Vetores e Espaços Vetoriais

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DEFINIÇÃO
O conceito de vetores e espaço vetorial no plano e no espaço.
PROPÓSITO
Compreender o conceito de vetor e espaço vetorial, aplicando as propriedades e operações vetoriais no plano e no espaço.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de
seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas
Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço
Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto
Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade
 Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas.
INTRODUÇÃO
Em várias aplicações da ciência e da Matemática, torna-se necessária a definição de um elemento que requer na sua
concepção, além de seu tamanho, sua orientação (direção e sentido).
Por exemplo, ao se afirmar que um veículo está se locomovendo a uma velocidade de 80km/h, falta a informação de direção e
sentido que ele está se encaminhando, para que se tenha um dado completo do problema.
Este elemento, que tem na sua concepção o tamanho e a orientação, é o vetor. O conjunto dos vetores, atendendo a algumas
operações básicas, irá definir o espaço vetorial.
Fonte:Pixabay
Neste estudo, vamos definir o espaço vetorial, o vetor e as suas operações básicas e, posteriormente, aplicar estes conceitos
na resolução de alguns problemas
ESPAÇO VETORIAL
O espaço vetorial V consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que atendem a operações da adição e de
multiplicação por um número real.
SEJAM U E V ELEMENTOS DE V, NÃO VAZIO. ASSIM, V SERÁ UM ESPAÇO
VETORIAL, SE E SOMENTE SE:
Se u e v pertencem a V então u + v pertence a V;
Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.
Estas duas propriedades nos dizem que o espaço vetorial é fechado para operação da adição e multiplicação por real, pois ao
operarmos com elementos do espaço, o resultado fornece um outro elemento do mesmo conjunto.
Na Álgebra, podemos definir espaços vetoriais de vários tipos de elementos, como por exemplo de matrizes de n linhas e m
colunas, de funções reais de variável real e o espaço vetorial real de n dimensões (Rn).
Um espaço vetorial muito trabalhado nas aplicações em Geometria Analítica e de Álgebra Linear é o espaço vetorial Rn. Este
espaço vetorial será composto por elementos de n-dimensões reais, isto é
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para n = 2 e n = 3, consegue-se associar uma análise geométrica ao estudo analítico do Rn. A partir de n > 3 as
representações geométricas não são mais possíveis.
Desta forma, particularmente para problemas no plano e no espaço, trabalharemos com R2 e R3, respectivamente.
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
1. Seja o conjunto C = {(x , 5) / x número real}. Verifique se o conjunto C é um espaço vetorial.
SOLUÇÃO
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas.
Quando x = 2, o elemento (2,5) pertence a C, assim prova-se que o conjunto C é um conjunto não vazio.
Seja um número real k = 2.
Se u = (2, 5), então 2u = (2.2, 5.2) = (4, 10) = v.
Mas v (4, 10) ≠(𝑥,5) para todo x. Portanto, v não pertence ao conjunto C.
Desta forma, a operação de multiplicação por real não é fechada para o conjunto C. Então, C não é espaço vetorial.
Pode-se também verificar que a operação de adição igualmente não é fechada para o conjunto C.
Se u = (2, 5) e v = (3, 5), ambos pertencem a C. Mas u + v = (2+3, 5+5) = (5, 10) não pertencerá a C.
2. Seja o conjunto M composto de todas as Matrizes 2 x 2 com elementos reais. Verifique se o conjunto C é um espaço
vetorial.
SOLUÇÃO
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas.
Seja o elemento do conjunto M, onde x, y, z e w são reais.
Fazendo x = y = z = w = 1 tem-se o elemento demonstrando que pelo menos um elemento existe no conjunto m,
portanto ele não é vazio.
Vamos supor k real.
Ao multiplicarmos uma matriz por um número real, multiplica-se cada elemento da matriz por este número. Assim 
.
Mas kx, ky, kz e kw são número reais, portanto, n também é um elemento do conjunto M demostrando que a operação de
multiplicação por real é fechada no conjunto M.
Sejam e dois elementos de M e p = m + n.
Ao somarmos duas matrizes, somamos elemento a elemento, assim:
Como x + a, y + b, z + d e w + c são número reais, então p pertence a M, demonstrando também que a operação da adição é
fechada para o conjunto M.
Desta forma, verifica-se que o conjunto M é um espaço vetorial.
VETORES E OPERAÇÕES BÁSICAS
Existem dois tipos de grandeza: escalares e vetoriais.
GRANDEZA ESCALAR
A grandeza escalar é um ente matemático definido completamente pelo seu valor (magnitude, módulo, valor ou amplitude). A
temperatura de uma sala ou a massa de um objeto são exemplos de grandezas escalares.
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GRANDEZA VETORIAL
A grandeza vetorial, denominada de vetor, é um ente matemático que, para ser definido completamente, necessita, além da
sua magnitude (módulo, valor ou amplitude), da definição da direção e do sentido. A velocidade de um carro ou a força atuante
em um objeto são exemplos de grandeza vetorial.
O vetor é amplamente utilizado na Geometria Analítica e na Álgebra Linear e será o objeto (elemento) do espaço vetorial Rn,
definido no item anterior. O vetor será representado pelos seus componentes.
 ATENÇÃO
Assim sendo, um vetor de Rn será definido por n componentes reais, representado por (x1, x2, ..., xn). Cada componente real
xi representa um tamanho da projeção do vetor na i-ésima dimensão. A combinação das n-componentes do vetor irá definir a
orientação deste, dentro do espaço vetorial Rn.
Para nosso caso particular do R2 e R3 podemos dar uma definição geométrica para o vetor através de um segmento de reta
orientado.
Seja o seguimento orientado de reta , no plano ou no espaço, que seria um segmento de reta que apresenta um
sentido definido.
O ponto A é denominado de origem ou ponto inicial. O ponto B é chamado de extremidade ou ponto final. Este segmento
orientado é definido pelo seu módulo (tamanho), direção e sentido.
SE DOIS SEGMENTOS ORIENTADOS TIVEREM MÓDULOS, DIREÇÕES E SENTIDOS IGUAIS SERÃO
SEGMENTOS EQUIPOLENTES OU EQUIVALENTES.
Fonte:Autor
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 IMPORTANTE!
O conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes é denominado de vetor. Assim, vetor será representado
geometricamente por um segmento orientado que apresenta um módulo, uma direção e um sentido determinado.
