Aula 5 - Medidas de Tendencia Central MUITO BOM

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 Prof.: Joni Fusinato
 joni.fusinato@ifsc.edu.br
 jfusinato@gmail.com
Medidas de Tendência Central
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• Informam o valor em torno do qual os dados se distribuem.
• Tem por objetivo representar os dados de uma forma mais condensada que
uma tabela, localizando a maior concentração de valores em torno de uma
distribuição.
Medidas de Tendência Central
Medidas de Tendência Central
Média Mediana Moda
3
Média
 




 i
média populacional
x média amostral
x soma dos elementos
N número de elementos da população
n número de elementos da amostra
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Média Aritmética Simples
1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados
• A média é a soma de todos os valores analisados, dividida pela 
quantidade de valores analisados. 
n
x...xxx n21 
Ex: Suas notas em um teste seletivo foram 5,6; 4,8; 8,0; 8,6; 6,8; 9,4. 
Considerando que todas têm o mesmo peso, calcule sua média.
        
 
 
63 74 55 56 52 64 71 59 61 625
1
X
10 0
70
X 62,5 63 pessoas
Como essa informação ajuda na tomada de decisões?
Montar a escala de plantão na emergência;
Provisionar um estoque mínimo de medicamentos que serão 
usados nos plantões;
Dimensionar o número de leitos necessários.
Os atendimentos realizados na emergência de um PA nos últimos 
dez dias foram: 63 – 74 – 55 – 56 – 52 – 64 – 71 – 59 – 61 – 70. 
Quantas pessoas foram atendidas em média?
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Cálculo da Média Simples - Casio FX-82MS 
1) Aperte Mode e escolha a opção 2 (SD). Aperte
SHIFT MODE 1 (Scl) = para limpar a memória.
2) Digite o primeiro dado e aperte M+, siga
fazendo isso para cada dado a ser inserido;
3) Após registrar todos os dados aperte Shift 2
(S-VAR);
4) Escolha a opção 1 para média, 2 para desvio-
padrão populacional e 3 para desvio-padrão
amostral;
5) Aperte o botão de igual (=) e confira o
resultado.
6) Para sair do modo SD aperte MODE 1.
63 – 74 – 55 – 56 – 52 – 64 – 71 – 59 – 61 – 70. 
Quantas pessoas foram atendidas em média?
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2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências.
Média Aritmética Ponderada
• Média de um conjunto de dados cujos valores têm pesos diferentes.
Para calcular a média, multiplicamos a variável pela sua respectiva 
frequência. 
Para o cálculo da média, somam-se essas multiplicações e divide pelo 
somatório das frequências.
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• Em uma classe com 20 meninas e 30 meninos foi realizada uma 
prova; a média dos rapazes foi 7,0 e das meninas foi 8,0. A 
média da classe foi:
a) 7,2
b) 7,4
c) 7,8
d) 7,6
Exemplo
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Cálculo da Média Ponderada - Casio FX-82MS 
1) Aperte Mode e escolha a opção 2 (SD). Aperte
SHIFT MODE 1 (Scl) = para limpar a memória.
2) Digite o primeiro dado seguido de SHIFT ,
frequência e aperte M+. Continue fazendo isso
para os demais dados e frequências.
3) Após registrar todos os dados e frequências
aperte Shift 2 (S-VAR);
4) Escolha a opção 1 para média, 2 para desvio-
padrão populacional e 3 para desvio-padrão
amostral;
5) Aperte o botão de igual (=) e confira o
resultado.
6) Para sair do modo SD aperte MODE 1.
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Atividade
Para calcular a média, multiplicamos a
pontuação pela sua respectiva frequência.
Para o cálculo da média, somam-se essas
multiplicações e divide pelo somatório das
frequências.
Uma pesquisa realizada com 27 estudantes relacionou a nota dada a prestação
de serviço no transporte público com o respectivo número de pessoas que a
responderam. Qual a nota média dada a esse serviço?
A tabela apresenta as notas obtidas por um aluno em quatro das cinco
provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada
prova. Se o aluno foi aprovado com média de 7,3, qual a nota obtida na
prova IV?
1.(6,5) + 2.(7,3) + 3.(7,5) + 2. + 2.(6,2) = 
1 + 2 + 3 + 2
7 3 x,
 + 2
56 + 2x = 73  x = 8,5
Nota 8,5
Prova I II III IV V
Nota 6,5 7,3 7,5 ? 6,2
Peso 1 2 3 2 2
Agora é a sua vez!
O RH de uma empresa constatou que 55% dos funcionários eram do sexo
masculino, com média salarial mensal de R$ 3.400,00. A média salarial
mensal dos funcionários do sexo feminino era de R$ 3.800,00. A média
salarial mensal de todos os funcionários que participaram desse
levantamento estatístico foi de:
