Livro - Fundamentos da Matematica Elementar I

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2ª Edição
Curitiba
2018
Fundamentos 
da Matemática 
Elementar I
Faculdade Educacional da Lapa (Org.)
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
F981 Fundamentos da matemática elementar I / organização de 
Faculdade Educacional da Lapa. – 2. ed. – Curitiba: Fael, 2018. 
200 p.: il.
ISBN 978-85-5337-004-7
1. Matemática 2. Conjuntos 3. Funções 4. Trigonometria I. 
Silva, Maria Eugenia Carvalho e
CDD 510
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão e organização Maria Eugênia de Carvalho e Silva
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Imagem da Capa Shutterstock.com/Poznyakov
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
Sumário
1 Conjuntos numéricos e operações | 7
2 Razão e proporção | 53
3 Introdução ao estudo das funções | 63
4 Estudo das funções: injetora, sobrejetora, 
bijetora e composta | 71
5 Função inversa, equações, inequações 
e funções modulares | 83
6 Funções polinomiais | 99
7 A função exponencial e a função logarítmicas | 127
8 Trigonometria, ciclo trigonométrico, conversão 
de arcos e função seno e cosseno | 155
9 Função tangente e cotangente, função 
cossecante e secante | 171
10 Relações fundamentais, operações 
com arcos e aplicações | 185 
11 Números Complexos | 199 
Referências | 242
Apresentação
A Matemática se aplica a todas as áreas e a todos os níveis. 
Nenhuma profissão pode prescindir das noções fundamentais da Mate-
mática. Algumas necessitam de cálculos elaborados em certas situações, 
mesmo se tratando de ciências sociais, biológicas ou humanas.
Este livro apresenta os fundamentos da matemática elemen-
tar a partir de uma abordagem histórica, de como tudo começou. As 
primeiras evidências de que o homem já utilizava algum mecanismo 
de contagem data de mais de 50.000 anos. A Matemática, de forma 
geral, nasceu da necessidade de se resolver problemas.
O conceito de conjunto é o mais fundamental na Matemática. 
Todos os outros conceitos matemáticos podem ser expressos a partir 
desse conceito inicial. Os conjuntos numéricos são estudados com a 
relação de inclusão entre eles, as operações básicas e suas propriedades.
A potenciação foi desenvolvida para resolver situações em que 
ocorriam multiplicações repetitivas, facilitando os cálculos. A radicia-
ção é a operação inversa da adição.
– 6 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Razão, proporção e porcentagem talvez sejam os temas mais utilizados 
no cotidiano. Todos nós, fazemos cálculos a todo o momento, seja com o 
dinheiro ganho com nosso trabalho, com as contas que temos que pagar, 
com a reforma da casa, com as notas dos alunos ou com a lista de material 
escolar das crianças. Quando algumas quantidades são proporcionais, podem 
ser utilizadas para calcular o resultado com grandezas diferentes. Neste ponto, 
o livro apresenta vários problemas práticos que podem ser resolvidos com a 
aplicação desses conceitos.
Estudamos funções porque grande parte das situações reais pode ser 
modelada através delas. Uma corrida de táxi pode ser representada por uma 
função do primeiro grau, a função quadrática é o modelo matemático que 
descreve o movimento uniformemente variado. Funções exponenciais des-
crevem crescimentos populacionais ou a aplicação de um capital a juros fixo.
O ensino de logaritmos ganha contexto ao se explicitar sua importância 
em questões tecnológicas e em outras ciências, para expressar grandezas cujo 
intervalo de variação é exponencial, como a escala Richter dos abalos sísmicos. 
A Trigonometria nasceu c. 300 AC entre os gregos, para resolver proble-
mas de Astronomia Pura . Todas essas aplicações tratavam de problemas de 
Trigonometria Esférica e nada tinham a ver com problemas de agrimensura 
ou topografia. Foi só a partir de cerca de 1 750 que começou a se tornar coisa 
comum se usar triangulações geodésicas para a feitura de mapas de municí-
pios, estados a até continentes, e a se usar as triangulações topográficas para 
o mapeamento de áreas menores. A palavra trigonometria significa medida 
das partes de um triângulo. Este livro traz uma introdução à trigonometria, 
iniciando pelas relações métricas entre lados e ângulos de um triângulo retân-
gulo, passando pelas relações trigonométricas fundamentais, relação entre 
grau e radiano, e aplicando esses conceitos nas equações trigonométricas.
Os conteúdos abordados neste livro são úteis, não apenas para resolver 
problemas do cotidiano, mas ,também, por se constituírem na base para o 
aprendizado de muitas disciplinas ligadas à Matemática.
Profª. Maria Eugênia de Carvalho e Silva
1
Conjuntos numéricos 
e operações
1ª versão: 
Mário Visintainer
2ª versão:
Moisés de Souza Arantes Neto
1.1
Conjuntos numéricos
O conceito de número e o processo de contar desenvolve‑
ram‑se antes dos primeiros registros históricos (temos evidências de 
que o homem é capaz de contar há mais de 50.000 anos). A maneira 
mais antiga de contar baseava‑se em alguns métodos de registro 
simples, como ranhuras no barro ou em uma pedra, produzindo‑se 
entalhes em um pedaço de madeira ou osso (EVES, 2004).
O número não apareceu de repente, por obra de uma 
única pessoa responsável por esse marco histórico da humani‑
dade. Com a necessidade de contar os animais de suas caças, o 
homem usava objetos como pedras, nós em cordas, marcas em 
ossos e em madeiras. Com o passar do tempo, esse sistema foi se 
aperfeiçoando até dar origem aos números que evoluíram para a 
forma atual (EVES, 2004).
– 10 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
O homem vivia em pequenos grupos, morava em savanas e cavernas, 
protegendo‑se dos animais selvagens e das chuvas. Nessa época, alimentava‑se 
com o que a natureza oferecia (caças, frutos e sementes). Posteriormente, 
descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os alimentos e a se proteger melhor do 
frio e dos animais selvagens.
Com o surgimento de novas necessidades, o homem começou a modifi‑
car seu sistema de vida. Não mais vivia da caça e coleta de frutos e raízes, mas 
passou a cultivar plantas e a criar animais: era o início da agricultura. Com 
isso o homem começava a fixar moradia, principalmente às margens de rios, 
não havendo a necessidade de ficar se deslocando de um lugar para o outro, 
como nômade (EVES, 2004).
Começaram a ser desenvolvidas novas habilidades: construir uma 
moradia, criar animais, desenvolver ferramentas. Então surgiram as 
primeiras comunidades organizadas, com lideranças e divisões de trabalho 
entre as pessoas.
Para pastorear o rebanho de ovelhas, o pastor arranjou uma maneira de 
contá‑lo no final do dia: relacionava cada ovelha a uma pedra que colocava 
no saco. Assim teria certeza de que todo o rebanho estaria de volta ao final 
do dia. Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde 
haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer 
“contas com pedras” (EVES, 2004).
1.1.1 A ideia de número
Utilizando objetos para contar outros objetos, o homem começou a 
construir o conceito de número. Para o homem primitivo, o número cinco 
era bastante importante, pois relacionava a esse número os dedos das mãos. 
Assim, para contar objetos e animais, os pastores separavam sempre em gru‑
pos de cinco (EVES, 2004). Do mesmo modo, os caçadores contavam os ani‑
mais abatidos traçando riscos na madeira ou fazendo nós em corda, também 
de cinco em cinco.
Com o surgimento de algumas comunidades, aldeias às margens dos 
rios, esses povos primitivos começavam a usar ferramentas e armas de bronze. 
– 11 –
Conjuntos numéricos
Com a formação dessas aldeias situadas às margens de rios e sua sucessiva 
transformação em cidades, a vida foi ficando cada vez mais complicada. 
Novas atividades iam surgindo, graças, sobretudo, ao desenvolvimento do 
comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em grandes quan‑
tidades,superando suas necessidades. Com isso, algumas pessoas puderam 
se dedicar a outras atividades, tornando‑se artesãos, comerciantes, sacerdo‑
tes, administradores. Como consequência desse desenvolvimento, surgiu a 
escrita. Foi assim que estudiosos do antigo Egito passaram a representar a 
quantidade de objetos de uma coleção por meio de desenhos, os símbolos. 
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvi‑
mento da Matemática.
1.1.2 O sistema de numeração egípcio e indo‑arábico
Os egípcios usavam sete números‑chave. Um traço vertical represen‑
tava uma unidade: um osso de calcanhar invertido representava o número 
10. Um laço valia 100 unidades. Uma flor de lótus valia 1.000. Um dedo 
dobrado valia 10.000. Com um girino, os egípcios representavam 100.000 
unidades. Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 
1.000.000.
Todos os outros números eram escritos combinando os números‑chave. 
Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é 
muito importante. Mas, para os egípcios, isso não tinha a menor importân‑
cia: eles escreviam seus números sem preocupar‑se com a posição dos símbo‑
los (Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003>. Acesso em: 
1 dez. 2007).
O sistema de numeração que usamos atualmente tem seu nome 
devido aos hindus, que o inventaram, e aos árabes, que o divulgaram. Não 
se sabe ao certo como e quando esses novos símbolos entraram na Europa 
Ocidental, provavelmente foi por intermédio dos comerciantes árabes 
(EVES, 2004).
Os hindus utilizavam apenas nove sinais para representar os números e 
fazer os cálculos e não conheciam o número zero.
A ideia dos hindus, a de introduzir uma notação para uma posição va ‑
zia, ocorreu no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para 
– 12 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
que esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal, 
o zero, o sistema de numeração, assim como o conhecemos hoje, estava 
completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler e a escrever, os 
símbolos criados pelos hindus sofreram várias mudanças. Hoje, esses sím‑
bolos são chamados de algarismos indo‑arábicos.
Depois de termos uma breve noção de fatos que marcaram a criação e 
escrita dos números, vamos estudar como esses números se organizam em 
conjuntos, com suas respectivas operações.
1.1.3 Conjunto dos Números Naturais (N)
Assim como a própria criação dos números, os conjuntos numéricos 
surgiram das necessidades de representação e de resultados obtidos pelas 
operações fundamentais. Nesse sentido, o primeiro conjunto numérico que 
será representado é o Conjunto dos Números Naturais, como segue:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Na adição de números Naturais, temos sempre como resultado outro 
número Natural, mas na subtração isso não ocorre, como vamos acompanhar 
no exemplo a seguir: subtraindo o número 5 do número 2 (2 – 5), temos 
como resultado o número – 3, que não é um número Natural; portanto, 
necessitamos de um novo conjunto que tenha as características do número 
apresentado como resultado do exemplo anterior, que é o Conjunto dos 
Números Inteiros.
1.1.4 Conjunto dos números Inteiros (Z)
Esse conjunto representa todos os números Naturais, mais os números 
negativos, como aparece na representação a seguir:
Z = {... – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Existe ainda uma outra representação desse conjunto que é muito utili‑
zada na representação posicional do conjunto na reta numérica.
– 13 –
Conjuntos numéricos
1.1.5 Representação dos números 
inteiros na reta numérica
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Os dois primeiros conjuntos que apresentamos até aqui irão nos orientar 
na realização das quatro operações fundamentais da Matemática, mas antes 
de começarmos a operar dentro desses conjuntos, vamos falar um pouco 
sobre o valor absoluto de um número.
1.1.6 Valor absoluto
O valor absoluto de um número inteiro “x”, também chamado “módulo 
de x”, é expresso por |x| e definido como o máximo valor entre “x” e “– x”, 
isto é: |x| = máx {x; – x}.
x, se x 0
x z, onde x
x, se x 0
≥
∀ ∈ = − <
Podemos exemplificar a generalização anterior com alguns exemplos 
numéricos.
Exemplos:
|–8| = 8
|+3| = 3
1.1.7 Números opostos ou simétricos
Números simétricos ou opostos são os números que têm o mesmo valor 
absoluto e sinais contrários, + 5 e – 5; – 12 e + 12; o simétrico de 0 é o pró‑
prio 0. Verificamos, ainda, na reta numérica apresentada anteriormente, que 
os valores opostos ou simétricos têm a mesma distância geométrica do zero.
– 14 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
1.1.8 Operações fundamentais
Vamos iniciar pela adição. Para se adicionar dois ou mais números 
de sinais iguais, somam‑se os valores absolutos dos números e conserva‑se 
o sinal.
Exemplos: (+5) + (+8) + (+12) = +25
 (–3) + (–5) + (–32) = –40
Para adicionar dois números com sinais diferentes, do maior em 
módulo se retira o menor e conserva‑se o sinal do número que apresentar 
o módulo maior.
Exemplos: (+12) + (–10) = +2
 (+7) + (–12) = –5
 (–9) + (+5) = –4
Para subtrair dois ou mais números com sinais iguais ou diferentes, basta 
mudar o sinal do número que aparece depois do sinal de subtração, ou seja, 
se for positivo, fica negativo e, se for negativo, torna‑se positivo. Depois, 
repetimos os procedimentos descritos para a adição.
Exemplos: (+12) – (–10) = (+12) + (+10) = +22
 (+7) – (+12) = (+7) + (–12) = –5
 (–9) – ( +5) = (–9) + (–5) = –14
Para multiplicar ou dividir dois números de sinais iguais, multiplica‑
mos ou dividimos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal posi‑
tivo (+).
Para multiplicar ou dividir dois números de sinais diferentes, multi‑
plicamos ou dividimos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal 
negativo (–).
Exemplos: (+4) · (+3) = +12 (+8) : (+4) = +2
 (–12) · (–5) = +60 (–12) : (–3) = +4
 (+5) · (–7) = –35 (–35) : (+7) = –5
– 15 –
Conjuntos numéricos
1.1.9 Expressões numéricas
As expressões numéricas com as operações de adição, subtração, multi‑
plicação e divisão seguem as seguintes etapas de resolução:
 2 em primeiro lugar, efetuar as multiplicações ou divisões, na ordem 
em que aparecerem;
 2 em segundo lugar, efetuar as adições e subtrações na ordem em que 
aparecerem.
Exemplos: 15 + 5 – 3 · (– 4) =
 15 + 5 – (–12) =
 20 – (–12) =
 20 + 12 = 32
 8 : (4 : 2) · 5 + 3 – 5 · (–2) =
 8 : 2 · 5 + 3 – 5 · (– 2) =
 4 · 5 + 3 – 5 · (–2) =
 20 + 3 +10 = 33
 {2 + [(2 + 3 – 6 · 2) – 5 + 4 : 2] + 8} =
 {2 + [(2 + 3 – 12) – 5 + 4 : 2] + 8} =
 {2 + [–7 – 5 + 4 : 2] + 8} =
 {2 + [–7 – 5 + 2] + 8} =
 {2 – 10 + 8} = 0
Vimos que algumas operações fundamentais realizadas com números per‑
tencentes ao mesmo conjunto podem ter como resultado um número que não 
pertença àquele conjunto. Isso pode ser verificado com o exemplo a seguir:
3 : 4 = 0,75
Observamos que os números da divisão, o 3 e o 4, pertencem ao con‑
junto dos números inteiros, porém o resultado da divisão não é um número 
inteiro. Isso nos leva a denominar o próximo conjunto numérico, o Conjunto 
dos Números Racionais.
– 16 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
1.1.10 Conjunto dos números Racionais (Q)
O número Racional pode ser definido como todo número que pode ser 
escrito na forma de fração, em que: n é o numerador e d o denominador.
Q = {n/d onde n ∈ Z e d ∈ Z*}, ou seja, com d ≠ 0.
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi 
dividida uma unidade ou um inteiro.
Exemplos: 2 4 23 3; ; ; 1
3 5 4 4
Alguns símbolos são utilizados para mostrar uma característica específica 
dentro do próprio conjunto, algumas delas são descritas a seguir e valem tam‑
bém para os outros conjuntos vistos.
Q* = conjunto dos números racionais sem o zero.
Q+ = conjunto dos números racionais não negativos.
Q– = conjunto dos números racionais não positivos.
1.1.11 Tipos de frações
 2 Fração própria é aquela em que o numerador é menor que 
o denominador.
Ex.: 2
7
 2 Fração imprópriaé aquela em que o numerador é maior ou igual 
ao denominador.
Ex.: 4
3
; 8
5
 2 Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma 
fração própria.
Para se transformar uma fração imprópria em mista, basta dividir 
o numerador pelo denominador. O Quociente será o número inteiro; o 
Resto, o numerador da fração e o Denominador continua sendo o denomi‑
nador inicial.
– 17 –
Conjuntos numéricos
Exemplo: converta as frações impróprias em mistas.
7 3
1
4 4
=
 
