Leituras Suplementares

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FÍSICA
MODERNA
Paul A. Tipler
ex-Professor da Oakland University
Ralph A. Llewellyn
University of Central Florida
Tradução e Revisão Técnica
Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D.
Professor Emérito do Instituto Militar de Engenharia – IME
SEXTA EDIÇÃO
Este Material Suplementar contém ilustrações, leituras suplementares, revisão de conceitos clássicos que podem ser 
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MODERN PHYSICS, SIXTH EDITION
First published in the United States by
W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York 
Copyright © 2012, 2008, 2003, 2000 by W. H. Freeman and Company
All Rights Reserved.
Publicado originalmente nos Estados Unidos por
W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York 
Copyright © 2012, 2008, 2003, 2000 by W. H. Freeman and Company
Todos os Direitos Reservados.
ISBN: 978-1-4292-5078-8
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Edição em língua PORTUGUESA publicada por LTC — LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA LTDA., 
Copyright © 2014.
Obra publicada pela LTC:
FÍSICA MODERNA, Sexta Edição
Direitos exclusivos para a língua portuguesa
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LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 
Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional
Imagem de capa: Steven R. White, University of California, Irvine 
Editoração Eletrônica do material suplementar: | 
 
iv
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1
Leitura Suplementar 1
O Experimento de Michelson-Morley 1
Leitura Suplementar 2
O Caso dos Gêmeos Identicamente 
Acelerados 4
CAPÍTULO 2
Leitura Suplementar 1
O Periélio da Órbita de Mercúrio 6
Leitura Suplementar 2
O Retardo da Luz em um Campo 
Gravitacional 8
CAPÍTULO 3
Leitura Suplementar 1
Demonstração da Equação de Compton 10
CAPÍTULO 4
Leitura Suplementar 1
A Previsão de Rutherford e os Resultados 
de Geiger e Marsden 11
Leitura Suplementar 2
Crítica da Teoria de Bohr e da “Velha” 
Mecânica Quântica 13
CAPÍTULO 5
Leitura Suplementar 1
O Experimento de Duas Fendas 14
CAPÍTULO 6
Leitura Suplementar 1
Solução Gráfica do Poço Quadrado Finito 16
Leitura Suplementar 2
Transições entre Estados Quânticos 18
Leitura Suplementar 3
O Artifício de Schrödinger 21
Leitura Suplementar 4
O Diodo Túnel 23
CAPÍTULO 7
Leitura Suplementar 1
Átomos com Mais de um Elétron Externo 25
Leitura Suplementar 2
O Efeito Zeeman 28
CAPÍTULO 8
Leitura Suplementar 1
Temperatura e Entropia 32
Leitura Suplementar 2
Demonstração do Teorema da 
Equipartição para um Caso Particular 33
CAPÍTULO 9
Leitura Suplementar 1
Outras Ligações Covalentes 34
CAPÍTULO 10
Leitura Suplementar 1
Condução de Calor – O Modelo Quântico 40
Leitura Suplementar 2
Bandas de Energia em Sólidos: 
Uma Abordagem Alternativa 41
Leitura Suplementar 3
Como Funcionam os Transistores 43
CAPÍTULO 11
Leitura Suplementar 1
O Modelo da Gota de Líquido e a 
Equação de Weizsäcker 46
v
Leitura Suplementar 2
Sequências de Decaimentos 48
Leitura Suplementar 3
Níveis de Energia do Decaimento Alfa 51
Leitura Suplementar 4
O Efeito Mössbauer 53
Leitura Suplementar 5
O Modelo de Camadas de Mayer e Jensen 56
Leitura Suplementar 6
Energia Nuclear 59
Leitura Suplementar 7
Interações de Partículas com a Matéria 66
Leitura Suplementar 8
Efeitos Biológicos da Radiação Ionizante 70
CAPÍTULO 12
Leitura Suplementar 1
Em que Circunstâncias uma Grandeza 
Física É Conservada? 73
Leitura Suplementar 2
Ressonâncias e Estados Excitados 75
Leitura Suplementar 3
Teoria das Cordas 78
1
CAPÍTULO 1 
LEITURA SUPLEMENTAR 1
O Experimento de 
Michelson-Morley
No interferômetro de Michelson, mostrado de forma esquemá-
tica na Figura 1-8a, os raios luminosos são análogos aos barcos 
do Exemplo 1-1, com a Terra correspondendo à margem do rio. 
A imagem vista pelo observador é constituída por uma série de 
franjas de interferência alternadamente claras e escuras (Figura 
1-8b). A interferência entre as ondas luminosas no ponto A é o 
resultado da diferença ∆n do número de ciclos n1 e n2 nos dois 
percursos, que produz uma diferença de fase entre as ondas que 
chegam de volta ao ponto A. O número de ciclos n em qualquer 
percurso é dado por
 1-7
considerando que  é o comprimento de onda da luz e L é o 
comprimento do percurso. Para ∆n = 0 ou um número inteiro, 
a interferência é construtiva (ou seja, a diferença de fase é 0, 
2, 4,...) e a intensidade luminosa é máxima. Para ∆n = 1/2 
ou 1/2 mais um número inteiro, a interferência é destrutiva (ou 
seja, a diferença de fase é , 3, 5,...) e a intensidade lumi-
nosa é mínima. Valores intermediários de ∆n resultam em inten-
sidades intermediárias. Embora o valor absoluto de ∆n para 
uma franja específica seja difícil de determinar, é óbvio que, 
no caso de duas franjas consecutivas, sejam elas claras ou escu-
ras, os valores de ∆n diferem de 1. A distância entre máximos 
ou mínimos vizinhos é denominada largura da franja.7 (Veja a 
Figura 1-8b.)
Observe na Equação 1-7 que uma variação de L ou de  (ou de 
ambos) resulta em uma variação de n. É a variação de L no per-
curso 2, causada pelo espaço entre M2 e M1, que produz a figura 
da interferência da Figura 1-8b. A variação da velocidade da luz 
devido ao movimento da Terra que Michelson e Morley estavam 
tentando observar resultaria em uma variação de , já que a 
velocidade c de uma onda está relacionada ao comprimento de 
onda  através da equação
 1-8
na qual f é a frequência da onda.8 Assim, se c muda para c,  
muda para , o que por sua vez produz uma mudança em n.
Com o interferômetro em repouso no laboratório enquanto a 
Terra se move para a esquerda através do éter com velocidade 
v, os dois raios luminosos da Figura 1-8a correspondem aos 
barcos da Figura 1-6a, os pontos A, B e C do interferômetro são 
análogos aos pontos correspondentes na margem do rio e o éter 
faz o papel do rio. (Na Figura 1-6a, a margem do rio está se 
“movendo” para a esquerda em relação ao rio “estacionário”.) 
Raciocinando desta forma, Michelson obteve uma expressão 
para a diferença ∆t entre os tempos de percurso dos dois raios 
luminosos produzidos pelo espelho semitransparente situado 
em A que era igual à Equação 1-6:
 1-6
em que a velocidade no percurso 1 é maior que no percurso 2 
porque t2 > t1. O fato de que a velocidade é maior no percurso 
1 significa que 1 > 2 (de acordo com a Equação 1-8) e, por-
tanto, que existe uma diferença, ∆n", no número de ciclos asso-
ciados aos dois caminhos (de acordo com a Equação 1-7), além 
da diferença ∆n' causada pelo espaço entre M2 e M1. Natural-
mente, as franjas de interferência observadas seriam o resultado 
de uma combinação dos dois efeitos.
O interesse de Michelson estava na parte de ∆n associada à 
diferença na velocidade da luz ao longo dos dois percursos, e 
ele imaginou um método engenhoso para isolar este efeito do 
efeito total, tornando ao mesmo desnecessário o conhecimento 
da direção do movimento da Terra através do éter. Se o interfe-
rômetro é girado de 90° em torno de um eixo perpendicular ao 
plano formado pelos raios luminosos, o percurso 2 se torna para-
lelo à suposta direção de v e os valores da velocidade da luz ao 
longo dos dois percursos se invertem. Nesta nova configuração, 
a diferença entre os tempos de percurso, ∆t, passa a ser
 
