Matemática Financeira - Slides de Aula Completo

Prévia do material em texto

Unidade I
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Luiz Felix
Matemática financeira
 A Matemática Financeira estuda o comportamento do 
dinheiro ao longo do tempo.
 Capital é o valor principal de uma operação, ou seja, 
do dinheiro em um momento inicial. 
Juros 
 Juros são a correção monetária em espécie ou o valor 
acrescido pela taxa de juros.
 A soma do capital com os juros é chamada de montante.
Abreviaturas 
Fonte: Livro Texto
Taxa de juros 
 A taxa de juros, simbolizada pela letra i, pode se apresentar 
na forma percentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária 
(exemplo: 0,11).
Taxa 
Percentual
Transformação Taxa unitária
40% a.m.
40
100
0,40 a.m.
4% a.a.
4
100
0,04 a.a.
24,5% a.d.
24,5
100
0,245 a.d.
Taxas de juros: exercícios
Passe para a forma unitária os seguintes valores:
 0,5% a.a.  0,005 a.a.
 2% a.s.  0,02 a.s.
 17,5% a.d.  0,175 a.d.
Passe para a forma percentual os seguintes valores:
 0,003 a.b.  0,3% a.b.
 0,04 a.m.  4% a.m.
 0,18 a.d.  18% a.d.
Taxas de juros: exercícios
Um gerente de um banco emprestou R$ 5.000,00 pelo prazo de 
50 dias. Ao assinar o contrato, o devedor se comprometeu a 
devolver R$ 5.250,00.
a) Qual o juro?
Montante = Capital + Juro ou M = C + J 
5250 = 5000 + J  5250 – 5000 = J
J = 250 
b) Qual a taxa unitária de juro?
i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias
C 5000
c) Qual a taxa percentual de juro?
i = 0,05 x 100 = 5% em 50 dias
Taxas de juros: exercícios
Um bolo é vendido por R$ 35,00. Se seu preço fosse acrescido 
de 15%, quanto o bolo passaria a custar? 
Calculando 15% de R$ 35,00; temos:
15 . 35 = 0,15 . 35 = 5,25
100 
Somando R$ 5,25 ao preço original do bolo, temos:
Novo preço: R$ 35,00 + R$ 5,25 = R$ 40,25
Juros simples
 Os juros de cada período incidem sobre o capital inicial 
aplicado: juros não rendem juros.
 Crescimento linear ou em progressão aritmética.
 Poucas são as operações financeiras e comerciais. 
Juros simples
 Para um entendimento do sistema de capitalização simples, 
vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por
cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.
Fonte: Livro Texto
Juros simples: taxas equivalentes
 Resumidamente, é a forma de igualarmos taxas em períodos 
diferentes.
 Exemplos:
 Transformar 2% a.m. em taxa semestral  2 x 6 = 12% a.s.
 Transformar 10% a.s. em taxa trimestral  10 / 2 = 5% a.t.
 Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros 
devem estar expressos, necessariamente, na mesma 
unidade de tempo.
Juros simples: exercícios de taxas equivalentes
 Qual a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre? 
Resposta: 8/2 = 4% ao mês
 Qual a taxa anual equivalente a 3% ao semestre? 
Resposta: 3 * 2 = 6% ao ano
 Qual a taxa bimestral equivalente a 12% ao ano? 
Resposta: 12/6 = 2% ao bimestre
Interatividade 
Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? 
a) 0,16% ao ano.
b) 0,5% ao ano.
c) 6% ao ano.
d) 12% ao ano.
e) 24% ao ano.
Juros simples: fórmulas 
 J = C . i . n 
 Em que:
 J = juros
 C = capital
 i = taxa de juros
 n = período
 M = C + J ou M = C.(1 + i.n)
 Em que:
 M = montante
Juros simples: exemplo
 Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 
5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao 
fim dessa aplicação? 
Resolução incorreta 
C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?
J = C.i.n M = C + J
J = 3000 . 2 . 5 M = 3000 + 30000
J = 30000 M = 33000
J = R$ 30.000,00 M = R$ 33.000,00 
Juros simples: exemplo
 Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 
5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao 
fim dessa aplicação? 
