Teoria dos Números - Questionários

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UNIP – LICENCIATURA MATEMÁTICA
DISCIPLINA: TEORIA DOS NÚMEROS
QUESTIONÁRIO DA VÍDEO AULA - UNIDADE 1
1. Considere as afirmações:
I. Sendo o enésimo número quadrado dado por Qn = n², 169 é um número quadrado.
II. O enésimo número triangular é calculado por Tn = , 435 é um número triangular.
III. Um número triangular é chamado assim porque é múltiplo de 3.
Assinale a alternativa correta:
a) II e III são verdadeiras.
b) I e II são verdadeiras.
c) I e III são verdadeiras.
d) I, II e III são verdadeiras.
e) I, II e III são falsas.
2. Seja A = {-4, 0, 3, 4, 5, 7}; B = {x ϵ Z, x >0} e C = {x ϵ Z, 0<x< 8}, o conjunto (A-B) ∩ (C – B) é dado por:
a) {0}
b) {-4, 0}
c) {3, 4, 5}
d) {0, 3, 4, 5}
e) Ø
3. Considere as asserções a seguir e a relação entre elas:
I. Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} ⊂ A² e n(A²) = 9, então A = {1, 2, 4}.
II. Como [n(A²)] = 9 ⇒ n (A) = 3. Se A é um conjunto de três elementos (1, 2) ∈ A² e (4, 2) ∈ A², concluímos que A = {1, 2, 4}.
A respeito dessas asserções, assinale a resposta correta.
a) As duas asserções são verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
b) As duas asserções são verdadeiras e a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
c) A primeira asserção é verdadeira e a segunda é falsa.
d) A primeira asserção é falsa e a segunda é verdadeira.
e) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são falsas.
4. Considere as afirmações sobre subconjuntos de IN, mediante a relação de ordem por
divisibilidade:
I. O conjunto {2, 6, 24} é totalmente ordenado.
II. O conjunto {3, 5, 15} é totalmente ordenado.
III. O conjunto {5, 15, 30} não é totalmente ordenado.
Assinale a alternativa correta:
a) As afirmações II e III são falsas e I é verdadeira.
b) As afirmações I e II são falsas e III é verdadeira.
c) As afirmações I e III são falsas e II é verdadeira.
d) As afirmações I, II e III são verdadeiras.
e) As afirmações I, II e III são falsas.
QUESTIONÁRIO UNIDADE 1
PERGUNTA 1
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto A – B é denominado “conjunto diferença entre A e B”. Seus elementos pertencem a A, mas não pertencem a B. Dessa forma, a diferença entre o conjunto dos números inteiros Z e o conjunto números inteiros estritamente negatizos Z*_ é:
	a) N
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
PERGUNTA 2
Considerando o par (Z, x y), assinale a alternativa correta:
	a) É uma estrutura de equivalência.
	b) É uma estrutura de ordem.
	c) É uma estrutura de boa ordem.
	d) Não possui a propriedade transitiva.
	e) Não possui a propriedade reflexiva.
Alternativa correta: “b”. Comentário: Possui as propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva. Não é boa ordem, pois nem todo subconjunto dos números inteiros possui elemento mínimo.
PERGUNTA 3
Assinale a alternativa falsa:
	a) As mudanças climáticas obrigaram os homens e as mulheres a se adaptarem a um ambiente progressivamente hostil e a seguir os animais em fuga para lugares com condições para todas as formas de vida. No entanto, nesses lugares, a densidade populacional tornara-se alta demais para que as pessoas sobrevivessem como caçadores ou colhedores. Emergem, assim, após 3000 a.C., comunidades agrícolas densamente povoadas ao longo do rio Nilo na África, dos rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio e ao longo do rio Amarelo na China, nas quais a ciência e a matemática começam a se desenvolver.
	b) Uma espécie de “revolução agrícola”, em torno de 3000 a.C., criou novas necessidades, tais como o desenvolvimento da engenharia em construções de sistemas de barragens e irrigações e também registros das estações das chuvas e das enchentes e traçados de mapas que especificavam as valas de irrigação.
	c) A ênfase da matemática primitiva ocorreu na aritmética e na mensuração prática como uma ciência teórica para assistir a atividades ligadas à agricultura e à engenharia.
	d) Há dificuldades em localizar, no tempo, as descobertas em matemática. As comunidades não se comunicavam com facilidade, e os materiais de escrita sobre as descobertas na antiguidade não se preservaram em decorrência da fragilidade dos materiais utilizados para esse fim.
	e) A história da matemática é caótica e tumultuada, cheia de avanços fulgurantes e de recaídas, feita de tentativas e de erros, de impasses, de esquecimentos e de renúncias da espécie humana.
