feita no item anterior. 
⋅ 𝜔 ≪ 𝜔0 
𝝎 (𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ ) 
∣ 𝑯𝟐(𝒋𝝎) ∣𝒅𝑩 
𝜔0
10
= 668,4 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝟔𝟔𝟖, 𝟒) + 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝟏, 𝟓 ⋅ 𝟏𝟎
−𝟒)
= −𝟐𝟎 𝐝𝐁 
𝜔0 = 6684,5 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝟔𝟔𝟖𝟒, 𝟓) + 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝟏, 𝟓 ⋅ 𝟏𝟎
−𝟒)
= 𝟎 𝐝𝐁 
 
Evidencia-se que há um crescimento de 20𝑑B/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑎 ou 6𝑑B/𝑜𝑖𝑡𝑎𝑣𝑎 para frequências 
inferiores à frequência de corte. 
⋅ 𝜔 ≫ 𝜔0 
𝝎 (𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ ) 
∣ 𝑯𝟐(𝒋𝝎) ∣𝒅𝑩 
𝜔0 = 6684,5 20 log(1) = 0 dB 
10𝜔0 = 66845 20 log(1) = 0 dB 
 
• Ângulo da função de transferência nas diversas frequências 
 
∢𝑯𝟐(𝒋𝝎) =
𝝎𝑹𝑪∠𝟗𝟎°
𝝎𝑹𝑪∠ 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝝎𝑹𝑪 °
= 𝟗𝟎° − 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝝎𝑹𝑪 ° 
Por fim, pode-se elaborar o Diagrama de Bode para o Filtro Passa Alta. 
Para isso, utiliza-se o Excel: 
 
 
Figura 4 - Módulo Circuito Passa Alta 
 
-25
-20
-15
-10
-5
0
d
B
log(H)
|H2(jω)|dB
 
Figura 5 - Fase Circuito Passa Alta 
 
Para a elaboração do gráfico foram utilizados os valores da Tabela 1 abaixo: 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
d
B
log(H)
∠H2(jω)
 
Frequência 
(Hz) 
|VC| 
∠H1(jω) 
ou 
∠VC 
|VR| 
∠H2(jω) 
ou 
∠VR 
|H1(jω)|dB |H2(jω)|dB 
100 4,978056966 -5,369822366 0,467919694 84,63017763 0 -20,53777076 
200 4,913921659 -10,64693504 0,923782405 79,35306496 0 -14,51717085 
400 4,680127304 -20,60554823 1,75966145 69,39445177 0 -8,496570936 
500 4,52514941 -25,17269204 2,126739951 64,82730796 0 -6,558370676 
800 3,996214898 -36,94212709 3,005040181 53,05787291 0 -2,475971022 
1000 3,643202847 -43,22745106 3,424481423 46,77254894 0 -0,537770762 
1200 3,316945388 -48,44114181 3,741373183 41,55885819 -1,045854159 0 
1500 2,892566462 -54,65395665 4,078364778 35,34604335 -2,984054419 0 
2000 2,348133944 -61,98992668 4,414325201 28,01007332 -5,482829151 0 
2500 1,957838385 -66,94791993 4,600746554 23,05208007 -7,421029411 0 
5000 1,040575795 -77,98808142 4,89052165 12,01191858 -13,44162932 0 
10000 0,528950014 -83,92731611 4,971942466 6,072683894 -19,46222924 0 
II. Filtro RLC – Passa Banda 
O Filtro Passa Banda em análise é: 
 
Figura 6 - Filtro Passa Banda 
Para encontrar a função de transferência 𝐻3(𝑗𝜔), utiliza-se o operador 𝑠. Primariamente, 
calcula-se a impedância equivalente total no circuito no domínio da frequência complexa. 
𝑍𝑒𝑞̇ = 𝑅 + 𝐿𝑠 +
1
𝐶𝑠
=
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
𝐶𝑠
 
Aplica-se então o divisor de tensão sobre o capacitor para achar 𝑉𝐶. 
𝑉�̇� =
1
𝐶𝑠
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
𝐶𝑠
⋅ �̇� =
�̇�
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
 
A partir da equação acima, encontra-se a função de transferência 𝐻3(𝑠). 
𝐻3(𝑠) =
𝑉�̇�
�̇�
=
1
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
=
1
𝐿𝐶
⋅
1
𝑠2 +
𝑅
𝐿 𝑠 +
1
𝐿𝐶
 
Como 𝜔0
2 =
1
𝐿𝐶
 e 𝜉 =
𝑅
2𝐿𝜔0
, 
𝐻3(𝑠) =
𝜔0
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔0𝑠 + 𝜔0
2 
Sendo 𝑠 = 𝑗𝜔, 
𝑯𝟑(𝒋𝝎) =
𝝎𝟎
𝟐
(𝒋𝝎)𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝟎(𝒋𝝎) + 𝝎𝟎
𝟐
=
𝟏
(𝟏 −
𝝎𝟐
𝝎𝟎
𝟐) + 𝒋𝟐𝝃 (
𝝎
𝝎𝟎
)
 
