MECANICA DE FLUIDOS_AULA05

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MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Alysson Nunes Diógenes 
 
 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá, caro aluno, cara aluna. Espero que você esteja gostando do conteúdo 
da mecânica dos fluidos. Hoje, iniciamos a parte que eu considero mais divertida 
da disciplina. Já passamos pelos equacionamentos em que fizemos modelos na 
forma de médias e também modelos bastante detalhados. Agora, é hora de 
observar o movimento do fluido como uma energia. Essa forma de ver o fluido 
tem uma série de vantagens, e eu destaco uma: é bastante simples de aplicar. 
Assim sendo, vamos começar? 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Imagine a seguinte pergunta: por que o avião voa? 
Alguém poderia dizer que é porque tem motores. Outro poderia dizer que 
é porque o piloto o opera. A resposta mais comum talvez fosse um “não sei”, 
mas observe essa imagem. Ela representa um aerofólio com um escoamento ao 
redor dele. Note que a velocidade é maior acima do aerofólio. 
 
 
 
Você também pode ver esse vídeo: 
www.shutterstock.com/video/clip-4301774-stock-footage-airplane-wing-is-tested-in-
the-wind-tunnel.html 
Isso não explica porque o avião voa, não é? Mas e se eu dissesse que pela 
observação da velocidade isso é possível? Guarde essa imagem, pois vamos voltar a 
esse assunto dentro no Tema 5. 
 
TEMA 1 – EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Quando estávamos desenvolvendo o equacionamento para a 
conservação da energia na forma integral, chegamos a um conjunto de equações 
da seguinte forma. Partindo do Teorema de Transporte de Reynolds, fazendo 
B=E e b=E/m=e: 
 
 
3 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑒𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑒𝜌�⃗� ∙ 𝑑𝐴 
𝐴
 
Utilizamos a primeira lei da termodinâmica e um trabalho de pressão e 
chegamos a: 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (
𝑃
𝜌
+ 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)𝜌�⃗� ∙ 𝑑𝐴 
𝐴
 
Após alguns cálculos, em regime permanente, sem atrito, sem 
transferência de calor e para um escoamento incompressível, ou seja, aquele 
cuja densidade é constante, pudemos escrever a equação de Bernoulli, que era 
da forma: 
�̇�1 (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
= �̇�2 (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
 
E para um escoamento onde as vazões são iguais nos dois referenciais: 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
 
A pergunta é: esse escoamento existe? Claro que sim! Essas 
considerações são válidas para muitos escoamentos em tubulações pouco 
rugosas, com baixa velocidade, e em especial para escoamentos abertos, como 
no caso de aviões. 
 
 
 
 
 
 
4 
Exemplo: o ar (densidade ρ=1,2kg/m3) flui continuamente à baixa 
velocidade através de um bocal horizontal convergente (por definição, um 
dispositivo para acelerar o fluxo), descarregando para a atmosfera. A área na 
entrada do bocal é de 0,1 m2. Na saída do bocal, a área é de 0,02 m2. Determine 
a pressão manométrica necessária na entrada do bocal para que a velocidade 
de saída seja 50 m/s. 
Um dos pontos interessantes da equação de Bernoulli é que, pela primeira 
vez, estamos trabalhando com relacionamentos diretos entre a pressão e a 
velocidade. Esse tipo de desenvolvimento permitirá a você, mais à frente, 
dimensionar bombas e ventiladores. 
Imagine que o bocal desse exemplo é o da figura abaixo. 
 
A equação a utilizar será a própria equação de Bernoulli. 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
 
Preste atenção. Qualquer aplicação da equação de Bernoulli tem boa 
parte de sua resolução como a escolha dos referenciais. E Bernoulli sempre vai 
ter dois referenciais. 
Para esse problema, vamos escolher os pontos 1 e 2 da figura, tendo o 
cuidado que eles fiquem na mesma altura. Faremos isso para reduzir o número 
de incógnitas, uma vez que a velocidade e a pressão são os parâmetros de 
interesse para esse problema. Assim, simplificando a equação: 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
 
𝑧1 = 𝑧2 
Logo: 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
)
1
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
)
2
 
 
 
 
5 
 
Como a pressão desejada é manométrica, consideramos que a pressão 
atmosférica já estará considerada na medida da pressão em 1. Assim, podemos 
tratar o termo de pressão no lado 2 meramente como Patm, o que leva a equação 
a: 
𝑃1
𝜌
+
𝑉1
2
2
=
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌
+
𝑉2
2
2
 
Ou: 
𝑃1 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌
=
𝑉2
2
2
−
𝑉1
2
2
 
A velocidade em 1 não foi dada, todavia estão disponíveis as áreas do 
bocal. Como está em regime permanente, há uma outra equação que relaciona 
as velocidades e as áreas para um sistema: a conservação da massa. Em regime 
permanente, para escoamento incompressível: 
𝑄1 = 𝑄2 
Ou: 
𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 
Substituindo os valores: 
𝑉1 ∙ 0,1 = 50 ∙ 0,02 
𝑉1 = 10𝑚/𝑠 
Agora, voltando à equação de Bernoulli: 
𝑃1 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌
=
𝑉2
2
2
−
𝑉1
2
2
 
𝑃1 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
1,2
=
502
2
−
102
2
 
𝑃1 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
1,2
=
2500 − 100
2
 
𝑃1 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 1,2 ∙ 1200 = 1440𝑃𝑎 = 1,44𝑘𝑃𝑎 (𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎) 
Note que a pressão em questão é uma medida manométrica e inclui a 
pressão atmosférica. Essa medida é comum para que se calcule a pressão em 
relação ao local que o instrumento está instalado. O bocal poderia estar a nível 
do mar ou sobre uma montanha, mas nossos cálculos seriam os mesmos. Caso 
 
 
6 
se desejasse a pressão absoluta, se deve somar o valor da pressão atmosférica 
local ao valor de 1,44kPa. Por exemplo, para a pressão no nível do mar 
Patm=101,5kPa. Assim: 
𝑃1 = 1,44𝑘𝑃𝑎 + 101,4𝑘𝑃𝑎 = 102,84𝑘𝑃𝑎 (𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎) 
 
TEMA 2 – TUBO DE PITOT 
Você já se perguntou como funcionam os velocímetros? Nos carros, o 
atrito dos pneus com o piso gira as rodas, essa rotação é medida e convertida 
em uma velocidade, por exemplo, 40km/h. E nos navios? Nos submarinos? E 
nos aviões? Como funciona os velocímetros nesses veículos? O instrumento 
utilizado para medir velocidade nesses veículos é chamado tubo de Pitot 
(desenvolvido pelo engenheiro francês Henri Pitot em 1732). Podemos ver uma 
imagem de um tubo de Pitot na foto abaixo, da asa de um avião. 
 
 
 
Ok, professor, mas como funciona o tubo de Pitot? Ele funciona com base 
nos chamados referenciais de pressão, que vamos definir agora. Há vários tipos 
de pressão. Vamos a eles. 
 
Tipos de pressão 
 Pressão estática: é a pressão termodinâmica e a própria pressão da 
equação. Ela significa a pressão que a partícula de fluido “sente” e é a 
pressão de coluna de um fluido em movimento. Note que a pressão não 
 
 
7 
é direcional. Da mesma forma, a pressão atmosférica e a pressão da 
equação de Bernoulli utilizadas até o momento são formas de pressão 
estática. 
 
A forma de medir essa pressão é através de orifícios perpendiculares ao 
escoamento, como na figura (a) abaixo. Quando não se deseja perfurar a 
tubulação, pode-se utilizar uma sonda, como a figura (b). O importante é que os 
furos estejam perpendiculares ao escoamento, para que não sejam influenciados 
pelo mesmo. 
 
 
 
 Pressão de estagnação: O segundo tipo de pressão é a pressão para 
levar a velocidade de um fluido a zero. Esse é um referencial muito 
comum na termodinâmica. 
 
