Livro - Fundamentos da Matematica Elementar II

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Curitiba
2015
Fundamentos 
de Matemática 
Elementar II
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro
Rogério Mazur
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Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
C853f Couceiro, Karen Cristine Uaska dos Santos
Fundamentos de matemática elementar II / Karen Cristine Uaska 
dos Santos Couceiro, Rogério Mazur . – Curitiba: Fael, 2015.
214 p.: il.
ISBN 978-85-60531-22-6 
1. Matemática I. Mazur, Rogério II. Título
CDD 510
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Vitor Bernardo Backes Lopes
Imagem capa Shutterstock.com/Senoldo
Diagramação Editora Coletânea
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
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Sumário
1 Progressões | 9
2 Análise Combinatória | 39
3 Números Complexos | 99
4 Polinômios | 141
5 Equações polinomiais | 179
 Referências | 213
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Ensinar matemática não tem sido uma tarefa fácil. Várias 
são as causas dessa difi culdade. Podemos citar a defasagem de con‑
teúdos com que os alunos chegam às séries fi nais do ensino funda‑
mental, estendendo esse problema até o ensino médio e até mesmo ao 
ensino superior.
Para sanar esse problema, uma estratégia efi caz é o professor 
planejar suas aulas utilizando artifícios diferentes para o ensino de um 
mesmo conteúdo. E essa estratégia somente é possível quando o pro‑
fessor possui domínio sobre o conteúdo trabalhado, sabendo planejar, 
desenvolver e avaliar suas aulas.Este livro é o resultado de um trabalho 
coletivo de professores motivados pelo desejo de produzir uma obra 
com uma linguagem clara e acessível. Apresenta uma proposta simples 
e de fácil compreensão, incentivando o interesse, a leitura e a aquisição 
dos conceitos matemáticos.
No desenvolvimento teórico, os conteúdos são explicados por 
meio de exemplos comentados que fazem parte do cotidiano dos alunos.
Apresentação
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Fundamentos de Matemática Elementar II
A obra se inicia com o tema Progressões, no qual são estudadas as sequên‑
cias, as progressões aritméticas e as progressões geométricas. Esses conteúdos têm 
grande importância na vida prática. A vibração das cordas de um instrumento 
musical, por exemplo, produz uma frequência que forma uma sequência numé‑
rica. Os juros simples se associam a uma progressão aritmética e os juros compos‑
tos a uma progressão geométrica.
O capítulo II trata da análise combinatória, que é uma área da matemática 
criada para o estudo de problemas de contagem, utilizando técnicas para a 
descrição e contagem de todos os casos possíveis de um acontecimento. Esses 
problemas estão ligados, justamente, às primeiras atividades matemáticas do 
homem, pela necessidade de contar objetos de um conjunto, como as ovelhas de 
um rebanho. A Análise Combinatória, em outras palavras, analisa dados e tenta 
quantificá‑los para avaliar tendências e tomar decisões.
Uma importante aplicação da análise combinatória está no desenvolvi‑
mento de , o binômio de Newton, que foi definido pelo físico e matemático Isaac 
Newton. Esse estudo veio para complementar o estudo dos produtos notáveis. 
Esse desenvolvimento seria inviável para grandes expoentes, sem o estudo do 
binômio de Newton.
O capítulo III traz os números complexos, que foram desenvolvidos por 
vários matemáticos, uma construção que durou quase trezentos anos, devido 
à necessidade de calcular raízes quadradas de números negativos. O estudo dos 
números complexos permite resolver inúmeras questões no ramo da eletrônica, 
mecânica, eletricidade, engenharia aeronáutica, geometria, dentre outros. Uma 
aplicação indispensável dos números complexos é na Transformação de Jouko‑
wski, que possibilita aos engenheiros aeronáuticos a realização de estudos sobre 
aerofólios e suas influências na força de sustentação das aeronaves.
No capítulo IV e V temos os polinômios e as equações polinomiais, respec‑
tivamente, que são importantes por modelarem grande parte dos problemas do 
mundo real. Os polinômios formam um conjunto de conceitos importante tanto 
na álgebra quanto na geometria, especialmente no cálculo de valores desconheci‑
dos. Os polinômios surgiram no século III a.C. com o matemático Arquimedes 
de Siracusa. Os polinômios têm uma vasta aplicação nas ciências em geral. Se 
não houvesse polinômios, muito provavelmente não poderíamos utilizar CDs, 
por exemplo. Os polinômios são a base do código que faz com que os dados, de 
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Apresentação
música ou computador, sejam escritos em CDs, os códigos corretores de erro, 
que fazem com que os dados sejam transmitidos corretamente.
Entre os séculos XII e XVI os matemáticos resolviam equações de 3º e 
4º graus utilizando fórmulas de Resolução: extremamente trabalhosas. Durante 
aproximadamente 250 anos, os matemáticos tentaram encontrar fórmulas para 
resolver equações de grau superior a quatro, sem êxito. Em 1797, Gauss demons‑
trou que toda equação de grau n possui n raízes, mas não provou como obter 
essas raízes. Após anos de estudos, os matemáticos concluíram que não existem 
fórmulas para resolver equações de grau superior a quatro, mas sim métodos. Nos 
capítulos de equações polinomiais e equações algébricas, conheceremos alguns 
métodos criados por matemáticos para resolver algumas equações de qualquer 
grau.
É importante que o acadêmico conceda uma atenção especial para a for‑
mação dos conceitos matemáticos envolvidos, explorando e problematizando os 
conhecimentos adquiridos sob uma perspectiva compreensiva, histórico‑cultu‑
ral, multidimensional e didático‑pedagógica.
Com isso, espera‑se que o aluno compreenda a importância de estudar os 
conteúdos aqui tratados.
Bons estudos!
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro: Licenciada em Matemática e 
pós‑graduada em Ensino da Matemática pela Universidade Tuiuti do Paraná 
– UTP. Atuou como professora de matemática de séries iniciais, finais e ensino 
médio. Atualmente, é professora de matemática das séries finais da Prefeitura 
Municipal de Curitiba e professora de Fundamentos de Matemática elementar 
II e Geometria analítica da FAEL – Faculdade educacional da Lapa.
Rogério Mazur: Técnico em eletrônica pelo Centro Tecnológico Industrial 
– CTI.  Bacharel em Física pela Universidade Federal do Paraná – UFPR. 
Licenciado em Matemática pelo Centro Universitário Claretiano de Batatais. 
Especialista em ensino da matemática pela Pontifícia Universidade Católica do 
Paraná – PUCPR. Mestre em Física pela Universidade de São Paulo – USP. Atu‑
almente é professor da Universidade Tuiuti do Paraná – UTP e da Universidade 
Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. Tem experiência na área de Física, 
atuando principalmente em sistema dinâmico não linear.
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1.1 Sequência numérica
Realizando um levantamento das sedes das Olimpíadas de 
verão desde 1992 até 2016.
Temos:
 2 Barcelona, Espanha (1992)
 2 Atlanta, Estados Unidos (1996)
 2 Sydney, Austrália (2000)
 2 Atenas, Grécia (2004)
 2 Pequim, China (2008)
Progressões
Rogério Mazur
1
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 2 Londres, Reino Unido (2012)
 2 Rio de Janeiro, Brasil (2016)
A natureza dessa situação nos mostra a necessidade de ordenação dessas 
sedes olímpicas, formando uma sequência ou sucessão das informações.
Podemos encontrar situações que exigem a ordenação de elementos no 
nosso dia a dia, como exemplo:2 Sequência de chegada dos corredores da maratona de São Silvestre;
 2 Sequência de nomes de candidatos aprovados em um concurso;
 2 Sequência de partida dos ônibus da rodoviária.
Consideremos agora a sequência de números:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, …)
Os parênteses representam um conjunto de números colocados em uma 
certa ordem. Nele o primeiro termo é o número 2, o segundo o número 4, o 
terceiro termo o número 6 e assim por diante.
Convencionaremos representar o primeiro termo de uma sequência por 
a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo a3 e assim por diante.
Logo, nesta sequência, temos:
 2 primeiro termo: a1 = 2;
 2 segundo termo: a2 = 4;
 2 terceiro termo: a3 = 6;
 2 quarto termo: a4 = 8;
Para representar o termo da sequência de n elementos usaremos an.
Dessa maneira a sequência de n elementos é escrita da forma:
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an)
Se a sequência apresenta um último termo ela é finita, caso contrário ela 
é dita infinita.
(10, 20, 30, 40, 50, 60) é uma sequência finita.
(15, 20, 25, 30, 35, …) é uma sequência infinita.
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Progressões
1.1.1 Lei da formação dos elementos de uma sequência
Consideremos a seguinte sequência de números.
(1, 4, 9, 16, 25, 36, …)
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
an = n
2
A expressão an = n
2 é chamada de lei de formação dos termos ou termo 
geral da sequência, os valores de n são o conjunto dos números naturais 
não nulos N*. Com ela, podemos calcular quanquer termo da sequência, por 
exemplo, o décimo termo é:
a10 = 10
2 = 100.
Exemplos
1. Determine os seis primeiros termos da sequência definida por 
na 2.n 1= + para n=1,2,3,…
Resolução:
na 2.n 1= +
1n 1 a 2.1 1 3= → = + =
2n 2 a 2.2 1 5= → = + =
3n 3 a 2.3 1 7= → = + =
4n 4 a 2.4 1 9= → = + =
5n 5 a 2.5 1 11= → = + =
6n 6 a 2.6 1 13= → = + =
Logo, a sequência procurada é (3, 5, 7, 9, 11, 13).
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2. Uma sequência é formada pela lei de formação na 5n 41= − . Deter‑
mine a posição na sequência do número 19.
Resolução:
Temos a lei de formação:
na 5n 41= − . na 19= e desejamos calcular a posição n.
Substituindo teremos: 19 5n 41= −
Isolando n,
19 41 5n+ =
60 5n=
n 12=
Resposta: a posição do número 19 é n 12= .
3. Considere a sequência numérica definida por na 3n 100= − + .
a) Determine os cinco primeiros termos da sequência.
b) Determine a ordem do termo 10.
c) Verifique se o termo 21 pertence a sequência.
Resolução:
a) Vamos determinar os cinco primeiros termos:
A lei de formação dos termos é na 3n 100= − + . Vamos atribuir os 
valores de n na equação:
na 3n 100= − +
1n 1 a 3.1 100 97= → = − + =
2n 2 a 3.2 100 94= → = − + =
3n 3 a 3.3 100 91= → = − + =
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Progressões
4n 4 a 3.4 100 88= → = − + =
5n 5 a 3.5 100 85= → = − + =
Resposta: os cinco primeiros termos são (97, 94, 91, 88, 85, …)
b) Vamos determinar a ordem do termo 10.
Sabemos: na 10=
Queremos determinar n:
Usando a lei da formação
na 3n 100= − +
Substituindo os valores de na
10 3n 100= − +
10 100 3n− = −
90 3n− = −
n 30=
Resposta: a ordem do termo 10 é n = 30.
c) Vamos verificar se 21 pertence à sequência.
Usando a lei da formação na 3n 100= − + , vamos determinar a 
ordem do termo 21
Substituindo na 21=
21 3n 100= − +
21 100 3n− = −
79 3n− = −
79n
3
=
n 26,333=
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Resposta: Chegamos a um valor de n que não é um inteiro, logo o 
número 21 não pertence à sequência.
1.1.2 Lei da recorrência
Outra maneira de determinarmos os elementos da sequência é encontrar 
um termo qualquer da sequência a partir do termo anterior.
Exemplos:
1. Vamos construir a sequência definida pelas relações:
1a 10=
n 1 na a 2+ = + , para todo n ≥ 1
Atribuindo valores para n, temos:
Para n = 1: 1 1 1 2 2a a 2 a 10 2 a 12+ = + = = + = =
Para n = 2: 2 1 2 3 3a a 2 a 12 2 a 14+ = + = = + = =
Para n = 3: 3 1 3 4 4a a 2 a 14 2 a 16+ = + = = + = =
Para n = 4: 4 1 4 5 5a a 2 a 16 2 a 18+ = + = = + = =
Notamos que para calcular o termo a2 precisamos do anterior a1. Para 
calcular o a3, precisamos do a2 e assim por diante.
A sequência desejada é (12, 14, 16, 18, …)
Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por
1
n 1 n
a 10
a 3a+
= −
 =
Resolução:
O primeiro termo é 1a 10= −
Para n = 1, temos o segundo termo:
n 1 na 3a+ =
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Progressões
1 1 na 3a+ =
2a 3.( 10) 30= − = −
Para n = 2, temos o terceiro termo:
n 1 na 3a+ =
2 1 2a 3a+ =
a3 = 3.(-30)= -90
Para n = 3, temos o quarto termo:
n 1 na 3a+ =
3 1 3a 3a+ =
4a 3.( 90) 270= − = −
Para n = 4, temos o quinto termo:
n 1 na 3a+ =
4 1 4a 3a+ =
5a 3.( 270) 810= − = −
A sequência é ( 1a , 2a , 3a , 4a , …)
Resposta: a sequência desejada é (‑10, ‑30, ‑90, ‑270, ‑810, …)
1.2 Progressões aritméticas (PA)
Considere a seguinte sequência:
(3, 8, 13, 18, 23, …)
Observe que a diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor é 
sempre igual a 5.
8 - 3 = 5;
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13 - 8 = 5;
18 - 13 = 5;
23 - 18 = 5;
1.2.1 Definição
Progressão aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre 
um termo qualquer e o seu antecessor é sempre constante.
Essa constante é chamada de razão da progressão aritmética, represen‑
tada por r.
Na sequência abaixo, temos: (a1, a2, a3, a4, a5,…, an)
2 1 3 2 n n 1r a a a a ... a a −= − = − = = −
Exemplos de Progressão Aritmética:
a) (7, 12, 17, 22, 27) é uma PA, de razão 5 e 1a 7−
b) (6, 6, 6, 6, …) é uma PA, de razão 0 e 1a 6= a1 - 6
c) (‑20 , ‑10, 0, 10, 20, 30, …) é uma PA, de razão 10 e 1a 20= −
d) (20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, ‑1, ‑4, ...) é uma PA, de razão ‑3 e 1a 20=
e) 
3 5 71, ,2, ,3, ,...
2 2 2
    