Alternativa correta: "c". Comentário: A ênfase da matemática primitiva ocorreu na aritmética e na mensuração prática como uma ciência prática (e não teórica) para assistir a atividades ligadas à agricultura e à engenharia.
PERGUNTA 4
Assinale a alternativa falsa:
	a) A forma como o número é concebido por diferentes grupos humanos é sempre a mesma.
	b) Determinadas espécies animais também são dotadas de um tipo de percepção direta dos números. Em alguns casos, são capazes de reconhecer as modificações de conjuntos numericamente reduzidos.
	c) Para que o ser humano pudesse progredir no universo dos números, foi necessário que certos procedimentos mentais fossem agregados à sensação numérica inata.
	d) A “faculdade abstrata de contar” é um fenômeno mental complicado e constitui uma aquisição relativamente recente da inteligência humana.
	e) A capacidade humana abstrata de contar está relacionada às funções psíquicas superiores que possibilitam ao interno estar em unidade com os meios externos de pensamento (linguagem conceitual, esquemas simbólicos, gráficos, algoritmos, entre outros).
Alternativa correta: "a". Comentário: A forma como o número é concebido por diferentes grupos humanos nem sempre é a mesma. Nem sempre qualquer pessoa é capaz de conceber qualquer número abstrato. Inúmeras hordas “primitivas”, como os zulus e os pigmeus da África, os aranda e os kamilarai da Austrália, os aborígenes das ilhas Murray e os botocudos do Brasil percebem o número de modo um tanto qualitativo.
PERGUNTA 5
Assinale a alternativa falsa:
	a) Na Mesopotâmia, por volta de 4000 a.C, os sumérios desenvolveram a escrita cuneiforme, representada em placas de argila.
	b) A escrita hierática foi usada pelos sacerdotes no Egito, em textos sagrados, e era uma escrita cursiva, geralmente gravada em papiro, madeira ou couro.
	c) A escrita demótica era uma forma simplificada de escrita, usada na Mesopotâmia para as situações de comércio e situações gerais do dia a dia.
	d) O sistema usado pelos egípcios era o decimal, ou seja, cada dez símbolos eram trocados por um símbolo de ordem superior, mas não era posicional: cada símbolo não tinha um valor relativo, ou seja, um valor que dependia da sua posição dentro do número.
	e) Não havia um símbolo para o "zero" no sistema numérico utilizado pelos egípcios.
Alternativa correta: "c". Comentário: A escrita demótica era uma forma simplificada de escrita usada no Egito (e não na Mesopotâmia) para as situações de comércio e situações gerais do dia a dia.
PERGUNTA 6
Assinale a alternativa falsa:
	a) Sistemas de representação dos números por uma base são denominados "sistemas posicionais".
	b) Em decorrência da utilização do sistema posicional sexagesimal (com 60 unidades) pelos astrônomos babilônios, ainda é utilizada, por exemplo, a divisão da hora em 60 minutos, minutos em 60 segundos e a medida da circunferência em 3600.
	c) Os numerais romanos foram os únicos utilizados em toda a Europa durante mais de um milhar de anos.
	d) O sistema de numeração atual, no qual se formam os números por justaposição dos dez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) é quase sempre denominado "notação árabe", porque aos árabes se atribui sua divulgação pelo mundo no século VII. No entanto, sua origem é hindu.
	e) O valor de um dígito no sistema de numeração atual depende da sua posição nele, o que torna dispensável a existência de um símbolo para o "zero".
Alternativa correta: "e". Comentário: O valor de um dígito no sistema de numeração atual depende da sua posição nele, o que torna indispensável (e não dispensável) a existência de um símbolo para o "zero".
PERGUNTA 7
Assinale a alternativa falsa:
	a) Os primeiros passos no sentido de desenvolvimento da teoria dos números e, ao mesmo tempo, do lançamento das bases dofuturo misticismo numérico, foram dados por Pitágoras e seus seguidores, movidos pela filosofia da fraternidade.
	b) A secção áurea é denominada também "número de ouro", "razão áurea" ou "segmento áureo".
	c) Os números inteiros são abstrações que surgiram em função da necessidade de contar coleções. Porém, as necessidades da vida cotidiana requerem, além da contagem de objetos individuais, a medição de quantidades, como comprimento, peso e tempo. Para tanto, descobriu-se a necessidade de números fracionários.
	d) Foram os pitagóricos que descobriram que havia pontos na reta que não correspondiam a nenhum número racional. Novos números, então, foram inventados para serem associados a esses pontos - foram denominados "números irracionais".
	e) Os pitagóricos provaram que não há nenhum número racional ao qual corresponda o ponto P da reta em que OP é a diagonal de um quadrado cujos lados medem duas unidades. Em decorrência, por algum tempo, √2 foi o único número irracional conhecido.
