livro apostila

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vanessa da Luz Vieira 
 
Mestre em Educação Matemática pela Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP-MG) 
(2018). Licenciada em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (UFV-MG) (2015). 
Atualmente é professora de matemática e geometria na rede Municipal de Ipatinga, pro-
fessora da OBMEP na Escola, programa de extensão do Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada. Atua também como autora de materiais didáticos, tutora mestre e 
Coordenadora do curso de Licenciatura em Matemática EAD na Faculdade ÚNICA 
Ipatinga. Tem experiência na área de Educação, com ênfase em Educação Matemática, 
atuando principalmente nos seguintes temas: Educação do Campo, Pedagogia da 
Alternância e Etnomatemática. 
FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA I 
 
1ª edição 
Ipatinga – MG 
2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL 
 
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério 
Diretor Executivo: William José Ferreira 
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos 
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira 
Revisão Gramatical e Ortográfica: Izabel Cristina da Costa 
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Carla Jordânia G. de Souza 
 Rubens Henrique L. de Oliveira 
Design: Brayan Lazarino Santos 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Luiza Filgueiras 
 
 
 
 
 
 
 
© 2021, Faculdade Única. 
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem 
Autorização escrita do Editor. 
 
 
‘ 
 
 
Teodoro, Jorge Benedito de Freitas, 1986 - . 
Introdução à filosofia / Jorge Benedito de Freitas Teodoro. – 1. ed. Ipatinga, 
MG: Editora Única, 2020. 
113 p. il. 
 
Inclui referências. 
 
ISBN: 978-65-990786-0-6 
 
1. Filosofia. 2. Racionalidade. I. Teodoro, Jorge Benedito de Freitas. II. Título. 
 
CDD: 100 
CDU: 101 
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920. 
 
 
 
 
 
NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA 
Rua Salermo, 299 
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG 
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300 
www.faculdadeunica.com.br
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Menu de Ícones 
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo 
aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. 
Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um 
com uma função específica, mostradas a seguir: 
 
 
 
São sugestões de links para vídeos, documentos científi-
co (artigos, monografias, dissertações e teses), sites ou 
links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e 
Biblioteca Pearson) relacionados com o conteúdo 
abordado. 
 
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações 
importantes nas quais você deve ter um maior grau de 
atenção! 
 
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em 
cada unidade do livro. 
 
São para o esclarecimento do significado de 
determinados termos/palavras mostradas ao longo do 
livro. 
 
Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões 
citadas em cada unidade, associando-o a suas ações, 
seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
SUMÁRIO 
CONJUNTOS .............................................................................................. 8 
1.1 DEFINIÇÕES ............................................................................................................. 8 
1.2 DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO .......................................................................... 10 
1.3 CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO ...................................................... 10 
1.4 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS ....................................................................... 11 
1.4.1 Conjunto Universo ......................................................................................... 11 
1.4.2 Igualdade de Conjuntos ............................................................................. 12 
1.4.3 Subconjuntos ................................................................................................. 13 
1.4.4 Propriedades da Inclusão ........................................................................... 14 
1.4.5 União de Conjuntos ...................................................................................... 15 
1.4.6 Propriedades da União ................................................................................ 16 
1.4.7 Interseção de Conjuntos ............................................................................. 16 
1.4.8 Propriedades da Interseção ....................................................................... 17 
1.4.9 Propriedades .................................................................................................. 17 
1.4.10 Diferença de Conjuntos .............................................................................. 18 
1.4.11 Complementar de B em A .......................................................................... 18 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 23 
CONJUNTOS NUMÉRICOS – NATURAIS E INTEIROS ................................ 28 
2.1 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS .............................................................. 28 
2.2 CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS ............................................................... 28 
2.2.1 Operações em ℤ ........................................................................................... 29 
2.3 O CONJUNTO ℤ E A RETA .................................................................................... 29 
2.4 REGRA DE SINAL ................................................................................................... 31 
2.5 DIVISIBILIDADE ...................................................................................................... 32 
2.6 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................................ 33 
2.7 MÁXIMO DIVISOR COMUM ................................................................................. 34 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 35 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ............................................... 38 
3.1 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS .......................................................... 38 
3.2 FRAÇÃO E DECIMAIS ........................................................................................... 39 
3.2.1 Fração ............................................................................................................. 39 
3.3 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES............................................................................... 41 
3.3.1 Soma e Diferença de Frações .................................................................... 41 
3.3.2 Multiplicação e Divisão de Fração ............................................................ 42 
3.3.3 Porcentagem ................................................................................................. 44 
3.3.4 Representação Decimal.............................................................................. 44 
3.4 OPERAÇÕES DOS DECIMAIS ............................................................................... 46 
3.4.1 Adição e Subtração ..................................................................................... 46 
3.4.2 Multiplicação e Divisão ................................................................................ 47 
3.5 EXPRESSÃO NUMÉRICA........................................................................................ 47 
FIXANDO O CONTEÚDO ......................................................................................50 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ......................................................... 53 
4.1 NÚMEROS IRRACIONAIS – 𝕀 ................................................................................. 53 
4.2 CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS - ℝ .............................................................. 54 
4.3 OPERAÇÕES EM ℝ ................................................................................................ 55 
4.3.1 Os números reais na reta ............................................................................. 55 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 57 
 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
02 
UNIDADE 
03 
UNIDADE 
04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
POTÊNCIAS E RAÍZES ............................................................................... 60 
5.1 POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL ..................................................................... 60 
5.2 POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO E NEGATIVO ................................................. 62 
5.3 RADICIAÇÃO ........................................................................................................ 64 
5.4 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES ......................................................... 68 
5.5 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ..................................................................................... 71 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 73 
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL ............................................................. 76 
6.1 NOÇÕES PRIMITIVAS DA GEOMETRIA ................................................................. 76 
6.2 POSIÇÕES RELATIVAS DA RETA ........................................................................... 78 
6.3 FIGURAS PLANAS .................................................................................................. 80 
6.3.1 Nomenclatura dos Polígonos ..................................................................... 81 
6.3.2 Elementos de um Polígono .......................................................................... 82 
6.3.3 Perímetro de Figuras Planas ........................................................................ 82 
6.4 FIGURAS ESPACIAIS ............................................................................................. 85 
6.5 UNIDADES DE MEDIDA ......................................................................................... 89 
6.5.1 Unidades de comprimento ......................................................................... 89 
6.5.2 Unidades de Área ......................................................................................... 90 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 92 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ............................................... 96 
REFERÊNCIAS ........................................................................................... 97 
UNIDADE 
05 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
CONFIRA NO LIVRO 
 
Na primeira unidade do livro, o assunto abordado será sobre 
conjuntos. Alguns conceitos, definições e propriedades desse 
conteúdo serão apresentadas, como também Exemplo:s e 
exercícios. 
Nesta unidade, vamos aprender sobre os conjuntos numéricos, 
sendo os conjuntos dos números naturais (N) e o conjunto dos 
números inteiros (Z). Iremos abordar além de conceitos, a relação 
entre esses conjuntos. 
 
 
Nesta unidade, o assunto continua com conjuntos numéricos, mas 
apresentamos outra definição, sendo o conjunto dos números 
racionais (Q). Além dessa importante definição, outras operações 
são apresentadas. 
Dando continuidade nos conjuntos numéricos, listamos nessa 
unidade, os conjuntos irracionais e reais. Além disso é apresentado 
a relação entre os conjuntos numéricos. 
 
 
Iniciamos a unidade definindo potências de expoente natural. Em 
seguida, de forma similar, foi apresentado o conceito e Exemplo:s 
de potências de expoente inteiro negativo e de expoente 
racional. Mostramos como é feita a racionalização de frações com 
denominadores irracionais e, finalizamos com alguns Exemplo:s de 
expressões numéricas. 
Na última unidade, apresentamos uma noção geométrica, 
pautando os principais conceitos sobre geometria plana e 
espacial. Conceitos importantes tão presentes na vida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
CONJUNTOS 
 
 
 
 
 
Nesta unidade estudaremos sobre conjuntos, elementos, subconjuntos, 
relações que envolvem esses conceitos. Os conjuntos são de suma importância 
para a compreensão de muitos Exemplo:s e práticas, além de estar presente no 
nosso dia a dia. Por Exemplo:, o conjunto das pessoas que fazem curso em EaD na 
Faculdade Ùnica. 
 
 DEFINIÇÕES 
A teoria de conjuntos é fundamental para o estudo da matemática, as 
definições que perpassa essa teoria, são primitivas, sendo assim, algumas são 
incertas. As principais noções são: conjunto, elemento e pertinência entre 
elementos e conjuntos. 
 
 
 
Podemos ter infinitos Exemplo:s de conjuntos, como alguns descritos abaixo: 
 
 O conjunto das vogais; 
 O conjunto formado pelos números ímpares; 
 Conjunto das pessoas que residem em Ipatinga – MG; 
 Conjunto dos alunos da Faculdade Única. 
 
A notação utilizada para representar os conjuntos, é definida do seguinte 
modo: 
 
Um conjunto é uma coleção de objetos bem definidos chamados de elementos, escritos 
entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula, por exemplo, o conjunto dos 
números 7, 8 e 9 pode ser denotado por {7, 8, 9}. 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C, ..., X, Y, Z. 
Já os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, ..., x, y, z. 
 
Para relacionar um elemento à um conjunto, utiliza-se a palavra e o símbolo 
pertence, como mostra os Exemplo:s: 
 
 a pertence ao conjunto das vogais. 
 5 é um elemento do conjunto dos números primos; 
 2 pertence ao conjunto solução da equação x − 5x + 6 = 0. 
 
Sejam B um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto B, 
denotamos (1): 
 
 𝐱 ∈ 𝐁 (1) 
 
Caso x não pertença ao conjunto B, usamos (2): 
 
 𝐱 ∉ 𝐁 (2) 
 
Os conjuntos podem ser representados por diagrama, sendo que os 
elementos pertencentes ao conjunto ficam no interior. No Exemplo: abaixo, temos o 
conjunto A e alguns elementos: 
 
Figura 1: Conjunto A 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Podemos observar que b ∈ A, f ∈ A, mas e ∉ A e d ∉ A. 
Se utilizarmos um conjunto no formato de círculo, esse se denotará como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Diagrama de Venn. 
 
 DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO 
A descrição de um conjunto pode ser realizada de duas formas: pelos 
elementos, quando são listados ou pelas características/propriedades do conjunto. 
Quando os elementos são enumerados, eles são representados entre 
chaves, como nos Exemplo:s a seguir: 
 
 Conjunto dos divisores de 2: {1,2} 
 Conjunto dos meses que iniciam com a letra j: {janeiro, junho e julho} 
 Conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 Conjunto dos múltiplos de 5 até 300: {0, 5, 10, 15, ..., 295, 300} 
 
Quando não são enumerados, os conjuntos podem ser descritos por suas 
propriedades. Considere um conjunto A, com uma característica Q para os 
elementos x, então escrevemos (3): 
 
 A = {x|x tem a propriedade Q} (3) 
 
e lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade Q”. 
 
Observe os Exemplo:s a seguir: 
 
 {x| x é um número primo menor que 10} é o mesmo conjunto que {2, 3, 5, 7}. 
 {x| x é um estado da região Sudeste} pode ser representado por { Minas 
Gerais, São Paulo, Rio de Janeiro e Espírito Santo}. 
 
 CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO 
O conjunto unitário possui apenas um único elemento. 
 
Exemplos: 
 
1) {x| x é um número par e primo}: {2}11 
 
 
2) Conjunto das soluções da equação 5x – 20 = 10: {6} 
 
Já o conjunto vazio, é um conjunto que não possui nenhum elemento. E é 
representado pelo símbolo ∅ ou { }. 
 
Exemplo:s: 
 
1) {x| x é ímpar e múltiplo de 4} = ∅ 
2) {x| x ≠ x} = ∅ 
 
 
 
 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 
Um conjunto é finito quando é enumerável, isto é, pode ser listado seus 
elementos, como pode ser observado nos Exemplo:s abaixo: 
 
 Conjunto das consoantes: {a, b, c, d, e, ..., w, x, z} 
 Conjunto dos divisores de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
 
Intuitivamente, o conjunto é infinito quando não pode ser contado, ele não 
é enumerável. 
 
 O conjunto dos múltiplos de 3: {0, 3, 6, 9, 12, ...} 
 O conjunto das estrelas: infinito 
 
 Conjunto Universo 
Os conjuntos e elementos são analisados dentro de um conjunto maior, que 
no caso, o conjunto universo. Admitimos a existência de um conjunto U ao qual 
pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o 
nome de conjunto universo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Observem nos Exemplo:s a seguir, como a mudança do conjunto universo, 
determina respostas diferentes. 
 
 Conjunto das soluções da equação 2x + 7 = 24 nos números naturais: ∅ 
 Conjunto das soluções da mesma equação, 2x + 7 = 24 no universo dos 
números reais: {8,5} 
 
Pode-se notar que a mudança do universo na resolução da equação, altera 
o conjunto, assim o conjunto universo é extremamente importante e veremos mais 
adiante mais sobre sua utilização. 
 
 Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos são iguais, quando todos os elementos do conjunto A 
pertence a B, se somente se, todo elemento de B pertence a A. Essa igualdade 
pode ser representada por (4): 
 
 A = B ⟺ (∀x)(x ∈ A ⟺ x ∈ B) (4) 
 
Exemplo:s: 
 
 {x| x é inteiro, par e menor que 15} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 
 {a, e, i, o, u} = {e, i, a, u, o} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 Subconjuntos 
Um subconjunto, como o nome sugere, é um conjunto menor que está 
contido dentro de outro. Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e 
somente se, todo elemento de A pertence a B. 
Podemos escrever que, A ⊂ B, que significa que A está contido em B, ou A é 
subconjunto de B. 
 
 
Figura 2: A subconjunto B 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Assim, traduzindo em termos matemáticos, essa relação pode ser escrita 
como (5): 
 
 A ⊂ B ⟺ (∀x) (x ∈ A ⟹ x ∈ B) (5) 
 
 
Exemplos: 
 
1) {a, b} ⊂ {a, b, c, d} 
2) {5, 6} ⊂ {5, 6} 
 
Essa relação também pode ser descrita como B ⊃ A, que significa que “B 
contém A” ou “o conjunto B contém o conjunto A”. 
Como todos os conectores, há a negação, pois quando um subconjunto 
não está contido (⊄) ou um conjunto não contém um subconjunto (⊅). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Exemplos: 
1) {3, 4, 5} ⊄ {4, 5, 6, 7} 
 
2) 
 
 
3) 
 
A ⊄ B ou B ⊅ A 
 
 
 
 
 
 Propriedades da Inclusão 
Considere três conjuntos quaisquer A, B e C, têm-se as seguintes 
propriedades: 
 
 ∅ ⊂ A 
 A ⊂ A (reflexiva) 
No exemplo 2 há elementos de A em B, mas como não são todos, 𝐴 ⊄ 𝐵 𝑜𝑢 𝐵 ⊅ 𝐴. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 (A ⊂ B e B ⊂ A) ⟹ A = B (anti − simétrica) 
 (A ⊂ B e B ⊂ C) ⟹ A ⊂ C (transitiva) 
 
 União de Conjuntos 
Considere dois conjuntos A e B, a união de A e B é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A ou a B, ou seja (6), 
 
 A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B} (6) 
 
Observe que o símbolo U significa união, e se x ∈ A ∪ B ⟹ x ∈ A ou x ∈ B. 
 
Exemplos: 
 
1) 
 
A ∪ B = {a, b, e, f} ∪ {c, d, f, g} = { a, b, c, d, e, f, g} 
 
2) 
 
 
A ∪ B = {a, b, e} ∪ {c, d, f} = { a, b, c, d, e, f} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 Propriedades da União 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, considere as seguintes propriedades: 
 
 A ∪ A = A 
 A ∪ ∅ = A (elemento neutro) 
 A ∪ B = B ∪ A (comutativa) 
 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)(associativa) 
 
 Interseção de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, a interseção de A e B é o conjunto formado por 
elementos que pertencem a A e a B. Como notação matemática, temos (7): 
 
 A ∩ B = { x|x ∈ A e x ∈ B} (7) 
 
O símbolo ∩ significa interseção, isto é, A ∩ B é formado pelos elementos que 
pertence A e B simultaneamente. 
 
Exemplo:s: 
 
1) 
 
A ∩ B = {a, b, e, f} ∩ {c, d, f, g} = {f} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
2) 
 
A ∪ B = {a, b, e} ∩ {c, d, f} = ∅ 
 
 Propriedades da Interseção 
 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, considere as seguintes propriedades: 
 A ∩ A = A 
 A ∩ U = A (elemento neutro) 
 A ∩ B = B ∩ A (comutativa) 
 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)(associativa) 
 
 
 
 Propriedades 
Considere os conjuntos A, B e C quaisquer conjuntos, sendo as seguintes 
propriedades relacionadas a união e interseção: 
 
1) A ∪ (A ∩ B) = A 
2) A ∩ (A ∪ B) = A 
3) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
(distribuição da reunião em relação à interseção) 
4) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
(distribuição da interseção em relação à reunião) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 Diferença de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, a diferença entre A e B é o conjunto 
formado pelos elementos de A que não pertencem a B (8). 
 
 A − B = {x|x ∈ A e x ∉ B} (8) 
 
Exemplo:s 
 
1) 
 
A − B = {a, b, c, d, g} − {d, e, f, g} = {a, b, c} 
 
2) 
 
A − B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} − {3, 6, 7} = {1, 2, 4, 5, 8} 
B − A = { 3, 6, 7} − {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = ∅ 
 
 Complementar de B em A 
Considere dois conjuntos A e B, tais que B está contido em A, chama-se 
complementar de B em relação a A, o conjunto A − B, ou seja, os elementos de A 
que não está em B. O símbolo que representa essa relação é (9): 
 
 ∁ ou B (9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
Figura 3: Complemento de B em A 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Observe que ∁ só é definido para B ⊂ A, assim temos ∁ = A − B 
 
Exemplo:s: 
 
1) Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4}, então ∁ = {1, 2} 
2) Se A = {a, b, c, d, e, } = B, então ∁ = ∅ 
 
No estudo de conjunto, há exercícios que são comuns de concursos, 
vestibulares e ENADE. Vamos estudar alguns Exemplo:s. 
 
Exemplo: 
 
(UFBA) Em uma enquete, várias pessoas foram entrevistadas acerca de suas 
preferências em relação a três esportes, Volei (V), Basquete (B) e Tênis (T), cujos 
dados estão indicados na tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
De acordo com esses dados, é correto afirmar que, nessa enquete, o número de 
pessoas entrevistadas foi: 
 
a) 400 b) 440 c) 490 d) 530 e) 570 
 
Resolução: 
 
Para resolver esse tipo de questão, devemos inserir os dados em um 
diagrama de Venn, pois as interseções devem ser analisadas no início para 
descobrir os valores exatos em relação aos três esportes. Primeiramente vamos 
inserir o valor comum entre os três esportes, pois eles se relacionam com os demais 
valores. 
 
 
Após inserir os 50 na interseção dos três esportes, devemos colocar as 
interseções entre dois esportes. Mas para isso é necessário tirar o valor que é 
comum dos três, assim, teremos os cálculos. 
 
V e T = 130 – 50 = 80 
V e B = 180 – 50 = 130 
B e T = 100 – 50 = 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
Observem os valores encontrados destacados no diagrama, das interseções. 
Agora vamos descobrir os valores que faltam para completar os esportes. 
Realizando os cálculos, retirando os valores já inseridos em cada esporte. 
 
V = 300 – 130 – 50 – 80 = 40 
B = 260 – 130 – 50 – 50 = 30 
T = 200 – 50 – 50 – 80 = 20 
 
 
 
Desse modo, como todos os valores inseridos, vamos somar os valores do 
diagrama com o valor que representa as pessoas que não possui preferência 
nenhuma. Somando, 40 + 130 + 50 + 80 + 30 + 50 + 20 + 40 = 440. Logo a alternativa 
correta é a letra b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22Para mais informações sobre o conteúdo, você pode consultar o livro “Fundamentos de 
Matemática” de autoria de Araujo et al. (2018), unidade 2. O acesso está disponível em: 
https://bit.ly/3fIGN4k. Acesso em: 14 fev. 2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. (CRM ES 2016 – Quadrix) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas 
consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam 
se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum 
desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas 
consultadas nessa pesquisa foi de: 
 
a) 380 
b) 360 
c) 340 
d) 270 
e) 230. 
 