17 5
2
6 6
=
23 3
4
5 5
=
 
13 5
1
8 8
=
A maioria das frações pode ser representada por um número decimal 
exato. Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador.
2
0,4
5
=
 
55
13,75
4
=
Em alguns casos, quando se efetua a divisão, encontra‑se um número que 
se repete constantemente. O número que se repete é chamado de Perío do, e 
o resultado da divisão, Dízima Periódica.
Exemplos de dízimas periódicas representadas de duas formas diferentes:
a) 0,333333...= 0,3 b) 3,88888... = 3,8
c) 21,555555... = 21,5 d) 1,00343434... = 1,0034
e) 2,122122122... = 2,122 f ) 0,2455555... = 0,245
A dízima periódica é simples, quando a parte decimal é formada somente 
pelo período. Ex.: 2,88888... É composta quando, na parte decimal, existe 
uma parte que não se repete. Ex.: 2,346666...
Agora, vamos estudar melhor esses números que pertencem ao con‑
junto dos números racionais e, portanto, podem ser representados em forma 
de fração.
1.1.12 Fração geratriz de uma dízima periódica
A fração geratriz que dá origem à parte decimal de uma dízima perió dica 
simples é uma fração que tem como numerador o período e, como denomi‑
nador, tantos noves quantos forem os algarismos do período.
– 18 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Exemplos:
3
5,333... = 5+0,333... = 5+
9
1 16
5 ou
3 3
6
1,666... = 1+0,666... = 1+
9
2 5
1 ou
3 3
A fração geratriz que dá origem à parte decimal de uma dízima perió‑
dica composta é a fração n
d
, em que n (o numerador) é formado pela 
parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. O d 
(denominador) é composto por tantos noves quantos forem os algarismos 
do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte 
não periódica.
Exemplos:
1,8333... = 1+0,8333...
83–8 75 5 11
1+ =1+ = 1 ou
90 90 6 6
452–4 448 224
0,4525252...= = =
990 990 495
Agora que estudamos as quatro operações fundamentais (adição, sub‑
tração, multiplicação e divisão) de números Inteiros e vimos que algumas 
operações, como a divisão, não apresentam como resultado um número 
dentro do próprio conjunto, vamos estudar essas operações dentro de 
outro conjunto, o dos números Racionais, tanto na forma decimal como 
na forma de frações. E são as operações dentro desse conjunto que iremos 
verificar a seguir.
– 19 –
Conjuntos numéricos
1.1.13 Adição e subtração de frações
Para adicionar frações, é necessário observar os denominadores. 
Se eles forem iguais, conserva‑se o valor do denominador e somam‑se 
os numeradores.
Exemplos:
5 2 7
+ =
3 3 3 
5 4 1
– =
3 3 3
Para somar frações com denominadores diferentes, reduz‑se as frações ao 
mesmo denominador e, então, somamos os numeradores.
Exemplos: 3 5 9 20 29
4 3 12 12
++ = = −2 5 12 45 33 11– = = – = –
9 6 54 54 18
Nos exemplos anteriores, os procedimentos de resolução adotados 
foram os mesmos. Primeiro, multiplica‑se os denominadores das frações; 
depois, dividimos esse valor encontrado pelo primeiro denominador, e o 
resultado multiplicamos pelo numerador da primeira fração. Em seguida, 
repetimos o processo para a segunda fração e assim realizamos a opera‑
ção algébrica no numerador. Caso a fração possa ser simplificada, dividi‑
mos o numerador e o denominador pelo mesmo valor, como foi o caso do 
segundo exemplo.
1.1.14 Multiplicação
Para se multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os 
denominadores também.
Exemplos:
⋅3 7 21=
5 2 10
 
  
5 15
3× – =–
7 7
– 20 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
1.1.15 Divisão de frações
Na divisão de frações, conservamos a primeira fração ou a fração do 
numerador e multiplicamos (como no item anterior) pelo inverso da segunda 
fração ou a fração do denominador.
Exemplos:
2 7 2 9 18
÷ = × =
5 9 5 7 35
 
1
1 4 45 = × =3 5 3 15
4
Inicialmente, pensava‑se que os números racionais resolveriam todas as 
nossas necessidades e por um tempo isso foi verdade. Porém, com a evolu‑
ção da matemática, algumas operações encontraram resultados que não per‑
tenciam aos números Racionais. Esses novos números foram chamados de 
números Irracionais.
1.1.16 Números Irracionais (I)
O conjunto dos números Irracionais é formado pelos números que não 
podem ser escritos na forma de fração.
Fazem parte do conjunto dos números Irracionais as raízes não exatas. 
Tomemos como exemplo:
2 1,414223562...≅
3 1,732050808...≅
5 2,236067977...≅
3 3 1,44224957...≅
Fazem parte do conjunto dos números irracionais algumas constantes 
muito usadas na matemática, a mais conhecida é o: π ≅ 3,141592654..., 
usada para calcular área de um círculo ou perímetro da circunferência. Outra 
constante é o número de Néper: e ≅ 2,7182818284590452353602874...
– 21 –
Conjuntos numéricos
Com a utilização desse novo conjunto, houve a necessidade de criar 
outro que abrangesse todos os outros vistos até aqui. Daí a representação 
do último conjunto numérico que estudaremos, o Conjunto dos Núme‑
ros Reais.
1.1.17 Conjunto dos números Reais (R)
O conjunto dos números Reais é formado pelo conjunto dos números 
Racionais, acrescido do conjunto dos números Irracionais.
N
Z
Q
I R
Existe ainda um outro conjunto, o conjunto dos números complexos, 
que estudaremos posteriormente. 
1.1.18 Representação dos números 
reais na reta numérica
Os números reais ocupam todos os espaços existentes na reta real. Repre‑
sentamos alguns a título de exemplo.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3
πe
4
2−
– 22 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
1.1.18.1 Representação do conjunto dos números reais
Entre dois números quaisquer, por mais aproximados que sejam, existem 
infinitos outros números reais. Assim é impossível enumerar todos os núme‑
ros reais existentes. Como recurso, mostraremos o mesmo conjunto de três 
formas diferentes.
 2 Por meio das propriedades dos conjuntos:
A = {x ∈ R| –5 < x <3}
 2 Por meio da reta real:
–5 x 3
 2 Por meio de intervalos:
]– 5; 3[
Outros exemplos:
 2 A = {x ∈ R|x < 2 } 
x 2
 ]∞; 2[
 2 B = {x ∈ R|–2 ≤ x < 2 } 
–2 x 2
 
