Apostila Cálculo II

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CÁLCULO II
Kelen P da Silveira
2CÁLCULO II
SUMÁRIO
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC
Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107. 
Caxias do Sul/ RS 
REITOR
Claudino José Meneguzzi Júnior
PRÓ-REITORA ACADÊMICA
Débora Frizzo
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
Altair Ruzzarin
DIRETORA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (NEAD)
Lígia Futterleib
Desenvolvido pela equipe de Criações para o 
ensino a distância (CREAD)
Coordenadora e Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Igor Zattera, Leonardo Ribeiro 
Revisora
INTRODUÇÃO 4
Habilidades do estudante 6
Integração 6
ANTIDERIVAÇÃO: A INTEGRAL INDEFINIDA 7
Aplicações práticas da integral indefinida 14
Problemas propostos 23
A INTEGRAL DEFINIDA 25
Definições de variação acumulada e total 26
Área como uma integral definida 33
Aplicações em economia e finanças 35
Problemas propostos 42
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 44
O método da substituição 49
Identidades algébricas e substituições trigonométricas 52
Método de frações parciais 53
Substituições trigonométricas 57
Problemas propostos 60
INTEGRAÇÃO POR PARTES 62
Problemas propostos 68
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 69
Limites de integração infinitos 73
Integrandos infinitos em intervalos finitos 76
Problemas propostos 79
Tabelas de integrais 80
3CÁLCULO II
Caro aluno, seja bem-vindo ao Cálculo II! 
Esta disciplina é uma das mais importantes dentro do estudo das engenharias e pode ser 
aplicada em outras disciplinas logo a diante no seu curso.
A matemática envolve uma extensa hierarquia de conceitos. Historicamente foi preciso tempo 
e esforço até que fossem estabelecidos todos os conceitos matemáticos relacionados ao cálculo 
de áreas: a derivada, a integral, uma relação entre as duas operações, como sendo uma a inversa 
da outra (SKEMP, 1976).
O aprendizado que você adquiriu no cálculo diferencial lhe permitiu calcular alguns problemas 
de taxas de variação, além de permitir a definição de coeficientes angulares de curvas, grandezas 
como velocidade e a aceleração de corpos em movimento, entre outras aplicações.
Os conceitos e exercícios já estudados na disciplina de Cálculo I serão de extrema importância 
para continuidade do estudo das novas técnicas e demais tópicos desta disciplina de Cálculo Integral 
II. Os conteúdos abordados nesta disciplina requerem que você tenha conhecimento sobre limite, 
continuidade e derivada de função de uma variável, todos estes já praticados por você na disciplina 
de Cálculo I.
Lembra das equações derivadas? 
É recomendado que recupere as suas anotações!
4CÁLCULO II
INTRODUÇÃO
O cálculo integral irá lidar com problemas para 
determinação de funções a partir de informações 
a respeito de taxas de variação, permitindo assim o 
cálculo, por exemplo, de áreas de regiões irregulares, 
conforme ilustração a seguir.
Serão apresentados neste material, conceitos 
importantes sobre Cálculo Integral, os diferentes 
métodos de integração e suas aplicações.
Durante todo o material serão apresentados variados exemplos resolvidos, os quais serão uma ferramenta 
muito útil para sua compreensão e posterior resolução das atividades.
O estudo de Cálculo II será muito mais produtivo à medida que forem realizados os exercícios propostos, 
inclusive refazendo os exemplos, pois quanto mais você praticar, melhor será seu desempenho na resolução 
das atividades propostas.
Integral
5CÁLCULO II
No estudo à distância, além do material 
disponibilizado como as videoaulas e apostilas, se 
faz necessário o uso de um material de anotações 
para compreensão dos cálculos desenvolvidos. Uma 
das melhores práticas para resolvemos os exemplos 
e exercícios propostos, é de forma manuscrita, pois a 
partir do momento que você transcreve os cálculos 
há uma fixação da metodologia utilizada.
Observe na ilustração a seguir, uma combinação 
de conceitos sobre a integração, propriamente dita, 
funções, limites, gráficos para cálculo de área, as 
integrais indefinidas e as integrais definidas com 
funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais. 
No que se refere à integração múltipla, você terá outras 
oportunidades de aplicação nas próximas disciplinas.
6CÁLCULO II
Habilidades do Estudante
Ao final desta disciplina, é esperado que você tenha habilidades 
para calcular integrais, usando as técnicas de integração e tabela 
de integrais.
 Durante a graduação em Engenharia você irá necessitar 
aplicar os conceitos e técnicas estudadas no Cálculo II para outras 
disciplinas com aplicações específicas e, por isso se faz necessário 
esta imersão no estudo da integração.
Integração
Relembrando: na disciplina de Cálculo I, durante o estudo da 
derivada primitiva, tínhamos uma função e obtivemos, a partir 
dela, outra, a que chamamos de derivada. 
Será fundamental o uso dos conceitos e regras de derivação 
estudadas por você até este momento para resolução dos diferentes 
métodos de integração que serão trabalhados neste material.
7CÁLCULO II
ANTIDERIVAÇÃO: 
A INTEGRAL 
INDEFINIDA
O Cálculo Diferencial é baseado no conceito de derivada, 
já o Cálculo Integral baseia-se no conceito de integral. Tanto 
a integral quanto a derivada são importantes em razão de suas 
aplicações, tais como: problemas que envolvem movimento e 
velocidade, crescimento populacional, comprimento de área, 
volume, área de superfície, centro de gravidade, momento, etc...
O processo de obter uma função a partir de 
sua derivada é chamado de antiderivação ou 
integração indefinida.
8CÁLCULO II
Em Cálculo I a questão básica a ser encontrada era:
Já em Cálculo II a questão básica a ser encontrada será:
Exemplo:
Qual a função cuja derivada é a função F’(x) = 2x?
F(x) = x2 pois x2 = 2x
A função F é chamada de uma antiderivada de F’.
Definição:
Uma antiderivada da função f é função F tal que
F’(x) = f(x)
Em todo ponto onde f(x) é definida.
Exemplo:
Usaremos a representação f(x) e F(x), onde a função deri-
vada é f(x) e a função antiderivada é F(x).
f(x) (derivada) F(x) (antiderivada)
1 x
2x x2
x3 x4
cos x sin x
Sabemos que F(x)=x3 é uma antiderivada de F’(x)=3x2, 
como o são também as funções G(x)=x3+π e H(x)=x3+√3. 
Na verdade, J(x)=x3+C é uma antiderivada de F(x)=3x2 para 
qualquer valor de C.
Este resultado está apresentado no seguinte teorema.
Teorema 1: A antiderivada mais geral.
Se F ‘(x) = f (x) em todo ponto do intervalo aberto I, 
então toda antiderivada G de f em I tem a forma:
G’(x) = F(x) + C
Onde C é uma constante.
A derivada de uma função dada.
Uma função cuja derivada é dada.
d
dx
 1
4
9CÁLCULO II
Diante do exposto, podemos concluir que uma única função 
tem muitas antiderivadas. A coleção de todas as antiderivadas 
da função F’(x) é chamada Integral Indefinida (ou antidife-
rencial) de f com relação a x e denotada por ∫ f(x)dx.
De acordo com o Teorema 1, podemos escrever:
∫ f(x)dx = F(x) + C
Onde, C é uma constante de integração.
A integral é “indefinida” porque envolve uma constante C 
que pode assumir qualquer valor. Na sequência discutiremos 
uma integral definida que possui um valor numérico específico 
e é usada para representar várias grandezas, como área, valor 
médio, valor atual, entre outros exemplos (HOFFMANN, 
2008).
No contexto da integral indefinida ∫ f(x)dx = F(x) + C, o 
símbolo ∫ é chamado de sinal de integração, a função f(x) 
é chamada de integrando, C é a constante de integração e 
dx é uma diferencial usada para indicar que x é a variável de 
integração. Estes elementos estão assinalados no diagrama a 
seguir para a integral f(x) = 3x2.
∫ 3x2 dx = x3 + C
Consideraremos a combinação ∫ … dx como um único 
símbolo. No espaço pontilhado coloca-se a fórmula da função 
para a qual se procura a antiderivada.
A diferencial dx na equação ∫ f(x)dx = F(x)+C indica que a 
variável independente é x, mas pode-se trabalhar com qualquer 
variável independente.
Exemplo:
∫ 3t2dt = t3 + C , ∫ 3y2dy = y3 + C e ∫ 3tu2du = tu3+C
Sabemos que a operação de antiderivação é linear, o que 
Integrando Constante
de integração
Sinalde Integração Variável de Integração
10CÁLCULO II
nos permite escrever:
∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx
Onde c é uma constante e 
∫ [ f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
A integração e a diferenciação são operações inversas uma 
da outra. Este fato nos permite obter a integração diretamente 
das fórmulas de diferenciação.
Teorema 2: algumas fórmulas de integração.
∫ dx = x + C
∫ xndx = + C(sen≠ -1)
∫ cos u du = sin u + C
∫ sin u du = -cos u + C
∫ sec2u du = tan u + C
∫ csc2 u du= -cot u + C
∫ sec u tan u du = sec u + C
∫ csc u cot u du = -csc u + C
A ligação que existe entre derivação e antiderivação permite 
obter regras de antiderivação a partir de regras de derivação 
já conhecidas.
Regras para integrar funções comuns
Regra da constante: ∫ k dx = kx + C para k constante
Regra da potência: ∫ xndx = + C para qualquer n≠ -1
Regra do logaritmo: ∫ dx = ln |x| + C para qualquer x ≠0
Regra da exponencial: ∫ ekxdx = ekx + C para k constante ≠ 0
Essas regras também estarão disponíveis em tabelas de 
integrais, para cada técnica ou método de integração, conforme 
apresentado ao final deste material.
Regras algébricas para integração indefinida
Regra da multiplicação por uma constante
∫ k f(x)dx = k ∫ f(x) dx para k constante
Regra da Soma ∫ [ f(x)] + g(x) dx = ∫ [ f(x)]dx + ∫ g(x) dx
Regra da Diferença ∫ [ f(x)] - g(x) dx = ∫ [ f(x)]dx-∫ g(x) dx
Para demonstrar a regra da multiplicação por uma cons-
tante, basta observar que, se dF/dx = f(x), temos:
[kF(x)] = k =kf(x)
E, portanto:
∫ k f(x)dx = k ∫ f(x) dx
As regras da soma e da diferença podem ser representadas 
de forma análoga.
 xn+1
n+1
 xn+1
n+1
 1
x
 1
k
 d
dx
 d
dx
11CÁLCULO II
 1
√x
Exercícios:
Determine as seguintes integrais:
a. ∫ 3dx
b. ∫ x17dx
c. ∫ dx
d. ∫ e-3xdx
Solução
a. Usando a regra da constante k = 3:
∫ 3dx = 3x + C
b. Usando a regra da potência com n = 17:
∫ x17dx = + C
c. Usando a regra da potência com n = - , como n + 1 = :
∫ = ∫ x dx = x1/2+ C = 2√x + C
d. Usando a regra da exponencial com k = -3:
∫ e-3xdx = e-3x + C
 x18
18
 1dx
√x
 1
1/2
 1
2
 1
2
 -1
 2
 1
-3
Acompanhe o raciocínio:
Observe com atenção os sinais das 
equações. Nos exercícios resolvidos você 
tem uma excelente oportunidade de com-
preender os conceitos na prática. 
Não deixe qualquer dúvida para sanar 
depois, por isso use marcadores nas suas 
anotações, nos cálculos manuscritos realce 
os pontos mais complexos para seu bom 
entendimento. 
Estes exercícios resolvidos irão te auxi-
liar na resolução de novos exercícios, pois o 
Cálculo II se aprende praticando diferentes 
exercícios, aplicando as regras e fórmulas.
12CÁLCULO II
Vamos exercitar com mais alguns exemplos?