2. Considere A, B e C conjuntos quaisquer. Classifique as seguintes afirmativas em 
verdadeiras ou falsas, e posteriormente marque a alternativa com a sequência 
correta. 
 
 ∅ ⊂ (A ∩ B) 
 A ⊂ (A ∩ B) 
 A ∈ (A ∩ B) 
 (A ∩ B) ⊂ B 
 (A ∩ B) ⊃ (A ∩ B ∩ C) 
 
A sequência correta é: 
 
a) F, V, F, V, V 
b) V, V, F, F, F 
c) V, F, F, V, F 
d) V, V, V, F, F 
e) F, F, F, V, V 
 
3. (UFMG-Adaptado) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
• 600 dos entrevistados leem o jornal A. 
• 825 dos entrevistados leem o jornal B. 
• 525 dos entrevistados leem o jornal C. 
• 180 dos entrevistados leem os jornais A e B. 
• 225 dos entrevistados leem os jornais A e C. 
• 285 dos entrevistados leem os jornais B e C. 
• 105 dos entrevistados leem os três jornais. 
• 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais 
 
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de 
entrevistados foi: 
 
a) 1.200 
b) 2.880 
c) 1.350 
d) 1.250 
e) 1.500 
 
4. (ENEM – Adaptado) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe 
influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje 
que os voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também 
serão inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa 
Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente, apenas os voos 
vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi 
tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, 
da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto 
Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo. 
Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm, 
Acesso em: 09.05.2009.) 
 
Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou 
que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e 
tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do 
México. No diagrama, U representa o conjunto das 
pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do 
México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. 
Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui-se que a região sombreada 
representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas 
caracterizadas como: 
 
a) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. 
b) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. 
c) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. 
d) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. 
e) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. 
 
5. (PUC/Campinas-SP) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três 
programas de TV favoritos: esportes (E), novelas (N) e humorismo (H). A tabela a 
seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas: 
 
Programas Número de Telespectadores 
E 400 
N 1220 
H 1080 
E e N 220 
N e H 800 
E e H 180 
E e N e H 100 
 
Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade 
que não assistem a qualquer dos três tipos de programas é: 
 
a) 200 
b) 300 
c) 900 
d) 100 
e) n.d.a.. 
 
6. Considere três conjuntos A, B e C e tais condições. 
 
 A ∪ B ∪ C = {z, x, v, u, t, s, r, q, p} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 A ∩ B = {r, s} 
 B ∩ C = {s, x} 
 C ∩ A = {s, t} 
 A ∪ C = {p, q, r, s, t, u, v, x} 
 A ∪ B = {p, q, r, s, t, x, z} 
 
Marque a alternativa que indica corretamente o conjunto B. 
 
a) {p, q, r, s} 
b) {p, q, r, u, v} 
c) {t, s, x, u, v} 
d) {r, s, z, x} 
e) {r, s, u, v} 
 
7. Dados os conjuntos A = {x ∈ ℤ| 2 ≤ x < 10} e B = {x ∈ ℝ| x é primo e menor que 20}. 
Assinale a alternativa que corresponde à operação (A − B) ∪ (B − A): 
 
a) {6,8,9,10} 
b) {5,6,11,13,17,19} 
c) {2,3,4,5,6,8,11,13} 
d) {3,6,9,10,11,13,17,19} 
e) {6,8,9,10,11,13,17,19} 
 
8. Considere três conjuntos A, B e C quaisquer. Assinale a alternativa que 
representa (B − A) ∩ C. 
 
A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS – 
NATURAIS E INTEIROS 
 
 
 
 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS 
O conjunto dos números naturais (10), representado por ℕ, é formado pelos 
números 0, 1, 2, 3, … . 
 
 ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … } (10) 
 
Neste conjunto, são definidas duas operações, a adição e a multiplicação, 
que apresentam as seguintes propriedades: 
 
Considere a, b e c elementos do conjunto dos números naturais: 
 
 associativa da adição  (a + b) + c = a + (b + c) 
 comutativa da adição  a + b = b + a 
 elemento neutro da adição  a + 0 = a 
 associativa da multiplicação  (a. b). c = a. (b. c) 
 comutativa da multiplicação  a. b = b. a 
 elemento neutro da multiplicação  a. 1 = a 
 distributiva da multiplicação em relação à adição  a. (b + c) = a. b + a. c 
 
Alguns conceitos, como a subtração será visto nos próximos conteúdos, pois 
pela definição dos números naturais é preciso estender esse conjunto numérico. 
 
 CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS 
O conjunto dos números inteiros (11) é representado pelo símbolo ℤ, e é 
definido pelos números: 
 
 ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } (11) 
 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Nesse conjunto observa-se que ele é uma extensão dos naturais, pois ele 
possui os números inteiros positivos (ℕ) e inteiros negativos. Assim dentro do 
conjunto dos inteiros, existem três subconjuntos notáveis, sendo eles: 
 
 
 Conjunto dos inteiros não negativos (12): 
 
 ℤ = {0, 1, 2, 3, 4, … } = ℕ (12) 
 
 Conjunto dos inteiros não positivos (13): 
 
 ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0} (13) 
 
 Conjunto dos inteiros não nulos (14): 
 
 ℤ∗ = {… , −3, −2, −1, 1, 2, 3, … } (14) 
 
 Operações em ℤ 
No conjunto dos números inteiros, são definidas as operações de adição e 
multiplicação como no conjunto dos naturais e a operação de simétrico da 
adição. 
 
simétrico ou oposto da adição: 
 
Para todo a∈Z, existe-a ∈ Z tal que a+(-a)=0 
 
Assim, a operação de subtração pode ser definida: 
 
Para quaisquer a, b ∈Z, estabelece a operação a-b=a+(-b) 
 
 O CONJUNTO ℤ E A RETA 
O conjunto dos números inteiros pode ser representado por uma reta 
numérica orientada da seguinte maneira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
1. Na reta marcamos a origem, que será representado pelo zero e o sentido 
positivo (à direita da origem) 
 
 
 
2. A partir da origem (zero) no sentido positivo, estabelece um segmento 
unitário u ≠ 0, cuja extremidade será o 1 
 
 
 
3. Para cada número inteiro, marcamos cada segmento unitário até atingir o valor 
do número inteiro. Por Exemplo:, se for o número 5, teremos 5u. 
 
 
 
Observe que quanto mais à direita, maior o número é, portanto pode-se 
concluir que: 
 
 qualquer número negativo é menor que o zero; 
 qualquer número positivo é maior que o zero; 
 qualquer número negativo é menor que um número positivo. 
 
Podemos então relacionar esses dois conjuntosnuméricos por meio de 
diagrama, pois ℕ ⊂ ℤ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
Figura 4: ℕ ⊂ ℤ 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 REGRA DE SINAL 
Nos números inteiros, devemos pontuar algumas regras sobre as operações. 
 
Adição e Subtração 
 
Sinais Iguais: soma e repete o sinal da base. 
 
+ 6 + 7 = + 13 
− 4 – 5 = − 9 
 
Sinais diferentes: subtrai e repete o sinal do número de maior valor absoluto. 
 
+ 8 − 12 = −4 
− 6 + 14 = +8 
 
Multiplicação e Divisão 
 
Sinais Iguais: o resultado será positivo 
(−5). (−9) = +45 
(+2). (+3) = +6 
(−24): (−4) = +6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
Sinais Diferentes: o resultado será negativo 
(+12). (−3) = −36 
(−81): (+9) = −9 
 
 DIVISIBILIDADE 
Uma importante definição no conjunto dos números inteiros é de divisor. 
Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b, representado por a|b, indica que 
existe um c inteiro tal que c.a=b. 
 
 a|b ⟺ (∃ c ∈ ℤ|ca = b) (15) 
 
Exemplo:s: 
 
1. 3|18 pois 6.3 = 18 
2. 5| − 35 pois (−7). 5 = −35 
3. −4|32 pois (−8). (−4) = 32 
4. 2|0 pois 0.2 = 0 
 
 
 
Assim quando a é divisor de b, podemos escrever que “b é divisível por a” ou 
“b é múltiplo de a”. Indicamos D(a) o conjunto dos divisores de a, e M(a) o 
conjunto dos múltiplos de a. 
 
Exemplo:s: 
 
D(3) = {1, −1, 3, −3} 
D(5) = {1, −1, 5, −5} 
M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, … } 
M(5) = {0, ±5, ±10, ±15, … } 
 
Observe que são listados todos os divisores e múltiplos, os positivos e 
negativos. Quando esse assunto é trabalhado na escola, abordamos apenas os 
Seja 𝑎 ∈ ℚ, podemos falar que 0|a? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
divisores e múltiplos positivos, pois o conteúdo é abordado nos 5° e 6° anos, onde o 
aluno têm apenas o conhecimento dos números naturais. 
Um número especial p é chamado de primo, quando seus divisores são 
apenas o 1 e o p nos números naturais ou {1, -1, p, -p} no conjunto dos números 
inteiros. 
São alguns Exemplo:s de números primos, 2, 3, 5, 7, 11, -2, -3. 
 
 
 
 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
Mínimo múltiplo comum (mmc), como o próprio nome sugere é o menor 
múltiplo comum diferente de zero entre dois ou mais números inteiros ou naturais. 
Por Exemplo:, no conjunto dos números naturais, o mmc (3, 4) = 12, pois M(3) =
 0, 3, 6, 9, 12 , … e M(4) = 0, 4, 8, 12 , …. 
 
 
 
O mmc também pode ser calculado de uma forma prática. 
 
Por Exemplo:, calcule o mmc(6,9): 
. 
6 9
3 9
1
1
3
1
2
3
3
18
 
Para calcular, fatoramos os números 6 e 9 em fatores primos, e multiplica-se 
esses números primos e assim encontramos o mmc(6,9) = 18. 
O menor múltiplo comum (m.m.c) deve ser o menor múltiplo diferente de zero, pois o 
zero é múltiplo de todos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 MÁXIMO DIVISOR COMUM 
O máximo divisor comum (m.d.c) é o maior divisor igual entre dois ou mais 
números inteiros. 
 