Alternativa correta: "e". Comentário: Os pitagóricos provaram que não há nenhum número racional ao qual corresponda o ponto P da reta em que OP é a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade.
PERGUNTA 8
Os números inteiros são abstrações que surgiram em função da necessidade de contar coleções. Mas as necessidades da vida cotidiana requerem, além da contagem de objetos individuais, a medição de quantidades, como comprimento, peso e tempo. Para tanto, descobriu-se a necessidade de números fracionários, denominados "racionais". Sobre eles, pode-se afirmar que:
	a) São inteiros.
	b) Têm infinitas casas decimais.
	c) Não podem ser escritos como razão de inteiros.
	d) Não são reais.
	e) Quando têm infinitas casas decimais, são dízimas periódicas.
Alternativa correta: “e”. Comentário: Os números racionais ou não têm infinitas casas decimais, ou são dízimas periódicas. Nos dois casos, são também números reais.
PERGUNTA 9
Seja N o conjunto dos números naturais e R a relação que leva cada número x em seu sucessor, podemos afirmar que R é:
	a) Reflexiva.
	b) Simétrica.
	c) Antissimétrica.
	d) Transitiva.
	e) Nenhuma das anteriores.
Alternativa correta: “e”. Comentário: 1) x não é seu próprio sucessor (não reflexiva); 2) se y é sucessor de x, então x não é sucessor de y (não simétrica e é impossível ser antissimétrica); 3) se y é sucessor de x e z é sucessor de y, então z não é sucessor de x (não transitiva).
PERGUNTA 10
Um conjunto A tem três elementos, e são conhecidos três elementos do produto cartesiano AxA: (3, 1), (3, 2) e (1, 1)}. Portanto, é correto afirmar que:
	a) (2, 2) é elemento de AxA
	b) (0, 2) é elemento de AxA
	c) (1, 0) é elemento de AxA
	d) (3, 3) não é elemento de AxA
	e) (1, 2) não é elemento de AxA
Alternativa correta: “a”. Comentário: A = {1, 2, 3} e AxA = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 1),(3, 2),(3, 3)}. Observação: Coloque os pontos do produto cartesiano no plano e verifique que A = {1, 2, 3}.
QUESTIONÁRIO DA VÍDEO AULA - UNIDADE 2
1. Considere as afirmações sobre o princípio da indução matemática:
I. É um modo de verificação de afirmações matemáticas por meio de um grande número de exemplos.
II. Um processo de validação de afirmações matemáticas por meio de contraexemplos.
III. Um procedimento de demonstração de uma afirmação matemática que exige provar sua validade em um caso inicial e depois supondo válida para um número qualquer, também o será para seu sucessor.
Assinale a alternativa correta:
a) As afirmativas I e II são falsas e a III é verdadeira.
b) As afirmativas II e III são falsas e a I é verdadeira.
c) As afirmativas I e III são falsas e a II é verdadeira.
d) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são falsas.
2. O quociente e o resto na divisão euclidiana de a por b em que a = -124 e b = 18 são, respectivamente:
a) q = -7 e r = 18.
b) q = 7 e r = 18.
c) q = -7 e r = 17.
d) q = -7 e r = 2.
e) q = -7 e r = 0.
Comentário
Como a = -124 e b = 18
a/b = -124 = 18.(-7) + 2
Logo, q = -7 e r = 2
3. Escrevendo-se o número na base 10, obtemos:
a) 12.
b) 15.
c) 16.
d) 20.
e) 21.
Comentário:
Para escrever o número na base 10, fazemos:
 = 1.3² + 2.3¹ + 1.30 = 9 + 6 + 1 = 16
4. A solução geral da equação diofantina 12x − 27y = 33 é:
a) S = {(-5 − 9t, 1 + 4t) | t ∈ Z}.
b) S = {(-4 + 9t, 3 – 4t) | t ∈ Z}.
c) S = {(5 + 9t, -1 + 4t) | t ∈ Z}.
d) S = {(14 + 9t, 5 – 4t) | t ∈ Z}.
e) S = {(-22 − 9t, -11 – 4t) | t ∈ Z}.
QUESTIONÁRIO UNIDADE 2
PERGUNTA 1
Leia atentamente as afirmações a seguir:
(I) A congruência módulo m é uma relação de equivalência.
(II) 152 5 (mod7), uma vez que 7 | (152-5).
(III) -152 2 (mod7), uma vez eu 7 | (-152-2).
Assinale a alternativa correta:
	a) As afirmativas (I), (II) e (III) são verdadeiras.
	b) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras e a (I) é falsa.
	c) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras e a (III) é falsa.
	d) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras e a (II) é falsa.
	e) Somente a afirmativa (I) é verdadeira.
Alternativa correta: "a". Comentário: A afirmativa (i) é correta uma vez que ela é reflexiva, simétrica e transitiva (ver o livro-texto). As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e autoexplicativas.
PERGUNTA 2
Leia atentamente as afirmações a seguir:
(I) Escrevendo o número na base 2, obtém-se 
(II) O número 123.456 é divisível por 9.
(III) O número 123.456 é divisível por 11.
Assinale a alternativa correta:
	a) As afirmativas (I), (II) e (III) são verdadeiras.
	b) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras e a (I) é falsa.
	c) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras e a (III) é falsa.
	d) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras e a (II) é falsa.
	e) Somente a afirmativa (I) é correta.
Alternativa correta: "e". Comentário: A afirmativa (i) é correta uma vez que: 1.23+0.22+1.21+0.20
= 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A afirmativa (ii) é falsa uma vez que 1+2+3+4+5+6=21 e 9 não divide 21. A afirmativa (iii) é falsa uma vez que 6-5+4-3+2-1= 3 e 11 não divide 3.
PERGUNTA 3
Leia atentamente as afirmações a seguir:
(I) Escrevendo o na base decimal, obtém-se 157.
(II) O número inteiro 3 divide 123.456.
(III) Segundo o teorema fundamental da aritmética, a decomposição de -100 em fatores primos é dada pelo produto (-2) ao quadrado por 5 ao quadrado.
Assinale a alternativa correta:
	a) As afirmativas (I), (II) e (III) são verdadeiras.
	b) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras e a (I) é falsa.
	c) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras e a (III) é falsa.
	d) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras e a (II) é falsa.
	e) Somente a afirmativa (III) é verdadeira.
Alternativa correta: "a". Comentário: A afirmativa (i) é correta uma vez que:2.82+3.81+5.80=
= 2.64 + 3.8 + 5.1 = 128 + 24 + 5 = 157. A afirmativa (ii) é correta uma vez que 1+2+3+4+5+6=21, que é um múltiplo de 3. A resolução da afirmativa (iii) é imediata.
PERGUNTA 4
Leia atentamente as afirmações a seguir:
(I) No sistema decimal de numeração, um número de dois algarismos é tal que, invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se um número com 9 unidades a mais que o anterior. Se a soma desses algarismos é 5, o produto dos algarismos é 6.
(II) Os números de base 2 são amplamente utilizados na computação.
(III) Considere um número inteiro positivo n. Então, o máximo divisor comum entre ele e seu sucessor não pode ser igual a 1.
Assinale a alternativa correta:
	a) As afirmativas (I), (II) e (III) são verdadeiras.
	b) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras e a (I) é falsa.
	c) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras e a (III) é falsa.
	d) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras e a (II) é falsa.
	e) Somente a afirmativa (i) é verdadeira.
PERGUNTA 5
Leia atentamente as afirmações a seguir:
(I) O máximo divisor comum de 36 e 42 é 6.
(II) O número inteiro 252 é múltiplo comum de 36 e 42.
(III) Se um número inteiro primo p divide um produto de inteiros, então p não divide nenhum deles.
Assinale a alternativa correta:
	a) As afirmativas (I), (II) e (III) são verdadeiras.
	b) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras e a (I) éfalsa.
	c) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras e a (III) é falsa.
	d) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras e a (II) é falsa.
	e) Somente a afirmativa (I) é verdadeira.
Alternativa correta: "c". Comentário: A afirmativa (i) é verdadeira uma vez que: 42 = 1.36 + 6 36 = 6.6 + 0 A afirmativa (ii) é verdadeira uma vez que 6 divide 36, 42 e 252. A afirmativa (iii) é falsa porque facilmente se obtém o contraexemplo: 5.6 = 30. O número inteiro primo divide 30 e divide a parcela 5.
PERGUNTA 6
Leia atentamente as afirmações a seguir:
(I) O número 123.455 é divisível por 5.
(II) O número 123.450 é divisível por 5.
(III) O número 108.636 é divisível por 11.
Assinale a alternativa correta:
	a) As afirmativas (I), (II) e (III) são verdadeiras.
	b) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras e a (I) é falsa.
	c) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras e a (III) é falsa.
	d) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras e a (II) é falsa.
	e) Somente a afirmativa (I) é verdadeira.
