MACS - 11 ano

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Filipe Reduto Gaspar https://resumosdesecundario.blogspot.com 
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Matemática Aplicada às Ciências Sociais (M.A.C.S.) 
3– Modelos matemáticos 
3.2 – Modelos de grafos 
3.2.1 – Linguagem e notações da teoria dos grafos 
3.2.1.1 – Grafo, vértices, arestas, subgrafo, grafo ponderado e 
orientado 
Um grafo G é um par 
(V,A) em que V 
representa o conjunto 
(não vazio) dos vértices 
e A o conjunto das 
arestas. Uma aresta liga 
um vértice com outro 
vértice ou o vértice com 
ele próprio – uma aresta 
que o faz é chamada 
lacete ou laço. Um grafo 
sem arestas chama-se grafo nulo. 
Um vértice isolado é um vértice que não tem ligação com nenhum outro vértice. 
Se dois vértices estão ligados por mais do que uma aresta, então as arestas que os ligam 
são chamadas arestas paralelas. 
Um grafo G é chamado subgrafo do 
grafo H se todo o vértice de G é vertice 
de H e se toda a aresta de G é aresta 
de H. 
Um grafo é ponderado quando as suas arestas possuem um peso (caso esse grafo seja 
a representação de um mapa, por exemplo, o peso pode ser a distância, tempo, preço 
entre um vértice e outro). 
Se as arestas de um grafo têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) esse grafo é orientado ou é um digrafo. 
3.2.1.2 – Adjacência, ordem, dimensão e grau dos vértices 
Vértices adjacentes são dois vértices com uma aresta a uni-los. Arestas adjacentes são 
duas arestas com um vértice em comum. 
Ao nº de vértices dum grafo chama-se ordem, e ao nº de arestas chama-se dimensão. 
O grau ou valência de um vértice é igual ao nº de arestas que começam (ou terminam) 
nesse vértice. O lacete conta duas vezes. 
A soma de todos os graus dos vértices é igual a 2 × nº de arestas. 
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Num grafo sem pontos isolados, o nº de vértices de grau ímpar é par. 
Um grafo regular é um grafo em que todos os vértices têm o mesmo grau. 
3.2.1.3 – Grafo conexo, ponte e grafo completo 
Um grafo é conexo quando qualquer vértice está ligado por uma aresta ou por uma 
sequência de arestas a qualquer um dos outros vértices do grafo. 
A uma aresta cuja remoção transforma um grafo conexo em desconexo chama-se ponte. 
 
Chama-se grafo completo e simples a um grafo em que quaisquer dois dos seus vértices 
são adjacentes, isto é, há pelo 
menos uma aresta para cada 
par dos seus vértices. Esses 
grafos são designados por Kn, 
em que n representa a ordem 
do grafo. 
3.2.1.4 – Caminho e circuito 
Sejam x e y dois vértices de um grafo G. Um caminho de 
x para y é uma sequência alternada de vértices e arestas 
adjacentes de G. Esta sequência começa em x e termina 
em y. Um grafo que tenha no máximo 2n vértices pode 
ser percorrido completamente por n caminhos distintos 
e separados. No exemplo ao lado, o caminho representa-
se por A – B – C – F. 
Um circuito ou ciclo é um caminho que começa e acaba 
no mesmo vértice. Chama-se comprimento de um 
circuito ao nº de arestas por que é constituído. No 
exemplo ao lado, o circuito representa-se por A – B – C – 
D – E – F. 
3.2.2 – Grafos eulerianos 
3.2.2.1 – Circuito e caminho de Euler 
Um circuito de Euler é um circuito que passa uma única vez em cada aresta do grafo. 
Um grafo diz-se euleriano se admite um circuito de Euler. O teorema de Euler diz que 
um grafo é euleriano se for conexo e se todos os seus vértices forem de grau par. 
Um caminho euleriano é um caminho que passa uma única vez em cada aresta. O 
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teorema do caminho de Euler diz que um grafo admite um caminho euleriano se for 
conexo e se tiver apenas dois vértices com grau ímpar. Tal caminho terá início num dos 
vértices de grau ímpar e terminará no outro vértice de grau ímpar. 
3.2.2.2 – Eulerizar um grafo 
Ao processo que consiste em transformar um grafo que não é de Euler num grafo de 
Euler, duplicando arestas, chama-se eulerizar um grafo. 
 