[–2; 2[
No decorrer deste capítulo, percebemos, portanto, algumas etapas da 
criação dos números e como essas etapas foram, progressivamente, sendo 
utilizadas pelo homem, para a realização das operações matemáticas.
Atividades
1. Os algarismos que usamos hoje foram descobertos pelos:
a) egípcios e romanos;
b) romanos e árabes;
c) hindus e árabes;
d) árabes e egípcios.
– 23 –
Conjuntos numéricos
2. Enumerando o conjunto A = {x ∈ Z| x < –3}, temos qual dos seguintes 
conjuntos?
a) A = {...; –8; –7; –6; –5; –4}
b) B = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2}
c) C = {5; 6; 7; 8; 9}
d) D = {–2; –1; 0; 1; 2; 3;}
3. Resolvendo as operações indicadas na expressão a seguir, encontramos o 
valor de:
2 9 3 7 21
:
3 10 2 4 8
    ⋅ − − − =       
a) 5
b) 1/2
c) – 7/3
d) – 7/30
4. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas a seguir.
a) 0,44444...
b) 3,23333...
c) 0,35202020...
d) 1,656565...
e) 2,00454545...
5. Escreva cada um dos conjuntos por meio de uma linguagem simbólica, 
conforme o exemplo da letra (a).
a) A = {– 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}   ⇒   A = {x ∈ Z|–3 < x < 7}
b) B = {...; –3; –2; –1; 0}
c) C = {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; ...}
– 24 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
d) D = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
e) E = {...; –2; –1; 1; 2, 3; ...}
6. Represente os conjuntos de outras duas formas diferentes daquela apre‑
sentada.
a) A = {x ∈ R| x < 3}
b) B = {x ∈ R| x > 2}
c) C = {x ∈ R| 0 ≤ x < 7}
d) 
e) 
f ) 
g) ]–5; –1]
h) ] ∞; 0[
i) [0; 2/3]
Comentário das AtividadesA primeira atividade é para você compreender um pouco da história 
da Matemática e para que se situe na evolução da criação dos números. A 
resposta é a letra (c).
Sabemos que não existe nenhum número entre dois números inteiros, 
então, a resposta da atividade dois é a letra (a).
Na resolução da terceira atividade, lembre‑se de resolver a multiplicação 
e a divisão, na ordem em que aparecem; fazendo isso, achará a resposta cor‑
reta na letra (d).
Na quarta atividade, é importante voltar ao item 1.12 desta aula, para 
relembrar como encontrar uma fração geratriz de uma dízima. As respostas 
dessas atividades são: (a) 4/9; (b) 3 + 21/90; (c) 3485/9900; (d) 1 + 65/99; 
(e) 2 + 45/9900.
– 25 –
Conjuntos numéricos
A quinta atividade começa com a letra (a) como exemplo, então, 
devemos segui‑la e encontrar as seguintes respostas: (b) B = {x ∈ Z|x ≤ 0}; 
(c) C = {x ∈ Z|x > –6}; (d) D = {x ∈ Z|0 ≤ x ≤ 8}; (e) E = {x ∈ Z*}.
Na última atividade, basta lembrarmos de que temos três maneiras dife‑
rentes de representar um conjunto numérico, como em cada alternativa ele já 
está representado de uma das formas, basta usar outras duas. As respostas são: 
(a) ]–∞; 3[; (b) ]2; +∞[; (c) [0; 7[; (d) {x ∈ R| 7 < x < 10}; (e) {x ∈ R| –3 < x ≤ –1}; 
(f) {x ∈ R| x > 13}; (g) {x ∈ R| –5 < x ≤ –1}; (h) {x ∈ R| x < 0}; (i) {x ∈ R| 0 
≤ x ≤ 2/3}.
Referência
EVES, H. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.
Conclusão
O sistema de numeração como conhecemos atualmente é fruto de diver‑
sas evoluções sucessivas, ao longo de milhares de anos, pelos povos egípcios, 
romanos, árabes e indianos. Os números naturais foram os primeiros a serem 
criados pela necessidade de representar quantidades. A seguir, surgiram os 
negativos que, unidos aos naturais, formaram o c onjunto dos números intei‑
ros. O conjunto dos números reais é formado pelo conjunto dos números 
racionais acrescido do conjunto dos números irracionais.
1.2
Potenciação e radiciação
O estudo do capítulo anterior nos deu uma indicação de que 
as descobertas da Matemática não aconteceram de um dia para o 
outro, mas sim que a maioria delas surgiu da necessidade de cada 
fase da descoberta. Assim a potenciação foi criada para resolver 
situações em que ocorriam multiplicações repetitivas, como, por 
exemplo, 8 · 8 · 8 · 8 · 8 · 8.
– 28 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
1.2.1 Potenciação
De maneira geral, a situação do exemplo anterior pode ser definida da 
forma explicitada a seguir.
Seja “a” um número Real e “n” inteiro positivo, então:
 2 an = a · a · a · a · a · a · a ... n, onde a é base da potência e n o expoente;
 2 a base é o fator que se repete;
 2 expoente é o número de vezes que multiplicamos a base.
Exemplos:
42 = 4 · 4 = 16 (lê‑se: quatro elevado ao quadrado é igual a dezesseis)
23 = 2 · 2 · 2 = 8 (lê‑se: dois elevado ao cubo é igual a oito)
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 (lê‑se: cinco elevado à quarta potência é igual a 
seiscentos e vinte e cinco)
Nas expressões aritméticas, calcula‑se, em primeiro lugar, as potências; 
depois, as operações indicadas.
Exemplos:
6 – [– 8 + (42 – 25) + 32] =
6 – [– 8 + (16 – 32) + 9] =
6 – [– 8 – 16 + 9] =
6 – [– 15] = 6 + 15 = 21
{25 – [33 +(82 – 72)2 – 250]2} =
{32 – [27 +(64 – 49)2 – 250]2} =
{32 – [27 + 152 – 250]2} =
{32 – [27 + 152 – 250]2} =
{32 – [27 + 225 – 250]2} =
{32 – [2]2} = {32 – 4} = 28
Potência de uma base positiva é sempre um número positivo. Quando a 
base é negativa, o sinal resultante depende do expoente:
– 29 –
Potenciação e radiciação
 2 expoente par – o resultado é positivo 
(–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81;
 2 expoente ímpar – o resultado é negativo
(–3)3 = (–3) · (–3) · (–3) = –27.
Exemplos:
(–10)5 = –100.000
(– 4)4 = 256
 
  
52 32
– = –
3 243
–52 = –25 (nesse caso, o sinal menos (–) não está sendo elevado ao 
quadrado)
26 36
=
5 5
 (nesse caso, somente o seis está sendo elevado ao quadrado)
2
20 20 4
– = – = –
5 25 5 (nesse caso, o sinal menos não está sendo elevado ao 
quadrado, nem o numerador 20)
1.2.2 Propriedades da potenciação
 2 1a – Multiplicação de potências de mesma base. Para multiplicar 
potências da mesma base, conserva‑se a base e somam‑se os expoentes.
an · am = an + m
25 · 23 = 25+3 = 28 = 256
 2 2a – Divisão de potências de mesma base. Para dividir potências de 
mesma base, conserva‑se a base e subtraem‑se os expoentes.
an : am = an – m
25 : 23 = 25 – 3 = 22 = 4
3245 : 3242 = 3245 – 242 = 33 = 27
– 30 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
 2 3a – Potência de potência. Para elevar uma potência a um novo expo‑
ente, conserva‑se a base e multiplicam‑se os expoentes.
(an)m = an . m
(23)2 = 23 · 2 = 26 = 64
 2 4a – Produto de potências com o mesmo expoente. Para se multipli‑
car potências que tenham o mesmo expoente, multiplicam‑se as bases e 
conservam‑se os expoentes.
an · bn = (a · b)n
33 · 53 = 153 = 3.375
 2 5a – Divisão de potências de mesmo expoente. Para se dividir potên‑
cias que tenham o mesmo expoente, dividem‑se as bases e conserva‑se 
o expoente. 
 
  
nn
n
a a
=
b b 
 
  
33
3
3
120 120
= = 2 = 8
60 60
1.2.3 Expoentes um e zero
Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo, a1 = a.
121 = 12
(–123,5)1 = –123,5
13 3
4 4
  =  
Essa propriedade, assim como as outras, é apenas uma consequência 
da definição, pois o expoente indica quantas vezes devemos multiplicar a 
nossa base.
Qualquer número (exceto o zero) elevado a zero é igual a um, a0 = 1, 
a ≠ 0. Podemos exemplificar essa propriedade e verificar que ela também é 
apenas uma consequência de outras propriedades.
– 31 –
Potenciação e radiciação
1.2.4 Expoente inteiro negativo
Para se elevar uma potência a, com a ≠ 0 a um expoente negativo, temos:
   
      
n
– n
n
1 1
a = =
a a
Exemplos:
3
–3
3
1 1
5 = =
5 125
−
   
     
2 2 2
2
3 4 4 16
= = =
4 3 3 9
Exemplo de expressão:
      −            
   ⋅      
 
  
2 32 2 1 4 8 1
: – 0,25 = : – – 0,25
5 5 5 25 125 5
4 125 1 5 1 25
= – – 0,25 = – –
25 8 5 2 5 100
23 25 23 1 46 5
= – = – = –
10 100 10 4 20 20
41 1
= ou 2
20 20
1.2.5 Radiciação
Assim como a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é 
a operação inversa da multiplicação, a radiciação é a operação inversa da 
potenciação. O estudo das formas de determinar a raiz, assim como o 
estudo das suas propriedades, complementam o estudo das operações den‑
tro do conjunto dos números reais. De maneira geral, temos a representa‑
ção a seguir para os radicais.
– 32 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Dado um número real “a”, a raiz enésima desse número (n > 0) é indi‑
cada pela expressão:
mn a
n = índice
a = radicando
m = expoente
⇔ ⋅16 = 4 4 4 = 16
Obs. 1: quando o índice é par, existe apenas raiz de números reais positivos.
Exemplos:
4 = 2
∃–4 = (lê‑se não existe)
∃4 –16 =
Obs. 2: quando o índice é ímpar, existe raiz de qualquer número real.
3 –8 = – 2
3 8 = 2
Um número inteiro positivo é quadrado perfeito quando, na sua decom‑
posição em fatores primos, todos esses fatores se distribuem aos pares.
Exemplos:
Verificar se cada número a seguir é quadrado perfeito ou não:
400 400 2 400 = 24 x 52
 200 2 400 é um quadrado perfeito
 100 2
 50 2
 25 5
 5 5
 1
– 33 –
Potenciação e radiciação
250 250 2 250 = 21 x 53
 125 5 250 não é um quadrado perfeito
 25 5
 5 5
 1
1.2.6 Propriedades da radiciação
1) n ma = b, com “a” ∈ R+ , n ∈ N e n > 1;
 