O vetor será representado por vetor ou pelos dois pontos que são suas extremidades na ordem do seu sentido, vetor .
Dessa forma, os vetores e são dois vetores diferentes. Eles terão mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos
opostos.
OPERAÇÕES BÁSICAS
Como já visto, os vetores são objetos do espaço vetorial. Logo, podemos definir algumas operações básicas contidas no
espaço vetorial:
1- IGUALDADE ENTRE VETORES
Sejam vetores do Rn.
Assim , para todo i = 1, 2, ..., n
2 - ADIÇÃO ENTRE VETORES
Sejam e dois vetores pertencentes ao Rn.
Se , para todo i = 1, 2, ..., n
w também pertence ao Rn.
3 - MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL
Seja vetor do Rn e k um número real.
Se , para todo i = 1, 2, ..., n
w também pertence ao Rn.
Algumas propriedades podem ser definidas através da adição e multiplicação por um número real k:
Associativa na Adição: 
Comutativa: 
Existência do Elemento Neutro na Adição (0, denominado de elemento nulo): 
Existência do Elemento Oposto na Adição: 
Distributiva por Vetor: 
Distributiva por Escalar: 
Associativa na Multiplicação por Real: 
Existência do Elemento Neutro na Multiplicação (1, denominado de elemento unitário): 
 IMPORTANTE!
Para realizar a subtração de dois vetores - , seria semelhante a multiplicar o vetor por -1 e somarao vetor 
EXEMPLO
1. Determine o valor de b e d para que os vetores ( 4, b + d, 0, 1) e ( 4 , 5 , 0, b – d) sejam iguais.
SOLUÇÃO
Para que dois vetores sejam iguais, todos os seus elementos devem ser iguais.
Assim: 
Resolvendo o sistema, através da segunda equação tem-se b = 1 + d
Substituindo na primeira, 1 + d + d = 5 → 2d = 5 – 1 = 4 → d = 2
Então, b = 1 + d = 1+ 2 = 3
 ATENÇÃO!
Este exercício só foi possível porque o primeiro componente, que vale 4, e o terceiro, que vale 0, eram iguais nos dois vetores.
Se um dos dois fosse diferente, o exercício seria impossível.
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma determinada região do espaço, um avião tem velocidade, em km/h, dada por vetor (100, b, 300). Um segundo
avião apresenta uma velocidade, em km/h, dada por (50+a, 80, 300). Determine o valor de a + b para que os aviões tenham
a mesma velocidade.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. UM CONJUNTO B É UM ESPAÇO VETORIAL. MARQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO ESTÁ
CORRETA EM RELAÇÃO AO CONJUNTO B.
A) Tem pelo menos um elemento.
B) É fechado em relação à operação de adição.
C) Se u e v pertencem a V então u - v pode não pertencer a V.
D) Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.
2. SEJAM OS VETORES U→(2, 3, 0, -1, 1) E V→(-1, 2, 1, 3, 0). DETERMINE O VALOR DE
W→ = 2V→ - U→
A) (–4, 1, 2, 7, -1)
B) (4, 2, 1, 6, 0)
C) (2, 3, 2, -1, 1)
D) (0, 2, 7, 1, 1)
3. A FORÇA F→ = (10, X + Y) AGE EM UM OBJETO. ESTE OBJETO DE MASSA (M) DE 1KG
ADQUIRE UMA ACELERAÇÃO IGUAL À A→ = (2X - Y, 5). SABENDO QUE F→ = MA→, DETERMINE
O VALOR DE X E Y RESPECTIVAMENTE.
A) 5 e 0
B) 0 e 5
C) 10 e 15
D) 2 e 4
4. SEJAM OS VETORES U→(A, B), V→(B, A) E W→(2-2B, 0), COM A E B NÚMEROS REAIS.
DETERMINE A E B RESPECTIVAMENTE, SABENDO QUE 3(U→+V→)+W→=0
A) 0 e 0
B) -1 e 1
C) 1 e -1
D) 0 e 1
5. QUATRO VETORES DO R3, U→ A , A+B , A-C, V→ 1 , C , -B, W→ 1 , 0 , 2C+B E M→ B , 8, 5, COM
A E B REAIS, SATISFAZEM A SEGUINTE EQUAÇÃO: U→-3V→=2W→+ M→. DETERMINE O VALOR
DE A + B + C.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
6. SEJAM OS VETORES U→(A, B, C), V→(B, A, C) E W→(2B, 0, B+C), COM A, B E C NÚMEROS
REAIS. DETERMINE A SOMA DE A + B + C, SABENDO QUE O VETOR M→= 2U→+3V→-2W→ É
EQUIVALENTE AO VETOR (2, 3, 3).
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
GABARITO
1. Um conjunto B é um espaço vetorial. Marque a alternativa que NÃO está correta em relação ao conjunto B.
A alternativa "C " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de espaço vetorial
Se o conjunto B é um espaço vetorial, então consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que atendem a
operações da adição e de multiplicação por um número real.
Assim, a letra A, B e D são verdadeiras
Em relação à letra C , u - v é uma operação de multiplicar um elemento por –1 e depois somar dois elementos do conjunto,
logo, obrigatoriamente, este resultado pertence ao conjunto B. Esta afirmativa é verdadeira.
2. Sejam os vetores u→(2, 3, 0, -1, 1) e v→(-1, 2, 1, 3, 0). Determine o valor de w→ = 2v→ - u→
A alternativa "A " está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
w→(x ,y ,z ,m ,n)=2v→- u→= ( – 1.2, 2.2, 1.2, 3.2, 0.2) – ( 2, 3, 0, – 1, 1)
Assim,
x=-2-2=-4 
y=4-3=1 
z=2-0=2 
m=6-(-1)=7 
n=0-1=-1
Portanto,
w→(-4, 1, 2, 7, -1)
3. A força F→ = (10, x + y) age em um objeto. Este objeto de massa (m) de 1kg adquire uma aceleração igual à
a→ = (2x - y, 5). Sabendo que F→ = ma→, determine o valor de x e y respectivamente.
