LivrodePre_CalculoI (3)

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Adriana Rodrigues
Anderson Osvaldo Ribeiro
Váldina Gonçalves da Costa
Emerson Reis Dias
Leandro Martins da Silva
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Wilton Rezende de Freitas
Revisão técnica
Antônio José D Almeida Júnior
Pré-cálculo I
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
P91 Pré-cálculo I / Adriana Rodrigues ... [et al.]. – Uberaba : 
 Universidade de Uberaba, 2017. 
 292 p. : il.
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
	 								Inclui	bibliografia.																					
 ISBN 
 
 1. Matemática. 2. Funções (Matemática). 3. Cálculo diferencial. 
 4. Cálculo integral. I. Rodrigues, Adriana. II. Universidade de 
 Uberaba. Programa de Educação a Distância. 
 
 CDD 515
© 2017 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico 
ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de 
armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, 
da Universidade de Uberaba.
Universidade de Uberaba
Reitor
Marcelo Palmério
Pró-Reitor de Educação a Distância
Fernando César Marra e Silva
Coordenação de Graduação a Distância
Sílvia Denise dos Santos Bisinotto
Editoração e Arte
Produção de Materiais Didáticos-Uniube
Revisão textual
Stela Maria Queiroz Dias
Diagramação
Douglas Silva Ribeiro
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Revisão técnica
Antônio José D Almeida Júnior
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Adriana Rodrigues
Doutora pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU); mestre em 
Educação pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU); especialista 
em Formaçãp de Professores em EAD pela Universidade Federal 
do Paraná (UFPR); especialista em Gerenciamento de Redes de 
Computadores pela Universidade de Uberaba (Uniube); graduada em 
Tecnologia em Processamento de Dados pela Uniube; licenciada em 
Matemática e em Ciências Físicas e Biológicas pela Faculdade de 
Filosofia,	Ciências	e	Letras	de	Ituverava	(FFCL);	licenciada	em	Pedagogia	
pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR); professora nos 
cursos de Graduação em Engenharias e integrante da equipe de 
produção de materiais para cursos em Educação a Distância da Uniube.
Anderson Osvaldo Ribeiro
Mestre em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Uberlândia 
(UFU); especialista em Docência do Ensino Superior pela Universidade 
de Uberaba (Uniube); engenheiro civil pela Universidade de Uberlândia 
(UFU) e licenciado em Física pela mesma Universidade; professor nos 
cursos de Graduação em Engenharia e Sistemas de Informação na 
Uniube.
Váldina Gonçalves da Costa
Doutora em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica 
de São Paulo (PUC-SP). Mestre em Educação pela Universidade de 
Uberaba	(Uniube).	Licenciada	em	Matemática	pela	Universidade	de	
Uberaba(Uniube). Professora da Universidade Federal do Triângulo 
Mineiro (UFTM).
Sobre os autores
Emerson Reis Dias
Mestre em Educação pela Universidade de Uberaba (Uniube); 
especialista em Metodologia do Ensino da Matemática; professor de 
Matemática nos cursos de Administração, Ciências Contábeis, Química 
e Pedagogia da Universidade de Uberaba.
Leandro Martins da Silva
Licenciado	em	Matemática	pela	Universidade	de	Uberaba	(Uniube);	
professor de Matemática da rede pública estadual de Minas Gerais.
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Mestre em Ciências - Química ambiental pela Universidade de Franca 
(UNIFRAN), especializado em Metodologia do Ensino de Física pelas 
Faculdades Integradas de Jacarepaguá e licenciado em Ciências físicas 
pela Universidade do Oeste Paulista. Coordenador de referência no 
curso de produção sucroalcooleira no ensino a distância, docente em 
ensino médio, em curso pré-vestibular e nos cursos de engenharia de 
produção sucroalcooleira e licenciatura em matemática pela Universidade 
de Uberaba (Uniube), onde ministra diversas disciplinas de áreas 
relacionadas à matemática e à física.
Wilton Rezende de Freitas
Especialista em Finanças e Controladoria pela Faculdade de Ciências 
Econômicas do Triângulo Mineiro (parceria com a FEA -USP/RP); 
graduado em Administração pela Universidade de Uberaba (Uniube); 
professor de Administração e Ciências Contábeis; preceptor dos cursos 
de Administração e Ciências Contábeis da Universidade de Uberaba 
(Uniube).
Sumário
Apresentação ...............................................................................................................IX
Capítulo 1	Álgebra	e	conjuntos:	conceitos	e	significados ..................... 1
1.1 Conjuntos numéricos ................................................................................................5
1.1.1 Conjunto dos números naturais (N) .............................................................15
1.1.2 Conjunto dos números inteiros (Z) ...............................................................15
1.1.3 Conjunto dos números racionais (Q) ............................................................15
1.1.4 Conjunto dos números irracionais (I) ...........................................................20
1.1.5 Conjunto dos números reais (R) ...................................................................21
1.2 Potenciação ............................................................................................................27
1.2.1 Potência com expoente inteiro positivo ........................................................27
1.3 Frações ...................................................................................................................31
1.3.1 Igualdade de frações .....................................................................................31
1.3.2 Soma e subtração de frações .......................................................................31
1.3.3 Produto de frações ........................................................................................32
1.3.4 Divisão de frações .........................................................................................32
1.4 Expressões numéricas ...........................................................................................36
1.5 Equações polinomiais .............................................................................................42
1.5.1 Equações polinomiais do 1o grau..................................................................42
1.5.2 Equações polinomiais do 2o grau..................................................................44
1.5.3 Equações incompletas ..................................................................................47
1.5.4 Dispositivo prático para determinar as raízes ...............................................49
1.6 Produtos notáveis ...................................................................................................53
1.6.1 Outros produtos notáveis ..............................................................................54
1.7 Fatoração ................................................................................................................56
1.8	Simplificação	de	expressões	algébricas ................................................................60
1.8.1 Divisão de monômios ....................................................................................60
1.8.2 Outras operações com expressões algébricas ............................................61
1.9 Radiciação e racionalização ...................................................................................64
1.10 Outras equações polinomiais e divisão de polinômios ........................................69
1.10.1 Equações polinomiais com grau maior ou igual a 3 ...................................69
1.10.2 Divisão de polinômios .................................................................................711.11 Introdução aos números complexos .....................................................................79
1.12 Determinando as raízes de um polinômio ............................................................81
Capítulo 2 Funções matemáticas elementares: um estudo sobre 
 as principais funções de uma variável ............................... 85
2.1 Introdução a funções ..............................................................................................89
2.2 Domínio, contradomínio e imagem da função .......................................................93
2.3 Inequações do 1o grau ..........................................................................................100
2.4 Estudo do domínio de uma função .......................................................................104
2.5 Espaço bidimensional e pares ordenados ...........................................................108
2.6	Função	afim	ou	função	do	1o grau ........................................................................109
2.6.1	Construção	de	gráficos	de	funções	do	1o grau ou lineares ........................112
2.6.2 Estudo do crescimento e decrescimento de uma função por meio 
										do	coeficiente	angular ................................................................................115
2.6.3 Variação do sinal da função do 1o grau ......................................................116
2.7 Função constante .................................................................................................120
2.8 Função quadrática ou função do 2o grau .............................................................122
2.8.1	Construção	de	gráficos	de	funções	quadráticas ........................................126
2.8.2 Sinal da função quadrática .........................................................................128
2.9 Inequações do 2o grau ..........................................................................................131
2.10 Função composta ...............................................................................................136
2.11 Outras funções polinomiais e funções racionais ................................................142
2.12	Funções	definidas	por	diferentes	sentenças ......................................................144
Capítulo 3 Outras funções elementares: modular, exponencial 
 e logarítmica ..................................................................... 151
3.1 Módulo ..................................................................................................................154
3.2 Funções, equações e inequações modulares ......................................................155
3.2.1 Função modular ..........................................................................................155
3.2.2 Equações modulares ..................................................................................157
3.2.3 Inequações modulares ................................................................................159
3.3 Funções, equações e inequações exponenciais .................................................161
3.3.1 Equação exponencial ..................................................................................162
3.3.2 Função exponencial ....................................................................................163
3.3.3 Inequação exponencial ...............................................................................165
3.4	Logaritmos	e	funções	logarítmicas .......................................................................166
3.4.1	Logaritmos ...................................................................................................166
3.4.2 Função logarítmica ......................................................................................169
Capítulo 4 Semelhança ..................................................................... 177
4.1 Figuras semelhantes.............................................................................................179
4.2 Semelhança de polígonos ....................................................................................189
4.3 Semelhança de triângulos ....................................................................................193
4.4 Teorema de Tales ..................................................................................................198
4.4.1 Um pouco de história ..................................................................................198
4.4.2 Teorema de Tales ........................................................................................200
4.4.3 Aplicações do Teorema de Tales ................................................................204
4.5 Teorema da bissetriz interna e externa de um triângulo .....................................208
4.6 Teorema fundamental da semelhança .................................................................213
4.7 Casos ou critérios de semelhança de triângulos..................................................216
4.8 Observação ...........................................................................................................224
4.9 Exercitando ...........................................................................................................224
Capítulo 5 Aplicações de semelhança de triângulos ......................... 231
5.1 Relações métricas no triângulo retângulo ............................................................233
5.2 Relações métricas num triângulo qualquer ..........................................................262
5.2.1 Relação envolvendo o lado oposto a um ângulo agudo num 
 triângulo acutângulo ...................................................................................263
5.2.2 Relação envolvendo o lado oposto ao ângulo obtuso ................................265
5.2.3 Natureza de um triângulo quanto aos ângulos ...........................................267
5.3	Teorema	dos	cossenos	ou	Lei	dos	cossenos	e	Teorema	dos	senos	ou	Lei	
 dos senos ..............................................................................................................269
5.3.1	Teorema	dos	cossenos	ou	Lei	dos	cossenos .............................................270
5.3.2	Teorema	dos	senos	ou	Lei	dos	senos ........................................................274
Caro(a) aluno(a).
Crescer! Aprimorar! Experimentar! Expandir! Transformar! Para atingir 
isso, você já sabe, vai precisar ter paciência, criatividade, persistência, 
envolvimento e dedicação.
Assim, bem vindo(a) a esta nova caminhada! Temos o propósito aqui 
de oferecer novos caminhos e olhares sobre os conteúdos básicos e 
essenciais de Matemática. 
Pensando nisso, elaboramos o livro de Pré-Cálculo I. Ao longo dele 
procuramos mostrar, em vários momentos, que a construção do raciocínio 
e conhecimento matemáticos é resultado da vivência e resolução de 
situações do cotidiano, da análise dos fenômenos naturais e sociais.
Para tanto, organizamos este livro em cinco capítulos: 1 - “Álgebra 
e	 conjuntos:	 conceitos	 e	 significados”;	 2	 –	 “Funções	matemáticas	
elementares: um estudo sobre as principais funções de uma variável; 
3	-	“Outras	funções	elementares:	modular,	exponencial	e	logarítmica”;	
4	–	“Semelhança”	e	5	-	“Aplicações	de	semelhança	de	triângulos”;
No primeiro capítulo, você terá a oportunidade de revisar vários 
conceitos matemáticos envolvendo as operações numéricas, as 
equações numéricas e polinomiais e os conjuntos numéricos. Eles serão 
importantes para o entendimento de outros conteúdos de matemática que 
você estudará ao longo de seu curso.