2
2 25 = 5 = 5
2) 
n n: pm m: pa = a , com p ≠ 0 e p divisor comum de m e n;
 16:416 44:44x = x = x
3) ⋅m n m na = a
 3 6a = a
 4 4 45 20 532 = 32 = 32 = 2
4) ⋅ ⋅ ∈ ∈ ∈ >n n n + +a b = a b , com a R , b R , n N e n 1
 ⋅ ⋅3 33 (a b) = a b
5) ∗∈ ∈ ∈ >
n
n
+ +n
a a
= , com a R , b R , n N e n 1
b b
 
4
4
4
2 2
=
3 3
1.2.7 Potenciação com expoente fracionário
Uma potência de expoente fracionário representa uma raiz que pode ser 
escrita na forma:
m
mnna = a , em que a> 0, m e n ∈ N e n ≠ 0:
– 34 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
 2 n é o denominador da fração que passa a ser o índice da raiz;
 2 m é o numerador é o expoente da base a no radicando.
Exemplos:
1. Transforme as potências de expoente fracionário em raízes e simplifique, 
se possível.
a) 
2
23 338 = 8 = 64 = 4
b) 
1
5532 = 32 = 2
c) ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
3 2
4 3 3 4 2 33 24 3 3 2
12 6 4 33 2
8 9 = 8 9 = (2 ) (3 ) =
2 3 = 2 3 = 16 27 = 432
No estudo deste capítulo, pudemos entender, portanto, as propriedades 
da potenciação e aplicá‑las às raízes.
Atividades
1. Resolvendo a expressão 2 , temos o seguinte valor:
a) 8
b) 3 2
c) 8 2
d) 2
2. Simplificando a expressão a seguir, encontramos o seguinte valor:
9 5 6 11
2
14 : 14 14 : 14
14−
⋅
=
a) 149 b) 142
c) 143 d) 14
– 35 –
Potenciação e radiciação
3. Resolva as potências a seguir.
a) (–2)2
b) (–0,1)3
c) 50
d) (2)–5
e) 
42
3
 
  
f ) 
22
3
−
 −  
4. Extraia as raízes por meio do método de fatoração. Se não for possível 
extrair totalmente, simplifique ao máximo.
a) 576
b) 256
c) 288
d) 384
Comentário das Atividades
Para essas atividades, você necessita saber as propriedades da potenciação 
e radiciação. Na primeira atividade, basta multiplicar os índices dos radicais 
e encontrará o valor 8 2 na letra (c).
Na segunda atividade, você usará as propriedades de potenciação e 
encontrará o resultado 14, que é a letra (d).
As respostas da terceira atividade são: (a) 4; (b) –0,001; (c) 1; (d) 1/32; 
(e) 16/81; (f) 9/4.
A última atividade tem como respostas os seguinte valores, respectiva‑
mente: 24; 16; 12 2 e 8 6 .
– 36 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Conclusão
Este capítulo pode ser sintetizado nos conteúdos apresentados pelas pro‑
priedades da potenciação e radiciação:
1) ⋅ ⋅ ⋅
n
n vezes
a = a a a ....a���������
2) 0a = 1
3) 1a = a
4) –n
n
1
a =
a
5) ⋅ n+mn ma a = a
6) ≠n m n–ma ÷ a = a (a 0)
7) ⋅n mn m(a ) = a
8) ⇔ ⋅a = b b b = a , com “a” ∈ R+ , n ∈ N e n > 1
9) 
m
mnna = a , em que a > 0, m e n ∈ N e n ≠ 0
Com o exemplo anterior, podemos dizer que o capítulo cumpriu a fun‑
ção de apresentar a potenciação e suas propriedades. Os conceitos algébricos 
são utilizados desde a Antiguidade. Os filósofos gregos Aristóteles e Euclides 
foram os precursores na utilização de símbolos para indicar números descon‑
hecidos e para expressar a solução de um problema.
1.3
Expressões algébricas
Os conceitos algébricos são utilizados desde a Antiguidade. 
Os filósofos gregos Aristóteles e Euclides foram os precursores na 
utilização de símbolos para indicar números desconhecidos e para 
expressar a solução de um problema.
– 38 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Giovanni (2002, p. 34) cita que, por volta de 1400/1500, Stifel (Ale‑
manha), Cardano e Bombelli (Itália) passaram a usar as letras para montar 
equações nas soluções de problemas. Finalmente, o advogado e matemático 
francês François Viète introduziu o uso sistemático das letras para represen‑
tar valores e fenômenos desconhecidos e os símbolos das operações usados 
até hoje.
O cálculo literal fez com que o avanço na matemática – claro que pas‑
sando por um longo caminho – fosse imenso e evoluindo até os dias de hoje.
Antes de começarmos a trabalhar com as operações entre equações 
literais, temos de relembrar algumas considerações básicas que subsidiem 
nosso estudo.
1.3.1 Expressões algébricas
Podemos afirmar que essas expressões são formadas pelo conjunto de 
letras ou número e letras, que geralmente se transformam em uma expressão 
numérica, quando substituímos as letras por números. Também pode ser cha‑
mada de expressão literal.
No caso da generalização de soluções de problemas ou fórmulas, a álge‑
bra usa as letras do alfabeto para representar valores que medem quantidades 
conhecidas ou desconhecidas.
As primeiras letras do nosso alfabeto são utilizadas, geralmente, para 
representar números conhecidos, e as últimas, os números desconhecidos ou 
incógnitos. É importante lembrar que, quando uma mesma letra assume dife‑
rentes valores, devemos usar sinais particulares que denominamos de índices. 
Dessa maneira, se quisermos indicar o comprimento de várias circunferên‑
cias, temos as notações que podemos observar a seguir:
c, c’, c’’, c’’’, c’’’’ (lemos: c, c linha, c duas linhas, etc.) ou
c, c1, c2, c3, c4 (lemos: c, c índice um, c índice dois, etc.)
As letras são empregadas na generalização de problemas para se estabe‑
lecer uma “regra geral” ou uma “lei de formação”, na resolução de um dado 
problema, independentemente de valores particulares.
– 39 –
Expressões algébricas
1.3.2 Valor numérico de uma expressão algébrica
Quando substituímos as letras de uma expressão algébrica por valores 
determinados e efetuamos as operações indicadas, temos o valor numérico 
dessa expressão.
Exemplos:
1. O valor numérico da expressão 2 343ab – 5 a + a b – ab
5
, para a = 9 e b = –2, 
temos:
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
=
2 343 (9) (–2)– 5 9 (9) (–2)–(9) (–2) =
5
4
–54 – 5 3– 81 (–2)–(9) (–8) =
5
4
–54 –15 – (–162)– 72 =
5
648
–69 – – 72
5
648 633
3– = –
5 5
2. Calcular o valor numérico de (a + b + c)0 – (a – b + c) + 5(a – b – c), sendo: 




a = 3
b = – 2
c = 1
(a + b + c)0 – (a – b + c) + 5(a – b – c) =
[3 + (–2) + 1]0 – [3 – (–2) + 1] + 5[3 – (–2) – 1] =
1 – (3 + 2 + 1) + 5(3 + 2 –1) =
1 – 6 + 20 = 
15
– 40 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
3. Calcular o valor de 
m n a b
p q 3 2
(a – b ) (m +n )
N =
4x y (q – p )
 sendo 













a = 5
b = 2
x = 6
5
y =
2
m = 1
n = 1
p = 0
q = 2 ⋅ ⋅ ⋅  
⋅
⋅ ⋅ ⋅
1 1 5 2
2
0 3 2
(5 – 2 ) (1 +1 )
N =
5
4 6 (2 – 0 )
2
3 2 6 3
N = = =25 200 1004 1 8
4
1.3.3 Monômios
O cálculo literal envolve um conjunto de regras, por meios das quais 
podemos transformar uma expressão literal em expressões literais equivalen‑
tes, que podem ser monômios e polinômios. Um monômio é uma expressão 
algébrica em que não há nem somas nem subtrações, ou seja, alternação dos 
sinais (+) e (–).
As partes que compõem um monômio, também chamado de termo algé‑
brico, são as seguintes: sinal, coeficiente, parte literal e expoente.
1.3.4 Grau de um monômio
Como toda expressão algébrica, os monômios podem ser racionais ou 
irracionais. Como nos exemplos que vemos a seguir:
2 57a b (racional)
6 33a b (irracional)
– 41 –
Expressões algébricas
O grau de um monômio inteiro é encontrado pela soma dos expoentes 
das letras que o formam. Assim, temos, a seguir, respectivamente, monômios 
do primeiro, segundo, terceiro e quarto graus.
2
–1
3 a
y , 5ab, , 7xyzt
4 b
O grau de um monômio fracionário é encontrado pela diferença, positiva 
ou negativa, entre os graus do numerador e o denominador. Nos monômios 
a seguir, temos, respectivamente, monômios do primeiro e do segundo graus.
4 4 3 5
3 10
a 5a b c
,
c d
O grau de um monômio irracional é encontrado pelo quociente, inteiro 
ou fracionário, do grau da quantidade no radicando, dividido pelo índice 
da raiz. Assim, temos, a seguir, respectivamente, monômios do primeiro, 
segundo e do grau 2/3.
5
2 2 3
3
a
, a b , ac
c
Lembramos, ainda, que podemos encontrar o grau de um monômio em 
relação a uma certa letra. Esse grau é o próprio expoente da letra. Como 
exemplo, temos o monômio a seguir, que é do terceiro grau, para a letra “x”, 
e do quinto grau, para a letra “y”.
3 58x y
1.3.5 Polinômios
Podemos definí‑lo como sendo a soma algébrica de monômios, ou seja, 
a expressão algébrica formada de dois ou mais monômios (termos algébricos).
Exemplos:
2 33a +5b ; 5 27x – 5y +2x ; 
by
ax+ – a y +5b
x
– 42 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
1.3.6 Grau de um polinômio
Os polinômios, assim como os monômios, são expressões algébricas e 
podem ser racionais, irracionais, inteiros e fracionários. Os exemplos a seguir 
mostram essa característica.
4 33ab +5m – 7nx (racional e inteiro)
3xy – a b +3bx (irracional)
3byax+ – c +x
c
 (racional fracionário)O último exemplo anterior é fracionário em relação à letra “c”, e inteiro 
em relação às outras variáveis.
O grau de um polinômio é determinado pelo termo de maior expoente, 
como podemos ilustrar no exemplo a seguir:
3
5 2 6 4 6
4
3 ax
ax +b xy – x y +
4 b
O polinômio anterior é do décimo grau, que é determinado pelo terceiro 
termo 4 63– x y
4
 