Resolução correta 
C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?
J = C.i.n M = C + J
J = 3000 . 0,02 . 5 M = 3000 + 300
J = 300 M = 3300
J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00
Juros simples: exemplo
 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo 
período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual 
o valor dos juros para o período?
Resolução incorreta
C = 1500 n = 2 meses i = 10% a.b. J = ?
J = C.i.n
J = 1500 . 0,1 . 2
J = 300
J = R$ 300,00
Juros simples: exemplo
 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo 
período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual 
o valor dos juros para o período?
Resolução correta
C = 1500 n = 2 meses 
i = 10% a.b.  10 / 2 = 5% a.m.
J = ?
J = C.i.n
J = 1500 . 0,05 . 2
J = 150
J = R$ 150,00
Juros simples: exemplo
 Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a 
juros simples, para obter R$ 6.000,00 de juros em 4 meses.
C = ? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses
J = C.i.n
6000 = C . 0,06 . 4
6000 = C . 0,24
6000 = C
0,24
C = 25000
C = R$ 25.000,00
Juros simples: exemplo
 Uma empresa tomou R$ 3.500,00 emprestado para pagar 
dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 
5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. 
C = 3500 n = 7 meses i = 5,5% a.m. M = ?
M = C (1+ i.n)
M = 3500 (1 + 0,055 . 7)
M = 3500 (1 + 0,385)
M = 3500 (1,385)
M = 4847,50
M = R$ 4.847,50
Juro exato e juro comercial 
 Juro exato: utiliza o calendário do ano civil com 365 dias. 
 Juro comercial: admite o mês com 30 dias e o ano com 
360 dias. 
Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo critério de juros 
simples, a taxa diária de:
a) Juro exato: 30% = 0,082191% ao dia
365 dias
b) Juro comercial: 30% = 0,083333% ao dia
360 dias
Fluxo de caixa 
 Linha horizontal é a escala do tempo.
 Demais pontos representam outros períodos de tempo 
(datas).
0 1 2 3 4 5 6 7
Entradas de Caixa ( + )
Saídas de Caixa ( - )
tempo
R$ 500,00 R$ 600,00
R$ 700,00 R$ 300,00
Interatividade 
Calcular os juros simples de uma aplicação de R$ 1.200,00 a 
uma taxa de 13% a.t. por quatro meses e quinze dias.
a) R$ 150,00
b) R$ 23.400,00 
c) R$ 702,00 
d) R$ 70.200,00
e) R$ 234,00 
Desconto simples racional ou “por dentro”
 Assume os conceitos e as relações básicas de juros simples.
 Dr é o valor do desconto racional.
 Vr é o valor descontado racional (ou valor atual).
 N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante).
Dr = N – Vr
N = Vr.(1 + i.n) 
Desconto simples racional ou “por dentro”
 Seja um título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano, 
que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. 
Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se 
calcular o desconto e o valor descontado.
Dr (valor do desconto) Vr (valor descontado)
i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal = 3500 
N = Vr.(1 + i.n) Dr = N – Vr
3500 = Vr.(1 + 0,04.2) Dr = 3500 – 3240,74 
3500 = Vr.(1 + 0,08) Dr = 259,26
3500 = Vr.(1,08)
Vr= 3500 / 1,08 = 3240,74 
Desconto bancário ou comercial ou “por fora”
 A modalidade de “desconto por fora” é amplamente adotada 
pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial 
em curto prazo.
 DF é o valor do desconto
 VF é o valor descontado “por fora” 
 N é o valor nominal
 d é a taxa de desconto “por fora”
 n é o prazo definido
DF = N . d . n
VF = N.(1 – d.n) 
Desconto bancário ou comercial ou “por fora”
 Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de 
R$ 100,00 descontada 60 dias antes do vencimento, à taxa de 
desconto de 0,2% a.d.? 
d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 DF = ? 
DF = N . d . n
DF = 100 . 0,002 . 60
DF = 12
DF = R$ 12,00
Juros compostos
 Juros de cada período incidem sobre o capital do início do 
período (saldo): juros rendem juros.