Exemplo:: 
 
O mdc (12, 18)=6, pois D(12)= 1, 2, 3, 4, 6 , 12 e D(18)= 1, 2, 3, 6 , 9, 18 . 
 
Do mesmo modo do mmc, o mdc pode ser calculado de outra maneira, 
como definido a seguir. 
Considere o mesmo Exemplo: mdc(12, 18) = 6 
 
 
 Para calcular o mdc, fatoramos os números, destacamos os fatores primos 
que são divisores comuns dos números, e depois multiplicamos esses fatores. 
 
 
 
 
 
O m.d.c pode ser calculado utilizando o Algoritmo de Euclides. Nesse cálculo, é utilizada 
uma outra ferramenta que obtém o valor do máximo divisor comum. Para saber mais, 
veja em: https://bit.ly/3dy9TRr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Analise as seguintes operações em verdadeiras ou falsas. 
 
I. ℕ ∪ ℤ = ℤ 
II. (2 − 3) ∈ ℕ 
III. 0 ∈ ℤ 
IV. (−𝟒). (−𝟓) ∈ ℤ 
 
Indique a sequência correta das afirmativas. 
 
a) VFVV 
b) VVFV 
c) VFVF 
d) FFVV 
e) VVFV 
 
2. Utilizando o algoritmo estudado, e calcule o mmc dos seguintes números no 
conjunto dos naturais. 
 
 (2, 3) 
 (6, 8) 
 (10, 15) 
 (7, 11) 
 
Assinale a alternativa que corresponde os valores encontrados. 
 
a) 6, 30, 24, 77 
b) 6, 24, 30, 77 
c) 6, 48, 150, 77 
d) 6, 48, 30, 77 
e) 12, 24, 30, 77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
3. (OBMEP – Adaptado) Dois rolos de arame, um de 210 metros e outro de 330 
metros, devem ser cortados em pedaços de mesmo comprimento. Quantos 
pedaços isto pode ser feito se desejamos que cada um destes pedaços tenha o 
maior comprimento possível? 
 
a) 7 pedaços 
b) 11 pedaços 
c) 35 pedaços 
d) 18 pedaços 
e) 55 pedaços 
 
4. (OBMEP – Adaptado) Dois ciclistas correm numa pista circular e gastam, 
respectivamente, 30 segundos e 35 segundos para completar uma volta na pista. 
Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo os dois 
atletas se encontram, pela primeira vez, no local de largada. Depois de quanto 
tempo da largada ocorrerá o encontro? 
 
a) 60 segundos 
b) 70 segundos 
c) 90 segundos 
d) 210 segundos 
e) 420 segundos 
 
5. (OBMEP – Adaptado) Se a = 2 . 5 . 7 identifique qual dos seguintes números são 
múltiplos de a: 
 
a) 2 . 5 . 7 
b) 2.5. 7 . 13 
c) 2 . 5 . 7 
d) 2 . 3 . 5 
e) 2 . 3. 5 . 7 . 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
6. Calcule o valor da expressão numérica envolvendo números inteiros. 
 
[(18 + 3.2): 6 + 5.7] − 24 
 
a) 15 
b) 18 
c) 24 
d) 39 
e) 42 
 
7. Analise as afirmativas a seguir sobre o conjunto dos números naturais e inteiros. 
 
I. (−4). (−3). (−2) ∈ ℕ 
II. (−3 + 54 − 22 − 29) ∈ ℤ∗ 
III. (ℕ ∩ ℤ) ⊂ ℕ 
IV. (−12): (+6) − 1 = −3 
 
Marque a alternativa que corresponde a sequência correta das afirmativas. 
 
a) V, F, V, V 
b) F, F, V, V 
c) V, V, F, F 
d) F, F, F, V 
e) V, V, V, F 
 
8. Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao 
mesmo tempo, por 4, 8 e 10. 
 
a) 80 
b) 100 
c) 110 
d) 120 
e) 160 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
RACIONAIS 
 
 
 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS 
O conjunto dos números racionais, representado pelo símbolo ℚ, é o 
conjunto dos números que são representados por uma fração, sendo , em que a ∈
ℤ e b ∈ ℤ∗, no qual a é o numerador e b o denominador. 
 
Exemplo: 
 
Vamos abordar algumas propriedades importantes desse conjunto, como a 
adição e multiplicação. E uma nova operação será definida, a divisão. 
Considere a, b, c, d, e, f, g ∈ ℤ e as seguintes propriedades. 
 
 + + = + + 
 + = + 
 + 0 = 
 + − = 0 
 . . = . . 
 . = . 
 . 1 = 
 . + = . + . 
 
Outra operação que podemos definir, é o simétrico ou inverso da 
multiplicação. Assim, para todo ∈ ℚ∗, existe ∈ ℚ tal que . = 1. 
Portanto podemos definir em ℚ∗ a operação de divisão, sendo : = . 
para quaisquer e ∈ ℚ∗. 
 
 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 FRAÇÃO E DECIMAIS 
 Fração 
Uma fração representa quando um todo, é dividido em partes, e indicamos 
uma parte ou a união delas em relação ao todo. Como mencionado 
anteriormente a fração é composta por dois números inteiros, sendo: 
 
 o denominador representa as partes do todo que foram divididas. 
 o numerador indica uma unidade ou união de algumas das partes que foram 
divididas. 
 
Assim, a fração é representada por dois termos, a e b ∈ ℤ, b ≠ 0, sendo o 
numerador a e o denominador b. 
Na fração , temos 4 como numerador e 9 como denominador. Ela pode 
representar por Exemplo:, que um chocolate foi dividido em 9 partes e repartido 4 
desses pedaços. 
As frações possuem nomes diferentes conforme os números, por Exemplo:, 
se lê “cinco oitavos”. Já a fração que possui denominador maior que 10, usamos 
avos após o número do denominador. Assim, a leitura da fração será “três 
quatorze avos”. 
 
Exemplo: 
Uma loja possui 50kg de laranja, e precisam vender dessa fruta para não perder a 
mercadoria. Quantos quilos a loja deverá vender? 
 
Resolução: 
Para resolver, temos quemultiplicar 50 por , isto é, 
 
50.
2
5
= 
50.2
5
=
100
5
= 20 
 
Portanto a loja precisará vender 20 kg de laranja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
Dadas duas frações e com b ≠ 0 e d ≠ 0, são iguais se e somente se a. d =
b. c, ou seja, a. d = b. c ⟺ = com b ≠ 0 e d ≠ 0. Quando acontece essa igualdade, 
dizemos que as frações são equivalentes. 
 
Simplificação 
 
Exemplo:: 
2
7
=
6
21
, pois 2.21=7.6=42, assim elas são equivalentes 
 
Com a igualdade de frações, encontramos as frações equivalentes. 
 
As frações são classificadas como próprias e impróprias. A primeira, são 
frações que possuem o numerador menor que o denominador, por Exemplo:, e . 
Já as frações impróprias possuem o numerador maior ou igual ao denominador, 
Exemplo:, . 
As frações impróprias podem ser transformadas em frações mistas, isto é, 
representam a parte inteira e fracionária. Por Exemplo:, a fração = 1 + = 1 , 
assim a fração imprópria = 1 . 
Como sabemos, as frações representam uma divisão, assim, pode-se 
transformar uma fração imprópria em mista ou vice versa utilizando a operação da 
divisão. Considere a fração imprópria, , realizando a divisão, 
 
 
 
11 2 
 10 5 
 1 
 
Assim, consideramos a parte inteira o número do quociente e o número do 
resto o numerador da fração mista. Logo a fração mista de será 5 . Para 
transformar a mista em imprópria, multiplicamos a parte inteira pelo denominador e 
somamos com o numerador e obtemos o numerador da fração imprópria, e o 
denominador se repete, isso porque sempre estamos trabalhando com o todo 
repartido. Então 5 = 5x2 + 1 = 11 ⟹ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
Exemplo:: 
 
Indique qual fração é maior ou 8 . 
 
Resolução: 
 
Para resolver, vamos primeiramente transformar a fração mista em imprópria, 
8 = = . Analisando as duas frações, como possuem o mesmo denominador, 
a maior é a que possui maior denominador, que será a 8 . 
 
 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 Soma e Diferença de Frações 
 Para calcular a soma e a diferença de duas ou mais frações, é preciso 
verificar se os denominadores são iguais. Se for, basta repetir o denominador e 
somar ou subtrair os numeradores. Observe os Exemplo:s a seguir: 
 
3
8
+
7
8
=
3 + 7
8
=
10
8
=
5
4
 
10
7
−
5
7
=
10 − 5
7
=
5
7
 
 
No caso das frações possuírem denominadores diferentes, é preciso 
encontrar frações equivalentes que tenham denominadores iguais. Para isso 
calculamos o mínimo múltiplo comum (m.m.c). 
 
Exemplo: 
 
Encontre o resultado da seguinte operação + + 
 
Resolução: 
As frações possuem diferentes denominadores, assim, é preciso calcular o 
m.m.c de (4, 8, 12), isto é, m.m.c (4, 8, 12) = 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
Agora, vamos encontrar as frações equivalentes com o denominador 24, e 
resolver a operação. 
 
1
4
+
3
8
+
5
12
=
6
24
+
9
24
+
10
24
=
6 + 9 + 10
24
=
25
24
 
 
Assim, a resposta é . 
 
Exemplo: 
Simplifique a expressão numérica − . 
Os denominadores são diferentes, portanto é preciso encontrar o m.m.c (4, 
10). 
 