1. ∫ dx
∫ dx = x + C 
2. ∫ 3√x2dx
∫ 3√x2dx = ∫ x2/3dx = + C = + C = 3/5 x5/3 + C
3. ∫ dx
∫ dx = ∫ x-5dx = ∫ x-5dx = + C = + C = - x4 = -
 x2/3 +1
2/3 + 1
 1
3x5
 1
3x5
 1
3
 1
3
 1
3
 1
3
 1
12
 1
 12x4
 x-5+1
-5+1
 x-4
-4
 x5/3
5/3
13CÁLCULO II
4. ∫ (x3 + 3√x - )dx
∫ (x3 + 3√x - )dx = ∫ (x3 + 3x1/2 - 4x-2)dx = ∫ x3dx + ∫ 3x1/2dx - ∫ 4x-2dx = + 3 - 4 = x4 + 2x√x - 4/x + C
5. ∫ dx
∫ dx = ∫ [x + 1]x ]dx = ∫ x + x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = + = x + 2x + C = √x3 + 2√x + C
6. ∫ (2 cos t + 5 sin t) dt
∫ (2 cos t + 5 sin t) dt = ∫ 2 cos t dt + ∫ 5 vvsin t dt = 2 ∫ cos t dt + 5 ∫ sin t dt = 2(sin t) + 5(- cos t) + C = 2 sin t - 5 cos t + C
 4
x2
 4
x2
 2
3
 2
3
 x + 1
√x
 x + 1
√x
 x +1
 + 1
 x +1
 + 1
-1 
2
 1 
2
-1 
2
 1 
2
-1 
2
1 
2
-1 
2
1 
2 3 
2
1 
2
-1 
2
 x4
4
 x3/2
3/2
 x-1
-1
 1
4
14CÁLCULO II
Aplicações práticas da integral indefinida
O uso de integral indefinida pode ser de muita utilidade 
para muitos cálculos do cotidiano de um engenheiro ou outro 
profissional.
Em muitos problemas, embora a derivada de uma função 
seja conhecida, torna-se necessário calcular a própria função. 
É o caso, por exemplo, de um sociólogo que conhecendo a taxa 
de crescimento da população, poderá usar tal dado para prever 
futuras taxas de crescimento da população; de um físico que, 
conhecendo a velocidade de um corpo, será capaz de determinar 
a posição futura do corpo; de um economista que, conhecendo 
a taxa de inflação, poderá fazer estimativas do preço, no futuro 
ou um engenheiro interessado em conhecer o preço de revenda 
de certa máquina, conhecendo a taxa de variação de seu valor 
em relação ao tempo.
Teorema 3: problema de valor inicial: PVI
= taxa
- f (t) = P (t) = ∫ f (t)dt = P (t) = F (t) + C
PVI = P (0) = P 0 = condição inicial
Equação diferencial é qualquer equação que envolve uma 
ou mais derivadas. As equações diferenciais são muito usadas 
em modelagem e aparecem em uma grande variedade de apli-
cações práticas do cálculo (HOFFMANN, 2008).
Problema de valor inicial é um problema que envolve a 
solução de uma equação diferencial sujeita a uma condição 
inicial específica. Assim, por exemplo, vamos determinar uma 
função y = d(x) tal que:
 = 3x2 + 1 com a condição de que y = 6 para x = 2
Resolvemos este problema de valor inicial encontrando a 
antiderivada:
y = ∫ (3x2 + 1)dx = x3 + x + C
E usando a condição inicial para determinar o valor de C.
 dP
dt
 dy
dx
 dP
dt
15CÁLCULO II
Vimos que a integral indefinida é a operação que permite 
a determinação de uma função a partir de sua derivada. As-
sim sendo, resolva os seguintes problemas de aplicação de tal 
conceito.
1. Estima-se que daqui a x meses, a população de certa cidade 
variará segundo a taxa de 2+6√x, milhares de pessoas por 
mês. A população atual é de 500 000 pessoas. Qual será a 
população daqui a 12 meses?
2. Os pontos (-1, 3) e (0, 2) estão em uma curva e em qualquer 
ponto (x, y) da curva = 2-4x. Ache uma equação da curva.
3. Um fabricante calculou que o custo marginal (derivada do 
custo), em reais, de uma produção de q unidades pode ser 
expresso pela função C(q) = 3q2 – 60q + 400. O custo de pro-
dução das duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual 
será o custo total de produção das cem primeiras unidades?
4. O preço de revenda de certa máquina decresce a uma 
taxa que varia com o tempo. Quando a máquina ti-
ver (t) anos de uso, a taxa de variação do seu valor será, 
em reais por ano, dada pela função F(t) = 200 (t – 10). 
Se a máquina foi comprada por R$ 12.000,00, quanto valerá 
daqui a 10 anos?
5. O lucro marginal (derivada do lucro) de uma fábrica, ao 
produzir q unidades, é de 100 -2q reais por unidade. Se o 
lucro obtido com a produção de 10 unidades é de R$ 700,00, 
qual será o lucro máximo da fábrica?
6. Em um lago, o gelo está sendo formado a uma taxa dada 
por = k√t, onde y é a espessura do gelo em centímetros, 
no instante t, medido em horas, desde o momento em que 
o gelo começou a se formar, e k é uma constante positiva. 
Determine y em função de t.
7. Considere os custos de se perfurar um poço de petróleo. 
Existem dois tipos de custos: custos fixos (que independem 
da profundidade do poço) e custos marginais (o custo adi-
cional de se perfurar mais um metro). Usando-se as duas 
informações, pode-se determinar o custo total C. O custo 
marginal depende da profundidade em que se está perfuran-
do: a perfuração torna-se cada vez mais cara, por metro, na 
medida em que se aprofunda cada vez mais para o interior do 
 d2y
dx2
 dy
dt
16CÁLCULO II
solo. Suponha que o custo fixo seja de 1.000.000,00 riais (o rial é a unidade monetária 
da Arábia Saudita), e o custo marginal é C’ (x) = 4000 + 10x, em riais/metro, onde x 
é a profundidade em metros. Determine o custo total (custo total = custo fixo + custo 
marginal) de se perfurar um poço com x metros de profundidade.
8. Um volante roda a razão dada pela equação ω = 80 – 12t + 3t2 onde ω é a velocidade 
angular em rotações por minuto. Determine o número de rotações que o volante faz 
nos primeiros3 segundos. Supor que r = 0 quando t = 0).
9. Em qualquer ponto (x, y) de uma curva = 1 - x2 e uma equação da reta tangente à 
curva no ponto (1,1) é y = 2 – x. Ache uma equação da curva.
10. A população P(t) de uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada uma obser-
vação está variando a uma taxa dada por = 200e0,1t + 150e-0,03t. Se a população era 
de 200.000 bactérias quando a observação começou, qual será a população 12 horas 
mais tarde?
11. Um varejista recebe um suprimento de 10.000 quilogramas de arroz que serão vendi-
dos um período de 5 meses à taxa constante de 2.000 quilogramas por mês. Se o custo 
de armazenamento é de 1 centavo por quilograma por mês, qual será o custo total de 
armazenamento durante os próximos 5 meses?
12. Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 
metros por segundo. Se o carro está a 65 quilômetros por hora ( 18 metros por segundo) 
quando o motorista pisa no freio, que distância o carro percorre até parar?
 d2y
dx2
 dP
dt
17CÁLCULO II
Resolução dos Exercícios:
1. = 2 + 6 √x
∫(2 + 6 √x)dx = 2x + 6 + C = 2 x + 4 (√x)3 + C
→ P (x) = 2 x + 4 (√x)3 + C
A população atual é de 500 000 pessoas.
→ P (o) = 500 milhares de pessoas → C = 500
Logo, P (x)= 2 x + 4(√x)3 + 500
A população daqui 12 meses será:
P (12) = 2*12 + 4(√12)3 + 500 = 24 + √1728 + 500 = 690,276
Obs.: No nosso caso consideremos P (o) = 500 000, o que mudou o resultado final para 
P (12) = 2*12 + 4(√12)3 + 500 000 = 5.0019 x 105 milhares de pessoas.
 dP
dx
 x
 1 
2
 3 
2
18CÁLCULO II
2. Temos que = 2 - 4x que é mesmo que y' = 2 - 4x
Sabemos que:
y' = ∫ (2 - 4x)dx = 2x - 2x2 + C 
e que:
y = ∫ (2x - 2x2 +C)dx = x2 - x3 + Cx + D
Como os pontos (-1, 3) e (0, 2) pertencem à curva 
y = x2 - x3 + Cx + D, podemos escrever que:
3 = (-1)2 -2/3(-1)3 + C (-1) + D
2 = (0)2 -2/3(0)3 + C(0) + D
Resolvendo o sistema formado por essas duas equações, 
podemos concluir que:
C = 2/3, D = 2 ey = x2 - x3 + x + 2
3. O custo marginal é expresso pela função: 
C’ (q) = 3q2 – 60q + 400
C (q) = ∫ (3q2 – 60q + 400) dq = q3 - 30 q2 + 400q + C
→ C(q) = q3 - 30q2 + 400q + C
→ C(2) = 23 - 30 (2)2 + 400*2 + C → C (2) = 900 - 688 = 212
→ C(100)= 1003-30(100)2+400*100+212 → C(100) = 740212
O custo total de produção das cem primeiras unidades será 
R$ 740.212,00.
4. = 220 (t - 10) → P (t) = ∫(t - 10)dt = 110t2 - 2200t + C
P (t) = 110t2 - 2200t + C
Como P (0) = 12000 → C = 12000 →
P (t) = 110t2 - 2200t + 12000
P (10) = 1000
Logo, daqui a dez anos a máquina valerá R$ 1.000,00.
 d2y
dx2
 2
3
 2
3
 2
3
 2
3
 dP
dt
19CÁLCULO II
5. O lucro marginal é de L' (q) = 100 -2q reais por unidade
L (q) = ∫ (100 - 2q)dq = 100q - q2 + C.
Como L(10) = 700,00 temos:
L (q) = 100q - q2 + C → L (10) = 900 + C = 700 → C = 700 - 900 = -200
Logo, L (q) = 100q - q2 + 200
O lucro máximo da fábrica será:
 = 0 → L' (q) = 100 - 2q = 0 → q = 50
L''(q) = -2 → q = 50 corresponde ao valor máximo.
Portanto, o lucro máximo da fábrica será L (50) = 2300, isto é, R$ 2.300,00
6. = k√t → y(t) = ∫ k√t dt = k(√t)3 + C
Como y = 0 quando t = 0, temos C = 0. Logo y(t) = k(√t)3
7. Custo fixo: 1.000.000,00 → C (0) = 1000000
Custo marginal:
C' (x) = 4000 + 10x → C (x) = ∫ (4000 + 10x)dx = 4000x + 5x2 + C
C (x) = 4000x + 5x2 + C → C (0) = C = 1000000
C (x) = 4000x + 5x2 + 1000000
 dL
dq
 dy
dt
 2
3 2
3
20CÁLCULO II
8. ω = 80 - 12t + 3t2
No de rotações é dado por
r (t) = ∫ (80 - 12t + 3t2)dt = 80t - 6t2 + t3 + C
Sabemos que quando t = 0 → r (0) = 80*0 - 6*(0)2 + (0)3 + C = 0 → C = 0
Temos que 1 seg = 1/60 min → 3 seg = 3/60 min,
Logo, r (t) = 80t - 6t2 + t3 e r (3/60) = 31881/8000 = 3,99 rotações.
9. Temos que = 1 - x2 e que a inclinação da reta y = 2 - x, tangente à curva no ponto (1,1), é -1. 
Isso quer dizer y'' = 1 - x2 e f ' (1) = -1.
Saberemos que y' = ∫ (1 - x2)dx = x - x3 + C e que f ' = + C = -1
Podemos concluir que C = -5/3.