a) R$ 3.950,00
b) R$ 3.750,00
c) R$ 3.650,00
d) R$ 3.450,00
e) R$ 3.580,00 55.3400 + 45.3800X = 
10
 = 3
0
.580
Para verificar a satisfação dos usuários de um posto de saúde de um município, a
prefeitura realizou uma pesquisa com 550 pessoas. As notas sugeridas aos
entrevistados compreendem as notas inteiras entre 1 a 10, onde 1 significa que o
usuário está muito insatisfeito e 10 que está muito satisfeito com os serviços
prestados pelo posto. Os resultados são apresentados na tabela. Calcule a média
dada pelos usuários ao atendimento recebido nesse posto de saúde.
Nota (xi ) fi xi.fi
1 2 1 . 2 = 2
2 5 2 . 5 = 10
3 18 3 . 18 = 54
4 98 4 . 98 = 392
5 132 5 . 132 = 660
6 139 6 . 139 = 834
7 105 7 . 105 = 735
8 23 8 . 23 = 184
9 16 9 . 16 = 144
10 12 10 . 12 = 120
Total ∑ 550 ∑ 3.135
5,70
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3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe
Convenciona-se que todos os valores de um intervalo de classe
coincidem com seu ponto médio e determina-se a média
ponderada.
i
sup inf
i
x = ponto médio
lim + lim
x = 
2
15
Altura (cm) fi xi xi.fi
150├ 154 4
154├ 158 9
158├ 162 11
162├ 166 8
166├ 170 5
170├ 174 3
Total 40
X
Calcule a altura média na tabela abaixo:
156
152
160
172
168
164
608
1404
1760
1312
840
516
6440
161
Cuidado com as médias!!!
Aparências
podem enganar!
Maior problema da média:
Maldição dos extremos!
Valores extremos (outlier) 
distorcem a média!
Solução para o problema …
Remover os extremos!
A média é afetada por valores extremos. O que isso quer
dizer? Para calcular a média, é necessário somarmos
todos os dados da série, ou seja, essa medida leva em
conta todas as observações. Por isso, quando temos uma
situação em que aparecem alguns valores, ou muito baixo,
ou muito alto, se comparados com os demais elementos
da série, a média é influenciada por eles.
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Média Geométrica
• É a raiz enésima (n) do produto dos valores dos dados, onde existem n valores. 
Essa medida é válida apenas para dados que foram medidos absolutamente 
em uma escala estritamente positiva.
• Usada em situações que envolvem aumentos sucessivos ou o comportamento 
dos valores da série tendem a uma P.G.
20
Média Geométrica
21
Atividade
Calcule a média geométrica dos números 200, 600 e 800
R: 457,89 
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Média Harmônica (MH)
• Usada em situações envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Essa 
medida também só é válida para dados que foram medidos absolutamente em 
uma escala estritamente positiva.
• Sejam x1, x2, x3,......xn, valores de x, associados às frequências absolutas 
n1, n2, n3,......nn, respectivamente.
• A média harmônica de X é definida por:
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Média Harmônica (MH)
Um carro desenvolve duas velocidades distintas: durante a metade 
do percurso ele manteve a velocidade de 50 km/h e durante a 
metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Qual a velocidade 
média do veículo durante o percurso?
A velocidade média do veículo durante o percurso será de
aproximadamente 54 km/h. Se calculássemos a velocidade
média utilizando a média aritmética, chegaríamos ao
resultado de 55 km/h.
Mediana (Md)
• Definida como o valor que ocupa a posição central em um
conjunto de dados ordenados.
• A mediana não é influenciada por valores extremos, visto que ela
é uma medida essencialmente vinculada à posição que ocupa no
conjunto ordenado.
• Para encontrar a mediana em um conjunto qualquer de dados
estatísticos, precisamos conhecer a posição que ela ocupa em
relação aos n elementos ordenados desse conjunto.
• É o termo central do rol. 
• Se o rol tiver um número par de termos, a mediana será o 
ponto médio entre os dois valores centrais
2 5 6 9 10
6 + 9 15Md = = = 
2 2
7,52 5 6 9 10 12
Md = 6
1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados
 Será o valor correspondente a frequência acumulada
imediatamente superior à metade da soma dasfrequências.
Filhos fi Fi
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
Total 34
Σfi 34Md = = = 17
2 2
A frequência acumulada imediatamente superior 
a 17 é Fi = 18. 
Logo Md = 2 filhos.
Distribuição das famílias segundo o número de filhos
2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências.
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Idade fi Fi
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
Total 8
Tabela: Idade dos Alunos
i
i
fSe F
2