 Crescimento exponencial ou em progressão geométrica.
 É o mais comum no sistema financeiro. 
Juros compostos
 Para um entendimento do sistema de capitalização composto, 
vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco 
anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.
Fonte: Livro Texto
Juros compostos:fórmula
M = C.(1 + i)n 
Em que:
 M = montante
 C = capital
 i = taxa de juros
 n = número de períodos
Juros compostos: exemplo
 Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos 
durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o 
total de juros efetuados?
C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses 
M = C.(1 + i)n 
M = 6000.(1+0,02)3
M = 6000.(1,02)3 = 6000.1,0612 = 6367,20
M = C + J 
6367,20 = 6000 + J 
J = 6367,20 – 6000 = 367,20
 O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20
Juros compostos: exemplo
 Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% 
a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano?
M = 3.500 i = 2,5% a.m. n = 12 meses
M = C.(1 + i)n 
3500 = C.(1+0,025)12
3500 = C.(1,025)12 
3500 = C.1,3449
C = 3500 = 2.602,42
1,3449
 O capital foi de R$ 2.602,42
Interatividade 
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo 
prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? 
a) R$ 4.140,00
b) R$ 5.065,90
c) R$ 16.240,00
d) R$ 4.245,45
e) R$ 5.040,65
Juros compostos: taxas equivalentes
 Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem 
estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de 
tempo.
  iq = (1 + i)
q – 1
  iq = (1 + i)
1/q – 1
q = número de períodos de capitalização
Lembrete: q 1+ i – 1 = (1 + i)1/q – 1
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2,3% a.m.? 
 Mês  Anual iq = (1 + i)
q – 1 
 1 mês  12 meses
iq = (1 + 0,023)
12 – 1 
iq = (1,023)
12 – 1
iq = 1,3137 – 1 
iq = 0,3137 
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,3137 . 100
iq = 31,37% a.a.
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa para 23 dias equivalente a 
0,14% a.d. ? 
 Dia  Dias iq = (1 + i)
q – 1 
 1 dia  23 dias 
iq = (1 + 0,0014)
23 – 1 
iq = (1,0014)
23 – 1
iq = 1,0327 – 1 
iq = 0,0327
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,0327 . 100
iq = 3,27% para 23 dias
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 7,45% a.t.? 
 Trimestre  Anual iq = (1 + i)
q – 1 
 1 trimestre  4 trimestres
iq = (1 + 0,0745)
4 – 1 
iq = (1,0745)
4 – 1
iq = 1,3329 – 1 
iq = 0,3329
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,3329 . 100
iq = 33,29% a.a.
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 34% a.a.? 
 Mês  Anual iq = (1 + i)
1/q – 1
 12 meses  1 ano 
iq = (1 + 0,34)
1/12 – 1 
iq = (1,34)
1/12 – 1
iq = 1,0247 – 1 
iq = 0,0247
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,0247 . 100 
iq = 2,47% a.m.
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Cálculo de (1,34) 1/12 = 1,0247
Na HP:
Vamos trabalhar com 4 casas decimais: f 4
1,34 ENTER 12 1/x yx 1,0247
Na calculadora do computador:
Chamar a calculadora
Clicar em exibir e selecionar científica
Dividir 1 por 12, resultado: 0,08333
1,34 xy 0,08333 =  1,0247
Em calculadoras científicas com símbolo ^ 
Utilizar o símbolo ^ 
1,34 ^ 0,08333 =  1,0247
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa diária equivalente a 9,5% a.a.? 
 Dia  Ano iq = (1 + i)
1/q – 1
 360 dias  1 ano
iq = (1 + 0,095)
1/360 – 1 
iq = (1,095)
1/360 – 1
iq = 1,000252 – 1 
iq = 0,000252
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,000252 . 100
iq = 0,0252% a.d.
Interatividade 
Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s.? 
a) 10,39% a.m.
b) 5,50% a.m.
c) 7% a.m.
d) 4,43% a.m
e) 15% a.m.
ATÉ A PRÓXIMA!