4. Sejam os vetores u→(a, b), v→(b, a) e w→(2-2b, 0), com a e b números reais. Determine a e b respectivamente,
sabendo que 3(u→+v→)+w→=0
A alternativa "B " está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Usando as propriedades vistas:
3u→+ v→+w→=0→3u→+3v→+w→=0
Usando as operações vetoriais e sabendo que 0 é representado por (0,0):
3a+3b+2-2b=03b+3a+0=0 → 3a+b+2=03b= -3a → 3a+b= -2 b= -a 
Assim, substituindo a segunda questão na primeira se tem
3a – a = –2 → a = –1 
b = – a → b = 1
5. Quatro vetores do R3, u→ a , a+b , a-c, v→ 1 , c , -b, w→ 1 , 0 , 2c+b e m→ b , 8, 5, com a e b reais, satisfazem a
seguinte equação: u→-3v→=2w→+ m→. Determine o valor de a + b + c.
6. Sejam os vetores u→(a, b, c), v→(b, a, c) e w→(2b, 0, b+c), com a, b e c números reais. Determine a soma de a + b +
c, sabendo que o vetor m→= 2u→+3v→-2w→ é equivalente ao vetor (2, 3, 3).
A alternativa "B " está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Usando as propriedades vistas, se o vetor m→ é equivalente ao vetor (2, 3, 3), eles terão as mesmas coordenadas.
Usando as operações vetoriais para se obter as coordenadas do vetor m→= 2u→+3v→-2w→
= 2a+3b-22b=2a+3b-4b=2a-b2b+3a-2.0=2b+3a2c+3c-2b+c=2c+3c-2b-2c=3c-2b
Igualando ao vetor (2, 3, 3)
2a-b=22b+3a=33c-2b=3→ 
Multiplicando a primeira equação por 2: 4a−2b=4, somando a segunda equação
4𝑎+3𝑎=4+3→7𝑎=7→𝑎=1 e 𝑏=2𝑎−2=2−2=0
Substituindo na terceira equação 3𝑐=3+2𝑏=3+0=3→𝑐=1
Assim,
a + b + c = 2
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA O VETOR M→1(150, A+B,100) E O VETOR M→2(150, 450, A-B). DETERMINE O VALOR DE
2A – B, ONDE A E B SÃO NÚMEROS REAIS, PARA QUE M→1= M→2.
A) 175
B) 215
C) 375
D) 470
2. SEJAM OS VETORES U, V E W ELEMENTOS DO ESPAÇO VETORIAL R4. SABE-SE QUE 2U – 3V
+ W É EQUIVALENTE AO ELEMENTO NULO. DEFINIMOS U(0, 1, A, B + C), V(1, B, 2, B – C) E W(3 , –
13A, 8C, 0), COM A, B E C NÚMEROS REAIS. DETERMINE O VALOR DE A + B + C.
A) 1
B) 3
C) 5
D) impossível 2u - 3v + w = 0
GABARITO
1. Seja o vetor m→1(150, a+b,100) e o vetor m→2(150, 450, a-b). Determine o valor de 2a – b, onde a e b são números
reais, para que m→1= m→2.
A alternativa "C " está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Para que m→1= m→2, as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
Assim a + b = 450 e a – b = 100
Somando as duas equações 2a = 550 → a = 275
Então, b = 450 – a = 450 – 275 = 175
Assim, 2a – b = 2.275 – 175 = 375
2. Sejam os vetores u, v e w elementos do espaço vetorial R4. Sabe-se que 2u – 3v + w é equivalente ao elemento nulo.
Definimos u(0, 1, a, b + c), v(1, b, 2, b – c) e w(3 , – 13a, 8c, 0), com a, b e c números reais. Determine o valor de a + b +
c.
A alternativa "C " está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação e propriedades dos vetores.
Para que v→1 =v→2 , as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
2u – 3v + w = 0 
Assim:
2.0 – 3.1 + 3 = 0 → 0 = 0 (ok, se aqui desse algo diferente disso a resposta seria impossível) 
2.1 – 3.b - 13a = 0 → 3b + 13 a = 2 
 2.a – 3.2 + 8c = 0 → 2a + 8c = 6 
 2.(b+c) – 3.(b – c) + 0 = 0 → 2b + 2c – 3b + 3c = 0 → 5c – b = 0 → b = 5c
Substituindo a quarta equação na segunda se tem:
3.5c + 13 a = 2 → 15c + 13a = 2
Mas na terceira equação:
2a = 6 – 8c → a = 3 – 4c
Substituindo na anterior:
15c + 13(3 – 4c) = 2 → 15 c +39 – 52 c = 2 → 37 c = 37 → c = 1
Se
c = 1 → a = 3 – 4.1 = 3 – 4 = – 1 
E
b =5c = 5.1 = 5
Portanto
a + b + c = – 1 + 5 + 1 = 5 
 Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço.
INTRODUÇÃO
NAS APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA, UTILIZA-SE UMA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA, ALÉM
DO CÁLCULO ANALÍTICO. ASSIM, PARA SE TRABALHAR NO PLANO OU NO ESPAÇO, USA-SE OS
ESPAÇOS VETORIAIS R2 E R3.
Os vetores, sujeitos às mesmas operações descritas no módulo anterior, terão neste caso uma representação por segmento
orientado de reta e necessitarão de referências para serem definidos. Dessa forma, será apresentado o sistema cartesiano
como um sistema de representação e referência para nossos estudos.
Por fim, a definição de direções e sentidos é importante em várias aplicações, sendo necessária, portanto, a definição de
vetores unitários que terão este objetivo.
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Como já visto no módulo anterior, a representação geométrica de um vetor será um segmento orientado de reta. Desse modo,
torna-se necessário definir direções e sentidos, isto é, definir referências. Estas referências devem ser tanto para posição
quanto para direção/sentido. Por isso, vamos adotar osistema cartesiano para referenciarmos o espaço vetorial R2 e R3.
No caso do R3, serão utilizados três eixos ortogonais, x, y e z, com valores reais, para referenciar as três dimensões. Qualquer
direção/sentido no espaço pode ser definida por três direções ortogonais. A origem do sistema será definida no cruzamento
dos eixos, ponto 0. O eixo x é denominado de abscissa, o eixo y de ordenada e o eixo z de cota. A seta de cada eixo define o
sentido positivo de cada direção de referência.
Fonte:Autor
No caso do R2, serão utilizados apenas dois eixos ortogonais, x e y, com valores reais, para referenciar as suas duas
dimensões. Qualquer direção/sentido no plano pode ser definida por duas direções ortogonais.
 ATENÇÃO
Antes de definirmos como representar um vetor no plano ou no espaço, necessitamos definir a representação de um ponto
nestas regiões. Um ponto P do R3 será representado por 3 componentes, que denominaremos de coordenadas. Cada
coordenada representa as distâncias que o ponto tem em relação aos três planos que definem o espaço.