4 10 2 
2 5 2 
1 5 5 
1 1 20 
 
Substituímos as frações por frações equivalentes que possuam o 
denominador igual a 20 e simplificamos a expressão. 
9
10
−
1
4
=
18
20
−
5
20
=
13
20
 
Logo, a simplificação da expressão numérica é 
 
 Multiplicação e Divisão de Fração 
A multiplicação de frações é realizada multiplicando o numerador pelo 
numerador, e o denominador pelo denominador. Dados 
 
 e ∈ ℚ, b ≠ 0 e d ≠ 0, o 
produto dessas duas frações é . = .
.
. Por Exemplo: 
 
4
7
.
3
5
=
12
35
 
2
9
.
3
11
=
6
99
=
2
33
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
Na divisão das frações, conservamos a primeira fração, mudamos o sinal 
para multiplicação e invertemos a segunda fração. Dados e ∈ ℚ, b ≠ 0 e d ≠ 0, 
temos a divisão : = . ou = . . Observe alguns Exemplo:s: 
 
7
10
2
5
=
7
10
.
5
2
=
35
20
=
7
4
 
1
6
:
3
8
=
1
6
.
8
3
=
8
18
=
4
9
 
 
Exemplo: 
Simplifique a fração .
.
. 
Resolução: 
Para resolver, precisamos escrever os números como fatores primos, para depois 
simplificar (cortar os termos comuns). 
20.7
15.14
=
2.2.5.7
3.5.2.7
=
2
3
 
 
 
Exemplo: 
Simplifique a fração , sendo x ≠ 0, y ≠ 0 e z ≠ 0. 
 
Resolução: 
 
Nesse exercício, os fatores são números e letras, assim vamos escrevê-los em 
fatores. 
 
2.2. x. x. x. y. y
2.3. x. x. y. z. z. z
=
2xy
3z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 Porcentagem 
A porcentagem é uma forma de representar uma fração , sendo b = 100. 
Nesse tipo de representação usamos o símbolo %, que se lê por cento e significa 
por cem. Assim, por Exemplo:, 30% significa . A porcentagem é muito utilizada 
para indicar dados de pesquisa, doenças, pessoas entre outros. 
 
Exemplo: 
 
Supondo que uma fila de espera para um transplante de fígado tinha cerca 
de 6200 pacientes, dos quais 61% não tiveram condições para receber o 
transplante, quantos restaram na fila? 
 
Resolução: 
Vamos calcular 61% de 6200, isto é, 
 
61% de 6200 = 
61
100
. 6200 =
61
100
.
6200
1
=
378200
100
= 3782 
 
Assim, restam na fila 3782 na fila. 
 
 
 
 Representação Decimal 
Todo número racional pode ser representado por um número decimal. 
Para isso dividimos a por b, isto é, o numerador pelo denominador. Quando é 
realizada essa transformação, podemos encontrar dois tipos de números decimais. 
 
1) Quando possui uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero. 
 
Quando queremos calcular uma porcentagem de outra porcentagem, o que fazemos? 
Exemplos 40% de 60%? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
5
1
= 5 
1
2
= 0,5 
5
4
= 1,25 
12
100
= 0,12 
 
2) Quando o número possui uma quantidade infinita de algarismos que se 
repetem periodicamente, que é chamada de dízima periódica. 
 
1
7
= 0, 777 … = 0, 7 (período 7) 
8
33
= 0,2424 … = 0, 24 (período 24) 
259
990
= 0,2616161 … = 0,261 (período 61) 
 
Podemos observar que os números decimais podem ser escritos na forma de 
fração . Para cada situação, a fração se altera. 
 
 Número decimal exato 
O numerador da fração será o número decimal sem a vírgula, e o 
denominador o algarismo 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas 
decimais do número dado. 
 
4,15 = 
415
100
; 8,9256 =
89256
10000
; 0,64 =
64
10
 
 
 Dízima Periódica 
Para transformar a dízima periódica em geratriz (fração), devemos analisar 
se a dízima é simples ou composta. A dízima simples é composta apenas pelo 
período, já a dízima composta possui o período e algarismos que não se repetem. 
Observe os Exemplo:s a seguir de cada uma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
a) Dízima periódica simples: para cada algarismo que se repete no período, 
acrescenta o algarismo 9 no denominador, e escrevemos o período no 
numerador. 
 
0, 232323 … = 
23
99
 
1,767676 … = 1 + 
76
99
= 
175
99
 
 
b) Dízima periódica composta: para cada algarismo que se repete no período 
acrescenta o algarismo 9, e o 0 para cada número que não se repete na 
parte decimal, no denominador. No numerador escrevemos o número 
composto pela parte que não se repete com a que se repete e subtraímos a 
parte que não se repete. 
 
0,4565656 … =
456 − 4
990
=
452
990
 
2,0913913913 … = 2 +
913 − 0
9990
= 2 +
913
9990
=
20893
9990
 
 
 
 
 OPERAÇÕES DOS DECIMAIS 
 Adição e Subtração 
A adição e subtração é definida, armando os números decimais um 
embaixo do outro, sendo vírgula abaixo de vírgula, e posteriormente realizando os 
cálculos. Como por Exemplo: 
 
 3,45+8,93= 12,38 
3,45 
+ 8,93 
 12,38 
Há outras maneiras de obter a fração geratriz, envolvendo equação do 1° grau. Saiba 
mais no vídeo do YouTube da página matemática no papel. Disponível em: 
https://bit.ly/3rKYPFC. Acesso em: 27 mar. 2021. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 14,89 – 9,23= 5,66 
 14,89 
+ 9,23 
 5,66 
 
 4,76 + 19,734 = 24,494 
 4,760 
+19,734 
 24,494 
 
 Multiplicação e Divisão 
 
A multiplicação de números decimais, é realizada multiplicando os números 
normalmente e depois, a vírgula deve ser inserida de modo a deixar o número de 
casas decimais igual à soma da quantidade de casas decimais dos fatores 
multiplicados. Por Exemplo: 
 
3,46 8,7 
X 1,29 X 3,15 
 3094 435 
+ 692 + 87 
 346 261 
 4,4614 25,405 
 
Na divisão, armamos o divisor e dividendo, e devemos igualar as casas 
decimais, preenchendo com zero, quando necessitar. Após isso, ignoramos a 
vírgula, e realizamos a divisão. Por Exemplo: dividir 31,15 por 3,5. 
 
 31,15 3,50 
- 2800 8,9 
- 3150 
 3150 
 0 
 
 
 EXPRESSÃO NUMÉRICA 
As expressões numéricas, são conjuntos de operações definidas entre 
parênteses, colchetes e chaves. Para resolver existe uma ordem a ser seguida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
Entre os símbolos, temos: 
 
1. Parênteses 
2. Colchete 
3. Chaves 
 
Nas operações, a ordem é a seguir: 
 
1. Potenciação ou Radiciação 
2. Divisão ou Multiplicação 
3. Soma ou Subtração 
 
Exemplo: 
 
Resolva a expressão numérica 
 
60 ÷ {2 · [−7 + 18 ÷ (−3 + 12)]} – [7 · (−3) – 18 ÷ (−2) + 1] 
 
Resolução: 
 
Iniciamos a resolução pelos parênteses 
 
60 ÷ 2 · −7 + 18 ÷ (−3 + 12) – [7 · (−3)– 18 ÷ (−2) + 1] 
60 ÷ {2 · [−7 + 18 ÷ 9]} – [7 · (−3) – 18 ÷ (−2) + 1] 
 
Agora vamos analisar os colchetes, e as operações que tem prioridade 
 
60 ÷ {2 · [−7 + 18 ÷ 9]} – [7 · (−3) −18 ÷ (−2) + 1] 
60 ÷ 2 · −7 + 2 – 7 · (−3) + 9 + 1 
60 ÷ {2 · (−5)} – [−21 + 9 + 1] 
60 ÷ {2 · (−5)}– [−11] 
 
Ficamos nesse momento nas chaves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
60 ÷ 2 · (−5) – [−11] 
60 ÷ (−10)– [−11] 
 
E por fim do lado externo aos símbolos, seguindo a ordem das operações 
 
60 ÷ (−10) – [−11] 
−6 – [−11] 
−6 + 11 
+5 
Logo o resultado é +5. 
 
 
 
Para mais informações sobre o conteúdo, você pode consultar o material da biblioteca 
person, no livro “Fundamentos de Matemática”, de autoria de Araujo et al. (2018), 
unidade 9 e 13. O acesso está disponível no link https://bit.ly/3mm5hSv. Acesso em: 13 
fev.2021. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Calcule o valor da expressão 0,999 … + e assinale a alternativa que 
corresponda a solução. 
a) 2 
b) 
c) 
d) 
e) 1 
 
2. (ENEM-2021) Um jogo pedagógico é formado por cartas nas quais está impressa 
uma fração em uma de suas faces. Cada jogador recebe quatro cartas e 
vence aquele que primeiro consegue ordenar crescentemente suas cartas pelas 
respectivas frações impressas. O vencedor foi o aluno que recebeu as cartas 
com as frações: 3/5, 1/4, 2/3 e 5/9. A ordem que esse aluno apresentou foi. 
 
a) 1/4, 2/3, 3/5, 5/9 
b) 1/4, 5/9, 3/5, 2/3 
c) 2/3, 1/4, 3/5, 2/3 
d) 5/9, 1/4, 3/5, 2/3 
e) 2/3, 3/5, 1/4, 5/9 
 
3. (OBMEP) Um garrafão cheio de água pesa 10,8 kg. Se retirarmos metade da 
agua nele contida, pesar a 5,7 kg. Quanto pesa, em gramas, esse garrafão 
vazio? 
 
a) 400. 
b) 500. 
c) 600. 
d) 700. 
e) 800. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
4. (OBMEP – Adaptado) Sófocles recebe R$15,60 por hora como garçom. Em um 
determinado dia, ele recebeu R$148,20 pelo seu trabalho. Quanto tempo ele 
trabalhou neste dia? 
 
a) 8 horas 
b) 8 horas 30 minutos 
c) 9 horas 
d) 9 horas e 30 minutos 
e) 9 horas e 50 minutos 
 
5. Um salão de festa possui um formato retangular com 22,5 m por 18,2 m. Para 
instalar um piso, são gastos R$ 8,40 por m². Calcule o valor gasto na instalação 
do piso. 
 
a) R$ 683,76 
b) R$ 1.367,52 
c) R$ 2.735,04 
d) R$ 3.439,80 
e) R$ 5.743,58 
 
6. (ENEM – 2013) Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. 
Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma 
dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em 
milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de 
existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio 
anual. O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo 
do tempo (em anos) de existência de cada empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
O empresário decidiu comprar a empresa: 
 
A) F 
B) G 
C) H 
D) M 
E) P 
 
7. Encontre o valor da expressão numérica. 
5
4
.
7
3
− 1
2
9
− 3
 
Marque a alternativa correspondente ao valor correto. 
 
a) 
b) 
c) − 
d) − 
e) − 
 
8. Considere uma sequência de números 
−3; 
234
10
; 7,81; −
8
11
; 0,21111 … ; −6, 7 
 
Indique a ordem crescente desses números. 
 
a) −6, 7; −3; − ; ; 7,81; 0,21111 … ; 
b) − ; −6, 7; −3; 0,21111 … ; 7,81; 
c) − ; −6, 7; −3; 7,81; 0,21111 … ; 
d) −3; − ; −6, 7; 7,81; 0,21111 … ; 
e) −3; − ; −6, 7; 7,81; ; 0,21111 … 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
 
 
 
 
Os conjuntos de números são representados por letras, como os símbolos Z e 
Q, que são derivados do alemão Zahl (número) e Quocient (quociente). 
Primeiramente, esse símbolos foram usados na obra "Éléments deemathématique: 
Algèbre" de Nicolas Bourbaki. Nicolas Bourbaki é o pseudônimo de um grupo de 
matemáticos franceses criado em 1935. 
A seguir vamos abordar outros conjuntos numéricos, sendo os irracionais e os 
reais. Eles são representados pelos símbolos 𝕀 e ℝ respectivamente. Esses conjuntos 
são importantes, e englobam operações como os conjuntos vistos anteriormente. 
 