é uma PA, de razão 1
2
 e 1a 1=
1.2.2 Classificação da progressão aritmética
Considere uma PA e a razão r entre os termos.
I. Quando a razão r > 0, cada termo é maior que seu anterior, 
então dizemos que a PA é crescente.
II. Quando a razão r < 0, cada termo é menor que seu anterior, 
então dizemos que a PA é decrescente.
III. Quando a razão r = 0, cada termo é igual ao seu anterior, então 
dizemos que a PA é constante.
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Progressões
Exemplos:
1. Classifique as progressões aritméticas em crescente decrescente ou cons‑
tante, identificando a razão de cada uma.
a) (‑5, ‑3, 1, 3, 5, …)
b) (4, 4, 4, 4, 4, …)
c) (20, 15, 10, 5, 0, ‑5, …)
d) (12, 16, 20, 24, 28, …)
Resolução:
Vamos calcular a razão das PA usando a equação 2 1r a a= −
a) Na PA (‑5, ‑3, 1, 3, 5, …) temos 1a 5= − , 2a 3= −
2 1r a a 3 ( 5) 3 5 2= − = − − − = − + =
Temos r 0> , logo a PA é crescente.
b) Na PA (4, 4, 4, 4, 4, …) temos 1a 4= , 2a 4=
2 1r a a 4 4 0= − = − =
Temos r 0= , logo a PA é constante.
c) Na PA (20, 15, 10, 5, 0, ‑5, …) temos 1a 20= , 2a 15=
2 1r a a 15 20 5= − = − = −
Temos r 0< , logo a PA é decrescente.
d) Na PA (12, 16, 20, 24, 28, …) temos 1a 12= , 2a 16=
2 1r a a 16 12 4= − = − =
Temos r 0> , logo a PA é crescente.
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Fundamentos de Matemática Elementar II
1.2.3 – Termo geral da Progressão Aritmética
A representação matemática para os seguintes termos da PA é:
2 1a a r= +
3 2 1a a r a 2r= + = +
4 3 1a a r a 3r= + = +
5 4 1a a r a 4r= + = +
Podemos observar que o termo na , que ocupa a n‑ésima posição na 
sequência, é dado por: n 1a a (n 1).r= + −
Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma PA e 
permite calcular qualquer termo da sequência, a partir de a1 e r, sem precisar 
determinar todos os termos.
Por exemplo:
15 1a a 14r= +
20 1a a 19.r= +
100 1a a 99.r= +
Exemplos
1. Determine o 15° termo da sequência (6, 11, 16, 21, 26,…):
Resolução:O primeiro termo da sequência é 1a 6=
Razão 2 1r a a 11 6 5= − = − =
Para o 15° termo n 15=
Utilizando a fórmula do termo geral temos:
n 1a a (n 1).r= + −
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Progressões
15a 6 (15 1).5= + −
15a 76=
Resposta: o 15° termo da sequência é 76.
2. Determine a PA cujo décimo termo é 28 e o sexto termo é 16.
Resolução:
Sabemos 10a 28= e 6a 16=
Utilizando a fórmula do termo geral temos:
n 1a a (n 1).r= + −
10 1a a (10 1).r= + −
128 a 9.r= +
6 1a a (6 1).r= + −
116 a 5.r= +
Temos o sistema:
1
1
28 a 9.r
16 a 5.r
= +
 = +
Resolvendo o sistema, chegamos a r = 3 e a1 = 1
Logo a sequência é: (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, …)
3. Quantos múltiplos de 5 existem entre 23 e 351?
Resolução:
Sabemos que o primeiro múltiplo de cinco maior que 23 é 25, logo 
1a 25=
O último múltiplo de cinco menor que 351 é 350, logo na 350=
Queremos determinar o número de termos n, e sabemos que a razão é cinco.
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Utilizando o termo geral da PA:
n 1a a (n 1).r= + −
350 25 (n 1).5= + −
Resolvendo a equação chegamos a n=66 termos, logo, existem 66 múl‑
tiplos de cinco entre 23 e351.
4. Determine a PA em que 
3 6a a 36+ = e 1 7a a 30+ =
Resolução:
Utilizando o termo geral da PA:
n 1a a (n 1).r= + −
3 1a a (3 1).r= + −
3 1a a 2.r= +
5 1a a (5 1).r= + −
5 1a a 4.r= +
6 1a a (6 1).r= + −
6 1a a 5.r= +
Substituindo a3 e a5 temos:
3 6a a 36+ =
1 1a 2.r a 5.r 36+ + + =
12a 7.r 36+ =
Substituindo a1 e a7 temos:
1 7a a 30+ =
1 1a a 6.r 30+ + =
12a 6.r 30+ =
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Progressões
Chegamos ao sistema:
1
1
2a 7.r 36
2a 6.r 30
+ =
 + =
Resolvendo o sistema, temos r 6= e 1a 3= −
Logo, a PA desejada é: (‑3,3,9,15,21,27,33,39,…)
5. Milena decidiu que irá caminhar todos os dias e, a cada semana, vai 
caminhar 500 metros a mais por dia do que na caminhada da semana 
anterior. Sabendo que na primeira semana ela andou 1500 metros por 
dia, quanto ela vai caminhar por dia na décima semana?
Resolução:
Toda semana ela anda 500 metros a mais, a razão da PA é r=500.
Na primeira semana ela andou 1500 metros logo, 1a 1500= .
Queremos saber quanto ela andou na décima semana então n=10.
Utilizando o termo geral da PA:
n 1a a (n 1).r= + −
Substituindo os valores conhecidos temos:
10a 1500 (10 1).500= + −
10a 1500 9x500= +
10a 1500 4500= +
10a 6000=
Portanto, na décima semana, Milena vai caminhar 6000 metros por dia.
1.2.4 – Soma dos n primeiros termos de uma PA
O alemão Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi um dos grandes mate‑
máticos de todos os tempos, fez contribuições nos campos da matemática, 
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Fundamentos de Matemática Elementar II
física e filosofia. Gauss sempre teve muita facilidade com matemática. Conta‑se 
que, aos 10 anos, ele tinha um professor que não aceitava conversas paralelas 
e brincadeiras em sala de aula. Um dia o professor decidiu dar‑lhes uma ativi‑
dade que deveria envolvê‑los por algum tempo sem perturbá‑lo. O professor 
pediu aos seus alunos para somar todos os números de 1 a 100, sabendo que a 
atividade tomaria um longo tempo dos alunos para realização dos cálculos. Em 
poucos minutos, Gauss concluiu a atividade, chegando à Resposta: de 5050. 
O professor conferiu o resultado e chegou a conclusão de que estava correto. 
O que Gauss tinha percebido é que existia um padrão que se repetia na soma. 
Se somarmos o primeiro termo com o último resulta em 101 e se somarmos 
o segundo com o penúltimo também resulta em 101, e assim sucessivamente.
1 100a a 101+ =
2 99a a 101+ =
3 98a a 101+ =
…
98 2a a 101+ =
100 1a a 101+ =
Notamos que a primeira dessas igualdades é igual à última, ou seja, cada 
igualdade aparece duas vezes. Assim, a soma dos cem primeiros termos dessa 
sequência pode ser dada por:
2S 100 101= ×
100 101S 5050
2
×= =
Notamos que 100 é o numero de termos e 101 é a soma do primeiro 
termo com o último.
Generalizando para uma PA de n termos, temos:
1 n
n
(a a )
S .n
2
+=
Matem_Elementar_02.indd 22 17/04/2017 18:29:54
– 23 –
Progressões
Equação da soma de n termos da PA.
Exemplos
1. Determine a soma dos 10 primeiros termos da PA. (2,4,6,8,…)
Resolução:
Temos:
Primeiro termo 1a 2=
Razão r 2=
n 10=
Calculando o décimo termo, temos:
n 1a a (n 1).r= + −
10a 2 (10 1).2= + −
10a 20=
Utilizando a equação da soma dos termos:
1 n(a a )S .n
2
+=
10
(2 20)S .10
2
+=
10S 110=
Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA é 110.
2. Determine o valor de x na equação:
1+3+5+…+x=100
Notamos que a soma dos termos é nS 100=
Os termos formam uma PA. Onde o primeiro termo é 1a 1= , na x=
e a razão é r=2.
Matem_Elementar_02.indd 23 17/04/2017 18:29:55
– 24 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Calculando o número de termos na PA.
n 1a a (n 1).r= + −
x 1 (n 1).2= + −
x 2n 1= −
x 1n
2
+=
Usando a eq uação da soma dos termos da PA:
1 n(a a )S .n
2
+=
(1 x)100 .n
2
+=
200 (1 x).n= +
Substituindo n encontrado anteriormente
x 1200 (1 x).
2
+= +
Aplicando a propriedade distributiva:
2400 (1 x)= +
Efetuando e isolando x: 
x 19 ou x 21= = −
Observamos, na sequência dada, que x é um número positivo. Portanto, 
o valor de x na equação é 19.
3. Em uma indústria de automóveis, a produção mensal é de 300 car‑
ros, mas a nova meta é produzir 40 carros a mais do que o mês ante‑
rior. Nessas condições, qual será a produção de automóveis daqui a 
um ano?
Matem_Elementar_02.indd 24 17/04/2017 18:29:55
– 25 –
Progressões
Resolução:
No primeiro mês temos a produção de 1a =300 automóveis e a razão 
é r=40. Em um ano serão 12 meses, n=12. Desejamos calcular a quan‑
tidade de automóveis produzidos nesses 12 meses ou seja, a soma da 
produção dos 12 meses, 12S .
Calculando a produção no 12º mês 12a
Usando o fórmula do termo geral:
n 1a a (n 1).r= + −
Substituindo os termos conhecidos:
12 1a a (12 1).r= + −
12a 300 (11).40= +
12a 300 440= +
12a 740=
Calculando a soma dos 12 meses 12S
Usando a equação da soma da PA:
1 n
n
(a a )
S .n
2
+=
Substituindo n=12:
1 12
12
(a a )
S .12
2
+=
Substituindo 12a 740= e 1a =300
12
(300 740)S .12
2
+=
12S = 6240
Resposta: a produção em um ano será de 6240 automóveis.
Matem_Elementar_02.indd 25 17/04/2017 18:29:56
– 26 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
4. Calcular a soma dos 60 primeiros termos de uma PA em que 1a =‑30 e r=4.
Resolução:
Usando o fórmula do termo geral para achar qual é o termor de ordem 
60, n=60:
n 1a a (n 1).r= + −
60 1a a (60 1).r= + −
60 1a a (59).r= +
Substituindo os termos conhecidos:
a60 = -30 + (59).4
a60 = -30 + 236
a60 = 260
Usando a equação da soma da PA:
1 n
n
(a a )
S .n
2
+=
Substituindo 1a = -30 e a60
 = 206
1 n
n
(a a )
S .n
2
+=
60
( 30 206)S .60
2
− +=
S60 = 5280
Resposta: A soma dos 60 primeiros termos da PA é 5280.
1.3 Progressões Geométricas (PG)
Considere a seguinte sequência numérica:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)
Matem_Elementar_02.indd 26 17/04/2017 18:29:56
– 27 –
Progressões
Notamos que existe um padrão entre os termos da sequência e cada 
termo é sempre o dobro do anterior.
1.3.1 Definição
Progressão Geométrica é a sequência de números em que cada termo 
é igual ao produto do termo anterior por uma constante. Essa constante é 
chamada de razão da progressão geométrica, indicada pela letra q.
Exemplos:
a) (5, 15, 45, 135, ...) é uma PG de razão q=3
b) (2, ‑8, 32, ‑128, 512, ...) é uma PG de razão q=‑4
c) (25, 5, 1, 1
5
, 1
25
, ...) é uma PG de razão 1q
5
=
d) (3, 30, 300, 3000, 30000, ...) é uma PG de razão q=10
e) (6, 6, 6, 6, 6, ...) é uma PG de razão q=1
Na sequência:
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an)
Para descobrirmos a razão q fazemos:
32 4 n
1 2 3 n 1
aa a a
q ...
a a a a −
= = = = =
Podemos classificar as progressões geométricas como:
a) Crescente: cada termo da sequênciaé maior que seu antecessor. 
Pode‑se ter os seguintes casos:
I. 1a 0> e q > 0
Exemplo: (2, 6, 18, 54, ...) 1a = 2 e q = 3
II. 1a 0< e 0 < q < 0
Exemplo: (-2, -1, 1
2
− , 1
4
− , ...) 1a = -2, 
1q
2
=
Matem_Elementar_02.indd 27 17/04/2017 18:29:56
– 28 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
b) Decrescente: cada termo da sequência é menor que seu antecessor. 
Pode‑se ter os seguintes casos:
I. 1a 0> e 0 < q < 1
Exemplo: (20, 10, 5, 5
2
, 5
4
, ...) 1a = 20 e q= 
1
2
II. 1a 0< e q > 1
Exemplo: (‑5, ‑10, ‑20, ‑40, ‑80, ...) 1a = ‑5 e q = 2
c) Constante: cada termo da sequência é igual ao seu antecessor. 
Pode‑se ter os seguintes casos:
I. q = 1
Exemplo: (3, 3, 3, 3, 3, ...) 1a = 3 e q = 1
II. q = 0
Exemplo: (0, 0, 0, 0, 0, ...) 1a = 0 e q = 0
d) Alternada: cada termo da sequência é alternadamente positivo e 
negativo.
Nesse caso, q < 0.
Exemplo: (3, ‑6, 12, ‑24, 48, ...) 1a = 3 e q = ‑2
e) Estacionária: cada termo da sequência a partir do segundo resulta 
no mesmo valor.
Exemplo: (8, 0, 0, 0, 0, ...) 1a = 8 e q = 0
Exemplo:
Classifique as progressões geométricas a seguir, como crescente, decres‑
cente, constante, alternada ou estacionaria:
Matem_Elementar_02.indd 28 17/04/2017 18:29:57
– 29 –
Progressões
a) (1, 4, 16, 32, …)
b) (8, 4, 21, …)
c) (5, ‑5, 5, ‑5, …)
Resolução:
Para determinarmos as classificações devemos calcular a razão q e o pri‑
meiro termo 1a .
a) Para a sequência (1, 4, 16, 64, …) temos 1a 1= e 2a 4=
Podemos calcular a razão pela expressão
32 4 n
1 2 3 n 1
aa a a
q ...
a a a a −
= = = = =
4q 4
1
= =
Temos q 0> e 1a 0> , a PG é crescente.
b) Para a sequência (8, 4, 2, 1, …) temos 1a 8= e 2a 4=
Calculando a razão:
2
1
a 4 1q
a 8 2
= = =
Temos 0<q<1 e 1a 0> , a PG é decrescente.
c) Para a sequência (5,‑5,5,‑5,…) temos 1a 5= e 2a 5= −
Podemos calcular a razão pela expressão
2
1
a 5q 1
a 5
−= = = −
Temos q 1= − 1a 0> , a PG é alternada.
Matem_Elementar_02.indd 29 17/04/2017 18:29:57
– 30 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
1.3.2 Termo geral da PG
O temo geral da progressão geométrica vai permitir encontrar qualquer 
termo de uma sequência conhecendo o primeiro termo 1a e a razão q da PG.
Seja uma progressão geométrica de n elementos escritos na forma:
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an)
2 1a a .q=
2
3 2 1 3 1a a .q (a .q).q a a .q= = → =
2 3
4 3 1 4 1a a .q (a .q ).q a a .q= = → =
3 4
5 4 1 5 1a a .q (a .q ).q a a .q= = → =
…
n 1
n n 1 n 1a a .q a a .q
−
−= → =
De modo geral o termo na que ocupa a n‑ésima posição da sequência 
é representado por:
n 1
n 1a a .q
−=
A equação é conhecida como termo geral da PG
Exemplos
1. Determine o décimo termo da sequência (2,4,8,16,…).
Resolução:
Sabemos que o primeiro termo é 1a =2, n=10 e a razão é:
2
1
a 4q 2
a 2
= = =
Usando o termo geral da PG
n 1
n 1a a .q
−=
Matem_Elementar_02.indd 30 17/04/2017 18:29:58
– 31 –
Progressões
Substituindo n=10 na equação:
10 1
10 1a a .q
−=
9
10 1a a .q=
Substituindo o 1a e q temos:
9
10a 2.2=
10
10a 2=
10a 1024=
O décimo termo é 1024.
2. Em uma progressão geométrica o nono termo é 768 e o quinto termo é 
48. Determine o terceiro termo da sequência.
Resolução:
Sabemos que o nono termo é 9a 768= , e o quinto termo é 5a 48= , 
Usando o termo geral da PG:
n 1
n 1a a .q
−=
Para o nono termo: n=9
9 1
9 1a a .q
−=
8
9 1a a .q=
Mas 9a 768=
8
1768 a .q=
Para o quinto termo: n=5
5 1
5 1a a .q
−=
4
5 1a a .q=
Matem_Elementar_02.indd 31 17/04/2017 18:29:58
– 32 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Mas 5a 48=
4
148 a .q=
Temos o sistema:
8
1
4
1
768 a .q
48 a .q
 =