e o módulo da diferença dos tempos de percurso após uma rota-
çãode 90°, ∆ttotal, é dado por
 1-9
A diferença correspondente entre os números de ciclos asso-
ciados aos dois caminhos, ∆N, é dada por
 1-10
2 Leitura Suplementar 1
O valor de ∆N calculado com o auxílio da Equação 1-10 tam-
bém é igual ao deslocamento das franjas de interferência no 
visor do aparelho. Lembre-se de que cada ponto no visor do 
interferômetro (Figura 1-8b) corresponde a uma certa diferença 
de fase entre os dois raios luminosos; a diferença de fase entre 
dois máximos de luminosidade consecutivos é igual a 2. A 
rotação do interferômetro faz com que uma diferença de fase 
adicional ∆ = 2∆N seja introduzida em todos os pontos, des-
locando assim a figura de interferência de uma distância dada 
por ∆/2 = ∆N.
Recentemente, foram executados experimentos semelhantes 
ao de Michelson-Morley usando técnicas e equipamentos de 
alta precisão. Em um desses experimentos, executado por T. S. 
Jaseja et al.9 em 1964, os espelhos da Figura 1-8a foram subs-
tituídos por lasers iguais (Figura 1-9). Como veremos no Capí-
tulo 9, o laser é uma cavidade ressonante para a luz na qual é 
produzida uma onda estacionária entre dois espelhos paralelos. 
A frequência da onda estacionária (que é igual à frequência da 
luz emitida) é proporcional à velocidade da luz no laser e inver-
samente proporcional à distância entre os espelhos paralelos. Se 
a distância entre os espelhos paralelos dos dois lasers é a mesma, 
a diferença de frequência entre as ondas emitidas pelos dois 
lasers (ou seja, a frequência de “batimento”) depende apenas da 
diferença entre as velocidades da luz nos dois lasers. Se o sistema 
for girado de 360°, qualquer movimento da Terra em relação ao 
éter fará com que a frequência de batimento varie periodicamente, 
da mesma forma como se esperava que o espaçamento das fran-
jas de interferência variasse com a rotação do interferômetro no 
experimento de Michelson-Morley. Nos vários experimentos 
realizados com lasers, não foi observada nenhuma variação na 
frequência de batimento, dentro dos limites do erro experimen-
tal. O mais recente desses experimentos10 estabeleceu um limite 
superior de 15 m/s para a velocidade da Terra em relação ao éter. 
Muitas alternativas foram sugeridas para explicar o resultado 
negativo do experimento de Michelson-Morley, como a existên-
cia de uma camada estacionária de éter arrastada pela Terra 
(Figura 1-10) e a variação da velocidade da luz com o movi-
mento relativo entre a fonte e o observador (Figura 1-11), mas 
nenhuma dessas hipóteses foi confirmada experimentalmente. 
Na verdade, todas as observações realizadas até o momento 
levam à conclusão de que a propagação da luz não é afetada pelo 
movimento da Terra.
Laser 1
Laser 2
Rotação
Detector de 
batimentos
1–2 Espelho 
semitransparente
L
v
L
d
c
Terra
Telescópio
Estrela
φ
v
L
FIGURA 1-9 Arranjo experimental de Jaseja et al. para a versão do expe-
rimento de Michelson-Morley usando lasers.
FIGURA 1-10 Aberração estelar. A luz proveniente de uma estrela, pro-
pagando-se em linha reta com velocidade c, penetra no tubo de com-
primento L de um telescópio. Enquanto a luz atravessa o tubo, o teles-
cópio se desloca de uma distância d = L sen  = vt, considerando que 
v é a velocidade orbital da Terra, e t = (L cos )/c é o tempo que a luz 
leva para atravessar o tubo. Assim,  = tan-1 (v/c) = 20,5 segundos de 
arco. Observações da estrela realizadas seis meses depois, quando o 
vetor velocidade da Terra tem o sentido oposto, exigem uma correção 
no alinhamento do telescópio de 20,5 segundos de arco no sentido 
oposto, ou seja, a variação em um ano na direção de alinhamento do 
telescópio para observar a estrela é de 41 segundos de arco. Esta obser-
vação está em desacordo com a hipótese de que uma camada estacio-
nária de éter é arrastada pela Terra, proposta para explicar o resultado 
negativo do experimento de Michelson-Morley.
O Experimento de Michelson-Morley 3
FIGURA 1-11 Variação do brilho de Algol, uma estrela binária na 
constelação de Perseu. (a) Uma das estrelas é cerca de três vezes 
mais brilhante que a outra. Quando a estrela mais brilhante é 
eclipsada pela companheira, a redução de intensidade é maior; 
quando a estrela eclipsada é a menos brilhante, a redução de 
intensidade é menor. As duas estrelas giram em torno do centro 
de gravidade do sistema uma vez a cada 69 horas, a uma veloci-
dade de aproximadamente 250 km/s. (b) Em extremidades opos-
tas da órbita de cada estrela, o vetor velocidade orbital v aponta 
na direção da Terra e na direção oposta. De acordo com a teoria 
clássica da luz, a velocidade da luz de cada uma das estrelas em 
pontos extremos da órbita deveria ser c + v e c – v, o que levaria 
à formação de imagens “fantasmas”, com uma das estrelas do 
par aparecendo simultaneamente em duas posições diferentes. O 
fato de que essas imagens não são observadas é considerado uma 
confirmação do segundo postulado de Einstein.
4
2
3
0
1
0 1 2
Tempo (dias)
c.m.
Para a Terra
v v
3
B
ril
ho
 to
ta
l 
(u
ni
da
de
s 
ar
bi
tr
ár
ia
s)
(a)
(b) A
B
4
CAPÍTULO 1 
LEITURA SUPLEMENTAR 2
O Caso dos Gêmeos 
Identicamente Acelerados
É importante chamar a atenção para o fato de que a diferença 
de idade biológica entre os gêmeos do famoso paradoxo se deve 
à relatividade da simultaneidade e não a outra causa qualquer. 
S. P. Boughn21 propôs uma engenhosa variante do problema dos 
gêmeos que ajuda a refutar a ideia de que a rapidez com a qual 
um viajante envelhece depende das acelerações que ele experi-
menta e chama atenção para a importância do sincronismo dos 
relógios em muitas previsões da relatividade restrita. Vamos 
descrever uma situação na qual os gêmeos são submetidos a 
acelerações iguais e, mesmo assim, um deles envelhece mais 
depressa.
Suponha que dois gêmeos, Décio e Jane, estão planejando 
uma viagem na qual serão acelerados do referencial inercial S, 
onde vivem, para um novo referencial inercial, S, que está se 
movendo com velocidade v em relação a S. Eles dispõem de 
espaçonaves iguais, contendo a mesma quantidade de combus-
tível, que estão estacionadas no eixo x de S. A espaçonave de 
Jane se encontra x0 unidades de distância à direita da espaçonave 
de Décio (Figura 1-36a). Os gêmeos sincronizam os relógios 
com os de Papai e Mamãe, que permanecerão em S durante a 
viagem. No dia em que fazem 21 anos, os gêmeos se despedem 
dos pais, ligam os motores e aceleram para a direita ao longo 
do eixo x. Depois de consumir todo o combustível no mesmo 
intervalo de tempo, as duas espaçonaves atingem a mesma velo-
cidade v (já que são iguais e transportavam a mesma quantidade 
de combustível) e passam a se mover com velocidade constante 
em S. Comparando os registros das duas espaçonaves, Décio e 
Jane chegam à conclusão de que sofreram a mesma aceleração, 
mas descobrem, perplexos, que Jane está mais velha que Décio! 
Além disso, a distância entre as espaçonaves aumentou durante 
a viagem (Figura 1-36b). Como isso é possível?
Para compreender o que aconteceu, considere dois eventos 
em S: a chegada dos gêmeos ao novo referencial. Suponha 
que ambos cheguem no dia do aniversário (lembre-se de que 
o tempo de aceleração foi o mesmo para as duas espaçonaves). 
De acordo com a transformação de Lorentz, o instante em que 
ocorrem esses eventos em S, o novo referencial dos gêmeos, 
é dado por
 
na qual v é a velocidade de S em relação a S e os índices D e J 
indicam que as coordenadas se referem a Décio e Jane, respec-
tivamente. Os gêmeos observam que existe um intervalo de 
tempo entre seus aniversários (!) dado por
 
As coordenadas do segundo membro representam o ponto de 
vista de Papai e Mamãe, que permanecem em S; logo, tD – tJ = 0, 
xJ – xD = x0 e, portanto,
 
Assim, do ponto de vista dos gêmeos, o aniversário de Jane 
ocorreu em tj, ou seja, vx0/c2 unidades de tempo antes do ani-
versário de Décio. Além disso, a distância entre as espaçonaves 
é dada por
 