A forma de medir essa pressão é através de uma sonda com um orifício 
direcionado contrário ao escoamento. No interior dessa sonda, a velocidade do 
fluido é nula, ou seja, o escoamento teve sua velocidade reduzida a zero. 
 
 
 
 
 
8 
É possível montar um equacionamento para essa pressão. Vamos definir 
um processo qualquer que vá levar a velocidade de um fluido que esteja 
escoando a zero. Para este dois pontos quaisquer a uma mesma altura, vamos 
chamar o primeiro estado meramente de P (seria longe da entrada da sonda, na 
figura acima) e o segundo estado, onde o fluido estará parado de P0 (poderia ser 
na entrada da sonda, na figura acima). 
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 =
𝑃0
𝜌
+
𝑉0
2
2
+ 𝑔𝑧 
Mas como o fluido está parado no lado direito da equação e os dois pontos 
foram colocados na mesmaaltura: 
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
=
𝑃0
𝜌
 
Ou: 
𝑃0 = 𝑃 +
1
2
𝜌𝑉2 
Sabemos que P é a pressão estática. O outro termo da equação (
1
2
𝜌𝑉2) 
é chamado pressão dinâmica e não possui um significado físico direto, mas é 
uma definição bastante útil. Note que dessas três pressões, a maior sempre é a 
pressão de estagnação e que a pressão estática não depende da velocidade do 
fluido. 
A definição de pressão dinâmica é usada para um sistema com 
manômetros e é a base para o desenvolvimento de um sistema conhecido como 
tubo de Pitot, comumente utilizado para a medição de velocidade. 
Resolvendo a equação anterior para a velocidade: 
𝑉 = √
2(𝑃0 − 𝑃)
𝜌
 
Note que há uma diferença de pressão. Na aula 1, nós definimos que, 
para um fluido parado, a diferença de pressão poderia ser expressa como: 
Δ𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 
E de onde vem esse fluido parado? Do interior de um manômetro. Vamos 
ilustrar melhor na figura abaixo que representa a forma de medir velocidade 
usando um tubo de Pitot. 
 
 
 
9 
 
 
Note que, tanto na figura (a) quanto na (b), as duas sondas vão para 
instrumentos de medição, comumente manômetros diferenciais ou de coluna de 
fluido. Dentro de manômetros diferenciais, a velocidade é nula. Assim, pode-se 
considerar que: 
Δ𝑃 = 𝑃0 − 𝑃 = 𝜌𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑔ℎ 
Dessa forma, a equação que desenvolvemos para medir velocidade de 
um escoamento se torna: 
𝑉 = √
2𝜌𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑔ℎ
𝜌𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
 
Onde a densidade 𝜌𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é a densidade do fluido que está escoando 
e 𝜌𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜, a densidade do fluido manométrico. 
 
TEMA 3 – EFEITO VENTOURI 
Uma outra aplicação da equação de Bernoulli é o chamado efeito Venturi. 
O efeito Venturi é a redução da pressão do fluido, que resulta quando um fluido 
flui através de uma seção estreitada (ou restrição) de um tubo. O efeito Venturi 
foi estudado por Giovanni Battista Venturi (1746-1822), um físico italiano. 
O efeito Venturi possui grandes aplicações, como pulverizadores, pistolas 
de tinta e até mesmo o carburador. Além disso, pode-se citar que o efeito Venturi 
é a causa da doença chamada “morte súbita”, que acomete esportistas. Ela 
ocorre quando há um estreitamento de uma das válvulas do coração, mas vamos 
às equações. 
Para esse caso em específico, as equações se tornam mais fáceis de 
desenvolver com um exemplo. Considere que o efeito Venturi se passa quando 
um escoamento passa por uma redução de área. Observe a figura abaixo. 
 
 
10 
Vamos supor que ar (densidade ρ=1,2kg/m3) escoe por uma redução da 
área em 1 de 0,5m2 para a área em 2 de 0,05m2. Se a velocidade em 1 é 5m/s 
a uma pressão manométrica de 10kPa (dez mil Pascal), qual é a pressão em 2? 
 
