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Estat́ıstica de Pulsares
Beatriz Tremarin
12 de Junho de 2019
Resumo
Remanescente de uma supernova, a estrela de nêutrons, é um objeto compacto com um campo
magnético intenso, da ordem de 1010B�, e com uma velocidade de rotação muito alta. Quando o
eixo de rotação está desalinhado com o campo magnético, a luz emitida pelos pólos varre diferentes
direções do espaço, e, quando a Terra encontra-se na direção do eixo do campo magnético dessa estrela
é posśıvel detecta-lá como uma fonte que emite pulsos de radiação por peŕıodo de revolução, nesse
caso, o objeto compacto ganha o nome de pulsar. Assim, o objetivo dessa pesquisa é estimar, para
um dado número inicial de estrelas de nêutrons, quantas dessas estrelas são pulsares e para isso, a
estrela deve satisfazer as condições relacionadas ao eixo de rotação e do campo magnético e ainda,
estar na direção de um observador. Para isso, foi desenvolvido um programa, nomeado pulsar.c, na
linguagem C, que modela essas condições através de ferramentas da análise vetorial em f́ısica - como o
produto escalar, e números pseudo-aleatórios. Com os dados obtidos, observou-se que a razão entre o
número de pulsares Nobs e o número de estrelas de nêutrons inicial Nstars = 10 000 000, converge para
um valor igual a 0.110 762, e portanto, estima-se que a cada 100 estrelas de nêutrons, 11 são pulsares.
Além disso, utilizando essa razão e um catálogo de pulsares, pode-se estimar também a quantidade
de estrelas de nêutrons que existem. Com o catálogo produzido pela ATNF (The Australia Telescope
Nacional Facility) que contém 1509 pulsares catálogados, calcula-se que existam pelo menos 13 624
estrelas de nêutrons. Assim, o programa permite estudar as relações que existem entre os vetores do
eixo de rotação e do campo magnético para uma estrela de nêutrons e entender qual a relação com a
direção de um observador para que essa estrela seja classificada como um pulsar.
1 Introdução
As estrelas massivas, que iniciam sua vida com
massa entre 8 < M(M�) < 25, passam por re-
petitivos processos de queima nuclear, exaustão
de combust́ıvel, contração do caroço central, novo
aquecimento, expansão das camadas externas e
etc, sendo que, em dado momento de sua evolução
estelar, os constituintes de cada camada so-
frem queima nuclear para formação de elemen-
tos mais pesados continuamente até a formação
do Fe, a partir do qual, as reações deixam de
ser exotérmicas [1], ou seja, ao fundir o ferro, o
caroço central absorve energia. Com o aumento
do caroço de Fe inerte, sua massa aumenta até
valor limite - conhecido como massa de Chandra-
sekhar [3], para o qual sequer a pressão de dege-
nerescência dos elétrons é capaz de estabilizá-lo
em relação à pressão gravitacional, o que leva a
uma implosão estelar. Assim, com o aumento da
densidade, prótons e elétrons se encontram for-
mando nêutrons que passam a ser comprimidos
entre si - fenômeno chamado de degenerescência
de nêutrons, aumentando bruscamente a pressão.
Quando o material estelar cai sobre o núcleo é ri-
cocheteado de volta, devido à dureza, e uma onda
de choque varre a vizinhança, caracterizando uma
supernova do tipo II.
Remanescente dessa explosão, a parte mais in-
terna do núcleo da estrela original, com massa
entre 1, 4 < M(M�) < 3 e raio da ordem de
20 km, composto basicamente de nêutrons é o
que se conhece como estrela de nêutrons [1]. A
densidade desse objeto compacto é da ordem de
1× 1017 kg m−3. Outra caracteŕıstica é que, de-
vido à conservação do momento angular, a estrela
está rotacionando com uma velocidade muito
maior,
|~L| = Iω (1)
uma vez que a massa permaneceu quase a mesma,
em relação à estrela original, mas seu raio foi
bruscamente encolhido, portanto, para conservar
o momento angular, é necessário que a veloci-
1
Figura 1: A nebulosa do Caranguejo (NGC 1952)
alimentada por um pulsar (PSR B0531+21) -
ponto branco próximo ao centro da imagem, com
um peŕıodo de 33 ms, ambos remanescentes da
supernova SN 1054. Imagem do telescópio da
Nasa, Chandra X-ray Observatory, em Novembro
de 2008.