A Figura 1-36c mostra as linhasdo universo dos gêmeos e ilus-
tra claramente os resultados que acabamos de calcular.
O fato de que um dos gêmeos envelheceu mais depressa que 
o outro, embora as acelerações tenham sido iguais, pode pare-
cer paradoxal, mas é fácil de explicar. Como no caso de Homero 
e Ulisses, as situações dos gêmeos não são iguais. Se Jane come-
çou a viagem x0 unidades à direita de Décio, embora os relógios 
dos irmãos estivessem sincronizados em S, havia uma diferença 
de vx0/c2 unidades de tempo entre os relógios em um referen-
cial S dotado de uma velocidade v em relação a S. Quando os 
gêmeos chegam ao referencial S, esta é exatamente a diferença 
de tempo que observam. Mais uma vez, a explicação de um 
suposto paradoxo está na relatividade da simultaneidade.
O Caso dos Gêmeos Identicamente Acelerados 5
x
ct ct´
x´
Chegada
de Décio 
a S
Chegada 
de Jane 
a S
Linha do 
universo 
de Décio 
Linha do 
universo 
de Jane 
(c)
(b)
(a)
x0 x0
x D́
x J́
t D́
t J́
x0
> x0
FIGURA 1-36 (a) Os gêmeos, ao iniciarem a viagem. (b) Os 
gêmeos, ao chegarem ao referencial S. (c) As linhas do uni-
verso de Décio e Jane, traçadas no referencial inercial S, mos-
tram que a chegada de Jane a S, no dia do seu aniversário, 
aconteceu no instante tj, anterior ao instante tD da chegada de 
Décio, o que a torna mais velha. O gráfico foi desenhado para 
 = 0,75. 
6
CAPÍTULO 2 
LEITURA SUPLEMENTAR 1
O Periélio da Órbita de Mercúrio
Uma terceira previsão da teoria da relatividade geral de Einstein 
era a de que a precessão da órbita do planeta Mercúrio apresen-
taria um excesso da ordem de 0,01° por século em relação aos 
resultados obtidos usando a teoria clássica. Como a discrepân-
cia entre os resultados experimentais e os teóricos era bem 
conhecida na época de Einstein, a explicação dessa diferença 
constituiu um triunfo imediato para a nova teoria. De acordo 
com a mecânica newtoniana, as órbitas dos planetas deveriam 
ser elipses fechadas, com o Sol situado em um dos focos e os 
eixos apontando sempre para as mesmas direções do espaço. Na 
prática, porém, as atrações gravitacionais dos outros planetas 
fazem com que os eixos principais da elipse girem lentamente 
em torno do Sol (Figura 2-24). Na ausência de outros planetas, 
a teoria gravitacional de Newton prevê que a órbita seria uma 
elipse perfeita, com a distância r entre o Sol e o planeta sendo 
dada por
 2-55
sendo rmin a distância do ponto de máxima aproximação, conhe-
cido como periélio, e  é a chamada excentricidade da órbita, 
definida como a razão entre a distância entre os focos e o com-
primento do eixo maior (no caso de um círculo,  = 0) e  é a 
coordenada angular do planeta em relação ao eixo maior. A Tabela 
2-2 mostra a excentricidade das órbitas de alguns planetas.
A rotação dos eixos principais da elipse é descrita em termos 
de uma mudança progressiva na direção de rmin na Figura 2-24 
e conhecida como precessão do periélio. A lei da gravitação de 
Newton permite determinar a influência gravitacional dos outros 
planetas e, portanto, calcular o valor total da precessão do perié-
lio para um dado planeta. Os resultados, porém, não estão de 
acordo com as observações experimentais. No caso de Mercú-
rio, por exemplo, a precessão observada é de 9,55 minutos de 
FIGURA 2-24 As órbitas dos planetas são elipses, com o Sol em um dos 
focos. A força gravitacional dos outros planetas faz com que os eixos 
das elipses girem lentamente em torno do Sol, com a reta que liga o 
Sol à posição do periélio se deslocando de um ângulo ∆ a cada revo-
lução. Este deslocamento é conhecido como precessão do periélio. No 
caso do planeta Mercúrio, ∆ = 9,55 minutos de arco por século.
Planeta
r
φ
∆φ
Sol Periélio
rmin
Tabela 2-2 Precessão da órbita de alguns planetas
n  (segundos de arco/século)
Planeta
n (órbitas 
por século)  rmin (UA)* Relatividade geral Observado
Mercúrio 415,2 0,206 0,307 43,0 43,1  0,5
Vênus 162,5 0,0068 0,717 8,6 8,4  4,8
Terra 100,0 0,017 0,981 3,8 5,0  1,2
Ícaro† 89,3 0,827 0,186 10,0 9,8  0,8
*Unidade astronômica (UA) = distância média Terra-Sol = 1,50  1011 m.
† Ícaro é um dos milhares de asteroides que existem no Sistema Solar. Foi incluído na tabela porque o periélio de sua 
órbita é menor que o da órbita de Mercúrio.
O Periélio da Órbita de Mercúrio 7
arco por século, enquanto a precessão prevista é de apenas 8,85 
minutos de arco por século.21 Existe, portanto, uma diferença 
sem explicação de cerca de 0,7 minuto (42 segundos) de arco 
por século. (O valor exato da discrepância experimental é de 
43,1 segundos de arco por século. Veja a Tabela 2-2.)
A existência da discrepância era conhecida na época em que 
Einstein formulou a teoria da relatividade geral; ele concluiu o 
primeiro artigo que publicou sobre o assunto explicando a ori-
gem da discrepância e mostrando que sua teoria permitia calcu-
lar o valor correto da precessão.22 De acordo com a teoria da 
relatividade geral, o ângulo  que aparece na Equação 2-49 deve 
ser substituído por um ângulo   ∆:
 2-56
sendo que o valor de ∆, a correção relativística da precessão, 
é dado por
 2-57
em que G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol e R é 
o semieixo maior da órbita.
Como era de se esperar, a órbita do planeta Mercúrio, que 
possui o menor valor de R e a maior excentricidade, é também 
aquela para a qual a correção relativística é maior. Substituindo 
os parâmetros da Equação 2-51 por valores apropriados, obte-
mos ∆ = 43,0 segundos de arco por século, em concordância 
quase perfeita com os resultados experimentais. (A Tabela 2-2 
mostra também os resultados para outros planetas.) Einstein 
ficou tão satisfeito com suas conclusões que escreveu em uma 
carta endereçada a Arnold Sommerfeld:
O maravilhoso de tudo é que não só ela [a teoria da relatividade 
geral] permite chegar à teoria de Newton, em primeira aproxi-
mação, mas também ao movimento do periélio de Mercúrio, em 
segunda aproximação.
8
CAPÍTULO 2 
LEITURA SUPLEMENTAR 2
O Retardo da Luz em um 
Campo Gravitacional
Einstein foi levado a formular a teoria da relatividade geral por-
que a teoria da gravitação de Newton era incompatível com a 
teoria da relatividade restrita. A teoria da relatividade geral resol-
veu esse problema, além de remover algumas dificuldades con-
ceituais associadas à teoria de Newton. Entre essas dificuldades 
estavam a exclusão das partículas de massa zero da teoria clás-
sica e o fato de que a força gravitacional clássica era uma ação 
à distância (isto é, sem contato entre as massas envolvidas) e 
transmitida instantaneamente (isto é, com velocidade infinita), 
em conflito com o princípio estabelecido pela teoria da relativi-
dade restrita de que a velocidade da luz constituía um limite 
absoluto para a transmissão de sinais. Na teoria da relatividade 
geral, esta última dificuldade é contornada usando o princípio 
de equivalência para substituir o campo gravitacional em todos 
os pontos do espaço por referenciais acelerados. Em cada um 
desses referenciais locais, a teoria da relatividade restrita pode 
ser aplicada, juntamente com o primeiro postulado de Einstein, 
o princípio da relatividade. O resultado de tudo isso, que envolve 
um tratamento matemático extremamente complexo, é produzir 
um intervalo no espaço-tempo modificado ds (Equação 2-43) 
que usamos anteriormente em duas dimensões:
 2-58
Esta expressão liga a gravidade, representada pelo termo (1  
2GM/c2r2), às coordenadas geométricas do espaço-tempo. 
Observe que, se M = 0, a expressão para (ds)2 se reduz à forma 
já conhecida da relatividade restrita, mas, se M  0, o valor do 
intervalo passa a depender da massa. Qualitativamente, se asso-
ciarmos ds a um gradiente, (ds)2 pode ser considerado como o 
equivalente à curvatura do espaço-tempo. Assim, chegamos à 
ideia de que a presença de massa em uma dada região do espaço 
altera a curvatura do espaço-tempo nessa região.
Esta breve discussão qualitativa não faz justiçaa um assunto 
tão importante e complexo, mas nos permite propor uma ana-
logia bidimensional para o efeito da massa sobre a curvatura do 
espaço-tempo. Ilustrando o chamado “modelo da membrana de 
borracha”, a Figura 2-25a mostra as trajetórias de um raio lumi-
noso A e uma partícula com uma (pequena) massa de repouso 
B que estão atravessando uma região do espaço-tempo bidimen-
sional na qual não existem grandes massas. A linha do universo 
do raio luminoso é a linha reta correspondente a uma velocidade 
c e ds = 0; na ausência de forças externas, a linha do universo 
da partícula também é uma linha reta, mas com uma velocidade 
menor que c e ds  0. Na Figura 2-25b, a presença de uma 
FIGURA 2-25 Espaço-tempo bidimensional na ausência de massa (a) e 
na presença de uma massa M (b), de acordo com o modelo da mem-
brana de borracha. A e B são as linhas do universo de um raio luminoso 
e de uma partícula com massa de repouso diferente de zero. Os pontos 
T e V indicam as posições da Terra e de Vênus no momento em que 
Shapiro realizou uma de suas medições.
A
B
(a)
(b)
B´
V
T
A´
M
O Retardo da Luz em um Campo Gravitacional 9
grande massa M distorce o espaço-tempo. A luz e a partícula 
agora se movem ao longo das trajetórias A e B. A trajetória da 
partícula revela a “atração gravitacional” da massa M, mas não 
como uma misteriosa ação à distância. Na verdade, a partícula 
continua a se mover ao longo da trajetória mais curta (a cha-
mada geodésica) do espaço-tempo distorcido. O raio luminoso 
faz exatamente a mesma coisa!
Assim, a linha do universo da luz deixa de ser uma reta, o 
que faz com que a luz sofra um retardo do ponto de vista de 
observadores distantes. Suponha, por exemplo, que a massa M 
da Figura 2-25b seja o Sol e que T e V sejam, respectivamente, 
a Terra e Vênus. Quando os dois planetas se encontram em posi-
ções diametralmente opostas em relação ao Sol (o que os astrô-
nomos chamam de conjunção superior), a trajetória que a luz 
tem que percorrer para ir de um planeta ao outro é ligeiramente 
mais longa que o “caminho direto”, isto é, o caminho que a luz 
percorreria se uma massa M não estivesse presente para distor-
cer o espaço-tempo. A distância entre os planetas nessa situação 
pode ser calculada com grande precisão a partir das órbitas; 
assim, não é difícil calcular o tempo necessário para a luz viajar 
de um planeta para o outro. Nas circunstâncias, a luz levaria 
cerca de 20 minutos para fazer uma viagem de ida e volta entre 
Vênus e a Terra. Como a linha do universo para a luz é ligeira-
mente mais comprida na presença do Sol, a luz parece se pro-
pagar mais lentamente que o normal. Assim, se a teoria da rela-
tividade geral estiver correta, a luz levará um pouco mais de 20 
minutos para fazer o percurso. A diferença será maior se a luz 
passar muito perto do Sol, isto é, se atravessar uma região na 
qual o espaço-tempo está muito distorcido.
Em 1971, I. I. Shapiro e colaboradores23 anunciaram os resul-
tados de uma série de experimentos nos quais sinais de radar foram 
refletidos pelas superfícies de Mercúrio, Vênus e Marte quando o 
Sol se encontrava entre a Terra e esses planetas. A Figura 2-26 
mostra um gráfico do retardo dos sinais refletidos por Vênus em 
FIGURA 2-26 Retardo dos sinais de radar refletidos por Vênus em fun-
ção da data da observação. O retardo máximo, que ocorre quando a 
reta que liga a Terra e Vênus tangencia a superfície do Sol, é de 200 
s. A curva mostra as previsões teóricas, de acordo com a teoria da 
relatividade geral. [Fonte: I. I. Shapiro et al., Physical Review Letters, 
26, 1132 (1971).]
–300 –200 –100 0 100 200 300
Tempo (dias)
R
et
ar
do
 (
�
s)
40
80
120
160
200
0
Conjunção superior 
25 de janeiro de 1970 
função do dia da observação. A curva representa a previsão da teo-
ria da relatividade geral. A concordância entre os dados teóricos e 
experimentais é evidente, mas o experimento se torna ainda mais 
notável quando nos damos conta de que a incerteza nos dados, que 
é de 20 s, exige que as posições relativas dos planetas sejam 
conhecidas com uma precisão de alguns quilômetros.
10
CAPÍTULO 3 
LEITURA SUPLEMENTAR 1
Demonstração da Equação 
de Compton
Sejam 1 e 2 os comprimentos de onda dos raios X incidente e 
espalhado, respectivamente (Figura 3-18). Os momentos cor-
respondentes são
e
em que foi usada a relação c = f. Como Compton usou a linha 
K do molibdênio ( = 0,0711 nm; veja a Figura 3-15b), a ener-
gia do raio X incidente (17,4 keV) é muito maior que a energia 
de ligação dos elétrons de valência do alvo de grafita (11 eV, 
aproximadamente) e, portanto, os elétrons espalhados podem 
ser considerados praticamente livres.
De acordo com a lei de conservação do momento, temos:
ou
 3-26
considerando que pe é o momento do elétron depois da colisão 
e  é o ângulo de espalhamento do fóton, medido como na Figura 
3-18. A energia do elétron antes da colisão é simplesmente a 
energia de repouso E0 = mc2 (veja o Capítulo 2). Depois da coli-
são, a energia do elétron passa a ser (E20  p2e c2).
De acordo com a lei de conservação da energia, temos:
Passando o termo p2c para o primeiro membro e elevando 
ambos os membros ao quadrado, obtemos:
ou
 3-27
Combinando as Equações 3-26 e 3-27 para eliminar o termo 
p2e , obtemos:
 