Apresentação
X UNIUBE
No segundo capítulo, faremos uma abordagem geral das funções de 
uma variável. Nesse momento, você aprenderá a utilizar ferramentas 
matemáticas em sua interação com o espaço dos números, das formas, 
das medidas e das informações.
No terceiro capítulo, daremos continuidade ao estudo de funções por 
meio das funções modulares, exponenciaise logarítmicas. Destacamos 
que é importante que conheça bem as funções abordadas neste livro.
No quarto capítulo, estudaremos como resolver problemas de casos de 
semelhança de triângulos em diversas situações.
Por	fim,	no	quinto	capítulo,	você	estudará	como	aplicar	adequadamente	
as relações métricas e trigonométricas num triângulo retângulo; as 
relações métricas e trigonométricas num triângulo qualquer; assim como 
os casos de semelhança de triângulos.
É preciso que desenvolva seu método de raciocinar e que acompanhe 
a	resolução	que	oferecemos.	Lembramos	que	não	temos	a	intenção	
de esgotar todas as possíveis resoluções matemáticas dos problemas 
propostos. 
Acreditamos que terá valido a pena todo esforço da equipe de produção 
deste	material,	se	você	desempenhar	com	firme	propósito	o	seu	papel	na	
construção do próprio conhecimento. Com certeza, isto será fundamental 
para maior segurança na capacidade de aprender e utilizar a matemática 
em	sua	vida	pessoal	e	profissional.
Bons estudos!
Adriana Rodrigues
Anderson Osvaldo Ribeiro
Leandro Martins da Silva
Introdução
Álgebra e conjuntos: 
conceitos e signifi cados
Capítulo
1
A importância da “ferramenta” matemática
Prezado aluno!
Em nossas trajetórias docentes, deparamo -nos com muitos alunos 
cujas	difi	culdades	residiam	em	resolver	atividades	que	requeriam	
conhecimentos de matemática básica. Assim, elaboramos esse 
capítulo	 a	 partir	 da	 análise	 dessas	 difi	culdades,	 procurando	
mostrar que o conhecimento matemático está relacionado à 
nossa vivência cotidiana, à observação das regularidades, das 
irregularidades, dos fenômenos naturais e sociais, entre outros.
Você vai relembrar uma série de conceitos matemáticos 
fundamentais para os estudos que serão desenvolvidos 
posteriormente no seu curso. Esses conceitos já foram estudados 
por você durante o Ensino Fundamental e Médio. No entanto, 
algumas regras podem ter sido esquecidas no decorrer dos anos.
Esses conceitos de matemática básica são requisitos comuns 
às mais diversas áreas do conhecimento como Engenharias, 
Administração,	Ciências	Contábeis,	Licenciaturas	em	Matemática,	
2 UNIUBE
Ciências	Biológicas	ou	Geografia,	Cursos	de	Gestão,	enfim,	áreas	
nas quais o domínio da álgebra e dos conjuntos é indispensável 
para a compreensão dos demais conceitos que serão estudados 
no decorrer do curso.
O estudo da matemática contribui para o desenvolvimento 
do raciocínio lógico -dedutivo possibilitando o delineamento 
de habilidades como tomar decisões rápidas, analisar riscos, 
identificar	problemas	de	ordem	técnica	ou	ainda	de	aprendizagem	
em matemática.
No capítulo seguinte, você estudará as funções matemáticas e 
a modelagem de situações -problema por meio dessas funções. 
Em seguida, daremos início aos tópicos de Cálculo Diferencial e 
Integral.
Durante todo o curso, você vai necessitar, em maior ou menor 
escala, aplicar a matemática básica estudada nessa unidade 
didática. Assim, é fundamental que você entenda bem os conceitos 
estudados aqui.
Mas, atenção! Não queremos dizer que só esses conceitos são 
suficientes	para	a	sua	formação	superior,	mas	podemos	afirmar	
certamente que a compreensão deles contribuirá na construção 
de conhecimentos necessários à sua futura atuação.
Nesse momento, não nos preocupamos em descrever todas as 
possíveis aplicações da matemática no seu curso. Procuraremos 
somente ilustrar algumas situações que podem ser analisadas 
 UNIUBE 3
Ao	final	desse	capítulo,	esperamos	que	você	seja	capaz	de:
• reconhecer	 as	 propriedades	 dos	 conjuntos,	 identificar	
os conjuntos numéricos e realizar operações com esses 
conjuntos;
• reconhecer	a	operação	de	potenciação,	identificar	e	aplicar	
suas propriedades;
• solucionar equações polinomiais;
• determinar o valor de expressões numéricas;
• efetuar divisão de polinômios;
• fatorar	e	simplificar	expressões	algébricas;
• reconhecer	a	operação	de	radiciação,	identificar	e	aplicar	
suas propriedades;
• realizar operações de racionalização;
• determinar soluções reais e complexas das equações 
polinomiais.
1.1 Conjuntos numéricos
1.1.1 Conjunto dos números naturais (N)
1.1.2 Conjunto dos números inteiros (Z)
1.1.3 Conjunto dos números racionais (Q)
Objetivos
Esquema
segundo conceitos matemáticos e que estarão presentes, direta 
ou	indiretamente,	em	sua	atuação	profissional.
Bons estudos!!!
4 UNIUBE
1.1.4 Conjunto dos números irracionais (I)
1.1.5 Conjunto dos números reais (R)
1.2 Potenciação
1.2.1 Potência com expoente inteiro positivo
1.3 Frações
1.3.1 Igualdade de frações
1.3.2 Soma e subtração de frações
1.3.3 Produto de frações
1.3.4 Divisão de frações
1.4 Expressões numéricas
1.5 Equações polinomiais
1.5.1 Equações polinomiais do 1o grau
1.5.2 Equações polinomiais do 2o grau
1.5.3 Equações incompletas
1.5.4 Dispositivo prático para determinar as raízes
1.6 Produtos notáveis
1.6.1 Outros produtos notáveis
1.7 Fatoração
1.8	Simplificação	de	expressões	algébricas
1.8.1 Divisão de monômios
1.8.2 Outras operações com expressões algébricas
1.9 Radiciação e racionalização
1.10 Outras equações polinomiais e divisão de polinômios
1.10.1 Equações polinomiais com grau maior ou igual a 3
1.10.2 Divisão de polinômios
1.11 Introdução aos números complexos
1.12 Determinando as raízes de um polinômio
 UNIUBE 5
Conjuntos numéricos1.1
Quando nos referimos a um conjunto, o que vem à sua mente?
Um conjunto formado por peças de um vestuário. Um conjunto de rock, 
ou música pop ‑rock. Aquela coleção de carrinhos ou bonecas que iniciou 
na infância. A lista de contatos do serviço.
Você percebe que temos várias coleções ou conjuntos e objetos com os 
quais lidamos diariamente?
Entenda por conjunto uma coleção qualquer: de animais, números, 
objetos etc. Já os objetos que formam um conjunto são denominados 
elementos.
Um conjunto é geralmente representado por uma letra maiúscula (e os 
elementos por uma letra minúscula) e se apresenta de três formas:
1. Enumerando seus elementos, escrevendo -os entre chaves e 
separando -os por vírgulas, como:
A = { segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo }
B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
C = { a, e, i, o, u }
2. Por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos, 
como por exemplo:
A	=	{	x	 |	x	é	um	dia	da	semana	}.	Lê	-se:	Conjunto	A,	 formado	por	
elementos	x,	tal	que	“x”	é	um	dia	da	semana.
B = { x | x é um número ímpar entre 0 e 10 }.
C	=	{	x	|	x	é	vogal	}.	Lê	-se:	“C	é	o	conjunto	dos	elementos	x,	tal	que	x	é	
vogal”
6 UNIUBE
3.	Por	uma	figura	denominada	diagrama de Venn. Veja um exemplo 
dessa representação na Figura 1 a seguir:
a e i
o u
A
Figura 1: Representação conjunto A.
A utilização de uma ou de outra forma de representação será de acordo 
com a situação proposta.
Um elemento pode pertencer ou não pertencer a um determinado 
conjunto. Utilizamos o símbolo ∈ quando um elemento pertence a um 
conjunto, e o símbolo ∉ quando não pertence.
Vamos	tomar	o	conjunto	B	apresentado	anteriormente	para	exemplificar	
a utilização desses símbolos: B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
1 ∈ B – lê -se: o elemento 1 pertence ao conjunto B.
7 ∈ B – lê -se: o elemento 7 pertence ao conjunto B.
8 ∉ B – lê -se: o elemento 8 não pertence ao conjunto B.
15 ∉ B – lê -se: o elemento 15 não pertence ao conjunto B.
Veja, a seguir, algumas propriedades dos conjuntos!
• Igualdade de conjuntos: Dois conjuntos são iguais quando 
possuem os mesmos elementos.
Indica -se A = B (A é igual a B) e a negação da igualdade é indicada 
por	A	≠	B.	(A	é	diferente	de	B).
• Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O 
conjunto	vazio	é	representado	por	{	}	ou	Ø.	Para	exemplificar	vamos	
considerar o conjunto A a seguir:
A = { x | x é um ser humano vivo com mais de 300 anos de idade }
 UNIUBE 7
Podemos concluir que não existe nenhum elemento que pertença 
ao conjunto A. Neste sentido A= { }.
• Subconjuntos: Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A é 
subconjunto de B se todos os elementos do conjunto A pertenceremao conjunto B.
Escreve -se A ⊂ B e lê -se A está contido em B, ou B ⊃ A e lê -se B 
contém A. A negação destas relações é feita por meio dos símbolos 
⊄ (não está contido) e ⊃ (não contém).
Fique atento às regras!
Todo conjunto A é subconjunto dele próprio: A ⊂ A.
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto: Ø ⊂ A.
IMPORTANTE!
Dados A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 3, 5 } temos que o conjunto B está 
contido no conjunto A, ou seja, B ⊂ A.
Observe com atenção a Figura 2 a seguir, onde esses conjuntos estão 
representados em um diagrama de Venn, auxiliando na visualização de 
que o conjunto A contém o conjunto B.
EXEMPLIFICANDO!
• 1
 • 5
• 3
 • 0
• 2
 • 4
A B
Figura 2: Diagrama de Venn.
• União de conjuntos:	dados	os	conjuntos	A	e	B,	define	-se	como	
união dos conjuntos A e B o conjunto representado por A ∪ B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A ou B. Temos, 
então: A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B } (Figura 3).
8 UNIUBE
A B
A ∪ B
Figura 3: União de conjuntos.
• Intersecção de conjuntos:	dados	os	conjuntos	A	e	B,	define	-se	
como intersecção dos conjuntos A e B o conjunto representado 
por A ∩ B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, 
simultaneamente (Figura 4), ou seja:
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B }.