=
Dividindo a primeira equação pela segunda:
8
1
4
1
a .q768
48 a .q
=
416 q=
4 42 q=
q=2.
Vamos calcular o primeiro termo 1a . Utilizando a segunda equação do 
sistema, e substituindo o valor da razão, temos:
4
148 a .q=
4
148 a .2=
148 a .16=
1a 3=
Para determinar o terceiro termo 3a da sequência, temos n=3.
n 1
n 1a a .q
−=
3 1
3 1a a .q
−=
2
3 1a a .q=
Matem_Elementar_02.indd 32 17/04/2017 18:29:58
– 33 –
Progressões
1a 3= e q=2
2
3a 3.2=
3a 12=
Resposta: O terceiro termo da PG é 12.
1.3.3 Fórmula da soma dos n 
primeiros termos de uma PG
Seja uma progressão geométrica de n elementos, escritos na forma:
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an)
A soma dos n primeiros termos é dada por:
n 1 2 3 4 n 1 nS a a a a ... a a−= + + + + + +
Substituindo 2 1a a .q= , 
2
3 1a a .q= , 34 1a a .q= , …,
n 1
n 1a a .q
−=
temos:
2 3 n 1
n 1 1 1 1 1S a a .q a .q a .q ... a .q
−= + + + + + (1)
Multiplicando a equação 1 pela razão q.
2 3 n 1
n 1 1 1 1 1S .q (a a .q a .q a .q ... a .q ).q
−= + + + + +
Distribuindo q
2 3 n 1
n 1 1 1 1 1S .q a .q a .q.q a .q .q a .q .q ... a .q q
−= + + + + +
Simplificando:
2 3 4 n
n 1 1 1 1 1S .q a .q a .q a .q a .q ... a .q= + + + + + (2)
Subtraindo a equação 2 da equação 1, teremos:
2 3 4 n
n n 1 1 1 1 1
2 3 n 1
1 1 1 1 1S .q S a .q a .q a .q a .q ... a .q (a a .q a .q a .q ... a .q )
−− = + + + + + −− + + + + +
2 3 4
n 1 1 1 1
2 3 n 1
1 1 1 1 1S .(q 1) a .q a .q a .q a .q ...... a a .q a .q a .q ... a .q
−− = + + + + − − − − − −
Matem_Elementar_02.indd 33 17/04/2017 18:29:59
– 34 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
n
n 1 1S .(q 1) a .q a− = −
Multiplicando por (‑1) e equação acima:
n
n 1 1S .(1 q) a a .q− = −
Isolando nS
n
1
n
a (1 q )
S
1 q
−=
−
Essa é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG.
Exemplo:
Sendo a progressão geométrica dada por (1,3,9,27,…), quantos termos 
devem ser somados para que a soma resulte em 29.524?
Resolução:
Sabemos que 1a =1 e 2a =3. Vamos determinar a razão q:
2
1
a 3q 3
a 1
= = =
Devemos calcular o número de termos n, usando a fórmula da soma dos 
n primeiros termos de uma PG. Temos que a soma é nS =29524
n
1
n
a (1 q )
S
1 q
−=
−
Substituindo os termos conhecidos
n1(1 3 )29524
1 3
−=
−
n1 329524
2
−=
−
n29524.( 2) 1 3− = −
Matem_Elementar_02.indd 34 17/04/2017 18:29:59
– 35 –
Progressões
n59048 1 3− = −
n59048 1 3− − = −
n59049 3− = −
n3 59049=
Fatorando o número 59049 chegamos: n 103 3=
Logo temos: n 10=
Concluímos que n=10, ou seja, a soma dos dez primeiros termos da 
sequência resulta em 29.524
1.3.4 Soma dos termos de uma PG infinita
Seja uma progressão geométrica infinita (a1, a2, a3, a4, a5,…). A soma de 
seus termos é chamada de série geométrica, e podemos classificar a progressão 
geométrica em relação à razão q, como:
 2 Convergente, quando1‑<q<0, resultando a soma em uma constante 
numérica.
 2 Divergente, quando q≤‑1 ou q≥1. À medida em que n aumenta, a 
soma dos termos também aumenta, isto é, diverge.
Vamos considerar o caso em que a soma é convergente, calculando o 
limite da soma quando n tende ao infinito.
Considerando S a soma infinita, temos:
n
1
n n n
a (1 q )
S lim S lim
1 q→∞ = →∞
−=
−
Quando n tende a um valor muito grande, o termo da expressão 
nq 0→ , para‑1<q<1, logo:
1a (1 0)S
1 q
−=
−
Matem_Elementar_02.indd 35 17/04/2017 18:30:00
– 36 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
1aS
1 q
=
−
Esta é a equação da soma de uma PG infinita convergente
Exemplos
1. Determine a soma infinita da seguinte sequência (4,2,1, 1
2
, 1
4
,…)
Resolução:
Sabemos que o primeiro termo é 1a 4=
A razão é 2
1
a 2 1q
a 4 2
= = =
Utilizando a formula da soma infinita: 1
a
S
1 q
=
−
Substituindo os valos conhecidos:
4S 811
2
= =
−
A soma infinita da progressão geométrica é 8.
2. Determine o valor de variável x na expressão a seguir:
2 3 4x x xx ... 12
4 16 64
+ + + + =
Resolução:
O primei ro termo é 1a x= e o segundo é 
2
2
xa
4
=
A razão é:
2
2
1
x
a x4q
a x 4
= = =
Matem_Elementar_02.indd 36 17/04/2017 18:30:00
– 37 –
Progressões
Utilizando soma dos termos de uma PG infinita
1aS
1 q
=
−
Substituindo os valores S=12 e 
xq
4
= , temos:
x12 x1
4
=
−
x12 4 x
4
= −
4 x12. x
4
−  =  
( )3. 4 x x− =
12 3x x− =
12 4x=
x 3=
Resposta: Para que a soma dos termosda PG seja 12, o valor de x é 3.
Obtenha a fração geratriz da dizima periódica 0,44444…
Resolução:
A soma dos termos é
X=0,44444…
Podemos escrever x na forma:
X=0,4+0,04+0,004+0,0004+0,00004+…
O primeiro termo é 1a 0,4= o segundo termo é 2a 0,04=
Calculando a razão q:
Matem_Elementar_02.indd 37 17/04/2017 18:30:00
– 38 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
2
1
a 0,04q 0,1
a 0,4
= = =
Utilizando a fórmula da soma infinita da PG:
1aS
1 q
=
−
Substituindo 1a e q:
0,4S
1 0,1
=
−
0,4 4S
0,9 9
= =
Resposta: a fração geratriz é 4
9
Matem_Elementar_02.indd 38 17/04/2017 18:30:01
Neste capítulo, estudaremos uma área da Matemática 
que trata dos problemas de contagem, ou seja, que analisa dados 
e tenta quantifi cá‑los para avaliar tendências e tomar decisões: a 
Análise Combinatória.
Análise Combinatória
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro
2
Matem_Elementar_02.indd 39 17/04/2017 18:30:02
– 40 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Vejamos algumas situações:
 2 Objetivando aumentar o número de linhas telefônicas, em alguns 
estados brasileiros os números de telefones celulares passaram de 
oito para nove algarismos. Quantas linhas telefônicas serão criadas 
a mais com essa alteração?
 2 No Brasil, as placas dos automóveis são compostas por três letras e 
quatro algarismos. Qual o número máximo de possibilidades para 
as placas com essa formatação?
 2 De quantas maneiras podemos escolher os seis números da loteria 
chamada Mega‑Sena, onde dispomos de uma cartela com números 
em sequência de 01 a 60?
Situações como as apresentadas acima, permitem o estudo do tamanho 
de uma rede telefônica, da frota de automóveis em determinada região e da 
quantidade de opções em um jogo de loteria.
O estudo da Análise Combinatória permitirá resolver essas e outras situ‑
ações em diferentes métodos de resoluções.
2.1 Problemas de contagem
Vamos estudar, aqui, algumas técnicas para a descrição e contagem de 
todos os casos possíveis de um acontecimento.
Observamos a seguinte situação:
Para a eleição do Grêmio Estudantil de uma escola, há dois alunos can‑
didatos a presidente e três alunos candidatos a vice‑presidente. Sabendo que 
as escolhas de presidente e vice‑presidente são independentes, quais os possí‑
veis resultados dessa eleição?
Candidatos a presidente 
Artur
Beatriz