Multiplicando ambos os membros por hc/p1p2E0 e usando a 
relação  = h/p, obtemos a equação de Compton:
 
ou
 3-25
FIGURA 3-18 O espalhamento de raios X pode ser considerado como 
a colisão de um fóton de momento h/1 com um elétron livre. Usando 
as leis de conservação do momento e da energia, é possível expressar 
a diferença entre os comprimentos de onda do fóton incidente e do 
fóton espalhado em função da massa do elétron e do ângulo de espa-
lhamento (Equação 3-25).
E1 = hf1
E2 = hf2
p1 = h/λ1
p2 = h /λ2
φ
θ
m
pe = E
2 – E0
21––
c
11
CAPÍTULO 4 
LEITURA SUPLEMENTAR 1
A Previsão de Rutherford e os 
Resultados de Geiger e Marsden
Depois dos resultados animadores descritos no Exemplo 4-2, 
Geiger e Marsden iniciaram uma série de experimentos nos quais 
mediram:
1. O número de partículas por unidade de área para os quais o 
ângulo de espalhamento estava compreendido entre  e   
d.
2. A variação do número de partículas com a espessura da folha 
de metal.
3. A variação do número de partículas com a massa atômica 
dos elétrons do alvo.
4. A variação do número de partículas espalhadas com a velo-
cidade v das partículas antes do espalhamento, que ajustavam 
colocando folhas de um material absorvente entre o feixe e 
o alvo.5
O número N de partículas  cujo ângulo de espalhamento 
está entre  e d é igual ao número de partículas incidentes cujo 
parâmetro de impacto está entre b e b + db (Figura 4-10). Esse 
número, por sua vez, é igual ao produto da intensidade do feixe 
incidente, I0, pela área 2bdb que aparece na Figura 4-10. Para 
determinar a área, começamos por diferenciar a Equação 4-3, 
obtendo:
 4-7
Ignorando o sinal negativo (já que estamos interessados apenas 
no valor absoluto da área), multiplicando a Equação 4-7 por 
2bI0 e usando uma identidade trigonométrica (veja o Problema 
4-48), obtemos:
 4-8
na qual fizemos q = 2e para a partícula  e Q = Ze para o núcleo 
do alvo, que contém Z cargas positivas. As N partículas  cujo 
ângulo de espalhamento está entre  e   d passam por uma 
zona esférica de raio r e centro no átomo responsável pelo espa-
lhamento (Figura 4-11). A área dessa zona é Az = (2rsen)(rd). 
Assim, o número de partículas  espalhadas por núcleo e por 
unidade de área com ângulo de espalhamento entre  e   d 
é dado por6
 4-9
FIGURA 4-10 O número de partículas com parâmetro de impacto 
entre b e b + db é proporcional à área 2bdb. Para essas partí-
culas, o ângulo de espalhamento está entre  e   d.
Núcleo 
da folha
Área 2πb db
dθθb
db
12 Leitura Suplementar 4
De acordo com o modelo nuclear de Rutherford, portanto, o 
número de partículas  por núcleoobservadas na tela de um 
cintilômetro de área Az (veja a Figura 4-11) é dado por
 4-10
Como o número de núcleos por unidade de área da folha de 
metal é igual a nt, o cintilômetro deve observar um número total 
∆N = nt∆N1 de partículas com ângulo de espalhamento entre  
e   d. Assim, temos:
 4-6
para qual Ek = mv2/2 é a energia cinética das partículas  antes 
do espalhamento.
A Equação 4-6 pode ser usada para calcular teoricamente o 
número ∆N de partículas que serão observadas na tela do cinti-
lômetro de acordo com o modelo nuclear de Rutherford. Observe 
que, segundo a Equação 4-6, ∆N é proporcional a sen4(/2), a Z2, 
a t e a Ek
2. A Figura 4-12 mostra os resultados obtidos por Geiger 
e Marsden para o número de partículas  espalhadas por unidade 
de área em função de  (Equação 4-9). A energia cinética Ek das 
partículas  antes do espalhamento era 7,7 MeV. Também foi 
examinada a variação de ∆N com outros parâmetros. No final 
do artigo The Laws of Deflection of  Particles through Large 
Angles,7 Geiger e Marsden resumem da seguinte forma os resul-
tados das observações:
Os experimentos descritos neste trabalho foram executados para 
testar uma teoria do átomo proposta pelo Prof. Rutherford, baseada 
no fato de que existe no centro dos átomos uma carga elétrica 
intensa, altamente concentrada. A verificação se baseia nas leis de 
espalhamento que foram deduzidas dessa teoria. As seguintes rela-
ções foram verificadas experimentalmente (o negrito é nosso):
1. O número de partículas  que emergem de uma folha de 
metal fazendo um ângulo  com o feixe original varia 
como 1/sen4(/2) quando as partículas  são contadas em 
uma área definida a uma distância constante da folha. Esta 
relação foi testada para ângulos entre 5o e 150o; nessa faixa, 
o número de partículas  variou entre 1 e 250.000, em boa 
concordância com a teoria.
2. O número de partículas  espalhadas em uma dada dire-
ção é diretamente proporcional à espessura da folha de 
metal para pequenas espessuras. Para grandes espessuras, a 
redução de velocidade das partículas  no interior da folha 
faz com que o número de partículas  aumente um pouco 
mais rapidamente com a espessura.
3. O espalhamento por átomo para folhas de diferentes mate-
riais varia aproximadamente com o quadrado do peso 
atômico. Esta relação foi testada para folhas com átomos de 
pesos atômicos entre o do carbono e o do ouro.8
4. O número de partículas espalhadas por uma mesma folha 
de metal é aproximadamente proporcional ao inverso da 
quarta potência da velocidade das partículas  inciden-
tes [ou seja, a Ek
2]. Esta relação foi testada para um intervalo 
de velocidades tal que o número de partículas espalhadas 
variou de 10 vezes.
A excelente concordância, em uma faixa de quatro ordens de 
grandeza, entre os valores de ∆N medidos por Geiger e Mars-
den e os valores teóricos está ilustrada na Figura 4-9a, que mos-
tra os resultados obtidos com folhas de ouro e de prata. Como 
se pode ver, os pontos experimentais obedecem de perto à varia-
ção linear com sen4(/2) prevista pela teoria. A Figura 4-9b 
mostra os resultados obtidos com folhas de diferentes espessu-
ras. Os dados experimentais mostram que ∆N varia linearmente 
com a espessura, como prevê a teoria, para os quatro materiais 
investigados. A variação de ∆N com Ek também está de acordo 
com as previsões teóricas. Todas essas observações servem para 
mostrar que a equação F = kqQ/r2 usada para chegar às Equa-
ções 4-6 e 4-9 está correta e que o modelo nuclear de Ruther-
ford está de acordo com os resultados experimentais.
Folha
Cintilômetro
r sen θ
r
r
dθθ
r dθ
FIGURA 4-11 As partículas com ângulo de espalhamento entre  e   
d passam por uma zona esférica de raio r e centro no átomo respon-
sável pelo espalhamento. A área dessa zona é Az = (2rsen)(rd). O 
cintilômetro está situado a uma distância r da folha e ocupa uma fra-
ção fci dessa área igual à razão (área do cintilômetro)/(área da superfí-
cie) = Aci/Asup = fci e, portanto, detecta um número de partículas ∆N1 = 
(N/Asup)(Aci) = Ncifci devido ao espalhamento de um núcleo.
1
0
30
°
60
°
90
°
12
0°
15
0°
18
0°
N
/A
su
p
θ
10
102
103
104
105
106
1
FIGURA 4-12 Número de partículas  espalhadas por unidade de área 
em função do ângulo de espalhamento . A curva é proporcional à fun-
ção sen4(/2). Os pontos experimentais foram obtidos por Geiger e 
Marsden usando partículas  de 7,7 MeV. [Fonte: R.D. Evans, The 
Atomic Nucleus, New York, McGraw-Hill, 1955.]
13
CAPÍTULO 4 
LEITURA SUPLEMENTAR 2
Crítica da Teoria de Bohr e da 
“Velha” Mecânica Quântica
Como vimos neste capítulo e no anterior, muitos fenômenos (a 
radiação de corpo negro, o efeito fotelétrico, o efeito Compton, 
o espectro ótico do hidrogênio, os espectros de raios X de muitos 
elementos) podem ser “explicados” por várias hipóteses de quan-
tização. Essas “teorias”, uma estranha mistura de ideias clássicas 
e quânticas, são conhecidas pelo nome genérico de “velha” mecâ-
nica quântica. Aplicar esta mecânica quântica a um problema 
específico nos primeiros anos do século XX era uma mistura de 
arte e ciência, pois ninguém conhecia exatamente as regras. Os 
sucessos da teoria de Bohr, porém, foram inegáveis e espetacu-
lares. Várias linhas espectrais desconhecidas foram previstas e, 
mais tarde, observadas. Não só a constante de Rydberg foi expressa 
em termos de constantes conhecidas, mas a pequena variação no 
valor da constante de elemento para elemento foi explicada pela 
pequena variação da massa reduzida. O raio da primeira órbita de 
Bohr do hidrogênio, 0,0529 nm, era compatível com o diâmetro 
conhecido da molécula de hidrogênio, 0,22 nm. Os comprimen-
tos de onda dos espectros característicos de raios X podiam ser 
calculados a partir da teoria de Bohr.
Os fracassos da teoria de Bohr e da velha mecânica quântica 
foram mais de omissão. Apesar de prever corretamente as tran-
sições do espectro do hidrogênio, a teoria não permitia calcular 
as probabilidades dessas transições, isto é, a teoria era incapaz 
de prever as intensidades relativas das linhas do espectro. A teo-
ria também não podia ser aplicada aos espectros óticos de áto-
mos com mais de um elétron. Finalmente, havia um sério pro-
blema filosófico associado ao fato de que as premissas básicas 
da teoria não tinham uma justificativa lógica. Por que, por exem-
plo, os elétrons dos átomos, embora possuíssem uma aceleração 
centrípeta, não irradiavam energia, como exigia a teoria eletro-
magnética clássica, cuja validade tinha sido exaustivamente tes-
tada? Por que as moléculas das paredes de um corpo negro só 
podiam oscilar com certas frequências? Não havia razão para 
esperar que a lei de Coulomb continuasse a ser válida e as leis 
de radiação tivessem que ser revistas, ou que as leis de Newton 
pudessem ser empregadas, mas apenas certos valores de momento 
angular fossem permitidos. Durante a década de 1920, os cien-
tistas procuraram sanar esses problemas e uma teoria sistemá-
tica, hoje conhecida como mecânica quântica ou mecânica ondu-
latória, foi formulada por de Broglie, Schrödinger, Heisenberg, 
Pauli, Dirac e outros. Vamos estudar alguns aspectos dessa teo-
ria nos próximos dois capítulos e aplicá-la ao estudo de átomos, 
núcleos e sólidos nos capítulos restantes do livro. Como vamos 
ver, embora seja muito mais satisfatória do ponto de vista filo-
sófico, esta teoria é algo abstrata e às vezes difícil de aplicar à 
solução de problemas. Apesar das limitações, a teoria de Bohr 
resulta em um modelo que é fácil de visualizar, permite calcular 
os níveis de energia corretos para o hidrogênio e constitui mui-
tas vezes a maneira mais simples de descrever os cálculos da 
mecânica quântica.
14
CAPÍTULO 5 
LEITURA SUPLEMENTAR 1
O Experimento de Duas Fendas
O significado do dualismo onda-partícula pode ser ilustrado atra-
vés de uma discussão do experimento de duas fendas, seguindo 
uma linha de raciocínio proposta por R. P. Feynman.13 Vamosconsiderar o caso em que o experimento é realizado com elétrons, 
mas o resultado seria o mesmo se as partículas fossem fótons. 
A Figura 5-21a mostra o arranjo experimental. (Trata-se de mais 
um experimento imaginário; não tente reproduzi-lo em casa!) 
Todos os elétrons saem da fonte com a mesma energia e, por-
tanto, com o mesmo comprimento de onda . O detector de elé-
trons pode ser movimentado verticalmente ao longo da parede 
para que o número de elétrons que chegam ao detector seja regis-
trado em função do ângulo , o que permite medir o número de 
elétrons por minuto (ou seja, a taxa de contagem do detector) 
em cada ponto da parede. Durante a execução do experimento, 
duas coisas se tornam evidentes. Em primeiro lugar, ou o detec-
tor revela a chegada de um elétron ou permanece sem ser acio-
nado; em outras palavras, não é observado nenhum “meio elé-
tron” ou “elétron parcial”. Em segundo lugar, a taxa de contagem 
do detector varia de acordo com a posição ao longo da parede, 
ou seja, a probabilidade de que o detector acuse a presença de 
um elétron é função do ângulo . O resultado do experimento é 
a curva P12 da Figura 5-21b, que mostra o número de elétrons 
detectados por minuto em função da posição do detector.
Vamos agora analisar a curva da Figura 5-21b para ver se 
conseguimos compreender o comportamento dos elétrons. Como 
o detector revela a presença apenas de partículas completas, é 
natural imaginar que, para chegar ao detector, cada elétron obser-
vado tenha passado pela fenda 1 ou pela fenda 2. Assim, todos 
os elétrons que chegam à parede passaram por uma das duas 
fendas e, portanto, a curva observada, P12, deve ser a soma dos 
efeitos dos elétrons que passaram pela fenda 1 com os efeitos 
dos elétrons que passaram pela fenda 2. Podemos verificar se 
este raciocínio está correto bloqueando a fenda 2 e repetindo o 
experimento apenas com a fenda 1 aberta. O resultado é a curva 
P1 da Figura 5-21c. Quando repetimos o experimento com a 
fenda 1 bloqueada e a fenda 2 aberta, o resultado é a curva P2 
da Figura 5-21c. Observe que, ao contrário das expectativas, a 
curva P12 não é igual à soma das curvas P1 e P2, ou seja, P12  
P1  P2.
Em analogia com nossa experiência com outros tipos de onda, 
como as ondas luminosas, por exemplo, atribuímos este resultado 
aos efeitos da interferência. P12 é a figura de interferência formada 
pelas ondas de matéria associadas aos elétrons. A curva passa por 
um máximo em  = 0o e a posição do primeiro mínimo é dada por 
d sen  = /2, na qual d é a distância entre as fendas. Se /d << 
1, como é comum neste tipo de experimento, a posição do pri-
meiro mínimo é dada aproximadamente por  = /2d. Como pode-
mos calcular os efeitos da interferência? Basta procedermos como 
no caso das ondas clássicas, em que somamos as amplitudes das 
ondas, levando em conta as fases relativas, e elevamos o resultado 
FIGURA 5-21 (a) Arranjo experimental para produzir uma figura de interferência no experimento de duas fendas com elétrons. O detector pode 
ser deslocado ao longo da parede. (b) Taxa de contagem do detector, P12, com as duas fendas abertas. (c) Taxas de contagem P1 e P2 apenas com 
a fenda 1 aberta e apenas com a fenda 2 aberta.
Canhão de 
elétrons
Detector
θ
Fendas Parede
1
2
x x
P12 P1
P2
(a) (c)(b)
O Experimento de Duas Fendas 15
ao quadrado para calcular a intensidade da onda resultante. Assim, 
se as funções de onda do elétron são 1 para os elétrons que pas-
sam pela fenda 1 e 2 para os elétrons que passam pela fenda 2, 
as intensidades para as três funções que aparecem nas Figuras 5-
21b e 5-21c são as seguintes:
 5-29
Isso significa que os elétrons são detectados como partículas, 
mas se propagam como ondas. Em outras palavras, os elétrons 
se comportam como partículas apenas quando são observados! 
É isso que significa o dualismo onda-partícula. Este resultado 
é conhecido como princípio de complementaridade de Bohr: 
Os aspectos corpuscular e ondulatório são complementares. 
Ambos são necessários, mas não podem ser observados simul-
taneamente. Dependendo do arranjo experimental, podemos 
observar um ou outro aspecto, mas não os dois ao mesmo 
tempo. Existem muitas sutilezas associadas ao fato de que a 
natureza funciona desta forma, como a que será discutida a 
seguir.
Suponha que uma fonte luminosa tenha sido instalada entre 
as fendas e a parede, como na Figura 5-22a. Como as partículas 
carregadas espalham a luz, um elétron que passe pela fenda 2 e 
chegue ao detector percorrendo a trajetória indicada por uma 
linha tracejada produzirá um clarão no ponto A, ou seja, nas 
vizinhanças da fenda 2. Do mesmo modo, um elétron que passe 
pela fenda 1 produzirá um clarão nas vizinhanças da fenda 1. 
Quando realizamos o experimento, eis o que acontece: sempre 
que o detector registra a chegada de um elétron, observamos um 
clarão das proximidades da fenda 1 ou nas proximidades da 
fenda 2, mas nunca das proximidades das duas fendas ao mesmo 
tempo; em outras palavras, os elétrons não passam parcialmente 
pela fenda 1 e parcialmente pela fenda 2. Em outras palavras, 
quando “observamos” o elétron (isto é, quando fazemos incidir 
sobre ele um feixe luminoso), podemos determinar qual foi a 
sua trajetória. Como este fato parece não estar de acordo com 
as conclusões anteriores, vamos examinar a situação mais de 
perto.
Se fizermos um gráfico do número de elétrons que chegaram 
ao detector passando pela fenda 1 em função da posição do detec-
tor, obteremos a curva P1 da Figura 5-22c; se fizermos um gráfico 
do número de elétrons que chegaram ao detector passando pela 
fenda 2, obteremos a curva P2. Essas curvas são iguais às curvas 
P1 e P2 da Figura 5-21c, que foram feitas com uma das fendas 
fechada e correspondem exatamente ao que esperamos. Entre-
tanto, quando fazemos um gráfico do número total de elétrons 
que chegam ao detector em função da posição do detector, obte-
mos a curva P12 da Figura 5-22b, que é simplesmente a soma de 
P1 e P2; a figura de interferência simplesmente desapareceu! Ao 
“observarmos” os elétrons no momento em que estão passando 
pelas fendas, alteramos as trajetórias. Assim, por exemplo, um 
elétron que poderia ter contribuído para um máximo da curva P12 
pode ser desviado na direção de um mínimo de P12. Em outras 
palavras, foi a observação dos elétrons que fez desaparecer a figura 
de interferência. Em termos mais técnicos, o fato de havermos 
determinado que um elétron passou por uma das fendas significa 
que localizamos a posição do elétron com uma precisão x  d/2, 
considerando que d é a distância entre as fendas. De acordo com 
o princípio de indeterminação, devemos ter
 