Unidade II
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Luiz Felix
Sistemas de amortização de 
empréstimos e financiamentos
 São desenvolvidos, basicamente, para operações de 
empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo 
pagamentos periódicos do principal e encargos financeiros. 
Abaixo segue relação de alguns sistemas:
 Sistema de amortização constante.
 Sistema de amortização francês.
 Sistema de amortização misto.
 Sistema de amortização americano.
 Sistema de amortização crescente.
Definições básicas
 Encargos financeiros: representam os juros da operação, 
caracterizados como custo para o devedor e retorno 
para o credor.
 Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida 
em um determinado período (data).
 Saldo devedor: valor principal da dívida.
 Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série 
de pagamentos.
 Carência: prazo concedido nas operações de financiamento 
em que o credor não paga ou não amortiza o valor principal 
da dívida contraída.
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 As amortizações do principal são sempre iguais em todo 
o prazo da operação. 
 O valor da amortização é obtido pela divisão do capital 
emprestado pelo número de prestações. 
 Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante 
decresce após o pagamento de cada amortização, assumem 
valores decrescentes nos períodos.
 As prestações são decrescentes em progressão aritmética.
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
Construa a tabela do SAC: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00, concedido dentro de 
um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações 
semestrais com taxa de juros de 7% ao semestre.
Amortização = Valor empréstimo
nº de prestações 
Amortização = 100.000 = 5000
20 
Amortização = R$ 5.000,00 ao semestre
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
Sistema de Amortização Constante (SAC): 
expressões de cálculo
 Amortização (Amort): valores sempre iguais.
 Em que: PV = principal (valor do financiamento).
 n = número de prestações.
 Saldo Devedor (SD): é decrescente pelo valor constante 
da amortização.
Amort = PV 
n
Sistema de Amortização Constante (SAC): 
expressões de cálculo
Juros (J): diminuem linearmente ao longo do tempo. 
Sendo i a taxa de juros, temos:
J = PV . (n – t + 1) . i
n
Prestação (PMT): soma da amortização com juros e encargos 
administrativos, que deve ser analisado em cada situação de 
empréstimo com a instituição financeira.
PMT = Amort + J (não consideramos encargos administrativos 
nesse modelo).
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Exemplo 1: 
 Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos, com 
pagamento em 10 prestações semestrais com taxa de juros
de 30% a.a.. Calcular o valor do juros no 3º semestre.
 Em primeiro lugar, vamos converter a taxa de 30% ao ano 
em uma taxa semestral.
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
Taxa equivalente semestral de 30% a.a. é de 14,0175% ao 
semestre
 Semestral  Anual iq = (1 + i)
1/q – 1
 2 semestres  1 ano 
iq = (1 + 0,30)
1/2 – 1 
iq = (1,30)
1/2 – 1
iq = 1,140175 – 1 
iq = 0,140175
iq = 14,0175% a.s.
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Juros no 3º semestre = ? PV = 100.000
n = 10 semestres i = 14,0175% a.s. 
J = PV . (n – t + 1) . i
n
J = 100000 . (10 – 3 + 1) . 0,140175
10
J = 10000 . 8 . 0,140175 
J = R$ 11.214,00
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Exemplo 2:
Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos com 10 
prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. Calcular o 
valor da prestação no 5º semestre.
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
PMT = 100000 . [ 1 + (10 – 5 + 1) . 0,140175]
10
PMT = 10000 . [ 1 + (6) . 0,140175]
PMT = 10000 . [ 1 + 0,84105] 
PMT = 10000 . 1,84105
PMT = R$ 18.410,50
Interatividade 
Calcular o valor da prestação no 7º semestre, sabendo que o 
valor do empréstimo é de R$ 100.000,00 dentro de um prazo 
de 5 anos em 10 prestações semestrais com a taxa de juros de 
30% ao ano.
a) R$ 15.607,00
b) R$ 28.035,00
c) R$ 13.233,50
d) R$ 20.460,00
e) R$ 24.831,50
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência
 Os exemplos anteriores não apresentaram prazo de carênciapara amortização do empréstimo.
 A próxima tabela demonstra uma situação em que os 
juros são pagos durante a carência estipulada. 
