polinomios_resumo (2)

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UD II: 1. POLINÔMIOS 
(Resumo)
I. Polinômios
1. Definição 
Função polinomial é a função f(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ... + a1x + a0, onde os números an, an–1, an–2, ... , a1, a0∈ CI são os 
coeficientes, x∈ CI é a variável e n∈ IN . As parcelas an–kxn–k, k = 0, 1, 2, ... , n são os termos do polinômio f.
2. Valor Numérico: Valor numérico de f em a∈ CI é f(a) = anan + an–1an–1 + an–2an–2 + ... + a1a + a0. 
3. Raiz ou Zero de f: É o número a tal que f(a) = 0. 
E: 1 a 3.
II. Igualdade
1. Polinômio Nulo: f = 0 ⇔ f(x) = 0, ∀ x∈ CI .
4. Teorema: f = 0 ⇔ an = an–1 = an–2 = ... = a1 = a0 = 0.
5. Igualdade: f = g ⇔ f(x) = g(x), ∀ x∈ CI .
6. Teorema: f = g ⇔ ak = bk, ∀ k∈ {0, 1, 2, ... , n}.
E: 4 e 5.
III. Operações
1. Adição: (anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 ... + a1x + a0) + (bnxn + bn–1xn–1 + bn–2xn–2 + ... + b1x + b0) = 
 = (an + bn)xn + (an–1 + bn–1)xn–1 + (an–2 + bn–2)xn–2 + ... + (a1 + b1)x + (a0 +b0).
2. Subtração: (anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 ... + a1x + a0) – (bnxn + bn–2xn–1 + bn–1xn–2 + ... + b1x + b0) = 
 = (an – bn)xn + (an–1 – bn–1)xn–1 + (an–2 – bn–2)xn–2 + ... + (a1 – b1)x + (a0 – b0).
3. Multiplicação: (amxm + ... + a2x2 + a1x + a0) • (bnxn + ... + b2x2 + b1x + b0) = 
 = ambnxm+n + ... + (a2b0 + a1b1 + a0b2)x2 + (a0b1 + a1b0)x + a0b0.
E: 6.
IV. Grau
1. Grau ( ∂ ) de Termo de Polinômio: ∂ (apxp) = p para p∈ IN e ap ≠ 0. 
2. Grau do Polinômio f: ∂ (f) = ∂ max.(apxp), onde p∈ {0, 1, 2, ... , n}. 
3. Teorema: Se f ≠ 0 e g ≠ 0, então ∂ (f + g) < max { ∂ f , ∂ g} e ∂ (f g) = ∂ f + ∂ g.
E: 7.
V. Divisão
Exemplo: Dividir f = 6x5 – 3x4 + x2 – x + 7 por d = 3x2 – 2.
1. Método da Chave
 6x5 – 3x4 + 0x3 + x2 – x + 7 3x2 + 0x – 2
– 6x5 – 0x4 + 4x3 2x3 – x2 + 3
4 x – 3
1 
– 3x4 + 4x3 + x2
+ 3x4 + 0x3 – 2x2
 4x3 – x2 – x 
 – 4x3 – 0x2 + 3
8 x Resp.: q = 2x3 – x2 + 3
4 x – 3
1
 – x2 + 3
5 x + 7 r = 3
5 x + 3
19
 + x2 + 0x – 3
2
 3
5 x + 3
19 A divisão termina aqui pois 3
5 x : 3x2 = 9
5 x –1 não é termo de polinômio.
Obs.: 1a) ∂ r < ∂ d
2a) f = dq + r
3a) ∂ f = ∂ d + ∂ q 
 
2. Método de Descartes 
É aplicação imediata das observações do item anterior, adotando literalmente q e r, que devemos calcular. 
 f = d . q + r ⇒ 6x5 – 3x4 + x2 – x + 7 = (3x2 – 2)(ax3 + bx2 + cx + d) + mx + n
 6x5 – 3x4 + x2 – x + 7 = 3ax5 + 3bx4 + (3c – 2a)x3 + (3d – 2b)x2 + (m – 2c)x + n – 2d 
 Resolvendo o sistema de equações lineares, conseqüência da identidade de polinômios, vem: 
 a = 2, b = – 1, c = 3
4 , d = – 3
1 ⇒ q = 2x3 – x2 + 3
4 x – 3
1 e m = 3
5 , n = 3
19 ⇒ r = 3
5 x + 3
19 .