Candidatos a vice‑presidente 
Cláudio
Denise
Everton





Matem_Elementar_02.indd 40 17/04/2017 18:30:02
– 41 –
Análise Combinatória
 2 Uma maneira de analisar essa situação é construindo a árvore das 
possibilidades, representando os possíveis agrupamentos, ou seja, 
os resultados:
Presidente Vice-presidente Resultados possíveis
Artur
Cláudio Artur e Cláudio
6 
re
su
lta
do
s 
po
ss
ív
ei
s
Denise Artur e Denise
Everton Artur e Everton
Beatriz
Cláudio Beatriz e Cláudio
Denise Beatriz e Denise
Everton Beatriz e Everton
 2 Outro recurso que pode ser utilizado é a construção de uma tabela 
de dupla entrada:
Presidente
Vice-presidente
Cláudio Denise Everton
Artur Artur e Cláudio Artur e Denise Artur e Everton
Beatriz Beatriz e Cláudio Beatriz e Denise Beatriz e Everton
Conclui‑se que é possível obter 6 resultados diferentes: Artur e Cláudio, 
Artur e Denise, Artur e Everton, Beatriz e Cláudio, Beatriz e Denise, Beatriz 
e Everton.
Vejamos agora, outros exemplos de problemas de contagem:
1. Júlio dispõem de quatro camisetas, nas cores amarela (a), branca (b), 
cinza (c) e vermelha (v) e de três calças, nas cores azul (A), preta (P) e 
marrom (M). De quantas maneiras diferentes Júlio pode se vestir usando 
uma camiseta e uma calça?
Resolução:
Construindo a árvore das possibilidades temos,
Matem_Elementar_02.indd 41 17/04/2017 18:30:02
– 42 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Camisetas Calças Resultados possíveis
a
A aA
12
 re
su
lta
do
s p
os
sív
ei
s
P aP
M aM
b
A bA
P bP
M bM
c
A cA
P cP
M cM
v
A vA
P vP
M vM
 2 Construindo a tabela:
Camisetas
Calças
Azul (A) Preta (P) Marrom (M)
Amarela (a) aA aP aM
Branca (b) bA bP bM
Cinza (c) cA cP cM
Vermelha (v) vA vP vM
Também verificamos que há 4 3 12⋅ = maneiras diferentes de Júlio se vestir.
2. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os 
algarismos 5, 7 e 8? Quais são eles?
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– 43 –
Análise Combinatória
Resolução:
Observe que os números devem possuir algarismos distintos, isto é, dife‑
rentes. Logo, números como 557 ou 788 não podem ser considerados.
Podemos resolver este exercício escrevendo todos os números possíveis:
578 758 857
587 785 875
Temos seis resultados possíveis.
Ou construindo a árvore das possibilidades:
Algarismo 
das centenas
Algarismo 
das dezenas
Algarismo 
das unidades
Números 
formados
5
7 8 578
6 
re
su
lta
do
s p
os
sív
ei
s
8 7 587
7
5 8 758
8 5 785
8
5 7 857
7 5 875
Concluímos que podemos escrever 6 números distintos: 578, 587, 758, 
785, 857 e 875.
3. Lançando‑se simultaneamente dois dados comuns, um vermelho e 
outro preto e considerando os números que poderão sair na face 
superior:
a) Quais são os resultados possíveis? Quantos são?
b) Quais são as somas possíveis? Quantas são?
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– 44 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Resolução:
Neste caso é mais conveniente a construção de uma tabela, veja:
Dado 
vermelho
Dado preto
Face 1 Face 2 Face 3 Face 4 Face 5 Face 6
Face 1 1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 e 4 1 e 5 1 e 6
Face 2 2 e 1 2 e 2 2 e 3 2 e 4 2 e 5 2 e 6
Face 3 3 e 1 3 e 2 3 e 3 3 e 4 3 e 5 3 e 6
Face 4 4 e 1 4 e 2 4 e 3 4 e 4 4 e 5 4 e 6
Face 5 5 e 1 5 e 2 5 e 3 5 e 4 5 e 5 5 e 6
Face 6 6 e 1 6 e 2 6 e 3 6 e 4 6 e 5 6 e 6
a) Verificamos, conforme a tabela, que há 6 6 36⋅ = resultados possíveis.
b) Considerando que o menor número que pode sair na face superior 
do dado vermelho é 1 e na face superior do dado preto também é 
1, concluímos que a menor soma possível é 2 (1+1). De maneira 
análoga, a maior soma possível é 12 (6+6).
Portanto, há 11 somas possíveis das faces superiores de dois dados lança‑
dos simultaneamente: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12.
2.2 Princípio fundamental da contagem
Nos exemplos anteriores, utilizamos diferentes maneiras para descrever todas 
as possibilidades da ocorrência de um evento: árvore das possibilidades, tabela 
de dupla entrada ou simplesmente escrevendo os resultados possíveis. Veremos 
agora, com o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplica-
tivo, essa mesma quantidade de possibilidades sem a necessidade de descrevê‑las.
Se um evento ocorrer por diversas etapas sucessivas e independentes, de 
tal modo que:
 2 p1 é a quantidade de possibilidades da 1ª etapa
 2 p2 é a quantidade de possibilidades da 2ª etapa
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– 45 –
Análise Combinatória
 2 .
 2 .
 2 .
pn é a quantidade de possibilidades da n‑ésima etapa, então p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ 
pn é a quantidade total de possibilidades de o evento ocorrer.
Vamos retornar ao exemplo 1 dos problemas de contagem: “Júlio dis‑
põem de quatro camisetas, nas cores amarela (a), branca (b), cinza (c) e verme‑
lha (v) e de três calças, nas cores azul (A), preta (P) e marrom (M). De quantas 
maneiras diferentes Júlio pode se vestir usando uma camiseta e uma calça?”
Aplicando o princípio multiplicativo, concluímos prontamente que 
Júlio possui 12 maneiras diferentes de se vestir, porque poderia escolher qual‑
quer uma das quatro camisetas e combinar, com cada camiseta escolhida, 
qualquer uma das três calças ( )4 3 12⋅ = .
Exemplos:
1. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5:
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar?
Resolução:
Um número de três algarismos possui a forma 
C D U
 e o 
algarismo da casa das centenas não pode ser zero. Como o zero não é um dos 
algarismos citados neste exemplo, podemos escolher qualquer um desses cinco 
algarismos para a casa das centenas, cinco para a casa das dezenas e cincopara 
a casa das unidades. Usando o princípio multiplicativo concluímos que:
Podemos formar 5 5 5 125⋅ ⋅ = números de três algarismos utilizando os 
algarismos 1, 2, 3, 4, e 5.
b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
Resolução:
Para formar números com algarismos distintos, sem repetição de 
algarismos, verificamos a quantidade de possibilidades para a primeira 
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– 46 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
opção e o algarismo escolhido não poderá ser utilizado nas demais casas. 
Ou seja:
cinco 
opções
quatro 
opções
três 
opções
  
1 1 1
2 2 2\
3 3 3
4 4\ 4\
5 5 5
Havia cinco opções para a casa das centenas (1, 2, 3, 4 e 5) e, supondo 
que escolhemos o algarismo 4, agora não podemos escolher este algarismo 
para as demais casas. Restam quatro opções para a casa das dezenas (1, 2, 
3, e 5). Se escolhermos, por exemplo, o algarismo 2 para a casa das dezenas, 
restará três opções para a casa das unidades (1, 3 e 5).
Usando o princípio multiplicativo, podemos formar 5 4 3 60⋅ ⋅ = 
números distintos.
2. Com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8:
a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar?
Resolução:
Um número com quatro algarismos possui a forma 
UM C D U
 
e o primeiro algarismo não pode ser zero, pois formaria um número de três 
algarismos.
quatro 
opções
cinco 
opções
cinco 
opções
cinco 
opções
   
2 0 0 0
4 2 2 2
6 4 4 4
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– 47 –
Análise Combinatória
8 6 6 6
8 8 8
Temos quatro opções para a casa das unidades de milhar (2, 4, 6 e 8), 
cinco opções para a casa das centenas (0, 2, 4, 6, e 8), cinco opções para a 
casa das dezenas (0, 2, 4, 6, e 8) e cinco opções para a casa das unidades (0, 
2, 4, 6 e 8).
Usando o princípio multiplicativo, podemos formar 4 5 5 5 500⋅ ⋅ ⋅ = 
números de quatro algarismos utilizando 0, 2, 4, 6 e 8.
b) Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar?
Resolução:
Um número com cinco algarismos possui a forma
 
DM UM C D U
 
não pode ser zero. Como queremos números distintos, não pode haver 
repetição de algarismos. Temos a seguinte situação:
quatro 
opções
quatro 
opções
três 
opções
duas 
opções
uma 
opções
    
2 0 0 0 0\
4 2 2 2\ 2\
6 4\ 4\ 4\ 4\
8 6 6\ 6\ 6\
8 8 8 8
Na casa das dezenas de milhar temos quatro opções (2, 4, 6 e 8). Caso a 
opção seja pelo algarismo 4, este não poderá mais ser escolhido para as outras 
casas. Na casa das unidades de milhar há quatro opções (0, 2, 6 e 8). Supondo 
que o algarismo 6 tenha sido o escolhido, restaram três opções para a casa das 
centenas (0, 2 e 8), onde escolhemos o algarismo 2. Na casa das dezenas há 
duas opções (0 e 8), onde escolhemos o algarismo 0. Restou somente uma 
opção para a casa das unidades (8).
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– 48 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Utilizando o princípio multiplicativo 4 4 3 2 1 96⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = , concluímos 
que podemos formar 96 números de cinco algarismos distintos.
3. No Brasil, as placas dos automóveis são compostas por três letras e 
quatro algarismos. Qual o número máximo de possibilidades para as 
placas com essa formatação? (Considere 26 letras, supondo que não há 
nenhuma restrição.)
Resolução:
26 
opções
26 
opções
26 
opções
10 
opções
10 
opções
10 
opções
10 
opções
      
A A A 0 0 0 0
a a a a a a a
Z Z Z 9 9 9 9
Considerando que não há nenhuma restrição para a formação das pla‑
cas, temos 26 opções para cada uma das três posições ocupadas por letras (A 
a Z) e 10 opções para cada uma das quatro posições ocupadas por algarismos 
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).
Utilizando o princípio multiplicativo
26 26 26 10 10 10 10 175 760 000⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = , concluímos que é possível for‑
mar 175 760 000 placas de automóveis com essa formatação.
4. Para emplacar carros novos, cada estado brasileiro possui uma sequência 
de letras e números definidos. No estado do Paraná, por exemplo, as pla‑
cas definidas vão da série inicial AAA‑0001 até a série final BEZ‑9999. 
Sabendo que dentre os quatro algarismos ao menos um deles deve ser 
diferente de zero, qual o número máximo de possibilidades para as pla‑
cas no estado do Paraná?
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– 49 –
Análise Combinatória
Resolução:
Na formatação das placas podemos utilizar as 26 letras do alfabeto e 
os 10 algarismos (de 0 a 9). Para as placas do Paraná elas podem ser do tipo 
A __ __ – __ __ __ __ ou B __ __ – __ __ __ __.
I. Opções de placas iniciando com a letra A:
1 
opçãos
26 
opções
26 
opções
10 
opções
10 
opções
10 
opções
10 
opções
      
A A A 0 0 0 0
a a a a a a
Z Z 9 9 9 9
Usando o princípio multiplicativo, temos 
1 26 26 10 10 10 10 6 760 000⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .
Como não podemos ter as placas com quatro algarismos zero, como 
AAA‑0000, AAB‑0000, ... , AAZ‑000, ABA‑0000, ... , AZZ‑0000, retiramos 
26 26 676⋅ = possibilidades.
Assim, temos 6760 000 676 6 759324− = placas iniciando com A.
II. Opções de placas iniciando com a letra B:
1 
opçãos
5 
opções
26 
opções
10 
opções
10 
opções
10 
opções
10 
opções
      
B A A 0 0 0 0
a a a a a a
E Z 9 9 9 9
Usando o princípio multiplicativo, temos:
1 5 26 10 10 10 10 1300 000⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .
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– 50 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Como ao menos um algarismo deve ser diferente de zero, retiramos as pos‑
sibilidades de placas terminadas em 0000, que totalizam 5 26 130⋅ = placas.
Assim, temos 1300 000 130 1 299 870− = placas iniciadas com a letra B.
Somando (I) e (II), concluímos que há 6 759 324 1 299 870 8 059194+ = 
placas possíveis para o estado do Paraná.
5. Existem 4 ruas ligando os bairros A e B e 3 ruas ligando os bairros B e 
C. De quantos modos diferentes é possível ir do bairro A até o bairro C, 
passando por B?
Resolução:
Esquematicamente, temos:
 
Fixando uma das ruas que ligam A e B e variando as ruas que ligam B e 
C, visualizamos que há 12 modos diferentes de ir do bairro A até o bairro C, 
passando por B:
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– 51 –
Análise Combinatória
Pelo princípio multiplicativo também verificamos as doze possibilidades:
4 3 12⋅ =
Logo, há 12 modos diferentes de ir do bairro A até o bairro C, passando 
pelo bairro B.
6. Quantos anagramas da palavra FAEL:
a) Começam com L?
b) Não terminam com consoantes?
Resolução:
a) Anagramas são as alterações possíveis na sequência de letras de uma 
palavra. Que começam com L, podemos ter LFAE, LFEA, dentre 
outras. Esquematicamente, temos:
uma 
opção
três 
opções
duas 
opções
uma 
opção
   
L F F F/
A A/ A/
E E E
L/ L/ L/
Pelo princípio multiplicativo, temos 1 3 2 1 6⋅ ⋅ ⋅ = anagramas que come‑
çam com a letra L.
b) Para determinar os anagramas que não terminam com consoantes, 
temos duas opções para última letra (A ou E).
uma 
opção
três 
opções
duas 
opções
uma 
opção
   