dade de rotação aumente. Além disso, o campo
magnético dessas estrelas também é comprimido,
as linhas de campo se adensam, tornando-o muito
intenso, da ordem de 1010B� [1]. Assim, dada a
intensidade do campo magnético, part́ıculas car-
regadas na superf́ıcie da estrela seguem as linhas
de campo e emitem luz em diversos comprimen-
tos de onda, como o v́ısivel, raios-x e, em especial,
rádio. Dado o desalinhamento do eixo de rotação
com o campo magnético, a luz emitida pelos
pólos varre diferentes direções no espaço, de forma
análoga a um farol. Quando a Terra encontra-se
na direção do eixo do campo magnético da estrela,
é posśıvel detecta-la como uma fonte que emite
um pulso por peŕıodo de revolução, de forma que,
a separação entre os pulsos trás a informação di-
reta do sobre o peŕıodo de rotação da estrela, nes-
ses casos, o objeto compacto ganha o nome de
pulsar.
Um pulsar foi detectado pela primeira vez,
em 1967, por Jocelyn Bell e colaboradores [3],
quando, utilizando um radiotelescópio, registra-
ram um sinal de rádio de baixa frequência e muito
estável com um peŕıodo de 1.33 s. No entanto,
como as implicações f́ısicas dessa descoberta eram
tão assustadoras e ousadas para a época, os ci-
entistas envolvidos passaram meses tentando se
convencer da autenticidade do sinal, cogitando
sériamente a hipótese de se tratar de sinais de uma
civilização extraterrestre. Com o avanço das pes-
quisas, novos valores encontrados para o peŕıodo
dos pulsares são da ordem de 10−3 − 8 s [1].
Em vista disso, o trabalho em questão tem como
objetivo estimar, para um dado número inicial de
estrelas de nêutrons, quantas dessas estrelas são
pulsares, ou seja, quantas dessas estrelas
(i) tem o eixo de rotação desalinhado com o eixo
do campo magnético - para que a luz emitida
possa varrer diferentes direções no espaço e,
(ii) possui o eixo magnético na mesma direção,
ou suficientemente próxima, da direção do
observador.
2 Procedimento Experimental
Para atender o objetivo da pesquisa, foi desen-
volvido um programa na linguagem C, nomeado
pulsar.c, que simula as situações descritas em (i)
e (ii) modeladas através de ferramentas da análise
vetorial em f́ısica e números pseudo-aleatórios.
Sendo assim, as variáveis de interesse são:
� um vetor que tem a direção do eixo de
rotação (~L) da estrela de nêutrons,
� um vetor que possua a direção do eixo do
campo magnético ( ~B), e
� um vetor que tem a direção de um observador
(~R).
Além das bibliotecas padrão em C, como stdio.h
e math.h, utilizou-se o arquivo mt19937-64.c que
é uma biblioteca com rotinas relacionadas à que
geração de números pseudorandômicos, esse gera-
dor que é inicializado através de uma semente de
números randômicos, tem como objetivo determi-
nar, aleatóriamente, um valor para cada compo-
nente dos vetores ~L, ~B e ~R, de forma que tais ve-
tores possam assumir diversas direções no espaço
e que cada estrela, de um número inicial de estre-
las de nêutrons (Nstars), tenha uma configuração
diferente desses vetores. Aqui, todos os vetores fo-
ram normalizados a fim de simplificar as contas e
a programação envolvida, o que não acarreta pro-
blemas para a simulação, uma vez que o interesse
se dá nas direções e não no módulo do vetor em
si. Posto isto, para saber se a estrela de nêutrons
2
é um pulsar, as situações em (i) e (ii) deve ser
satisfeitas simultaneamente.
Para (i), matematicamente, o desalinhamento
desses eixos, significa que o ângulo entre esses dois
vetores deve ser diferente de zero ou de valores
muito próximos à zero, portanto estabeleceu-se
uma condição, tal que,
� se o ângulo entre ~L e ~B é > 3° então a estrela
de nêutrons emite pulsos de radiação.