Assim, se um elétron estava se dirigindo originalmente para o 
máximo de interferência de P12 em  = 0o com um momento 
p = /h, a interação com a luz o faz sofrer um desvio cuja inde-
terminação angular  é dada por
 
O valor acima corresponde aproximadamente à distância entre 
o máximo central e o primeiro mínimo da figura de difração. 
Assim, a simples observação do elétron é suficiente para fazer 
desaparecer a figura de interferência.
FIGURA 5-22 (a) Uma fonte luminosa é usada para determinar por qual das fendas o elétron passou. (b) Taxa de contagem P12 com as duas fen-
das abertas e a fonte luminosa ligada. (c) Taxas de contagem P1 e P2 para os elétrons que passaram pelas fendas 1 e 2, respectivamente.
Canhão de 
elétrons
Detector
Fendas Parede
1
Fonte 
luminosa
2
x x
P 1́2 P 1́
P 2́
(a) (c)(b)
A
16
CAPÍTULO 6 
LEITURA SUPLEMENTAR 1
Solução Gráfica do Poço 
Quadrado Finito
Nesta Leitura Suplementar, é apresentada uma discussão mais 
detalhada da aplicação da equação de Schrödinger a um poço 
de potencial quadrado unidimensional finito, um problema fisi-
camente mais realista que o poço infinito cuja solução será útil 
para futuras discussões. Vamos primeiro deslocar os eixos V(x) 
e x de modo a tornar o potencial simétrico em relação ao ponto 
x = 0, com as paredes ema, como na Figura 6-8b. O objetivo 
é facilitar os cálculos. Como nos casos anteriores, estamos inte-
ressados em soluções para 0 < E < V0. 
A Equação 6-33 é a equação de Schrödinger para a > x > 
+a com V(x) = V0; a solução geral é
 6-36
na qual B1 e B2 são constantes. A condição de que (x) → 0 para 
x →  nos dá B2 = 0 para x < a. Da mesma forma, B1 = 0 
para x > a e, portanto,
 6-37a
 6-37b
A Equação 6-26 é a equação de Schrödinger para a > x > 
a com V(x) = 0; a solução geral, como vimos, é
 6-38
em que A1 e A2 são constantes. Ao contrário do que acontece no 
caso do poço quadrado infinito, porém, não podemos eliminar 
a função seno ou a função cosseno exigindo que a função seja 
nula nas fronteiras do poço, já que a profundidade do poço não 
é infinita. Entretanto, como as duas funções senoidais possuem 
simetrias diferentes (o cosseno é par e o seno é ímpar), pode-
mos estudá-las separadamente quando o potencial é definido de 
forma simétrica, como na Figura 6-8b.
As Equações 6-37 e 6-38 são funções contínuas e as deriva-
das primeiras também são contínuas; assim, as funções comple-
tas (x) e (x) para o poço quadrado finito também são contí-
nuas, o que é suficiente para que sejam funções de onda aceitáveis, 
contanto que também sejam contínuas em x = a e x = a. 
Como podemos assegurar a continuidade da função de onda 
nesses dois pontos? Vamos considerar primeiro a solução par, 
(x) = A2 cos kx.
Em x = a,
 6-39a
 6-39b
Em x = a,
 6-40a
 6-40b
Observamos imediatamente que B1 = B2, o que também podería-
mos ter concluído a partir da simetria do potencial. Combinando 
as Equações 6-39 e 6-40, obtemos:
 