Portanto, y' = x - x3 - 
Queremos achar a equação da curva, isto é,
y = f(x) = ∫ (x - x3 - )dx = x2 - x4 - x + D
Como o ponto (1,1) pertence à curva, podemos escrever que:
 12 - 14 - 1 + D = 1 → D = 
Portanto:
y = x2 - x4 - x +
 d2y
dx2
 1
3
 x
3
 5
3
 1
3
 1
2
 1
12
 5
3
 5
3
 13
3
 1
2
 1
2
 1
12
 1
12
 5
3
 5
3
 9
4
 9
4
21CÁLCULO II
10. Para determinar a população P(t), basta calcular a antide-
rivada de :
P(t) = ∫ dt = ∫(200e0,1t + 150e +-0,03t)dt
 = + + C
Como a população é de 200.000 bactérias para t = 0, temos:
P(0) = 200.00 = 2.000e0 - 5.000e0 + C = -3.000 + C
E, portanto, C = 230.000 e
P(t) = 2000e0,1t + 5000e-0,03t + 203.000
Assim, após 12 horas, a população é 
P(12) = 2000e0,1(12) + 5000e-0,03(12) + 203.000 ≈ 206.152
11. Seja S(t) o custo total de armazenamento (em reais) durante 
t meses. Como o arroz é vendido a uma taxa constante de 
2.000 quilogramas por mês, o número de quilogramas de 
arroz armazenados depois de t meses é 10.000 – 2.000t. 
Assim, como o custo de armazenamento é de 1 centavo por 
quilograma por mês, a taxa de variação do custo de arma-
zenamento com o tempo é:
dS/dt = (custo mensal por quilograma)(número de quilogramas)
= 0,01 (10.000 – 2.000t)
Assim, S(t) é a derivada de 0,01(10.000 – 2.000t) = 100 – 20t
Ou seja, S(t) = ∫ = ∫(100 - 20t)dt = 100 - 10t2 + C,
onde C é uma constante. Para determinar o valor de C, fa-
zemos uso do fato de que no instante em que o carregamen-
to chega (isto é, em t = 0) o custo é nulo e, portanto, 
0 = 100(0) -100(0)2 + C ou C = 0
Assim, S(t) = 100t – 10t2
E o custo total durante os cinco meses será
S(5) = 100(5) – 10(5)2 = R$ 250
 dP
dt
 dS
dt
 dP
dt
 200e0,1t
0,1
 150e-0,03t
-0,03
Regras da 
exponencial
e da soma
22CÁLCULO II
12. Seja s(t) a posição do carro t segundos depois que o motorista pisa no freio. Se o carro perde velocidade à razão de 6 metros 
por segundo. Isto significa que a(t) = -6 (o sinal negativo indica que a velocidade está diminuindo) e, portanto, = a(t) - 6
Integrando, descobrimos que a velocidade no instante t é dada por v(t)= ∫ -6dt = -6t + C1
Para determinar o valor de C1, observamos que v = 18 para t = 0 e, portanto, 18 = v(0) = -6(0) +C1
E C1 = 18. Assim, a velocidade no instante t é v(t) = -6t + 18.
Para determinar a posição s(t), começamos com o fato de que = v(t) = -6t + 18
Integrando, obtemos s(t) = ∫ (-6 + 18)dt = -3t2 + 18t + C2. Como s(0) = 0, C2 = 0 e s(t) = -3t2 + 18t
Finalmente, para determinar a distância percorrida pelo carro, observamos que, como a velocidade é nula no instante em 
que o carro para, temos: 
v(t) = -6t + 18 = 0
Resolvendo esta equação, descobrimos que o carro leva 3 segundos para parar e que a distância percorrida é de:
s(3) = -3(3)2 + 18(3) = 27 metros.
 dv
dt
 ds
dt
23CÁLCULO II
Problemas Propostos
1. Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade estará aumentando à razão de 
4 + 5t2/3 habitantes por mês. Se a população atual é de 10.000 habitantes, qual será 
a população daqui a 8 meses?
2. Jorge está fazendo um teste de aprendizado, no qual o tempo necessário para me-
morizar os elementos de uma lista é registrado. Seja M(t) o número de elementos 
que ele é capaz de memorizar em t minutos. A sua taxa de aprendizado é M’(t) = 
0,4t – 0,00t2
a. Quantos elementos Jorge é capaz de memorizar nos primeiros 10 minutos?
b. Quantos elementos a mais ele será capaz de memorizar durante os 10 minutos 
seguintes (de t = 10 a t=20)?
3. O lucro marginal com a venda de uma certa mercadoria é 100 – 2q reais por uni-
dade quando q unidades são produzidas. Quando 10 unidades são produzidas, o 
lucro é de R$ 700,00.
a. Determine a função de lucro P(q).
b. Qual é o nível de produção q para o qual o lucro é máximo? Qual é este lucro 
máximo?
Síntese
Neste capítulo nós tratamos do con-
ceito de integral indefinida e suas pro-
priedades. Aprendemos algumas regras 
para cálculo de integrais comuns e aindaresolvemos muitos exemplos práticos 
que envolvem as integrais indefinidas.
24CÁLCULO II
7. Calcule as integrais abaixo:
a. ∫ (3x2 + x4 + 1)dx;
b. ∫ dt;
c. ∫ e-xdx;
d. ∫ dx;
e. ∫ dx;
f. ∫ dx;
6. Calcule as integrais abaixo:
a. ∫ (2x + x4)dx;
b. ∫ cos2xdx;
c. ∫ 3e2xdx;
d. ∫ 3tdt.
4. Um fabricante estima a receita marginal em 200q-1/2 reais para um nível de produção q unida-
des. O custo marginal correspondente é 0,4q real por unidade. Se o lucro do fabricante é de R$ 
2.000,00 para um nível de produção de 25 unidades, qual é o lucro para um nível de produção 
de 36 unidades?
5. Um corpo está se movimentando de tal forma que sua velocidade após t minutos é 
v(t) = 3 + 2t + 6t2 metros por minuto. Que distância o corpo percorre no segundo minuto?
 x2ln x
ln x2
 t3 + 9
t2
 sen x
1-sen2 x
 4
1 - x2√
2
π
1
1
-2
0
0
0
25CÁLCULO II
A INTEGRAL 
DEFINIDA
Neste capítulo, vamos apresentar a noção de Integral De-
finida, a partir de um refinamento da estratégia de cálculo da 
variação total por meio de variações acumuladas.
Ao final, esperamos que você seja capaz de estimar a In-
tegral Definida de funções expressas em gráficos, fórmulas e 
tabelas. Em algumas situações bem especiais, esperamos que 
você seja capaz de determinar seu valor real. 
É importante ainda que você perceba que cálculos de áre-
as e de variações totais podem ser obtidos como uma Integral 
Definida; e que o cálculo de Integrais Definidas e de variações 
totais podem ser obtidas através do cálculo de áreas.
O cálculo da integral definida lhe permitirá 
determinar com precisão os resultados 
dentro de um intervalo.
26CÁLCULO II
Definições de variação acumulada e total
Antes de prosseguirmos, vamos apresentar definições dos 
conceitos que foram introduzidos no cálculo diferencial: va-
riação acumulada a uma taxa conhecida, variação total de uma 
função em um intervalo, e de partição de um intervalo.
1 Definição
A variação total de uma função y = F(t). num intervalo [a,b] 
é o valor ∆F = F(b)-F(a).
2 Definição
A variação acumulada a uma taxa de variação , constante 
em um intervalo de comprimento ∆t, é o valor .∆t.
3 Definição
Uma partição P de um intervalo [a, b] é qualquer sub-
divisão deste intervalo em intervalos menores de extremos 
a = t0 < t1 <...<tn-1 <tn= b, como representado na figura a seguir.
 x
No estudo de Introdução ao Cálculo Diferencial, a taxa 
de variação instantânea foi definida a partir da análise da taxa 
média:
em intervalos [a, b], de comprimentos cada vez me-
nores. Aqui, uma vez conhecida a taxa de variação de 
uma função F(t), estamos utilizando-a para estimar a 
variação total ∆F = F(b)-F(a) para intervalos [a, b].
Aproximações por meio da variação acumulada
∆F = F(b)-F(a)
a partir da taxa são obtidas e melhoradas para recuperar 
a ação da função F(t). Vamos explorar essas ideias ainda mais 
uma vez, no exemplo a seguir.
Exemplo: a expressão do volume V(t) a partir de:
Um balão de gás é cheio a uma taxa y = = 3t cm3/min.
Sabendo que o balão continha um volume inicial de 5cm3 
de gás, como obter a variação de seu volume no intervalo de 
tempo entre t = 0 e t = 3min?
 dF
dt
 dV
dt
 dF
dt
 dF
dt
 dF
dt
 dV
dt
[ [
a = t0 t1 t2 t3 ... ti-1 ti ... tn-1 tn = b
 ∆F
∆t
F(b)-F(a)
b - a=
27CÁLCULO II
Observe que a variação do volume solicitada é a variação 
total do volume de gás que foi acumulada, no intervalo de tem-
po à taxa de 3t cm3/min. O intervalo de tempo em estudo é o 
intervalo [0, 3]. Dividindo este intervalo em dois pedaços, ou 
seja, tomando n = 2, ele estará inicialmente dividido em subin-
tervalos de comprimentos iguais, que valem .
Nosso intervalo de tempo seria escrito como a união de 
dois subintervalos: o primeiro, [0, 3/2], de extremos 0 e 3/2; e 
o segundo, [3/2, 6/2], de extremos 3/2 e 6/2.
A proposta aqui é medirmos a variação acumulada a cada 
3/2 minutos, considerando que sua variação ocorra a uma taxa 
fixa em cada subintervalo, estimada a partir da taxa de variação 
real .
Observe que é uma função crescente.
Portanto, uma estimativa por falta do valor da varia-
ção acumulada do volume de gás nos primeiros 3/2 minutos 
seria
Isso quer dizer que, em [0, 3/2] uma estimativa por falta 
para ∆V = V ( ).V (0) = 
Nos últimos 3/2 minutos, uma estimativa por falta da 
variação acumulada do volume de gás seria
Desse modo, uma primeira estimativa para a variação to-
tal ∆V por meio da variação acumulada à taxa no 
intervalo de tempo [0, 3] é obtida quando adicionamos as 
variações em cada subintervalo e escrevemos:
∆V = (V( ) - V(0)) + (V(3) - V( )) ≈ 0. + . =
Observe, novamente, que as expressões das parce-
las entre parênteses podem ser canceladas, tendo como 
resultado V(3) – V(0).
Exemplo: aproximação por excesso para ∆V
Dando prosseguimento às estimativas do valor ∆V, po-
demos obter uma aproximação por excesso ainda com n = 2 e 
∆t = 3/2 como a seguir. Usando o fato de crescen-
te, basta considerarmos o valor , que é o maior valor da 
taxa de variação nos primeiros minutos, no cálculo do valor 
aproximado da variação do volume, correspondente então ao 
primeiro subintervalo de tempo [0, 3/2].
 ∆t 3 - 0 3 2 2= =
 dV
dty = = 3t
 dV
dty = = 3t
 dV
dty = = 3t
 dV
dty = = 3t
 dV
dt
 3
2(0) = 0
.( (
 dV
dt
 3
2(0) = 0
.( ( 32
 3
2( ) dVdt
 3
2
 3
2
 3
2
 3
2
=.( ( 92
 9
2
 3
2
 3
2
. = 274
 27
4
 3
2( ) dVdt
28CÁLCULO II
Ainda, tomamos no cálculo do valor aproximado da 
variação do volume, no segundo intervalo de tempo, [3/2, 6/2].
A variação acumulada no primeiro subintervalo é:
A variação acumulada no segundo subintervalo é:
Uma aproximação por excesso para a variação total ∆V no 
intervalo [0, 3] é dada por:
Exemplo: melhorando a estimativa para a variação total
Refinando o processo que estamos utilizando, podemos 
subdividir o intervalo [0, 3] em n=4 subintervalos, por exemplo, 
de comprimentos ∆t = ¾.
Em procedimento análogo ao anterior, aproximações por 
falta e por excesso para a variação total podem ser obtidas por 
meio da adição de variações acumuladas. 
