Introdução aos Vetores em Física

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1. Vetores
Vetor é um segmento de reta orientado que apresenta módulo (tamanho),
direção e sentido. Os vetores são usados para expressar grandezas físicas
vetoriais, ou seja, aquelas que só podem ser completamente definidas se
conhecemos o seu valor numérico, a direção em que atuam (horizontal e vertical),
bem como o seu sentido (para cima, para baixo).
Posição, velocidade, aceleração, força e quantidade de movimento são bons
exemplos de grandezas vetoriais. Por exemplo, se quisermos saber a posição de
algum local, é necessário que se aponte para uma direção. Nesse caso, o sentido
do movimento é dado pela ponta do dedo.
FIGURA 01: Vetor de módulo (tamanho) a.
1.1 Medida de um segmento
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se
associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação
àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu
módulo. O comprimento do segmento AB é indicado AB.
FIGURA 02: Comprimento do segmento AB
= 5 u.c.
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/grandezas-escalares-grandezas-vetoriais.htm
1. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.Os
segmentos nulos têm comprimento igual a zero.
2. =
3. Segmentos opostos: se AB é um segmento orientado, o segmento orientado
BA é o oposto de AB.
1.2 Direção e Sentido
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as
retas suportes desses segmentos são paralelas:
FIGURA 3: Representação dos vetores
1. Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.
2. Só se pode comparar os sentidos se eles têm a mesma direção.
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma
direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se os segmentos AB e CD não
pertencerem à mesma reta, para que AB seja equipolente a CD é necessário que
AB//CD e AC//BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.
FIGURA 04: Dois segmentos AB e CD equipolentes com o mesmo sentido, direção e
comprimento
1. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.
2. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB~CD
1.3 Operações com Vetores
● Adição de vetores
Todos conhecemos o princípio que afirma que não podemos somar maçãs com
laranjas. Este mesmo princípio pode ser aplicado para entendermos a definição de
adição de vetores. Suponha que temos maçãs e laranjas que precisam ser
estocadas em caixas separadas. Para sabermos quantas maçãs e quantas laranjas
existem em cada caixa, precisamos de um par de números. Imagine este par de
números como um vetor, isto é, v = < > , onde = número de maçãs e
= número de laranjas. Embora não possamos adicionar e é fácil
entender que podemos adicionar um vetor v a um outro vetor w , componente a
componente. Para entender essa afirmação, imagine que um amigo nosso também
estocou suas maçãs e laranjas em caixas separadas e representou a quantidade de
cada fruta por um vetor w = < > , onde = número de maçãs e
= número de laranjas. Para sabermos quantas maçãs e quantas laranjas temos
juntos, basta adicionarmos o número de maçãs e laranjas estocadas nas
respectivas caixas, isto é, basta calcularmos o vetor v + w = < >.
A componente do vetor v + w, representará o número total de maçãs e a
componente , o número total de laranjas.
Propriedades da Soma de vetores:
● Subtração de Vetores
Vetores opostos fazem um ângulo de 180º entre si, encontram-se na mesma
direção, porém com sentidos contrários, como mostra a figura:
FIGURA 05: Vetores opostos
O vetor resultante de dois vetores opostos é dado pela diferença no módulo
desses, como é possível ver na figura seguinte:
FIGURA 06: Vetores resultante de vetores opostos
Nesse caso, o vetor resultante terá sua direção e sentido determinados pelo vetor
de maior módulo e poderá ser calculado por meio da seguinte fórmula:
● Multiplicação de um vetor por um escalar
Se um vetor for multiplicado por um escalar, o resultado é um novo vetor, que
conserva a mesma direção e sentido anteriores, mas o módulo é alterado pelo valor
do escalar.
Multiplicação de um vetor A por um escalar a
a) O módulo do novo vetor é o que resulta da multiplicação do módulo de X pelo
módulo de A.
b) A direção do novo vetor é a mesma do vetor A.
c) O sentido é o mesmo de A se a for positivo; sentido oposto se a for negativo
Propriedades do produto de escalar por vetor
● Módulo de um vetor e suas propriedades
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo,
definido por:
𝑣| | = 𝑎² + 𝑏²
● Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:
u.v = |u| |v| cos(x)
onde x é o ângulo formado entre u e v.
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre
dois vetores genéricos u e v, como,
desde que nenhum deles seja nulo.
● Vetor unitário
Vetor unitário é um vetor que tem o módulo igual a 1.
Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço
R², que são dados por:
i = (1,0) j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que
um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um
escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:
Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v.
● Produto Escalar
Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos o produto de k por v, por:
kv=(ka,kb)
Propriedades do produto de escalar por vetor:
Quaisquer que sejam os escalares a e b e os vetores v e w, temos que:
1. Interpretação geométrica do produto escalar
Você pode decompor o vetor, B, por exemplo, ao longo da direção do vetor A.
O produto escalar pode ser interpretado geometricamente como o produto do
módulo de um dos vetores pelo módulo da projeção do outro vetor ao longo da
direção do primeiro. O resultado do produto do produto escalar é um escalar
● Produto Vetorial
O produto vetorial ou produto externo entre vetores, de uma forma mais
simples, gera outro vetor que é perpendicular aos outros dois vetores, isso quer
dizer que seu produto gera um vetor que forma um ângulo de 90º com ambos os
vetores.
Dados os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2), tomados nesta
ordem, chamamos de produto vetorial dos vetores e .
Outra maneira mais simples e fácil de se escrever o produto vetorial é
utilizando-se de determinantes:
A direção do vetor resultante do produto vetorial é determinada usando-se a regra
da mão direita mostrada na figura abaixo:
FIGURA 07: Regra da mão direita
O resultado do produto do produto vetorial é um vetor e a ordem da multiplicação
dos vetores é muito importante.
Propriedades do Produto Vetorial:
REFERÊNCIAS
http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/SOLAR_2/Curso_de_Graduacao_a_Distanci
a/LFIS/A_a_H/Fisica_I/aula_01/pdf/06.pdf
http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap91s
4.html
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/vetores.
https://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2012/07/Vetores1.pdf
http://jeansebold.com.br/gallery/vetores.pdf
http://www.uel.br/projetos/matessencial/basico/geometria/vetor2d.html#sec05
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/imagem.php?idImagem=191
http://www.fisica.ufpb.br/%7Eromero/pdf/02_vetores_e_escalares.pdf
http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Cursos/Curso1/cv11int.html
http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/vetores/
http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Applets/Applets1/Vetores/SomaVe t.html
Acesso em: 24/05/2021 08:00 às 15:00
http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/SOLAR_2/Curso_de_Graduacao_a_Distancia/LFIS/A_a_H/Fisica_I/aula_01/pdf/06.pdf
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