Com isso, 
𝑽𝑪 = 𝑯𝟑(𝒋𝝎) ⋅ 𝑽 
Após encontrar a função de transferência, confirma-se que a frequência de corte do Filtro Passa 
Banda é: 
𝝎𝟎 =
𝟏
√𝑳𝑪
= 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ 
Por outro lado, para elaborar o Diagrama de Bode, necessita-se calcular 𝜉 para o circuito. 
𝜉 =
𝑅
2𝐿𝜔0
= 0,05 
Dessa maneira, torna-se viável encontrar a variação do módulo em decibéis em função da 
frequênciada fonte. No caso desse filtro, analisa-se a função em três momentos: 𝜔 ≪ 𝜔0, 𝜔 =
𝜔0 e 𝜔 ≫ 𝜔0. 
• 𝝎 ≪ 𝝎𝟎 
A função de transferência nesse intervalo comporta-se da seguinte maneira: 
𝐻3(𝑗𝜔) =
1∠0°
1∠0°
= 1∠0° 
A partir disso, infere-se que 
∣ 𝑯𝟑(𝒋𝝎) ∣𝒅𝑩= 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝟏) 
∢𝑯𝟑(𝒋𝝎) = 𝟎° 
• 𝝎 = 𝝎𝟎 
A relação de 𝐻3(𝑗𝜔) nesse ponto é: 
𝐻3(𝑗𝜔) =
1∠0°
2𝜉∠90°
=
1
2𝜉
∠ − 90° 
Desse jeito, 
∣ 𝑯𝟑(𝒋𝝎) ∣𝒅𝑩= −𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝟐𝝃) 
∢𝑯𝟑(𝒋𝝎) = −𝟗𝟎° 
• 𝝎 ≫ 𝝎𝟎 
A equação para esses valores de frequência, como 𝜉 é um fator muito pequeno, é: 
𝐻3(𝑗𝜔) =
1∠0°
𝜔2
𝜔0
2 ∠180°
=
𝜔0
2
𝜔2
∠ − 180° 
Com isso, 
∣ 𝑯𝟑(𝒋𝝎) ∣𝒅𝑩= 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝝎𝟎
𝟐) − 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝝎𝟐) = 𝟒𝟎 𝐥𝐨𝐠(𝝎𝟎) − 𝟒𝟎𝐥𝐨𝐠(𝝎) 
∢𝑯𝟑(𝒋𝝎) = −𝟏𝟖𝟎° 
• Análise dos intervalos dos módulos da função de transferência 
Após encontrar as expressões para cada intervalo, verificam-se os valores de módulo para cada 
um deles. 
⋅ 𝜔 ≪ 𝜔0 
𝝎 (𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ ) 
∣ 𝑯𝟑(𝒋𝝎) ∣𝒅𝑩 
𝜔0
10
= 103 20 log(1) = 0 𝑑𝐵 
𝜔0 = 10
4 20 log(1) = 0 𝑑𝐵 
 
⋅ 𝜔 ≫ 𝜔0 
𝝎 (𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ ) 
∣ 𝑯𝟏(𝒋𝝎) ∣𝒅𝑩 
𝜔0 = 10
4 40 log(104) − 40 log(104) = 0 dB 
10𝜔0 = 10
5 40 log(104) − 40 log(105) = −40 dB 
 
Observa-se através das tabelas acima que após a frequência de corte, a função decresce a uma 
taxa de 40𝑑B/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑎 ou 12𝑑B/𝑜𝑖𝑡𝑎𝑣𝑎. Porém, diferentemente dos outros diagramas, quando 
a frequência da fonte se iguala com a de corte, o módulo depende de 𝜉. 
• Ângulo da função de transferência nas diversas frequências 
 
∢𝑯𝟑(𝒋𝝎) =
𝟏∠𝟎°
√(𝟏 −
𝝎𝟐
𝝎𝟎
𝟐)
𝟐
+ (𝟐𝝃 (
𝝎
𝝎𝟎
))
𝟐
∠ 𝐭𝐚𝐧−𝟏
𝟐𝝃 (
𝝎
𝝎𝟎
)
(𝟏 −
𝝎𝟐
𝝎𝟎
𝟐)
°
= − 𝐭𝐚𝐧−𝟏
𝟐𝝃 (
𝝎
𝝎𝟎
)
(𝟏 −
𝝎𝟐
𝝎𝟎
𝟐)
° 
Por último, pode-se fazer o Diagrama de Bode para o Filtro Passa Banda. 
 