 
 
 
3.2.3 – Grafos hamiltonianos 
3.2.3.1 – Circuito de Hamilton 
Chama-se circuito de Hamilton ou hamiltoniano a um caminho que começa e acaba no 
mesmo vértice, passando por todos uma única vez. Um grafo que admite um circuito de 
Hamilton é um grafo hamiltoniano. Num grafo com pontes não existem circuitos de 
Hamilton, mas num grafo completo existem sempre. O teorema de Dirac (que nem 
sempre funciona) diz que um grafo pode ser hamiltoniano se o grau de todos os vértices 
for maior ou igual à metade da ordem do grafo. 
Um caminho de Hamilton ou hamiltoniano é um caminho que passa uma única vez por 
todos os vértices. Um grafo hamiltoniano admite sempre caminhos de Hamilton. 
3.2.3.2 – Circuitos de Hamilton em diferentes tipos de grafos 
Grafos bipartidos 
Um grafo bipartido é um grafo com dois conjuntos de 
vértices iguais, em que cada vértice de um conjunto está 
ligado a todos os outros vértices do outro. Se o nº de vértices 
de uma linha for igual ao nº de vértices da outra linha, o grafo 
é hamiltoniano. 
Grafos-grelha 
Considere-se m o nº de linhas e n o nº de colunas num 
grafo-grelha: 
• Se m e n forem pares, o grafo é hamiltoniano; 
• Se m ou n forem ímpares, o grafo é hamiltoniano; 
• Se m e n forem ímpares, o grafo não é 
hamiltoniano. 
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Grafos completos 
• Nº de circuitos em Kn = (n-1)! ; 
• Nº de arestas em Kn = 
n (n−1)
2
; 
• Nº de circuitos diferentes em Kn = 
(n−1)!
2
. 
Grafos planares 
Um grafo planar é um grafo que pode ser 
desenhado no plano de forma que as arestas não 
se cruzem. Alguns destes grafos podem ser 
hamiltonianos. 
3.2.3.3 – Algoritmos de circuitos hamiltonianos 
Algoritmo da cidade mais próxima 
1 – Seleciona-se a cidade (vértice) de partida. 
2 – Segue-se de cidade em cidade, indo para a mais próxima não visitada, tendo em 
conta que se houver dois vértices com a mesma proximidade, escolhe-se um 
aleatoriamente, e que só se pode fechar o circuito quando todos os vértices tiverem sido 
visitados. 
Algoritmo do peso das arestas 
1 – Ordenam-se as arestas pelos seus pesos; 
2 – Escolhem-se sucessivamente as arestas de menor peso, tendo em conta que um 
vértice nunca poderá aparecer três vezes e que nunca se fecha um circuito havendo 
vértices por visitar. 
3 – Ordena-se a solução conforme o vértice de partida escolhido. 
3.2.4 – Árvores 
3.2.4.1 – Propriedades e árvore abrangente 
Árvores são uma classe de grafos que não têm circuitos (não podem ter arestas paralelas 
nem lacetes) e que são conexos. Numa árvore, só há um caminho entre dois vértices, e 
cada aresta é uma ponte. Uma árvore com n 
vértices tem n-1 arestas. 
Uma árvore abrangente é um subgrafo 
conexo que contém todos os vértices do seu 
grafo. 
 
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Tempo mínimo – 11+2+14 = 27 min. 
 