Seja o Ponto P (X, Y, Z), com X, Y e Z números reais. X representa a distância de P ao plano YZ, Y a distância de P ao plano
XZ e Z a distância de P ao plano XY.
Se o ponto estiver do lado oposto do plano, antes da origem, os sinais serão negativos.
Na figura ao lado estão representados os pontos
P (1, 2, 2), Q (–1, –2, 1), R (1 , 2, –2) e S (1, –2, –2).
A origem dos eixos será representada por O (0, 0, 0)..
Fonte:Autor
O R2 é um caso particular do R3, assim, os pontos no R2 apresentam apenas valores para abscissa e ordenada, ou seja,
P(X,Y).
Para representarmos um vetor, é preciso conhecer a sua projeção nas três direções representadas pelos eixos que definem o
sistema de coordenadas. Veja a figura, o vetor projetado na direção do eixo x apresenta um tamanho vx, na direção do eixo
y apresenta um tamanho vy e na direção do eixo z um tamanho vz.
Fonte:Autor
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal da coordenada será negativo.
Portanto, o vetor terá coordenadas (vx, vy , vz) , em que vx, vy e vz são número reais. No caso do R2, caso particular do R3, o
vetor não terá a componente vz.
Podemos representar, também, as coordenadas de um vetor através de uma matriz coluna, ou seja, 
Na figura a seguir temos a representação, no plano, dos vetores (3, 1), (−1, 1) e (1, −3).
Fonte:Autor
Podemos observar que os segmentos e apresentam o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido, sendo
representações, portanto, do mesmo vetor . Por isso, terão as mesmas coordenadas (3, 1).
 IMPORTANTE!
A notação de Grassmann nos mostra que as coordenadas de um vetor podem ser obtidas com as coordenadas dos seus
pontos extremos, isto é, sua origem e sua extremidade.
Assim, 
Se a origem do vetor for a origem dos eixos coordenados O(0, 0, 0), a coordenada do vetor será igual à coordenada de sua
extremidade.
Logo, 
HERMANN GRASSMANN (1809-1877)
Matemático e físico alemão responsável pela criação da Álgebra Linear.
EXEMPLO
1. Represente no sistema cartesiano os pontos P(1, 2), Q(-1, 2) e R(1, -1)
SOLUÇÃO
Fonte:Autor
javascript:void(0)
2. Represente no sistema cartesiano os vetores:
a) (1, 0) com ponto inicial no ponto (1, 2);
b) (0, -2) com ponto inicial no ponto (1, 0);
c) (1, -1) com ponto inicial no ponto (-1, 2).
SOLUÇÃO
Fonte:Autor
3. Determine as coordenadas do vetor que tem origem no ponto A(2, 3, -1) e extremidade no ponto B(0, 2, 1). Determine
também o vetor = - .
SOLUÇÃO
Usando a notação de Grassmann:
Como = - poderia também se usar a propriedade de multiplicação por real:
MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR
DENOMINAMOS O TAMANHO DE UM VETOR POR MÓDULO OU NORMA. O MÓDULO DO VETOR SERÁ
REPRESENTADO POR OU .
Observe a figura do item anterior, que apresenta as componentes do vetor. O módulo do vetor será dado pelo tamanho do
segmento OP, assim .
Fonte:Autor
Ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OPQ e verificar que o tamanho de PQ é a componente z do vetor , isto é, vz
tem-se que
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo OQR, obtém-se.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O tamanho de OR será a componente x do vetor , isto é, vx e o tamanho de QR será igual ao tamanho de OS que é a
componente y do vetor , isto é, vy.
Desta forma:
Obtendo-se, assim, a fórmula que determina o módulo ou norma através das componentes do vetor:
EXEMPLO
Determine o módulo dos vetores :
SOLUÇÃO
SAIBA MAIS
Seja um triângulo ABC
Fonte:Autor
Na Geometria existe um teorema que diz que o comprimento de um dos lados é sempre menor do que a soma dos outros dois
lados. Repare que, se um dos lados fosse a soma dos outros, não haveria um triângulo formado.
Se e , então AC será a soma dos dois vetores: 
Dessa forma, os lados dos triângulos serão os módulos dos vetores e . Usando o mesmo teorema da
Geometria, obtemos , que é denominada de Desigualdade Triangular.
Desta desigualdade podemos definir outras:
a) Se substituirmos por -
Então
b) Se substituirmos o vetor por -
OPERAÇÕES BÁSICAS NO PLANO OU NO ESPAÇO
Retornando às operações básicas dos vetores, vistas no módulo anterior, vamos agora aplicá-las para o caso do R2 e R3.
Assim, temos:
MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL
Seja , onde k é o número real.
Então: 
Fonte:Autor
A multiplicação por um número real positivo tem como resultado um vetor de mesma direção, mesmo sentido e de tamanho
alterado para k vezes o módulo do vetor original. Caso o k seja negativo, o vetor altera também o sentido. Se , o novo
vetor aumenta em relação ao anterior, porém, se , ocorre uma redução do tamanho.
ADIÇÃO ENTRE VETORES
Seja
Então 
Se , seria semelhante a multiplicar o vetor por -1 e somar ao vetor 
Então 
Geometricamente, podemos representar a soma e a subtração de vetores, no plano ou no espaço, pela regra do
paralelogramo.
Fonte:Autor
Pode-se usar a Lei de Cossenos para calcular o módulo da soma dos vetores, , e da diferença dos vetores, 
.
e
EXEMPLO
1. Determine o módulo do vetor , sendo (1 ,2 , −1) e (0 ,1 ,3).
SOLUÇÃO
Assim,
VERSOR DE UM VETOR
ÀS VEZES TORNA-SE NECESSÁRIO DEFINIR-SE UM VETOR UNITÁRIO EM UMA DETERMINADA DIREÇÃO
E SENTIDO. ESTE VETOR UNITÁRIO É CONHECIDO POR VERSOR.
Um vetor pode ser representado pela forma = , isto é, seu módulo multiplicado pelo versor que define a sua direção e
sentido.
Por exemplo, imagine que eu queira um vetor que tenha a mesma direção e sentido do que o vetor , mas que tenha
módulo k. Se eu definir estaria errado, pois , e o módulo de só seria k se o módulo de fosse unitário.