Numa estimativa por falta, a variação total é aproximada-
mente:
∆V ≈ 0. + . + . + . =
Uma aproximação por excesso para a variação acumulada 
nos dá:
∆V ≈ . + . + . + 9. =
Recuperando Y = F(t) a partir de sua taxa = f (t) = t2
Em nosso último exemplo na primeira aula, recuperamos 
informações sobre a função y=V(t), a partir do cálculo de va-
riações acumuladas à taxa no intervalo [0, 3]. Em 
exercício final, ressaltamos que nossas estimativas parecem 
corresponder à medida de uma área, que naquele caso sabíamos 
encontrar.
Vamos retomar o procedimento utilizado naquele exercício 
e buscar informações sobre função y = F(t), cuja taxa de variação 
é y = f (t) = t2,no intervalo [0,1].
Vamos representar geometricamente o processo, verificando 
sua relação com o cálculo de áreas neste novo exemplo. 
Primeiro, dividimos o intervalo [0,1] em duas partes, ou 
 dV
dt (3)
 3
2( ) dVdt
 3
2 =
.( ( 92 32. = 274
 dV
dt
 3
2 =
.( ( 92 32. = 274(3)
 3
2( ) dVdt
 dY
dt
 3
2
 3
2+ =
.( ( 92 32 32. = =++3.3. 274 814 272( dVdt( (3)
 3
4
 9
4
 9
4
 3
4
 9
2
 9
2
 3
4
 3
4
 3
4
 3
4
 3
4
 3
4
 162
16
 183
16
 27
4
 27
4
 dV
dty = = 3t
29CÁLCULO II
seja, considerando uma partição em que n = 2. Neste caso 
∆t = 1/2, e teremos como subintervalos da partição os intervalos 
[0, ½] e [1/2, 1], de extremos [0, ½, 1]. 
Pelo fato da taxa de variação v = f (t) = t2 ser crescente, es-
timativas por falta e por excesso para ∆F serão calculadas como 
a seguir.
Exemplo: estimativas por falta para ∆F
Para calcularmos estimativas por falta ∆F para no su-
bintervalo[0, ½], consideramos a taxa de variação constante e 
igual ao valor de y = f (t) = t2 em t = 0, que é o extremo esquerdo 
do intervalo (menor valor da taxa de variação no subintervalo, 
no caso desta função).
Para o subintervalo [0, ½], consideramos a taxa de variação 
constante e igual ao valor de y = f (t) = t2 em t =1/2 , que é o 
extremo esquerdo do intervalo (que corresponde ao menor valor 
da taxa no subintervalo, no caso desta função).
A seguir, estes dados escritos para a estimativa por falta:
A variação total
∆F ≈ f(0) . ∆t + f( ) . ∆t = 0 . + . = .
Veja a representação destes dados no gráfico da Figura 1. 
Observe a região hachurada. Ela representa a estimativa por 
falta que obtivemos para a variação total ∆F
Figura 1: estimativa por falta para a variação total Fonte: (PINTO et al, 2008)
t 0 1/2
y = f(t) 0 (1/2)2
 1
2
 1
2
 1
2
 1
4
 1
8
y
t
1
4
y = t2
1 1
2
30CÁLCULO II
Exemplo: estimativas por excesso para ∆F
Ainda pelo fato da taxa de variação y = f (t) = t2 ser cres-
cente, estimativas por excesso para ∆F podem ser calculadas 
como a seguir:
No subintervalo [0, ½], considere a taxa de variação cons-
tante e igual ao valor de y = f (t) = t2 em t =1/2, que é o extremo 
direito do intervalo (que corresponde ao maior valor da taxa 
no subintervalo, no caso desta função).
No subintervalo [1/2, 1], considere a taxa de variação cons-
tante e igual ao valor de y = f (t) = t2 em t = 0, que é o extremo 
direito do intervalo (maior valor da taxa no subintervalo, no 
caso desta função).
A seguir, estes dados calculados para a estimativa por excesso:
∆F ≈ f( ) . ∆t + f(1) . ∆t = . + 1 . = .
Veja agora o gráfico da Figura 2 que representa estes dados. 
A região hachurada representa a estimativa por excesso que ob-
tivemos para a variação total ∆F. Você vê alguma relação entre 
a soma da medida das áreas dos retângulos de alturas ¼ e 1, e 
base ∆t = 1/2 com o valor da variação total ∆F?
Figura 2: estimativa por falta para a variação total Fonte: (PINTO et al, 2008)
t 1/2 1
y = f(t) (1/2)2 1
 1
2
 1
2
 1
4
 1
2
 5
8
y
t
1
4
y = t2
1 1
1
2
31CÁLCULO II
Exemplo: refinando a estimativa para a variação total ∆F
A fim de melhorar nossa estimativa para o valor da variação 
total ∆F, consideremos agora uma partição do intervalo em que 
n = 3. Esta corresponderá a ∆t = 1/3. Teremos os subintervalos 
[0,1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1], de extremos 0, 1/3, 2/3 e 1. As 
estimativas por falta e por excesso de ∆F serão calculadas com 
auxílio de tabelas, construídas como no caso n=2.
Tabela 1: estimativa por falta
∆F ≈ f(0).∆t + f( ).∆t + f( ).∆t = 0 . + . + . =
Tabela 1: estimativa por excesso
∆F ≈ f( ).∆t + f( ).∆t + f(1).∆t = . + . + 1 . =
t 0 1/3 2/3
y = f(t) 0 (1/3)2 (2/3)2
t 1/3 2/3 1
y = f(t) (1/3)2 (2/3)2 1
 1
9
 1
9
 1
3
 1
3
 2
3
 2
3
 1
3
 1
3
 1
3
 1
3
 1
3
 1
3
 4
9
 4
9
 5
27
 14
27
riação total através do cálculo da variação acumulada a partir 
de y = f(t) em [a, b]. É usual dividirmos o intervalo [a, b] em n 
partes ou subintervalos, de comprimento. Subintervalos serão 
escritos como [a, t1], [t1, t2], ..... [tn-1, b]. Seus extremos serão
a = t0, t1, t2, ... ti-1, ti, ... tn = b
A estimativa para a variação total que se escreve 
f(t0).∆t+f(t1).∆t +...+f(tn-1).∆t terá o nome Soma à Esquerda. 
Observe que a variação acumulada em cada subintervalo [ti-1, ti] 
assume a taxa com valor fixo igual a f(ti-1); ou seja, é estimada a 
partir de uma taxa calculada nos extremos à esquerda de cada um 
dos subintervalos. A estimativa da variação total que se escreve 
f(t1).∆t+f(t2).∆t +...+f(tn).∆t terá o nome Soma à Direita. Ob-
serve que a variação acumulada em cada subintervalo [ti-1, ti] 
está sendo calculada.
Usando uma notação ∑, que sintetiza a expressão de somas 
de parcelas diversas, escreveremos:
f(t0).∆t+f(t1).∆t +...+f(tn-1).∆t = ∑ f(ti ).∆t (Soma à Esquerda)
f(t1).∆t+f(t2).∆t +...+f(tn ).∆t = ∑ f(ti ).∆t (Soma à Direita)
n
n-1
i=1
i=0
Seja y = f(t) definida em intervalo [a, b] da reta IR. Vamos 
estabelecer uma linguagem específica para estimativas da va-
32CÁLCULO II
As estimativas para a variação total a partir da variação 
acumulada das funções estudadas podem ser melhoradas ao 
aumentarmos o número n de subintervalos.
A possibilidade de calcularmos um valor “exato” da variação 
total, que será debatida na aula sobre o Teorema Fundamental 
do Cálculo, requer em primeiro lugar um estudo sobre como o 
procedimento de aumentar indefinidamente o valor de n pode 
ser proposto.
A notação representa este processo e é lida: limite 
quando n tende ao infinito. 
Nesta linguagem, nosso desafio se traduz por investigar 
a possibilidade de associar um número real às expressões 
 ∑ f(ti ).∆t e ∑ f(ti ).∆t
Se para y = f(t) num dado intervalo ambos os valores pu-
derem ser definidos, e se eles forem iguais, este valor terá o 
nome Integral Definida.
A notação usada para nos referirmos à Integral Definida será
∫ f(t)dt
No caso das funções y = f (t) que trabalhamos até agora, os 
limites ∑ f(ti ).∆t e ∑ f(ti ).∆t sempre existem e são 
iguais. Para este grupo de funções:
A Integral Definida de y = f(t) no intervalo [a, b] da 
reta IR, que se escreve ∫ f(t)dt, é def inida como sendo 
o valor do limite da Soma à Direita ∑ f(ti ).∆t ou da 
Soma à Esquerda ∑ f(ti ).∆t
As somas ∑ f(ti ).∆t e ∑ f(ti ).∆t são denomi-
nadas Somas de Riemann da função f.
A função f é denominada integrando, e os valores a e b 
denominam-se limites de integração. Comentamos que nem 
sempre os limites das Somas de Riemann existem. No caso de 
sua existência, as funções denominam-se integráveis. Neste 
texto, estaremos trabalhando com funções integráveis.
Para y = f (t) positiva em [a, b], o valor da Integral Definida 
∫ f(t)dt representa a medida da área abaixo da curva do gráfico 
de y = f(t), acima do eixo t, e entre as retas t = a e t = b.
n ∞lim
n ∞lim n ∞lim
n
b
i=1
a
n-1
i=0
n
i=1n ∞
lim
n ∞lim
n ∞lim
n ∞lim n ∞lim
n ∞lim
n-1
i=0
b
a n
i=1n-1
n n-1
i=0
i=1 i=0
b
a
33CÁLCULO II
b
a
Área como uma integral definida
Nesta seção você compreenderá a resolução de cálculos de área usando limites e 
a integração.
A área é apenas uma das muitas grandezas que podem ser expressas como o limite 
de uma soma. Para lidar com todos os casos, incluindo aqueles nos quais a condição 
f(x) ≤ 0 não é satisfeita , usamos a terminologia e a notação apresentadas a seguir.
Integral definida – Seja f (x) uma função contínua no intervalo a ≤ x ≤ b. Suponha 
que este intervalo tenha sido dividido em n partes iguais de largura ∆x = e seja x1 um 
número pertencente ao intervalo de ordem j, para j = 1,2,..., n. Fornece a soma [f(x1) 
+ f(x2) + ... + f(xn)] ∆x, conhecida como Soma de Riemann.
Nesse caso, a integral definida de f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b, representada pelo 
símbolo ∫ f(x)dx, é dada pelo limite da soma de Riemann quando n +∞, ou seja, 
∫ f(x)dx = [f (x1) + f (x2) + ... + f (xn )]∆x
A função f(x) recebe o nome de integrando e os números a e b são chamados 
de limite inferior de integração e limite superior de integração, respectivamente. O 
processo de calcular uma integral definida é chamado de integração definida.
Fonte: Adaptado de HOFFMANN (2008)
n
b-a
b
a
n ∞lim
34CÁLCULO II
Surpreendentemente, o fato de que f(x) é contínua no in-
tervalo a ≤ x ≤ b é suficiente para garantir que o limite usado 
para definir a integral ∫ f(x)dx existe e é o mesmo qualquer 
que seja a forma de escolher os subintervalos xj .
O símbolo ∫ f(x)dx usado para representar a integral de-
finida é igual ao símbolo ∫ f(x)dx usado para representar a in-
tegral indefinida, embora a integral definida seja um número, 
enquanto a integral indefinida é uma família de funções, as 
antiderivadas de f (HOFFMANN, 2008).
Se f(x) é uma função contínua e f(x) ≥ 0 nointervalo 
a≤ x ≤ b, a área S sob a curva y = f (x) no intervalo a ≤ x ≤ b é 
dada pela integral definida A = ∫ f(x)dx
Exemplo:
Determine a área da seção sob a curva y = x3 + 1 no inter-
valo 0 ≤ x ≤ 1, onde x e y estão em centenas de metros. Se o 
preço da terra é de R$ 12,00 o metro quadrado, qual é o valor 
do terreno?