Equivalentemente, essa condição pode ser ex-
pressa atravésdo produto interno entre dois ve-
tores, assim
~L · ~B = |~L|| ~B|cos(θ1) (2)
onde θ1 é o ângulo entre ~L e ~B, dáı
(θ1) = arccos
~L · ~B
|~L|| ~B|
=
LxBx + LyBy + LzBz
|~L|| ~B|
,
(3)
como os vetores foram normalizados, o produto
|~L|| ~B| = 1.
No entanto, não basta apenas que a estrela de
nêutrons emita pulsos de radiação, mas que essa
radiação possa ser detectada por algum observa-
dor, para isso, então, determinou-se uma segunda
condição,
� se a diferença entre os ângulos de ~L e ~B e
~L e ~R é < 3° então a estrela de nêutrons é
observável como um pulsar.
De forma semelhante para as equações 2 e 3, te-
mos que,
~L · ~R = |~L||~R|cos(θ2) (4)
onde θ2 é o ângulo entre ~L e ~R, segue que
(θ2) = arccos
~L · ~R
|~L||~R|
=
LxRx + LyRy + LzRz
|~L||~R|
,
(5)
também, o produto |~L||~R| = 1. Portanto, se
|θ1 − θ2| < 3° (6)
então a estrela de nêutrons é um pulsar. Assim,
para cada estrela de nêutrons, o programa reali-
zou esse processo, e se ao final das contas a es-
trela atende a essas condições, então é contabili-
zado um pulsar (Nobs). Por fim, o programa im-
prime na tela três valores: o número de estrelas
Figura 2: Esquema experimental. Para que uma
estrela de nêutrons seja considerada um pulsar,
θ1 deve ser maior que 3° e a diferença entre θ1 e
θ2 menor que 3°
.
de nêutrons inicial (Nstars), o número de estrelas
de nêutrons que são pulsares (Nobs) e
Nobs
Nstars
(7)
que é a razão entre esses valores que representa a
quantidade de estrelas de nêutrons que são pul-
sares em relação à um número de estrelas inicial.
3 Resultados e Discussões
O programa foi executado repetidas vezes para
quantidades diferentes de estrelas de nêutrons ini-
ciais (Nstars) e observou-se que a partir de 10 000
estrelas iniciais, a razão mostrada na equação
7 tem flutuações na ordem dos centésimos e
milésimos mas com o valor do décimo estabili-
zado em torno de 0.11. Assim, estima-se que a
cada 100 estrelas de nêutrons, aproximadamente
11 são pulsares. É esperado uma quantidade pe-
quena de pulsares, pois, para ser classificado como
um pulsar, a estrela de nêutrons deve satisfazer
condições espećıficas não apenas quanto ao seu
eixo de rotação e do campo magnético mas, ainda,
estar na direção de um observador.
Além disso, pode-se extrapolar os dados experi-
mentais e conjecturar sobre a quantidade de es-
trelas de nêutrons que existem. Uma vez que a
razão entre a quantidade de pulsares e estrelas
de nêutrons é um valor que, aparentemente, con-
verge para algo em torno de 0.110 762, utilizando
um catálogo de pulsares, como o produzido pela
ATNF (The Australia Telescope National Faci-
lity), que possui 1509 pulsares catalogados (Bib-
code 2005AJ....129.1993M) [2], pode-se determi-
3
Tabela 1: Dados gerados a partir da execução
do programa pulsar.c que mostram uma con-
vergência da quantidade de estrelas observáveis
Nobs a partir de um número inicial de estrelas
Nstars = 10 000.
Nstars Nobs
Nobs
Nstars
10 2 0.200 000
100 11 0.110 000
1000 130 0.130 000
10 000 1162 0.116 200
100 000 11 229 0.112 290
1 000 000 110 690 0.110 690
10 000 000 1 107 616 0.110 762
nar a quantidade de estrelas de neutrons que exis-
tem para essa quantidade de pulsares. Sendo as-
sim,
Nobs
Nstars
= 0.110 762 (8)
fazendo as manipulações algébricas necessárias,
obtemos o número de estrelas de nêutrons que é
dado por:
Nstars =
Nobs
0.110 762
(9)
De forma que, para 1509 pulsares catalogados é
esperado que existam 13 624 estrelas de nêutrons.
