Potenciação

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Potenciação 
 
Desafio 
O uso da potenciação e de suas propriedades contribui para aumentar a 
eficiência e a confiabilidade nos resultados de cálculos que surgem em situações 
aplicadas nas mais diversas profissões, estando presente inclusive no dia a dia 
de pequenos empreendedores. 
Imagine que você é proprietário de um buffet e está decidindo o cardápio para 
um evento em que sua empresa foi contatada. 
Você sabe que se o processo de descongelamento das carnes não for correto, 
há aparecimento de bactérias que tornam o produto impróprio para consumo. 
Nas aulas de manipulação de alimentos, você aprendeu que o número de 
bactérias (B) cresce em função do tempo (t) de descongelamento, medido em 
horas, e é dado pela operação: B(t) = t³. Segundo a vigilância sanitária, o número 
máximo de bactérias permitido é 512 por peça de carne. 
Nessa situação, qual será o período máximo de descongelamento para que o 
número de bactérias não exceda o máximo permitido? 
 
Padrão de resposta esperado 
Como o máximo de bactérias permitido é 512 por peça de carne, temos: 
B(t) = 512. 
Na fórmula B(t) = t³, teremos: 512 = t³. 
Ou seja, precisamos saber qual número elevado ao cubo tem como resultado 
512. 
Sabemos que 8³ = 512. 
Deste modo, você poderá deixar as carnes em processo de descongelamento 
por, no máximo, 8 horas para que o número de bactérias não exceda o máximo 
permitido, que é de 512 por peça. 
 
1 Ao simplificar a expressão numérica 
𝟐
𝟑
𝟐∙4
3
5
√𝟑𝟐
 , utilizando propriedades da 
potenciação, obtemos: 
Você acertou! 
B. 2
1
5 
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 4 por 2² e 32 por 
25. Depois utilizamos a propriedade de potência de potência, para finalmente 
aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão de potências de mesma 
base: 
2
3
2. 4
3
5
√32
=
2
3
2. (22)
3
5
(25)
1
2
=
2
3
2. 2
6
5
2
5
2
=
2
27
10
2
5
2
= 2
2
10 = 2
1
5
 
2 Suponha que x, y e z sejam diferentes de zero. Utilizando propriedades 
da potenciação para reescrever a expressão
9.√𝑥.𝑦5.𝑧0
(3.𝑥2.𝑦3.𝑧)²
 e mantendo todos os 
fatores no numerador, obtemos: 
 
Você acertou! 
D. 𝑥
−7
2 . 𝑦−1. 𝑧−2 
 
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 9 por 3². Depois 
utilizamos a propriedade de potência de potência no denominador da fração, 
para finalmente aplicar a propriedade da divisão de potências de mesma base. 
Para manter todos os fatores no numerador, utilizamos o expoente negativo. 
Lembramos também que 30 = 1. 
9. √𝑥. 𝑦5. 𝑧0
(3. 𝑥2. 𝑦3. 𝑧)²
=
3². 𝑥
1
2. 𝑦5. 𝑧0
3². 𝑥4. 𝑦6. 𝑧²
=30. 𝑥
−7
2 . 𝑦−1. 𝑧−2 = 𝑥
−7
2 . 𝑦−1. 𝑧−2
 
3 Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa recebe após aplicar 
um capital (C) a uma taxa (i) durante um tempo (t). No regime de 
capitalização composto, a expressão do montante é dada por M = C(1+i)t. 
Suponha que um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a uma taxa mensal de 
1% ao mês. Qual é o montante após 6 meses? 
Você acertou! 
A. R$ 21.230,40 
Vamos utilizar a fórmula do montante, substituindo t por 6, i por 0,01 (pois 1% = 
1/100) e C por 20000. Lembre que antes de calcular a potência é preciso calcular 
a expressão de dentro dos parêntesis. Assim: 
M = C(1+i)t = 20000(1+0,01)6 = 20000(1,01)6= R$ 21.230,40 
4 O proprietário de uma indústria estimou que ao inaugurar uma nova 
filial, a produção mensal, em toneladas é dada pela expressão P = 200 – 
180.9–0,05t, onde t é o número de meses contados a partir da inauguração 
da nova filial. Após dez meses da inauguração, qual será a produção 
atingida? 
 
Você acertou! 
C. 140 toneladas 
 
Queremos saber qual a produção após 10 meses. Então vamos substituir t por 
10 e calcular a expressão numérica, utilizando as propriedades de expoente 
negativo e fracionário. 
𝑃 = 200 − 180. 9−0,05.10 = 200 − 180. 9−0,5
=200 − 180. 9
−1
2 = 200 −
180
9
1
2
=200 −
180
√9
= 200 −
180
3
=200 − 60 = 140𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠
 
5 Alguns equipamentos podem sofrer perda de valor a medida que o tempo 
passa, esse fenômeno é chamado depreciação. Imagine que uma máquina 
sofre depreciação exponencial de modo que seu valor, em reais, após t 
anos de uso é dado pela expressão V = 10000 – 80000.(2)– t. Qual o valor 
dessa máquina após 5 anos de uso? 
 
Você acertou! 
D. R$ 7.500,00 
 
Queremos saber qual o valor da máquina após 5 anos de uso. Então basta 
substituir t por 5 e calcular a expressão numérica. Vamos utilizar a propriedade 
do expoente negativo: 
𝑉 = 10000 − 80000. (2)−5 = −10000 − 80000.
1
25
=10000 −
80000
32
= 10000 − 2500 = 𝑅$7500,00