 NÚMEROS IRRACIONAIS – 𝕀 
Os números irracionais, representado pelo símbolo 𝕀, são números decimais 
que possuem infinitas casas decimais, não periódicas. Ou seja, não possuem 
representação em fração. Segue alguns Exemplo:s de números irracionais. 
 
 7,89436231... 
 0,3425187... 
 -5,98009832... 
 
Alguns números irracionais são usuais na matemática, como: 
 
 √2 = 1,4142135 … 
 π (pi) = 3,141592 … 
 e = 2,71828182 … 
 
 
Prove que √2 ∉ ℚ. 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
Um número irracional que é fácil ser identificado, é a raiz quadrada de 
números primos, isto é, se p é primo e positivo, p é irracional. Assim, √7, √11, √13 são 
números irracionais. 
As operações usuais definidas nos outros conjuntos, também são utilizadas no 
conjunto, entretanto quando há operações entre racionais e irracionais, o resultado 
será irracional. Desse modo, dados a irracional e r racional não nulo, então: 
 
 
a + r, a. r,
a
r
 e 
r
a
 são irracionais. 
 
Exemplo: 
 
√5 + 3, 6√2,
√7
8
,
4
√2
 
 
Percebemos que o conjunto dos irracionais, é disjunto dos racionais, ou seja, 
não possuem elementos em comum. 
 
 CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS - ℝ 
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais, é 
denominado conjunto dos números reais (ℝ). Assim, os naturais, inteiros, racionais e 
irracionais formam o conjunto dos reais. 
 
Figura 5: Conjunto dos Números Reais 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 
 
Observamos pelo diagrama que, ℚ ∪ 𝕀 = ℝ. Então podemos dizer que o 
complemento de ℚ em relação à ℝ é 𝕀, e vice versa. 
Além desses subconjuntos dos reais, podemos destacar os seguintes: 
 
 ℝ = conjunto dos números reais não negativos 
 ℝ = conjunto dos números reais não positivos 
 ℝ∗ = conjunto dos reais não nulos 
 
 OPERAÇÕES EM ℝ 
As operações de soma, subtração e multiplicação em ℝ são definidas como 
no conjunto dos racionais. A divisão está definida em ℝ∗. Na próxima unidade 
iremos abordar outras operações presentes no conjunto dos reais. 
 
 Os números reais na reta 
Como vimos em unidades anteriores, os números podem ser representados 
na reta numérica. Na unidade 2, destacamos os números inteiros. 
 
 
 
Do mesmo modo, podemos destacar os númerosreais, tanto os racionais 
como os irracionais. Devemos pensar, que entre os números inteiros há espaços 
sem ser preenchidos, que pode ser inserido os racionais, e entre esses, os irracionais. 
Assim, obtemos os conjuntos dos reais na reta numérica. 
 
Como mostra o diagrama, os conjuntos numéricos possuem uma relação de inclusão. No 
entanto, como apresentado, os conjuntos dos irracionais não possuem os demais 
subconjuntos, pois ℚ ∩ 𝕀 = ∅. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
 
Essa reta representa todo o conjunto dos reais, cuja nomenclatura é reta real 
ou reta numérica. 
Observamos que os conjuntos numéricos se relacionam, e desse modo 
mantém propriedades e valores em comum. 
 
 
 
Para mais informações sobre os conjuntos numéricos, pesquise na minha biblioteca, o 
livro “Fundamentos de Matemática” de autoria de Araujo et al. (2018), na Unidade 2, 
“Conjuntos Numéricos”. Disponível em: https://bit.ly/3rOR3ub. Acesso em: 29 mar. 
2021. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Analise as afirmativas abaixo. 
 
I. ℕ ⊂ ℝ 
II. 4 + √5 ∈ ℚ 
III. √ ∈ ℝ 
IV. 3 − √7 ∈ (ℝ − ℚ) 
 
2. Assinale a alternativa que corresponde a sequência correta. 
 
a) V, V, V, V 
b) F, V, F, V 
c) V, V, F, V 
d) V, F, V, V 
e) F, F, F, V 
 
3. O resultado da operação √
√
 .
√ pertence a qual conjunto numérico? 
 
a) Racionais 
b) Inteiros 
c) Naturais 
d) Nulo 
e) Irracionais 
 
4. Os conjuntos numéricos se relacionam, como vimos nas unidades. O resultado 
da operação (ℤ ∪ ℚ) é: 
 
a) ℝ 
b) 𝕀 
c) ℤ 
d) ℕ 
e) ℚ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
5. Observe as proposições abaixo, e aponte a verdadeira. 
 
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro. 
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números 
irracionais tem 1 elemento. 
c) O número 1,83333... é um número racional. 
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
e) A multiplicação de um inteiro com um irracional, é racional. 
 
6. O valor da expressão abaixo, quando a = 8 e b = 15, é: 
b
(b − a)
 
 
a) Um número natural 
b) Um número inteiro 
c) Um número irracional 
d) Um valor nulo 
e) Um número racional 
 
7. Sobre os conjuntos numéricos, marque a alternativa correta. 
 
a) Alguns números naturais são também racional. 
b) Um número racional pode ser irracional. 
c) Todo número negativo é um número inteiro. 
d) O conjunto dos números reais é formado pela interseção dos números racionais e 
irracionais. 
e) As dízimas periódicas são consideradas números racionais, portanto são também 
números reais. 
 
 Seja A = {3,5}, B = {3,5,8} e C = {8,10}, determine os elementos da operação (A U 
B) ∩ (B U C). 
 
a) {3,5,8} 
b) {3,5} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
c) {8,10} 
d) {3,5,8,10} 
e) {3,10} 
 
8. Sobre os conjuntos numéricos, julgue as afirmativas a seguir. 
 
I. A diferença entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos números 
racionais é igual ao conjunto dos números irracionais. 
II. pertence ao conjunto dos números irracionais. 
III. O resultado de (-7,5).(+2) é um número natural. 
 
Marque a alternativa correta. 
 
a) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
c) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
POTÊNCIAS E RAÍZES 
 
 
 
 POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL 
A potenciação, também conhecida como exponenciação, é a 
multiplicação de um determinado número por ele mesmo diversas vezes. 
Para escrever essas multiplicações em forma de potenciação, usamos a 
seguinte notação (16): 
 
 a = a. a. a . . . a
 
. (16) 
 
Na representação acima lê-se “a elevado à n”. Nela, o número real não-nulo 
a é chamado de base, é o número que está sendo multiplicado por ele mesmo. Já 
o número natural n é chamado de expoente e, representa a quantidade de vezes 
que o número é multiplicado. O resultado dessa multiplicação é chamado de 
potência. 
Vejamos alguns Exemplos na tabela abaixo: 
 
Tabela 1: Exemplos de potenciação 
BASE EXPOENTE REPRESENTAÇÃO POTÊNCIA 
2 4 2 = 2.2.2.2 = 16 
(2 elevado à 4 é igual à 16) 
16 
5 2 5 = 5.5 = 25 
(5 elevado à 2 é igual à 25) 
25 
3 5 3 = 3.3.3.3.3 = 243 
(3 elevado à 5 é igual à 243) 
243 
7 1 7 = 7 
(7 elevado à 1 é igual à 7) 
7 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)a (2021) 
 
Nos Exemplos acima, consideramos expoentes diferentes de zero. Caso o 
expoente seja zero, independente da base, a potência será sempre igual à 1. 
 
 
 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
Exemplos: 
 
5 = 1 
(−2) = 1 
(0,27) = 1 
18947623 = 1 
 
Vejamos agora algumas propriedades das potências de expoente natural. 
Para isso, considere a, b ∈ ℝ e m, n ∈ ℕ. Então valem as seguintes propriedades: 
 
I. Produto e potências de mesma base (17): 
 
 a . a = a (17) 
 
 
II. Divisão de potências de mesma base (18): 
 
 a
a
= a , com m ≥ n (18) 
 
III. Potência de um produto (19): 
 
 (a. b) = a . b (19) 
 
IV. Potência de um quociente (20): 
 
 = com b ≠ 0 
 
(20) 
 
V. Potência de potência (21): 
 
 (a ) = a . (21) 
 
Exemplos: 
 
5 . 5 = 5 = 5 = 125; 
10
10
= 10 = 10 = 10; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
(5.7) = 5 . 7 = 25.49 = 1225; 
1
2
=
1
2
=
1
8
 
(2 ) = 2 = 64 
 
 POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO E NEGATIVO 
Dado um número real não-nulo a e um número natural n, definimos a 
potência a () da seguinte forma: 
 
 
a =
1
a
 (22) 
 
Ou seja, a potência de base real não-nula e expoente inteiro negativo é 
definida como o inverso da potência correspondente de expoente positivo. 
 