4 Conclusão
O programa desenvolvido (pulsar.c) permite sa-
tisfatoriamente estudar as relações entre os ve-
tores do eixo de rotação (~L) e eixo do campo
magnético ( ~B) para uma estrela de nêutrons e
entender qual a relação com a direção (~R) de um
observador para que a estrela de nêutrons seja
classificada como um pulsar, dadas condições es-
pećıficas, é esperado que o número de pulsares
seja um tanto quanto reduzido em relação à quan-
tidade de estrelas de nêutrons iniciais. A respeito
disso, foi encontrado a razão entre o número de
pulsares para uma dada quantidade de estrelas de
nêutrons inicial (Nstars = 10 000 000), sendo essa
razão igual a 0.110 762, assim, pode-se estimar
que a cada 100 estrelas de nêutrons, 11 são pulsa-
res. Além disso, a pesquisa também permite esti-
mar a quantidade de estrelas de nêutrons que exis-
tem, utilizando a razão Nstars/Nobs e um catálogo
de pulsares. Assim, para a quantidade de pulsares
calatogados (1509) pela ATNF (The Australia Te-
lescope Nacional Facility), estima-se que existam
pelo menos 13 624 estrelas de nêutrons.
Referências
[1] J. W. MACIEL. Introdução à Estrutura e
Evolução Estelar, chapter 14: Evolução Este-
lar: Uma visão geral. Editora da Universidade
de São Paulo, 1 edition, 2018.
[2] R. N. Manchester, G. B. Hobbs, A. Teoh, and
M. Hobbs. The Australia Telescope National
Facility Pulsar Catalogue. AJ, 129:1993–2006,
April 2005.
[3] D. A. NETO, E. J HORVATH, et al. Astrono-
mia: Uma Visão Geral do Universo. Editora
da Universidade de São Paulo, 2008.
5 Apêndice
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include "mt19937 -64.c"
int main (){
unsigned long long seed;
double L[4]; //vetor do eixo de rotaç~ao
double L1; //módulo do vetor de rotaç~ao
double L2; //módulo do vetor de rotaç~ao
double B[4]; //vetor do eixo magnético
double B1;
double B2;
double R[4]; //vetor da direç~ao do observador
double R1;
double R2;
double LR; //produto interno entre L e R
double LB; //produto interno entre L e B
int Nstars; //número de estrelas de nêutrons inicial
int Nobs; //número de pulsares observáveis
int k; //contador relacionado às estrelas em teste
int i ; //contador relacionado as componentes dos vetores
seed =2632763647368; // um número "grande"o suficiente
init_genrand64(seed); // inicializando o gerador de números
//pseudorandomicos
Nstars =100000;
Nobs =0;
for ( k=1 ; k<= Nstars ; k++ ) {
// direç~ao de rotaç~ao (momento angular)
L[1] = genrand64_real3 () ; // número entre [0,1]
L[2] = genrand64_real3 () ;
L[3] = genrand64_real3 () ;
L2 = 0.0;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) L2 += L[i]*L[i] ;
L1 = sqrt( L2 ) ; //módulo do vetor de rotaç~ao
L[1] /= L1 ; // vetor L normalizado
L[2] /= L1 ;
L[3] /= L1 ;
// direç~ao do eixo magnético
B[1] = genrand64_real3 ();
B[2] = genrand64_real3 ();
B[3] = genrand64_real3 ();
B2=0.0;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) B2 += B[i]*B[i];
B1 = sqrt(B2); //módulo do vetor do eixo magnético
B[1]/= B1 ; //vetor B normalizado
B[2]/= B1 ;
B[3]/= B1 ;
// direç~ao do observador
R[1] = genrand64_real3 ();
R[2] = genrand64_real3 ();
R[3] = genrand64_real3 ();
R2=0.0;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) R2 += R[i]*R[i];
R1 = sqrt (R2) ; //módulo do vetor da direç~ao do observador
4
R[1]/= R1; //vetor R normalizado
R[2]/= R1;
R[3]/= R1;
// calculo dos produtos internos importantes
LB=0.0;
LR=0.0;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) LB += L[i]*B[i] ;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) LR += B[i]*R[i] ;
//a estrela de neutrons é um pulsar?
if ( acos(LB) > 3*M_PI /180.0 ) {
//observabilidade
if ( fabs(acos(LB) - acos(LR) ) < 3*M_PI /180.0 ) {
Nobs ++;
}
}
}
printf ("%d %d %f\n", Nstars , Nobs , (double)Nobs/Nstars );
//type casting
return 0;
}
5