Sistemas de Amortização de Empréstimos

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Unidade II
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Luiz Felix
 São desenvolvidos, basicamente, para operações de empréstimos 
e financiamentos de longo prazo, envolvendo pagamentos 
periódicos do principal e encargos financeiros. Abaixo segue 
relação de alguns sistemas:
 Sistema de amortização constante.
 Sistema de amortização francês.
 Sistema de amortização misto.
 Sistema de amortização americano.
 Sistema de amortização crescente.
Sistemas de amortização de 
empréstimos e financiamentos
 Encargos financeiros: representam os juros da operação, 
caracterizados como custo para o devedor e retorno 
para o credor.
 Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida 
em um determinado período (data).
 Saldo devedor: valor principal da dívida.
 Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série 
de pagamentos.
 Carência: prazo concedido nas operações de financiamento em 
que o credor não paga ou não amortiza o valor principal 
da dívida contraída.
Definições básicas
 As amortizações do principal são sempre iguais em todo 
o prazo da operação. 
 O valor da amortização é obtido pela divisão do capital 
emprestado pelo número de prestações. 
 Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante 
decresce após o pagamento de cada amortização, assumem 
valores decrescentes nos períodos.
 As prestações são decrescentes em progressão aritmética.
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
Construa a tabela do SAC: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00, concedido dentro de 
um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações 
semestrais com taxa de juros de 7% ao semestre.
Amortização = Valor empréstimo
nº de prestações 
Amortização = 100.000 = 5000
20 
Amortização = R$ 5.000,00 ao semestre
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
 Amortização (Amort): valores sempre iguais.
 Em que: PV = principal (valor do financiamento).
 n = número de prestações.
 Saldo Devedor (SD): é decrescente pelo valor constante 
da amortização.
Sistema de Amortização Constante (SAC): 
expressões de cálculo
Amort = PV 
n
Juros (J): diminuem linearmente ao longo do tempo. 
Sendo i a taxa de juros, temos:
J = PV . (n – t + 1) . i
n
Prestação (PMT): soma da amortização com juros e encargos 
administrativos, que deve ser analisado em cada situação de 
empréstimo com a instituição financeira.
PMT = Amort + J (não consideramos encargos administrativos 
nesse modelo).
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
Sistema de Amortização Constante (SAC): 
expressões de cálculo
Exemplo 1: 
 Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos, com 
pagamento em 10 prestações semestrais com taxa de juros
de 30% a.a.. Calcular o valor do juros no 3º semestre.
 Em primeiro lugar, vamos converter a taxa de 30% ao ano 
em uma taxa semestral.
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Taxa equivalente semestral de 30% a.a. é de 14,0175% ao semestre
 Semestral  Anual iq = (1 + i)
1/q – 1
 2 semestres  1 ano 
iq = (1 + 0,30)
1/2 – 1 
iq = (1,30)
1/2 – 1
iq = 1,140175 – 1 
iq = 0,140175
iq = 14,0175% a.s.
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
Juros no 3º semestre = ? PV = 100.000
n = 10 semestres i = 14,0175% a.s. 
J = PV . (n – t + 1) . i
n
J = 100000 . (10 – 3 + 1) . 0,140175
10
J = 10000 . 8 . 0,140175 
J = R$ 11.214,00
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Exemplo 2:
Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos com 10 
prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. Calcular o valor 
da prestação no 5º semestre.
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
PMT = 100000 . [ 1 + (10 – 5 + 1) . 0,140175]
10
PMT = 10000 . [ 1 + (6) . 0,140175]
PMT = 10000 . [ 1 + 0,84105] 
PMT = 10000 . 1,84105
PMT = R$ 18.410,50
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Calcular o valor da prestação no 7º semestre, sabendo que o valor 
do empréstimo é de R$ 100.000,00 dentro de um prazo 
de 5 anos em 10 prestações semestrais com a taxa de juros de 
30% ao ano.
a) R$ 15.607,00
b) R$ 28.035,00
c) R$ 13.233,50
d) R$ 20.460,00
e) R$ 24.831,50
Interatividade 
A alternativa correta é:
a) R$ 15.607,00
Resolução
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
PMT = 100000 . [ 1 + (10 – 7 + 1) . 0,140175]
10
PMT = 10000 . [ 1 + (4) . 0,140175]
PMT = 10000 . [ 1 + 0,5607] 
PMT = 10000 . 1,5607
PMT = R$ 15.607,00
Resposta
 Os exemplos anteriores não apresentaram prazo de carência 
para amortização do empréstimo.