Exemplos: 
 
3 =
1
3
=
1
3
 
2 =
1
2
=
1
2.2.2
=
1
8
 
(−4) =
1
(−4)
=
1
(−4). (−4). (−4)
=
1
−64
= −
1
64
 
2
3
=
1
2
3
=
1
2
3
=
1
4
9
=
9
4
=
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
Exemplos: 
 
5
4
=
4
5
=
4
5
=
16
25
; 
1
6
=
6
1
=
6
1
= 216 
 
Dados a, b ∈ ℝ não-nulos e m, n ∈ ℤ, as potências de expoentes inteiros 
negativos possuem as seguintes propriedades: 
 
 a . a = a (23) 
 
 a
a
= a (24) 
 
 (a. b) = a . b (25) 
 
 a
b
=
a
b
 (26) 
 
 (a ) = a . (27) 
 
Observe que as propriedades são iguais às propriedades das potências de 
expoente natural, apenas a propriedade (24) se altera, podendo m e n serem 
quaisquer. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule o valor da expressão : 
 
2 . 4 . 2
2 . 8
 
Solução: 
 
Observe que: 
 
4 = (2 ) = 2 e 8 = (2 ) = 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
Assim temos: 
 
2 . 4 . 2
2 . 8
=
2 . 2 . 2
2 . 2
=
2 ( )
2 ( )
=
2
2
= 2 = 2 =
1
2
=
1
4
 
 
2) Dados a, b reais não-nulos simplifique a expressão: 
 
(a . b )
(a . b )
 
 
Solução: 
Usando as propriedades descritas acima temos 
 
(a . b )
(a . b )
=
(a ) . (b )
(a ) . (b )
=
a . b
a . b
=
a
a
.
b
b
= a ( ). b = a . b = a . 1 = a 
 
 
 
 RADICIAÇÃO 
Para estudarmos a radiciação, vamos pensar em um número elevado ao 
cubo que seja igual a 125. Isto é, ( )³ = 125, esse número é 5, pois 5³ = 125. Essa 
operação é inversa à potenciação, chamada de radiciação. 
A representação da radiciação é definida como: √a = b, sendo: 
√0 radical 
a radicando 
b a raiz 
n o índice da raiz, um número natural maior ou igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
Figura 6: Radiciação 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
Exemplos: 
 
√9 = 3, pois 3 = 9 
√8 = 2, pois 2 = 8 
√−27 = − 3 
√−25 = ∄ em ℝ 
 
 
 
Algumas propriedades da radiciação podem ser definidas. Considere m, n, 
p inteiros e n > 1, p > 1 e m > 1, então, temos: 
 
 √ab = √a. √b (28) 
 
 a
b
= 
√a
√b
 (29) 
 
 √a = √a (30) 
 
 
√𝐚
𝐧
𝐩
= √𝐚
𝐩𝐧
 (31) 
 
Exemplos: 
 
√8.7 = √8. √7 = 2. √7 = 2 √7 
Quando o radicandoé negativo, não existe raiz com índice par, pois um número 
elevado a um expoente par sempre dará positivo nos reais. Por exemplo, 
√−16 = ∄, 𝑝𝑜𝑖𝑠 (−2) = 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
3
5
= 
√3
√5
 
 
Podemos relacionar a raiz, com a potência com expoente fracionário. 
Considere a um número real positivo e seja um número racional, definimos a 
potência de base a e expoente da seguinte forma (22): 
 
 
a = √a (32) 
 
Se a = 0 temos a seguinte definição especial 
 
0 = 0. 
 
Exemplos: 
 
2 = 2 = √2; 
3 = 3 = √3; 
5 =
1
5
=
1
5
=
1
5
=
1
25
 
2
3
=
3
2
=
3
2
=
3
2
. 
 
As propriedades de potências vistas até agora se aplicam às potências de 
expoentes racionais. Assim, dados a, b números reais positivos e , números 
racionais, valem as seguintes propriedades: 
 
 
a . a = a (33) 
 
 
a
a
= a (34) 
 
 
(a. b) = a . b (35) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
 
a
b
=
a
b
; (36) 
 
 
a = a
.
. (37) 
 
Exemplos: 
2 / . 2 / = 2 = 2 = 2 / 
7 /
7 /
= 7 = 7 = 7 / 
14 / = (2.7) / = 2 / . 7 / 
20
7
/
=
20 /
7 /
 
2 /
/
= 2 . = 2 / 
 
Uma vez que os números decimais são números racionais, para calcularmos 
potências cujos expoentes são números decimais, basta escrevermos esse decimal 
em forma de fração e utilizarmos a definição de potências de expoente racional. 
 
Exemplos: 
 
3 , = 3 / = 3 / = √3 
0,2 , = 0,2 / = 0,2 
5 , = 5 / 
 
As propriedades acima são de extrema importância no estudo das 
potências. Vejamos alguns exercícios resolvidos que envolvem essas propriedades: 
 
Exemplos: 
 
1) Simplificar fazendo o uso das propriedades: 
 
a) 16 / 
b) 27 / 
c) (81 ) / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
Solução: 
a) 16 / = (2 ) / = 2 . = 2 = 8 
 
b) 27 / = (3 ) / = 3 . = 3 = = 
 
c) (81 ) / = ((3 ) ) / = 3 . . = 3 = 9 
 
2) Simplifique: 
 
a) 
2 / . 2 / . 2 / 
b) 
3 / . 3 /
3 / . 3 / . 3 /
 
 
Solução: 
 
a) 
2 / . 2 / . 2 / = 2 = 2 = 2 = 2 
b) 
3 / . 3 /
3 / . 3 / . 3 /
=
3
3
=
3
3
=
3
3
=
3 /
3 /
= 3 
= 3 = 3 / 
 
 
 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
A racionalização de denominadores tem como objetivo transformar uma 
fração que possui um denominador irracional em uma nova fração, que seja 
equivalente à fração anterior, com denominador racional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
Quando multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração por 
um mesmo número real, obtemos como resultado uma fração equivalente. Dessa 
forma, para racionalizar uma fração, basta multiplicar seu numerador e 
denominador por um número que transforme o irracional do denominador em 
racional. Esse número é chamado de conjugado. 
 
Exemplos: 
 
1) O conjugado de √2 é √2 pois, √2. √2 = √2 = 2 / = 2. 
2) O conjugado de √7 é √7 pois, √7. √7 = 7 / . 7 / = 7 = 7 / = 7. 
 
Para encontrar o conjugado de um número irracional do tipo √x devemos: 
 
1º) Escrever esse número na forma x / ; 
2º) Pensar no menor número c ∈ {1,2,3, . . . , b − 1} tal que a + c seja um múltiplo de b; 
3º) O conjugado será √x . 
 
Exemplo: 
 
1) Determine o conjugado dos seguintes números: 
a) √24 
b) √3 
c) √7 
d) √11 
 
Solução: 
 
a) Escrevendo √24 em forma de potência temos √24 = 24 / . O número que 
quando eu somo 2 resulta 3 é o 1. Logo o conjugado de √24 é √24 ; 
b) Escrevendo √3 em forma de potência temos √3 = 3 / . O número que 
quando eu somo 4 resulta 7 é o 3. Logo o conjugado de √3 é √3 . 
c) Escrevendo √7 em forma de fração temos √7 = 7 / . O número que quando 
eu somo 5 resulta 6, que é múltiplo de 2, é o 1. Logo o conjugado de √7 é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 
√7. 
d) Escrevendo √11 em forma de fração temos √11 = 11 / . O número que 
quando eu somo 23 resulta 25 é o 2. Logo o conjugado de √11 é √11 . 
 
Para racionalizar uma fração devemos encontrar o conjugado do 
denominador, multiplicar o numerador de denominador da fração pelo conjugado 
e, por fim, simplificar a fração equivalente encontrada. 
 
Exemplos: 
 
1) Racionalize as seguintes frações: 
a) 
√
 
b) 
√
 
c) 
√
 
 
Solução: 
 
a) Escrevendo √4 em forma de potência temos √4 = 4 / . O número menor que 
3 que quando eu somo 1 resulta um múltiplo de 3 é o 2, logo o conjugado de 
√4 é √4 . Multiplicando o numerador e denominado da fração 
√
 por √4 
temos: 
 
1
√4
 .
√4
√4
=
√4
√4
=
√4
4
=
√2
2
=
√2 . √2
2
=
√2
2
. 
Logo, a forma racionalizada de 
√
 é √ . 
 
b) Escrevendo √6 em forma de potência temos √6 = 6 / . O número menor que 
5 que quando eu somo 1 resulta um múltiplo de 5 é 4, logo o conjugado de 
√6 é √6 . Multiplicando o numerador de denominador da fração 
√
 por √6 
temos 
3
√6
 .
√6
√6
=
3 √6
√6
=
3 √6
6
=
√6
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
Logo, a forma racionalizada de 
√
 é √ . 
 
c) Escrevendo √32 em forma de potência temos √32 = 32 / = (2 ) / = 2 / . O 
número menor que 3 que quando eu somo 1 resulta um múltiplo de 3 é o 2, 
logo o conjugado de √32 é √32 . Multiplicando o numerador e denominador 
da fração 
√
 por √32 temos: 
 
√
.
√
√
=
√
√
=
√
=
√
=
√ . √
=
. √
=
√ . 
Logo, a forma racionalizada de 
√
 é √ . 
 
 
 
 EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Vimos que para resolver expressões numéricas existe uma ordem a ser 
seguida. Primeiro eliminamos os parênteses resolvendo tudo que está dentro dele. 
Depois fazemos o mesmo para os colchetes e em seguida para as chaves. Dentro 
de cada um desses delimitadores obedecemos a seguinte ordem: 
 
1º) Potenciação e radiciação; 
2º) Multiplicações e divisões; 
3º) Adições e subtrações. 
 
Vejamos alguns Exemplos de expressões numéricas e como resolver cada 
uma delas. 
 