  
 desse polinômio.
1.3.7 Termos semelhantes
Os termos de um polinômio, os monômios que o formam, são seme‑
lhantes quando contêm os mesmos fatores literais, inclusive seus expoentes, 
ou seja, os termos semelhantes só podem se diferenciar em seus coeficientes. 
Os termos a seguir são exemplos de termos semelhantes.
3 5
3 5 3 5 3 55 a bx 7a bx ; – 6a bx ; a bx ;
3 4
– 43 –
Expressões algébricas
1.3.8 Redução de termos semelhantes
Dois ou mais monômios (termos) semelhantes podem ser substituídos 
por um único monômio equivalente, que conservará a mesma parte literal e 
coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes. Isso pode ser verificado 
nos exemplos a seguir:
a) 5x + 4x – 3x + x – 11x + 8x = x(5 + 4 – 3 + 1 – 11 + 8 ) = + 4x
b) axy – bxy + xy = xy(a – b + 1)
c) 2x2y + 5xy3 – xy – 7x2y – 3xy3 + 8xy = x2y(2 – 7) + xy3(5 – 3) + xy (– 1 + 8)= 
= – 5x2y + 2xy3 + 7xy
1.3.9 Operações algébricas
1.3.9.1 Adição
A finalidade da adição de duas ou mais expressões algébricas é a operação 
que determina uma outra expressão, a mais simples possível, na qual o valor 
numérico, para qualquer valor atribuído às letras, seja sempre igual à soma 
algébrica dos valores numéricos das expressões consideradas, para o mesmo 
sistema de valores das letras.
Exemplos:
a) 4x – 3xy + 5y2 + 3x – 7xy = 7x – 10xy + 5y2
b) –2a + 3b – 5c – 8a + 7c = – 10a + 3b +2c
1.3.9.2 Subtração
Para subtrair uma expressão algébrica de uma outra expressão algébrica, 
temos de determinar uma terceira expressão, na qual o valor numérico será 
igual à diferença algébrica dos valores numéricos das expressões consideradas, 
para qualquer valor que seja atribuído às letras.
Exemplos:
a) (4x – 3xy + 5y2) – (3x – 7xy) = 4x – 3xy + 5y2 – 3x + 7xy = 
– 44 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
 = x + 4xy + 5y2
b) (5a2b + 3ab2) – (3ab2 – 7a2b – 5c) = 5a2b + 3ab2 – 3ab2 + 7a2b + 5c = 
 = 12a2b + 5c
1.3.9.3 Multiplicação
A finalidade da multiplicação de duas ou mais expressões algébricas 
é determinar uma outra expressão, cujo valor numérico seja igual ao pro‑
duto dos valores numéricos das expressões consideradas para qualquer valor 
numérico atribuído às letras.
O resultado é obtido multiplicando‑se os coeficientes numéricos dos 
monômios dados, somando os expoentes das letras comuns e escrevendo 
como fatores as demais letras com os seus respectivos expoentes. Vamos apli‑
car essa definição nos exemplos a seguir:
a) (3xy2) · (2x3y5z2) · (–4yz6t3) = [3 · 2 · (–4)] x1 + 3 y2 + 5 + 1 z2 + 6 t3 =
 = –24x4y8z8t3
b) (–2xy2) · (–5xyz3) · (–3x2y4zn) = –30x4y7zn + 3
1.3.9.4 Multiplicação de um monômio por um polinômio
Essa multiplicação segue a mesma regra da multiplicação de uma 
soma algébrica por um número relativo, como segue no exemplo a 
seguir:
a) (4x2y) · (3xy5 – 6x3y6 + 2xy3). Se fizermos a multiplicação de cada 
termo do polinômio, em separado, pelo monômio, temos:
(4x2y) · (3xy5) = 12x3y6
(4x2y) · (–6x3y6) = –24x5y7
(4x2y) · (2xy3) = 8x3y4
Logo, o resultado desse produto é o polinômio 12x3y6 – 24x5y7 + 8x3y4.
– 45 –
Expressões algébricas
1.3.9.5 Multiplicação de um polinômio por outro polinômio
Esse produto é encontrado pela multiplicação de um dos polinômios 
por cada termo do outro polinômio e somando os resultados obtidos.
a) (3a – 2b) · (1 + 5c) = 3a + 15ac – 2b – 10bc
b) (3x – 2) · (4 + 5x) = 12x + 15x2 – 8 – 10x =
 = 15x2 + 2x – 8
Obs.: ordenando os dois polinômios, torna‑se conveniente posicionar 
o cálculo como na multiplicação de números inteiros, colocando os produ‑
tos parciais de maneira que os termos semelhantes fiquem em uma mesma 
coluna. Isso facilita a redução dos termos semelhantes.
 (3x3 + 5xy2 – 2y3 + x2y) · (4y2 – x2 + xy)
 3x3 + x2y + 5xy2 – 2y3
 – x2 + xy + 4y2
 
 – 3x5 – x4y – 5x3y2 + 2x2y3
 3x4y + x3y2 + 5x2y3 – 2xy4
 12x3y2 + 4x2y3 + 20xy4 – 8y5
 
 – 3x5 + 2x4y + 8x3y2 + 11x2y3 + 18xy4 – 8y5
1.3.9.6 Divisão
A divisão de monômios se dá pela divisão do coeficiente do dividendo 
pelo coeficiente do divisor. Depois, escrevem‑se as letras comuns aos dois 
monômios com expoente igual à diferença do que as mesmas têm no divi‑
dendo e divisor, e repetem‑se as letras que pertencem somente ao dividendo. 
Os exemplos a seguir irão ilustrar essa definição.
a) −
4
4 2 2
2
x
= x = x
x
b) 
5 3 2
5–2 3–3 2 3 0 2 3 2
2 3
5x y z 5 1 1
= – x y z = – x y z = – x z
–10x y 10 2 2
– 46 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
1.3.9.7 Divisão de um polinômio por um monômio
Devemos dividir cada termo do polinômio pelo monômio e somar os 
quocientes parciais. Podemos verificar nos exemplos a seguir:
a) 
3 4 6 2 4 5
3 4 6 6x y 9xz 3x y 9z(6x y –9xz )÷(2xz) = – = –
2xz 2xz z 2
b) 
3 2 2 2 2
3 2 2 2
2
(12a b+15a b –6a b)÷(3a b)
12a b+15a b –6a b
= 4a+5b–2
3a b
1.3.9.8 Divisão de um polinômio por um polinômio
Devemos seguir os passos mostrados a seguir para generalizarmos a regra 
dessa divisão. Dado a divisão do polinômio 3x4 + 2x3 – 7x2 – 3x + 7 pelo 
polinômio x2 + 3x – 1, temos os passos que você verá a seguir.
1o) Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divi‑
sor (3x4/x2) e obtemos o primeiro termo do quociente.
3x4 + 2x3 – 7x2 – 3x + 7 x2 + 3x – 1
3x2
2o) Multiplicamos o termo encontrado (3x2) pelo divisor, e o produto 
subtraí mos do dividendo.
3x4 + 2x3 – 7x2 – 3x + 7 x2 + 3x – 1
– 3x4 – 9x3 + 3x2 3x2
– 7x3 – 4x2 – 3x + 7
3o) Dividimos o primeiro termo do resto pelo primeiro do divisor e obtemos 
o segundo termo do quociente. Sobre esse termo encontrado, operamos 
como no primeiro termo encontrado.
– 47 –
Expressões algébricas
3x4 + 2x3 – 7x2 – 3x + 7 x2 + 3x – 1
– 3x4 – 9x3 + 3x2 3x2 – 7x
– 7x3 – 4x2 – 3x + 7
7x3 + 21x2 – 7x
17x2 – 10x + 7
4o) De maneira análoga, procedemos a seguir, até chegarmos a um resto de 
grau menor do que o grau do divisor, que será o resto dessa divisão.
3x4 + 2x3 – 7x2 – 3x + 7 x2 + 3x – 1
– 3x4 – 9x3 + 3x2 3x2 – 7x + 17 (quociente)
– 7x3 – 4x2 – 3x + 7
7x3 + 21x2 – 7x
17x2 – 10x + 7
– 17x2 – 51x + 17
– 61x + 24 (resto)
1.3.10 Fatoração
A fatoração pode ser considerada como a tabuada da álgebra. Ela é de 
suma importância na continuidade do estudo da matemática e será uma fer‑
ramenta útil nas próximas disciplinas deste curso.
Como a fatoração não pode ser definida por uma regra geral, iremos tra‑
tar, nesta aula, de alguns casos, mas partindo do pressuposto de que devemos 
decompor um polinômio em um produto de fatores que o compõem, ou seja, 
transformar expressões algébricas em produtos de duas ou mais expressões.
1.3.11 Fator comum
Nesse caso, os termos apresentam fatores comuns, ou seja, mesma parte 
literal. Por isso, podemos colocar o fator comum em evidência, como mos‑
tram os exemplos a seguir.
– 48 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Exemplos:
a) ax + ay = a · (x + y)
b) 3x2 + xy = x ∙ (3x + y)
c) 11m6n3 – 22m4n2 + 33mn = 11mn (m5n2 – 2m3n + 3)
1.3.12 Fatoração por agrupamento
Esse caso ocorre quando não há fator comum a todos os termos do poli‑
nômio. Então devemos aplicar duas vezes o caso do fator comum no polinô‑
mio. Como, por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator “a”, os dois últimos 
termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a · (x + y) + b · (x + y)
Esse novo polinômio possui o termo (x + y) em comum. Assim, colo‑
cando‑o em evidência, temos a seguinte forma fatorada:
(x + y) · (a + b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x + y) · (a + b)
Podemos fazer outro exemplo:
1 – ym + x – ymx = 1 – ym + x · (1 – ym) = (1 – ym) · (1 + x)
1.3.13 Diferença de dois quadrados
Nesse caso, temos uma igualdadeem que a diferença dos quadrados de 
dois termos é igual ao produto da soma pela diferença desses dois termos.
Ilustraremos esse fato nos exemplos a seguir.
a) x2 – 1 = (x – 1) · (x + 1)
b) 25y2 – 16y4 = (5y – 4y2) · (5y + 4y2)
c) a8 – a4 = (a4 – a2) · (a4 + a2) = (a4 + a2) · (a2 + a) · (a2 – a)
– 49 –
Expressões algébricas
d)    +      
29 1 3 1 3 1x – = x – . x
4 16 2 4 2 4
1.3.14 Trinômio quadrado perfeito
Neste caso, a identidade será válida quando, em um trinômio, ordenado 
segundo as potências decrescentes de uma letra, o primeiro e o último termo 
tenham sinal positivo, e que o segundo seja mais (+) ou menos (–) o dobro do 
produto das raízes quadradas dos outros dois. Vamos acompanhar, a seguir, 
alguns exemplos, para que possamos ilustrar essa definição.
a) (a + b)2 = a2 + 2ab +b2
b) (a – b)2 = a2 – 2ab +b2
1.3.15 Soma e diferença de dois cubos
Essa identidade é igual à raiz cúbica do primeiro, mais (ou menos) a raiz 
cúbica do segundo, multiplicado pelo quadrado da raiz cúbica do primeiro, 
mais (ou menos) o produto da raiz cúbica do segundo, mais o quadrado da 
raiz cúbica do segundo. A seguir, vamos ver alguns exemplos desse caso.
a) (a + b) · (a2 – ab + b2) = a3 + b3
b) (a – b) · (a2 + ab + b2) = a3 – b3
c) (8x3 – 125y6) = (2x – 5y2) · (4x2 + 10xy2 + 25y4)
1.3.16 Cubo da soma e da diferença de dois termos
Esse caso apresenta uma identidade em que o cubo da soma ou da dife‑
rença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo mais (ou menos )
três vezes o primeiro termo ao quadrado, vezes o segundo, mais três vezes o 
primeiro termo, vezes o segundo ao quadrado, mais (ou menos) o cubo do 
segundo. Assim temos os exemplos a seguir.
a) (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
b) a3 + 6a2 + 12a +8 = (a + 2)3
c) 8x3 – 12x2 + 6x – 1 = (2x – 1)3
– 50 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
O cálculo algébrico foi, portanto, uma preocupação humana desde a 
Antiguidade. Isso é importante considerar, já que a evolução desses estudos 
foi sofrendo alterações, para que melhor pudéssemos entender as operações 
com o cálculo algébrico.
Atividades
1. Resolvendo as operações (2x + 1) · (–6x2 – 4x + 2), teremos o seguinte 
polinômio:
 a) –12x3 – 14x2 + 2
 b) –12x3
 c) 12x3 – 14x2
 d) 12x3 + 14x2
2. Determine o polinômio que representa a área da figura abaixo, cujas 
medidas estão contidas nela.
 a) 3x – y + 3x + 2y
 b) 9x2 + 3xy – 2y2 
 c) 6x + y
 d) x2 + 6xy – 2y2
3. Determinando algebricamente o volume do paralelepípedo a seguir, 
cujas medidas de suas dimensões estão expressas em cada um deles, 
encontramos, respectivamente, para a figura A e para a figura B, os 
seguintes valores:
 a) 6a3 + 2a2 ; x3 + 5x2 + 6x
 b) x3 + 5x2 + 6x ; 6a3 + 2a2
 c) 6a3 + 2a ; x3 + 5x2
 d) a3 + 2a2 ; 8x3 + 6x
3x + 2y
3x – y
– 51 –
Expressões algébricas
x + 33a + 1
A B
x + 22a
xa
4. Resolva as seguintes operações:
 a) 3 2 2 3(40x y 5x y ) : ( 10xy)− −
 b) 4 2 2 2 3(12a b 28a b 4ab ) : (4ab)− +
5. Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
 a) (xy + 3z) · (xy – 3z)
 b) (2x – 5)²
 c) (2a – b)³
6. Fatore as expressões a seguir.
 a) x³y² + x²y² + xy²
 b)  − 
 