A B
A ∩ B
Figura 4: Intersecção de conjuntos.
• Diferença de conjuntos:	dados	os	conjuntos	A	e	B,	define	-se	como	
diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A – 
B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não 
pertencem a B (Figura 5), ou seja:
A – B = { x | x ∈ A e x ∉ B}
A B
A – B
Figura 5: Diferença de conjuntos.
Você já respondeu a algum questionário de opinião, por 
exemplo, preferência por determinada marca de determinado 
produto, opção de voto etc.?
Esses questionários são muito utilizados e com base nos resultados 
chega -se a várias conclusões. Para visualizar os resultados, é comum a 
 UNIUBE 9
utilização dos diagramas de Venn como um recurso matemático. Observe 
com atenção os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Uma prova de Matemática foi proposta a uma turma com 95 alunos. A 
prova foi elaborada com apenas duas questões e o resultado foi:
• 27 alunos acertaram as duas questões;
• 39 alunos acertaram a primeira questão;
• 48 alunos acertaram a segunda questão.
Vamos representar o resultado da turma utilizando um diagrama de Venn. 
Assim, temos:
PQ SQ
35
12 27 21
U
Como chegar aos valores apresentados?
Temos no problema exposto um conjunto universo U igual a 95 alunos, e 
esse universo é subdividido em subconjuntos menores que são:
• PQ: subconjunto que representa os alunos que acertaram a primeira 
questão;
• SQ: subconjunto que representa os alunos que acertaram a segunda 
questão;
• PQ  SQ (intersecção entre os conjuntos PQ e SQ): subconjunto 
que representa os alunos que acertaram as duas questões.
10 UNIUBE
Lembre	-se	de	que	a	intersecção	é	um	subconjunto	dos	elementos	comuns	
aos conjuntos dados.
DICAS
• U – PQ ∪ SQ (diferença entre o conjunto universo e a união dos 
conjuntos PQ e SQ): subconjunto que representa os alunos que 
erraram as duas questões.
Vamos compreender!
Então,	chamamos	de	“PQ”	o	diagrama	dos	alunos	que	acertaram	a	
primeira	questão	e	de	“SQ”	o	diagrama	dos	alunos	que	acertaram	a	
segunda questão.
Como 27 acertaram as duas questões, esse valor representa a 
intersecção entre os dois conjuntos (PQ ∩ SQ).
Tínhamos 39 alunos que acertaram a primeira questão. Então, para 
chegar aos 12 alunos, subtraímos de 39 os 27, que é a nossa intersecção.
Tínhamos 48 alunos que acertaram a segunda questão. Então, para 
chegar aos 21 alunos, subtraímos de 48 os 27, que é a nossa intersecção.
Como a soma de todas as partes (subconjuntos) tem que ser igual a 95, 
temos que subtrair dos 95 as outras partes (subconjuntos) para chegar a 
35 alunos, que são os que erraram ambas as questões. Fazemos, então:
95 – 12 – 27 – 21 = 35
Após esse detalhamento, podemos responder a alguns questionamentos, 
como:
a) Quantos alunos erraram as duas questões?
 UNIUBE 11
Resposta: 35 alunos.
b) Quantos alunos acertaram somente a primeira questão?
Resposta: 12 alunos.
c) Quantos alunos acertaram somente a segunda questão?
Resposta: 21 alunos.
d) Quantos alunos acertaram apenas uma questão?
Resposta: 33 alunos.
Para chegar ao resultado anterior, somamos o número de alunos que 
acertaram a primeira questão com os alunos que acertaram a segunda 
questão. Portanto, alunos que tinham acertado só uma questão. Fizemos, 
então: 12 + 21 = 33
IMPORTANTE!
e) Quantos alunos não acertaram a primeira questão?
Resposta: 56 alunos.
Para chegar a este resultado, somamos o número de alunos que 
acertaram somente a segunda questão com o número de alunos que 
erraram as duas questões.
f) Quantos alunos erraram a segunda questão?
Resposta: 47 alunos.
Para chegar a este resultado somamos o número de alunos que 
acertaram somente a primeira questão com o número de alunos que 
erraram as duas questões.
12 UNIUBE
Exemplo 2
Numa pesquisa de opinião, um total de 800 pessoas foram entrevistadas 
sobre qual jornal elas liam. As respostas foram tabuladas e obtiveram -se 
os seguintes dados:
• 90 leem os três jornais;
• 260 leem os jornais Diário e Pasquim;
• 240 leem os jornais Diário e Planeta;
• 240 leem os jornais Pasquim e Planeta.
• 430 leem o jornal Diário;
• 490 leem o jornal Pasquim;
• 500 leem o jornal Planeta.
Agora, responda:
Quantas pessoas não leem nenhum dos jornais?
Qual o total de pessoas que leem somente um dos jornais?
Para a resolução desse exemplo, vamos representar os três conjuntos 
por meio de diagramas de Venn, que se interceptam e possuem regiões 
em comum, uma vez que a pesquisa indicou existirem pessoas que leem 
dois ou três jornais.
Inicialmente, vamos representar a região de interseção entre os três 
conjuntos, onde existem 90 leitores (Figura 6).
Planeta
90
DiárioPasquim
Figura 6: Interseção entre três conjuntos.
 UNIUBE 13
Devemos sempre começar o preenchimento pelas regiões de interseção.
DICAS
Em seguida, vamos preencher as regiões desse diagrama de acordo com 
as quantidades indicadas no enunciado.
O enunciado indicou que 260 leem os jornais Pasquim e Diário. No 
entanto, já sabemos que 90 pessoas leem os três jornais. Assim, para 
preenchermos a região do diagrama que indica os leitores, dentre esses 
260, que leem somente os jornais Pasquim e Diário, devemos fazer:
260 – 90 = 170 leitores de Pasquim + Diário
Da mesma forma, fazemos:
240 – 90 = 150 leitores de Diário + Planeta
240 – 90 = 150 leitores de Pasquim + Planeta
Preenchemos, então, mais algumas regiões do diagrama (Figura 7):
Planeta
90
150 150
170
DiárioPasquim
Figura 7: Diagrama de leitores.
Precisamos agora encontrar as quantidades de leitores que leem somente 
um dos jornais. Para determinarmos essas quantidades, vamos tomar 
o total de leitores de cada um dos jornais, e em seguida subtrairmos os 
valores que já estão indicados nos diagramas.
14 UNIUBE
Por exemplo, para determinarmos o número de pessoas que leem 
somente o jornal Pasquim, fazemos:
490 – 150 – 90 – 170 = 80 pessoas
De maneira semelhante, podemos determinar quantas pessoas leem 
somente o jornal Diário, ou somente o jornal Planeta:
430 – 170 – 90 – 150 = 20 pessoas leem somente o Diário
500 – 150 – 90 – 150 = 110 pessoas leem somente o Planeta
Preenchemos, então, as regiões restantes do diagrama de Venn (Figura 8):
Planeta
90
150
80 20
110
150
170
DiárioPasquim
Figura 8: Diagrama de Venn.
As regiões do diagrama representam as quantidades de pessoas que 
leem um, dois ou três jornais. Vamos, agora, responder às questões 
propostas no exemplo:
a) Quantas pessoas não leem nenhum dos jornais?
Somamos as quantidades indicadas em todas as regiões do diagrama 
anterior, que resulta em 770 pessoas, e retiramos esse valor do total de 
pessoas entrevistadas (800 pessoas). Temos, então:
800 – 770 = 30 pessoas não leem nenhum dos jornaisb) Quantas pessoas leem somente um dos jornais?
Ao nos referirmos às pessoas que leem somente um dos jornais, estamos 
falando daqueles leitores que leem somente o Diário, ou somente o 
 UNIUBE 15
Planeta ou somente o Pasquim. Assim, temos:
80 + 20 + 110 = 210 pessoas leem somente um dos jornais.
1.1.1 Conjunto dos números naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Um subconjunto importante de N é o conjunto N* (naturais não nulos):
N* = { 1, 2, 3, 4, 5,...}
Qual a diferença dessa representação para a anterior?
Veja que o zero foi excluído do conjunto N.
1.1.2 Conjunto dos números inteiros (Z)
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}
O conjunto N é subconjunto de Z.
Temos, também, outros subconjuntos de Z:
Z* = Z – {0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Z– = conjunto dos inteiros não positivos = {0, –1, –2, –3, –4, –5, ...}
1.1.3 Conjunto dos números racionais (Q)
Um número é denominado racional quando puder ser representado por 
meio de uma fração, ou seja, quando pode ser escrito na forma 
b
a (com 
a ∈ Z e b ∈ Z*). Assim, podemos escrever:
Q = { x | x = 
b
a , com a ∈ Z e b ∈ Z* }
16 UNIUBE
O conjunto dos números racionais representa a união do conjunto dos 
números inteiros, com as frações positivas e negativas, que resultam 
nos diversos números decimais que se encontram entre dois números 
inteiros quaisquer.
Para entender que um número inteiro também é um racional lembre -se, 
por exemplo, de que o número inteiro 5 pode ser representado como uma 
fração na forma 
2
10 ou 
8
40
-
- ou outra fração qualquer cuja divisão resulte 
no número cinco, desde que o denominador não seja nulo.
PARADA OBRIGATÓRIA
É possível representarmos um número racional, na forma decimal, que 
se obtém dividindo a por b. Essa divisão entre dois números inteiros pode 
então resultar num decimal exato ou, ainda, em um decimal periódico 
infinito.
• Exemplos	referentes	às	decimais	exatas	ou	finitas:
4
1 = 0,25 
20
75 = 3,75
• Exemplos referentes às decimais periódicas ou	infinitas:
3
7 = 2,333... 
7
6 = 0,857142857142...
EXEMPLIFICANDO!
Você se recorda do procedimento de transformar um número 
racional da forma decimal para a forma fracionária?
Quando o decimal for exato, basta transformá -lo em uma fração cujo 
numerador é o numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador é o 
algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais 
do numeral dado.
 UNIUBE 17
Exemplo 3
1,729 = 
1000
1729 (3 casas decimais – acrescentam -se 3 zeros no 
denominador)
4,14 = 
100
414 (2 casas decimais – acrescentam -se 2 zeros no 
denominador)
Neste	caso,	não	podemos	nos	esquecer	de	simplificar	a	fração.	Assim:
 2
2
414 207
100 50
÷
÷ =
Realize, agora, a seguinte divisão: 
9
4
Aproveite e anote o seu resultado.
Você deve ter chegado ao resultado da dízima periódica 0,4444....
Definições importantes:
• Denominamos	dízima	periódica	ao	número	decimal	infinito	que	
apresenta um período de repetição, ou seja, um ou mais algarismos 
que	se	repetem	infinitamente.
• Ao número racional que gera a dízima periódica, denominamos 
fração geratriz.
Nesse caso, o período é dado pelo algarismo 4, e 
9
4 é a fração geratriz 
da dízima.
Observe outros exemplos:
12,474747...: o período é dado por 47.