E: 8 e 9. 1
VI. Divisão por Binômios do 1o Grau
1. Teorema do Resto.
Seja r o resto da divisão de um polinômio f, de grau maior ou igual a um pelo binômio do 1o grau ax + b. Então: r = f (– a
b ).
(Isto é, r é o valor numérico de f para x = raiz do binômio).
2. Teorema de D’Alembert (conseqüência imediata do teorema do resto)
f é divisível pelo binômio do 1o grau ax + b ⇔ r = f (– a
b ) = 0. (A raiz do binômio também é raiz do polinômio f ).
E: 10.
3. Extensão do teorema de D’Alembert (Jair)
f é divisível separadamente por a1x + b1, a2x + b2, a3x + b3, ... e anx + bn, com 
na
nb
a
b
a
b
a
b
,...,
3
3,
2
2,
1
1 , diferentes entre si ⇔ f é
divisível por (a1x + b1)(a2x + b2)(a3x + b3)...(anx + bn). (As raízes dos binômios são raízes do polinômio f). 
E: 11.
4. Dispositivo Prático de Briot-Ruffini (Generalização e extensões) 
4.1. Sejam q e r o quociente e o resto da divisão de um polinômio por ax + b. Então 
a
qq
'
= e r = r’, onde q’e r’ são 
respectivamente o quociente e o resto da divisão por B.R.
E: 12.
4.2. (Jair) Sejam q e r o quociente e o resto da divisão de um polinômio por (ax + b)(cx + d). Então 
ac
qq
,
2= e r = 
( )
a
rbax ,2+ 
+ r1’, onde q2’, r1’e r2’ são respectivamente o segundo quociente e os restos da divisão sucessiva por B.R. 
E: 13.
 4.3. Faça a extensão de B.R. para a divisão (de um polinômio) por n binômios.
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EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS
1. As expressões ( )6x + (2 + i)x – 10, 7 43x – 5x – 6 e 0x8 + 0x representam polinômios na variável x? Justifique.
2. Dada a função polinomial f(x) = x49 – 3x20 + 13, calcule f (– 1), f(1) e f(0).
3. Os números – 2, 3 e 5 são raízes de f(x) = x3 – 3x + 2? Justificar sua resposta.
4. Determinar a, b e c de modo que f = (a2 + 9)x3 – (b – 5)x + 2b – c seja o polinômio nulo.
5. Qual é a condição para que f(x) = ax3 + (b – 1)x2 – (b – c)x + d – 7 e g(x) = 3bx2 + 2cx – 4d sejam idênticos?
6. Dados os polinômios f(x) = x – 3, g(x) = 2x + 5, h(x) = x2 – 4x + 1 e m(x) = x3 – 2x – 1 + 3i calcular (fg – h + m)(x).
7. Determinar o grau do polinômio f = (a2 – 5a + 6)x2 + (a2 – 4)x + 6 – 2a, a∈ IR .
8. Dividir f = 2x5 – 3x + 12 por g = x2 + 1 aplicando o método de Descartes.
9. Pelo método da chave, determinar os reais a e b de modo que o polinômio f = x4 – 3ax3 + (2a – b)x2 + 2bx + a + 3b seja 
divisível por g = x2 – 3x + 4.
10. Aplicando os teoremas do resto e de D’Alembert determinar p e q sabendo que o polinômio f = x3 – 2px + (p + 3)x + 2p – q é 
divisível por x e que o resto da divisão de f por x + 1 é 3. 
11. Aplicando a generalização do teorema de D’Alembert, prove que f = x4 – 2x3 – x2 + 2x é divisível por g = x3 – 3x2 + 2x.
12. Aplicando Briot-Ruffini, efetuar a divisão de f = 4x3 + 2x – 5 por d = 2x + 3.
13. Aplicando Briot-Ruffini, efetuar a divisão de f = 4x3 + 2x2 – 6x – 1 por g = 8x2 – 2x – 1.
14. Um polinômio f, dividido por x + 2 e x2 + 4 dá restos 0 e x + 1, respectivamente. Qual é o resto da divisão de f por (x + 2)(x2 + 
4)?
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	II. Igualdade
	III. Operações
	IV. Grau
	V. Divisão
	E: 8 e 9. 													 1
	VI. Divisão por Binômios do 1o Grau
	EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS