Polinômios e Equações Polinomiais (Resumo)

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O grau de 𝑟(𝑥) não pode ser igual nem 
maior do que o grau de ℎ(𝑥). 
 
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
 
1. Definições 
 
• Expressão polinomial: 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +   …   + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1x + 𝑎0. 
• Função polinomial: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +   …   + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1x + 𝑎0. 
• Polinômio identicamente nulo: todos os coeficientes são iguais a zero. 
• Valor do polinômio: 𝑝(𝛼) = 𝑎𝑛𝛼
𝑛 + … + 𝑎1α + 𝑎0, para 𝑥 = 𝛼. 
Obs.: 𝑝(𝛼) = 0 diz-se que 𝛼 é raiz do polinômio. 
• Igualdade de polinômios: 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⇔ 𝑝(𝛼) = 𝑞(𝛼), ∀𝛼 ∈ ℂ. 
 
2. Divisão 
 
 
 
 
 
i. Divide o termo de maior expoente de 
𝑝(𝑥) pelo termo de maior grau de ℎ(𝑥); 
ii. Multiplica o resultado em (i) por ℎ(𝑥); 
iii. Subtrai 𝑝(𝑥) pelo resultado em (ii); 
iv. Repete o processo. 
 
 
 
 
 
 
• Dispositivo de Briot-Ruffini: válido para 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Teorema de D´alembert: O resto da divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 𝑎 é 𝑝(𝑎). 
• Teorema do Fator: Se 𝑐 é raiz de 𝑝(𝑥), então 𝑥 − 𝑐 é fator de 𝑝(𝑥). 
 
3. Equação polinomial 
 
 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +   …   + 𝑎1x + 𝑎0 = 0 com 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑎𝑖 ∈ ℂ e 𝑛 ∈ ℕ. 
 
• Teorema fundamental da álgebra: toda equação 𝑝(𝑥) = 0 de grau 𝑛 ≥ 1 possui ao 
menos uma raiz complexa. 
• Decomposição: todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 +   …  𝑎1x + 𝑎0 pode ser decomposto em 𝑛 
fatores do primeiro grau, isto é, 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2) ∙ … ∙ (𝑥 − 𝑥𝑛). 
 
4. Relações de Girard 
 
Dada 𝑎𝑛𝑥
𝑛 +   …  𝑎1x + 𝑎0 = 0, tal que, 𝑥1, 𝑥2,   … , 𝑥𝑛 são suas raízes, tem-se: 
I. A soma das raízes: 𝑥1 + 𝑥2 +   …   + 𝑥𝑛 = −
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
 
II. O produto das 𝑛 raízes: 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙   … ∙ 𝑥𝑛−1  ∙ 𝑥𝑛 = −
𝑎0
𝑎𝑛
 
III. A soma dos produtos das raízes quando tomadas: 
i. Duas a duas: 𝑥1 ∙ 𝑥2  + 𝑥1 ∙ 𝑥2 + ⋯ ∙ 𝑥𝑛−1  ∙ 𝑥𝑛 =
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛
 
ii. Três a três: 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 + 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥4 + ⋯ + 𝑥𝑛−2 ∙ 𝑥𝑛−1  ∙ 𝑥𝑛 = −
𝑎𝑛−3
𝑎𝑛
 
iii. Quatro a quatro: 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 ∙ 𝑥4 + ⋯ + 𝑥𝑛−4 ∙ 𝑥𝑛−2 ∙ 𝑥𝑛−1  ∙ 𝑥𝑛 =
𝑎𝑛−4
𝑎𝑛
 
⋮ 
 
• Pesquisa de raízes: se o número racional 
𝑝
𝑞
 com 𝑝 e 𝑞 primos entre si, é raiz de uma 
equação algébrica de coeficientes inteiros, então 𝑝 divide 𝑎0 e 𝑞 divide 𝑎𝑛. 
 
• Raízes complexas não-reais: se uma equação polinomial de coeficientes reais admite 
como raiz o número complexo 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 com 𝑏 ≠ 0, então o complexo conjugado 𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑖 
também é raiz da equação.