F/ F/ F A
A/ A A/ E
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– 52 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
E/ E/ E/
L L L
Aplicando o princípio multiplicativo, concluímos que há 1 2 3 2 12⋅ ⋅ ⋅ = 
anagramas da palavra FAEL que não terminam com consoantes.
2.3 Fatorial
Nos problemas de análise combinatória, é comum aparecer multiplica‑
ções cujos fatores são números naturais consecutivos, como:
1.2.3.4 1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6
Para facilitar essa escrita, utilizamos um símbolo chamado fatorial, 
representado por “!” (um ponto de exclamação).
Define‑se fatorial por:
“Seja n um número inteiro maior que 1, n fatorial ou fatorial de n é o 
produto dos n números naturais consecutivos de n a 1. Indica‑se n!.”
n! (Lê‑se: n fatorial ou fatorial de n) 
n! n (n 1) (n 2) (n 3) ... 3 2 1,= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ sendo n N∈ e n 1> ou 
n! n (n 1)!= ⋅ −
Exemplos:
2! 2 1 2= ⋅ =
3! 3 2 1 6= ⋅ ⋅ =
4! 4 3 2 1 24= ⋅ ⋅ ⋅ =
5! 5 4 3 2 1 120= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
6! 6 5 4 3 2 1 720= ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
Note que a propriedade n! n (n 1)!= ⋅ − deve ser conservada em todos 
os casos. Sendo assim:
I. Para n 2= :
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– 53 –
Análise Combinatória
n! n (n 1)!
2! 2 (2 1)!
2 1 2 1! (dividindo ambos os membros por 2)
1 1!
1! 1
= ⋅ −
= ⋅ −
⋅ = ⋅
=
∴
=
II. Para n 1= :
n! n (n 1)!
1! 1 (1 1)!
1! 1 0!
= ⋅ −
= ⋅ −
= ⋅
Para que essa igualdade seja verdadeira, define‑se 0! 1= .
Exemplos:
1. Calcule o valor de:
a) 
7!
5! 3!+
Resolução:
7! 7 6 5 4 3 2 1 5040 40
5! 3! 5 4 3 2 1 3 2 1 126
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
b) 
8! 6!
6! 5!
+
−
Resolução:
8! 6! (8 7 6 5!) (6 5!) 5!
6! 5! (6 5!) 5!
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
= =
− ⋅ −
(8 7 6 6)
5!
⋅ ⋅ + 336 6 342
(6 1) 5 5
+
= =
−
2. Simplifique a expressão (n 2)!
(n 1)!
+
+
:
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– 54 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Resolução:
(n 2) (n 1)!(n 2)!
(n 1)!
+ ⋅ ++ =
+ (n 1)!+
n 2= +
3. Resolva a equação (y 4)! (y 3)! 15(y 2)!+ + + = + .
Resolução:
2
2
1
2
(y 4)! (y 3)! 15(y 2)!
(y 4) (y 3) (y 2)! (y 3) (y 2)! 15(y 2)!
(y 2)! (y 4) (y 3) (y 3) 15(y 2)!
Dividindo ambos os membros por (y 2)! 0:
(y 4) (y 3) (y 3) 15
y 3y 4y 12 y 3 15
y 8y 0
y(y 8) 0
y 0
y 8 (nãos
+ + + = +
+ ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + = +
 + + ⋅ + + + = + 
+ ≠
+ ⋅ + + + =
+ + + + + =
+ =
+ =
=
= −
{ }
atisfaz pois em n!, n N e n 1)
S 0
∈ >
=
4. Resolva a equação (n 3)! 24− = .
Resolução:
{ }
(n 3)! 24
(n 3)! 4 3 2 1
(n 3)! 4!
n 3 4
n 7
S 7
− =
− = ⋅ ⋅ ⋅
− =
− =
=
=
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– 55 –
Análise Combinatória
2.4 Arranjos simples
Começaremos a estudar problemas de contagem onde há a necessidade 
de organizar ou agrupar os elementos de um conjunto.
Vamos considerar os seguintes Exemplos:
a) Com os algarismos 3, 5, 7 e 8, vamos formar todos os números 
possíveis de dois algarismos distintos:
Resolução:
Como os algarismos devem ser distintos, vamos construir a árvore das 
possibilidades:
Primeira 
posição
Segunda 
posição
Números 
formados
3
5 35
12
 re
su
lta
do
s p
os
sív
ei
s
7 37
8 38
5
3 53
7 57
8 58
7
3 73
5 75
8 78
8
3 83
5 85
7 87
Neste exemplo, 4 elementos foram agrupados de 2 em 2, ou tomados 
2 a 2.
Observamos que os números formados diferem entre si pela posição 
que ocupam: 35 e 53, por exemplo. Isto é, a ordem dos elementos interfere nos 
números formados.
Matem_Elementar_02.indd 55 17/04/2017 18:30:04
– 56 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Cada número obtido dessa maneira é denominado arranjo simples dos 
4 elementos tomados 2 a 2.
Indicamos esses arranjos por 4,2A ou 24A .
b) Cinco alunos, Júlia, Marcos, Davi, Luana e Eduardo disputam votos 
para representantes de turma, onde o primeiro colocado será eleito 
para representante e o segundo colocado será eleito para suplente de 
turma. Sabendo que as escolhas de representante e suplente são inde‑
pendentes, quais são as possibilidades para os dois primeiros lugares?
Resolução:
Construindo a árvore de possibilidades, temos:
Representante Suplente
Resultados possíveis 
(Representante/
Suplente)
Júlia
Marcos Júlia/Marcos
20
 re
su
lta
do
s p
os
sív
ei
s
Davi Júlia/Davi
Luana Júlia/Luana
Eduardo Júlia/Eduardo
Marcos
Júlia Marcos/Júlia
Davi Marcos/Davi
Luana Marcos/Luana
Eduardo Marcos/Eduardo
Davi
Júlia Davi/Júlia
Marcos Davi/Marcos 
Luana Davi/Luana
Eduardo Davi/Eduardo
Luana
Júlia Luana/Júlia
Marcos Luana/Marcos
Davi Luana/Davi
Eduardo Luana/Eduardo
Eduardo
Júlia Eduardo/Júlia
Marcos Eduardo/Marcos
Davi Eduardo/Davi
Luana Eduardo/Luana
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– 57 –
Análise Combinatória
Neste exemplo, 5 elementos foram agrupados de 2 em 2, ou tomados 2 
a 2. Também observamos que a ordem dos elementos interfere no resultado: 
Júlia para represente e Davi para suplente difere de Davi para representante e 
Júlia para suplente.
Cada resultado assim obtido é denominado arranjo simples dos 5 ele‑
mentos tomados 2 a 2, ou seja, 5,2A ou 
2
5A .
Nesses dois exemplos, temos o que chamamos de arranjos simples.
Sendo C um conjunto com n elementos e p n≤ , com n, p *N∈ , 
definimos:
Arranjo simples de n elementos de C, tomados p a p, é toda sequência 
de p elementos
A quantidade de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a 
p, indica‑se por pn,p nA ou A .
Organizaremos uma tabela para calcular n,pA :
Escolha do: Número de possibilidades:
primeiro elemento (qualquer elemento de 
um conjunto)
n
segundo elemento, após a escolha do pri-
meiro
n – 1
terceiro elemento, após a escolha do pri-
meiro e do segundo
n – 2
. . . 
p-ésimo elemento, após a escolha dos ante-
riores (1º, 2º, ..., (p – 1) elementos
n – (p – 1) ou n – p + 1
Portanto, pelo princípio multiplicativo, tem‑se que:
n,pA n (n 1) (n 2) (n 3) (n p 1)= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +…
Note que a fórmula de An,p pode ser descrita por meio de fatoriais, ou 
seja, é o produto de p fatores decrescentes em uma unidade a partir de n.
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– 58 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Exemplos:
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
a) A 5
b) A 5 4 20
c) A 5 4 3 60
d) A 5 4 3 2 120
e) A 5 4 3 2 1 120
=
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
No exemplo c, onde 5,3A 5 4 3= ⋅ ⋅ , multiplicando o segundo membro 
dessa igualdade por 2!
2!
, que é igual a 1, temos:
5,3
2! 2 1 5! 5!A 5 4 3 5 4 3
2! 2! 2! (5 2)!
⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =
−
Usando o mesmo raciocínio para n,pA , temos:
n,pA n (n 1) (n 2) (n 3) (n p 1)= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +…
Multiplicando o segundo membro por (n p)!
(n p)!
−
−
, temos:
n,p
n,p
(n p)!
A n (n 1) (n 2) (n 3) (n p 1)
(n p)!
(n p) (n p 1) 3 2 1
A n (n 1) (n 2) (n 3) (n p 1)
(n p)!
−= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅
−
− ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅
−
…
…
…
Assim, concluímos que arranjos simples de n elementos, tomados p a p, 
podem ser calculados por:
n,p
n!A
(n p)!
=
−
Exemplos:
1. Calcule:
a) 7,4A
Matem_Elementar_02.indd 58 17/04/2017 18:30:05
– 59 –
Análise Combinatória
Resolução:
n,p
7,4
7,4
n!A
(n p)!
7!A
(7 4)!
7 6 5 4 3!A
=
−
=
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
3!
7,4
7,4
A 7 6 5 4
A 840
= ⋅ ⋅ ⋅
=
b) 8,4 6,3
9,2 7,1
A A
A A
+
−
Resolução:
8,4 6,3
9,2 7,1
8 7 6 5 4!8! 6!
A A (8 4)! (6 3)!
9! 7!A A
(9 2)! (7 1)!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
++ − −= =
− −
− −
4!
6 5 4 3!⋅ ⋅ ⋅+
3!
9 8 7!⋅ ⋅
7!
7 6!⋅−
6!
8 7 6 5 6 5 4 1680 120 1800 360
9 8 7 72 7 65 13
=
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += = = =
⋅ − −
2. Quantos pares ordenados com elementos distintos podemos formar 
com as letras a, b, c, d, e, f e g?
Resolução:
Considerando dois pares ordenados quaisquer, observa‑se que a ordem 
dos elementos altera o par ordenado, exemplo ( ) ( )a ,b b,a≠ . Trata‑se, então, 
de um problema de arranjo simples.
Temos que arranjar sete letras tomadas duas a duas, ou seja, 7,2A .
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– 60 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
7,2
7! 7 6 5!A
(7 2)!
⋅ ⋅= =
− 5!
42=
Logo, podemos formar 42 pares ordenados.
3. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com 
os algarismos 1 a 9?
Resolução:
Alterando a ordem dos algarismos, observa‑se que altera o número for‑
mado. Observe, por exemplo, 1234 2134≠ .
Temos, portanto, um problema de arranjo simples, de 9 elementos 
tomados 4 a 4.
9,4
9! 9 8 7 6 5!A
(9 4)!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =
− 5!
3024=
Podemos formar 3024 números com os algarismos 1 a 9.
4. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com 
os dez primeiros números naturais?
Resolução:
Como no exemplo anterior, a ordem dos elementos altera o número 
formado. Temos um problema de arranjo simples.
Primeiramente, arranjamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que são os dez 
primeiros números naturais, tomados 4 a 4:
10,4
10! 10 9 8 7 6!A 5040
(10 4)! 6!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
−
Para um número possuir quatro algarismos, o zero não deve ocupar a 
primeira posição. Sendo assim, devemos retirar as possibilidades em que isso 
ocorre. Fixando o zero na primeira posição, restam 9 algarismos para seremarranjados, tomados 3 a 3.
9,3
9! 9 8 7 6!A 504
(9 3)! 6!
⋅ ⋅ ⋅= = =
−
Matem_Elementar_02.indd 60 17/04/2017 18:30:05
– 61 –
Análise Combinatória
10,4 9,3A A 5040 504 4536− = − =
Logo, podemos formar 4536 números.
5. Resolva a equação x,2A 72= .
Resolução:
Vamos lembrar que todo n,pA , deve ter n p≥ (condição de existência).
x,2A 72
x ! 72
(x 2)!
x (x 1) (x 2)!
=
=
−
⋅ − ⋅ −
(x 2)!−
2
2
1
72
x x 72
x x 72 0
x 8
=
− =
− − =
= −
{ }
2
2
e x 9
Como x 2, somente x 9 satisfaz a equação.
S 9
=
≥ =
=
6. Resolva a equação x,3 x,2A 16 A= ⋅ .
Resolução:
x,3 x,2A 16 A
x ! x !16
(x 3)! (x 2)!
x (x 1) (x 2) (x 3)!
= ⋅
= ⋅
− −
⋅ − ⋅ − ⋅ −
(x 3)!−
x (x 1) (x 2)!
16
⋅ − ⋅ −
= ⋅
(x 2)!−
{ }
dividindo por x (x 1) ambos os membrosx (x 1) (x 2) 16 x (x 1)
x 2 16
x 18
S 18
⋅ −⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ −
− =
=
=
Matem_Elementar_02.indd 61 17/04/2017 18:30:05
– 62 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
2.5 Permutação simples
Seja C um conjunto com n elementos, definimos:
Permutação simples dos n elementos é qualquer agrupamento orde-
nado (sequência) de n elementos distintos de C.
Indica‑se a permutação simples de n elementos por Pn.
Lê‑se: permutação simples de n elementos.
A permutação de n elementos, é um caso particular de arranjo, quando 
n = p, ou seja, um arranjo simples de n elementos, tomados n a n. Assim, temos:
n n,n
n
n
n
P A
n!P
(n n)!
n!P
0!
n!P
1
=
=
−
=
=
∴
nP n!=
Como n! n (n 1) (n 2) 1= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅… , o número de permutações de n ele‑
mentos pode ser:
nP n (n 1) (n 2) 1= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅…
Exemplos:
1. Quantos anagramas possui a palavra LIVRO?
Resolução:
Cada anagrama é uma permutação simples das letras L, I, V, R, O.
Sendo assim:
n 5 5 5P n! P 5! P 5 4 3 2 1 P 120= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
A palavra LIVRO possui 120 anagramas.
Matem_Elementar_02.indd 62 17/04/2017 18:30:06
– 63 –
Análise Combinatória
2. Usando os algarismos 2, 4, 6 e 8, quantos números de quatro algarismos 
distintos podemos formar?
Resolução:
Basta permutar os quatro algarismos: 2, 4, 6 e 8.
4P 4! 4 3 2 1 24= = ⋅ ⋅ ⋅ =
Logo, podemos formar 24 números.
3. Com a palavra VIAGEM, podemos formar:
a) Quantos anagramas?
Resolução:
O total de anagramas é obtido através da permutação das seis letras da 
palavra VIAGEM, ou seja:
6P 6! 6 5 4 3 2 1 720= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = anagramas.
b) Quantos anagramas que iniciam com a letra V?
Resolução:
Fixando a letra V na primeira posição, podemos permutar as demais 
cinco letras (I, A, G, E, M). Ou seja:
_V_ ____ ____ ____ ____ ____
5P 5! 5 4 3 2 1 120= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = anagramas que iniciam com a 
letra V.
c) Quantos anagramas que iniciam com consoante?
Resolução:
Analogamente ao exercício anterior, observamos que há P5 para cada 
consoante:
_V_ ____ ____ ____ ____ ____
_G_ ____ ____ ____ ____ ____
_M_ ____ ____ ____ ____ ____
Matem_Elementar_02.indd 63 17/04/2017 18:30:06
– 64 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Como são três consoantes, temos 3.P5 anagramas:
53 P 3 5! 3 5 4 3 2 1 360⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
d) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal?
Resolução:
Para cada consoante na primeira posição e para cada vogal na última 
posição, temos P4 anagramas, totalizando 3.3.P4 anagramas que iniciam com 
consoante e terminam em vogal:
Assim,
43 3 P 3 3 4! 3 3 4 3 2 1 216⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = anagramas.
4. Permutando os algarismos do número 1234 e colocando‑os em ordem 
crescente, qual é a posição ocupada pelo número 4312?
Resolução:
Colocamos as permutações obtidas pelos 4 algarismos em ordem crescente:
Números iniciados com 1: _1_ ____ ____ ____
3P 3! 6= = } 22 elementosNúmeros iniciados com 2: _2_ ____ ____ ____ 3P 3! 6= =Números iniciados com 3: _3_ ____ ____ ____ 3P 3! 6= =Números iniciados com 4 e 1: _4_ _1_ ____ ____ 2P 2! 2= =
Números iniciados com 4 e 2: _4_ _2_ ____ ____ 2!22 ==P
Números iniciados com 4 e 3: _4_ _3_ __1_ __2_ 23º
Observamos que há 22 elementos precedendo o número 4312. Logo, 
ele pertence à 23ª posição.
5. Calcular 5 2 4
2 3 3
3P 2P 3P
y
5P P P
+
= +
−
.
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– 65 –
Análise Combinatória
Resolução:
5 2 4
2 3 3
3P 2P 3P
y
5P P P
3 5! 2 2! 3 4!y
5 2! 3! 3!
360 4 72y
10 6 6
y 91 12
y 103
+
= +
−
⋅ + ⋅ ⋅= +
⋅ −
+
= +
−
= +
=
2.6 Combinação simples
Para definir combinação simples vamos analisar duas situações:
a) No hexágono abaixo, cujos vértices são A, B, C, D, E e F, quantos seg‑
mentos podemos traçar com extremidades em dois desses seis pontos?
Escolhendo o vértice A como uma das extremidades, a outra extremi‑
dade pode ser B, C, D, E ou F. Temos então, cinco possibilidades de segmen‑
tos para cada um dos seis vértices escolhidos. Veja:
AB, AC, AD, AE, AF,
BA, BC, BD, BE, BF,
CA, CB, CD, CE, CF,
DA, DB, DC, DE, DF,
EA, EB, EC, ED, EF,
FA, FB, FC, FD, FE.
Matem_Elementar_02.indd 65 17/04/2017 18:30:06
– 66 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Como 5 6 30⋅ = , obtemos 30 segmentos. No entanto, observe que 
AB = BA, ou seja, representam o mesmo segmento pois a ordem das extremi‑
dades não os diferencia. Isto significa que contamos em dobro a quantidade 
de segmentos obtidos.
Sendo assim, a quantidade de segmentos traçados com extremidade em 
dois desses pontos será:
5 6 15
2
⋅ =
Esse cálculo também pode ser obtido pelo arranjo simples de seis ele‑
mentos tomados dois a dois, dividido pela quantidade de permutações sim‑
ples de dois elementos:
6,2
2
6! 6!
A 6 5(6 2)! 4! 15
P 2! 2! 2
⋅−= = = =
b) Sandra, Marta, Joana, Cecília e Ana participam de uma escola 
de dança. Três delas serão escolhidas para representar a escola 
em um evento. Quantos grupos com três dançarinas podem ser 
formados?
Escolhendo três das cinco dançarinas, vamos formar todos os grupos 
possíveis:
 2 Sandra – Marta – Joana Sandra – Cecília – Ana
 2 Sandra – Marta – Cecília Marta – Joana – Cecília
 2 Sandra – Marta – Ana Marta – Joana – Ana
 2 Sandra – Joana – Cecília Marta – Cecília – Ana
 2 Sandra – Joana – Ana Joana – Cecília – Ana
Podemos formar dez grupos com três das cinco dançarinas.
Observe que a ordem da escolha das dançarinas não interefere no grupo 
formado. O grupo formado por Sandra – Marta – Joana é igual ao grupo 
formado por Joana – Sandra – Marta.
Matem_Elementar_02.indd 66 17/04/2017 18:30:06
– 67 –
Análise Combinatória
Nesses dois exemplos, vimos casos em que a ordem dos elementos não 
altera o agrupamento formado. Esse tipo de agrupamento recebe o nome de 
combinação simples.
Combinação simples de n elementos distintos, tomados p a p ( p n≤ ), 
é todo agrupamento formado por p elementos distintos escolhidos dentre os n 
elementos dados, de modo que a mudança da ordem dos elementos não modi‑
fique o agrupamento.
Notação: pn,p nC ou C
Lê-se: Combinação simples de n elementos tomados p a p.
No exemplo a, vimos que o cálculo da quantidade de segmentos traça‑
dos com extremidade em dois vértices do hexágono, poderia ser obtido pelo 
arranjo simples de seis elementos tomados dois a dois, dividido pela quanti‑
dade de permutações simples de dois elementos. Esse mesmo raciocínio pode 
ser utilizado para obter a fórmula para cálculo do número de combinações 
simples. Veja:
n,p
n,p
p
n!
A (n p)! n!C
P p! p! (n p)!
−= = =
−
Logo,
n,p
n!C
p! (n p)!
=
−
Casos particulares:
I. Se *n N∈ e p = 0, temos:
n,0
n! n! n!C 1
0! (n 0)! 1 n! n!
= = = =
− ⋅
Um conjunto com n elementos possui um único subconjunto com zero 
elementos, que é o vazio.
II. Se n = p = 0, temos:
Matem_Elementar_02.indd 67 17/04/2017 18:30:07
– 68 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
0,0
0! 0!C 1
0! (0 0)! 0!
= = =
−
Um conjunto com zero elementos possui um único subconjunto com 
zero elementos, que é o vazio.
Exemplos:
1. Quantas comissões com cinco elementos podemos formar numa classe 
de vinte alunos?
Resolução:
Chamando os cinco alunos de A, B, C, D e E, temos que {A, B, C, D, E} 
= {B, A, C, D, E}, ou seja, a ordem dos cinco alunos escolhidos não interfere 
nacomissão formada.
Assim, têm‑se um problema de combinação simples de 20 elementos, 
tomados cinco a cinco.
n,p
20,5
20,5
20,5
20,5
n!C
p! (n p)!
20!C
5! (20 5)!
20 19 18 17 16 15!C
5!15!
20 19 18 17 16C
5 4 3 2 1
C 15504
=
−
=
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
Logo, podemos formar 15 504 comissões.
2. Sabendo que não existem três pontos alinhados em um plano, quantos 
triângulos podemos formar com 12 pontos desse plano?
Resolução:
Para formar triângulos, precisamos de três pontos não alinhados em um 
plano. Sendo A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, os pontos do plano, verifica‑se 
Matem_Elementar_02.indd 68 17/04/2017 18:30:07
– 69 –
Análise Combinatória
que o ABC BAC∆ ≅ ∆ ou que o DEF FED∆ ≅ ∆ , ou seja, a ordem dos pon‑
tos não altera o triângulo formado. Temos então, um problema de combina‑
ção de 12 elementos, tomados 3 a 3.
12,3
12! 12! 12 11 10 9!C
3! (12 3)! 3! 9!
⋅ ⋅ ⋅= = =
− 3 2 9!⋅ ⋅
1320 220
6
= =
Logo, podemos formar 220 triângulos.
3. Uma escola possui 5 professores de português e 6 de matemática. Quan‑
tos grupos com 2 professores de português e 3 professores de matemá‑
tica podemos formar?
Resolução:
Considerando os grupos com 2 professores de português como C5,2 e 
os grupos com 3 professores de matemática como C6,3, têm‑se pelo princípio 
fundamental da contagem que o total de grupos é:
5,2 6,3
5! 6! 5! 6!C C
2! (5 2)! 3! (6 3)! 2! 3! 3! 3!
5 4 3!
⋅ = ⋅ = ⋅ =
− −
⋅ ⋅=
2 3!⋅
6 5 4 3!⋅ ⋅ ⋅⋅
3 2 3!⋅ ⋅
10 20 200= = ⋅ =
Podemos formar 200 grupos.
4. Em uma empresa há quatro diretores e cinco gerentes. Quantas comissões 
de cinco pessoas podem ser formadas contendo no mínimo um diretor?
Resolução:
Devemos combinar 9 pessoas (4 diretores + 5 gerentes) tomados 5 a 5:
9,5
9! 9 8 7 6 5!C
5! (9 5)!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =
− 4 3 2 5!⋅ ⋅ ⋅
126=
No entanto, as comissões devem conter no mínimo um diretor. Sendo 
assim, devemos retirar as opções em que apenas os cinco gerentes participam:
Matem_Elementar_02.indd 69 17/04/2017 18:30:07
– 70 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
5,5
5! 5!C 1
5! (5 5)! 5! 0!
= = =
−
Assim:
9,5 5,5C C 126 1 125− = − =
Podem ser formadas 125 comissões.
5. Calcule:
a) 20,4
10,3 4,2
C
C C+
20,4
10,3 4,2
20! 20!
4! (20 4)! 4!16!C
10! 4! 10! 4!C C
3! (10 3)! 2! (4 2)! 3! 7! 2! 2!
20 19 18 17 16!
4845 4845 16154 3 2 16!
10 9 8 7! 4 3 2 120 6 126 42
3 2 7! 4
−
= = =
+ + +
− −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅= = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ++
⋅ ⋅
b) 2 3 512 7 8C C C+ −
Observação: pn n,pC C=
Resolução:
2 3 5
12 7 8C C C
12! 7! 8!
2! (12 2)! 3! (7 3)! 5! (8 5)!
+ − =
+ − =
− − −
Matem_Elementar_02.indd 70 17/04/2017 18:30:07
– 71 –
Análise Combinatória
12 11 10!⋅ ⋅=
2 10!⋅
7 6 5 4!⋅ ⋅ ⋅+
3 2 4!⋅ ⋅
8 7 6 5!⋅ ⋅ ⋅−
5! 3!
66 35 56 45
=
+ − =
6. Determine n nas equações:
a) n,2 n,1C C 28+ =
Condição de existência: n 2 e n 1, log o n 2.≥ ≥ ≥
Resolução:
n,2 n,1C C 28
n! n! 28
2! (n 2)! 1! (n 1)!
n (n 1) (n 2)!
+ =
+ =
− −
⋅ − ⋅ −
2 (n 2)!⋅ −
n (n 1)!⋅ −
+
(n 1)!−
2
2
2
1 2
28
n n n 28
2
n n 2n 56
2 2
n n 56 0
n 7 e n 8
=
− + =
− + =
+ − =
= = −
{ }
Como n 2,
S 7
≥
=
b) n,3 n 2,45C C 0+− =
Condição de existência: n 3≥
Matem_Elementar_02.indd 71 17/04/2017 18:30:07
– 72 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Resolução:
n,3 n 2,4
n (n 1) (n 2) (n 3)!5
6
5C C 0
n! (n 2)!5 0
3! (n 3)! 4! (n 2 4)!
+
⋅ − ⋅ − ⋅ −
⋅
− =
+⋅ − =
− + −
(n 3)!−
(n 2) (n 1) n (n 1) (n 2)!1
24
+ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ −
− ⋅
(n 2)!−
{ }
2
2
1 2
0
5 1n (n 1) (n 2) (n 2) (n 1) n (n 1)
6 24
15 (n 2) (n 2) (n 1)
4
(n 2) (n 1) 20 (n 2)
n 3n 2 20n 40
n 17n 42 0
n 3 ou n 14
S 3,14
=
⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ −
⋅ − = ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ + = ⋅ −
+ + = −
− + =
= =
=
c) n 2,4 n 1,3C A+ +=
Resolução:
n 2,4 n 1,3C A
(n 2)! (n 1)!
4! (n 2 4)! (n 1 3)!
(n 2)! (n 1)!
24 (n 2)! (n 2)!
(n 2) (n 1)!
+ +=
+ +=
+ − + −
+ +=
⋅ − −
+ ⋅ +
24 (n 2)!⋅ −
(n 1)!+
=
(n 2)!−
n 2 24
n 22
+ =
=
Matem_Elementar_02.indd 72 17/04/2017 18:30:07
– 73 –
Análise Combinatória
7. A quina no jogo da Loto é obtida com o acerto de cinco números, entre
1 e 80. Se o jogador fez um palpite simples (cinco números), de quantas
maneiras é possível montar uma quina?
Resolução:
Observe que a ordem dos números não altera a formação da quina. Temos,
portanto, um problema de combinação de 80 elementos tomados 5 a 5.
80,5
80! 80 79 78 77 76 75!C 24 040 016
5! (80 5)! 5 4 3 2 75!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Logo, há 24 040 016 maneiras de montar uma quina. 
2.7 Arranjo com repetição
Estudamos até o momento, arranjos simples, onde não há repetição de 
elementos. Vejamos agora o que acontece quando temos arranjos que consi‑
deram a repetição de elementos.
Notação: (AR)n,p
Leitura: Arranjo com repetição de n elementos, tomados p a p.
Consideremos duas situações:
I. Quantos números de dois algarismos distintos podemos for‑
mar usando os algarismos 1, 3, 5 e 7?
Resolução:
Como a ordem dos elementos altera o número formado, devemos calcu‑
lar o arranjo de 4 algarismos tomados 2 a 2.
4,2
4! 4!A 12
(4 2)! 2!
= = =
−
Logo, podemos formar 12 números.
II. Quantos números de dois algarismos podemos formar usando
os algarismos 1, 3, 5 e 7?
– 74 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Resolução:
Observe que agora não há a obrigatoriedade dos algarismos serem dis‑
tintos, ou seja, os números 11, 33, 55 e 77 também são considerados.
Essa situação pode ser representada da seguinte maneira:
quatro 
opções
quatro 
opções
 