 Ao final dos quatro primeiros semestres, a prestação, 
constituída unicamente dos encargos financeiros, é de 
R$ 14.017,50; ou seja: 14,0175% x R$ 100.000,00. 
 A partir do quinto semestre, inicia-se a amortização do 
principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste 
momento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente.
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência – exemplo
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
6 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75
7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25
9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75
11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25
13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
14 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75
TOTAL - 100.000,00 133.166,25 233.166,25
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência – exemplo
Períodos
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,64 - - -
4 168.999.75 - - -
5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51
6 135.199,80 16.899,97 21.320,59 38.220,56
7 118.299,82 16.899,97 18.951,64 35.851,61
8 101.399,85 16.899,97 16.582,68 33.482,65
9 84.499,87 16.899,97 14.213,73 31.113,70
10 67.599,90 16.899,97 11.844,77 28.744,74
11 50.699,92 16.899,97 9.475,82 26.375,79
12 33.799,95 16.899,97 7.106,87 24.006,84
13 16.899,97 16.899,97 4.737,91 21.637,88
14 - 16.899,97 2.368,96 19.268,93
TOTAL - 168.999,75 130.292,47 299.292,22
SAC com carência (2 anos) com juros (14,0175% a.s.) 
capitalizados e acrescidos ao saldo devedor
Sistema de Amortização Francês (SAF) 
 Sistema amplamente adotado no mercado financeiro 
brasileiro, estipula que as prestações devem ser
iguais, periódicas e sucessivas.
 Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são 
decrescentes e as parcelas de amortização assumem 
valores crescentes.
 O valor da prestação é a soma dos juros com o valor 
da amortização. 
 Para compor a planilha financeira desse sistema, vamos 
partir da última coluna para a primeira, isto é, vamos calcular 
inicialmente as prestações e a seguir os juros, as parcelas 
de amortização e o respectivo saldo devedor.
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Construa a tabela do SAF: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais 
durante 5 anos com taxa de juros de 30% ao ano. 
 As prestações semestrais são determinadas pela fórmula: 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que:
PV = valor presente 
PMT = valor prestação
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT): PV = PMT . FPV 
(i,n)
Em que: FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Empréstimo (PV) = 100000 
Número de prestações (n) = 10
Taxa de juros (i) = 14,0175% a.s.
100000 = PMT . 1 – (1+ 0,140175) -10
0,140175
100000 = PMT . 1 – (1,140175) -10
0,140175
100000 = PMT . 1 – 0,26933
0,140175
100000 = PMT . 5,212556
PMT = 100000 / 5,212556 = 19.184,44
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
Interatividade 
Com base nos exemplos apresentados do Sistema de 
Amortização Constante (SAC), qual deles apresenta o maior 
valor como total das prestações pagas? 
a) SAC sem carência.
b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência.
c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos
ao saldo devedor.
d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros
pagos na carência.
e) Não há variação entre os totais das prestações.
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Amortização (Amort): é a diferença entre o valor da prestação 
e os juros.
Amort = PMT – J
Amort1 = 19184,40 – 14017,50 = 5166,90
A amortização em um momento t qualquer é calculada:
 Amort = Amort1 . (1 + i) 
t – 1
Exemplo: qual o valor da amortização no quarto semestre?
Amort = 5166,90 . (1 + 0,140175) 4 – 1
Amort = 5166,90 . (1,140175) 3
Amort = 7658,60
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Prestação (PMT): conforme visto, as prestações semestrais
são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n)
Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = 
fator de valor presente, sendo:
FPV= 1 – (1+ i) –n
i
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no 
início de cada período (ou ao final de cada período 
imediatamente anterior).
J1 = SD0 . i
J2 = SD1 . i
J3 = SD2 . i e assim por diante.
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Saldo Devedor (SD): para cada período é calculado pela 
diferença entre o valor devido no início do intervalo de 
tempo e a amortização do período. 