9,12835835835...: o período é dado por 835.
Exemplo 4
Vamos considerar que você não conhecesse a fração geratriz do número 
decimal 0,444... Como poderia encontrá -la?
18 UNIUBE
Acompanhe, agora, nossa resolução e compare os resultados.
COMPARANDO
Para transformar a dízima periódica 0,444... em fração, podemos seguir 
os passos enumerados:
1o passo
Inicialmente, igualamos a dízima periódica a uma variável x. Assim, 
temos:
0,444... = x
2o passo
Observe o período. Como no nosso exemplo o período é 4, você 
multiplicará ambos os membros (do passo anterior) por 10, de modo 
que a vírgula se desloque para a direita até que se tenha, na parte antes 
da vírgula, um período inteiro de repetição da dízima. Temos:
10x = 4,444...
3o passo
Subtraia membro a membro a equação do 1° passo da equação do 2° 
passo.
10x = 4,444...
– x = 0,444...
9x = 4
Observe que essa subtração eliminou o período de repetição da dízima.
4o passo
Resolva a equação resultante e obtenha a fração geratriz.
 UNIUBE 19
9x	=	4	 →	 x	=	
9
4
Logo,	0,444...	=	
9
4
Exemplo 5
Escreva o número 3,2145454545... na forma fracionária.
Agora, veja nossa resolução e compare os resultados.
COMPARANDO
Para escrever 3,2145454545... na forma fracionária temos que analisar 
o período e os números que não fazem parte dele.
x = 3,21454545...
Observe que, nesse caso, o decimal apresenta uma parte não periódica, 
então devemos transformá -la numa parte inteira, deslocando a vírgula 
duas casas para a direita.
100x = 321,454545...
Para deslocar a vírgula duas casas para a direita, seria necessário que se 
multiplicasse por 100 o segundo membro da igualdade. Assim, para que a 
igualdade se mantivesse como verdadeira, o primeiro membro também foi 
multiplicado por 100.
IMPORTANTE!
Agora,	 responda:	 o	 que	 ficou	 à	 direita	 da	 vírgula?	 Você	 deve	 ter	
observado que temos aí apenas os períodos. Neste momento, podemos 
prosseguir como no exemplo anterior.
20 UNIUBE
10000x = 32145,4545...
–100x = 321,454545...
9900x = 318247
 x = 
9900
318247 	(simplificando	a	fração	por	36)
 x = 
275
884
Podemos representar todos os números decimais utilizando frações?
PARADA	PARA	REFLEXÃO
Para responder a esse questionamento, surge o conjunto dos números 
irracionais. Veja -o, a seguir:
1.1.4 Conjunto dos números irracionais (I)
Observe os números a seguir:
2 = 1,4142135...
3 = 1,7320508...
r = 3,1415926535...
e = 2,718281...
r – lê -se pi
É um importante número irracional, que representa a razão entre as 
grandezas do perímetro de uma circunferência e seu diâmetro.
EXPLICANDO	MELHOR
 UNIUBE 21
e – número de Euler (pronuncia -se óilar), assim chamado em homenagem 
ao	matemático	suíço	Leonhard	Euler,	é	a	base	dos	logaritmos	naturais	ou	
neperianos.
Fonte: Wikipedia (2010).
Podemos	identificar	seus	períodos?
Se você respondeu não, acertou! Observe que em nenhum deles existem 
repetições regulares formando um período. Assim, não é possível 
fazermos a representação deles na forma fracionária.
Esses	números	são	denominados	decimais	infinitos	não	periódicos	e	
constituem o conjunto dos números irracionais.
Outros exemplos
• 0,23145213657...
• 1,36598265892...
• 458,25369248597...
1.1.5 Conjunto dos números reais (R)
Denominamos número real a todo número racional ou irracional, ou seja, 
o conjunto dos números reais (R) é a união do conjunto dos números 
racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (I), isto é: R = Q ∪ I.
Observe a relação entre os conjuntos numéricos estudados por meio do 
diagrama (Figura 9) a seguir:
22 UNIUBE
IQ
Z
N
Figura 9: Conjuntos numéricos.
Observe que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e, ainda, que o conjunto dos números 
fracionários (Q) não está contido no conjunto dos números irracionais (I), 
uma vez que esse último é dado justamente pelos números que não podem 
ser escritos na forma de uma fração.
IMPORTANTE!
Lembramos	ainda	que	o	conjunto	dos	números	reais	é	resultado	da	
junção do conjunto dos números racionais com o dos números irracionais, 
ou seja, R = Q ∪ I. O diagrama (Figura 10) a seguir ilustra essa relação:
I
R
Q
Figura 10: Conjuntos números 
racionais e irracionais.
O conjunto dos números reais mantém uma 
relação de correspondência biunívoca com os 
pontos da reta numerada (a cada ponto da reta 
corresponde um e somente um número real e a 
cada número real corresponde um e somente um 
ponto da reta) (Figura 11).
Biunívoca
Quando dois 
conjuntos finitos 
têm o mesmo 
número de 
elementos, então 
existe uma bijeção 
entre esses 
conjuntos. Na teoria 
dos conjuntos, 
essa propriedade é 
usada para definir 
a cardinalidade 
de conjuntos: dois 
conjuntos têm o 
mesmo número de 
elementos se,e 
somente se, existe 
uma bijeção entre 
eles.
 UNIUBE 23
 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 11: Reta numerada.
Entre	dois	números	inteiros	existem	infinitos	números	reais.
Como subconjuntos importantes de R, temos:
R* = R – {0}
R+ = conjunto dos números reais não negativos
R– = conjunto dos números reais não positivos
Intervalos reais
Os intervalos reais são subconjuntos dos números reais. Assim, dados 
dois números reais a e b, sendo a < b:
• Intervalo aberto é o conjunto dos números reais entre a e b (Figura 12).
Representação: { x ∈ R | a < x < b } = ] a, b [
a b
x
Figura 12: Intervalo aberto.
• Intervalo fechado é o conjunto dos números reais entre a e b, 
incluindo a e b (Figura 13).
Representação: { x ∈ R	|	a	≤	x	≤	b	}	=	[	a,	b	]
a b
x
Figura 13: Intervalo fechado.
• Intervalo aberto à direita é o conjunto dos números reais entre a e 
b, incluindo a.
Representação: { x ∈ R | a	≤	x < b } = [ a, b [ (Figura 14).
24 UNIUBE
• Intervalo aberto à esquerda é o conjunto dos números reais entre a 
e b, incluindo b.
Representação: { x ∩ R | a < x	≤	b } = ] a, b ] (Figura 15).
a b
x
Figura 15: Intervalo aberto à esquerda.
Considerações importantes:
• A correta representação dos intervalos reais por meio da reta 
numérica real facilita a realização das operações de união e 
interseção entre dois conjuntos numéricos quaisquer que contenham 
subconjuntos da reta real.
• As operações de união e interseção são importantes para a 
determinação do conjunto domínio de funções reais ou ainda, na 
resolução de sistemas de inequações, que serão estudados por 
você futuramente.
Exemplo 6
Determine o conjunto A  B para:
A	=	[	−5,	8	)	∪ ] 12, + [ e B = { x ∩ R | 3 < x	≤	15	}
Resolução
Representaremos os dois conjuntos em retas numéricas, uma abaixo 
da	outra,	e	em	seguida	verificaremos	qual	é	o	intervalo	de	valores	
que pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo, representando a 
interseção.
a b
x
Figura 14: Intervalo aberto à direita.
 UNIUBE 25
É interessante observar o intervalo indicado no conjunto A como [–5, 8), 
o que é outra notação utilizada para um intervalo aberto, onde em vez do 
colchete voltado para fora se utiliza um parêntese.
DICAS
Veja na Figura 16 a seguir os conjuntos:
–5 8 12
A
15
B
3
Figura 16: Conjuntos.
Os intervalos que pertencem, simultaneamente, aos dois conjuntos estão 
indicados na Figura 17 a seguir:
8 12
A  B
153
Figura 17: Intervalos dos conjuntos. 
Atividade 1
1.	Faça	a	representação	gráfica	(reta	numérica	real)	dos	intervalos:
a) A = ] 2, 10 [
b) B = { x ∈ R	|	–2	≤	x	≤	2	}
c) C = { x ∈ R | x > 1 }
d) D = ] –1, 5 ]
AGORA É A SUA VEZ
Assim, temos o conjunto { }/ 3 8 ou 12 15A B x x x∩ = ∈ < < < < , ou 
de outra maneira: ] [ ] ]3,8 12,15A B∩ = ∩
26 UNIUBE
2. Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica:
a) 0,7777...
b) 0,232323...
c) 1,666666...
d) 2,131313...
3. Sejam os conjuntos A, B, C e D indicados, a seguir:
A = { x ∈ R | x	≤	 3 3ou x	≥	5	}
B = { x ∈ R | –4 < x	≤	6	}
C = ] –, –1 ] ∪ ] 5, 12 [
D = { x ∈ R	|	0	≤	x	<	5	ou	x	≥	7	}
Determine:
a) A ∩ B
b) C ∩ D
c) (D ∩ B) ∪ A
d) A ∪ C
4. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita 
uma pesquisa de mercado, colheram -se os resultados tabelados, a seguir:
Marca A B C
A 
e 
B
B 
e 
C
C 
e 
A
A, B e C
Nenhuma 
das três
N° de 
consumidores
145 220 195 27 45 32 5 130
Com base nestes dados, responda:
a) o número de pessoas consultadas;
b) o número de pessoas que só consomem a marca A;
c) o número de pessoas que não consomem as marcas A e ou C;
d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.
 UNIUBE 27
Na resolução do Exercício 4 da Atividade 1, faça inicialmente o diagrama 
de Venn representando as quantidades de pessoas em cada espaço do 
diagrama. Após isso, você responderá facilmente as questões.
DICAS
Potenciação1.2
1.2.1 Potência com expoente inteiro positivo
Se a é um número real e n é inteiro e positivo, a expressão an representa 
o produto de n fatores, todos iguais a a, ou seja:
an = a · a · a · ... · a n vezes.
Nesta	operação	de	potenciação,	o	termo	“a”	indica	base	da	potência	e	
“n”,	o	expoente.
Exemplos 7
a) 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
b) 
2
1
2
1
2
1
2
1
8
13
# #= =c m
c) (–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
Vejamos, agora, algumas propriedades gerais da potenciação. Se m e n 
são números reais, valem as seguintes propriedades:
1 ‑ Na multiplicação de potências de mesma base, a potência resultante 
é obtida conservando ‑se a base e adicionando ‑se os expoentes:
am · an = am+n
Exemplo 8: 26 · 210 = 216
2 ‑ Na divisão de potências de mesma base, a potência resultante é 
obtida conservando ‑se a base e subtraindo ‑se os expoentes:
28 UNIUBE
( 0)a a
a
a a am n n
m
m n
' != = -
Exemplo 9: 315 ÷ 38 = 37
3 ‑ Na potência de potência, o resultado é obtido conservando ‑se a base 
e multiplicando ‑se os expoentes:
(am)n = am·n
Exemplos 10
a) (73)6 = 718
b) (x2)5 = x10
4 ‑ A potência de um produto de dois ou mais fatores pode ser calculada 
elevando ‑se cada termo do produto ao expoente indicado e mantendo ‑se 
o produto entre os termos:
(a · b)n = an · bn
Exemplos 11
a) (4x3y)4 = 44 · (x3)4 ·y4 = 256x12y4
b) (2 ·3)4 = 24 · 34 = 16 · 81 = 1296
Nesse exemplo, também, seria possível realizar o produto dos termos entre 
parênteses e, em seguida, elevar ao expoente indicado: (2 · 3)4 = 64 = 6 · 
6 · 6 · 6 = 1296.