 
 
Vamos considerar que os pontos 1 e 2 estarão na mesma altura. Assim, 
vamos montar a equação de Bernoulli. 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
 
Mas os pontos estão na mesma altura, assim: 
𝑃1
𝜌
+
𝑉1
2
2
=
𝑃2
𝜌
+
𝑉2
2
2
 
A velocidade em 2 é desconhecida até o momento. Mais uma vez, vamos 
usar a conservação da massa em regime permanente para escoamento 
incompressível. 
𝑄1 = 𝑄2 
Ou: 
𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 
Substituindo os valores: 
5 ∙ 0,5 = 𝑉2 ∙ 0,05 
𝑉2 = 50𝑚/𝑠 
Agora voltando na equação de Bernoulli: 
𝑃1
𝜌
+
𝑉1
2
2
=
𝑃2
𝜌
+
𝑉2
2
2
 
10.000
1,2
+
52
2
=
𝑃2
1,2
+
502
2
 
𝑃2
1,2
=
10.000
1,2
+
25
2
−
2.500
2
 
𝑃2 = 1,2 ∙ (8.333,33 + 12,5 − 1.250) 
 
 
11 
𝑃2 = 8.515𝑃𝑎 
 
O efeito Venturi é justamente essa redução de pressão quando há uma 
constrição do escoamento. Vamos complementar esse exemplo da seguinte 
forma. A queda de pressão que ocorre na constrição pode ser usada para sugar 
um fluido, por exemplo, como uma pistola de tinta. Vamos calcular a mínima 
velocidade na saída para que isso ocorra? Vamos supor que a altura h (entre a 
superfície livre da água e o início da garganta) da figura abaixo seja 10cm, que 
o bocal saia para a atmosfera e que A3 seja igual a A1, ou seja, 0,5m2 e as demais 
dimensões sejam as mesmas anteriores. 
 
 
Novamente, vamos aplicar a equação de Bernoulli, mas, dessa vez, em 
relação a um novo ponto, o 3, que fica na saída do bocal (a pressão P3 será a 
mesma que a Patm, pois o ponto está na saída do bocal). Note que o ponto 3 será 
na mesma altura que o ponto 2, ou seja, não os colocaremos mais no centro da 
garganta, e sim, na parede da garganta, como nos pontos vermelhos. Isso será 
feito para que o limite da água que vai ser sugada esteja quase na garganta, 
mas a água ainda esteja parada. 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
3
 
Por conveniência, antes de cortarmos as alturas, vamos dividir a equação 
de Bernoulli pela gravidade em ambos os lados da equação. Assim: 
(
𝑃
𝜌𝑔
+
𝑉2
2𝑔
+ 𝑧)
2
= (
𝑃
𝜌𝑔
+
𝑉2
2𝑔
+ 𝑧)
3
 
Com o ponto 2 no centro da constrição e o ponto 3 na saída, agora 
podemos cortar a altura e substituir a pressão na saída em 3: 
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 0 =
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
+
𝑉3
2
2𝑔
+ 0 
 
 
12 
Mas, da conservação da massa, mais uma vez: 
𝑄3 = 𝑄2 
𝑉3𝐴3 = 𝑉2𝐴2 
Ou: 
𝑉2 =
𝐴3
𝐴2
𝑉3 
Assim, substituindo esse resultado em V2 na equação de Bernoulli (note 
que V2 está ao quadrado): 
𝑃2
𝜌𝑔
+ (
𝐴3
𝐴2
)
2 𝑉3
2
2𝑔
=
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
+
𝑉3
2
2𝑔
 
(
𝐴3
𝐴2
)
2 𝑉3
2
2𝑔
−
𝑉3
2
2𝑔
=
𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝑃2
𝜌𝑔
 
𝑉3
2 [(
𝐴3
𝐴2
)
2
− 1] = 2𝑔
𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝑃2
𝜌𝑔
 