 
 
 
Figura 7 - Módulo Circuito Passa Banda 
 
 
Figura 8 - Fase Circuito Passa Banda 
 
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
d
B
log(H)
|H3(jω)|dB
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
d
B
log(H)
∠H3(jω)
Para a elaboração do gráfico foram utilizados os valores da Tabela 2 abaixo: 
 
 
ω0 
(rad/s) 
Frequência 
(Hz) 
|VC| ∠VC |H3(jω)|db ∠H3(jω) 
100 15,91549431 5,000497549 -0,057301491 0 -0,057301491 
1000 159,1549431 5,050247418 -0,578725566 0 -0,578725566 
5000 795,7747155 6,651901052 -3,814074834 0 -3,814074834 
8500 1352,817016 17,22794123 -17,03015677 0 -17,03015677 
10000 1591,549431 50 -90 20 -90 
11500 1830,281846 14,60320919 -160,3743173 -2,427913614 -160,3743173 
20000 3183,098862 1,662975263 -176,1859252 -12,04119983 -176,1859252 
100000 15915,49431 0,050502474 -179,4212744 -40 -179,4212744 
1000000 159154,9431 0,00050005 -179,9426985 -80 -179,9426985 
3. Simulações 
As simulações a seguir foram realizadas no software de simulação “NI Multisim 14.2” 
O circuito da figura abaixo, representando circuito de passa baixa e passa alta, foi montado e 
simulado utilizando uma fonte de tensão de pico a pico de 5V, o resistor R de 68kΩ, e o 
capacitor C de 0,0022µF. 
 
Figura 9 - Circuito Passa Baixa e Passa Alta 
 
O circuito da figura 9 foi simulado diversas vezes, variando a frequência da fonte de tensão 
entre 100Hz e 10kHz. Os valores obtidos foram anotados na tabela a seguir. 
 
Tabela 1 
 
Frequência 
(Hz) 
|VC| 
∠H1(jω) 
ou 
∠VC 
|VR| 
∠H2(jω) 
ou 
∠VR 
|H1(jω)|db |H2(jω)|db 
100 4,98 -5,4 0,47 84,6 0 -20,54 
200 4,91 -10,6 0,92 79,4 0 -14,52 
400 4,68 -20,6 1,76 69,4 0 -8,50 
500 4,53 -25,2 2,13 64,8 0 -6,56 
800 3,99 -36,9 2,91 42,8 0 -2,48 
1000 3,64 -43,2 3,18 50,5 0 -0,54 
1200 3,32 -48,4 3,74 41,6 -1,05 0 
1500 2,89 -54,6 4,1 35,3 -2,98 0 
2000 2,35 -62,0 4,41 28,0 -5,48 0 
2500 1,95 -66,9 4,61 23,1 -7,42 0 
5000 1,04 -78,0 4,89 12,0 -13,44 0 
10000 0,53 -83,9 4,97 6,1 -19,46 0 
 
 
 
Figura 10 - Diagrama de Bode Filtro Passa Baixa simulado no Multisim 
Figura 11 - Diagrama de Bode Filtro Passa Alta simulado no Multisim 
 
O circuito da figura abaixo, representando circuito de passa banda, foi montado e simulado 
utilizando uma fonte de tensão de pico a pico de 5V, o resistor R de 1kΩ, e o capacitor C de 
0,01µF. 
 
Figura 12 - Circuito passa banda 
 
Figura 13- Diagrama de Bode Filtro Passa Banda simulado no Multisim 
 
Foi calculado o valor da frequência de ressonância do circuito passa banda e, então foi simulado 
variando o valor da frequência da fonte de tensão com valores da tabela abaixo. 
Tabela 2 
 
 
 
ω0 
(rad/s) 
Frequência 
(Hz) 
|VC| ∠VC |H3(jω)|db ∠H3(jω) 
100 15,915 5,00 0 0 0 
1000 159,15 5,1 -0,6 0 -0,58 
5000 795,77 6,7 -3,8 0 -3,8 
8500 1352,8 17,2 -17,0 0 -17,0 
10000 1591,5 50 -90 20 -90 
11500 1830,3 14, -160,4 -2,4 -160,4 
20000 3183 1,66 -176,2 -12,0 -176,2 
100000 15915 0,05 -179,4 -40 -179,4 
1000000 159150 0,0 -179,9 -80 -179,9 
4. Programação 
Nos resultados de programação a partir do uso da linguagem Python e o ambiente Jupyter 
Notebook, obteve-se: 
4.1 Filtro Passa Baixa 
 
Figura 14 - Filtro Passa Baixa em python 
Observa-se como esperado, que a magnitude da função de transferência apresentada em escala 
decibel decresce com o aumento da frequência, o que configura um filtro passa baixa. 
 