Solução: a área do terreno é dada pela integral definida 
A= ∫ (x3+1))dx
Como uma das ant ider ivadas de f (x)=x 3+1 é 
F(x)=x4/4+x, o teorema fundamental do cálculo nos diz que 
A= ∫ (x3+1))dx = x4 + x|01 = [ (1)4 + 1] - [ (0)4 + 0] =
Como x e y estão em centenas de metros, a área total é:
5/4*100*100 = 12.500m2
E como o preço da terra é R$ 12,00 o metro quadrado, o 
valor do terreno é:
V = (R$ 12,00/m2)*(12.500 m2) = R$ 150.000,00
Regras de interação
Essas regras, a seguir relacionadas, podem ser usadas para 
simplificar o cálculo das integrais definidas.
b
b
b
a
a
a
y = f(x)
b
S
a
Fonte: Adaptado de BATISTA (2012)
1
1
0
0
 1
4
 1
4
 1
4
 5
4
35CÁLCULO II
Regras para integrais definidas
Sejam f e g funções contínuas no intervalo a ≤ x ≤ b. 
Nesse caso,
1. Regra da multiplicação por uma constante:
∫ k f(x)dx = k ∫ f(x)dx = k
Onde k é uma constante
2. Regra da soma:
∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
3. Regra da diferença:
∫ [f(x) - g(x)]dx = ∫ f(x)dx - ∫ g(x)dx
4. ∫ f(x)dx = 0
5. ∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx
Fonte: Adaptado de HOFFMANN (2008)
As regras 4 e 5 são, na verdade, casos especiais da defini-
ção de integral definida. As primeiras três regras podem ser 
demonstradas usando o teorema fundamental do cálculo e uma 
regra análoga para integrais indefinidas. Assim, por exemplo, 
para demonstrar a regra da multiplicação por uma constante, 
suponha que F(x) seja uma das antiderivadas de f (x). Nesse 
caso, de acordo com a regra da multiplicação por uma constante 
para integrais indefinidas, k F(x) é uma das antiderivadas de k 
f(x) e o teorema fundamental do cálculo nos diz que:
∫ k f(x)dx = k F (x)
= k F(b) - k F(a) = k[F(b) - F(a)]
= k ∫ f(x)dx
Aplicações em economia e finanças
Nas atribuições de um Engenheiro de Produção, estão 
diferentes demandas de uma fábrica ou de clientes, com co-
nhecimento de cálculos de amortização, investimentos, ponto 
de equilíbrio, etc.
O uso de integrais definidas em aplicações práticas, como 
em economia e finanças, nos permite determinar valores fu-
turos e atuais de um f luxo de receita, a disposição para gastar 
e os excedentes do consumidor.
Vida útil de uma máquina
Suponha que t anos após entrar em uso, uma máquina 
tenha gerado uma receita total de R(t) e o custo total de ope-
ração e manutenção da máquina seja C(t). Nesse caso, o lucro 
total gerado pela máquina até o instante t é P(t) = R(t) – C(t). 
O lucro diminui quando os custos aumentam mais depressa 
b b
a a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
36CÁLCULO II
que a receita, ou seja, quando C’(T) > R’(T).
Isto significa que, do ponto de vista econômico, a máquina deve ser descartada 
no instante (T) no qual C’(T) = R’(T); por esta razão, o período de tempo 0 ≤ t ≤ T é 
chamado de vida útil da máquina. O lucro gerado pela máquina durante a sua vida 
útil é uma medida do seu valor à empresa.
Exemplo:
Quando tem t anos de serviço, certa máquina industrial gera receita a uma taxa 
R’(t) = 5.000 – 20t2 reais por ano e os custos de operação e manutenção da máquina 
aumentam a uma taxa C’(t) = 2.000 + 10t2 reais por mês.
a. Qual é a vida útil da máquina?
b. Calcule o lucro gerado pela máquina durante a sua vida útil.
Solução:
a. Para determinar a vida útil da máquina, basta igualar a taxa de variação da receita 
à taxa de variação do custo:
C’(T) = R’(T)
2.000 + t2 = 5.000 - 20t2
30t2 = 3.000
t2 = 100
t = 10
Assim, a máquina tem uma vida útil de 10 anos.
37CÁLCULO II
b. Como o lucro P(t) é igual a R(t) – C(t), temos 
 P’(t) = R’(t) – C’(t) e, portanto, o lucro gerado pela máquina 
durante sua vida útil é:
L = P(10) – P(0) = ∫ P'(t)dt
= ∫ [R'(t) - C'(t)]dt
= ∫ [(5000 - 20t2) - (2000 - 10t2)]dt
= ∫ [3000 - 30t2 ]dt
3000 - 10t3 = 20.000
Ou seja, o lucro gerado pela máquina durante sua vida útil 
é = R$ 20.000,00.
As curvas das taxas de variação da receita e do custo apare-
cem no gráfico a seguir. O lucro gerado pela máquina durante 
sua vida útil é representado pela região sombreada entre as 
duas curvas.
Valor futuro e valor atual de um f luxo de receita
Em nossa aplicação seguinte, consideraremos uma trans-
ferência contínua de numerário para uma aplicação que rende 
juros durante um certo período de tempo (o termo). O valor 
futuro do f luxo de receita é o montante (dinheiro aplicado 
mais juros) acumulado durante o termo.
O cálculo do montante de um f luxo de receita é ilustrado 
no exemplo a seguir. A estratégia usada para resolver o pro-
blema consiste em aproximar o f luxo contínuo de receita por 
uma sequência de depósitos discretos, que recebe o nome de 
anuidade.
Exemplo:
 Uma conta recebe depósitos a uma taxa constante de 
R$ 1.200,00 por ano. A conta rende juros anuais de 8%, capi-
talizados continuamente. Qual é o saldo da conta após 2 anos?
Solução:
 P reais investidos a 8% de juros capitalizados continua-
mente resultam em Pe0,08t reais t anos depois. Para determinar 
o valor futuro do f luxo de receita, o primeiro passo é dividir 
10
0
10
0
10
0
10
0
10
0
y (reais por ano)
y = C’(t) = 2.000 + 10t2
y = R’(t) = 5.000 - 20t2
t (anos)
2.000
5.000
10
20.000
Fonte: Adaptado de HOFFMANN (2008)
38CÁLCULO II
o intervalo de 2 anos, 0 ≤ t ≤ 2, em n subintervalos iguais de 
largura ∆t anos. Seja tj o início do subintervalo de ordem j.
Durante este subintervalo,
Dinheiro depositado = (reais por ano)(número de anos) 
= 1.200 ∆t.
Se todo o dinheiro é depositado no início do subintervalo 
(ou seja), no instante tj), permanece na conta 2 – tj anos e, 
portanto, resulta em (1200∆t) e0,08(2- tj) reais.
Assim, valor futuro do dinheiro depositado durante o 
subintervalo de ordem
 j ≈ 1.200e0,08(2-tj) ∆t.
Observe na figura a seguir esta situação:
O valor futuro de todo o f luxo de receita é a soma dos 
valores futuros das quantias depositadas no n subintervalos.
Assim,
Valor futuro do f luxo de receita ≈ ∑ 1200 e0,08(2-tj)∆t.
(Observe que este valor é apenas de uma aproximação, já 
que se baseia na premissa de que 1.200 ∆t reais são depositados 
no início de cada intervalo e não continuamente ao longo do 
intervalo).
Quando n aumenta indefinidamente, a largura dos inter-
valos tende a zero e a aproximação tende para o valor futuro 
real do f luxo de receita. Assim,
Valor futuro do f luxo de receita ∑ 1.200e0,08(2-tj) ∆t
= ∫ 1.200e0,08(2-t)dt = 1.200e0,16 ∫ e0,08tdt
= - e0,16(e0,08t)| = - 15.000e0,16(e-0,16-1)
= - 15.000 + 15.000e0,16 ≈ R$ 2.602,66
Generalizando o raciocínio o exemplo anterior, chegamos 
a seguinte fórmula de integração para o valor futuro de um 
f luxo de receita f(t) com um termo de T anos:
VF = ∫ f(t)er(T-t)dt
VF = ∫ f(t)erTe-rtdt
VF = erT ∫ f(t)e-rtdt tirando a constante erT da integral.
2 - tj
t1 tj tj + 1
1.200e0,08(2-tj)∆t1.200∆t
0 ∆t 2
t
n
n ∞lim
n
j=1
j=1
2 2
2
0 0
0
1200
0,08
T
T
T
0
0
0
39CÁLCULO II
A Aplicação desta fórmula aos instantes final e inicial 
do processo é apresentada a seguir.
Valor futuro de um f luxo de receita
Suponha que sejam realizados depósitos continuamente 
em uma conta durante um período de tempo 0 ≤ t ≤ T a uma 
taxa dada pela função f(t) e a conta renda uma taxa anual de 
juros r, capitalizando continuamente. Nesse caso, o valor futuro 
VF do f luxo de receita durante o termo T é dado pela integral 
definida.
VF = ∫ f(t)er(T-t)dt = erT ∫ f(t)e-rtdt
No exemplo, tínhamos f(t) = 1.200, r = 0,08, T = 2 e, por-
tanto, VF = e0,08(2) ∫ 1200 e-0,08t) dt
O Valor atual de um f luxo de receita contínuo f(t) durante 
um termo de T anos é a quantia A que deve ser aplicada no 
momento presente, de uma única vez, à taxa de juros vigen-
te, para gerara mesma receita que o f luxo de receita o mes-
mo período de T anos. Como A reais investidos a uma taxa 
anula r de juros capitalizados continuamente resultam em AerT 
reais após T anos, devemos ter:
AeRT = erT ∫ f(t)e-rtdt
A ∫ f(t)e-rtdt
dividindo ambos os membros por erT.
Resumindo:
Valor atual de um f luxo de receita
O Valor atual VA de um f luxo de receita contínuo f(t) em 
uma aplicação por um termo de T anos, que rende uma taxa 
anual r de juros capitalizados continuamente é dado por
VA = ∫ f(t)e-rtdt.
Curva de demanda e a 
disposição do consumidor para gastar
Quando estudam o comportamento dos consumidores, os 
economistas muitas vezes supõem que o preço de um consu-
midor ou grupo de consumidores está disposto a pagar para 
comprar uma unidade a mais de uma mercadoria, é função 
T
0
T
0
2
0
T
0
T
0
T
0
40CÁLCULO II
do número de unidades de mercadoria que o consumidor ou 
grupo já comprou.
Assim, por exemplo, uma família pode estar disposta a 
gastar até R$ 1.000,00 para ter um aparelho de televisão. Como 
não haveria muita utilidade para um terceiro aparelho, a família 
talvez não estivesse disposta a gastar mais de R$ 200,00 para 
comprar um terceiro aparelho.
A função p = D(q) que expressa o preço que os consumidores 
estão dispostos a pagar pela q-ésima unidade de uma merca-
doria é chamada pelos economistas de função de demanda do 
consumidor para a mercadoria.
Como mostraremos na figura a seguir, a função de demanda 
do consumidor é, em geral, uma função decrescente de q. Em 
outras palavras, o preço que os consumidores estão dispostos a 
pagar para adquirir uma unidade a mais normalmente diminui 
quando o número de unidades já adquiridas aumenta.
A função de demanda do consumidor p = D(q) também 
pode ser interpretada como a taxa de variação com q da quantia 
total A(q) que os consumidores estão dispostos a gastar para 
adquirir q unidades, ou seja, dA/dq unidades de um produto 
é dada por:
A(q0) – A(0) = ∫ dq = ∫ D(q)dq
Neste contexto, os economistas chamam A(q) de dispo-
sição total para gastar e D(q) = A’(q) de disposição marginal 
para gastar.
Em termos geométricos, a disposição total para gastar 
q0 unidades é a área sob a curva de demanda p = D(q) entre 
q = 0 e q = q0, conforme ilustração a seguir.
dA
dq
q0 q0
0 0
Quantia
total que os
consumidores
estão dispostos
a gastar
p (reais por unidade)
p = D(q)
q0 q (unidades)0
Fonte: Adaptado de HOFFMANN (2008)
41CÁLCULO II
Exemplo:
A função de demanda de um certo produto é D(q) = 
 4 (25 – q2) reais por unidade.
a. Determine a quantia total que os consumidores estão dis-
postos a gastar para adquirir 3 unidades do produto.
b. Trace a curva de demanda e interprete a resposta do item 
(a) como uma área.
