Mecanica dos solidos aula 6

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EME338 -
MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS
AULA 7
SISTEMAS DE FORÇAS 3D
Resultantes
Prof. Paulo Pereira Jr.
Instituto de Engenharia Mecânica - UNIFEI 
1s2021
1
LIVRO
• MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para 
Engenharia - Estática. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
– 7ª Edição
• Capítulo 2 – Item 2-9
2
RESULTANTES
• Combinação mais simples de forças, que pode substituir um 
dado sistema de forças, sem alterar o efeito externo sobre o 
corpo rígido no qual as forças atuam.
Forças são movidas para 
ponto O com a introdução 
de um momento para cada 
força transferida
3
RESULTANTES
     
     
222
222
zyx
zzyyxx
zyx
zzyyxx
MMMM
FFFR
FRFRFR







FrMFrMFrM
𝐑 = 𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3 = 𝐅
𝐌 = 𝐌1 +𝐌2 +𝐌3 = 𝐫 × 𝐅
4
RESULTANTES
• Torsor resultante
• Quando a resultante R é paralela à resultante M
Torsor positivo Torsor negativo
Qualquer sistema geral de forças 
pode ser representado por um 
torsor aplicado ao longo de uma 
linha de ação única.
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RESULTANTES
• EXEMPLO:
• Encontre a resultante R e o momento resultante M em 
relação ao ponto A.
6
C
D
RESULTANTES
• EXEMPLO - Resolução:
1. Encontrar as componentes em x, y e z de R
a. Decompor todas as forças em x, y e z
b. Somar as componentes para cada uma das três direções
      N1416621871928
N621871928
N62145sin40cos50060cos700
N87145cos40cos500600
N92860sin70040sin500
222








R
RFR
RFR
RFR
zzz
yyy
xxx
kjiR
7
C
D
RESULTANTES
• EXEMPLO - Resolução:
2. Para encontrar M, vamos obter os momentos que cada 
força provocam em A.
• Força de 500 N aplicada em B
• Momento gerado pela força de 500 N
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𝐅𝐵 = 500 sin 40° 𝐢 + cos 40° cos 45° 𝐣 + cos 40° sin 45° 𝐤 N
𝐌𝐵 = 𝐫𝐴𝐵 × 𝐅𝐵 𝐫𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
Coordenadas do ponto A: (0; 0; 0) – Definida como origem
Coordenadas do ponto B: (0,08; 0,12; 0,05)
𝐫𝐴𝐵 = ( 0,08 − 0)𝐢 + (0,12 − 0)𝐣 + (0,05 − 0)𝐤 m
𝐌𝐵 =
𝐢 𝐣 𝐤
0,08 0,12 0,05
321,4 270,8 270,8
= 18,95𝐢 − 5,59𝐣 − 16,9𝐤 N.m
𝐅𝐵 = 321,4𝐢 + 270,8𝐣 + 270,8𝐤 N
RESULTANTES
• EXEMPLO - Resolução:
2. Para encontrar M, vamos obter os momentos que cada 
força provocam em A.
• Força de 600 N aplicada em C
• Momento gerado pela força de 600 N
9
𝐅𝐶 = 600𝐣 N
𝐌𝐶 = 𝐫𝐴𝐶 × 𝐅𝐶 𝐫𝐴𝐶 = 𝐴𝐶
Coordenadas do ponto C: (0,04; 0,12; -0,06)
𝐫𝐴𝐶 = 0,04𝐢 + 0,12𝐣 − 0,06𝐤 m
𝐌𝐶 =
𝐢 𝐣 𝐤
0,04 0,12 −0,06
0 600 0
= 36𝐢 + 24𝐤 N.m
RESULTANTES
• EXEMPLO - Resolução:
2. Para encontrar M, vamos obter os momentos que cada 
força provocam em A.
• Força de 700 N aplicada em D
• Momento gerado pela força de 700 N
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𝐅𝐷 = 700 sin 60° 𝐢 + cos 60° 𝐤 N
𝐌𝐷 = 𝐫𝐴𝐷 × 𝐅𝐷 𝐫𝐴𝐷 = 𝐴𝐷
Coordenadas do ponto D: (0,1; 0,03; -0,06)
𝐫𝐴𝐷 = 0,1𝐢 + 0,03𝐣 − 0,06𝐤 m
𝐌𝐷 =
𝐢 𝐣 𝐤
0,1 0,03 −0,06
606,2 0 350
= 10,5𝐢 − 71,4𝐣 − 18,2𝐤 N.m
𝐅𝐷 = 606,2𝐢 + 350𝐤 N
RESULTANTES
• EXEMPLO - Resolução:
2. Para encontrar M, vamos obter os momentos que cada 
força provocam em A.
• Momento do torsor de 25 N.m
• A soma de todos os M’s
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𝐌25 = 25 −sin 40° 𝐢 − cos 40° cos 45° 𝐣 − cos 40° sin 45° 𝐤 N.m
𝐌25 = (−16,1𝐢 − 13,54𝐣 − 13,54𝐤) N.m Usar a regra da 
mão direita para 
achar o sentido do 
torsor
 
mN0,1066,245,904,49
mN6,245,904,49
222 

M
kjiM