Transformações Lineares

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Pergunta 1
As transformações lineares no plano são muito utilizadas para mover vetores em um plano cartesiano. Quando 
trabalhamos com um conjunto de vetores que constituem uma imagem, estas transformações lineares 
representam manipulações com a própria imagem.
Considerando essas informações e a expressão: 
analise as alternativas a seguir e assinale qual representa, graficamente, a transformação linear plana sugerida 
por esta expressão.
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Resposta correta
Correta: 
A
C
D
B
E
Pergunta 2
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O método de Cramer é um método de resolução utilizado em sistemas lineares que apresentem o mesmo 
número de equações e variáveis. Além disto, para que possamos aplicar o método de Cramer, outra condição 
deve ser atendida: o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. Desta forma, apesar do 
método de Cramer ser extremamente simples de ser aplicado, ele é limitado a sistemas lineares específicos.
Considerando essas informações, o conteúdo estudado sobre o método de Cramer e o sistema 
pode-se afirmar que:
o sistema é compatível indeterminado, uma vez que o determinante é nulo.
as raízes dos sistemas são x = -20, y = 14 e z = 4.
a raiz do sistema é zero.
Resposta correta
Correta: 
o método de Cramer é inaplicável neste 
caso, pois o determinante da matriz dos 
coeficientes é nulo.
as raízes do sistema são a origem, visto que o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.
Pergunta 3
Considere o sistema 
. Para resolvê-lo, pode-se utilizar o método de Gauss-Jordan. Para tanto, devemos considerar a matriz 
expandida
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Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o método de Gauss-Jordan, pode-se afirmar que 
a matriz expandida correspondente à matriz expandida do sistema é:
C
B
D
Incorreta: 
E
Resposta corretaA
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Pergunta 4
Vetores são tipos específicos de matrizes que possuem um papel muito importante dentro das aplicações em 
conceitos da álgebra linear, como, por exemplo, o estudo de espaços vetoriais para solucionar os mais diversos 
problemas matemáticos.Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre vetores, analise as 
afirmativas a seguir.
 
I. Um vetor n x 1, sendo n diferente de 1, pode ser interpretado como um tipo específico de matriz retangular.
II. A transposta de um vetor linha (ou seja, 1 x n) é um vetor coluna (ou seja, n x 1).
III. Vetores n x 1 com n ≠ 1 podem ser multiplicados por outros vetores do mesmo tamanho.
IV. O determinante de vetores n x 1 com n ≠ 1 é igual ao produto de todos os elementos contidos nele.
V. A multiplicação de uma matriz qualquer por um vetor coluna resulta em um vetor coluna.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e V.
Resposta correta
Correta: 
I, II e V.
II e III.
III e IV.
II e IV.
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Pergunta 5
Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes 
uma delas é A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
4 − 3
2 − 1
 . Sabemos que a matriz diagonal, semelhante a A, é .B = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
2 0
0 1
 . Conhecemos ainda 
as matrizes P = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
3 1
2 1
 e P- = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
1 − 1
− 2 3
 . A partir desses valores, precisamos agora utilizar a equação A = P 
∙ B ∙ P para calcularmos quanto vale A .
Considerando os conceitos de aplicações de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para 
determinar quanto vale A e assinale a alternativa correta:
1 n
n -1 7
7
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
68 76
57 49
 7
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
2.056 2.040
2.040 2.056
 7
Resposta correta
Correta: 
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
382 − 381
254 − 253
 7
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
1.169 544
− 1.088 − 463
 7
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
384 1
256 1
 7
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Pergunta 6
Um pesquisador precisa efetuar transformações lineares utilizando os vetores contidos no conjunto descrito por 
 Para que este conjunto seja considerado um espaço vetorial, o pesquisador precisa, antes de mais nada, aplicar 
os dez axiomas aos vetores que o constituem para confirmar se este é um espaço vetorial.
Considerando essas informações, aplique os dez axiomas a este grupo de vetores e assinale a alternativa que 
representa corretamente este conjunto de vetores:
O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1 e 4, apesar de atender aos 
demais.
O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1, 4 e 6, apesar de atender 
aos demais.
O conjunto de vetores é um espaço vetorial, pois atende a todos os axiomas.
Resposta correta
Correta: 
O conjunto de vetores não é um espaço 
vetorial, pois não atende aos axiomas 1 
e 6, apesar de atender aos demais.
O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende a nenhum axioma.
Pergunta 7
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Muitas vezes, sistemas lineares também são representados por uma multiplicação entre matrizes e vice-versa 
para que diversos cálculos possam ser realizados para as mais diversas aplicações. Para exemplificar, podemos 
utilizar a seguinte equação:
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre multiplicação entre matrizes, assinale a 
alternativa que apresenta o sistema linear que corresponde à equação acima:
C
Resposta corretaA
Incorreta: 
B
E
D
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Pergunta 8
Considere o seguinte sistema linear: 
. Este sistema pode ser representado na forma matricial como
ou então na forma da matriz ampliada como 
, o que pode facilitar a resolução do sistema através do método da matriz escada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre matriz escada, pode-se afirmar que:
o sistema é incompatível.
Resposta corretaa variável x depende de z, que é uma variável livre.
a variável y é uma variável livre, pois não depende de x e y.
Incorreta: 
o posto da matriz escada é diferente do posto da matriz 
escada ampliada.
o grau de liberdade do sistema é igual a 2.
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Pergunta 9
Matrizes simétricas e antissimétricas são tipos especiais de matrizes quadradas que apresentam propriedades 
específicas, como as posições entre os elementos da matriz em relação à diagonal principal, e podem facilitar a 
identificação e aplicação delas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre matrizes simétricas e antissimétricas, pode-se se 
afirmar que:
Resposta correta
Correta: 
Uma matriz simétrica é definida como a 
matriz cuja transposta é idêntica à 
matriz original.
Uma matriz simétrica é definida como a matriz resultante do produto entre a matriz original e uma matriz 
identidade de mesma ordem.
A inversa de uma matriz simétrica é uma matriz antissimétrica.
Uma matriz antissimétrica é definida como a matriz cuja transposta é semelhante à matriz original, mas com 
o sinal invertido para os elementos que a compõem.
O determinante de uma matriz simétrica deve ser nulo.
Pergunta 10
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Um problema matemático envolve o uso de diversas matrizes na forma diagonalizada. Dentre essas matrizes, 
uma delas é A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
9 1
4 6
 . Sabemos que a matriz diagonal, semelhante a A, é . B 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
10 0
0 5
 . Conhecemos ainda 
as matrizes P = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
1 1
1 − 4
 e P = 
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
4
5
1
5
1
5
−
1
5
 . A partir destes valores, precisamos agora utilizar a equação A = 
P∙B ∙P para calcularmos quanto vale A .
Considerando os conceitos de aplicações de diagonalização de vetores, faça todos os cálculos necessários para 
determinar quanto vale A e assinale a alternativa correta:
n
n -1 5
5
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
2.056 2.040
2.040 2.056
 5
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
382 − 381
254 − 253
 5
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
100.000 3.125
100.000 − 12.500
 5
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
68 76
57 49
 5
Correta: 
A = 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
80.625 19.375
77.500 22.500
 5