Como foi falado antes, a água no tubo de sucção estará parada, na 
iminência de ser sugada. Assim, podemos usar a equação da estática dos 
fluidos, que poderíamos escrever: 
𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝑃2 = 𝜌á𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ 
Assim, substituindo na equação anterior: 
𝑉3
2 [(
𝐴3
𝐴2
)
2
− 1] = 2𝑔
𝜌á𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ
𝜌𝑎𝑟𝑔
=
2𝜌á𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ
𝜌𝑎𝑟
 
Acrescentei as equações acima e abaixo para ficar mais detalhado 
𝑉3
2 =
2𝜌á𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ
𝜌𝑎𝑟 [(
𝐴3
𝐴2
)
2
− 1]
 
𝑉3 =
√
2𝑔𝜌á𝑔𝑢𝑎ℎ
𝜌𝑎𝑟 [(
𝐴3
𝐴2
)
2
− 1]
 
Essa é a velocidade mínima para que o escoamento provoque sucção no 
fluido desejado. Para as dimensões que já temos: 
𝑉3 =
√
2 ∙ 9,81 ∙ 1000 ∙ 0,1
1,2 [(
0,5
0,05
)
2
− 1]
 
𝑉3 = 4,06𝑚/𝑠 
 
 
13 
Substituindo na equação das velocidades, tem-se: 
𝑉2 =
𝐴3
𝐴2
𝑉3 =
0,5
0,05
4,06 
Logo V2=40,6m/s 
 
TEMA 4 – EXERCÍCIOS 
Mais uma vez vamos aplicar o conteúdo. 
Exemplo 1 – Um duto de 8” de diâmetro está anexado a um tanque como 
a figura. Qual é a velocidade e a vazão de saída do fluido? 
 
 
Mais uma vez vamos trabalhar com o sistema de unidades britânico. 
 
Solução 
Os pontos já vieram marcados na figura. Assim, apenas precisamos fazer 
as considerações a respeito deles. A pressão é atmosférica em ambos, uma vez 
que o ponto 1 está na superfície livre e o 2 na saída do tanque. A velocidade no 
ponto 1 pode ser considerada nula. Isso ocorre considerando o reservatório com 
um volume muito maior do que o que sai pela descarga. Assim, a linha de nível 
tem sua altura reduzida muito lentamente, ou seja, sua velocidade pode ser 
considerada nula. Lembramos, também, que a gravidade tem valor de 32,2ft/s2 
e que a conversão de pé para polegada é 1pé=12”. Assim: 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
 
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌
+ 0 + 32,2 ∙ 15 =
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 0 
 
 
14 
𝑉2 = √32,2 ∙ 15 ∙ 2 = 𝑉2 = 31,08𝑓𝑡/𝑠 
E, da equação da vazão: 
𝑄 = 𝑉𝐴 
𝑄 = 𝑉
𝜋𝐷2
4
 
Mas o diâmetro precisa ser convertido de polegada para pé. Vamos dividir 
por 12: 
𝑄 = 31,08 ∙
𝜋 (
8
12
)
2
4
= 10,85𝑓𝑡3/𝑠 
 
Exemplo 2 – Um bocal está preso a uma mangueira como a da figura. O 
diâmetro interno da mangueira é 100mm e o jato d’água tem 50mm. Se a pressão 
na seção 1 é 500kPa, determine a velocidade de saída da água. Considere a 
densidade da água ρ=1.000kg/m3. 
 
Agora, um caso semelhante a uma mangueira de bombeiro. Inclusive o 
procedimento para cálculo da pressão necessária para mover o fluidoé 
semelhante ao que vamos fazer. 
 