3.2.4.2 – Algoritmo de Kruskal 
Escolher sucessivamente as arestas com menor peso, até se formar uma árvore 
abrangente. 
3.2.4.3 – Algoritmo de Prim 
1 – Encontrar a aresta com menor peso (se houver mais do que uma, escolhe-se ao 
acaso). Colocar em T (conjunto dos vértices pertencentes à árvore) os dois vértices 
adjacentes a essa aresta; 
2 – Escolher a aresta de menor peso que ligue um vértice de T a um vértice de S 
(conjunto dos vértices que ainda não pertencem à árvore) e repetir até não haver mais 
vértices em S. 
3.2.4.4 – Caminho crítico 
O método do caminho crítico pode conduzir a um dígrafo que permite determinar o 
tempo mínimo de execução de um projeto quando se conhecem as diversas etapas e as 
respetivas dependências. 
Exemplo: 
Tarefa Tempo (min.) Pré-requisitos 
1 8 Nenhum 
2 11 Nenhum 
3 7 1 
4 6 5 
5 2 1 e2 
6 14 5 
7 9 2 
Para se determinar o tempo mínimo, deve-se começar por escolher a tarefa que demora 
mais tempo a ser feita. Escolhe-se depois a tarefa seguinte, que depende dela, e que 
demora mais tempo a ser feita, e assim sucessivamente. Porém, deve-se tomar atenção 
às outras tarefas fora dessa linha de dependência, que podem demorar mais tempo a 
serem feitas do que várias juntas. 
3.3 – Modelos populacionais 
3.3.1 – Modelo linear 
3.3.1.1 – Progressão aritmética 
Uma sequência ou progressão é aritmética quando an+1 – an = r, ou seja, quando a 
diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é constante. Ao número r chama-
se razão. 
O termo geral de uma progressão aritmética (an) é igual a an = a1 + (n – 1) × r ou a 
an = a0 + n × r. 
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A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (an) é dada pela fórmula 
Sn = 
a1+ an
2
× n . 
3.3.1.2 – Modelo de regressão linear 
y = ax + b, em que a e b são números reais. 
3.3.2 – Modelo exponencial 
3.3.2.1 – Progressão geométrica 
Uma sequência ou progressão é geométrica quando 
an+ 1
an
= r ou quando an – 1 = an × r . 
O termo geral de uma progressão geométrica é igual a an = a1 × rn – 1 . 
A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula 
Sn = a1 × 
 1− rn
1−r
 . 
3.3.2.2 – Modelo de regressão exponencial 
y = a × bx, em que a e b são números reais. 
3.3.2.3 – Modelo de Malthus 
P(t) = Pert, em que P é a população para t=0 (ou seja, população inicial), r é a razão do 
crescimento/decrescimento e t o tempo de crescimento ou de decrescimento da 
população. 
3.3.3 – Modelo logarítmico 
3.3.3.1 – Propriedades da função logarítmica 
• 10x = a  x = log a; 
• ex = a  x = ln a; 
• r × log a  log (ar); 
• log 10r = r. 
3.3.3.2 – Modelo de regressão logarítmica 
y = a + b ln x, em que a e b são números reais. 
3.3.4 – Modelo logístico 
3.3.4.1 – Modelo de regressão logístico 
y = 
𝐜
𝟏+𝐚𝐞−𝐛𝐱
 , em que a, b e c são números reais. 
 
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V 
 
V 
 
V 
 
F 
 
F 
 
F 
 
(V,V) 
 
(V,F) 
 
(F,V) 
 
(F,F) 
 
Diagrama 
de Venn 
 
4 – Modelos de probabilidade 
4.1 – Noções básicas 
4.1.1 – Experiências e espaço de resultados 
4.1.1.1 – Experiências 
• Determinista – produz sempre o mesmo resultado; 
• Aleatória – não se conhece o resultado antes de se realizar a experiência: 
• Simples – produz-se uma ação; 
• Composta – produzem-se duas ou mais ações. 
4.1.1.2 – Espaço de resultados 
O espaço de resultados ou espaço amostral é representado por S, E ou Ω, e é 
constituído pelos resultados possíveis de uma experiência. 
4.1.2 – Acontecimentos 
4.1.2.1 – Tipos de acontecimentos 
• Elementar – um único resultado; 
• Composto – dois ou mais resultados; 
• Certo – o resultado consta de todos os elementos: A = Ω; 
• Impossível – o resultado não tem qualquer elemento: A = Ø ou A = { }. 
Para a contagem de casos possíveis numa experiência, podem-se utilizar diagramas de 
árvore ou tabelas de dupla entrada. 
 
 
 
 
4.1.2.2 – Operações com acontecimentos 
Acontecimento união/ reunião 
Acontecimento constituído por todos os resultados de A e B. Representa-se por A ∪ B. 
S A∪B ou S A∪B 
 
 A B A B 
 
 V F 
V (V,V) (V,F) 
F (F,V) (F,F) 
 
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Acontecimento interseção 
Acontecimento constituído pelos resultados que pertencem simultaneamente a A e a 
B. Representa-se por A ∩ B. 
Quando há uma interseção entre dois acontecimentos, e se quer saber a probabilidade 
de A ou B ocorrerem sem que ambos possam ocorrer simultaneamente, deve-se 
descobrir o valor de A ∩ B, e, de seguida, subtrai-lo com A + A ∩ B e B + A ∩ B. Para se 
descobrir o valor de A ∩ B, somam-se os valores de todos os acontecimentos (ainda 
com A∩B incluído) e, de seguida, subtraem-se com o total. 
S 
 