22 yx
9 16
 c) x² + 4x + 4
 d) x³y – xy³
Comentário das Atividades
Essas atividades visam a consolidar conceitos do cálculo algébrico. Isso auxi‑
liará você na compreensão dos aspectos matemáticos fundamentais. Realize‑as, 
retorne aos exemplos e, caso tenha dúvidas, contate os professores da equipe.
Na primeira atividade, temos como resposta a letra (a); na segunda, 
temos a letra (b); e, na terceira, a letra (a).
Na quarta atividade, as respostas são: (a) – 4x2y + xy2/2; (b) 3a3b – 7ab + b2. 
Na quinta atividade, as respostas são: (a) (x2y2 – 9z2); (b) 4x2 – 20x + 25; 
(c) 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3.
– 52 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Na última atividade, temos as seguintes respostas: (a) xy(x2y + xy + y); 
(b) ;3 4 3 4
y yx x  − ⋅ +     
(c) (x + 2)2; (d) xy(x + y)(x ‑ y).
1ª versão: 
Mário Visintainer
2ª versão:
Moisés de Souza Arantes Neto
2
Razão e proporção
Todos nós, querendo ou não, vivemos fazendo cálculos a 
todo o momento. Ao fazermos compras, envolvemo‑nos com pre‑
ços: quanto podemos gastar; ou, ao verificar o preço de uma peça, 
ficamos calculando o preço do total que gostaríamos de comprar; 
quando professores analisam as notas de alunos, fazem pequenos 
cálculos e a projeção do que acontecerá se as notas permanecerem 
assim, ou se será necessário melhorar.
Quando percebemos que os números que representam deter‑
minadas grandezas são proporcionais, podemos calcular o possível 
resultado com grandezas diferentes.
– 54 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
2.1 Razão
Dados a e b, pertencentes ao conjunto dos números inteiros, e b, dife‑
rente de zero, a razão entre a e b é a
b
.
A razão entre 3 e 5 é = 
3
5
.
A razão entre o número de alunas e o número de alunos do Curso de 
Matemática é de 30 alunos para 20 alunas. Logo, a razão é 30 3=
20 2
.
2.2 Grandezas proporcionais
 2 Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas variáveis são 
chamadas de grandezas diretamente proporcionais, quando a razão 
entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da 
segunda grandeza é sempre a mesma.
 2 Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas variáveis são 
chamadas de grandezas inversamente proporcionais, quando o pro‑
duto de cada valor da primeira grandeza pelo valor correspondente 
da segunda grandeza é sempre o mesmo.
2.3 Regra de três simples
A regra de três simples é uma maneira de descobrir um valor, a partir 
de outros três, divididos em pares relacionados, cujos valores têm mesma 
grandeza e unidade. Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios.
Veja alguns exemplos de resolução de problemas:
a) Devido à promoção, o seu salário de R$ 800,00 teve um aumento 
de 25%. Qual será o seu novo salário?
 Salário Aumento
 800,00 100%
 x 125%
– 55 –
Razão e proporção
Quando aumenta o salário, aumenta também a porcentagem em 
relação ao total. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.
100 · x = 800 · 125
100x = 100.000
100x 100000
100 100
=
x = 1.000
O seu salário, com o aumento, é de R$ 1.000,00.
b) Se cinco torneiras enchem um tanque em 450 minutos, nove 
torneiras encherão esse tanque em quantos minutos?
 Torneiras Tempo
 5 450 min
 9 x
Nesse caso, as grandezas são inversamente proporcionais, inverte‑
mos uma das duas grandezas 5 x=
9 4509 · x = 5 · 450
9x = 2.250
9x 2250
9 9
=
x = 250
As cinco torneiras encherão o tanque em 250 minutos.
c) Um automóvel faz um percurso em 8h com uma velocidade média 
de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 80 km/h, qual seria o tempo 
para fazer o mesmo percurso?
 Tempo Velocidade
 8h 60 km/h
 x 80 km/h
– 56 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Quanto maior a velocidade, menor será o tempo gasto para realizar 
o percurso. Logo as grandezas são inversamente proporcionais, 
invertemos uma das duas grandezas 8 80=
x 60
:
80 · x = 8 · 60
80x = 480
80x 480
80 80
=
x = 6
O tempo para realizar o mesmo percurso será de 6 horas.
2.4 Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada, quando se quer descobrir um único 
valor a partir de três ou mais valores já conhecidos, e tendo em conta que 
os valores referentes a uma mesma classe de objeto devem estar na mesma 
unidade de medida (essa regra continua a se chamar regra de três porque 
comparamos as grandezas aos pares).
Alguns exemplos de resolução de problemas serão mostrados a você.
a) O dono de uma fábrica de automóveis sabe que precisa de 48 mecâ‑
nicos para fazer dez automóveis em cinco dias. Quantos mecânicos 
seriam necessários para fazer 20 automóveis em 12 dias?
	 Mecânicos	 Carros	 Dias	de	trabalho
 48 10 5
 x 20 12
Inicialmente, foi determinado o sentido da primeira seta ( ) 
quando se aumenta o número de mecânicos. A seguir, comparamos 
essa grandeza em relação às outras duas variáveis.
Aumentando o númerode mecânicos e permanecendo o número 
de dias trabalhado, aumenta o número de carros fabricados: o sen‑
tido da seta permanece ( ).
– 57 –
Razão e proporção
Aumentando o número de mecânicos e permanecendo o número 
de carro trabalhados, diminui o número de dias trabalhados: o sen‑
tido da seta inverte ( ).
O produto da grandeza situada na ponta da seta x pelas grandezas 
situa das no final das outras setas (x · 10 · 12) é igual ao produto das 
três outras grandezas restantes (48 · 20 · 5):
x · 10 · 12 = 48 · 20 · 5
120x = 4800
120x 4800
120 120
=
x = 40 mecânicos
b) Doze operários, em 90 dias, trabalhando oito horas por dia, 
fazem 72 metros de tecido. Quantos dias de trabalho de dez 
horas serão necessários para que 18 operários façam 36 metros do 
mesmo tecido?
n. operários n. de dias horas p/dia metros/tecido
 12 90 8 72
 18 x 10 36
 2 As comparações devem ser sempre feitas em relação ao par no 
qual se encontra a variável x.
 2 Aumentando o número de dias trabalhados ( ) e mantendo o 
número das horas diárias trabalhadas e o comprimento da peça 
feita, diminui o número de operários para realizar o serviço ( ).
 2 Aumentando o número de dias trabalhados ( ) e mantendo o 
número de operários e o comprimento da peça feita, diminui o 
número de horas diárias para realizar o serviço ( ).
 2 Aumentando o número de dias trabalhados ( ) e mantendo o 
número de operários e o número de horas diárias trabalhadas, 
aumenta o comprimento da peça confeccionada ( ).
– 58 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
O produto de x que está no fim da seta pelas outras três grandezas 
que estão nas pontas ( x · 18 · 10 · 72) é igual ao produto das quatro 
grandezas restantes (90 · 12 · 8 · 36):
x · 18 · 10 · 72 = 90 · 12 · 8 · 36
12.960x = 311.040
12960x 311040
=
12960 12960
x = 24
Serão necessários 24 dias de trabalho.
2.5 Porcentagem
O símbolo (%) aparece com bastante freqüência no nosso dia a dia. Por 
isso, devemos entender com bastante segurança o que ele realmente representa. 
Sempre que nos deparamos com situações que envolvam o cálculo de porcen‑
tagens, devemos ter noção dos seus princípios básicos, para sair dessas situações 
com a solução correta e realmente entender o significado de cada operação.
Os exemplos a seguir ilustram situações do cotidiano que aparecem em 
jornais, revistas, na TV, em lojas, em embalagens de produtos, entre outros.
Exemplos:
a) A gasolina subiu 12%.
b) Houve um reajuste de 24% no salário.
c) Desconto de 40% na compra a vista.
d) 22% de álcool é misturado à gasolina aqui no Brasil.
Todos esses exemplos ilustram bem como a porcentagem aparece nas 
várias situações sociais. Vamos agora ver como a Matemática está presente nos 
problemas que envolvem porcentagem.
O estudo da porcentagem é um modo de comparar números, usando 
uma proporção direta. Só que, nesse caso, temos uma das razões da propor‑
ção, uma fração cujo denominador vale 100.
– 59 –
Razão e proporção
Todos os termos mencionados anteriormente são bastante conhecidos 
de todos nós. Logo, vamos ver alguns exemplos numéricos para darmos 
uma noção de grandeza. Vamos supor que eu desejo saber quanto é 20% de 
R$ 500,00. O meu trabalho será o de descobrir um valor que represente, em 
500, o mesmo que 20 representa em 100. Essa operação pode ser represen‑
tada na proporção a seguir (lembra da regra de três?).
20 x
=
100 500
Se resolvermos essa proporção, como vimos na seção anterior, vamos 
encontrar o valor de R$ 100,00.
Quando resolvemos situações como essa, percebemos que será necessário 
utilizar sempre proporções diretas, o que deixa claro que qualquer problema 
dessa natureza pode ser resolvido com uma regra de três simples.
Podemos tentar definir porcentagem como uma fração cujo denomina‑
dor é 100. Assim, vamos fazer algumas aplicações diretas e também resolução 
de problemas, para consolidarmos esse conteúd o. Vejamos.
a) 15% de 300 = ⋅15 300 = 45
100
b) 35% de 700 = ⋅35 700 = 245
100
Exemplos de problemas
1. O salário de um aposentado, no mês de janeiro, era de R$ 2.500,00. 
No mês de fevereiro, sofreu um reajuste de 23%; então o aposen‑
tado passou a receber quanto?
Precisamos saber o quanto vale 23% de R$ 2.500,00.
⋅23 2500 = 575
100
Somando esse resultado ao salário inicial, temos o novo valor da 
aposentadoria, que é de: R$ 575,00 + R$ 2.500,00 = R$ 3.075,00
2. Misturam‑se 30 litros de detergente com 50 litros de água. Qual a 
porcentagem de detergente e de água que essa mistura contém?
– 60 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
(30 L + 50 L) 80 L da mistura contém 30 L de detergente.
 100 L da mistura contém x de detergente.
 