Solução 
Dessa vez, vamos aplicar a conservação da massa antes de Bernoulli. 
Como não temos nenhuma velocidade, vamos meramente deixar uma em 
função da outra. Assim, da conservação da massa: 
𝑄1 = 𝑄2 
𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 
𝑉1
𝜋𝐷1
2
4
= 𝑉2
𝜋𝐷2
2
4
 
 
 
15 
Note que o diâmetro deve ser utilizado em metros, não em mm. 
𝑉1 ∙
𝜋0,12
4
= 𝑉2 ∙
𝜋0,052
4
 
Assim, o resultado para a velocidade é: 
𝑉1 = 0,25𝑉2 
Agora vamos montar a equação de Bernoulli. Vamos selecionar os dois 
pontos na mesma altura, nas seções 1 e 2: 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
 
Mas os pontos estão na mesma altura: 
𝑃1
𝜌á𝑔𝑢𝑎
+
𝑉1
2
2
=
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌á𝑔𝑢𝑎
+
𝑉2
2
2
 
Vamos considerar que o valor de 500kPa é uma medida manométrica, 
então essa medida já considera a pressão atmosférica. Logo: 
𝑃1
𝜌á𝑔𝑢𝑎
−
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌á𝑔𝑢𝑎
=
500𝑘𝑃𝑎
𝜌á𝑔𝑢𝑎
 
Assim, substituindo os valores: 
500.000
1.000
+
(0,25𝑉2)
2
2
=
𝑉2
2
2
 
𝑉2
2
2
−
0,0625𝑉2
2
2
= 500 
0,9375𝑉2
2 = 1.000 
𝑉2
2 = 1066,667 
𝑉2 = √1066,667 
𝑉2 = 32,66𝑚/𝑠 
E assim chegamos ao valor da velocidade para essa pressão. 
TEMA 5 – APLICAÇÃO DE BERNOULLI NA AVIAÇÃO 
Eu gostaria de caminhar para encerrar a aula de hoje com uma aplicação 
direta da equação de Bernoulli. Não vamos resolver a equação diretamente 
(deixaremos isso para a próxima aula), todavia vamos observar o efeito das 
velocidades e das pressões e como elas se comportam no avião. Esse material 
foi baseado num artigo sobre o ensino de física para a engenharia, e faço 
menção aos professores Nelson Studart da Universidade Federal de São Carlos 
 
 
16 
e Silvio Dahmen da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. O link para o 
artigo completo é http://sbfisica.org.br/fne/Vol7/Num2/v13a07.pdf. 
Para os físicos, as forças da natureza são quatro: a forte, responsável pela 
coesão nuclear, a fraca, que produz a radioatividade, a eletromagnética, que está 
relacionada à maioria dos fenômenos com os quais convivemos no cotidiano e, 
finalmente, a gravitacional, que atua entre quaisquer corpos que possuem 
massa. 
No jargão aeronáutico também se costuma falar em “quatro forças”. A 
menção obviamente restringe-se ao mundo particular de quem lida com o voo e 
seu conhecimento é fundamental para que os pilotos possam voar 
apropriadamente. O vento fluindo em uma determinada direção em relação ao 
avião produz uma força sobre o aeroplano chamada de força aerodinâmica total. 
Outra grandeza intimamente ligada à força aerodinâmica e também muito 
importante na descrição do voo é o ângulo de ataque definido como o ângulo 
formado pela direção do vento (chamado usualmente de “vento relativo”) e a 
direção do avião. 
A força aerodinâmica total pode ser decomposta em duas componentes: 
a sustentação e o arrasto. Além desta, atuam sobre o avião o peso e a força de 
tração (ou propulsão). Podemos definir mais especificamente as quatro forças 
envolvidas na física do voo como: 
 Sustentação (S) é a componente da força aerodinâmica perpendicular à 
direção do movimento do voo; 
 Arrasto (R), essencialmente uma força de atrito, é a componente da força 
aerodinâmica paralela à direção de voo; 
 Peso é a força da gravidade (W=mg), atuando sobre o avião e dirigida 
para o centro da Terra; 
 Tração (T) é a força produzida pelo motor e é dirigida ao longo do eixo 
longitudinal do avião. 
 
