Cálculo integral RESOLVIDO

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1) Calcularemos a integral:
∫ 3x2
2x3 − x2 −2x+1
dx
Com efeito temos que:
∫ 3x2
2x3 − x2 −2x+1
dx = 3
∫ x2
2x3 − x2 −2x+1
dx
Agora, vamos tirar a fração parcial de:
x2
2x3 − x2 −2x+1
primeiramente note que −1 e 1 é raíz de 2x3 − x2 −2x+1 logo esse polinômio é divisível por x+1 e
x−1, logo temos da divisão longa que: 2x
3 − x2 −2x+1
x+1
= 2x2−3x+1. Agora dividindo 2x2−3x+1
por x− 1 temos que: 2x
2 −3x+1
x−1
= 2x− 1. Portanto temos então que: 2x3−x2−2x+1(x+1)(x−1)(2x−1) = 1 ou seja
2x3 − x2 −2x+1 = (x+1)(x−1)(2x−1). Então, o termo anterior se torna:
x2
2x3 − x2 −2x+1
=
x2
(x+1)(x−1)(2x−1)
e devemos expressar essa fração em termos de constantes a,b,c de modo que:
x2
(x+1)(x−1)(2x−1)
=
a
(2x−1)
+
b
x+1
+
c
x−1
x2
(x+1)(x−1)(2x−1)
=
a
(2x−1)
+
b
x+1
+
c
x−1
Multiplicando tudo pelo denominador temos o seguinte desenvolvimento:
x2 = a(x+1)(x−1)+b(x−1)(2x−1)+ c(2x−1)(x+1)
= a(x2 −1)+b(2x2 −3x+1)+ c(2x2 + x−1)
= x2(a+2b+2c)+ x(c−3b)+(b− c−a)
Por igualdade polinomial temos então o seguinte sistema de equações:
a+2b+2c = 1
c−3b = 0
b− c−a = 0
1
da segunda equação temos que c = 3b e da terceira que a = b− c =−2b. Logo na primeira equação
temos que:
1 = a+2b+2c =−2b+2b+6b = 6b =⇒ b = 1
6
então a =−2b =−1
3
e c = 3b =
1
2
ou seja a =−1
3
, b =
1
6
e c =
1
2
. E então podemos escrever que:
x2
(x+1)(x−1)(2x−1)
=− 1
3(2x−1)
+
1
6(x+1)
+
1
2(x−1)
e agora podemos nos ater a integral. Com efeito, temos que:
∫ 3x2
2x3 − x2 −2x+1
dx = 3
∫ x2
2x3 − x2 −2x+1
dx
= 3
∫
− 1
3(2x−1)
+
1
6(x+1)
+
1
2(x−1)
dx
= 3
[
−1
3
∫ 1
2x−1
dx+
1
6
∫ 1
x+1
dx+
1
2
∫ 1
x−1
dx
]
= 3
[
−1
3
· 1
2
ln(|2x−1|)+ 1
6
ln(|x+1|)+ 1
2
ln(|x−1|)
]
+K
= 3
[
−1
6
ln(|2x−1|)+ 1
6
ln(|x+1|)+ 1
2
ln(|x−1|)
]
+K
onde Ké uma constante de integração. Portanto obtemos que:
∫ 3x2
2x3 − x2 −2x+1
dx = 3
[
−1
6
ln(|2x−1|)+ 1
6
ln(|x+1|)+ 1
2
ln(|x−1|)
]
+K.
2