Preciso, portanto, definir o vetor unitário que tenha a direção e o sentido do vetor , com notação ou , que é denominado
de versor: 
Como é uma constante positiva, terá a mesma direção e sentido do que , mas com módulo 
Retornando ao nosso exemplo, o correto, então, é definir que , pois . Agora, sim, ele teria a mesma
direção e sentido do que , que são os mesmos do que e módulo k.
 ATENÇÃO!
Uma aplicação direta do versor é a definição dos vetores unitários canônicos que definem as direções e sentidos do sistema
cartesiano. Desse modo, a direção de x é definida pelo vetor , a direção de y por e a direção de
z por . No caso do plano, haveria os vetores .
Qualquer vetor pode ser representado através dos vetores unitários canônicos, pois podemos considerar um vetor como sendo
a soma de três vetores ortogonais.
Seja , vamos definir os vetores , e , assim, 
Mas, podemos definir estes vetores através dos vetores unitários
EXEMPLO
1. Determine o versor do vetor (3, 0, -4):
SOLUÇÃO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma caixa de de massa percorre um piso liso com uma aceleração de 2m/s2. A direção e o sentido do movimento são
definidos pelo vetor unitário . A força que gera o movimento tem vetor representado por , com a real.
Determine o valorde a e b.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. O VETOR U→ TEM ORIGEM NO PONTO D (4, 6, -2) E EXTREMIDADE NO PONTO C (2, 0, 1).
DETERMINE O VETOR V→ = -U→.
A) (-2, -6, 3))
B) (0, 6, 3)
C) (2, 6, -3)
D) (6, 1, -3)
2. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR (2, 4, - 5).
A) 3√5
B) 45
C) 1
D) 5√3
3. SEJA Û O VERSOR DO VETOR U→ (3, 0. −4). DETERMINE AS COORDENADAS DO VETOR Û.
A) (3, 0, -4)
B) 35, 15, 45
C) 35, 0, -45
D) -35, 0, 45
4. DETERMINE O VETOR W→ QUE TEM MÓDULO 6 E TEM A MESMA DIREÇÃO E SENTIDO DO
VETORU→ = 2X^ - Y^ + Z^.
A) (−26, 6, −6)
B) (26, 6, −6)
C) (-26, 6, 6)
D) (26, -6, 6)
5. DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE V→ POR U→. SABE-SE QUE O MÓDULO DE U→
VALE 5 E O MÓDULO DE V→ VALE 12. OS DOIS VETORES SÃO ORTOGONAIS.
A) 12
B) 15
C) 13
D) 10
6. DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE U→ POR V→. SABE-SE QUE O MÓDULO DE U→
VALE 3 , O MÓDULO V→ VALE 4 E O ÂNGULO FORMADO POR ELES VALE 60°.
A) 15
B) 13
C) 17
D) 11
GABARITO
1. O vetor u→ tem origem no ponto D (4, 6, -2) e extremidade no ponto C (2, 0, 1). Determine o vetor v→ = -u→.
A alternativa "C " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e espaço.
𝑢→=DC→=𝐶−𝐷=(2−4, 0 – 6, 1 – (– 2))=( −2, −6 , 3) → 𝑣→=−𝑢→=( 2 , 6 , −3)
Outra forma de fazer é que como
𝑣→=−𝑢→= 𝐶𝐷→=𝐷−𝐶=(4−2, 6−0, −2−1)=(2 , 6 ,−3)
2. Determine o módulo do vetor (2, 4, - 5).
A alternativa "A " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
Se 𝑣→(2,4,−5)
|𝑣→|=(22+44+(−5)2=4+16+25=45=35
3. Seja û o versor do vetor u→ (3, 0. −4). Determine as coordenadas do vetor û.
4. Determine o vetor w→ que tem módulo 6 e tem a mesma direção e sentido do vetoru→ = 2x^ - y^ + z^.
A alternativa "D " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de versor de um vetor.
𝑢→=2x^ -y^+ z^ = (2, –1, 1)
|𝑢→ |=𝑢z2 + uy2 + uz2=22 + (-1)2+12 = 4+1+1 = 6
u^=u→u→=162, -1 ,1=26,-16,16
w→=6u^=626,-16,16=26,-6,6
5. Determine o módulo da diferença de v→ por u→. Sabe-se que o módulo de u→ vale 5 e o módulo de v→ vale 12. Os
dois vetores são ortogonais.
6. Determine o módulo da diferença de u→ por v→. Sabe-se que o módulo de u→ vale 3 , o módulo v→ vale 4 e o
ângulo formado por eles vale 60°.
A alternativa "B " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
Usando a Lei dos cossenos
u→+v→2=u→2+v→2+2u→v→cosα = 32+42+2.3.4cos60°=9+16+24.0,5=37
Assim, u→+v→=37
u→-v→2=u→2+v→2-2u→v→cosα = 32+42-2.3.4cos60°=9+16-24.0,5=13
Assim, u→-v→=13
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR U→ QUE TEM ORIGEM NO PONTO A(–2, 4, 1) E
EXTREMIDADE NA ORIGEM DOS EIXOS.
A) 21
B) 21
C) 3
D) 3
2. O VETOR W→(0, 2A, 2B), COM A E B REAIS POSITIVOS, TEM MÓDULO 10 E APRESENTA A
MESMA DIREÇÃO E SENTIDO DO QUE O VETOR V→. DETERMINE O VALOR DE (A + B),
SABENDO QUE O VETOR V→(0, 𝑝, 4) TÊM MÓDULO 5.
A) 1
B) 7
C) 9
D) 11
GABARITO
1. Determine o módulo do vetor u→ que tem origem no ponto A(–2, 4, 1) e extremidade na origem dos eixos.
A alternativa "B " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e no espaço e módulo de um vetor.
u→=AO→=O-A=(2 , -4 , -1) 
u→=uz2+ uy2+uz2=22+(-4)2+(-1)2=4+16+1=21
2. O vetor w→(0, 2a, 2b), com a e b reais positivos, tem módulo 10 e apresenta a mesma direção e sentido do que o
vetor v→. Determine o valor de (a + b), sabendo que o vetor v→(0, 𝑝, 4) têm módulo 5.
A alternativa "B " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo de um vetor.
v→=vz2+ vy2+vz2=02+p2+42=p2+16=5
p2+16=25→p2=9→p=±3
v^=v→v→=150, p, 4=150, ±3, 4 
w→=10v^= 1050, ±3, 4=(0, ±6, 8) , mas como a e b são positivos, 2a = 6 e 2b = 8, então a = 3 e b = 4.
Assim, a + b = 7
 Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto.
INTRODUÇÃO
A operação matemática de multiplicação (produto) entre dois vetores não é definida. Em compensação, definimos três tipos de
produtos entre dois elementos vetoriais:
PRODUTO ESCALAR

PRODUTO VETORIAL

PRODUTO MISTO
Neste módulo, iremos definir estes produtos e apresentar algumas de suas aplicações.
PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO
Sejam os vetores e do R3.
Define-se o produto escalar entre e como:
COMO FOI OBSERVADO, O PRODUTO ESCALAR TEM COMO RESULTADO UM ESCALAR, ISTO É, UM
NÚMERO QUE PODE SER POSITIVO, NEGATIVO OU ZERO. O PRODUTO ESCALAR PODE SER DEFINIDO
PARA VETORES DO RN. PARA N > 3, ESTA OPERAÇÃO SERÁ DENOMINADA APENAS DE PRODUTO
INTERNO.
O produto escalar apresenta algumas propriedades:
COMUTATIVA MULTIPLICAÇÃO POR REAL DISTRIBUTIVA
, onde k é real
 IMPORTANTE!
Repare que 
Assim, 
EXEMPLO
1. Dados os vetores (2, 2) e (– 1, 3), determine o produto escalar entre os vetores e - .
SOLUÇÃO
PRODUTO VETORIAL OU PRODUTO EXTERNO
Sejam os vetores e do R3. Considere que o ângulo entre e vale .
Define-se o produto vetorial entre e , com notação X , tal que:
| x | 
direção X ortogonal a e a 
sentido: regra da mão direita
COMO O NOME INFORMA, O RESULTADO DO PRODUTO VETORIAL É UM VETOR QUE TEM DIREÇÃO
PERPENDICULAR AOS DOIS VETORES INICIAIS, SENDO, PORTANTO, UM VETOR PERPENDICULAR AO
PLANO FORMADO PELOS VETORES E .
Fonte:ShutterStock
A regra da mão direita permite identificarmos o sentido do vetor x .
Fonte:ShutterStock
Na regra da mão direita, o dedo indicador fica na direção/sentido do primeiro vetor do produto e o dedo médio do segundo
vetor. Assim, x será apontado para baixo, diferente de x .
O produto vetorial, de forma diferente do produto escalar, só é definido para o R3.
 IMPORTANTE!
O vetor x x . Eles terão mesmo módulo e mesma direção, mas pela regra da mão direita, mudando a ordem de e 
, terão sentidos contrários.
O produto vetorial apresenta algumas propriedades
a) Multiplicação por real: k ( x ) = (k x ) = ( x k ), onde k é real
b) Distributiva pelo produto vetorial: x ( + ) = x + x 
c) Se , isto é, se é paralelo a : x 
d) x = 0
e) x = ( x )
Seja = x , ao se resolver analiticamente a busca do vetor que atende às definições de produto vetorial, obtêm-se que:
 DICA
O sistema acima pode ser representado pelo cálculo de um determinante:
 x 
EXEMPLO
1. Determine o vetor x , sabendo que ( 1, 2, −1) e (0, 1, −2)
SOLUÇÃO
Você pode aplicar diretamente as equações, mas fazendo através do determinante, fica mais prático: x =
PRODUTO MISTO
Sejam os vetores do R3.
O produto misto, cuja notação é , é definido através de uma combinação entre produto escalar e produto vetorial.
[ , , ] = ( x ) . = . ( x )
 ATENÇÃO!
O produto misto só é definido no R3, e por ser o resultado de um produto escalar, fornece como resultado um escalar.
Ao se resolver analiticamente o produto misto, obtém-se uma expressão que pode ser representada pelo cálculo do seguinte
determinante:
 = 
 IMPORTANTE!
Se o produto misto é nulo, quer dizer que um dos três vetores é combinação linear dos outros dois. Em outras palavras, os três
vetores fazem parte de um mesmo plano no espaço. Assim, três vetores serão coplanares, isto é, pertencerão ao mesmo
plano, se e somente se, 
O produto misto apresenta algumas propriedades:
a) Multiplicação por real (k): 
b) 
c) 
EXEMPLO
1. Dados os vetores (0, 2, –5 ), (1, –1, 2) e (2, 0, –1 ). Determine o produto misto entre os vetores , e , nesta
ordem.
SOLUÇÃO
TEORIA NA PRÁTICA
Três aeronaves, que realizam um movimento retilíneo, têm velocidades dadas pelos vetores (a, 1, –1), (0, 2, 1) e (1, 0, 2 ).
Elas desejam voar de tal forma que as direções de seus movimentos formem um plano. Determine o valor de a, real, para que
isso ocorra.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. SEJAM U→(1, 2, –3) E V→(2, –2, 4). DETERMINE O PRODUTO ESCALAR ENTRE 2U→ E -3V→:
A) -14
B) 70
C) -84
D) 84
2. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR U→ + V→ , SABENDO QUE QUE U→(0, 12 , –5) E V→(0 , –4,
3).
A) 68
B) 78
C) 144
D) 68
3. DETERMINE O VALOR DE 2U→ X (-4V→). SENDO U→(1, –1, 0) E V→(2, 2, 1):
A) (8, 8, -32)B) (-8, -8, 32)
C) (24, 24, -32)
D) (8, -12, -32)
4. DADOS OS VETORES U→(1, 2, 3), V→(1, 1, 0) E W→(2, 1, -1), DETERMINE O PRODUTO MISTO
ENTRE OS VETORES U→, V→ E W→, NESTA ORDEM:
A) 2
B) -4
C) -2
D) 4
5. SEJAM OS VETORES U→(K, K, K), V→(2, 2, 1) E W→(2, -1, 2). DETERMINE O VALOR DE K,
SABENDO QUE O PRODUTO MISTO [U→, W→, V→] VALE O PRODUTO ESCALAR U→·V→
SOMADO A 6.