ou
 6-41
Substituindo k e  na equação acima por seus valores, dados 
pelas Equações 6-27 e 6-34, obtemos:
 6-42
No caso das soluções ímpares, (x) = A1 sen kx, um raciocínio 
semelhante leva à condição
 6-43
Solução Gráfica do Poço Quadrado Finito 17
Embora muito trabalhosa do ponto de vista matemático, a solu-
ção destas equações transcendentais pode ser obtida grafica-
mente com relativa facilidade. As soluções são os pontos nos 
quais os gráficos de tan ka e cot ka têm valores em comum 
com /k. A solução gráfica aparece na Figura 6-15. O primeiro 
passo consiste em traçar os gráficos de tan ka e cot ka em fun-
ção de ka. Esses gráficos, naturalmente, são a curva de tan  em 
função de  e o negativo da curva da cot  em função de  que 
estudamos nos cursos de trigonometria. O “ângulo” ka depende 
tanto da energia E da partícula quanto da largura 2a do poço. O 
segundo passo consiste em traçar a curva de /k em função da 
ka. O ponto no qual a curva de /k intercepta o eixo ka é o ponto 
E = V0, que corresponde à altura do poço. Vale a pena chamar a 
atenção para algumas propriedades das soluções do poço qua-
drado finito:
1. Quando aumentamos gradualmente a profundidade do poço, 
ou seja, quando deslocamos para a direita o ponto da Figura 
FIGURA 6-15 Soluções gráficas das Equações 6-41 e 6-43. A figura mostra duas curvas diferentes de /k, que correspondem a diferentes valores 
de V0. O valor de V0 em cada caso é dado pelo valor de ka para o qual /k = 0, indicado pelas setas. Na curva de cima, por exemplo, /k = 0 para 
ka = (2mV0)1/2a/ = 2,75. Os valores permitidos de E são dados pelos valores de ka nas interseções das curvas de /k com as curvas de tan ka 
e cot ka.
0
1
2
3
4
–cot ka
α /k
ka
tan ka
tan ka
α /k
–cot ka
n = 6
n = 5
n = 4
n = 3
n = 2
π 2π 3ππ /2 3π /2 5π/2
6-15 em que /k = 0, uma nova solução e uma nova energia 
permitida aparecem toda vez que o ponto em que /k = 0 
passa por um múltiplo inteiro de /2.
2. Quando reduzimos gradualmente a profundidade do poço, 
ou seja, quando deslocamos para a esquerda o ponto da Figura 
6-15 em que /k = 0, uma solução e uma energia permitida 
desaparecem toda vez que o ponto em que /k = 0 passa por 
um múltiplo inteiro de /2. Entretanto, por menor que seja 
a profundidade do poço, existe sempre pelo menos uma ener-
gia permitida, contanto que V0 > 0.
Obter os valores das constantes nas expressões gerais de (x) 
não é particularmente útil para nossos propósitos, pois já conhe-
cemos a forma geral das funções de onda do poço quadrado 
finito. (Veja a Figura 6-12, lembrando que, nesse caso, L = 2.) 
Usando o método gráfico que acabamos de descrever, é possível 
construir o diagrama de níveis de energia de um poço quadrado 
finito.
18
CAPÍTULO 6 
LEITURA SUPLEMENTAR 2
Transições entre Estados 
Quânticos
Como vimos, a equação de Schrödinger leva à quantização da 
energia em sistemas ligados. A existência de níveis quantizados 
de energia é demonstrada experimentalmente através da obser-
vação da energia emitida ou absorvida quando o sistema sofre 
uma transição de um nível para outro. Nesta Leitura Suplemen-
tar, vamos examinar alguns aspectos dessas transições em um 
sistema unidimensional; os resultados podem ser aplicados facil-
mente a sistemas mais complicados.
Na física clássica, uma partícula carregada emite radiação 
sempre que é acelerada. Se a carga está oscilando, a frequência 
da radiação emitida é igual à frequência de oscilação. Uma dis-
tribuição estacionária de carga não emite radiação.
Considere uma partícula de carga q em um estado quântico 
n descrito pela função de onda
 
na qual En é a energia e n(x) é uma solução da equação de 
Schrödinger independente do tempo para uma certa energia poten-
cial V(x). A probabilidade de que a partícula seja encontrada no 
intervalo entre x e x + dx é *nndx. Se fizermos muitas medições 
em sistemas iguais (isto é, em partículas com a mesma função de 
onda), a carga média encontrada no mesmo intervalo será dada 
por q*nndx. Assim, a grandeza q*nn representa uma densi-
dade de carga . Como já observamos, quando a função de onda 
está associada a uma única energia, a densidade de probabilidade 
é independente do tempo; isso significa que a densidade de carga 
nesse caso também é independente do tempo:12
 
É razoável, portanto, que esta distribuição estacionária de carga 
não emita radiação. (Este argumento, no caso do átomo de hidro-
gênio, é usado para explicar o primeiro postulado de Bohr.) Por 
outro lado, observamos que os sistemas sofrem transições de 
um nível de energia para outro e que as transições são acompa-
nhadas por emissão ou absorção de radiação. A causa das tran-
sições é a interação do campo eletromagnético com uma partí-
cula carregada. Para calcular as probabilidades de emissão e 
absorção, é necessário um tratamento detalhado dessa interação. 
A solução completa é complexa demais para ser analisada neste 
livro; entretanto, podemos aprender muita coisa com um trata-
mento semiclássico, como o que é apresentado a seguir.
Vamos escrever a função de onda de uma partícula que está 
sofrendo uma transição do estado n para o estado m como uma 
mistura das funções de onda dos estados n e m:
 6-52a
Não precisamos nos preocupar com os números a e b; queremos 
apenas mostrar que, se a e b forem diferentes de zero, a densi-
dade de probabilidade e a densidade de carga oscilarão com uma 
frequência angular nm dada pela relação de Bohr hf = nm = 
En  Em, ou seja,
 6-52b
Para simplificar a notação, vamos supor que as funções inde-
pendentes do tempo n(x) e m(x) são reais. A densidade de pro-
babilidade associada à função de onda nm(x,t) é dada por
 6-52c
Os dois primeiros termos são independentes do tempo. O ter-
ceiro termo da Equação 6-52c contém os produtos
 
e
 
onde nm é a frequência angular de Bohr, dada pela Equação 
6-52b. Somando esses termos e usando a identidade
 
Transições entre Estados Quânticos 19
vemos que a densidade de probabilidade depende do tempo e é 
dada por
 6-52d
Assim, a função de onda formada por uma mistura de funções 
de onda correspondentes a dois estados puros leva a uma distri-
buição de carga que oscila com a frequência de Bohr.
Podemos descrever a radiação de um sistema da seguinte 
forma: Em um certo instante,um sistema se encontra em um 
estado excitado n descrito pela Equação 6-52a com a = 1 e b = 
0. Por causa da interação do sistema com o campo eletromag-
nético (que não foi incluído na equação de Schrödinger), a dimi-
nui e b deixa de ser nulo. Nesse momento, a densidade de carga 
começa a oscilar com frequência angular nm. Entretanto, o sis-
tema não irradia energia continuamente, como prevê a teoria 
clássica. Em vez disso, a oscilação da densidade de carga indica 
que existe uma probabilidade finita de que um fóton de energia 
nm = En  Em seja emitido, deixando o sistema no estado m, 
no qual a = 0 e b = 1. A emissão do fóton é um processo esta-
tístico. A Figura 6-16 mostra a variação de |nm|2 durante uma 
transição do primeiro estado excitado para o estado fundamen-
tal do poço quadrado infinito.
Transições Tipo Dipolo Elétrico
O sistema clássico mais simples capaz de irradiar ondas eletro-
magnéticas é o dipolo elétrico oscilante. O valor esperado do 
momento dipolar qx de uma partícula cuja função de onda é  
é dado por
 
De acordo com o que foi discutido anteriormente, se a função 
de onda corresponde a um estado estacionário, o valor esperado 
do momento dipolar é independente do tempo. Caso, porém, a 
função  seja uma mistura como a representada pela Equação 
6-52a, a função q(x) possui termos dependentes do tempo que 
oscilam com a frequência de Bohr. De acordo com a Equação 
6-52d, o momento dipolar pode ser escrito na forma
 6-52e
A integral que aparece na Equação 6-52e é chamada de ele-
mento de matriz. Existem muitos casos em que esta integral é 
nula. Por exemplo: se n e m são funções de onda do poço qua-
drado infinito, um cálculo direto mostra que o elemento de matriz 
da Equação 6-52e é nulo se n e m são ambos pares ou ambos 
ímpares. Em casos como esse, dizemos que as transições do tipo 
dipolo elétrico são proibidas entre os estados envolvidos. A 
ausência de uma transição entre dois estados devido ao fato de 
que o elemento de matriz é nulo muitas vezes pode ser expressa 
através de uma regra de seleção. Assim, por exemplo, uma regra 
de seleção para o poço quadrado infinito especifica que, para 
que uma transição do tipo dipolo elétrico seja possível, a dife-
rença entre os números quânticos dos estados envolvidos deve 
ser 1, 3, 5, ... (e não 2, 4, 6, ...). Vamos encontrar outros exem-
plos de regras de seleção na próxima seção, quando estudarmos 
o oscilador harmônico, e no Capítulo 7, quando examinarmos 
as transições entre os estados estacionários dos átomos. As tran-
sições que discutimos até agora, produzidas pela perturbação 
de um sistema de cargas pelo campo eletromagnético próprio, 
FIGURA 6-16 Densidade de probabilidade nm|2 (Equação 6-52d) 
para uma partícula em um poço quadrado infinito sofrendo uma 
transição do primeiro estado excitado (n = 2) para o estado funda-
mental (m = 1). As contribuições a e b para a mistura de 2 e 1 
(veja a Equação 6-52a) foram calculadas (a) para a = 1 e b = 0; (b) 
para a = 0,75 e b = 0,25; (c) para a = 0,50 e b = 0,50; (d) para a = 
0,25 e b = 0,75; (e) para a = 0 e b = 1. A distribuição de probabi-
lidade que aparece em (a) é a do primeiro estado excitado, antes 
de começar a transição; a que aparece em (e) é do estado funda-
mental, depois de completada a transição.
0 +A–A
Ψ
nm
2
(c)
0 +A–A
Ψ
nm
2
(d )
0 +A–A
Ψ
nm
2
0 +A–A
Ψ
nm
2
(a)
0 +A–A
Ψ
nm
2
(e)
(b)
20 Leitura Suplementar 6
são chamadas de transições espontâneas. Se um sistema (um 
átomo, por exemplo) se encontra em um certo estado e é exposto 
a uma radiação externa cuja frequência é igual à frequência de 
Bohr correspondente a uma transição para um estado de maior 
energia, o sistema pode sofrer essa transição absorvendo um 
fóton da radiação externa. Se o sistema está em um estado exci-
tado e é exposto a uma radiação externa cuja frequência é igual 
à frequência de Bohr correspondente a uma transição para um 
estado de menor energia, o sistema pode sofrer essa transição 
emitindo um fóton com a mesma frequência que a radiação 
externa. Esta emissão estimulada, que acontece nos masers e 
nos lasers, é importante porque o fóton emitido está em fase 
com o fóton que estimulou a transição. Os lasers serão discuti-
dos no Capítulo 9.
21
CAPÍTULO 6 
LEITURA SUPLEMENTAR 3
O Artifício de Schrödinger
A equação de Schrödinger dependente do tempo para o oscila-
dor harmônico simples é
 [1]
cujas soluções estacionárias são
 
nas quais (x) satisfaz a equação independente do tempo
 [2]
A solução da Equação 2 para obter as funções de onda (x) e 
os níveis de energia correspondentes não é trivial. Entretanto, os 
níveis de energia podem ser obtidos (sem recorrer a nenhuma 
aproximação!) usando um artifício engenhoso proposto por 
Schrödinger.
Lembrando que definimos e, 
consequentemente, . Note que  é a frequência 
angular clássica do oscilador: x = x0 cos t, que satisfaz a equa-
ção m(d2x/dt2) = Kx. Substituindo x e dx em termos de y e dy 
na Equação 2, obtemos
 
e
 [3]
Esta última equação pode ser escrita na forma
 [4]
Para confirmar que isso é verdade, note que
 