Solução:
a. Como a função D(q) = 4 (25 – q2), medida em reais por 
unidade, é a taxa de variação com q da disposição do con-
sumidor para gastar, a quantia total que o consumidor está 
disposto a gastar para comprar 3 unidades do produto é 
dada pela integral definida:
A(3) = ∫ D(q)dq = 4 ∫ (25 - q2)
= 4(25q - q3)| = R$ 264,00
b. A curva da demanda do consumidor aparece na figura a se-
guir. Em termos geométricos, a quantia total de R$ 264,00, 
que os consumidores estão dispostos a gastar para comprar 
3 unidades do produto é a área sob a curva de demanda 
entre q=0 e q = 3.
3 3
3
0 0
0
1
3
p = 4(25 - q2)
q (unidades)
p (reais por unidade)
0
100
R$ 264,00
53
Fonte: Adaptado de HOFFMANN (2008)
42CÁLCULO II
Problemas propostos
8. Estima-se que daqui a t anos o valor de um certo terreno terá aumentado 
a razão V’(t) reais por ano. Escreva uma expressão para o aumento total do 
terreno durante os próximos 5 anos.
9. Um revendedor recebe uma remessa de 12.000 quilogramas de soja que serão 
distribuídos a uma taxa constante de 300 quilogramas por semana. Se o custo 
de armazenamento de soja é 0,2 centavos por quilo por semana, quanto o re-
vendedor terá que pagar de armazenamento durante as próximas 40 semanas?
10. Um estudo indica que daqui a t meses a população de uma certa cidade es-
tará crescendo a uma taxa de P’(t) 5 + 3t2/3 habitantes por mês. Qual será o 
aumento da população da cidade nos próximos 8 meses?
11. Estima-se que após t dias a quantidade de feijão colhida por um fazendeiro 
estará aumentando a razão de 0,3t2 + 0,6t + 1 saco por dia. Qual será o au-
mento do valor da colheita nos próximos 5 dias se o preço do saco de feijão 
permanecer constante em R$ 3,00?
Síntese
Você aprendeu neste capítulo: algu-
mas fórmulas para cálculo de integrais 
imediatas, bem como regras para calcular 
estimativas, variação total ∆V por meio da 
variação acumulada à uma determinada 
taxa e intervalo de tempo.
Realizamos também alguns exemplos 
práticos em economia e finanças muito 
úteis para Engenheiro de Produção.
43CÁLCULO II
12. Uma empresa criou uma linha de montagem para fabricar 
um novo modelo de telefone celular. A taxa de produção 
dos telefones é 
 = 1.500 (2 - unidades por mês.
Quantos telefones serão produzidos durante o terceiro mês?
13. O valor de revenda de uma máquina industrial diminui du-
rante o período de 10 anos a uma taxa que varia com o tempo. 
Quando a máquina tem x anos de idade, a taxa com a qual 
o seu valor está diminuindo é R$ 220 (x-10) reais por ano. 
Qual é a depreciação da máquina durante o segundo ano?
14. Responda às perguntas a. e b.: uma máquina que gere receita 
a taxa R’(t) = 7.250 – 18t2 reais por ano e para a qual os 
custos de operação e manutenção se acumulem a taxa C’(t) 
= 3.260 + 12t2 reais por ano.
a. Após quantos anos de uso a máquina deixa de ser rentável?
b. Calcule a receita líquida gerada pela máquina durante sua 
vida útil.
15. Responda as perguntas a. e b., para o caso de uma campanha 
beneficente em que as contribuições chegam a uma taxa 
R’(t) = 6.537e-0,3t reais por semana e as despesas se acumulam 
a uma taxa constante de R$ 593,00 por semana.
a. Durante quanto tempo valerá a pena prosseguir com a cam-
panha?
b. Qual a receita líquida gerada pela campanha durante o 
período calculado no item (a)?
16. Depósitos são feitos continuamente em uma conta bancária 
a taxa constante de R$ 1.000,00 por ano. A conta rende 
juros de 10% ao ano, capitalizados continuamente. Qual é 
o saldo da conta após 10 anos?
dP
dt
7
2t + 5
44CÁLCULO II
INTEGRAÇÃO POR 
SUBSTITUIÇÃO
Neste capítulo aprenderemos regras para derivar qualquer 
função obtida combinando constantes, potências de x, sen x, cos 
x, ex e ln x, usando adição, multiplicação, divisão ou composi-
ção de funções. Essas funções são denominadas elementares. 
Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções 
compostas. Essas técnicas envolvem uma substituição. O uso 
da substituição na integração pode ser comparado ao uso da 
Regra da cadeia na diferenciação.
Haverá situações durante o desenvolvimento 
de cálculos de integração, onde os termos 
serão complexos, e por isso é necessário 
aplicar algumas substituições.
45CÁLCULO II
Iniciaremos recordando a Regra da cadeia da diferenciação:
y' = [F(g(x))] = F'(g(x)) * g'(x) = F'(u) * u'
 y'
Façamos agora, passo a passo, a derivada da função com-
posta y = (x2 +3)3.
y = u3 e u = x2 +3
Usando a Regra da cadeia, obtemos: 
y’ = u3-1*u’ = 3u2*(x2 + 3)’ = 3*(x2 +3)2*2x.
Sabendo que a integração e a diferenciação são operações 
inversas, podemos enunciar este resultado no seguinte teorema.
Teorema 4: Se f e g duas funções tais que fo g e g’ são contí-
nuas em um intervalo: Se F é uma derivada de f em I, então: 
∫ f(g(x)) g'(x)dx - F(g(x)) + C.
A seguir, faremos um exemplo que mostrará como aplicar 
o teorema usando a integração por substituição:
Exemplo (mudança de variável) 
Calcule ∫ 3(x2 + 3) 22xdx:
Escolheremos u = x2 + 3 da mesma forma que escolhemos 
no cálculo da derivada feita anteriormente.
Com u = x2 + 3 calculamos du = 2xdx e substituímos no 
integrando:
∫ 3(x2+3) 22xdx = ∫ 3u2du = 3∫ u2du = 3+ C = u3 + C
(Esta é a integral indefinida em função de u).
Substituindo u por x2 + 3 temos:
∫ 3(x2+3) 22xdx= u3 + C = (x2+3)3+ C
(Esta é a integral indefinida em função de x).
Nas próximas seções, apresentaremos dois métodos para 
antiderivação: substituição e integração por partes, que ope-
ram em sentido contrário às regras da cadeia e do produto, 
respectivamente. 
Entretanto, há uma grande diferença entre procurar de-
rivadas e procurar antiderivadas. Toda função elementar tem 
derivadas elementares, mas várias funções elementares não 
possuem antiderivadas elementares. 
Uma boa estratégia para determinar antiderivadas simples 
é estimar alguma resposta (usando o conhecimento de regras 
d
dx
u3
3
46CÁLCULO II
de derivação) e, depois, verificar a resposta derivando-a. Se 
obtivermos o resultado esperado, então está pronto; caso con-
trário revisamos a tentativa e verificamos novamente.
O método de tentativa e erro é útil para operar em sentido 
contrário a regra da cadeia. De acordo com a regra da cadeia, 
tem-se:
 Função interna
(f(g(x))) = f ' (g(x)) • g'(x) 
Derivada da função externa Derivada da função interna
Portanto, qualquer função que for o resultado da aplicação 
da regra da cadeia é o produto de dois fatores: a “derivada da 
função externa” e a “derivada da função interna”. Se uma função 
tiver essa forma, sua antiderivada será f(g(x)).
{
{{
Agora vamos para aplicação com 
alguns exemplos resolvidos. 
Acompanhe cada passo da resolução 
para sua compreensão. 
Refaça-os de forma manuscrita, 
assim a fixação de cada novo método 
de integração começará a fluir.
Acompanhe o raciocínio! 
d
dx
47CÁLCULO II
Exemplo 1: determine ∫ 3x2 cos (x3) dx
Solução:
A função 3x2 cos (x3) dx se parece com o resultado da 
aplicação da regra da cadeia: existe uma função “interna” x3 e 
sua derivada 3x2 aparece como fator. Como a função externa 
é uma função cosseno que tem um seno como antiderivada, 
nós suspeitamos que sen (x3) seja a antiderivada procurada. 
Derivando para verificar, obtemos:
 (sen(x3)) = cos(x3) • (3x2)
Como foi com isso que começamos, sabemos que:
∫ 3x2 cos (x3) dx = sen(x3) + C
A ideia básica desse método é tentar determinar uma fun-
ção interna cuja derivada aparece como um fator. Ela funciona 
bem mesmo quando falta um fator constante à derivada, como 
no próximo exemplo.
Exemplo 2: determine ∫ te(t + 1)dt
Solução:
Parece que t2 + 1 poderia ser uma função interna. Assim, 
tentaríamos e(t + 1) para a antiderivada, pois derivando uma ex-
ponencial, a mesma exponencial continua aparecendo, mas com 
outros termos a partir da regra da cadeia. Agora, verificaremos:
 (e(t + 1)) = (e(t + 1)) • 2t
Observamos que a tentativa inicial está grande demais 
com um fator de 2. Alteramos então a nossa função tentativa 
para e(t + 1) e verificamos novamente:
( e(t + 1)) = e(t + 1) • 2t = e(t + 1) • t
Portanto, sabemos que:
∫ te(t + 1)dt = e(t + 1) + C.
d
dx
d
dt
d
dt
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2 22
2 2
2
48CÁLCULO II
Exemplo 3: determine ∫ x3 √x4 + 5 dx
Solução:
Aqui, a função interna é x4 + 5, e sua derivada aparece como 
um fator, com a exceção de um 4 que está faltando. Então, o 
integrando que temos é aproximadamente da forma
g' (x) √g(x),
onde g(x) = x4 + 5. Como x3/2/(3/2) é uma antiderivada da 
função externa √x podemos suspeitar que uma antiderivada seja:
(g(x))3/2 (x4 + 5)3/2
3/2 3/2
Derivemos para verificar:
 • 4x3 = 4x3 (x4 + 5)1/2
E assim, é grande demais com um fator 4. A 
antiderivada correta é:
 = (x4 + 5)3/2
∫ x3 √x4 + 5dx = (x4 + 5)3/2 + C
Como uma verificação final:
 (x4 + 5)3/2 = • (x4 + 5)1/2 • 4x3 = x3 (x4 + 5)1/2
Como vimos nos exemplos anteriores, antiderivar uma 
função frequentemente implica “efetuar correções” por fatores 
constantes: se a derivação produzir um fator 4 extra, a antide-
rivação requer um fator 1/4.
=
=ddx
d
dx
3
2
(x4 + 5)3/2 (x4 + 5)1/2
3/2 3/2(
(
(
(
(x4 + 5)3/2
3/2
1
4
1
6
1
6
1
6
1
6
3
2
(x4 + 5)3/2
3/2
49CÁLCULO II
O método da substituição
O uso de substituições é muito útil nos cálculos de in-
tegração. Independente das variáveis selecionadas para tal 
substituição, o resultado será simplificado e com o auxílio das 
tabelas, também chegarás à resolução final.
Quando o integrando for complicado, é útil formalizar esse 
método de tentativa e erro da seguinte forma:
Fazer uma substituição
Seja w a "função interna" e dw = w' (x) dx = dx.
Agora vamos observar a resolução do Exemplo 4 usando 
uma substituição.
Exemplo 4: determine ∫ 3x2 cos (x3) dx.
Solução:
Como antes, procuramos uma função interna cuja de-
rivada aparece – neste caso x3. Considere w = x3. Então, 
dw = w’(x) dx = 3x2 dx. O integrando original pode agora ser 
completamente reescrito em termos da nova variável w:
 w dw
∫ 3x2cos(x3)dx = ∫ cos (x3) • 3x2dx = 
∫ cos w dw = sen w + C = sen(x3) + C
Mudando a variável para w, podemos simplificar o inte-
grando. Temos agora cos w, cuja antiderivada pode ser calculada 
mais facilmente. A etapa final, depois de antiderivar, consiste 
em voltar à variável original x.