4.2 Filtro Passa Alta 
 
Figura 15 - Filtro Passa Alta em python 
Como esperado para um filtro passa alta, a magnitude cresce com o aumento da frequência da 
fonte no circuito. 
 
4.3 Filtro Passa Banda 
 
Figura 16 - Filtro Passa Banda em python 
Como esperado, o filtro passa banda seleciona um ponto máximo de magnitude para a função 
de transferência, chamada de frequência de corte, quando há uma máxima transferência de 
energia para a saída. Dessa forma, a banda corresponde ao pequeno espectro representado no 
gráfico da figura 16. 
 
5. Conclusão 
A partir de todos os resultados apresentados, pode-se inferir que os resultados de 
programação e de simulação foram compatíveis com as predições teóricas produzidas a 
priori. Com isso, inferiu-se que o filtro passa baixa foi produzido a partir de um circuito 
RC, de tal modo que a saída - que foi medida no capacitor - resultasse em maiores valores 
de tensão para menores frequências da fonte, assim como, também, maior defasagem até 
atingir a defasagem de 90º atrasada, como mostra o diagrama de Bode na figura 14. 
Ademais, observou-se que o filtro passa alta teve o resultado estritamente contrário, isto é, 
mediu-se a tensão, no mesmo circuito RC, a partir do resistor, e a partir da análise do 
diagrama de Bode na figura 15, pode-se inferir que a tensão medida aumentou com o 
aumento da frequência da fonte, o que configura um filtro passa alta, e a fase, após o ponto 
de inflexão da curva, volta a ser a mesma da fonte de entrada. Além disso, ressalta-se a 
proporcionalidade de transferência de energia entre esses dois elementos, o que confirma a 
validez da Lei de Kirchoff das Tensões. Outrossim, no filtro passa banda – o qual é 
produzido por um circuito RLC – obteve-se os resultados previstos. Dessa forma, constatou-
se a partir de simulações e resultados de programação, que o filtro passa banda seleciona 
um ponto máximo de transferência de energia que é produzido a partir da frequência da 
fonte de tensão que alimenta o circuito e produz mínima impedância no circuito, a qual é 
chamada de frequência de ressonância. Além disso, nesse mesmo filtro observa-se que a 
fase se comporta como o esperado para as três condições impostas – frequência da fonte 
menor, igual e maior que a frequência de ressonância – fazendo com que o circuito 
predominantemente não tenha transferência de energia para frequências inferiores a 
frequência de ressonância, pois o capacitor está - na maior parte deste intervalo de 
frequências – funcionando como uma chave aberta. No entanto, ao atingir a frequência de 
ressonância, o circuito torna-se puramente resistivo, pelo fato da impedância equivalente do 
circuito RLC ser real, uma vezque: 
1
𝝎𝐶
 − 𝝎𝑳 = 𝟎 
Com isso, a fase medida no capacitor é a característica deste elemento, isto é 90º atrasada, 
e a magnitude da função de transferência é máxima. Nesse sentido, ao passar da frequência 
de ressonância, tem-se predominância indutiva, então a fase da tensão medida no capacitor 
se torna 180º atrasada. 
 
6. Bibliografia 
[1] Close, Charles M. – Circuitos Lineares 
[2] Dorf, Richard – Introdução aos Circuitos Elétricos 
 
 
7. Índice de Ilustrações 
Figura 1 - Filtro Passa Baixa ................................................................................................... 2 
Figura 2 - Módulo Circuito Passa Baixa ................................................................................ 5 
Figura 3 - Fase Circuito Passa Baixa ...................................................................................... 5 
Figura 4 - Módulo Circuito Passa Alta ................................................................................... 7 
Figura 5 - Fase Circuito Passa Alta ........................................................................................ 8 
Figura 6 - Filtro Passa Banda .................................................................................................. 9 
Figura 7 - Módulo Circuito Passa Banda ............................................................................. 12 
Figura 8 - Fase Circuito Passa Banda ................................................................................... 12 
Figura 9 - Circuito Passa Baixa e Passa Alta ....................................................................... 14 
Figura 10 - Diagrama de Bode Filtro Passa Baixa simulado no Multisim ........................ 16 
Figura 11 - Diagrama de Bode Filtro Passa Alta simulado no Multisim .......................... 16 
Figura 12 - Circuito passa banda .......................................................................................... 17 
Figura 13- Diagrama de Bode Filtro Passa Banda simulado no Multisim ........................ 17 
Figura 14 - Filtro Passa Baixa em python ............................................................................ 19 
Figura 15 - Filtro Passa Alta em python............................................................................... 20 
Figura 16 - Filtro Passa Banda em python ........................................................................... 20 
 
 
 
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