Capítulo 5 - Expressões algébricas e equações

Prévia do material em texto

Profa. Juliane Ganem – Matemática Aplicada - Farmácia Página 1 
 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
Recebem o nome de expressões algébricas ou lineares as expressões matemáticas nas quais se faz uso de letras, 
números e operações aritméticas. Nesse tipo de expressão, as letras são denominadas incógnitas, por não 
apresentarem um valor conhecido, ou variáveis, porque podem receber qualquer valor numérico. 
Propriedades das expressões algébricas 
Para resolver uma expressão algébrica, é preciso seguir a ordem exata de solução das operações que a compõem: 
1º) Potenciação ou Radiciação 
2º) Multiplicação ou divisão 
3º) Adição ou subtração 
Se a expressão algébrica apresentar parênteses, colchetes ou chaves, devemos resolver primeiro o conteúdo que 
estiver dentro dos parênteses, em seguida, o que estiver contido nos colchetes e, por último, a expressão que estiver 
entre chaves. Em suma: 
1º) Parênteses 
2º) Colchetes 
3º) Chaves 
Assim como em qualquer outro cálculo matemático, esta hierarquia é muito importante, pois, caso não seja seguida 
rigorosamente, será obtido um resultado incorreto. Veja alguns exemplos: 
a) a) 8x – (3x – )8 
 x – (3x – 2) 
 8x – 3x + 2 
 5x + 2 
Ob.: Sempre que o parêntese for precedido de um sinal negativo, devemos inverter o sinal de todos os termos 
contidos dentro dele. 
b) 6x – [ -x + (12 + 7x – 4)] 
 6x – [ -x + 12 + 7x – 4] 
 6x +2x – 12 – 7x + 4 
 6x + 2x – 12 – 7x + 4 
 6x + 2x – 7x – 12 + 4 
 x – 8 
A regra do parêntese citada no exemplo anterior também se aplica a colchetes e chaves. 
c) Uma mulher é 5 anos mais nova do que seu marido. Se a soma da idade do casal é igual a 69 anos, qual é a idade 
de cada um? 
 x + ( x – 5) = 69 
 x + x- 5 = 69 
 2x – 5 = 69 
Profa. Juliane Ganem – Matemática Aplicada - Farmácia Página 2 
 
 2x = 69 + 5 
 2x = 74 
 x = 37 
 69 – 37 = 32 
 37 – 5 = 32 
Logo, a idade do marido é 37 anos e da mulher 32 anos. 
Esta é uma aplicação prática da álgebra. Note que é mais fácil encontrar a solução através de uma expressão 
algébrica do que utilizando um raciocínio numérico apenas. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
EQUAÇÕES 
 
DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO 
Quando uma igualdade possui em suas expressões matemáticas, um ou mais elementos desconhecidos (incógnitas). 
Exemplos: 
2x + 1 = 19 é uma equação que possui apenas uma incógnita ( x ) 
x - y = 20 é uma equação que possui duas incógnitas ( x e y ) 
 
Quando vamos resolver um problema, a passagem de uma sentença em linguagem coloquial (expressa em palavras) 
para uma sentença em linguagem matemática (expressa com letras, números e símbolos), é a parte mais 
importante, e provavelmente, a mais difícil do trabalho. A esta etapa da solução denominamos de Formulação 
Matemática do problema. 
 
Solução ou Raiz de uma equação, é o número que, quando substituído no lugar da incógnita, torna a equação 
verdadeira. 
 
Duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não vazio) são denominadas equações 
equivalentes. 
As equações: 
2x = 10 ⇒ S = 5 
x = 10/2 ⇒ S = 5 
x = 5 ⇒ S = 5 
apresentam a mesma raiz ou solução, e por isto são chamadas equações equivalentes. A forma mais simples de se 
representar estas equações é x = 5 . 
 
 
Como toda equação é uma igualdade, podemos aplicar os Princípios de Equivalência de igualdades, na procura de 
uma equação equivalente escrita na forma mais simples. 
 
1º Exemplo: Obter a solução da equação x - 3 = 8 . 
• aplicando o princípio aditivo, adicionamos 3 a ambos os membros: x - 3 + 3 = 8 + 3 
• simplificando a equação equivalente obtida: x = 8 +3 e portanto x = 11 
 
 
2º Exemplo: Obter a solução da equação 3x + 10 = 4x . 
A solução de uma equação consiste em obter uma 
equação equivalente, escrita na forma mais simples. 
Processo Prático 
Podemos passar um número de uma soma algébrica de um membro de uma equação 
para o outro membro, desde que troquemos o seu sinal. 
Profa. Juliane Ganem – Matemática Aplicada - Farmácia Página 3 
 
 
• aplicando o princípio aditivo, adicionamos -10 a ambos os membros: 
3x +10 -10 = 4x -10 ⇒ 3x = 4x -10 
 
• aplicando o princípio aditivo, adicionamos -4x a ambos os membros: 
3x -4x = 4x -10 -4x ⇒ -x = -10 
 
• aplicando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os membros por (-1): 
-x . (-1) = -10 . (-1) ⇒ x = 10 
 
3º Exemplo: Obter a solução da equação 5x + 1 = 36 . 
 
• aplicando o princípio aditivo, adicionamos -1 a ambos os membros: 
5x +1 - 1 = 36 -1 ⇒ 5x = 35 
 
• aplicando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os membros por (1/5): 
 7
5
1
.35
5
1
.5 =→= xx 
 
 
7
5
35
.355
=→=
=
xx
x
 
 
Alguns outros exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Processo Prático 
Um número que multiplica um membro de uma equação, passa para o 
outro membro como dividendo, e vice-versa. 
Profa. Juliane Ganem – Matemática Aplicada - Farmácia Página 4 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
PARTE I 
 
PARTE II 
Resolver as equações: 
1) 3[10 + (3y - 1) - (4 - y)] = 5.(y + 10) (y=5) 
 
2) 5.(m + 1) - 3.(2m + 1) = 4.(5 - m) (m=6) 
 
3) (1/6) – (x/2) = (2x/3) + (1/4) (x=-1/14) 
 
4) (3 - x)/8 = (x + 1)/4 - x/3 (x=3) 
 
5) (2y - 5)/8 + (y - 1)/2 = (13y + 3)/4 (y=-3/4) 
 
6) (4x + 1)/3 + 2.(x + 1)/3 = 5.(3x + 2)/4 (x=-6)