 A A ∩ B B 
 
Acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos 
Acontecimentos que não têm elementos em comum. 
S 
 A ∩ B = { } 
 A B 
 
Acontecimento complementar ou contrário 
Acontecimento constituído por todos os resultados de S que não pertencem a A. 
Representa-se por Ā ou Ac. 
De acordo com as leis de De Morgan, A ∩ B̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = A ∪ B e A ∪ B̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = A ∩ B. 
S 
 
 A Ā 
 
 
4.1.2.3 – Acontecimentos independentes 
Dois acontecimentos são independentes quando a realização de um deles não 
interfere na probabilidade da realização do outro: P(A ∩ B) = P(A) × P(B). 
 
 
 
 
 
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4.2 – Cálculo de probabilidades 
4.2.1 – Lei de Laplace 
P(A) = 
nº de resultados favoráveis a A
nº de resultados que constituem S
 
4.2.2 – Probabilidade condicional, probabilidade total e regra de 
Bayes 
4.2.2.1 – Probabilidade condicional 
Probabilidade de A tendo em conta que B = P(A|B) = 
P(A ∩ B)
P(B)
 = 
P(A) × P (B|A)
P(B)
 
4.2.2.2 – Teorema da probabilidade total 
Seja S constituído por B1, B2, …, Bk, e A um acontecimento. 
P(A) = P(B1) × P(A|B1) + P(B2) × P(A|B2)+ … + P(Bk) × P(A|Bk) 
S 
 
 A 
 
 B1 B2 B3 
4.2.2.3 – Regra de Bayes 
P(Bi|A) = 
P(A ∩ Bi)
P(A)
 = 
P(Bi) × P (A|Bi)
P(B1) × P(A|B1) + P(B2) × P(A|B2)+ … + P(Bk) × P(A|Bk) 
 
4.3 – Distribuição de probabilidades 
4.3.1 – Variável aleatória e distribuição de probabilidades de 
uma variável aleatória discreta 
Uma variável aleatória é uma variável cujo valor é um resultado numérico associado 
ao resultado de uma experiência aleatória, e é representada por X, Y ou Z. 
Uma variável aleatória é discreta se toma um nº finito de valores ou um nº infinito 
numerável. 
Uma variável aleatória é contínua se toma todos os valores de um intervalo ou reunião 
de intervalos. 
Chama-se distribuição de probabilidades ou função massa de probabilidades de uma 
 
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variável aleatória discreta X à aplicação que 
a cada valor xi da variável X faz corresponder 
a respetiva probabilidade pi. Tal representa-
se por: 
4.3.1.1 – Valor médio e desvio-padrão populacional de uma 
distribuição de probabilidades 
O valor médio (µ) de uma distribuição de probabilidades é obtido pela multiplicação 
de cada valor xi pela respetiva probabilidade e à soma dos resultados obtidos, ou seja: 
µ = ∑ xi pi
n
i=1
 
Num jogo: quando µ > 0 – o jogo é favorável ao jogador; quando µ = 0 – o jogo é 
equitativo; µ < 0 – o jogo é favorável à casa. 
O desvio-padrão populacional (σ) de uma distribuição de probabilidades é igual à raiz 
quadrada da variância populacional (σ2) de uma distribuição de probabilidades, ou 
seja, σ = √σ2. 
A variância populacional é igual à multiplicação de cada resultado (xi - µ)2 pela 
probabilidade pi = P(X=xi), e à soma dos resultados obtidos, ou seja: 
σ2 = ∑(xi − µ)2pi
n
i=1
 
4.3.2 – Distribuição binomial 
4.3.2.1 – Modelo de distribuição binomial 
No modelo de distribuição binomial: 
• Há n provas idênticas; 
• Em cada prova da experiência aleatória, são apenas possíveis dois resultados – o 
sucesso A ou o insucesso Ā; 
• O resultado de cada prova é independente dos resultados obtidos anteriormente; 
• A probabilidade do sucesso A(p) não varia de uma prova para outra; 
• Todas as experiências têm reposição. 
A variável aleatória X é discreta e pode assumir os valores 0, 1, 2, …, n, e representa o 
nº de sucessos nas n provas. Esta chama-se variável aleatória com distribuição 
binomial de parâmetros n e p, e representa-se por B (n,p). 
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Para se determinar a probabilidade de uma variável aleatória X discreta com 
distribuição binomial assumir valores como 1, 2, …, n, utiliza-se a seguinte fórmula: 
P(X = k) =
n!
k! (n − k)!
× pk(1 − p)n−k, k = 0, 1, 2, … , n 
Na qual X é a variável aleatória, k o valor 
pretendido, n o nº de provas e p a probabilidade 
de sucesso. 
 