⋅⇔
⋅⇔ =
80 30 30 100
= x = = 37,5% de detergente.
100 x 80
80 50 50 100
= x = 62,5% de água.
100 x 80
Poderíamos, ainda, propor outras soluções, como, por exemplo, 
subtrair, do total 100%, o valor encontrado no primeiro cálculo, 
e teríamos encontrado o valor do segundo cálculo, como vamos 
observar na representação a seguir:
100% – 37,5% = 62,5%
Portanto, o reconhecimento de razões e grandezas, a solução de 
situações‑problema envolvendo razão e proporção (a partir da regra de 
três) e o entendimento da aplicação dos elementos básicos de porcentagem 
constituíram o foco deste capítulo, cuja importância deve ser considerada 
para a utilização no cotidiano.
Conclusão
Vimos, neste capítulo, que razão é o quociente entre duas grandezas 
a/b. Duas grandezas são proporcionais quando a variação de uma implica 
uma variação correspondente na outra. Em uma proporção direta, é possí‑
vel aplicar a regra de três simples, que diz: o produto dos extremos é igual 
ao produto dos meios. Tratamos, ainda, de um assunto muito utilizado 
em nosso cotidiano, a porcentagem, que irá nos auxiliar na resolução 
de problemas extremamente simples até os mais complexos, no decorrer 
do nosso curso. Porcentagem ou percentagem é a fração de um número 
inteiro, expressa em centésimos, e representa‑se com o símbolo % (que se 
lê “por cento”).
– 61 –
Razão e proporção
Atividades
1. Na construção de um muro de 12m2, foram utilizados 2160 tijolos. 
Quantos tijolos serão necessários para construir, nas mesmas condições, 
30m2 de muro?
a) 4600 c) 6300
b) 5400 d) 6800
2. Doze operários, em 50 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 1000 m2 
de vidro plano. Quantos dias de trabalho de 10 horas serão necessários 
para que 15 operários façam 2500 m2 do mesmo vidro?
a) 40 c) 80
b) 60 d) 100
3. Cinco homens podem arar um campo de 20 ha em 10 dias, trabalhando 
10 horas por dia. Quantos dias de trabalho 15 homens terão de trabalhar 
para arar um campo de 40 ha, trabalhando 8 horas por dia?
a) 8 dias c) 5 dias
b) Menos de 8 dias d) Mais de 8 dias
4. Uma bola de futebol custa R$ 40,00. Pagando à vista, ela tem um 
desconto de 20%. Qual o valor em reais do desconto?
5. A biblioteca de uma escola tem 600 livros. Quantos são os livros de 
Matemática, se eles representam 25% do total?
6. A tabela a seguir se refere à distribuição dos alunos de uma universidade, 
separados por áreas de conhecimento.
EXATAS HUMANAS SAÚDE
40% 15% 45%
Obs.: total de 3.000 alunos.
a) Qual o número de alunos que não são da área de exatas?
– 62 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
b) Qual o número de alunos da área de saúde?
c) Qual o número de alunos da área de humanas?
d) Qual o número de alunos que não são da área de humanas?
Comentário das Atividades
Para resolver essas atividades, você deve dominar as noções de regra de 
três simples e, para isso, vamos nos lembrar do seguinte: nesses problemas, 
conhecemos todos os valores das grandezas e desconhecemos apenas um, 
basta relacionar as grandezas que são direta e inversamente proporcionais. Na 
primeira atividade, a resposta é a letra (b); na segunda, a resposta é a letra (c); 
e, na terceira, letra (d).
No desenvolvimento das três últimas atividades, você encontrará pro‑
blemas que envolvem tanto o cálculo de porcentagens que representam 
certa quantidade, quanto quantidades que representamuma porcentagem. 
A quarta atividade tem como resposta um desconto de R$ 8,00; na quinta 
atividade, a resposta é 150 livros de Matemática; e, na última atividade, as 
respostas são: (a) 1800; (b) 1350; (c) 450; (d) 2550.
1ª versão: 
Mário Visintainer
2ª versão:
Moisés de Souza Arantes Neto
3
Introdução ao estudo 
das funções 
Em Matemática, o uso do conceito de funções se torna uma 
ferramenta poderosa para compreendermos melhor as implicações 
dos assuntos aqui abordados em nosso dia‑a‑dia.
As aplicabilidades desse conceito, em instituições empresa‑
riais, são muito largas e importantes para a área gerencial e contábil. 
Alguns exemplos de aplicações são: despesa com energia, preço de 
um produto, preço de mercado, ponto de nivelamento, custos de 
um produto no mercado, entre outros.
Depois de uma breve introdução sobre a importância do 
estudo deste capítulo, vamos tratar de alguns conceitos básicos no 
estudo de funções.
– 64 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
3.1 Pares ordenados
Antes de tentarmos definir o que é uma função, precisamos conhecer 
alguns elementos importantes que fazem parte do conhecimento básico 
necessário para à compreensão do que é uma função. O primeiro elemento 
que vamos conhecer é um par ordenado. Um par ordenado pode ser definido 
como dois números que seguem uma determinada ordem, como observare‑
mos no exemplo a seguir:
 
  
1
; – 4
3
2º elemento
1º elemento
É importante estabelecer que o primeiro elemento do par pertence ao 
eixo x, e o segundo elemento pertence ao eixo y. Essa colocação será útil para 
a representação de qualquer par ordenado em um plano cartesiano (que será 
definido ainda neste capítulo).
3.2 Representação gráfica de um par ordenado
Como dissemos na seção anterior, um par ordenado pode ser representado 
por um ponto em um plano cartesiano, que estudaremos a partir de agora.
Definimos os pares ordenados como coordenadas cartesianas.
Exemplos:
A (2; 4) onde 2 e 4 são as coordenadas do ponto A.
Denominamos de abscissa o 1º elemento do par ordenado; e ordenada, 
o 2º elemento desse par.
Assim:
(2; 4)
 2º elemento 
 coordenadas
 1º elemento
– 65 –
Introdução ao estudo das funções 
1º elemento: eixo das abscissas;
2º elemento: eixo das ordenadas.
3.3 Plano cartesiano
A representação do par ordenado em um sistema de coordenadas ocorre 
da seguinte forma: utilizamos duas retas, x e y, perpendiculares entre si, onde 
o eixo das abscissas (eixo x) é uma reta horizontal, e o eixo das ordenadas (eixo 
y) é uma reta vertical.
A figura a seguir mostra o plano que acabamos de definir.
y
x
origem ou ponto (0; 0)
Agora que já definimos o nosso sistema de coordenadas (plano carte‑
siano), podemos localizar um ponto nesse sistema.
A localização do ponto é realizada da seguinte maneira: devemos loca‑
lizar o primeiro elemento do par ordenado no eixo x, depois proceder da 
mesma maneira para localizar o segundo elemento do par no eixo y. Depois, 
basta traçarmos retas paralelas ao eixo x e ao eixo y que passam pelos dois 
elementos do par e, no encontro dessas retas, marcamos o ponto. Para iden‑
– 66 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
tificar melhor essa definição, vamos verificar a representação do ponto A 
(–1; 3) no plano:
x–1
y
3A
3.4 Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, não‑vazios, denominamos produtos carte‑
siano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x; y), em que:  
A x B = {(x; y) x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4} e com o auxílio do dia‑
grama de flechas, formaremos o conjunto de todos os pares ordenados, em 
que o 1º elemento pertença ao conjunto A, e o 2º pertença ao conjunto B.
1 •
2 •
3 •
• 3
• 4
BA
– 67 –
Introdução ao estudo das funções 
Assim, obtemos o conjunto: {(1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4)}. 
Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B e é indicado por:
A x B = {(1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4)}.
3.5 Noções de funções
Dados dois conjuntos A e B, não‑vazios, com a relação A x B, temos que 
essa relação será função, se e somente se todo elemento do conjunto A se rela‑
cionar com um único elemento do conjunto B. Com esse primeiro cuidado 
de definir uma função, vamos agora definir, de maneira geral, o domínio de 
uma função. Seja D um subconjunto não‑vazio dos números reais, então 
definir em D uma função f é explicar uma lei de formação em que a cada 
elemento x ∈ D faça corresponder um único número real y.
x y
A = D B = CD
lm
O conjunto D é chamado domínio da função f (conjunto de partida). 
O conjunto CD (contra‑domínio) é o conjunto de chegada dos elementos, 
independente daqueles que estão em correspondência com algum elemento 
do domínio, e Im é o conjunto imagem, ou seja, o conjunto formado pelos 
elementos que fazem correspondência com os elementos do domínio.
a) Domínio de funções polinômicas simples
Ex.: f(x) = 3x – 4 ⇒ D = R
 f(x) = 3x2 – 9 ⇒ D = R
– 68 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
 f(x) = x3 – 4x + 6 ⇒ D = R
b) Domínio da função quociente (denominador deve ser diferente 
de zero)
{ }
{ }
⇒ −
⇒ −
1
f (x) = D = R 0
x
3
f (x) = D = R 4
x – 4
c) Domínio da função raiz de índice par (o radicando deve ser sem‑
pre maior ou igual a “zero”)
{ }∈ ≥D = x R x –3
Existem outros modelos de funções em que o domínio é determinado 
por diferentes maneiras e procedimentos. Porém, aqui, o mais interessante 
são as funções elementares.
Dessa forma, é importante estarmos atentos para o uso e a aplica‑
bilidade das funções no nosso cotidiano, seja nas situações informais ou 
empresariais.
Atividades
1. Qual dos gráficos a seguir não representa uma função f(x)?
 a) 
y
x0
 c) 
y
x0
– 69 –
Introdução ao estudo das funções 
 b) 
y
x0
 d) 
y
x0
2. Analise a função dada e responda qual o seu domínio.
2f(x)=
2x+10
 a) D = {x ∈ R x > – 5}
 b) D = {x ∈ R x ≥ – 5}
 c) D = {x ∈ R x < – 5}
 d) D = {x ∈ R x ≤ – 5}
3. Determine o domínio das seguintes funções:
5
a) f(x)=3x-20
2b) f(x)=
-5x-15
c) f(x)= -2x-20
d) f(x)= 4x-20
2e) f(x)=
2x+10
4. Encontre o domínio da função 
5
3xb) f(x) =
3x-15
– 70 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Comentário das Atividades
Exercite essas atividades para conseguirmos passar para as próximas 
aulas, que dependem diretamente desta aula. Na primeira atividade, o gráfico 
que não representa uma função está na letra (d), pois existe um elemento do 
domínio com mais de uma imagem.
Na segunda atividade, a resposta é a letra (a). A terceira traz a seguinte 
seqüência de respostas: (a) D = R; (b) D = {x ∈ R x ≠ –3}; (c) D = R; 
(d) D = {x ∈ R x ≥ 5}; (e) D = {x ∈ R x > –5}. Na última atividade, a res‑
posta é o conjunto D = {x ∈ R x ≠ 5}.
4
Estudo das funções: 
injetora, sobrejetora, 
bijetora e composta
Constantemente, fazemos relações, estimamos a quan ­
tidade de carne necessária para fazer uma refeição em relação ao 
número de convidados, a bebida que será consumida, a distância 
aproximada entre dois objetos e assim por diante. Neste capítulo, 
revisaremos inicialmente as noções de relações; entre as relações, 
reconheceremos quais delas são funções; entre as funções, apren­
deremos a determinar qual é o conjunto imagem e o conjunto 
contradomínio. A seguir, estudaremos três tipos de funções que 
são a função injetora, a sobrejetora e, finalmente, a bijetora que 
atende as condições de definição das duas anteriores.
Após termos estudado os conceitos iniciais de funções, apro­
fundaremos o conhecimento das funções que se inter­relacionam, 
chamadas de funções compostas.
– 72 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
4.1 Função injetora ou injetiva
Uma função f: A ⇒ B é injetora, se, dados dois elementos distintos 
quaisquer de A, esses correspondem a duas imagens distintas de B.
f: A ⇒ B é injetora ⇒ (∀x1, x1 ∈ A e ∀x2, x2 ∈ A) e (x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
Exemplo: 
A função f: A ⇒ B, sendo A= {–2, 0, 1, 3} e B= { –7, –1, 2, 8} definida 
por F(x) = 3x –1 é injetora porque dois elementos distintos do conjunto A 
têm como imagem dois elementos distintos de B.
A
f
B
–2
0
1
3
–7
–1
2
8
9
É possível perceber que não existem duas ou mais flechas convergindo 
para o mesmo elemento em B.
4.2 Função sobrejetora ou sobrejetiva
Uma função f: A ⇒ B é sobrejetora quando todo elemento do conjunto 
B é imagem de pelo menos um elemento do conjunto A.
f: A ⇒ B é sobrejetora ⇔ ∀y, y ∈ B, ∃x, x ∈ A | f(x) = y.
A função f: A ⇒ B é sobrejetora se e somente se Im(f ) = B.
Exemplo: 
A função f: A ⇒ B, sendo A = {–2, –1, 0, 2} e B= {0, 2, 8}, definida por 
f(x) = 2x2, é sobrejetora porque a todo elemento do conjunto B corresponde 
pelo menos um elemento do conjunto A.
– 73 –
Estudo das funções: injetora, sobrejetora, bijetora e composta
A
f
B
–2
–1
0
2
8
2
0
4.3 Função bijetora ou bijetiva
Uma função f: A ⇒ B é bijetora se ela for, simultaneamente, injetora e 
sobrejetora.
A função f: A ⇒ B é bijetora ⇔ f é injetora e sobrejetora.
Exemplo:
A função f de A função f: A ⇒ B, sendo
A = {0, 2, 3, 4, 5} e B = {–3, –1, 0, 1, 2}, definida por f(x) = x – 3, é bijetora.
A
f
B
0
2
3
4
5
–3
–1
0
1
2
A função é sobrejetora e injetora simultaneamente. Para todo y em B, 
existe um e somente um único elemento de x ∈ A tal que y = x – 3. É possível 
– 74 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
perceber, que para cada elemento do conjunto B, converge uma e somente uma 
flecha e todos os elementos de B possuem correspondência no conjunto A.
Exemplo: 
Represente a função f(x) = 2x – 5 
a) por meio de diagramas;
b) por meio de gráfico no plano cartesiano ortogonal.
Obs.: Atribua à sua escolha no mínimo 4 valores a x.
a.
 
