Questão resolvida 13 Seja Aa(ij)3x3, em que aij - Álgebra Linear I - IFRN

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
13. Seja , em que: . Obtenha o valor deA = a( ij)3×3 a = i - jij ( )2
 
(a) (b) detA detAt
 
 
Resolução:
 
(a) 
 
Genericamente, uma matriz é; 3 × 3
 
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 
 
A lei de formação da matriz é : a = i - j ; onde i é a posição do elemento com relação a linha e j é a ij ( )
2
posição do elemento com relação a coluna, os elementos da matriz são;
 
a = 0 - 0 = 0 = 011 ( )
2 2
 
a = 2 - 1 = 1 = 121 ( )
2 2
 
a = 3 - 1 = 2 = 431 ( )
2 2
 
a = 1 - 2 = -1 = 112 ( )
2 ( )2
 
a = 2 - 2 = 0 = 022 ( )
2 ( )2
 
a = 3 - 1 = 2 = 432 ( )
2 ( )2
 
a = 1 - 3 = -2 = 413 ( )
2 ( )2
 
a = 2 - 3 = -1 = 123 ( )
2 ( )2
 
a = 3 - 3 = 0 = 033 ( )
2 ( )2
 
 
 
 
Assim, podemos montar a matriz A;
 
A =
0 1 4
1 0 1
4 4 0
O determinante detA é dado por;
Ou seja;
 
detA = 20
 
 
 (b)
 
Para encontrar a matriz transposta , transformamos as colunas de A em linhas e suas At
linhas em colunas, assim, temos é;At
 
A = A = 
0 1 4
1 0 1
4 4 0
→
t
0 1 4
1 0 4
4 1 0
O determinante det é dado por;At
Ou seja;
 
detA = 20t
 
 
0 1 4
1 0 1
4 4 0
0 1 
1 0 
4 4 
-4
⋅ 0
⋅ 4
-4
⋅ 0
⋅ 4
-1
⋅ 1
⋅ 0
+
0
⋅ 0
⋅ 0
1
⋅ 1
⋅ 4
4
⋅ 1
⋅ 4 = 0 + 0 + 0 + 4 + 16 = 20
0 1 4
1 0 4
4 1 0
0 1 
1 0 
4 1 
-4
⋅ 0
⋅ 4
-0
⋅ 4
⋅ 1
-1
⋅ 1
⋅ 0
+
0
⋅ 0
⋅ 0
1
⋅ 4
⋅ 4
4
⋅ 1
⋅ 1 = 0 + 0 + 0 + 16 + 4 = 20
(Resposta)
(Resposta)