25 + 3 : 9 + [3 . 5– 3. (2 − 5 )] = 
25 + 3 : 9 + [3 . 5– 3. (8 − 5)] = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
25 + 3 : 9 + [3 . 5– 3.3] = 
25 + 3 : 9 + [9.5– 3.3] = 
25 + 3 : 9 + [45– 9] = 
25 + 3 : 9 + 36 = 
25 + 27: 9 + 36 = 
25 + 3 + 36 = 
= 64 
 
4 + √8. 3 + 16: √64 − 35 + 1 − 10 = 
[(16 + 2.9) + (16: 8) − 35] + 1 − 10 = 
[(16 + 18) + 2 − 35] + 1 − 10 = 
[34 + 2 − 35] + 1 − 10 = 
[34 + 4 − 35] + 1 − 10 = 
3 + 1 − 10 = 
9 + 1 − 1 = 
= 9 
 
√64: 2 . 2 + √81 − 2 . 2 − 5 . √256 = 
(8: 2). 2 + [(9 − 8). 2 − 5 ]. √256 = 
4. 2 + [1. 2 − 5 ]. √256 = 
4. 2 + [1.16 − 1]. √256 = 
4. 2 + [16 − 1]. √256 = 
4. 2 + 15. √256 = 
4. 2 + {15.4} = 
4. 2 + 60 = 
4.4 + 60 = 
16 + 60 = 
= 76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. (Cesgranrio-1994) O número de algarismos do produto 5 . 4 é igual a: 
 
a) 17 
b) 18 
c) 26 
d) 34 
e) 35 
 
2. (CPCAR-2002-Adaptada) Simplificando , com x > 0 e y > 0 obtemos: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. (Fuvest-1981) Dos números abaixo, o que está mais próximo de 
(5,2) . (10,3)
(9,9)
 
é: 
 
a) 0,625 
b) 6,25 
c) 62,5 
d) 625 
e) 6250 
 
4. (OBM-1998) Qual dos números a seguir é o maior? 
a) 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
 
b) 9 
c) 27 
d) 243 
e) 81 
 
5. (UECE-2002) A expressão numérica 5√54 − 3 √16 é igual a: 
 
a) √1458 
b) √729 
c) 2 √70 
d) 2 √38 
e) √140 
 
6. Vunesp-1992) O valor da expressão 5 − é: 
 
a) 0,3 
b) -0,3 
c) -0,2 
d) 0,2 
e) 0 
 
7. (UFPB-1977) A expressão 2√27 − √75 + 3√12 é igual a: 
 
a) 2√3 
b) 4√12 
c) 4√27 
d) 7√3 
e) 7√6 
 
8. (IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes: 
 
I. −5 − √16. (−10): √5 = −17; 
II. 35: 3 + √81 − 23 + 1 . 2 = 10; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
III. Efetuando-se 3 + √5 . 3 − √5 , obtém-se um número múltiplo de 2. 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Apenas I e III são verdadeiras. 
c) Todas são falsas. 
d) Apenas uma das afirmações é verdadeira. 
e) Apenas II e III são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
 
 
 
 NOÇÕES PRIMITIVAS DA GEOMETRIA 
 
Ponto, reta e plano são as noções primitivas da geometria.Não existe uma 
maneira de definir esses objetos, mas, precisamos de cada um deles para 
construirmos todas as definições geométricas. O que podemos fazer é discutir as 
propriedades e características de cada um deles de cada um deles e, ressaltar sua 
importância para a Geometria. 
O ponto não possui dimensão e nem forma, ou seja, ele é adimensional. É 
muito usado para indicar a localização de algum objeto no espaço. Utilizamos 
letras maiúsculas para nomear um ponto. 
 
Figura 7: Ponto 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
A reta é um conjunto de pontos que não fazem curva. É infinita para duas 
direções. Uma vez que esses pontos estão lado a lado, conseguimos medir pedaços 
de retas. Esses pedaços de retas são chamados de segmentos de reta. Mas 
conseguimos medir apenas o comprimento, a largura não tem como medir. Por 
esse motivo, a reta é um elemento unidimensional. Para nomeá-las usamos letra 
minúscula. 
 
 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
Figura 8: Reta 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Assim como a reta é formada por vários pontos, o plano é formado por 
várias retas alinhadas. Também pode ser visto como um conjunto de pontos. Ele é 
uma superfície plana infinita para todas as direções e não faz curva. Nele é possível 
desenhar diversas, medir o comprimento e largura de cada uma delas, por isso, o 
plano é considerado um objeto bidimensional. Utilizamos letras maiúsculas do 
alfabeto grego para nomeá-los. 
 
Figura 9: Plano 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
O conjunto formado por todos os pontos é chamado de espaço. É nele que 
desenvolveremos a Geometria Espacial. 
Além dessas noções primitivas que não possuem definição, apenas uma 
ideia do que seja, existem resultados que não tem demonstração. Esses resultados 
são chamados de postulados. É a partir deles que conseguimos demostrar diversos 
outros resultados da geometria. São eles: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
I. Postulado da existência: 
 
a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. 
b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. 
 
II. Postulado da determinação: 
 
a) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. 
b) Três pontos distintos não colineares determinam um único plano eu passa por 
eles. 
 
III. Postulado da inclusão 
 
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no 
plano. 
 
 POSIÇÕES RELATIVAS DA RETA 
Quando duas retas estão no mesmo plano pode haver uma certa interação 
entre elas gerando algumas definições e propriedades. São elas: 
 
I. Retas paralelas: 
 
Duas retas são paralelas quando não possuem nenhum ponto em comum 
(paralelas distintas) ou, quando possuem todos os pontos em comum (paralelas 
coincidentes). Uma propriedade interessante das retas paralelas distintas é que a 
distância entre elas entre elas será sempre a mesma, independente do ponto que 
escolhemos para medir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 
Figura 10: À esquerda, retas r e s paralelas distintas e, à direita, retas i e f paralelas 
coincidentes. 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
II. Retas concorrentes: 
 
Duas retas são concorrentes quando possuem penas um pontoem comum. 
Essas retas formam 4 ângulos congruentes dois a dois. Esses ângulos formados são 
classificados adjacentes ou opostos pelo vértice. Os ângulos opostos pelo vértice 
possuem a mesma medida, enquanto os ângulos adjacentes são classificados em 
suplementares. Quando o ângulo formado entre elas mede 90°, essas retas são 
chamadas de retas perpendiculares. 
 
Figura 11: À esquerda, retas r e s concorrentes, à direita, retas f e g perpendiculares. 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
III. Retas reversas: 
 
Duas retas são chamadas de retas reversas se não existir nenhum plano que 
contenha essas retas. 
Resumindo, dadas duas retas r e s temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
 
Figura 12: Resumo das posições relativas das retas 
 
Fonte: Adaptado Dolce e Pompeo (2013) 
 
 FIGURAS PLANAS 
Uma região plana fechada por, no mínimo, três segmentos de retas, é 
chamada de figura plana. Elas são bidimensionais: possuem comprimento e 
largura. Todas as figuras planas com mais de três lados são chamadas de polígono. 
As formas planas mais conhecidas na geometria são: círculo, quadrado, 
triângulo, retângulo, trapézio, hexágono, pentágono, paralelogramo e losango. 
Apesar do círculo não ser formado por segmentos de reta, ele também é uma 
figura plana. 
 
Figura 13: Figuras planas mais usuais 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Os polígonos cujos lados possuem o mesmo comprimento são chamados de 
polígonos regulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
 Nomenclatura dos Polígonos 
Os polígonos são nomeados de acordo com seu número de lados. 
Acompanhe os principais na tabela abaixo: 
 
Tabela 2: Nomenclatura das principais figuras planas de acordo com o número de lados 
Número de lados Nomenclatura 
3 Triângulo 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
Fonte: Elaborada pela Autora (2021) 
 
O quadrado, retângulo, trapézio, paralelogramo e losango são quadriláteros 
especiais. O paralelogramo recebe esse nome devido ao fato de seus lados 
opostos serem paralelos e, esses lados opostos possuem a mesma medida. O 
quadrado, retângulo e losango são paralelogramos. O retângulo recebe essa 
nomenclatura especial pois seus lados não paralelos são perpendiculares. O 
quadrado é um tipo de retângulo. Recebe esse nome especial por possuir todos os 
quatro lados com a mesma medida. O losango também possui os quatro lados 
com a mesma medida, porém, seus lados não são perpendiculares. O trapézio 
possui apenas um par de lados opostos paralelos chamados de bases, uma maior 
e a outra menor, uma vez que os outros dois lados não são paralelos. 
 
 
 
O círculo, também conhecido como disco, é uma figura plana que não 
possui lados. É formado pelo raio, que a é a distância entre o centro e a 
extremidade e o diâmetro, que é o segmento de reta que passa pelo centro e vai 
de um lado ao outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
 
Figura 14: Círculo com um raio e um diâmetro 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 Elementos de um Polígono 
Os polígonos possuem 5 elementos principais: vértices, lados, diagonais, 
ângulos internos e ângulos externos. 
O vértice é a “pontinha” do polígono. Ligando dois vértices consecutivos 
com um segmento de reta obtemos um lado. Ligando dois vértices que não são 
consecutivos obtemos uma diagonal. Os ângulos formados dentro do polígono são 
os ângulos internos, já os ângulos formados fora do polígono são os ângulos 
externos. 
 
Figura 15: Principais elementos de um polígono 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 Perímetro de Figuras Planas 
O perímetro de uma figura plana é a soma de todos os seus lados. Já a área 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
é o tamanho da superfície da figura. O valor do perímetro será sempre dado, por 
Exemplo:, em m, cm, km, entre outros. Já o valor da área será dado em m , cm , km , 
etc. 
Vejamos como calcular o perímetro (P) e a área (A) das principais figuras 
planas: 
 
Quadro 1: Fórmulas da área e do perímetro das principais figuras planas 
Figura 
Significado dos 
termos da figura 
Área Perímetro 
Triângulo 
 
 
b = base 
h = altura 
L = lado 
L’ = lado 
 
 
A =
b. h
2
 
 
P = b + L + L 
Quadrado 
 
 
 
L = lado 
 
 
A = L. L = L 
 
 
P = 4L 
Retângulo 
 
 
b = base 
h = altura 
 
A = b. h 
 
P = 2b + 2h 
Trapézio 
 
b = base menor 
B = base maior 
L = lado 
L’ = lado 
h = altura 
 
A =
(B + b). h
2
 
 
P = L + L + B + b 
Losango 
 
 
L = lado 
D = diagonal maior 
d = diagonal menor 
 
A =
D. d
2
 
 
P = 4L 
Círculo 
 
 
r = raio