Valor médio e desvio-padrão populacional da distribuição binomial 
• µ = n × p; 
• σ2 = n × p × (1-p); 
• σ = √σ2. 
4.3.3 – Distribuição normal 
Para as variáveis aleatórias contínuas, utiliza-se o modelo normal. A função densidade, 
curva normal ou curva de Gauss, que se representa por uma curva com forma de sino, 
é, para a população, o equivalente ao histograma para a amostra. 
 
4.3.3.1 – Características da curva normal 
• É simétrica em relação ao valor médio µ da variável; 
• Uma variável aleatória X com distribuição 
normal de valor médio µ e desvio-padrão σ 
representa-se por N (µ,σ); 
• Quanto maior for o desvio-padrão σ, mais 
achatada é a curva; 
• A área compreendida entre a curva e o 
eixo dos xx é igual a 1; 
• A área abaixo da curva distribui-se em intervalos da seguinte forma: 
Casio: Stat – Dist – Binm – Bpd 
– Var: Num= n; P = p; x = k 
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• Probabilidades de 
diferentes intervalos 
representam-se por 
P(A≤X≤B), e podem ser 
calculados a partir dos 
valores da curva ao lado, 
ou através da 
calculadora. 
4.3.3.2 – Distribuição normal estandardizada 
Distribuição normal standard/ estandardizada/ tipificada é aquela em que N (0,1), na 
qual µ = 0 e σ = 1. 
Para se estandardizar uma variável X da distribuição N (µ,σ), tem que se transformar a 
variável em Z de distribuição N (0,1). Para tal, utiliza-se a seguinte fórmula: Z = 
X− µ
σ
. 
5 – Introdução à inferência estatística 
5.1 – Noções básicas 
5.1.1 – Conceitos 
A inferência estatística é um processo de raciocínio indutivo, em que se procuram tirar 
conclusões sobre uma população a partir de uma amostra. 
A população ou universo estatístico é o conjunto de elementos com pelo menos uma 
característica comum que se pretende analisar. 
Faz-se um censo quando se quer realizar um estudo estatístico que incida sobre todos 
os elementos da população. 
Parâmetro é um nº que descreve a população (por exemplo, µ ou σ). 
A amostra é o subconjunto finito da população. 
Faz-se uma sondagem quando se quer realizar um estudo estatístico em que se utilize 
apenas uma amostra da população. 
O estimador estima parâmetros a partir de dados amostrais. Estimativa é o valor 
numérico assumido pelo estimador, quando são substituídos os dados amostrais . 
Estatística é um nº que descreve a amostra. 
À distribuição de todos os valores obtidos pelo estimador, para todas as amostras 
possíveis, da mesma dimensão, que se podem extrair da população, dá-se o nome de 
distribuição de amostragem do estimador (ou da estatística). 
Casio: Stat – Dist – 
Norm – Ncd 
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5.1.2 – Métodos de amostragem 
Um processo de amostragem diz-se enviesado quando tende sistematicamente a 
selecionar elementos de alguns segmentos da população, e a não selecionar 
sistematicamente elementos de outros segmentos da população. De modo a que o 
processo de amostragem não seja enviesado, utilizam-se os seguintes métodos de 
amostragem. 
5.1.2.1 – Amostragem aleatória simples 
Escolhem-se os elementos da população aleatoriamente. 
5.1.2.2 – Amostragem sistemática 
Dada uma população de dimensão N, ordenada por algum critério, se se pretende uma 
amostra de dimensão n, escolhe-se aleatoriamente um elemento de entre os k 
primeiros, onde k é a parte inteira do quociente 
N
n
. Continua-se a seleção, escolhendo-
se todos os elementos da lista distanciados de k unidades. 
5.1.2.3 – Amostragem estratificada ou proporcional 
Neste tipo de amostragem, a população é dividida em classes homogéneas, chamadas 
estratos. A amostra escolhe-se aleatoriamente em nº proporcional ao nº de elementos 
de cada estrato. Por exemplo, seja N = 125 e n = 30, e hajam três estratos com 80, 15 e 
30 elementos, respetivamente. Tem-se: 125 --- 30 
 80/ 15/ 30 --- x x = 19,2/ 3,6/ 7,2 
Assim, seriam selecionados aleatoriamente 19, 4 e 7 elementos de cada estrato. 
5.1.2.4 – Amostragem por grupos (clusters) 
A população é dividida em clusters, onde cada um é representativo da população. 
Seleciona-se aleatoriamente um conjunto de clusters, e a amostra é constituída por 
todos os elementos dos clusters selecionados. 
5.1.2.5 – Amostragem multietapas 
Considera-se a população dividida em vários grupos, e selecionam-se aleatoriamente 
alguns deles. Por sua vez, esses grupos estão divididos em outros grupos, dos quais se 
selecionam alguns aleatoriamente, e assim sucessivamente. 
 