Por que a substituição funciona?
O método da substituição faz parecer que dw e dx são 
entidades separadas, mesmo cancelando-as na equação 
dw = (dw/dx)dx. Vejamos por que isso funciona. 
Suponhamos que temos uma integral sob a forma 
∫ f (g(x))g'(x)dx, onde g(x) é a função interna e f (x) é a função 
externa. Se F for uma antiderivada de f, então F’ = f, e pela 
regra da cadeia:
(F(g(x))) = f (g(x))g'(x)
Então:
∫ f (g(x))g'(x)dx = (F(g(x))) + C
Agora, escreva w = g(x) e dw/dx = g'(x) em ambos os lados 
desta equação:
∫f (w) dx = F(w) + C
dw
dx
dw
dx
d
dx
{{
50CÁLCULO II
Exemplo 5: determine ∫ te(t + 1)dt
Solução:
Aqui a função interna é t2 + 1, com derivada 2t. Como há 
um fator t no integrando, tentamos:
w = t2 + 1
Então,
dw = w' (t) dt = 2t dt
Observe, entretanto, que o integrando original tem apenas 
t dt, e não 2t dt.
Escrevemos então:
dw = t dt
E depois substituímos:
 w dw
∫ te(t + 1)dt = ∫ e(t + 1) • t dt = ∫ ew dw = 
∫ ew dw = ew + C = e (t + 1) + C
Obtivemos então, a mesma resposta que tínhamos obtido 
usando o método da tentativa e erro.
Por que no exemplo anterior não colocamos
 ∫ ewdw = ew + C?
Como a constante C é arbitrária, realmente não importa 
se adicionamos C ou 1/2C. A convenção é sempre adicionar 
C a qualquer que seja a antiderivada que calculamos.
Agora queremos rever o terceiro exemplo, que resolvemos 
anteriormente por tentativa e erro.
Exemplo 6: determine ∫ x3 √x4 + 5 dx
Solução:
A função interna é x4 +5, cuja derivada é 4x3. O integran-
do tem um fator x3 e, como a única coisa que falta é um fator 
constante, tentamos:
w = x4 + 5
2
2 2
2
1
2
1
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
{ {
51CÁLCULO II
Então,
dw = w' (x) dx = 4x3dx
Que fornece
dw = x3dx
Portanto,
∫ x3 √x4 + 5 dx = ∫√w dw = 
∫ w1/2dw = • +C = (x4 + 5)3/2 + C
Novamente, obtivemos o mesmo resultado que a tentativa 
e erro.
Atenção
Nos exemplos anteriores, vimos que podemos aplicar o 
método da substituição quando falta um fator constante da 
derivada da função interna. Entretanto, podemos não conseguir 
usar a substituição se estiver faltando algo além de um fator 
constante. Por exemplo, fazer w=x4+5 para determinar
∫ x2 √x4 + 5 dx
Não é satisfatório porque x2 dx não é igual a um múltiplo 
constante de dw = 4x3 dx. A substituição funciona se o inte-
grando contiver a derivada da função interna, a menos de um 
fator constante.
Algumas pessoas preferem o método da substituição ao 
da tentativa e erro, pois ele é mais sistemático, mas ambos os 
métodos levam ao mesmo resultado. Para problemassimples, 
o da tentativa e erro pode ser mais rápido.
Exemplo 7: determine ∫ ecosθsenθ dθ
Solução:
Fazemos w = cos θ, pois sua derivada é igual a –sen θ, no 
integrando, existe um fator de sen θ. Isso leva a
dw = w'(θ) dθ = - senθ dθ
E assim:
-dw = - senθ dθ
Então:
∫ ecosθsenθ dθ = ∫ ew (-dw) = (-1) ∫ ew dw = -ew + C = -ecosθ + C
1
4
1
4
1
6
w3/2
3/2
1
4
1
4
52CÁLCULO II
Exemplo 8: determine ∫ dt
Solução:
Observando que a derivada de 1 + et é igual a et, vemos que 
w = 1 + et é uma boa escolha. Então, dw = et dt, e assim:
∫ dt = ∫ et dt = ∫ dw = ln|w| + C
 = ln|1 + et| + C
 = ln(1 + et) + C,
pois (1 + et) é sempre positivo.
Como o numerador é igual a et dt, poderíamos ter tentado 
também w = et. Essa substituição leva à integral ∫ (1/(1 + w)), 
que é melhor que a integral original, mas requer outra substi-
tuição, u = 1 + w para terminar. Geralmente há vários caminhos 
distintos para efetuar uma integral por substituição.
Observe o padrão no exemplo anterior: ter uma função no 
denominador e sua derivada no numerador leva a um logaritmo 
natural. O próximo exemplo segue o mesmo padrão.
Exemplo 9: determine ∫ tanθ dθ
Solução: lembre que: tanθ = (senθ)/(cosθ). Se w = cos θ, então 
dw = –sen θ dθ, e assim,
∫ tanθ dθ = ∫ dθ = ∫ = -ln|w| + C = ln|cosθ| + C
Identidades algébricas e 
substituições trigonométricas
Conforme os cálculos 
apresentarem as suas variá-
veis, faz-se necessário a apli-
cações de substituições espe-
cíficas e que estão disponíveis 
em tabelas, conforme anexa 
ao final deste material.
Embora nem todas as 
funções tenham anderivadas 
elementares, várias tem. Nesta seção, apresentaremos dois 
métodos poderosos de integração que mostram que grandes 
classes de funções têm antiderivadas elementares.
• O primeiro é o método de frações parciais, que decorre de 
uma identidade algébrica e nos permite integrar funções 
racionais.
• O segundo é o método de substituições trigonométricas, 
et
1 + et
et
1 + et
1
1 + et
senθ
cosθ
-dw
w
1
w
53CÁLCULO II
que nos permite manipular expressões envolvendo a raiz 
quadrada de um polinômio quadrático. Algumas das fór-
mulas na tabela de integrais podem ser deduzidas usando 
as técnicas desta seção.
1
(x - 2)(x -5)
1
(x - 2)(x -5)
A
x - 2 x -5= +
B 1
(x - 2)(x -5)
-1/3
x - 2 x -5= +
1/3
Método de frações parciais
Um outro caminho para resolução de equações que en-
volvem frações, funções racionais e potências é o método de 
frações parciais.
A integral de algumas funções racionais pode ser obtida 
desmembrando o integrando em frações parciais. Por exemplo, 
para determinar:
∫ dx
Desmembramos o integrando em frações parciais com 
denominadores (x – 2) e (x – 5). Escrevemos:
onde A e B são constantes que precisam ser determinadas. 
Multiplicando por (x – 2)(x – 5), obtém-se a identidade:
1 = A(x - 5) + B(x-2)
E, assim:
1 = (A + B)x - 5A - 2B
Como essa equação vale para todo x, os termos constan-
tes de ambos os lados devem ser iguais. Da mesma forma, os 
coeficientes de x de ambos os lados devem ser iguais. Assim,
-5A - 2B = 1
 A + B = 0
A solução dessas equações é A = -1/3, B = 1/3. Então,
,
54CÁLCULO II
Exemplo 1:
Use frações parciais para integrar ∫ dx
Desmembramos o integrando em frações parciais, cada 
uma das quais pode ser integrada:
∫ dx =∫ ( + )dx = - ln|x-2| + ln|x-5| + C
Exemplo 2:
Determine ∫ dx
Fatoramos o denominador e desmembramos o integrando 
em frações parciais:
 = = +
multiplicando por x(x + 1), obtemos a identidade
x + 2 = A(x + 1) + Bx
 = (A + B)x + A
Igualar os termos constantes e os coeficientes de x resulta 
em A = 2 e A + B = 1; logo, assim B =-1. Então, desmembramos 
o integrando em duas partes e integramos:
∫ dx = ∫ ( - ) dx = 2 ln|x| - ln|x+1| + C
Exemplo 3:
Calcule ∫ dx,
usando frações parciais sob a forma
A presença do fator quadrático (x-1)2, leva a frações parciais 
sob a forma:
multiplicando por (x - 1)2(x + 3), obtém-se:
 10x - 2x2 = A(x - 1)(x + 3) + B(x + 3) + C(x - 1)2
 = (A + C)x2 + (2A + B - 2C)x - 3A + 3B + C
Igualar os coeficientes de x2, de x e os termos constantes 
leva ao sistema de equações:
 A + C = -2
 2A + B -2C = 10
-3A + 3B + C = 0
1
(x - 2)(x -5)
x + 2
x2 + x
x + 2
x2 + x
1
x + 1
x + 2
x2 + x
x + 2
x(x + 1)
10x - 2x2
(x - 1)2 (x + 3)
1
(x - 2)(x -5)
-1/3 1/3
x - 2 x -5
1
3
2
x
A
x
B
x + 1
A
x - 1
C
x + 3
B
(x - 1)2
1
3
, ,
10x - 2x2
(x - 1)2(x + 3)
A
x - 1
C
x + 3
B
(x - 1)2
+ += ,
55CÁLCULO II
A solução desse sistema fornece A =1, B = 2, C = 23. Ob-
temos, portanto, três integrais que podem ser calculadas:
Para a segunda integral, usamos o fato de que:
∫ 2/(x - 1)2dx = 2 ∫ (x - 1)-2dx = -2(x -)-1 + K
Se, no denominador, existir uma função quadrática que 
não puder ser fatorada, devemos construir um numerador sob 
a forma Ax+ B, como mostra o próximo exemplo.
Exemplo 4:
Determine
usando frações parciais sob a forma e
O integrando inclui um denominador quadrático, 
(x2+ 1), que não pode ser fatorado, e, portanto, construiremos 
um numerador da forma Ax + B, como:
multiplicando por (x2 1 + 1)(x – 2), obtêm-se:
2x2 - x - 1 = (Ax + B)(x - 2) + C(x2 + 1)
 = (A + C)x2 + (B - 2A)x + C -2B
Igualar os coeficientes de x2, de x e os termos constantes 
leva ao sistema de equações:
A + C = 2
B - 2A = -1
C - 2B = -1
A solução desse sistema fornece A = B = C = 1, e assim 
reescrevemos a integral como:
10x - 2x2
(x - 1)2(x + 3)
1
x - 1
Ax + B
x2 + 1
C
x - 2
3
x + 3
2
(x - 1)2
2
(x - 1)
+ + 2x2 - x - 1
(x2 + 1)(x - 2)
Ax + B
x2 + 1
C
x - 2+=
dx = dx
dx:
dx
∫ ∫( (
= ln|x - 1| - -3ln|x + 3| + K
2x2 - x - 1
(x2 + 1)(x - 2)∫
dx =∫ ∫( (1x - 2x + 1x2 + 1 +2x
2 - x - 1
(x2 + 1)(x - 2)
,
56CÁLCULO II
Essa identidade é útil desde que possamos calcular a integral 
do lado direito. A primeira integral pode ser calculada desdo-
brando-a em duas; a segunda é semelhante aos dos exemplos 
anteriores. Temos:
para calcular ∫ (x/(x2 + 1)) dx
Substituímos w = x2+ 1 ou usamos a estratégia de tentativa 
e erro.
Exemplo 5:
Calcule ∫ dx usando a divisão longa.
O grau do numerador é maior que o grau do denominador, 
então começamos dividindo:
Ainda resta, nesse caso, a função racional 1/(x2 – 7x +10), 
para a qual tentaremos usar frações parciais. Temos:
E assim podemos, neste caso, usar o resultado do Exemplo 
1, que leva a:
∫ ∫ (x + )
 - ln|x - 2|+ ln|x - 5| + C
Várias funções racionais, embora não todas, podem ser in-
tegradas usando a estratégia sugerida pelos exemplos anteriores.