Assim, a equação de Schrödinger do oscilador harmônico sim-
ples se torna
 [5]
Operando na Equação 5 pela esquerda com obtemos
 
Acontece que, para qualquer função f(y),
 
Assim, para f(y) = temos:
 
o que nos dá
 [6]
Como, de acordo com a Equação 3,
 
vemos que, para e E = E  , a Equação 6 
se torna
 [7]
As Equações 3 e 7 têm exatamente a mesma forma. Isso signi-
fica que se existe uma solução (y) cujo nível de energia cor-
22 Leitura Suplementar 6
respondente é E, então d
dy
y
d
dy
y  

 




também é uma 
solução, e a energia correspondente é E  . A mesma trans-
formação pode ser usada várias vezes; cada vez que é executada, 
a energia é reduzida de . Isso significa que o espaçamento 
dos níveis de energia do oscilador harmônico simples é . 
23
CAPÍTULO 6 
LEITURA SUPLEMENTAR 4
O Diodo Túnel
Uma variação do problema do tunelamento consiste em consi-
derar duas barreiras de potencial, de altura finita V0 e largura 
finita a, separadas por uma distância L, como na Figura 6-32. 
Uma partícula que se encontre inicialmente na região entre as 
duas barreiras oscila de um lado para outro, incidindo periodi-
camente nas barreiras. Cada vez que a partícula incide em uma 
das barreiras, existe uma probabilidade pequena, mas finita, de 
conseguir atravessá-la por tunelamento. Este comportamento é 
responsável por vários fenômenos físicos e pelo funcionamento 
de dispositivos como o diodo túnel e a junção Josephson.
Como seria de se esperar, também existe a probabilidade de 
que um elétron proveniente do exterior consiga atravessar as 
duas barreiras, como mostra a Figura 6-32. A região entre as 
barreiras pode ser considerada como um poço de potencial; a 
diferença está no fato de que, ao contrário do que acontece no 
caso do poço de potencial representado na Figura 6-8, paredes 
do poço possuem uma largura finita. Como nos casos estudados 
anteriormente, a solução da equação de Schrödinger leva a uma 
quantização da energia na região entre as duas barreiras, o que 
nos dá um resultado muito interessante: se a velocidade v de um 
elétron que se aproxima do poço é tal que a energia cinética Ek 
é igual a um dos níveis de energia permitidos no interior do 
poço, En, isso significa que a largura do poço é igual a um múl-
tiplo inteiro de metade do comprimento de onda do elétron (veja 
a Equação 6-23):
 6-80
Nesse caso, as ondas refletidas nas paredes do poço interferem 
construtivamente e, em consequência, a probabilidade de o 
elétron atravessar as duas barreiras pode chegar a 100%, 
embora o coeficiente de transmissão associado a cada barreira 
seja menor que 0,01! (Um fenômeno ótico análogo é obser-
vado no interferômetro de Fabry-Perot.) Esta transmissão res-
sonante para certas energias levou à criação do diodo túnel 
ressonante por Esaki, Chang e Tsu.18 Este dispositivopode ser 
usado em várias aplicações importantes. Os diodos túnel que 
aparecem na micrografia que acompanha esta Leitura Suple-
mentar, por exemplo, foram usados para gerar uma frequência 
de 720 GHz, o que constituiu na época um recorde para osci-
ladores semicondutores.
FIGURA 6-32 Densidade de probabilidade para 
um pacote de ondas incidindo em duas barreiras. 
As duas barreiras têm uma altura V0 e a energia 
das partículas é E < V0. Como, em cada choque, 
parte do pacote é transmitida e parte é refletida, 
uma parte do pacote fica retida entre as duas bar-
reiras. Os picos estreitos são causados pelas des-
continuidades do potencial.
Ψ(x, t )2
x
t
24 Leitura Suplementar 6
Micrografia eletrônica de um conjunto de diodos túnel fabri-
cado por Gerhard Sollner e colaboradores, no MIT Lincoln 
Laboratory. Cada diodo tem 8 m de largura. Camadas de 
semicondutor com uma espessura da ordem de nanômetros 
formam um poço quântico em cada diodo. Os diodos foram 
usados para gerar uma frequência de 720 GHz, o que consti-
tuiu na época um recorde para osciladores semicondutores. 
[A micrografia é cortesia de T.C.L. Gerhard Sollner, MIT Lin-
coln Laboratory.]
25
CAPÍTULO 7 
LEITURA SUPLEMENTAR 1
Átomos com Mais de um 
Elétron Externo
Os níveis de energia e espectros óticos são muito mais compli-
cados no caso de átomos com mais de um elétron na camada 
externa. Nesta Leitura Suplementar, vamos discutir qualitativa-
mente os níveis de energia do hélio e dos metais alcalinoterrosos, 
elementos que pertencem à segunda coluna da tabela periódica. 
Esses átomos são formados por um caroço mais dois elétrons em 
uma camada externa do tipo s. Quase todos os espectros obser-
vados podem ser explicados em termos da transferência de um 
dos elétrons externos para um estado de maior energia. Essas 
transições são conhecidas como transições normais. As transi-
ções que envolvem a excitação simultânea dos dois elétrons da 
camada externa para estados de maior energia são chamadas de 
transições anômalas e serão discutidas apenas de passagem.
No modelo usado para calcular os níveis de energia desses 
elementos, o átomo é composto por dois elétrons iguais subme-
tidos ao potencial elétrico do núcleo e dos outros elétrons. O 
mais simples desses átomos é o hélio, mas o berílio, o magné-
sio, o cálcio, o estrôncio, o bário e o rádio se comportam de 
forma semelhante. Vamos considerar o magnésio (Z = 12) como 
um exemplo específico. A configuração do estado fundamental 
é (1s22s22p6)3s2. No estado fundamental, os dois elétrons exter-
nos têm os mesmos números quânticos espaciais (n = 3,  = 0, 
m = 0) e spins antiparalelos por causa do princípio de exclusão, 
de modo que o spin resultante é zero. Quando um dos elétrons 
externos é transferido para um estado de maior energia, como 
o estado 3p, os números quânticos espaciais dos dois elétrons 
não são mais iguais e o spin resultante S pode ser igual a 1 (spins 
paralelos) ou a 0 (spins antiparalelos). Os estados com S = 0 são 
chamados de singletos. Para S = 1, existem três valores possí-
veis para o momento angular total j, que correspondem às três 
orientações possíveis do vetor S em relação a L: j =   1, j = 
 e j =   1 (exceto para  = 0, caso em que existe apenas um 
valor possível para j, j = ). A interação spin-órbita faz com que 
os três estados possuam energias ligeiramente diferentes, ou 
FIGURA 7-24 Diagrama de níveis de energia do átomo de hélio. 
O desdobramento dos tripletos é pequeno demais para ser visí-
vel na escala da figura. Observe que não existem transições 
entre níveis que não pertencem ao mesmo conjunto, pois isso 
violaria a regra de seleção ∆S = 0.
E
ne
rg
ia
, e
V
0 1sns 1snp
Singletos Tripletos
1snd 3sns 3snp 3snd
–3
–4
–5
–6
–2
–1
–24
–25
1
2
2
3
4 4
3
3
4
3
4
2
3
4
2
3
4
1S 1P 1D 3S 3P 3D
504,8
728,1
39
6,
5
58
,4
50
1,
6
49
2,
2
66
7,
8
44
7,
1
58
7,
6
31
8,
8
38
8,
9
471,3
706,5
26 Leitura Suplementar 7
seja, produz um desdobramento fino. Por essa razão, os estados 
com S = 1 são chamados de tripletos. Neste caso, portanto, exis-
tem dois conjuntos diferentes de níveis de energia e dois con-
juntos de linhas espectrais, um para S = 0 e outro para S = 1. 
Alguns dos níveis de energia e transições para o átomo de hélio 
aparecem na Figura 7-24.
A Figura 7-25 mostra o diagrama de níveis de energia do 
magnésio e as transições principais. Na escala deste diagrama, 
como na da Figura 7-24, o desdobramento fino dos estados tri-
pleto não pode ser observado. Repare que todas as transições 
do magnésio, exceto uma, obedecem à regra de seleção ∆S = 0, 
isto é, os estados tripleto e singleto não se misturam. Uma tran-
sição que viole esta regra, como a transição indicada na figura 
(entre o estado tripleto 3s3p e o estado fundamental) é conhe-
cida como linha de intercombinação. Observe que, na ausência 
de linhas de intercombinação, existem certos estados excitados 
a partir dos quais o átomo não pode decair facilmente. Os esta-
dos 21S0 e 23S1 do hélio são dois exemplos (veja a Figura 7-24). 
Estados desse tipo são conhecidos como estados metaestáveis 
e sua existência é importante para o funcionamento dos lasers, 
como veremos no Capítulo 9. Voltaremos à questão das linhas 
de intercombinação em um momento, após discutirmos a dife-
rença de energia entre os estados singleto e tripleto.
Examinando de perto a Figura 7-25, podemos ver que os 
níveis de energia dos singletos são maiores que os dos tripletos 
com a mesma configuração eletrônica. Considere, por exemplo, 
os estados que possuem um elétron no estado 3p. Se não fosse 
pela interação eletrostática dos dois elétrons, o estado singleto 
1P1 (j = 1, já que S = 0 e  = 1) e os estados tripleto 3Pj (com j = 
2, 1 ou 0, já que S = 1 e  = 1) teriam a mesma energia, a não 
ser pelo pequeno desdobramento fino. Evidentemente, a energia 
de interação eletrostática entre os dois elétrons é muito maior 
nos estados singleto do que nos estados tripleto.
A causa dessa diferença de energia é um efeito quântico sutil 
que tem a ver com a simetria da função de onda total de duas 
partículas iguais. Como vimos na Seção 4-7, a função de onda 
de duas partículas em uma dimensão, com uma das partículas 
no estado n e a outra no estado m, é dada por
 7-66
considerando que o sinal positivo se aplica a uma função simé-
trica em relação à permuta das duas partículas e o sinal negativo 
a uma função antissimétrica. Dissemos na ocasião que a função 
de onda de um sistema de elétrons é sempre antissimétrica; deve-
mos agora incluir o spin na função de onda. A função de onda 
total de duas partículas pode ser escrita como o produto da parte 
espacial (x), dada pela Equação 7-66, por uma função  asso-
ciada ao spin. A função de onda total, incluindo o spin, é, por-
tanto, igual a . A parte de spin da função de onda é simétrica 
para o estado tripleto (S = 1) e antissimétrica para o estado sin-
gleto (S = 0). Assim, para que a função de onda total seja antis-
simétrica, é preciso que a parte espacial da função de onda seja 
antissimétrica se o estado for um tripleto e que seja simétrica 
se o estado for um singleto. Observe na Equação 7-66 que, se 
FIGURA 7-26 Densidade de probabilidade em função da distância entre 
dois elétrons. (a) No estado singleto, a parte espacial S da função de 
onda é simétrica e a parte de spin A é antissimétrica. A densidade de 
probabilidade é máxima em x = 0. (b) No estado tripleto, a parte espa-
cial é antissimétrica e a parte de spin é simétrica. A densidade de pro-
babilidade é mínima em x = 0. Como a distância média entre os elétrons 
é maior no estado tripleto, a energia do sistema é menor neste estado.
E
, e
V
0
–3
–4
–5
–6
–7
–1
–2
–7,62 3
4
4
3
4
5
6
4
5
6
5
8
7
6
4
4 4
5
6
5
6
5
3
3
4
5
6
7
1S 1P 3D3,2,1
3S1D
457,
11
38
3,
83
38
3,
23
38
2,
94518,37
517,27
516,74
150
2,3
150
3,3
76
5,
75 14
87
,7
571,11
1182,83
55
2,
84
88
0,6
7
12
08
,3
28
5,
2120
2,
58
3sns 3snp
Singletos Tripletos
3snd
1F
3snf 3snd
3F4,3,2
3snf
sP2,1,0
3snp3sns
3
5
6
7
FIGURA 7-25 Diagrama de níveis de energia do átomo 
de magnésio. O desdobramento dos tripletos é pequeno 
demais para ser visível na escala da figura. Observe que 
as energias dos singletos são maiores que as dos triple-
tos correspondentes. Isso acontece porque, como mostra 
a Figura 7-26, a distância média entre os elétrons da 
última camada é maior nos estados tripleto do que nos 
estados singleto.
ψSχA2
ψAχS2
(a)
(b)
Átomos com Mais de um Elétron Externo 27
FIGURA 7-27 Estados 33P normal e anômalo do átomo de magnésio. 
Os estados de maior energia, 3P, são estados anômalos e estão apro-
ximadamente duas vezes mais distantes do estado fundamental (que 
não aparece na figura) que os estados 3P normais. Observe que as tran-
sições entre níveis que não pertencem ao mesmo conjunto, ilustradas 
pelo espectro experimental que aparece na parte inferior da figura, vio-
lam a regra de seleção ∆  1.
x1 = x2, a função de onda espacial antissimétrica é nula. Este é 
um exemplo da propriedade geral, ilustrada na Figura 7-26, de 
que, no estado antissimétrico, as partículas tendem a se manter 
mais afastadas do que no estado simétrico. Como a energia de 
interação devido à repulsão eletrostática é positiva e varia inver-
samente com a distância entre as partículas, essa energia é maior 
no estado em que a parte espacial da função de onda é simétrica 
e a parte de spin é antissimétrica (S = 0), do que no estado em 
que a parte espacial da função de onda é simétrica e a parte de 
spin é simétrica (S = 1). A diferença é da ordem de 1 eV, ou seja, 
muito maior que o desdobramento fino.16
A simetria das funções de onda também explica a regra de 
seleção S = 0 que proíbe transições entre singletos e tripletos. 
Como foi visto na Leitura Suplementar Transições Entre Níveis 
de Energia, uma transição entre dois estados m e n pode ser 
atribuída a uma oscilação da distribuição de carga. No caso de 
uma radiação do tipo dipolo elétrico, o momento dipolar de um 
elétron isolado é dado por
 