A) 34
B) -3
C) 3
D) 12
6. SEJAM OS VETORES U→(1, 2, 1) E V→(2, 1, 1). SABE-SE QUE W→ VALE DUAS VEZES O
PRODUTO VETORIAL DE U→ COM V→. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR W→:
A) 11
B) 211
C) 213
D) 13
GABARITO
1. Sejam u→(1, 2, –3) e v→(2, –2, 4). Determine o produto escalar entre 2u→ e -3v→:
A alternativa "D " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
2u→.-3v→=2.-3u→.v→ = 6u→ · v→
u→.v→=1.2+2.-2+-3.4=2-4-12=-14
Assim, 2u→·-3v→= u→·v→ =(-6)·(-14)=84
2. Determine o módulo do vetor u→ + v→ , sabendo que que u→(0, 12 , –5) e v→(0 , –4, 3).
A alternativa "A " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
u→+v→=0+0,12-4.-5+3=(0,8,-2)
(u→+v→).u→+v→=0.0+8.8+-2.-2=64+4=68
u→+v→=u→+v→.u→+v→=68
3. Determine o valor de 2u→ x (-4v→). Sendo u→(1, –1, 0) e v→(2, 2, 1):
A alternativa "A " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.
2u→ x (-4v→) = 2 . (-4) u→ x v→ = (-8) (u→ x v→)
u→ x v→ = x^y^z^xuyuzuxvyvzv=x^y^z^1-10221=-1.1 x^+2.0 y^+1.2 z^-0.2 x^-1.1 y^-2.-1 z^
= x^-y^+4 z^
(-8) (u→ x v→) = (-8.-1. -8.-1. -9.4=(8, 8, -32)
4. Dados os vetores u→(1, 2, 3), v→(1, 1, 0) e w→(2, 1, -1), determine o produto misto entre os vetores u→, v→ e w→,
nesta ordem:
5. Sejam os vetores u→(k, k, k), v→(2, 2, 1) e w→(2, -1, 2). Determine o valor de k, sabendo que o produto misto
[u→, w→, v→] vale o produto escalar u→·v→ somado a 6.
A alternativa "B " está correta.
u→, w→, v→ =xuyuzuxwywzwxvyvzv=kkk2-12221
u→, v→, w→=k.-1.1+2.2.k+2.2.k-1.2.k-2.2.k-2.-1k=3k
u→·v→=k.2+k.2+k.1= 5k
Assim, 3k = 5k +6 →2𝑘= −6 →𝑘= −3
6. Sejam os vetores u→(1, 2, 1) e v→(2, 1, 1). Sabe-se que w→ vale duas vezes o produto vetorial de u→ com v→.
Determine o módulo do vetor w→:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SENDO U→(1, 3, -2), V→(2, 0, 2) E W→(1, 1, 1), DETERMINE O PRODUTO ESCALAR ENTRE O
VETOR 2U→ + V→ E O VETOR W→:
A) 4
B) 6
C) 10
D) 8
2. SENDO U→(B, A, -1) E V→(2, 0, 2), DETERMINE O VALOR DE A+B SABENDO QUE U→ ×V→=
(2, 4, -2):
A) -2
B) -4
C) 2
D) 4
GABARITO
1. Sendo u→(1, 3, -2), v→(2, 0, 2) e w→(1, 1, 1), determine o produto escalar entre o vetor 2u→ + v→ e o vetor w→:
A alternativa "D " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
(2u→+v→).w→=2u→.w→+v.→w→
u→.w→=1.1+3.1+-2.1=1+3-2=2
v→.w→=2.1+0.1+2.1=2+0+2=4
Assim 2.2 + 4 = 8
2. Sendo u→(b, a, -1) e v→(2, 0, 2), determine o valor de a+b sabendo que u→ ×v→=(2, 4, -2):
A alternativa "A " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.
u→xv→=x^y^z^xuyuzuxvyvzv=x^y^z^ba-1202=2.a x^+2.-1y^+0.b z^-0.-1x^-2.by^-2.az^
=2ax^+-2-2by^-2az^
(2a, –2 – 2b, –2a) = ( 2, 4, -2)
Assim
2a = 2 →a=1 , – 2 – 2 b = 4 → 2b = –6 → b = –3 e –2a = –2 → a = 1
a + b = 1 – 3 = – 2 
 Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade
INTRODUÇÃO
O CONHECIMENTO DO ÂNGULO FORMADO POR DOIS VETORES PODE TER ALGUMAS APLICAÇÕES
PRÁTICAS, POR EXEMPLO, A VERIFICAÇÃO SE OS VETORES SÃO PARALELOS OU ORTOGONAIS.
Assim, torna-se necessária uma forma de obter o ângulo através das coordenadas vetoriais.
ÂNGULO ENTRE VETORES
O ângulo entre dois vetores é aquele definido entre suas orientações positivas, ou seja, suas setas.
Fonte:Autor
No módulo anterior, aprendemos a usar a Lei de Cossenos, então, uma forma para obter o ângulo dos vetores é através desta
solução:
ou
No entanto, existe uma forma mais simples para cálculo do ângulo entre vetores através do produto escalar. Pode ser provado
que 
Assim, 
Se conhecemos o ângulo entre dois vetores, podemos verificar o sinal do produto escalar através da equação dada:
a) Se se tem , então 
b) Se se tem , então 
c) Se se tem , então 
EXEMPLO
1. Determine o cosseno do ângulo formado entre os vetores (2, 2) e (-1, 3):
SOLUÇÃO
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO
Uma aplicação direta do produto escalar, versor e ângulo entre vetores é a determinação da projeção de um vetor sobre o
outro. Sejam dois vetores e que formam um ângulo α entre si. A projeção de sobre será denominada de 
Fonte:Autor
Mas 
EXEMPLO
1. Determine a projeção do vetor (1, 1, 1) sobre o vetor (3, 0, −4):
SOLUÇÃO
Assim,
CONDIÇÃO DE PARALELISMOS E ORTOGONALIDADE
A equação dada no item anterior nos permite conhecer o ângulo através do produto escalar, assim: 
Desse modo, se dois vetores e são ortogonais, isto é, com ângulo entre si de , então sendo esta a condição
de ortogonalidade.
Se dois vetores e são paralelos entre si, então = k , com k real.
Como já visto, neste caso x = 0. Sendo esta uma possível condição de paralelismo.
Outra opção é que se = k , k real, usando as propriedades básicas do vetor:
 IMPORTANTE!
As condições de ortogonalidade e paralelismo podem ser extrapoladas para a dimensão do Rn. Assim, dois vetores em Rn
serão ortogonais se seu produto interno for zero e serão paralelos se suas coordenadas forem proporcionais.