Antes de discutir o movimento do avião, é instrutivo calcular as forças de 
sustentação e arrasto na simples experiência com uma pipa. Para nossos 
propósitos, é suficiente considerar a pipa como uma placa plana de área A. Na 
figura abaixo, apresentamos as forças atuando sobre a pipa suposta em 
repouso. Nesta situação, a tensão no fio exercida por quem empina a pipa deve 
ser igual à resultante das forças. 
 
 
17 
 
 
 
Considerando o sistema ortogonal de coordenadas orientado na direção 
da Terra, obtemos: 
∑𝐹𝑥 = 0 → 𝑅 = 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 
∑𝐹𝑦 = 0 → 𝑆 = 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑊 
 
Se você medir com um dinamômetro (um tipo de balança) a força sobre o 
fio T e o ângulo de inclinação θ, você terá uma boa estimativa das forças de 
sustentação e de arrasto. É importante notar que o ângulo θ destas equações é 
o ângulo que o fio da pipa faz com a relação à horizontal e não deve ser 
confundido com o ângulo que a pipa faz com relação a esta mesma horizontal. 
Este último é o chamado ângulo de ataque e, embora não apareça 
explicitamente nas equações acima, ele entra implicitamente nas fórmulas que 
determinam a sustentação S e o arrasto R. Além disso quem já empinou sabe 
que a tensão no fio depende da velocidade do vento. Assim também as forças 
de sustentação e arrasto. 
Lembra-se da figura abaixo, que foi usada no começo da rota? O 
interessante desse tema não é somente as forças atuando no avião, mas a 
pergunta “por que existe sustentação?”. Eu já vi alguns artigos feitos por pessoas 
que questionam a terra ser plana ou oval em pleno século XXI, argumentando 
que o avião não poderia voar caso a Terra não fosse plana. Pois bem. 
Essas pessoas meramente não estão considerando de forma correta a 
equação de Bernoulli. Observe a figura abaixo, de minha autoria. A primeira 
 
 
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figura mostra os campos de velocidade e a segunda mostra os campos de 
pressão. 
 
 
 
 
Note que, na imagem da velocidade, acima do aerofólio há um aumento 
deste parâmetro. Por outro lado, na imagem da pressão, ocorre exatamente o 
contrário. A pressão cai acima do aerofólio. Como isso acontece? 
A área da face superior da asa é maior do que a área da face inferior. Se 
pressão é força sobre área, para uma área maior, a pressão é menor. 
E da equação de Bernoulli, quando a pressão é menor, a velocidade 
aumenta. Observe a equação mais uma vez. 
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Assim sendo, essa redução de pressão é o que causa um efeito que 
conhecemos como “força de sustentação”. Esse é o efeito que faz a pipa voar, 
como falamos no início do tema. E o mesmo efeito que levanta a pipa, pode 
levantar um avião. 
 
 
 
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FINALIZANDO 
Caro aluno, cara aluna, acabamos aqui a penúltima aula. Foram 
explorados todos os conteúdos relativos ao escoamento incompressível, ou seja, 
aquele onde a densidade é constante. Trabalhamos a equação de Bernoulli e 
duas das suas principais aplicações: o tubo de Pitot e o efeito Venturi. Vimos 
também que o escoamento potencial é uma técnica que pode ser usada para 
resolver escoamentos abertos. 
Como um treinador que incentiva seus alunos, pela penúltima vez eu 
reforço: não acredite que o conteúdo é simples. O correto entendimento das 
equações só virá com a prática. Assim, você deve praticar e não esqueça de 
estudar os capítulos e fazer bastante exercícios. 
 
NA PRÁTICA 
Na aula de hoje resolvemos alguns exercícios com o objetivo de fixação 
e aplicação do conteúdo ministrado. 
 No tema 1 – Equação de Bernoulli, aplicamos essa equação para um 
bocal convergente. 
 No tema 4 – Exercícios, aplicamos todo o conteúdo ministrado, 
verificando a velocidade de saída para uma tubulação e para um bocal 
convergente de uma mangueira. 
 
REFERÊNCIAS 
Capítulo 6 FOX, R. W; McDonald, T. Introdução à mecânica dos fluidos. 8 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.