No caso de estados envolvendo dois elétrons, o elemento de 
matriz nxm dx se torna n(x1 + x2)m dx. Como vimos, a 
parte espacial da função de onda total é antissimétrica para os 
estados tripleto e simétrica para os estados singleto. Assim, em 
uma transição de um estado tripleto para um estado singleto, m 
é uma função antissimétrica a e n é uma função simétrica s; 
nesse caso, a parte dependente do tempo do momento dipolar 
se torna
 7-67
Acontece (leia com atenção, pois se trata de um raciocínio sutil!) 
que, se os dois elétrons forem permutados, o valor de qx não 
poderá mudar, já que os elétrons são iguais; entretanto, a troca 
faz a mudar de sinal, enquanto os valores de s (veja a Seção 
6-7) e x1  x2 permanecem os mesmos. Como o valor da inte-
gral não pode mudar quando os dois elétrons são permutados, 
esse valor deve ser nulo. A conclusão é que as transições entre 
estados singleto e estados tripleto são proibidas, ou seja, ∆S = 
0. (Esta conclusão pode ser estendida a outros conjuntos de esta-
dos e outros tipos de radiação.)
Já que as transições com ∆S  0 são proibidas, o leitor deve 
se estar perguntando por que as linhas de intercombinação, como 
a linha de 457,11 nm do magnésio mencionada no texto e mos-
trada da Figura 7-25, são observadas experimentalmente. A 
explicação está em nossa hipótese de que a função de onda total, 
que deve ser antissimétrica em relação ao intercâmbio de partí-
culas idênticas, pode ser escrita como o produto  de uma fun-
ção espacial por uma função de spin, que individualmente podem 
ser simétricas ou antissimétricas. Quando o acoplamento spin-
órbita é considerável, a separação entre a parte espacial e a parte 
de spin da função de onda deixa de constituir uma boa aproxi-
mação e, portanto, não existe mais uma função espacial  cujo 
elemento de matriz possa se anular. No caso dos elementos leves 
(pequenos valores de Z), o acoplamento spin-órbita é relativa-
mente fraco e, portanto, a regra de seleção ∆S = 0, que proíbe 
as linhas de intercombinação, é respeitada quase absolutamente. 
É o que acontece, por exemplo, no caso do hélio (Figura 7-24). 
À medida que Z aumenta, porém, a proibição vai se tornando 
menos rigorosa, o que explica a existência da linha de intercom-
binação do Mg na Figura 7-25.
Até agora, estivemos discutindo os estados dos átomos nos 
quais apenas um dos elétrons externos é transferido para outro 
nível. Também existem estados nos quais dois ou mais elétrons 
externos são transferidos simultaneamente para outros níveis. 
Vamos concluir esta Leitura Suplementar com uma breve dis-
cussão desses chamados estados anômalos. Tomando novamente 
o magnésio como exemplo, o primeiro estado excitado normal 
é o estado 33P (veja a Figura 7-25), para o qual a configuração 
dos elétrons externos é 3s3p. O primeiro estado anômalo, como 
seria de se esperar, é aquele no qual os dois elétrons externos 
são transferidos para o nível 3p, isto é, um estado com a confi-
guração 3p2. A energia de excitação do átomo para atingir este 
estado é 5 eV, ou seja, aproximadamente duas vezes maior do 
que a energia de excitação para atingir o estado normal 33P, que 
é 2,4 eV (Figura 7-25). A Figura 7-27 mostra os estados 33P 
normal e anômalo, incluindo o efeito spin-órbita, juntamente 
com as transições observadas entre esses estados. Todas as seis 
transições (denominadas tripleto anômalo) que ocorrem entre 
os níveis 3P e 3P da Figura 7-27 violam a regra de seleção 
∆ = 1, Equação 7-28. A regra surgiu da solução da equação 
de Schrödinger para um único elétron. No caso de transições 
envolvendo estados excitados de dois ou mais elétrons, ∆ para 
o átomo como um todo pode ser zero, contanto que as mudan-
ças de nível dos elétrons associados à transição respeitem a regra 
de seleção ∆ = 1. Estados anômalos foram observados na 
maioria dos elementos, mas são relativamente raros nos elemen-
tos leves, pois nesses elementos a energia de formação desses 
estados é, na maioria dos casos, maior que a energia de ioniza-
ção. Por outro lado, os estados anômalos são numerosos nos 
elementos pesados, o que explica em parte a maior complexi-
dade dos espectros desses elementos.
2
j
1
0
pp 3P´
2
1
0
sp 3P
f
28
CAPÍTULO 7 
LEITURA SUPLEMENTAR 2
O Efeito Zeeman
Como foi dito no Capítulo 3, o desdobramento das linhas espec-
trais de um átomo por ação de um campo magnético externo foi 
investigado sem sucesso por Faraday, previsto por Lorentz com 
base na teoria clássica e observado pela primeira vez por Zee-
man,17 nome pelo qual o efeito é hoje conhecido.
Na mecânica quântica, a mudança da frequência e do com-
primento de onda de uma linha espectral indica que houve uma 
mudança da energia de um dos estados envolvidos na transição 
ou das energias dos dois estados. Por questões históricas, o efeito 
Zeeman associado a transições entre estados do tipo singleto é 
chamado de efeito Zeeman normal, enquanto o efeito associado 
a transições entre estados dos quais pelo menos um tem o spin 
diferente de zero recebe o nome de efeito Zeeman anômalo.18 
Como, na verdade, não existe uma diferença fundamental entre 
os dois efeitos, não faremos nenhuma distinção entre eles, a não 
ser por uma exceção: como a presença do spin complica um 
pouco os cálculos no caso do efeito Zeeman anômalo, o efeito 
Zeeman em transições entre estados do tipo singleto será discu-
tido em primeiro lugar.
Efeito Zeeman Normal
No caso de estados do tipo singleto, o spin é zero e o momento 
angular total J é igual ao momento angular orbital L. Quando 
o átomo é submetido a um campo magnético externo, a energia 
varia por causa da interação do momento magnético do átomo 
com o campo magnético, que é dada por
 7-68
onde, como na Equação 7-54, a direção z foi definida como a 
direção de B. Substituindo z pelo seu valor, dado pela Equação 
7-43, temos: z = mgLB =