SDt = PMT . FPV (i, n – t)
Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre é:
SD6 = 19184,40 . FPV (14,175%, 10 – 6)
FPV= 1 – (1+ i) –n = 1 – (1+0,140175) -4 
i 0,140175
FPV= 1 – 0,591717 = 0,408283 = 2,91267 
0,140175 0,140175
SD6=19184,40 . 2,91267 = 55877,90
Sistema Price de Amortização (Tabela Price) 
 O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa 
uma variante do SAF (Sistema de Amortização Francês).
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Construa a Tabela Price: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos anuais 
durante 10 anos com taxa de juros de 25% ao ano. 
 As prestações anuais são determinadas pela fórmula: 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que:
PV = valor presente 
PMT = valor prestação
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT): 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que: FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Empréstimo (PV) = 100000 
Número de prestações (n) = 10
Taxa de juros (i) = 25% a.a.
100000 = PMT . 1 – (1+ 0,25) -10
0,25
100000 = PMT . 1 – (1,25) -10
0,25
100000 = PMT . 1 – 0,107374
0,25
100000 = PMT . 3,570503
PMT = 100000 / 3,570503 = 28007,26
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Taxa de juros: 25% ao ano
Interatividade 
Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo 
sistema francês em 5 prestações semestrais, considerando 
uma taxa de juros de 4% ao semestre. Sabendo que a prestação 
a ser paga é de R$ 179.701,70 e que a amortização no primeiro 
semestre é de R$ 147.701,70; calcule a amortização no 
terceiro semestre.
a) R$ 180.328,43
b) R$ 159.754,15
c) R$ 233.431,50
d) R$ 201.552,00
e) R$ 141.733,18
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
 Desenvolvido originalmente para operações de financiamento 
do Sistema Financeiro de Habitação.
 Representa a média aritmética entre o sistema francês 
e o sistema de amortização constante.
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
PMTSAM = 24.017,50 + 19.184,44 = 21.600,97
2
SDSAM = 90.000,00 + 94.833,06 = 92.416,53
2
SAC
SAF
Sistema de Amortização Americano (SAA) 
 A devolução do capital emprestado é efetuada no final do 
período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez.
 Amortizações intermediárias durante o período de empréstimo 
não estão previstas.
 Os juros costumam ser pagos periodicamente.
Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo
Construa a tabela do SAA: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais 
durante 3 anos com taxa de juros de 30% ao ano. 
Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
Períodos
Saldo 
Devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação(R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50
TOTAL - 100.000,00 84.105,00 184.105,00
Sinking fund ou fundo de amortização 
 No Sistema de Amortização Americano ocorre o sinking fund
ou fundo de amortização.
 Consiste em acumular poupanças periódicas durante o 
prazo do empréstimo para que, no final do período, o 
montante do fundo seja igual ao valor da dívida.
 Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse 
uma grande quantia de uma só vez.
 R = S / k em que:
S = montante igual ao principal 
R = depósito do período
k = fator de valor presente
Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo 
Um empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros 
de 12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar
um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 
10% ao ano com k = 4,641
i = taxa de juros do fundo = 10% a.a.
S = montante igual ao principal = 100.000,00
R = depósito anual
k = fator de valor presente = 4,641
Temos: R = S / k
R = 100000 / 4,641 
R = R$ 21.547,08 
Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo 
Anos
Saldo Credor 
(R$)
Depósito
(R$)
Juros
(R$)
0 - - -
1 21.547,08 21.547,08 -
2 45.248,87 21.547,08 2.154,71
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89
4 100.000,00 21.547,08 7.132,08
TOTAL - 86.188,32 13.811,68
Sistema de amortização crescente (SACRE) 
 O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito 
utilizado pela Caixa Econômica Federal.
 Foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior 
amortização do valor emprestado, reduzindo-se 
simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor.
 O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price 
as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de 
um momento, as prestações começam a diminuir.
Interatividade 
Com base nas tabelas SAC e SAF abaixo, calcule o valor da 
prestação do período 2, utilizando o sistema de amortização 
misto. 
SAC
SAF
a) R$ 21.600,97
b) R$ 92.416,53
c) R$ 20.900,10
d) R$ 19.184,44
e) R$ 22.615,75
ATÉ A PRÓXIMA!