 
 
 
 
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^ 
 
5.2 – Intervalos de confiança e estimativas 
5.2.1 – Teorema do limite central e intervalo de confiança 
5.2.1.1 – Teorema do limite central 
Dada uma população de valor médio µ e desvio-padrão σ, não necessariamente normal, 
a distribuição das médias das amostras de dimensão n: 
• Tem média igual a µ da população; 
• O seu desvio-padrão é 
σ
√n
; 
• Quando n ≥ 30, é aproximadamente normal. 
Para se calcular a probabilidade da média, utiliza-se a fórmula 
−y − µ
𝜎
<
X̅ − µ
𝜎
<
y − µ
𝜎
. 
5.2.1.2 – Intervalo de confiança 
• Intervalo de confiança para o valor médio µ de uma variável normal X, admitindo 
que se conhece o desvio-padrão da variável, e em que z é o valor relacionado com 
o nível de confiança (*): 
 ] x̅ − z 
σ
√n
 , x̅ + z 
σ
√n
 [ 
• Intervalo de confiança para o valor médio µ de uma variável X, admitindo que se 
desconhece o desvio-padrão da variável e que a amostra tem dimensão superior a 
30: 
 ] x̅ − z 
s
√n
 , x̅ + z 
s
√n
 [ 
• Intervalo de confiança para uma proporção p, admitindo que a amostra tem 
dimensão superior a 30, e em que p̂ é a proporção amostral: 
 ] p̂ − z √
p̂ (1− p̂ )
n
, p̂ + z √
p̂ (1− p̂ )
n
 [ 
• (*) Valores de z para os níveis de confiança mais usuais: 
Nível de confiança 90% 95% 99% 
z 1,645 1,960 2,576 
 
5.2.2 – Estimar uma proporção 
5.2.2.1 – Distribuição da amostragem da proporção p 
Admitamos que se recolhe uma amostra de dimensão n de uma população muito 
grande X, em que cada elemento da população tem ou não determinada propriedade. 
Seja p a proporção de elementos da população com essa propriedade e a dimensão da 
Casio: Stat – Dist – Norm – 
Ncd: σ = 1; µ = 0. 
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amostra suficientemente grande (n ≥ 30). Então, a distribuição da amostragem da 
proporção p̂ ( p̂ = 
nº de elementos da amostra com a propriedade
nº de elementos da amostra
) pode ser aproximada por uma 
distribuição normal com valor médio p e desvio-padrão √
p (1 − p)
n
. 
5.2.2.2 – Margem de erro e dimensão da amostra 
A margem de erro é igual a E = z × √
p̂ (1− p̂ )
n
 ou z × σ
√n
, na qual: 
• z = 1,645 para um intervalo de confiança de 90%; 
• z = 1,960 para um intervalo de confiança de 95%; 
• z = 2,576 para um intervalode confiança de 99%. 
De modo a se diminuir o erro E, pode-se aumentar n (a dimensão da amostra) ou 
diminuir a confiança (95% para 90%, por exemplo), diminuindo assim o valor de k. 
De modo a se calcular a dimensão da amostra, podem-se utilizar duas fórmulas: 
n = (
z
E
)
2
× p̂ (1 − p̂ ) ou n = (
z × σ
E
)
2
 
 
O resultado é arredondado às unidades e de acordo com o intervalo pedido. 
 
 
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