Y
–7
–5
–3
–1
1
X
1
0
1
2
3
A
f(x) = 2x – 5
B
3
–1
0
1
2
1
–7
–5
–3
–1
b. Gráfico da função f(x) = 2x – 5
–4 –3 –2 –1
–3
–1
–2
1
2
3
–4
–5
1 2 3 4 5
x
y
– 75 –
Estudo das funções: injetora, sobrejetora, bijetora e composta
4.4 Função composta
Seja f a função de um conjunto A em um conjunto B e seja g uma 
função de B em um conjunto C. Chama­se função composta de g e f a 
função h de A em C, em que a imagem de cada elemento x é obtida apli­
cando­se a x a função f, obtendo­se f(x). A seguir, aplica­se a f(x) à função 
g, obtendo­se g(f(x)).
É indicada por g ο f (lê­se g composta com f ou g círculo f). Mediante 
diagrama é possível representar g ο f:
f
g o f
g
CBA
Exemplo:
Sejam os conjuntos A= {0, 1, 2, 3} e B= {0, 3, 6, 9} e C = {–2, 7, 34, 79},
f: A ⇒ B definida por f(x) = 3x e
g: B ⇒ C definida por g(x) = x2 – 2
Determine: h = g ο f
f(0) = 0 ⇒ g(0) = –2, f(1) = 3 ⇒ g(3) = 7
f(2) = 6 ⇒ g(6) = 34 f(3) = 9 ⇒ g(9) = 79
A
h = g o f
f g
C
B
0
1
2
3
0
3
6
9
–2
7
34
79
– 76 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
A função composta g o f é definida por:
h(x) = (g o f ) (x) = g(f(x)) = [f(x)]2 – 2 = (3x)2 – 2 = 9x2 – 2
∴ (portanto) g o f (x) = 9x2 – 2.
Exemplos de exercícios resolvidos
Sejam as funções definidas no conjunto dos números reais f(x) = 4x2 e 
g(x) = 6
x–2
. Determine o domínio de g o f e f o g.
a) (g o f )(x) = g(f(x)) = g(4x2) =
⋅
2 2 2 2
2 36 6 3
= = =
(4x )– 2 4x – 2 2(2x –1) 2x –1
 o denominador deve ser 
um número diferente de zero.
∴ ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ≠2 2 1 1 1 12x – 1 0 x x ± x ± ±
2 2 2 2
≠ ∴2racionalizando x ±
2
2
D(g o f ) = x R x
2
 
∈ ≠ ± 
 
.
b)    
6
(f o g)(x) = f(g(x)) = f =
x – 2
   
         
2
2 2
6 36 144
4 =4 =
x – 2 x – 4x + 4 x – 4x + 4
o denominador deve ser 
um número diferente de zero.
∴ x2 – 4x + 4 ≠ 0, resolvendo a equação do segundo grau temos x ≠ 2 
∴ D(f o g) ∈ ≠={x R x 2} .
Geralmente, as funções compostas não possuem a propriedade comuta­
tiva, isto é, g o f ≠ f o g, como foi visto no exemplo anterior.
A função composta g o f só está definida quando o contradomínio da 
função f é igual ao domínio da função g.
– 77 –
Estudo das funções: injetora, sobrejetora, bijetora e composta
Atividades
1. Determine o domínio das funções a seguir no conjunto dos números reais.
a) 2y = 5x–5
b) 
x–15
y =
x+ 3
2. Verifique se as funções a seguir são injetora, sobrejetora, bijetora ou não 
são sobrejetora ou injetora.
a) f: R → R | f(x) = 1+ x3 lê­se: a função f definida de R em R (do 
conjunto dos números reais ”domínio” ao conjunto dos números 
reais “imagem”) definida pela lei f(x) = 1+ x3.;
b) g: R →N | g(x) = 1+ x3 ;
c) h: R →R | h(x) = x2 – 6.
3. Em relação a atividade três, represente as relações que forem funções 
mediante diagrama, atribuindo no mínimo 4 valores a x, para encontrar 
os respectivos valores de y. Esboce também os seus gráficos no plano 
cartesiano ortogonal.
4. Seja a função f(x) = 
x+1
x–1
, x∈ R e x ≠ 1. Determine f(f(x)) e qual o seu 
domínio.
5. Sabendo que f(x) = x2 + e g(x) = x – 1, determine o valor de: f(g(x))– g(f(x))
1–x
 , 
com x∈ R e x ≠ 1. Determine também o seu domínio.
Comentário das atividades
A atividade um aprofunda os seus conhecimentos relacionados ao 
domínio de uma função.
– 78 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
No sub-item (a), para determinar o domínio se observa algumas questões, 
neste caso o radicando deve ser sempre um número ≥ 0 portanto
y = 5x–5
≥5x–5 0
5x 5 x 1≥ → ≥
{ }∈ ≥D= x R x 1
No item (b), além do radicando ser um número ≥ 0 o denominador deve ser 
≠ 0
⇒ ≥ → ≥ ⇒ ≠ → ≠
x –15
y = x –15 0 x 15 x+3 0 x –3
x+3
≥ ∩ ≠ = ≥x 15 x –3 x 15
{ }∈ ≥D= x R x 15
Qualquer dúvida na resolução é um indício de que os conceitos anteri-
ores e o desenvolvimento dos exemplos resolvidos não foram completamente 
assimilados. Retorne e revise-os com atenção.
Por meio da atividade dois você fortalece os conceitos relacionados aos 
três tipos de funções estudadas: injetoras, sobrejetoras e bijetoras.
No item (a), a função é bijetora, pois a função é sobrejetora e injetora 
simultaneamente. Para todo y em B, existe um e somente um único elemento 
de x pertencente em A, tal que y =1 + x3.
No item (b), h(x) não é função, pois os elementos de y não pertencem 
ao conjunto dos números naturais.
Finalmente, no item (c), a função f x x( ) = −2 6 não é bijetora, pois 
essa função não é injetora. Observe que, para dois valores de x distintos, 
obtemos o mesmo valor para y. A função também não é sobrejetora, pois o 
contradomínio é diferente do conjunto imagem. 
– 79 –
Estudo das funções: injetora, sobrejetora, bijetora e composta
Para esboçar o gráfico da atividade três, atribua, no mínimo, 4 valores 
a x, substitua­os na equação, e determine o y. Esses conceitos lhe fornecerão 
a fundamentação necessária para o estudo das funções compostas que fazem 
parte da próxima aula.
Compare a sua solução com o exemplo
{ }∈D= x R
 
Diagrama
x 3y = 1 + x
–2 –7
–1 0
0 1
1 2
2 9
Gráfico
– 80 –
Fundamentos da Matemática Elementar I
Na atividade quatro, para determinar uma função composta, fazemos 
as seguintes substituições
f x x
x
( ) = +
−
1
1
Observe que no lugar de x será substituído por f(x)
f f x
f x
f x
( ) ( )( )( ) =
+
−
1
1
Lembrando que f x x
x
( ) = +
−
1
1
, então substituímos novamente
f f x
x
x
x
x
( )
+
−
+
−
( ) =
+
−
1
1
1
1
1
1
Agora aplicamos o mínimo múltiplo comum em ambas partes da fração
f f x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
( )( ) =
+
−
+
+
−
−
=
+ + −
+ − +
−
−
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
Simplicando
f f x
x
x
x
( )( ) = −
−
2
2
1
1
– 81 –
Estudo das funções: injetora, sobrejetora, bijetora e composta
Na divisão de fração, mantem o primeiro e multiplica pelo inverso do 
segundo
f f x x
x
x( )( ) =
−
−2
21
1
Na atividade cinco após fazer a substituição inicial, temos:
2 2f(g(x)) = (x –1) +e = x – 2x+1+e
2g(f(x))=x +e –1
( )2 2(x – 2x+1+e)– x +e –1 –2x+2f(g(x))– g(f(x)) 2(1– x)
= = = = 2
1– x 1– x 1– x 1– x
{ }∈D = x R
5
Função inversa, 
equações, inequações e 
funções modulares
Nas operações fundamentais, aprendemos que a adição é 
o inverso da subtração e que a divisão é operação inversa da multi‑
plicação. Agora vamos estudar