A Mediana será a média aritmética entre 
o valor da variável correspondente a 
essa frequência acumulada e a seguinte.
i
3
f 8 4 F
2 2

  
15 16 31Md 1
Md
5,5
15,5 ano
2 2
s

  
Determinar as frequências acumuladas e calcular 
 Identificar a classe mediana correspondente a frequência 
acumulada imediatamente superior a 
Usar a fórmula:
if
2

if
2

li = limite inferior da classe 
Fant: frequência acumulada simples anterior
fi = frequência simples da classe 
h = amplitude da classe
3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe
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Altura (cm) fi Fi
150├ 154 4 4
154├ 158 9 13
158├ 162 11 24
162├ 166 8 32
166├ 170 5 37
170├ 174 3 40
Total 40
Altura de 40 alunos do IFSC
if 40 20
2 2

 
Md = 160,54
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Moda (Mo)
• Valor que aparece mais vezes, ou seja, apresenta a maior frequência. 
• Pode ocorrer de dois ou mais valores apresentarem a mesma 
frequência, nestes casos, teremos distribuições bimodais (duas 
modas), trimodais ou multimodais. 
• Também é possível acontecer que todos os elementos tenham 
apresentado exatamente o mesmo número de ocorrências. Isso 
significa que não há moda, pois nenhum dado se destacou. Dessa 
forma, o conjunto é, então, chamado amodal. 
• Dentre as três medidas de tendência central, a moda é a única que 
pode ser usada quando as variáveis são qualitativas nominais.
Moda (Mo): Valor que ocorre com maior frequência.
2 3 4 7 7 9 10
2 3 4 7 7 9 10 10
2 3 4 7 9 10 Amodal
Unimodal
Bimodal ou 
multimodal
32
2 3 4 7 7 9 10 Mo = 7
Tipo 
sanguíneo
Indivíduos 
(fi)
O 717
A 414
B 165
AB 53
Mo = 717
1º Caso: Para dados não agrupados ou organizados em tabelas
 Será o valor do ponto médio da classe com maior frequência.
Altura (cm) fi Mo
150├ 154 4
160
154├ 158 9
158├ 162 11
162├ 166 8
166├ 170 5
170├ 174 3
Total 40
inf suplim + limMo = 
2
158 + 162 320Mo = = = 160
2 2
2º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe 
34
2 3 4 7 7 9 10 Mo = 7
Tipo 
sanguíneo
Indivíduos 
(fi)
O 717
A 414
B 165
AB 53
Mo = 717
2º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe 
Moda de Czuber: usada quando houver necessidade de 
um cálculo mais elaborado da Moda
Altura (cm) fi Mo
150├ 154 4
159,6
154├ 158 9
158├ 162 11
162├ 166 8
166├ 170 5
170├ 174 3
Total 40
1
inf
1 2
DMo l .h
D D
 
    
linf = limite inferior da classe modal: 158
D1 = f – fant: frequência simples – frequência 
simples anterior (11 - 9). D1 = 2
D2 = f – fpost: frequência simples – frequência 
simples posterior (11 - 8). D2 = 3
h = amplitude da classe modal (162 – 158) 
h = 4
2Mo 158 .4 159,6
2 3
     
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Medidas de Tendência Central
Medidas 
de posição
Vantagens Desvantagens Usar quando
Média Reflete cada valor 
usado na distribuição
É influenciada por 
valores extremos
Deseja-se a medida 
de posição com 
maior estabilidade
Mediana Menos sensível a 
valores extremos do 
que a média.
Difícil de determinar 
para uma grande 
quantidade de dados
Deseja-se o ponto 
que divide o 
conjunto em partes 
iguais
Moda Maior quantidade de 
valores concentrados 
nesse ponto.
Não se presta a 
análise Matemática. 
Nem sempre a 
distribuição possui 
moda
Deseja-se uma 
medida rápida e 
aproximada da 
posição. A medida 
de posição deve ser 
o valor mais típico 
da distribuição.
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https://www.youtube.com/watch?v=n8qayCQl1es – Uso da 
calculadora Casio para cálculo da média e desvio-padrão.
https://www.youtube.com/watch?v=PgILSJiLyAg – Medidas de 
tendência central.
https://www.youtube.com/watch?v=O2FKsLrtCDM – Média em 
uma tabela com dados agrupados em classes.