EXEMPLO
1. Determine o valor de b para que os vetores (2, b, 0) e (–1, 1, 3) sejam ortogonais.
SOLUÇÃO
Para serem ortogonais,
2. Determine o valor de a e b para que os vetores (2, b, a) e (–1, 1, 3) sejam paralelos.
SOLUÇÃO
Se u e v são paralelos, então
Assim,
b = -2 e a = (-3) . 2 = -6
TEORIA NA PRÁTICA
O trabalho de uma força (w), medido em Joule (J), é um conceito de Física que mede o efeito de uma força sobre um
deslocamento, logo, , em que é a força aplicada ao objeto e o vetor deslocamento feito pelo objeto. Uma caixa
de massa 2kg sofre o efeito de uma força (2, −2, 2)N. Com a aplicação desta força, a caixa se desloca do ponto A(– 1, 0, 2)
até o ponto B (3, 0, 1). Determine o trabalho provocado por esta força na caixa durante este deslocamento.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES U→ (1, 1,1) E V→ 12, 12, 0:
A) arccos32
B) arccos22
C) arccos63
D) arccos23
2. DETERMINE K + P PARA QUE OS VETORES U→(3, K, P+1) E V→(1, 2, -2) SEJAM PARALELOS:
A) 0
B) 1
C) -1
D) -2
3. DETERMINE K PARA QUE OS VETORES U→(3, K, K+1) E V→(1, 2, -1) SEJAM ORTOGONAIS:
A) 0
B) 1
C) -1
D) -2
4. DETERMINE O MÓDULO DA PROJEÇÃO DO VETOR U→(4, 0, 2) SOBRE O VETOR V→(2, 1, -1):
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
5. DOIS VETORES, K→ E H→ , SÃO ORTOGONAIS ENTRE SI. SABE QUE K→(2, 1, 2) E QUE
K→ - H→ VALE 5. DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE A, SABENDO QUE H→(A, 0, B), COM A E
B REAIS.
A) ±23
B) ±2
C) ±22
D) ±3
6. O ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES U→ 𝑒 V→ VALE 45°. O MÓDULO DO VETOR U→ VALE 2.
QUANTO VALE O PRODUTO ESCALAR ENTRE U→ E O VERSOR DO VETOR V→?
A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
GABARITO
1. Determine o ângulo formado pelos vetores u→ (1, 1,1) e v→ 12, 12, 0:
2. Determine k + p para que os vetores u→(3, k, p+1) e v→(1, 2, -2) sejam paralelos:
A alternativa "C " está correta.
Se u e v são paralelos, então xvxu=yvyu=zvzu→13=2k=-2p+1
Assim, k = 2.3 = 6 e p + 1 = (–2).3 = – 6 → p = – 7 
Então, k + p = 6 – 7 = –1 
3. Determine k para que os vetores u→(3, k, k+1) e v→(1, 2, -1) sejam ortogonais:
4. Determine o módulo da projeção do vetor u→(4, 0, 2) sobre o vetor v→(2, 1, -1):
A alternativa "C " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
v→=vz2+ vy2+vz2=22+12+(-1)2=4+1+1=6
v^=v→v→=162,1,-1=63,66,-66
u→.v→=4.2+0.1+2.-1=6 
assim, P→UV=u→.v→v∧v=26,6,-6
O módulo do vetor vale 262+62+-62 = 24+6+6=36 = 6
5. Dois vetores, k→ e h→ , são ortogonais entre si. Sabe que k→(2, 1, 2) e que k→ - h→ vale 5. Determine o valor da
constante a, sabendo que h→(a, 0, b), com a e b reais.
A alternativa "C " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de ortogonalidadeentre os vetores.
Se os vetores são ortogonais então k→· h→ = 0
Assim, 2.a + 1.0 + 2.b = 0 →2a+2b=0 →a=-b
k→=22+12+22=4+1+4=9=3
Se os vetores são ortogonais, usando o teorema de Pitágoras h→=52-32=4
Fonte: Autor
Assim, h→=a2+02+b2=4→a2+b2=16→a2+(-a)2=16→a2=8→a=±22
Se não fosse observado o triângulo retângulo, poderia ser achado o vetor k→-h→=(2-a, 1, 2-b)
Assim, k→-h→=2-a2+1+2-b2=5→2-a2+1+2-b2=25
2-a2+2-b2=24→2-a2+2-(-a)2=24
4-4a+a2+4+4a+a2=24→8+2a2=24→2a2=16→a=±22
Dando o mesmo resultado.
6. O ângulo entre dois vetores u→ 𝑒 v→ vale 45°. O módulo do vetor u→ vale 2. Quanto vale o produto escalar entre
u→ e o versor do vetor v→?
A alternativa "B " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
cos∝=u→.v→u→v→=cos450=22→ u→.v→v→=22.2=1
Mas u→.v^=u→.v→v→=u→.v→v→=1
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES U→(1, 3, -2) E V→(2, 0, 2).
A) -714
B) 714
C) -314
D) 3714
2. DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE K PARA QUE OS VETORES U→(1, K, -2) E V→ ( 1, 1, 1)
SEJAM ORTOGONAIS.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
GABARITO
1. Determine o cosseno do ângulo formado pelos vetores u→(1, 3, -2) e v→(2, 0, 2).
A alternativa "A " está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
u→.v→=1.2+3.0+-2.2=2-4= -2 
u→=uz2+ uy2+uz2=12+32+(-2)2=1+9+4=14
v→=vz2+ vy2+vz2=22+02+22=4+0+4=8
cos∝=u→.v→u→v→=-2148=-247=-714
2. Determine o valor da constante k para que os vetores u→(1, k, -2) e v→ ( 1, 1, 1) sejam ortogonais.
A alternativa "B " está correta.
Parabéns! Você entendeu a condição de ortogonalidade .
u→.v→=1.1+k.1+-2.1=1+k-2=k-1 
Para serem ortogonais
u→.v→=0 →k-1=0 →k=1
CONCLUSÃO
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. p. 119-180.
APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. Espanha: Editorial Reverte SA, 1985. p. 519-536.
HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra. 2. ed. Nova Jersey: Prentice-Hall, 1971. p. 28-39.
PEREIRA, Paulo. Cálculo é fácil - Cálculo 1: aulas 2 a 15, In: Equaciona com Paulo Pereira, Youtube. Publicado em: 8 mar.
2019
SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMJ, 2012.
p. 132-208.
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