PARADA OBRIGATÓRIA
5 ‑ A potência de um quociente é o quociente das potências:
( )
b
a
b
a b 0
n
n
n
!=c m
 UNIUBE 29
Exemplos 12
a) 
7
5
7
52
2
2
=c m
b) 
a
x
a
x
a
x
a
x
3
2
3
2
3
2
27
82 3
3
2 3
3 3
3 2 3
3
6
$
$
- =
-
=
-
=-e
^
^ ^ ^
o
h
h h h
6 ‑ Potências com expoente inteiro negativo
Se a é um número real não nulo (a	≠	0)	e	n um número inteiro e positivo, 
definimos:
a
a
1n
n=
-
Exemplos 13
a) 5–1 = 
5
1
b) 4
4
1
16
12
2- = -
=-^
^
h
h
7 ‑ Potências com expoente fracionário
Vamos apresentar agora uma propriedade que será novamente estudada 
por você nessa unidade, no tópico sobre radiciação. No entanto, o 
raciocínio envolvido na resolução de radicais pode ser entendido, de 
forma	simplificada,	como	a	aplicação	das	propriedades	da	potenciação	
apresentadas anteriormente.
Para os números inteiros n e m,	com	m	≠	0,	podemos	transformar	uma	
potência	de	base	“a”	elevada	a	um	número	fracionário,	em	um	radical	de	
índice m da potência an, fazendo:
a am
n
nm=
Exemplos 14
a) 64 2 2 2 43 63 3
6
2
= = = =
30 UNIUBE
Observe na resolução desse exemplo que a propriedade 7 foi aplicada de 
“forma	inversa”,	uma	vez	que	transformamos	o	radical	em	uma	potência	de	
expoente fracionário.
IMPORTANTE!
b) 729 3 3 3 813
2
3
2
6 3
2 6
3
2
3
1
4
= = = = =^ h
c) 
4$
2 2 2 2 648 24 3 4 2
3 4
4
3
2
12
6
= = = = = =^ ^ `h h j
Você acha que há diferença entre –32 e (–3)2?
Para responder, volte ao enunciado que diz an = a · a · a · ... · a
Isso quer dizer que devemos multiplicar a base por ela mesma conforme 
a quantidade de vezes que o expoente nos indica. Porém, é de suma 
importância entender que a base está subordinada ao expoente.
Voltemos à indagação feita anteriormente:
–32 : nesse caso, o expoente está aplicado somente ao três, e não para 
o sinal negativo. Portanto, temos:
–(3 · 3) = –9
Já para (–3)2, a base da potência é menos três. Dessa forma, tanto o sinal 
negativo quanto o três estão subordinados ao expoente. Temos, então:
(–3) · (–3) = 9
 UNIUBE 31
Frações1.3
Em muitos cálculos que nos interessam, trabalhamos com números 
decimais exatos ou, ainda, as chamadas dízimas periódicas. Estes 
números podem ser expressos como uma fração. Nos exemplos 
apresentados anteriormente, já apareceram algumas frações e algumas 
operações já realizadas com essas frações.
Agora, vamos comentar sobre alguns conceitos envolvendo frações e 
destacar as operações realizadas com os números fracionários.
Uma fração indica a divisão (ou razão) entre dois números quaisquer a eb, 
com b	≠	0,	e	pode	ser	representada	por	
b
a , em que a é o numerador e b é 
o denominador.
RELEMBRANDO
1.3.1 Igualdade de frações
Agora, para que duas frações 
b
a e 
d
c sejam iguais, tem -se que 
b
a = 
d
c 
ou a · d = b · c para quaisquer b	≠	0	e	d	≠	0.	Observe	o	exemplo	a	seguir:
3
2 = 
6
4
2 · 6 = 3 · 4
12 = 12
1.3.2 Soma e subtração de frações
Ao efetuarmos uma soma ou subtração de frações que possuem 
denominadores distintos, devemos reduzir as frações ao mesmo 
denominador, encontrando o mínimo múltiplo comum (mmc) desses 
denominadores. Em seguida, adicionamos ou subtraímos os numeradores, 
32 UNIUBE
conservando o denominador comum. Veja o exemplo a seguir:
5
2
7
3
10
1
70
2 14 3 10 1 7
70
24 30 7
70
47$ $ $
+ - =
+ -
=
+ -
=
Não se esqueça!	Podemos	simplificar	o	resultado,	quando	for	possível,	
obtendo uma fração equivalente.
DICAS
1.3.3 Produto de frações
Se nosso objetivo for multiplicar duas frações 
b
a e 
d
c , com b	≠	0	e	d	≠	0,	
procederemos da seguinte forma:
Multiplicamos entre si os numeradores e os denominadores, ou seja:
b
a
d
c
b d
a c
$
$
$
=
Veja os exemplos a seguir:
a) 
5
2
7
3
35
6
# =
b) 
y
x
y
x
y
x
y
x
3
2
7 21
2
21
2
3 1 3
1 1
4
2
$ = =
+
+
1.3.4 Divisão de frações
Para dividir uma fração 
b
a por outra fração 
d
c , com b	≠	0	e	d	≠	0,	
conservaremos a primeira fração e multiplicaremos pelo inverso da 
segunda fração.
d
c
b
a
b
a
c
d
b c
a d
$
$
$
= =
A seguir, temos alguns exemplos:
 UNIUBE 33
a) 
5
1
3
2
3
2
1
5
3
10
$= =
b) 
5
4
13
1
13
4
5
4
65
$= =
c) 
6
14
3
14
3
6
1
84
3
28
1
$= = =
EXEMPLIFICANDO!
Apresentaremos aqui novos exemplos de potenciação com expoente inteiro 
negativo, pois seu entendimento necessita da propriedade da divisão de 
frações que tratamos há pouco no texto.
PARADA OBRIGATÓRIA
Desenvolva a potência 
b
x
4
3
2
3-
e o .
Aplicando a operação indicada na propriedade número 6, teríamos o 
seguinte:
b
x
b
x4
3
4
3
1
2
3
2
3=
-
e
e
o
o
.
Desenvolvendo a potência no denominador e aplicando a propriedade 
da divisão de frações chegamos ao seguinte resultado:
 
1
b
x
b
x x
b
b
x
x
b
4
3
64
27
1
27
64
4
3
27
64
2
3
6
3 3
6
2
3
3
6
$= =
=
-
-
e
c
o
m
b
x
b
x4
3
4
3
1
2
3
2
3=
-
e
e
o
o
34 UNIUBE
No entanto, podemos adotar uma regra prática quando se tem uma 
fração elevada a um expoente negativo:
Invertemos de posição o numerador e o denominador da potência e 
trocamos o sinal do expoente para positivo. Em seguida, desenvolvemos 
a potenciação normalmente, elevando o numerador e o denominador da 
fração à potência indicada. Observe:
b
x
x
b
x
b
x
b
4
3
3
4
3
4
27
64
2
3 2 3
3
2 3
3
6
= = =
-
e e ^
^
o o h
h
Veja outros exemplos:
a) 
y
x
x
y
x
y
4
4 16
2
2 2 2
2
4
= =
-
e eo o
b) 
x
x x
5
2
2
5
8
1253 3 3
= =
-
e eo o
As operações de potenciação com expoente negativo são comuns em 
diversas situações como, por exemplo, nas operações de cálculo de juros 
compostos. Nunca é demais relembrar as propriedades da potenciação 
e os cuidados que se deve ter para não realizar cálculos equivocados 
nesses casos. Observe os casos a seguir:
1o 
2
3 1-e o 2o 
2
3 1-e o
Novamente, vale ressaltar onde e para quem está o expoente.
• No primeiro caso, temos:
O menos um está somente para o três e não para a fração, então 
devemos proceder da seguinte maneira:
Primeiro, devemos inverter o três para tornar o expoente positivo.
 UNIUBE 35
2
3
1 1c m
, como todo número elevado a um é ele mesmo, temos:
2
3
1
. Assim, temos uma divisão de fração. Para resolver, vamos copiar a 
primeira fração vezes o inverso da segunda fração:
3
1 × 
2
1 = 
6
1
• No segundo caso, como o menos um está para toda a fração, basta 
inverter a fração inteira.
3
2
3
21
=e o
Observe os resultados! Veja que são diferentes. Por isso, é muito 
importante analisar com calma antes de resolver qualquer exercício. Um 
sinal ou a interpretação errônea nos leva a outros resultados. Assim, é 
muito importante estar com os conhecimentos bem sedimentados.
Atividade 2
1. Calcule as potências:
a) 8–1 f) 11–2
b) (–5)–1 g) 
5
12 2
-
-
e o
c) 
8
1 1-e o h) 7
6 3
-
-
e o
d) 4
7 1-e o i) 
10
3 4-e o
e) (0,6)–1 j) (2,1)–2
2. Reduza cada item a uma potência de expoente positivo:
a) 22 ÷ 25
AGORA É A SUA VEZ
36 UNIUBE
b) 
7
5
7
52 4
'
- -
e eo o
c) 
8
7
8
7 1
'
-
e eo o
d) 
10
1 1 5-e o= G
3. Determine as seguintes potências:
a) (3x2b)4
b) 
z3
2 3-e o
c) 
x p2
1
2 5
2 3-
e o= G
d) [3 · (a2m)2]3
Expressões numéricas1.4
A resolução da maioria dos problemas de matemática que nos interessam 
está relacionada à determinação do valor numérico de uma expressão 
ou, ainda, à resolução de uma equação determinando -se o valor de uma 
variável que torna verdadeira a igualdade indicada.
Nesse momento, vamos relembrar algumas regras básicas de prioridade 
ou de precedências de operações na resolução de expressões numéricas.
Na resolução de expressões numéricas, devemos efetuar as operações 
na seguinte ordem:
1. potenciação e radiciações;
2. multiplicações ou divisões, na ordem em que elas aparecem, da 
esquerda para a direita;
3. adições ou subtrações, na ordem em que aparecem, da esquerda 
para a direita.
 UNIUBE 37
Quando uma expressão apresenta parênteses, colchetes e chaves, 
resolvemos, em primeiro lugar, as operações indicadas entre parênteses. 
Em seguida, as operações entre colchetes e, por último, as que estão 
indicadas entre chaves.
A seguir, você poderá acompanhar a resolução de uma expressão 
numérica e a descrição dos procedimentos utilizados para determinar o 
valor dessa expressão.
Fique atento à ordem de prioridade das operações e aos cálculos realizados.
IMPORTANTE!
Exemplos 15
a) Determine o valor numérico da expressão E indicada a seguir:
E 3 3 4 8
2
1 1 2 8 4 12 9 5
2
3 36 23
1
5 2 2
1
3
$ $ $ $ ' '= - + + + - + -^ eh o6 @) 3
Antes de começar a resolver, pense nesses questionamentos:
O que podemos resolver primeiro? Qual é a ordem? O que 
devemos considerar?
Observe o passo a passo da resolução comentada, para que você possa 
entender os questionamentos feitos anteriormente:
E 9 4 8
2
1 1 2 8 4 12 9 5
2
3 6 23 8$ $ ' '= - + + + - + -^ eh o6 @) 3
• começamos multiplicando o 3 pelo 3, o que gerou um resultado igual 
a 9. Porém, não subtraímos o 4 desse 9, pois o 4 está multiplicando 
todos os valores dentro das chaves;
• o 83
1
 virou raiz cúbica de 8, pois podemos transformar um número 
elevado a um expoente fracionário em um radical, em que o 
denominador será sempre o índice da raiz e o numerador, o 
38 UNIUBE
expoente do número dentro da raiz. Da mesma forma, o 92
1
 tornou-
-se raiz quadrada de 9;
• no caso do 22
3
, resolvemos primeiro o dois elevado à terceira, que 
são 8, tendo um resultado de 28;
• no parêntese da parte de fora, extraímos a raiz quadrada de 36, que 
é seis, pois seis elevado ao quadrado é igual a 36;
Continuando a resolução...
9 4 5E 2
2
1 1 256 8 4 12 3
2
3 12 4
$ $ ' '= - + + + -
+ -^ eh o6 @) 3
• agora, extraímos a raiz cúbica de 8, que é igual a dois, uma vez que 
dois elevado ao cubo é igual a 8;
• logo após, elevamos o dois à oitava potência, que é o mesmo que 
multiplicar o dois por ele mesmo oito vezes, gerando um resultado 
igual a duzentos e cinquenta e seis;
• no parêntese dentro das chaves, não podemos somar o oito com 
o quatro, pois primeiro devemos resolver a divisão para só depois 
realizar a soma;
• no parêntese de fora tiramos o M.M.C (Mínimo Múltiplo Comum), 
que foi igual a dois.
Continuando a resolução...
9 4 5E 2
2
1 1 32 4 12 3
2
11
$ $ '= - + + + -^ eh o6 @) 3
• Dividimos o duzentos cinquenta e seis por oito, obtendo um resultado 
igual a 32.
• No parêntese de fora, somamos o três com o doze e subtraímos 
quatro, tendo um resultado igual a onze meios (ou onze sobre dois). 
Temos:
9 4E 2
2
1 1 36 12 3
2
55
$ $ '= - + + -^ h6 @) 3
• Somamoso trinta e dois com o quatro, gerando 36, e multiplicamos 
o menos cinco por onze meios, gerando um resultado de menos 
cinquenta e cinco sobre dois.
 UNIUBE 39
Obtemos, então:
9 4E 2
2
1 36 12 3
2
55
$ $ '= - + + -6 @) 3
• Multiplicamos o número um no interior do colchete pelo trinta e seis 
e dividimos o resultado por doze, gerando um valor igual a 3.
9 4E 2
2
1 3 3
2
55
$ $= - + + -6 @) 3
• Agora, multiplicamos a fração 
2
1 por 3, e vamos obter no interior das 
chaves dois valores inteiros e um fracionário.
• Podemos somar os valores inteiros e obter o seguinte:
9 4 9 4E 2
2
3 3
2
55 5
2
3
2
55
$= - + + - = - + -) )3 3
• Podemos, agora, realizar a soma no interior das chaves, 
determinando	o	M.M.C	entre	os	denominadores	“dois”	e	“um”.	
Temos, então:
9 4E
2
10 3
2
55 9 4
2
13
2
55
$= -
+
- = - -) )3 3
• Em seguida, multiplicamos o número 4 pela fração 
2
13 , o que resulta 
em 
2
52 = 26.
E = 9 – 26 – 
2
55
Finalmente...
Podemos somar os dois números inteiros, 9 e –26, obtendo um resultado 
igual a –17. Em seguida, determinamos o MMC para somarmos o –17 
com a fração 
2
55- .
Observe a resolução: E
E
17
2
55
2
34 55
2
89
=- - =
- -
=-
40 UNIUBE
Esse	é	o	resultado	final	que	não	pode	ser	simplificado,	pois	os	números	
não possuem divisores comuns.
Na resolução de uma expressão numérica é muito importante atentar para 
as prioridades de resolução e também não fazer as coisas às pressas ou 
mesmo querer economizar espaço. Não faça nada muito direto, pois isso 
aumenta a possibilidade de cometer erros.
IMPORTANTE!
b) Determine o valor da expressão T
u u
u u
3
5 6
7 3 13 5
1
1 2
=
+
-
+
+ - -
-
-^ h 
para u = 
3
1 :
Primeiro,	devemos	substituir	o	valor	de	“u”	na	expressão:
T
3
1
3
5 6
3
1
7 3
3
1
13 5
3
1
1
1 2
$
$
=
+
-
+
+ - -
-
-
c
c
m
m; E
Em seguida, podemos realizar os produtos entre a fração 
3
1 e os números 
3 e 6. Também já é possível realizar as operações de potenciação em 
que a fração aparece elevada a um expoente negativo. Temos, então:
T
3
3
5 2
7 1 13 5 3 2=
+
-
+
+ - -6 @
Agora, podemos realizar a subtração no interior dos colchetes e também a 
subtração entre os números 5 e 2 que há no denominador da expressão:
T
3
3
3
8 13 2
3 1
8 13 42=
+
+ - =
+
+ -6 @
 UNIUBE 41
Finalmente, podemos realizar a soma no denominador da fração e, ainda, 
fazer a subtração entre 13 e 4 no numerador. Temos assim:
T
T
4
8 9 2 9
11
= + = +
=
Você,	agora,	vai	resolver	as	atividades	propostas	a	seguir,	para	fixar	os	
conceitos estudados.
Atividade 3
1. Realize as operações indicadas a seguir, atentando às prioridades das 
operações:
a) x
3
5
3
10 2 2
$
-
c m
b) 
4
2
3
5 6
1 + --
c) 
3
5
3
2 6
2
3
1
22
$ $+
-
-
c m
2. Determine o valor de y em cada uma das seguintes expressões. Considere 
o valor de x dado.
a) y
x
x
x
1
3
5 2 1
3
5
2'=- + + - -c cm m para x = 2
b) y
x
x x1
4 3
3 3
5
3 1 2
3
1
6
72' $= +
+
- - - + +c c ^ cm m h m para x = 2
1
c) y x x
2
1
9
4
3
4 1
2
32
$ '=
-
- - - +c c c ^m m m h; E para x = 2
3
d) y x x x
2
1 1 2 1
2 2
1
'= - - - + - + + +c cm m; E para x = 1
e) y x x
6
1 2 32 3$= - - -- ^ h; E para x = 4
1
AGORA É A SUA VEZ
42 UNIUBE
Equações polinomiais1.5
Um polinômio é uma expressão do tipo f(x) = an · x
n + an–1 · x
n–1 + ... + a2 
· x2 + a1 · x + a0, onde os termos an, an–1, ... , a0 são constantes reais e an 
≠	0.	As	constantes	an, an–1, ... , a0	são	os	denominados	coeficientes	do	
polinômio, o termo an · x
n é chamado de termo principal e a0 é o termo 
constante.
1.5.1 Equações polinomiais do 1o grau
Uma equação com uma incógnita x é denominada equação polinomial 
do 1o grau, ou simplesmente equação do 1o grau, se puder ser reduzida 
por meio de operações elementares à forma a · x + b	=	0	em	que	“a”	e	
“b”	são	números	reais	e	a	≠	0.	Temos	que:
• x é a incógnita;
• “a”	é	denominado	coeficiente;
• “b”	é	denominado	termo	independente.
Ao resolver uma equação de 1o grau, estamos determinando o valor 
da variável que, no momento, estamos chamando de x e que satisfaça 
à equação dada. Para isso, é necessário isolar a incógnita em um dos 
membros que compõem a equação. Assim, o número resultante no outro 
membro será a solução da equação. Veja a tabela do exemplo 16 a 
seguir.
Exemplo 16
5x + 2 = 12 Equação inicial
5x = 12 – 2 O número 2, que estava somando no 1o membro, 
passa subtraindo para o 2o membro.
5x = 10 Para isolar a variável, o número 5 que estava multiplicando x 
passa dividindo para o 2o membro.
x = 5
10 = 2 Solução
 UNIUBE 43
a) x x
2
3 5 4
3
1-
+ = +
Para iniciar a resolução, devemos determinar o mínimo múltiplo comum 
de toda a expressão para, em seguida, resolvermos a igualdade:
x x
x x
x x
x
x
6
3 3 30
6
24 2
3 9 30 24 2
21 2 24 3
19 21
21
19
- +
=
+
- + = +
- = -
=
=
^ h
b) y y y y
2 3
3
2
4
5 2
-
-
=- +
+
Na resolução deste exemplo vamos adotar um procedimento um pouco 
diferente, mas que apresenta resultados equivalentes àquele descrito 
anteriormente com o mmc. Vamos multiplicar toda a expressão por 12, 
uma vez que os denominadores são todos divisores deste valor.
y y
y
y
y y y y
y y
y y
y
y
2
12
3
12 3
2 12
4
12 5 2
6 4 12 24 15 6
2 12 18 15
2 18 15 12
20 3
20
3
$
$
$
-
-
=- +
+
- + =- + +
+ =- +
+ = -
=
=
^ ^h h
• Se adicionarmos (ou subtrairmos) um mesmo número aos dois membros 
de uma igualdade, obteremos uma nova igualdade.
• Se multiplicarmos (ou dividirmos) dois membros de uma igualdade por 
um mesmo número, obteremos uma nova igualdade.
DICAS
44 UNIUBE
Atividade 4
Determine a solução de cada uma das seguintes equações do 1o grau:
a) 3 – (3x – 6) = 2x + (4 – x)
b) 2(y – 2) + 5(2 – y) = –3(2y + 2)
c) t t t
2
5
3
1
3 12
3 14-
- = -
+
d) x x x
5
1
12
6 1
3
3 1+
+
+
=
+
e) y y y y
3 12
5 3
4
3
2
$
+
-
+
-
=
^ h
AGORA É A SUA VEZ
1.5.2 Equações polinomiais do 2o grau
Chama -se equação polinomial do 2o grau na variável x, equação do 2o 
grau ou equação quadrática, a qualquer expressão algébrica que possa 
ser reduzida à forma: ax2 + bx + c = 0, com a, b, c ∈ R e a	≠	0.	Os	
números reais a, b, c	são	chamados	coeficientes	da	equação	do	2o grau, 
sendo que:
“a”	é	sempre	o	coeficiente	de	x2;
“b”	é	sempre	o	coeficiente	de	x;
“c”	é	chamado	de	termo	independente	ou	termo	constante.
Para encontrar a solução de uma equação do 2o grau, utilizaremos a 
fórmula de Bhaskara, x = 
a
b b ac
2
42!- - onde a expressão b2 – 4ac é 
chamada de discriminante da equação e usualmente é representada pela 
letra grega D (delta). Assim, temos que x = 
a
b
2
! D- e podemos estudar 
o discriminante D da seguinte maneira:
 UNIUBE 45
Se D > 0, a equação apresenta duas soluções (duas raízes) reais e 
distintas:
x' = 
a
b
2
D- + e x" = 
a
b
2
D- -
Se D = 0, a equação apresenta duas soluções iguais: x' = x" = –
a
b
2
.
Se D < 0, a equação não apresenta soluções reais.
Exemplo 17
Vamos encontrar o conjunto solução da equação x2 – 2x – 3 = 0.
Temos: D = (–2)2 – 4 × 1 × (–3) = 16
Com este resultado, qual a interpretação que você pode fazer 
em relação às raízes?
Se você respondeu que a equação possui duas raízes reais e diferentes, 
acertou!
' 3
''
x
x
x
2 1
2 16
2
2 4
2
2 4
2
6
2
2 4
2
2 1
#
! !
=
- -
=
=
+
= =
=
-
=
-
=-
^ h
O conjunto solução da equação, então, é: S = { –1, 3 }
Exemplo 18
Vamos resolver a equação x · (x – 10) = –25.
Neste caso, devemos reduzir a equação anterior para a forma ax2 + bx + c = 0.
Assim:
x · (x – 10) = – 25
46 UNIUBE
x2 – 10x + 25 = 0
Os	coeficientes	da	equação	são	a = 1, b = –10, c = 25
O discriminante da equação tem valor igual a:
D = (–10)2 – 4 · 1 · 25
D = 100 – 100 = 0
Como D = 0, as duas raízes são reais e iguais.
x
2 1
10 0
2
10 5
!
=
- -
= =
^
^
h
h
O conjunto solução da equação é S = {5}.
Exemplo 19
Ao resolver a equação 2x2 – x + 5 = 0, temos:
a = 2, b = –1, c = 5
D = (–1)2 – 4 · 2 · 5
D = 1 – 40 = –39
Como o D < 0, não há raízesreais.
Assim S = Ø, ou seja, o conjunto solução é vazio.
Até aqui, você estudou os métodos de resolução das equações 
polinomiais de 1o e 2o graus, que se referem aos polinômios de grau 1 e 
2 (maior expoente do polinômio). Mais adiante, nesse capítulo, você vai 
estudar a resolução de algumas equações polinomiais com grau maior 
ou igual a 3.
Agora,	vamos	apresentar	a	você	simplificações	que	podem	ser	feitas	
na resolução de algumas equações do segundo grau, denominadas 
equações incompletas.
 UNIUBE 47
1.5.3 Equações incompletas
Uma equação do 2o grau é incompleta, quando não apresenta o termo 
bx, ou o termo c, ou ambos.
Todas as equações incompletas do 2o grau podem ser resolvidas 
utilizando a fórmula de Bhaskara, no entanto as equações do tipo ax2 
+ c = 0, em que b = 0, podem ser resolvidas isolando -se a variável x na 
equação.
Exemplo 20
a) 3x2 – 27 = 0
Isolando -se a variável x na equação, tem -se:
 3x2 = 27
 x2 = 
3
27
 x2 = 9
 x = ± 9
 x = ±3
O conjunto solução da equação é: S = { –3, 3 }
b) x
4
2
- + 1 = 0
Resolvendo a equação, temos:
 x
4
2
- = – 1 ×(–1)
 x
4
2
 = 1
 x2 = 4
 x = ± 4
 x = ±2
48 UNIUBE
O conjunto solução é: S = { –2, 2 }
c) 3x2 + 15 = 0
 3x2 = –15
 x2 = 
3
15-
 x2 = –5
 x = ± 5-
Como não há solução real para o valor da raiz quadrada de um número 
negativo, o conjunto solução é vazio, ou seja, S = { }.
As equações incompletas do 2o grau da forma ax2 + bx = 0, em que c = 
0, podem ser resolvidas reescrevendo -se a equação como um produto 
de dois termos. Esse procedimento é denominado fatoração e será 
trabalhado mais detalhadamente em outra seção nesta unidade didática.
Exemplo 21
a) x2 + 15x = 0
A equação pode ser reescrita na forma x · (x + 15) = 0.
Observe que ao realizarmos o produto da expressão entre parênteses 
pelo termo x, aplicando a propriedade distributiva, obteremos novamente 
a equação x2 + 15x = 0.
Na expressão x · (x + 15) = 0, como o resultado é igual a zero, 
necessariamente um dos fatores deve ser nulo. Dessa forma:
x = 0 ou
x + 15 = 0
x = –15
 Conjunto solução da equação é S = { 0, –15 }.
 UNIUBE 49
b) 2x2 + 10x = 0
Reescrevendo a equação, temos: 2x · (x – 5) = 0. Assim:
2x = 0
x = 0
ou
x – 5 = 0
x = 5
O conjunto solução é S = { 0, 5 }
Sempre	que	uma	equação	do	segundo	grau	não	apresentar	o	termo	“c”,	uma	
de suas raízes será nula e a outra terá valor a
b- .
IMPORTANTE!
1.5.4 Dispositivo prático para determinar as raízes
É possível descobrir mentalmente as raízes de uma equação do 2o grau 
e, assim, reduzir o tempo gasto durante a resolução de um problema. 
Veja como isso é possível.
Você sabe que x' = 
a
b
2
D- + e x" = 
a
b
2
D- - são as raízes da equação 
de 2o grau, mas observe o que acontece ao somar e ao multiplicar as 
mesmas.
Ao somarmos as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, obteremos:
' ''x x
a
b b ac
a
b b ac
a
b
b
a
2
4
2
4
2
22 2
+ =
- + -
+
- - -
=- =-
x' + x" = – 
a
b , ou seja, S = – 
a
b (soma = S)
Ao multiplicarmos as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 entre si, 
obteremos:
a
b
50 UNIUBE
' ''
' ''
x x
a
b
a
b
a
b
a
b
x x
a
b b ac
a
b b ac
a
ac
a
c
2 2 4 4
4
4
4
4
4
4
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
$ $
$
D D D D
=
- + - -
=
-
=
-
=
- -
=
- +
= =
c c
^
^
m m
h
h
x' · x" = 
a
c , ou seja, P = 
a
c (produto = P)
Sabemos que a forma completa da equação de 2o grau é ax2 + bx + c = 0 
e	que,	ao	dividirmos	todos	os	coeficientes	por	a	≠	0,	obteremos:
a
a x a
b x a
c
a
x a
b x a
c
0
0
2
2
+ + =
+ + =
No entanto, sabemos que S = – a
b e que P = a
c ,
Logo,	podemos	escrever:
x2 – Sx + P	=	0,	em	que	o	coeficiente	a sempre é igual a 1.
Esse procedimento prático de determinar as raízes de uma equação 
quadrática (ou equação do 2o grau) somente deve ser aplicado nos casos 
em	que	o	coeficiente	“a”	for	igual	a	1.	Nos	demais	casos,	a	aplicação	desse	
método prático, apesar de possível, torna -se geralmente mais complexa que 
o uso da fórmula de Bhaskara.
IMPORTANTE!
Exemplo 22
a) Determine a solução da equação x2 + 6x + 8 = 0.
Inicialmente, responda quais são os dois números que, ao serem 
multiplicados, apresentam resultado igual a 8 e, ainda, somados resultam 
em –6.
 UNIUBE 51
Pensando em valores inteiros, é possível montar um quadro que auxilia 
na determinação das raízes da equação:
Possíveis raízes
x’ –1 1 2 –2
x” –8 8 4 –4
Produto x’	·	x” 8
Soma x’	+	x” –9 9 6 –6
Como o produto entre as raízes deve ser –6, então as soluções da 
equação são: x’ = –2 e x’’ = –4.
Determine a solução da equação –x2 + 7x + 18 = 0.
A princípio, você pode pensar que nesse exemplo não seria possível 
aplicar o método prático, uma vez que temos a = –1.
No entanto, por meio de uma operação simples, podemos reescrever 
a equação sem alterar o resultado de suas raízes e fazer com que o 
coeficiente	“a”	passe	a	apresentar	o	valor	igual	a	1.
Podemos multiplicar os dois membros da equação por (–1) . Dessa 
forma, teremos:
–x2 + 7x + 18 = 0 × (–1)
x2 – 7x – 18 = 0
Vamos, agora, tomar dois números que, ao serem multiplicados, resultem 
no valor do termo c, ou seja, –18. Obtemos, assim, pares de valores x’ e 
x”,	que	podem	ser	as	raízes	da	equação.
Possíveis raízes
x’ –1 1 2 –2 3 –3
x” 18 –18 –9 9 –6 6
Produto x’	·	x” –18
Soma x’	+	x” 17 –17 –7 7 –3 3
52 UNIUBE
De acordo com o procedimento prático, além de o produto entre as raízes 
resultar em –18, a soma dessas raízes deve ser igual ao negativo do 
termo b, ou seja, – (–7) = 7.
Observando	o	quadro	anterior,	verificamos	que	a	soma	das	raízes	é	
igual	a	–7	para	o	par	de	valores	x’	=	–2	e	x”	=	9,	que	são	as	soluções	da	
equação.
Existem algumas equações do segundo grau em que, apesar de o 
coeficiente	“a”	ser	igual	a	1,	as	raízes	não	são	facilmente	determinadas	
pelo procedimento prático.
Geralmente, nesses casos, as raízes são números fracionários. Uma dica 
é tentar realizar o procedimento prático adotando raízes inteiras, e caso 
não seja possível atender às condições do produto e da soma das raízes, 
deve -se abandonar o método prático e determinar as raízes pela fórmula 
de Bhaskara.
DICAS
Agora, você vai exercitar a resolução das equações quadráticas 
resolvendo a atividade, a seguir.
Atividade 5
Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a) –x2 + 9x – 20 = 0
b) 4x2 + 12x + 9 = 0
c) 7y2 + y = 0
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 53
d) y y
6 4
5
0
2
- =
e) (x + 3)2 = 4
f) x x x x x
6
4 1
9
2
9
4 3 12 2$ -
-
-
=
+ +^ ^h h
Produtos notáveis1.6
Na resolução de diversos problemas de matemática, é comum o 
aparecimento de expressões do tipo (x – 5)2, (4 + p)3 ou (2x + 3 )2. 
Devido à grande frequência com a qual esses termos aparecem no 
cálculo algébrico, eles são denominados produtos notáveis.