1 1
3 3
5 5
7 7
Pelo princípio fundamental da contagem, podemos formar 
24 4 4 16⋅ = = números de dois algarismos.
De um modo geral, para calcular o arranjo de n elementos, conside‑
rando a repetição desses elementos, obtemos:
p
n,p(AR) n=
Exemplos:
1. Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os seis 
primeiros números naturais diferentes de zero?
Resolução:
Os seis primeiros números naturais diferentes de zero são 1, 2, 3, 4, 5 
e 6. Como a ordem dos elementos altera o número formado, observe como 
exemplo que 1234 2134≠ , temos um problema de arranjo.
Não há a obrigatoriedade de utilizar elementos distintos. Temos, por‑
tanto, um problema de arranjo com repetição de 6 elementos, tomados 4 a 4.
4
6,4(AR) 6 1296= =
Assim, podemos formar 1296 números.
Matem_Elementar_02.indd 74 17/04/2017 18:30:08
– 75 –
Análise Combinatória
2. Um concurso público dispõem de 50 questões objetivas, com cinco 
alternativas diferentes para cada questão (a, b, c, d, e). De quantas for‑
mas diferentes podemos responder a essas 50 questões?
Resolução:
Observe que a ordem dos elementos altera o resultado e que pode ocor‑
rer repetição das alternativas. Temos, portanto, um arranjo com repetição.
50
5,50(AR) 5=
Assim, temos 550 formas diferentes para responder a essas 50 questões.
2.8 Permutação com elementos repetidos
No estudo das permutações simples, vimos que a permutação de n ele‑
mentos distintos é dada por Pn = n!.
Estudaremos agora, problemas de contagem que envolvem a permuta‑
ção com elementos repetidos. É o caso, por exemplo, do cálculo da quanti‑
dade de anagramas da palavra CALCULADORA.
Se as letras fossem todas diferentes, cada anagrama seria uma permu‑
tação das 11 letras, o que corresponderia a 11! anagramas. Mas, a letra A se 
repete 3 vezes e a letra C e L se repetem 2 vezes cada.
Considerando a letra C, para cada um dos 11! anagramas formados, há 
outro idêntico com a letra C nas mesmas posições. Veja:
Sendo assim, para não contarmos esses anagramas “iguais”, devemos divi‑
dir o total de anagramas por 2!, que é a permutação das duas letras C. Além 
disso, temos duas letras L e três letras A. Logo, o total de anagramas é dado por:
11! 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 663 200
3! 2! 2! 24
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =
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– 76 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
O número de anagramas da palavra CALCULADORA é indicado por 
3, 2, 2,1,1,1,1
11P 1 663 200= , onde 3, 2, 2, 1, 1, 1 e 1 significam que existe, res‑
pectivamente 3 letras A, 2letras C, 2 letras L, 1 letra U, 1 letra D, 1 letra O, 
1 letra R, num total de 11 letras.
Generalizando essa idéia para n elementos com p1 elementos iguais a α , p2 
elementos iguais a β e, assim, sucessivamente até pr elementos iguais a γ , temos:
1 2 3 4 rp , p , p , p , , p
n
1 2 3 4 r
1 2 3 4 r
n!p ,
p !, p !, p !, p !, , p !
onde p p p p p n.
=
+ + + + + =
…
…
…
Exemplos:
1. Quantos anagramas podemos formar com a palavra GEOGRAFIA?
Resolução:
A palavra GEOGRAFIA possui um total de 9 letras, sendo duas letras 
iguais a G e duas letras iguais a A.
Logo,
2,2
9
9! 9 8 7 6 5 4 3 2P 90 720
2! 2! 4
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = anagramas
2. Quantos anagramas iniciados pela letra I podemos formar da palavra 
INCRÍVEIS?
Resolução:
A palavra INCRÍVEIS possui nove letras, sendo três delas iguais à letra 
I. Fixando o I na primeira posição, devemos permutar as outras oito 
letras, sendo que duas letras I ainda se repetem:
2
8
8!P 20160
2!
= =
Logo, podemos formar 20 160 anagramas.
Matem_Elementar_02.indd 76 17/04/2017 18:30:08
– 77 –
Análise Combinatória
3. Quantos números pares obtemos da permutação dos algarismos conti‑
dos no número 5 443 125?
Resolução:
O número 5 443 125 possui 7 algarismos mas para formar números pares, 
o algarismo contido na unidade deve ser par, que nesse exemplo é 4 ou 2.
 2 Fixando o algarismo 4 na unidade:
____ ____ ____ ____ ____ ____ _4__
As primeiras seis posições podem ser preenchidas com os algaris‑
mos restantes 5, 4, 3, 1, 2, 5:
2,1,1,1,1
6
6!P 360
2!1!1!1!1!
= =
 números terminados com o 
algarismo 4.
 2 Fixando o algarismo 2 na unidade:
____ ____ ____ ____ ____ ____ _2__
As primeiras seis posições podem ser preenchidas com os algaris‑
mos restantes 5, 4, 4, 3, 1, 5:
2, 2,1,1
6
6!P 180
2! 2!1!1!
= =
números terminados com o algarismo 2.
Assim, a quantidade de números pares é 360 180 540+ = .
4. De quantas maneiras podemos organizar em uma prateleira 6 livros iguais 
de Física, 7 livros iguais de Matemática e 3 livros iguais de Química?
Resolução:’
6, 7, 3
16
16!P 960 960
6! 7! 3!
= =
Há 960 960 maneiras diferentes de organizar esses livros em uma prateleira.
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Fundamentos de Matemática Elementar II
5. Quantos números diferentes podemos achar permutando os algarismos 
do número 225 744 112?
Resolução:
Como há algarismos iguais, devemos calcular a permutação com repetição:
3,1,1, 2, 2
9
9!P 15120
3!1!1! 2! 2!
= = números diferentes.
6. Na figura abaixo, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de X até 
Y, deslocando‑se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita?
Resolução:
Partindo de X, temos como opções 5 unidades para cima e 6 unidades 
para a direita, totalizando 11 opções.
Como as repetições são consideradas, calculamos a permutação com 
repetição.
Assim:
 