Estratégia para integrar uma função racional, P(x)/Q (x)
• Se o grau de P (x) ≥ grau de Q(x), tente usar a divisão longa 
e o método de frações parciais no que restará.
dx =∫ ∫ ∫ ∫1x2 + 1
1
x - 2
x
x2 + 1 dx + dx + dx 
2x2 - x - 1
(x2 + 1)(x - 2)
dx =
dx = dx =
∫ 2x
2 - x - 1
(x2 + 1)(x - 2)
x3- 7x2 + 10x + 1
x2 - 7x + 10
x3- 7x2 + 10x + 1
x2 - 7x + 10
x3- 7x2 + 10x + 1
x2 - 7x + 10
1
(x - 2)(x -5)
x(x2- 7x + 10) + 1
x2 - 7x + 10
1
x2 - 7x + 10
1
2
x2
2
1
3
1
3= ln|x2 + 1| + arc tan x + ln|x - 2| + K
=
1
x2 - 7x + 10
1
(x - 2)(x -5)=
= x +
57CÁLCULO II
• Se Q(x) for o produto de fatores lineares distintos, use 
frações parciais sob a forma:
• Se Q(x) contiver um fator linear repetido, (x-c)n, use frações 
parciais sob a forma:
• Se Q(x) contiver uma função quadrática não fatorável q(x), 
tente uma função parcial sob a forma:
Para usar esse método, devemos conseguir integrar cada 
fração parcial. Sabemos como integrar termos sob a forma 
A/(x – c)n, usando a regra da potência (se n > 1)e logaritmos 
(se n = 1).
Substituições trigonométricas
Muitas aplicações envolvem trigonometria dentro da enge-
nharia, e não poderia ser diferente nos cálculos de integração. 
Com auxílio do uso das tabelas, você desenvolverá habilidade 
de resolver os problemas propostos.
Nesta seção veremos como as substituições por senθ ou por 
tanθ podem ser usadas para integrandos que envolvam raízes 
quadradas de funções quadráticas ou funções quadráticas não 
fatoráveis.
A
(x - c)
Ax + B
q(x)
A1
(x - c)
A2
(x - c)2
An
(x - c)n+ + • • • +
58CÁLCULO II
Substituições por Seno
Substituições envolvendo senθ fazem uso da identidade 
de Pitágoras, 
cosθ2 + sen2θ = 1, para simplificar um integrando envol-
vendo
√ a2 - x2
Exemplo 6:
Determine ∫
Se x = senθ, então dx = cosθ dθ, e a substituição fornece:
∫ ∫ ∫
Agora, ou
√ cos2θ = cosθ ou √ cos2θ = -cosθ
dependendo dos valores assumidos por θ.
Se escolhermos –π/2 ≤ θ ≤ π/2, então cos θ ≥ 0, e assim
√ cos2θ = cosθ
Portanto,
∫ ∫ ∫1 dθ = θ + C = arc senx + C
No último passo das igualdades acima, usamos o fato de que 
θ = arc senx se x = senθ e –π/2 ≤ θ ≤ π/2.
De agora em diante, ao escrevermos uma substituição por 
senθ, iremos sempre supor que o intervalo escolhido foi –π/2 
≤ θ ≤ π/2. O próximo exemplo ilustra como escolher a substi-
tuição quando a ≠ 1.
Exemplo 7:
Usando uma substituição trigonométrica para determinar
√ 1 - x2
1 dx
√ 1 - x2
1 dx =
√ cos2θ
cosθ dθ
√ cos2θ
cosθ dθ =
√ 1 - sen2θ
1 cosθ dθ =
cosθ
cosθ dθ =
√ 4 - x2
1 dx∫
59CÁLCULO II
Dessa vez, escolheremos x = 2 senθ, com –π/2 ≤ θ ≤ π/2, 
tal que 4 -x2 se torne um quadrado perfeito:
√ 4 - x2 = √ 4 - 4sen2θ = 2√ 1 - sen2θ = 2√ cos2θ = 2cosθ.
Então dx = 2cosθ dθ e assim a substituição fornece
∫ ∫ 2cosθdθ = ∫1dθ = θ + C = arc sen( ) + C.
A regra geral para optar por uma substituição por seno é:
Para simplificar √ a2 - x2.
Para a constante, tente x = a senθ, com –π/2 ≤ θ ≤ π/2.
Observe que √a2- x2 é definida apenas no intervalo [-a, a]. 
Supondo que o domínio do integrando seja [-a, a], a substi-
tuição x = a sen θ, com –π/2 ≤ θ ≤ π/2, vale para todo x nesse 
domínio, porque seu conjunto imagem será [-a, a] e terá uma 
inversa θ = arcsen (x/a) em [-a, a].
Substituições por Tangente
Integrais envolvendo a2 + x2 podem ser simplificadas me-
diante substituição que envolva tan θ e as identidades trigo-
nométricas tanθ = senθ/ cosθ e cos2θ + sen2θ = 1.
Exemplo 8:
Determine ∫
Se x = 3 tan θ, então dx = (3/cos2θ) dθ, e assim
Para simplificar a2 + x2 ou √a2- x2
Para a constante, tente x = a tanθ, com –π/2 ≤ θ ≤ π/2
Observe que a2 + x2 ou √a2 + x2 são definidas em (-∞, ∞). Su-
pondo que o domínio do integrando seja (-∞, ∞), a substituição 
x = a tanθ, com –π/2 ≤ θ ≤ π/2, vale para todo x no domínio, 
porque seu conjunto imagem será (-∞,∞) e terá uma inversa 
θ = arc tan (x/a) em (-∞, ∞).
√ 4 - x2
1 dx = 12cosθ
x
2
1
x2 + 9dx:
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
x
3
1
1
+1
1
x2 + 9 dx =
3
cos2 θ dθ =
1
9tan2 θ +9∫
∫ ∫
∫ ∫( ( ( )( ( sen2θcos2θ dθcos2θ
sen2θ + cos2θ= dθ = θ +C = arc tan + C1dθ =
60CÁLCULO II
Problemas Propostos
17. Calcular as integrais definidas usando o método da mudança 
de variável:
a. ∫ dx;
b. ∫ ;
Exemplo 9:
Use uma substituição por tangente para mostrar que as 
duas seguintes integrais são iguais:
∫ √1 + x2 = ∫ dθ
Que área essas integrais representam?
Substituiremos x = tanθ, com –π/2 ≤ θ ≤ π/2, tal que 
dx = (1/cos2θ) dθ e
√1 + x2 = 1 + = =
Quando x = 5 0, tem-se θ = 0 e, quando x = 1, tem-se 
θ = π/4; logo,
∫ √1 - x2dx = ∫ ∫
1
cos3θ
1 π/4
0 0
√ √sen2θcos2θ 1cosθcos2θ + sen2θcos2θ
1
cos θ
1
cos2 θ dθ =
1
cos3 θ dθ ( (( (π/4 π/40 010
2
0
2
1
x2
x3 + 1
3dx
x ln23x
2
2
2
3
1
0
c. ∫ x e3x dx;
d. ∫ 2x3x dx.
d. ∫ dx;
e. ∫cotg x dx;
f. ∫ .
18. Calcular as integrais indefinidas:
a. ∫ 3√3x - 1 dx;
b. ∫ cos(5x + 2)dx;
c. ∫ dx;
ln x
x
x
√x2 + 4
dx
x2 + 4x + 20
Síntese
Neste capítulo você aprendeu algumas técnicas para resolver 
cálculos de integrais por substituição através da mudança de 
variável, por identidades algébricas, frações parciais e substi-
tuição trigonométrica.
61CÁLCULO II
21. Calcule as integrais:
a. ∫ dx;
b. ∫ dx;
c. ∫ dx;
d. ∫ dx;
e. ∫ dx;
19. Calcule a integral ∫ sec x dx:
Sugestão! Escreva sec x = sec x
20. Escreva as formas de decomposição em frações parciais das funções abaixo:
a. ;
b. ;
(sec x + tg x)
(sec x + tg x)
2x + 1
x3- 2x2- 5x + 6
x + 1
x3+ x2- 6x
x3+ x2+ x + 2
x4+ 3x2+ 2
2x3+ x
x - 1
2x2+ 3
(x2 + 1)2
1
x(x2 + x + 1)
2x2- x + 4
x3+ 4x
x + 1
x(x2+ 2x + 3)2
2x2
x3- x2 + x + 3
c. ;
d. ;
62CÁLCULO II
INTEGRAÇÃO 
POR PARTES
Na seção anterior, estudamos como calcular integrais usando 
o método da substituição. Mas, existem algumas integrais, tais 
como: ∫ ln x dx,∫ xexdx, ∫ x3 cos x dx, etc, que não podem ser 
resolvidas aplicando o método da substituição. 
Necessitamos de alguns conhecimentos a mais. Neste caso, 
iniciaremos apresentando a técnica de Integração por partes.
Há essencialmente dois métodos empregados 
no cálculo de integrais indefinidas (primitivas) 
de funções elementares. Um deles é a 
integração por substituição, e o outro método 
é chamado de integração por partes.
63CÁLCULO II
Sejam u(x) e v(x) funções diferenciáveis num intervalo (a,b) .
Então podemos escrever: (uv)’ = uv’ + vu’,
Ou seja, vu’ – (uv)’ – uv’.
Integrando os dois membros da igualdade das expressões 
anteriores, temos:
∫ vu’dv = ∫ (uv)’dx - ∫ uv’dx,
Ou
∫ vdu = uv| - ∫ udv.
E para a integral indefinida tem-se:
∫ vdu = uv| - ∫ udv,
Ou simplesmente
∫ vdu = uv - ∫ udv. (2)
A expressão (2) é conhecida como a fórmula de integração 
por partes.
Quando aplicarmos esta fórmula para resolver a integral 
∫ f(x)dx devemos separar o integrando dado em duas partes, 
uma sendo u e a outra, juntamente com dx, sendo dv. Por essa 
razão o cálculo de integral utilizando a fórmula (2) é chamado 
integração por partes.
Para escolher u e dv, devemos lembrar que:
(I) a parte escolhida como dv, deve ser facilmente integrável;
(II) ∫ v du deve ser mais simples que ∫ u dv.
Vamos colocar em prática?
Calcular a integral: ∫ x e x dx
Resolução: sejam u = x e dv = exdx. Assim, teremos du = dx 
e v = ex. Aplicando a fórmula ∫ u dv = uv - v ∫ v du obtemos:
∫ x exdx = xex - ∫ ex dx
 = x ex - ex + C
b
b
b
b
b
b
b
b b
a
a
a
a
a
a
a
a a
64CÁLCULO II
Calcular integral: ∫ ln x dx
Resolução: sejam u = ln x e dv = dx. Assim, teremos 
du = 1/xdx e v = x
∫ ln x dx = x ln x - ∫ x dx
 = x ln x - x + c
Encontre: ∫ arc tg x dx
Resolução: sejam u = arc tg x e dv = dx. Assim, teremos
du = e v = x. Logo,
∫ arc tg x dx = x arc tg x - ∫ dx
Para calcular a integral ∫ dx, utilizamos a substituição 
t = 1 + x2 → dt = 2xdx, então,
∫ dx = ∫ = ln|t|+ C
= ln(1 + x2) + c, pois x2 é sempre positivo. Portanto,
∫ arc tg x dx = x arc tg x - ln(1 + x2) + C
Determine: ∫ sec3 x dx
Resolução: podemos escrever
∫ sec3 x dx = ∫ sec2 x sec x dx
Fazendo u = sec x, temos du = sec x tg x dx e dv = sec2 x dx 
e v = tg x. Aplicando a fórmula (2), obtemos:
 ∫ sec3 x dx = sec x tg x - ∫ sec x tg2x dx
 = sec x tg x - ∫ sec x(sec2x - 1)dx
 = sec x tg x - ∫ (sec3x - sec x)dx
 = sec x tg x - ∫ sec3x dx + ∫ sec x dx
Simplificando, obtemos:
2∫ sec3x dx = sec x tg x + ∫ sec x dx
Pela tabela de integração sabemos que
∫ sec x dx = ln |sec x + tg x| + C
Logo,
∫ sec3 x dx = sec x tg x + ln|sec x