O desenvolvimento destas expressões pode ser realizado simplesmente 
levando -se em conta o conceito de potenciação e aplicando a propriedade 
distributiva. Observe como exemplo o desenvolvimento de (x – 5)2:
(x – 5)2 = (x – 5) · (x – 5) = x2 – 5x – 5x + 25
(x – 5)2 = x2 – 10x + 25
No entanto, como o resultado do produto notável apresenta sempre 
o mesmo formato, existem algumas regras práticas que podem 
ser adotadas para desenvolver esses produtos. Essas regras são 
apresentadas a seguir.
1. Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais 
o quadrado do segundo termo. Veja alguns exemplos desse produto.
54 UNIUBE
a) (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9
b) (2a + 5)2 = (2a)2 + 2 · (2a) · 5 + 52 = 4a2 + 20a + 25
2. Quadrado da diferença de dois termos:
(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – 2ab + b2
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, 
mais o quadrado do segundo termo. A seguir, temos alguns exemplos 
do desenvolvimento desse produto:
a) (x – 2)2= x2 – 2 · x · 2 + 22 = x2 – 4x + 4
b) (3x – 2)2 = (3x)2 – 2 · (3x) · 2 + 22 = 9x2 – 12x + 4
3. Produto da soma e diferença de dois termos:
(a + b) · (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado 
do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. A seguir, temos 
alguns exemplos desse produto.
a) (x – 2) · (x + 2) = x2 – 4
b) (3x – 2) · (3x + 2) = (3x)2 – 22 = 9x2 – 4
c) y x y x y x7
5
3 7
5
3 49
25
93 3 2 6$- + = -c cm m
1.6.1 Outros produtos notáveis
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = (a – b) (a – b)2 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
 UNIUBE 55
Veja alguns exemplos:
a) (4 + p)3 = 43 + 3 · 42 · p + 3 · 4 · p2 + p3
 (4 + p)3 = 64 + 48p + 12p2 + p3
b) (3x – 2)3 = (3x)3 – 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22 – 23
 (3x – 2)3 = 27x3 – 54x2 + 24x – 8
EXEMPLIFICANDO!
Como já citamos anteriormente, os produtos notáveis aparecem 
constantemente na resolução de problemas que são de nosso interesse. 
Até agora, simplesmente apresentamos como se desenvolvem esses 
produtos. Quando eles aparecem em equações, como (x + 3)2 – x = –2(x 
– 3) + 3, o desenvolvimento do produto notável é apenas uma parte da 
resolução do exercício:
x2 + 2 · x · 3 + 32 – x = –2x + 6 + 3
x2 + 6x + 9 – x = –2x + 6 + 3
x2 + 5x + 9 = –2x + 9
x2 + 5x + 9 + 2x – 9 = 0
x2 + 7x = 0
O restante do cálculo algébrico consiste na determinação da solução 
da equação, ou seja, os valores da variável x que tornam verdadeira 
a igualdade. Esse tipo de expressão já foi estudado por você nesse 
capítulo, no tópico sobre equações do segundo grau. Não vamos resolver 
essa equação, mas, caso se interesse, retome o item que trata desse 
assunto.
Agora, é o momento de você exercitar o que estudou sobre produtos 
notáveis.	Faça	a	resolução	da	atividade	seguinte	para	fixar	os	conceitos.
56 UNIUBE
Atividade 6
1.	Simplifique	as	 expressões,	 desenvolvendo	os	 produtos	 notáveis	 e	
agrupando os termos:
a) (3x + 7)2 + (x – 3)2
b) (5x – 4)2 – (2x + 5)2
c) 2x (x – 3)2 + 4x (3x – x2)
d) x (x – 1)2 – x2 (x + 1)
2. Se x2 + 16y2 = 67 e xy = 6, calcule o valor de (x + 4y)2.
3. Desenvolva os produtos a seguir:
a) (5 – 4a)2 b) (x + 2y3)2
c) x2
2
1 2
-c m d) , x y1 4 2
1 2
+c m
e) (–a + 2)2 f) (–3x – y)2
g) x
2
1 3
3
+c m h) x y4
3
5
2 2
-c m
AGORA É A SUA VEZ
Fatoração1.7
O processo de fatoração consiste, de forma simples, em reescrever uma 
expressão como produto de dois ou mais termos.
No cálculo algébrico, em muitas situações, torna -se útil reescrever uma 
expressão	na	forma	de	produto	para	simplificar	a	expressão.	Veja	como	
é fácil fazer isso.
Quando os termos de um polinômio apresentarem um fator comum, 
coloque -o em evidência e obtenha a forma fatorada do polinômio.
 UNIUBE 57
Exemplo 23
a) Para fatorar a expressão mx – nx + px,	é	necessário	identificar	o	fator	
comum	aos	termos	que,	neste	caso,	é	“x”.	Ao	colocar	a	variável	x	em	
evidência teremos: x · (m – n + p)
Caso	você	queira	confirmar	a	validação	do	processo,	aplique	a	propriedade	
distributiva e observe se a expressão obtida é correspondente à expressão 
inicial.
EXPLICANDO	MELHOR
b) Observe o polinômio ax + ay + bx + by. Nesse caso, agrupe os termos 
que se repetem dois a dois e coloque os fatores comuns em evidência:
a(x + y) + b(x + y)
O polinômio apresenta ainda um novo fator comum, que pode ser 
colocado em evidência completando a fatoração.
(x + y) · (a + b)
c) Expressões do tipo a2 – b2 podem ser obtidas, como mostramos 
anteriormente nos produtos notáveis, como o produto da soma pela 
diferença de dois termos, ou seja, a2 – b2 = (a + b) (a – b).
A forma fatorada de uma diferença de dois quadrados é dada pelo produto 
da soma pela diferença das bases destas potências, na ordem em que 
aparecem.
SINTETIZANDO...
58 UNIUBE
Exemplo 24
a) x2 – 49 = x2 – 72 = (x + 7)(x – 7)
b) m2 – 16n2 = (m + 4n)(m – 4n)
c) x z x z x z
16
9
4
3
4
3
2
4 2 2$- = - +c cm m
De forma semelhante ao que foi dito anteriormente para expressões 
do tipo a2 – b2, o quadrado da soma (a + b)2 e o quadrado da diferença 
(a – b)2, que resultam respectivamente nas expressões a2 + 2ab + b2 e 
a2 – 2ab + b2, podem ser considerados como as formas fatoradas dessas 
expressões.
As expressões a2 + 2ab + b2 e a2 – 2ab + b2 são denominadas trinômio 
quadrado perfeito. Neste tipo de expressão, dois termos a2 e b2 são 
quadrados	perfeitos	(você	pode	verificar	isso	extraindo	a	raiz	quadrada	
de ambos: a2 = a e b2 = b), e o terceiro termo é dado pelo dobro do 
produto entre a e b (2ab).
Assim, temos as seguintes formas fatoradas:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ou (a + b)(a + b)
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ou (a – b)(a – b)
Exemplo 25
a) x2 + 6x + 9
Observe que x2 = x, 9 = 3 e ainda: 2 · x · 3 = 6x
A forma fatorada de x2 + 6x + 9 é (x + 3)2 ou (x + 3) (x + 3)
b) 4x2 – 20x + 25
Observe que 4x2 = 2x, 25 = 5 e ainda: 2 · 2x · 5 = 20x
 UNIUBE 59
A forma fatorada de 4x2 – 20x + 25 é: (2x – 5)2 ou (2x – 5)(2x – 5)
c) x2 + 10x + 16
Temos que x2 = x e 16 = 4
No entanto, 2 · 4 · x = 8x, que é diferente de 10x.
Assim, não é possível fatorar a expressão x2 + 10x + 16 em alguma das 
formas (a + b)2 ou (a – b)2.
Existe, ainda, outra forma de se fazer a fatoração de expressões desse tipo, 
ou seja, para expressões do tipo ax2 + bx + c, desde que existam x’ e x”,	
soluções da equação ax2 + bx + c = 0, a expressão poderá ser fatorada na 
forma a · (x – x’)(x – x”).
IMPORTANTE!
Veja, nas resoluções a seguir, que os exemplos anteriores também 
poderiam ser fatorados por meio desse novo método:
a) x2 + 6x + 9
Resolvendo a equação x2 + 6x + 9 = 0 obtemos x' = x" = –3.
A	forma	fatorada	fica,	então,	(x + 3)(x + 3)
b) 4x2 – 20x + 25
Resolvendo a equação 4x2 – 20x + 25 = 0, obtemos x' = x" = 
2
5 .
A	forma	fatorada	ficaria,	então,	4	·	 x
2
5
-c m x 2
5
-c m.
Se você observar a expressão fatorada obtida pelo método anterior, verá 
que ela é diferente dessa obtida agora. No entanto, podemos dizer que 
as duas expressões são equivalentes, uma vez que 4 · x
2
5
-c m x 2
5
-c m 
60 UNIUBE
= 2 · x
2
5
-c m · 2 · x 2
5
-c m o que resultaria em x2 2 2
5
$-c m · x2 2 2
5
$-c m 
que é a mesma expressão fatorada mostrada anteriormente: (2x – 5)
(2x – 5) ou (2x – 5)2.
c) x2 + 10x + 16
Uma vantagem dessa nova técnica de fatoração que estamos 
apresentando agora é a possibilidade de fatorar expressões como a 
desse	exemplo,	que	não	é	um	trinômio	quadrado	perfeito.	Se	fizermos	
x2 + 10x + 16 = 0, obtemos as raízes x' = –2 e x" = –8.
Assim, podemos fatorar a expressão x2 + 10x + 16 na forma (x + 2)(x + 8).
Simplificação de expressões algébricas1.8
A	simplificação	de	expressões	consiste	em	escrever	o	numerador	e	o	
denominador da fração algébrica na forma fatorada para, em seguida, 
realizar	a	simplificação,	dividindo	os	dois	termos	da	fração	por	um	
denominador comum.
É	importante	lembrar	que	o	termo	a	ser	simplificado	deve	ser	diferente	
de zero.
IMPORTANTE!
1.8.1 Divisão de monômios
As operações de divisão de monômios seguem basicamente as 
propriedades de potenciação, principalmente relacionadas à soma/
subtração de potências de mesma base e/ou divisão do numerador e 
do denominador da fração por um mesmo número inteiro. Observe os 
exemplos a seguir:
 UNIUBE 61
a) 
xy
x y
2
15
2
4 3
Realizando	a	simplificação:	
234 3 3
2 2
15 . .15 15
2 2 2
x x y yx y x y
xy xy
= =
b) 
3612
x
 ÷ 
 
 . Desenvolve -se a potência e se faz o produto, com a devida 
simplificação:	
3 3 3 3
12 12. 12.
6 216 18
x x x   ÷ = = =   
   
c) 
x
x
75
18
5
3
O	numerador	e	o	denominador	podem	ser	simplificados	por	3	e,	ainda,	é	
possível	fazermos	a	simplificação	das	potências	de	mesma	base.	Temos:
x
x
x x
x
x75
18
3 25
3 6
25
6
5
3
2 3
3
2
$
$
= =
1.8.2 Outras operações com expressões algébricas
Apresentaremos, a seguir, outras operações envolvendo soma/subtração,