32 - Teste do campo conservativo

Prévia do material em texto

Teste do campo conservativo
Joana Mohr
IME-UFRGS
Joana Mohr (IME-UFRGS) 1 / 11
Vimos no TFIL que se F é conservativo, isto é, existe φ : D → R tal que
F(x, y) = ∇φ(x, y), (x, y) ∈ D
e se C for uma curva paramétrica lisa por partes qualquer, começando
em (x0, y0), terminando em (x1, y1), vale∫
C
F(x, y) · dr = φ(x1, y1)− φ(x0, y0).
Perguntas: Como checar se F é conservativo e como encontrar tal φ
em caso afirmativo?
Joana Mohr (IME-UFRGS) 2 / 11
Uma região do plano D é dita conexa se quaisquer dois pontos desse
conjunto podem ser unidos por uma curva lisa por partes que está
inteiramente contida em D.
Dizemos que uma curva paramétrica é simples se ela não intersecta a
si mesma entre os seus pontos extremos.
Joana Mohr (IME-UFRGS) 3 / 11
Seja D um conjunto conexo do plano. Dizemos que D é
simplesmente conexo se nenhuma curva fechada simples em D
envolver pontos que não pertençam a D. Informalmente, um conjunto
conexo D é simplesmente conexo se este não tiver buracos.
Um conjunto conexo com um ou mais buracos é dito multiplamente
conexo.
Joana Mohr (IME-UFRGS) 4 / 11
Teorema (Teste do campo conservativo). Se f(x, y) e g(x, y)
forem cont́ınuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem
cont́ınuas em alguma região aberta D e se o campo vetorial
F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j for conservativo em D então
∂f
∂y
=
∂g
∂x
(∗)
em cada ponto de D. Reciprocamente, se D for simplesmente conexo e
(∗) valer em cada ponto de D, então F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j é
conservativo.
Joana Mohr (IME-UFRGS) 5 / 11
Exemplo: Confirme que não é conservativo o campo
F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j = −yi + xj .
∂f
∂y
= −1 6= ∂g
∂x
= 1.
Joana Mohr (IME-UFRGS) 6 / 11
Exemplo: Seja F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j = y2 i + 2xy j.
a) Mostre que F é um campo conservativo em todo o plano xy.
b) Determine φ, o potencial associado a F.
c) Usando o TFIL calcule a integral,∫ (1,3)
(−1,2)
y2 dx+ 2xy dy
a) Como
∂f
∂y
(x, y) = 2y =
∂g
∂x
(x, y),
portanto (∗) vale para todo (x, y), logo é conservativo.
Joana Mohr (IME-UFRGS) 7 / 11
b) Existe φ tal que ∇φ(x, y) = F(x, y) = y2 i + 2xy j, ou seja,
∂φ
∂x
= y2,
∂φ
∂y
= 2xy
Queremos: encontrar φ. Escolha uma das equações e integre-a:
∂φ
∂x
= y2 =⇒ φ(x, y) =
∫
y2 dx = xy2 + k(y)
onde k = k(y) é uma função que depende de y, ou seja,
φ(x, y) = xy2 + k(y).
Joana Mohr (IME-UFRGS) 8 / 11
∂φ
∂x
= y2,
∂φ
∂y
= 2xy
φ(x, y) = xy2 + k(y) (∗∗)
Agora, vamos comparar a informação obtida em (∗∗) com a segunda
equação. Para isto, derivamos (∗∗) com respeito a y:
φ(x, y) = xy2 + k(y) =⇒ ∂φ
∂y
= 2xy + k′(y)
Igualando esta equação e a segunda, obtemos
2xy + k′(y) = 2xy =⇒ k′(y) = 0 =⇒ k(y) = K
onde K ∈ R é um constante.
Joana Mohr (IME-UFRGS) 9 / 11
Conclusão:
φ(x, y) = xy2 +K
c) ∫ (1,3)
(−1,2)
y2 dx+ 2xy dy = xy2
∣∣∣(1,3)
(−1,2)
= 13.
Joana Mohr (IME-UFRGS) 10 / 11
Exemplo: Verifique que F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j = x2 i +
y
3 j é um
campo conservativo e encontre o potencial φ associado a F.
Temos que
∂f
∂y
= 0 =
∂g
∂x
. Procuramos φ que satisfaz
∂φ
∂x
=
x
2
,
∂φ
∂y
=
y
3
, (∗ ∗ ∗)
∂φ
∂x
=
x
2
=⇒ φ(x, y) =
∫
x
2
dx =
x2
4
+ k(y)
Assim φ(x, y) = x
2
4 + k(y) =⇒
∂φ
∂y = k
′(y).
Igualando à segunda equação de (∗ ∗ ∗) temos que k′(y) = y3 , portanto
k(y) = y
2
6 +K =⇒ φ(x, y) =
x2
4 +
y2
6 +K.
Joana Mohr (IME-UFRGS) 11 / 11