 A próxima tabela demonstra uma situação em que os 
juros são pagos durante a carência estipulada. 
 Ao final dos quatro primeiros semestres, a prestação, 
constituída unicamente dos encargos financeiros, é de 
R$ 14.017,50; ou seja: 14,0175% x R$ 100.000,00. 
 A partir do quinto semestre, inicia-se a amortização do principal 
emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em 
diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente.
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência – exemplo
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
6 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75
7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25
9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75
11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25
13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
14 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75
TOTAL - 100.000,00 133.166,25 233.166,25
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência – exemplo
Períodos
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,64 - - -
4 168.999.75 - - -
5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51
6 135.199,80 16.899,97 21.320,59 38.220,56
7 118.299,82 16.899,97 18.951,64 35.851,61
8 101.399,85 16.899,97 16.582,68 33.482,65
9 84.499,87 16.899,97 14.213,73 31.113,70
10 67.599,90 16.899,97 11.844,77 28.744,74
11 50.699,92 16.899,97 9.475,82 26.375,79
12 33.799,95 16.899,97 7.106,87 24.006,84
13 16.899,97 16.899,97 4.737,91 21.637,88
14 - 16.899,97 2.368,96 19.268,93
TOTAL - 168.999,75 130.292,47 299.292,22
SAC com carência (2 anos) com juros (14,0175% a.s.) 
capitalizados e acrescidos ao saldo devedor
 Sistema amplamente adotado no mercado financeiro 
brasileiro, estipula que as prestações devem ser
iguais, periódicas e sucessivas.
 Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes e 
as parcelas de amortização assumem 
valores crescentes.
 O valor da prestação é a soma dos juros com o valor 
da amortização. 
 Para compor a planilha financeira desse sistema, vamos 
partir da última coluna para a primeira, isto é, vamos calcular 
inicialmente as prestações e a seguir os juros, as parcelas 
de amortização e o respectivo saldo devedor.
Sistema de Amortização Francês (SAF) 
Construa a tabela do SAF: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais 
durante 5 anos com taxa de juros de 30% ao ano. 
 As prestações semestrais são determinadas pela fórmula: 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que:
PV = valor presente 
PMT = valor prestação
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT): PV = PMT . FPV (i,n)
Em que: FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Empréstimo (PV) = 100000 
Número de prestações (n) = 10
Taxa de juros (i) = 14,0175% a.s.
100000 = PMT . 1 – (1+ 0,140175) -10
0,140175
100000 = PMT . 1 – (1,140175) -10
0,140175
100000 = PMT . 1 – 0,26933
0,140175
100000 = PMT . 5,212556
PMT = 100000 / 5,212556 = 19.184,44Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Com base nos exemplos apresentados do Sistema de Amortização 
Constante (SAC), qual deles apresenta o maior valor como total 
das prestações pagas? 
a) SAC sem carência.
b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência.
c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos
ao saldo devedor.
d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros
pagos na carência.
e) Não há variação entre os totais das prestações.
Interatividade 
Com base nos exemplos apresentados do Sistema de Amortização 
Constante (SAC), qual deles apresenta o maior valor como total 
das prestações pagas? 
a) SAC sem carência.
b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência.
c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos
ao saldo devedor.
d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros
pagos na carência.
e) Não há variação entre os totais das prestações.
Resposta
Amortização (Amort): é a diferença entre o valor da prestação 
e os juros.
Amort = PMT – J
Amort1 = 19184,40 – 14017,50 = 5166,90
A amortização em um momento t qualquer é calculada:
 Amort = Amort1 . (1 + i) 
t – 1
Exemplo: qual o valor da amortização no quarto semestre?
Amort = 5166,90 . (1 + 0,140175) 4 – 1
Amort = 5166,90 . (1,140175) 3
Amort = 7658,60
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Prestação (PMT): conforme visto, as prestações semestrais
são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n)
Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = 
fator de valor presente, sendo:
FPV= 1 – (1+ i) –n
i
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no 
início de cada período (ou ao final de cada período 
imediatamente anterior).
J1 = SD0 . i
J2 = SD1 . i
J3 = SD2 . i e assim por diante.
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Saldo Devedor (SD): para cada período é calculado pela diferença 
entre o valor devido no início do intervalo de 
tempo e a amortização do período. 
SDt = PMT . FPV (i, n – t)
Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre é:
SD6 = 19184,40 . FPV (14,175%, 10 – 6)
FPV= 1 – (1+ i) –n = 1 – (1+0,140175) -4 
i 0,140175
FPV= 1 – 0,591717 = 0,408283 = 2,91267 
0,140175 0,140175
SD6=19184,40 . 2,91267 = 55877,90
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
 O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa 
uma variante do SAF (Sistema de Amortização Francês).
Sistema Price de Amortização (Tabela Price) 
Construa a Tabela Price: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos anuais 
durante 10 anos com taxa de juros de 25% ao ano. 
 As prestações anuais são determinadas pela fórmula: 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que:
PV = valor presente 
PMT = valor prestação
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT): 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que: FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Empréstimo (PV) = 100000 
Número de prestações (n) = 10
Taxa de juros (i) = 25% a.a.
100000 = PMT . 1 – (1+ 0,25) -10
0,25
100000 = PMT . 1 – (1,25) -10
0,25
100000 = PMT . 1 – 0,107374
0,25
100000 = PMT . 3,570503
PMT = 100000 / 3,570503 = 28007,26
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Taxa de juros: 25% ao ano
Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo sistema 
francês em 5 prestações semestrais, considerando 
uma taxa de juros de 4% ao semestre. Sabendo que a prestação a ser 
paga é de R$ 179.701,70 e que a amortização no primeiro semestre é 
de R$ 147.701,70; calcule a amortização no 
terceiro semestre.
a) R$ 180.328,43
b) R$ 159.754,15
c) R$ 233.431,50
d) R$ 201.552,00
e) R$ 141.733,18
Interatividade 
A alternativa correta é:
b) R$ 159.754,15
Resolução
Amort = Amort1 . (1 + i) 
t – 1
Amort = 147701,70 . (1 + 0,04) 3 – 1
Amort = 147701,70 . (1,04) 2
Amort = 147701,70 . 1,0816
Amort = 159754,15
Resposta
 Desenvolvido originalmente para operações de financiamento 
do Sistema Financeiro de Habitação.
 Representa a média aritmética entre o sistema francês 
e o sistema de amortização constante.
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
PMTSAM = 24.017,50 + 19.184,44 = 21.600,97
2
SDSAM = 90.000,00 + 94.833,06 = 92.416,53
2
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
SAC
SAF
 A devolução do capital emprestado é efetuada no final do 
período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez.
 Amortizações intermediárias durante o período de empréstimo 
não estão previstas.
 Os juros costumam ser pagos periodicamente.
Sistema de Amortização Americano (SAA) 
Construa a tabela do SAA: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais 
durante 3 anos com taxa de juros de 30% ao ano. 
Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo
Períodos
Saldo 
Devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50
TOTAL - 100.000,00 84.105,00 184.105,00
 No Sistema de Amortização Americano ocorre o sinking fund
ou fundo de amortização.
 Consiste em acumular poupanças periódicas durante o 
prazo do empréstimo para que, no final do período, o montante 
do fundo seja igual ao valor da dívida.
 Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse 
uma grande quantia de uma só vez.
 R = S / k em que:
S = montante igual ao principal 
R = depósito do período
k = fator de valor presente
Sinking fund ou fundo de amortização 
Um empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros 
de 12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar
um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 
10% ao ano com k = 4,641
i = taxa de juros do fundo = 10% a.a.
S = montante igual ao principal = 100.000,00
R = depósito anual
k = fator de valor presente = 4,641
Temos: R = S / k
R = 100000 / 4,641 
R = R$ 21.547,08 
Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo 
Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo 
Anos
Saldo Credor 
(R$)
Depósito
(R$)
Juros
(R$)
0 - - -
1 21.547,08 21.547,08 -
2 45.248,87 21.547,08 2.154,71
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89
4 100.000,00 21.547,08 7.132,08
TOTAL - 86.188,32 13.811,68
 O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado 
pela Caixa Econômica Federal.
 Foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização 
do valor emprestado, reduzindo-se simultaneamente a parcela 
de juros sobre o saldo devedor.
 O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price 
as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de 
um momento, as prestações começam a diminuir.
Sistema de amortização crescente (SACRE) 
Com base nas tabelas SAC e SAF abaixo, calcule o valor da 
prestação do período 2, utilizando o sistema de amortização 
misto. 
SAC
SAF
a) R$ 21.600,97
b) R$ 92.416,53
c) R$ 20.900,10
d) R$ 19.184,44
e) R$ 22.615,75
Interatividade 
A alternativa correta é:
c) R$ 20.900,10
Resolução
PMTSAM = 22.615,75 + 19.184,44 = 20.900,10
2
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!