Alternativa correta: "a". Comentário: As afirmativas (i) e (ii) estão corretas uma vez que atendem aos critérios de divisibilidade por 5: 5 é divisor de 5 e de 0. A afirmativa (iii) é falsa uma vez que 6-3+6-8+0-1= 0 e 11 divide 0.
PERGUNTA 7
Leia atentamente as afirmações a seguir:
(I) O número inteiro 3 divide 324.
(II) O número inteiro 18 tem 6 divisores naturais.
(III) Numa divisão de números naturais, o dividendo é 21, e o resto, 2. Somando-se o divisor ao quociente, o resultado é 20. Assinale a alternativa correta:
Assinale a alternativa correta:
	a) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras e a (I) é falsa.
	b) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras e a (III) é falsa.
	c) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras e a (II) é falsa.
	d) As afirmativas (I), (II) e (III) são verdadeiras.
	e) Somente a afirmativa (III) é verdadeira.
Alternativa correta: "d". Comentário: A afirmativa (i) é verdadeira e facilmente verificável; a afirmativa (ii) é verdadeira, pois os divisores naturais de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9 e 18; a afirmativa (iii) é verdadeira, pois sendo o divisor b e o quociente q, podemos escrever: 21 = b.q + 2. Logo, b.q = 19. Como o resto é menor que o divisor (2 < b), a única possibilidade é que b = 19 e q = 1. Logo, b + q = 20.
PERGUNTA 8
Leia atentamente as afirmações a seguir:
(I) Se um número é par, então é múltiplo de 4.
(II) Todo número par pode ser escrito na forma n = 2k -1, em que k é um número inteiro.
(III) Se um número é múltiplo de 12, então é múltiplo de 3.
Assinale a alternativa correta:
	a) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras e a (I) é falsa.
	b) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras e a (III) é falsa.
	c) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras e a (II) é falsa.
	d) As afirmativas (I), (II) e (III) são verdadeiras.
	e) Somente a afirmativa (III) é verdadeira.
Alternativa correta: "e". Comentário: A resposta correta é a alternativa "e", pois se n = k.12, então n = k.4.3 para qualquer k inteiro. É possível obter um contraexemplo para as outras duas alternativas. No caso da afirmativa (i), 6 é um número par, e não é múltiplo de 4; no caso da afirmativa (ii), considere o número inteiro k = 1; logo, n = 2.1 – 1, ou seja, n é ímpar.
PERGUNTA 9
Leia atentamente as afirmações a seguir:
(I) Todo inteiro é múltiplo de zero.
(II) 1 é múltiplo de qualquer inteiro.
(III) Nenhum inteiro é múltiplo de si mesmo.
Assinale a alternativa correta:
	a) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras e a (I) é falsa.
	b) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras e a (III) é falsa.
	c) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras e a (II) é falsa.
	d) As afirmativas (I), (II) e (III) são falsas.
	e) Somente a afirmativa (III) é verdadeira.
Alternativa correta: "d". Comentário: A afirmativa (i) é obviamente falsa, uma vez que não existe um número inteiro n que possa ser escrito na forma n = p.m, sendo m=0; A afirmativa (ii) é falsa porque 1 é divisor de qualquer inteiro e não múltiplo; a afirmativa (iii) é falsa, uma vez que só existe um número inteiro p que permite escrever um número inteiro na forma n = p.m, ou seja, p = 1.
PERGUNTA 10
Se n é um número natural, é correto afirmar que:
	a) 1 = 2 + 3 + ... + n = [n(n+1)]/2
	b) 1 = 2 + 3 + ... + n = [n(n-1)]/2
	c) 1 = 2 + 3 + ... + n = [(n-1)(n+1)]/2
	d) 1 = 2 + 3 + ... + n = [n(n+2)]/2
	e) 1 = 2 + 3 + ... + n = n(n+1)
Alternativa correta: "a". Comentário: A resposta correta é a alternativa "a", pois: 1) A afirmação é válida para n = 1. Neste caso: 1 = [1(1+1)]/2. 2) Supondo que a afirmação seja válida para n = k, vamos provar que é válida para n = k + 1. Sendo assim: 1 + 2 + 3 + ... + k = [k(k+1)]/2. Somando-se (k + 1) a ambos os membros da equação, temos:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = [k(k+1)]/2 + (k + 1)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = [k(k+1)]/2 + [2 (k + 1)]/2
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k.k +k + 2k + 2)]/2
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k.k +3k + 2)]/2
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = [(k+1)(k+2)]/2
c.q.d.