5, 6
11
11!P 462
5! 6!
= =
Matem_Elementar_02.indd 78 17/04/2017 18:30:08
– 79 –
Análise Combinatória
Logo, podem ser feitos 462 caminhos diferentes de X até Y.
2.9 Números binomiais
A combinação de n elementos tomados p a p, vista anteriormente por 
Cn,p, também pode ser representada pelo número binomial 
n
p
 
 
 
. Assim,
n,p
n n!C , com n p 0.
p p! (n p)!
 
= = ≥ ≥  − 
Lê-se: binomial de n sobre p.
Exemplos:
a) 
6 6! 20
3 3! 3!
 
= = 
 
b) 
7 7! 21
2 2! 5!
 
= = 
 
Pela definição, concluímos que:
I. 
n n! n! 1
0 0! (n 0)! n!
 
= = =  − 
II. 
n n! n (n 1)! n
1 1! (n 1)! (n 1)!
  ⋅ −= = =  − − 
III. 
n n! n! n! 1
n n! (n n)! n! 0! n!
 
= = = =  − 
Os números binomiais podem ser dispostos ordenadamente conforme 
esquema mostrado abaixo, formando o chamado triângulo de Pascal ou tri-
ângulo de Tartaglia.
Matem_Elementar_02.indd 79 17/04/2017 18:30:09
– 80 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
6 6 6 6
0 1 2 3
 
 
 
   
   
   
     
     
     
       
       
       
         
         
         
           
           
           
       
       
       
6 6 6
4 5 6
7 7 7 7 7 7 7 7
0 1 2 3 4 5 6 7
n n n n n n n n n
0 1 2 3 4 5 6 7 n
     
     
     
               
               
               
                 
                 
                 
� � � � � � � � �
�
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– 81 –
Análise Combinatória
Observação:
 2 Os binomiais com o mesmo numerador são colocados na mesma 
linha e os binomiais com o mesmo denominador são colocados na 
mesma coluna.
 2 Substituindo os binomiais do triângulo de Pascal pelos seus respec‑
tivos valores teremos:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
� � � � � � � � �
2.9.1 Propriedades do triângulo de Pascal
I. Todos os elementos da primeira coluna são iguais a 1, pois:
n n! n! 1
0 0! (n 0)! n!
 
= = =  − 
II. O último elemento de cada linha é igual a 1, pois:
n n! n! n! 1
n n! (n n)! n! 0! n!
 
= = = =  − 
III. Se dois números binomiais são complementares, então eles são iguais.
Dois números binomiais 
n
p
 
 
 
 e 
n
q
 
 
 
 são complementares se p q n+ = .
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– 82 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Exemplos:
a) 
6 6
e
2 4
   
   
   
 são complementares, pois 2 4 6 n+ = = .
b) 
10 10
e
3 7
   
   
   
 são complementares, pois 3 7 10 n.+ = =
Se p q n+ = , então 
n n
p q
   
=   
   
.
Demonstração:
p q n q n p
Assim :
n n nn! n!
q n p p(n p)! (n n p)! (n p)! p!
Logo,
n n
p q
+ = ⇒ = −
     
= = = =     − − − + −     
   
=   
   
Exemplos:
a) 
6 6 6! 6!pois
2 4 2! 4! 4! 2!
   
= =   
   
b) 
8 8 8! 8!pois
7 1 7!1! 1! 7!
   
= =   
   
IV. Relação de Stiffel:
n n n 1
p p 1 p 1
+     
+ =     + +     
Matem_Elementar_02.indd 82 17/04/2017 18:30:09
– 83 –
Análise Combinatória
Essa propriedade é utilizada para facilitar a construção do 
triângulo de Pascal. Observa‑se que “somando dois elemen‑
tos que estão lado a lado no triângulo, obtêm‑se o elemento 
situado logo abaixo do elemento da direita”.
V. A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potên‑
cia de base 2, cujo expoente é a ordem desta linha.
No geral, a soma dos elementos da linha n é 2n, ou seja:
n
n n n n
2
0 1 2 n
       
+ + + + =       
       
�
Veja: Soma dos elementos:
1 —————————————–———> linha 0 —> 20 = 1
1 1 —––———————————–—> linha 1 —> 21 = 2
1 2 1 –––———————————> linha 2 —> 22 = 4
1 3 3 1 ––––————————> linha 3 —> 23 = 8
1 4 6 4 1 ––———————> linha 4 —> 24 = 16
1 5 10 10 5 1 ––––————> linha 5 —> 25 = 32
1 6 15 20 15 6 1 —––––—> linha 6 —> 26 = 64
1 7 21 35 35 21 7 1 –––– > linha 7 —> 27 = 128
VI. A soma dos n primeiros termos da coluna p é igual ao termo n da 
coluna p + 1.
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– 84 –
Fundamentos de Matemática Elementar II
Exemplos:
1. Calcule os números binomiais abaixo:
a) 
5
2
 
 
 
Resolução:
5 5! 5! 10
2 2! (5 2)! 2! 3!
 
= = =  − 
b) 
564
523
     
+ −     
   
Resolução:
564 4! 6! 5!
523 3! (4 3)! 2! (6 2)! 5! (5 5)!
4! 6! 5! 4 15 1 18
3!1! 2! 4! 5! 0!
     
+ − = + − =      − − −   
= + − = + − =
Matem_Elementar_02.indd 84 17/04/2017 18:30:10
– 85 –
Análise Combinatória
c) 
7 8
3 5
15
02
   
⋅   
   
   
⋅   
  
Resolução:
7 8 7! 8! 7! 8!
3 5 3! (7 3)! 5! (8 5)! 3! 4! 5! 3!
5! 1! 5! 1!15
2! (5 2)! 0! (1 0)! 2! 3! 0!1!02
35 56
196
10 1
    ⋅ ⋅⋅    −